已知角度为定值求动点坐标
一阶 方法突破练
1.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为( (2m−1,m)(m⟩0),过点 A作 AB⊥x轴于点 B.
(1)若 ∠AOB=30°,,求m的值;
(2)若. ∠AOB=60°,,求m的值.
1 1
2.如图，在平面直角坐标系中，直线 l :y= x+1分别交x轴，y轴于点A,B,直线 l :y= x+t与x轴交于点
1 3 2 2
C，与直线 l₁交于点D，P是x轴上的一点，且. BP=DP.若 ∠BPD=90°,求t的值.
1 3
3.如图，抛物线 y=− x2+ x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B 左侧)，与y轴交于点 C，点 P 是抛物
4 2
线上一点，若 ∠APB= 45°,，求点 P的坐标(点 P 的横、纵坐标均为整数).4.如图，抛物线 y=−x²+2x+8与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，点 P是抛物线的对称轴上一点，
若 ∠APB=150°,求点 P的坐标.
5.如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−x+2与x轴交于点A，与y轴交于点 B，点P为x轴上一点，若
∠PBA=15°,，求点 P的坐标.
6.如图，在平面直角坐标系中，直线. y=−x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点Q为y轴上一点，若
∠QAB=75°,，求点Q的坐标.二阶 设问进阶练
例 如图，抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点 C.
(1)若点 F是抛物线对称轴上一点，当 ∠AFC=90°时,求点 F的坐标；
(2)若点N为抛物线上一点，当 ∠NBA=30°时，求点N的横坐标；
(3)若点P为抛物线对称轴上一点，当 ∠APC=45°时,求点 P的坐标；(4)如图④,连接AC,BC,点 D 在线段AC上(不与点 A,C重合)且 tan∠BDC=3,，求点 D的坐标；
1
(5)如图⑤，已知点Q(0，1)，连接BQ，抛物线上是否存在点M,使得 tan∠MBQ= ?若存在，求出点M的
2
坐标；若不存在，请说明理由；
(6)创新题·定角求平移距离 如图⑥，将抛物线向下平移m个单位,交BC于点E,R,若 ∠EOR=45°,求m的值.阶 综合强化练
1.如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=x²−1的顶点为P，A，B为抛物线上两点，且线段
AB‖x轴，过点A作 AD⊥x轴于点 D,过点 B 作. BC⊥x轴于点 C,连接BP,PD,BD.
(1)求证: ∠BPD=90°;
(2)创新题·猜想角度定值条件 小樱证明完(1)中的 ∠BPD为 90°后，她猜想：所有抛物线
中的“ ∠BPD,都为 90°,，为验证她的猜想，她提出如下问题：如图①，抛物线 y=ax²+c中字母
a，c满足什么条件才能使 ∠BPD=90°..请回答小樱的问题并说明理由；
(3)如图②,抛物线 y'=ax²+bx+c中字母a，b，c满足什么条件才能使. ∠BPD=90°.请直接写出
结论.
作图区 答题区
2.如图，抛物线 y=ax²−3x+c(a≠0)与x轴交于A(4,0),C两点,交y轴于点. B(0,−4),点P为y轴右侧抛物
线上一个动点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点B作. BD‖x轴，过点 P作 PD⊥BD于点D,且. BP=√5PD,求点P 的坐标；1
(3)(三角函数值确定)当点F为AB的中点，且 tan∠FCP= 时，求点 P 的横坐标.
2
作图区 答题区3.在平面直角坐标系中，抛物线 y=a(x+1)(x−3)(a≠0))与x轴交于A,B 两点(点A在点 B左
侧)，与y轴交于点 C(0，3)，点 D为抛物线的顶点，点P 是抛物线的对称轴上一点.
(1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标；
√2
(2)如图①,连接PB,PD,求 PB+ PD的最小值；
2
(3)(特殊角+定边)如图②,连接CP,PB,BC,若 ∠CPB=135°,，求点 P的坐标.
作图区 答题区考向 1 已知角度为定值求动点坐标
一阶 方法突破练
1. 解:(1)∵∠AOB=30°,A(2m-1,m),AB⊥x轴,∴OB=2m-1,AB=m,△AOB是直角三角形,∴OA=2m,
由勾股定理得， OB²+AB²=OA²,
∴(2m−1)²+m²=(2m)²,
解得 m=2+√3或 m=2−√3;
(2)∵∠AOB=60°,A(2m-1,m),AB⊥x轴,∴OB=2m-1,AB=m,△AOB是直角三角形,∴OA=4m-2,
6+√3 6−√3
由勾股定理得， m²+(2m−1)²=(4m−2)²,解得 m= 或 m= .
11 11
2. 解:如解图,过点 D作DE⊥x轴于点E,设点坐标，表示出线段长.
设P(m,0),D(xD,yD),
1
{ y = x +1
D 3 b {x =6−6t
, D ,
由题意得 解得
1 y =3−2t
y = x +t D
v 2 b
∴D(6-6t,3-2t),E(6-6t,0),
∵B(0,1),P(m,0),
∴OB=1,PE=|6-6t-ml,OP=|ml,DE=|3-2t|,
∵∠BPD=90°,
∴∠BPO+∠DPE=90°,∠BPO+∠PBO=90°,
∴∠DPE=∠PBO,
∵ ∠BOP = ∠PED = 90°,BP=PD,
∴△PBO≌△DPE(AAS),利用全等关系式求未知数.
1
∴BO=PE=|6-6t-m|=1,OP=DE=|m|=|3-2t|,当m=3-2t时,|6-6t-3+2t|=|3-4t|=1,解得
t=
或t=1(点B,D重
2
5
合,舍去),当m=-(3-2t)时,|6-6t+3-2t|=|9-8t|=1,解得
t=
或t=1(舍去),
4
1 5
综上所述， t= 或 t= .
2 4
3.解：根据已知条件构造辅助圆，以AB 为斜边作等腰Rt△AGB,则AG=BG,∠AGB=90°,以点G为圆心,AG长
为半径画圆，则点 P 在优弧AB上时总有∠APB=45°,
分两种情况讨论，如解图①，若点 G在x轴上方时，⊙G 与抛物线的交点只有 A，B，即没有点 P 使
∠APB=45°;如解图②,若点 G在x轴下方时,过点 G 作 GM⊥x轴于点 M,连接PG.
1 3
∵抛物线的解析式为
y=− x2+ x+4,
4 2
1 3
∴令y=0,得 − x2+ x+4=0,解得 x₁=−2,x₂=8,
4 2
∴A(-2,0),B(8,0),∴AB=10.
1
∵AM=BM=GM= AB=5,∴G(3,−5).
2
设 P ( p,− 1 p2+ 3 p+4 ) ,
4 2
√2
∵PG=AG= AB=5√2,
2
∴PG²=50,即 (p−3) 2+ ( − 1 p2+ 3 p+4+5 ) 2 =50,
4 2
∵ 点 P的横纵坐标均为整数，
∴有 (p−3) 2=1, ( − 1 p2+ 3 p+4+5 ) 2 =49,此时无解，
4 2
或 (p−3) 2=25, ( − 1 p2+ 3 p+4+5 ) 2 =25,
4 2
解得 p₁=−2,p₂=8,此时两点为A，B两点，舍去，
或 (p−3) 2=49, ( − 1 p2+ 3 p+4+5 ) 2 =1
4 2
解得 p₃=−4,p₄=10,
1 3
当p=-4或p=10时, − p2+ p+4=−6.
4 2
综上所述，符合条件的点P的坐标为(-4，-6)或(10，-6).
b
4.解：由题意得，抛物线的对称轴为直线 x=− =1,令 −x²+2x+8=0,解得x=-2或x=4,
2a
∵点A 在点 B左侧,∴A(-2,0),B(4,0),
∴AB=6,
∵∠APB=150°,点P在抛物线的对称轴上,
150°角的补角的2倍是60°角，可以以AB为边作等边三角形找圆心，构造辅助圆.
∴分两种情况讨论：
①当点 P在x轴下方时，如解图，以AB为边在AB上方构造等边△AEB，设抛物线对称轴与x轴交于点D，以
点 E为圆心，AB长为半径构造⊙E，则⊙E 与抛物线对称轴在x轴下方的交点即为点 P，
∵ AB=6,∠EAB=60°,
∴ ⊙E 的半径为 6,ED =AE·sin∠EAB=3 √3,∴DP=EP-ED=6-3 √3,
∴点P的坐标为(1,3 √3-6);
②当点 P 在 x 轴上方时,利用对称性可知，点 P 的坐标为 (1,6−3√3),
综上所述，点P的坐标为( (1,3√3−6)或 (1,6−3√3).
5. 解:∵直线y=-x+2 与x轴交于点 A,与y轴交于点 B,
∴A(2,0),B(0,2),∴OA=OB=2,∴∠OBA=45°,分两种情况讨论：
如解图，当点 P在点 A 左侧，即P₁处时，
∵∠P₁BA=15°,
∴∠OBP₁=∠OBA−∠P₁BA=30°,
2√3
∴OP =OB⋅tan∠OBP = ,
1 1 3
(2√3 )
∴点 P₁ 的坐标为 ,0 ;当点 P 在点 A 右侧,即P₂处时，
3
∵∠P₂BA=15°,
∴∠OBP₂=∠OBA+∠P₂BA=60°,
∴OP =OB⋅tan∠OBP =2√3,
2 2
∴点P₂的坐标为(2 √3,0),
(2√3 )
综上所述，点P的坐标为 ,0 或(2 √3,0).
3
6. 解:如解图,∵ 直线y=-x+2 与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(2,0),B(0,2),
∴OA=OB=2,∴∠OAB=45°.将非特殊角转化为特殊角
∵∠QAB=75°>45°,
∴点 Q 只能在y轴负半轴.
∵ ∠QAB=75°,
∴∠QAO=∠QAB-∠OAB=30°,
2√3
∴OQ=OA⋅tan∠QAO= ,
3
( 2√3)
∴ 点Q 的坐标为 0,− .
3
二阶 设问进阶练
例 解：(1)∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,
令x=0,得y=3,令y=0,解得: x₁=−1,x₂=3,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3),
:y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设点 F的坐标为(1,f),
则 CF²=1²+(f −3)²,AF²=2²+f ²,AC²=1²+3²=10,
∵∠AFC=90°,
∴AF²+CF²=AC²,即 2²+f ²+1²+(f −3)²=10,解得f=1或f=2,
∴当∠AFC=90°时,点F的坐标为(1,1)或(1,2);
(2)①当点 N在x轴上方时,如解图①,设BN与y轴交于点 K，∵B(3,0),∴OB=3,∵∠NBA=30°,
√3
∴OK= OB=√3,∴K(0,√3),
3
√3 √3
∴直线 BN的解析式为 y=− x+√3,联立直线 BN 和抛物线的解析式得 x+√3=−x2+2x+3,解得 x =
3 3
√3
3(舍去) 或 x = −1+ ,
3
√3
∴ 点 N的横坐标为 −1+ ;
3
②当点 N 在x轴下方时，
√3
同理可得，点 N的横坐标为 −1− .
3
√3 √3
综上所述，点N的横坐标为 −1+ g −1− ;
3 3
(3)如解图②,连接AC,取AC 的中点S,过点 S作SE⊥AC交抛物线对称轴于点 E,连接AE,CE,
∵A(-1,0),C(0,3),
∴ 直线 AC的解析式为y=3x+3.
∵S为AC的中点,SE⊥AC,
1 3
∴s(- ,),CE=AE.
2 2
1
设直线SE的解析式为
y=− x+d,
3
1 ( 1) 3
将点 S的坐标代入，得 − × − +d= ,
3 2 2
4
解得 d= ,
3
1 4
∴直线SE的解析式为 y=− x+ ,
3 3
∴ 点 E 的坐标为(1,1).
由(1)可知,∠AEC=90°,
1
∵∠APC= ∠AEC=45❑∘,
2
∴以点 E 为圆心,AE 长为半径作⊙E，⊙E与抛物线对称轴的交点即为点 P，连接AP，CP,AP',CP',
∴AE=EP.
∵AC2=10,AC=√10,
√2
∴AE= AC=√5,
2
∴点 P 的坐标为( (1,1+√5)或 (1,1−√5);
(4)如解图③,过点 B 作 BH⊥AC 于点 H,
则∠BHD=90°,
OC 3√10
∵ A (-1,0),B(3,0),C(0,3),∴AB=4,AC= √10∵ sin ∠BAH = sin ∠BAC = = ,
AC 10
3√10 6√10
∴BH=AB⋅sin∠BAH= ×4= ,
10 5BH
∵tan∠BDC=3,∴ =3,
DH
1 1 6√10 2√10
∴DH= BH= × = ,
3 3 5 5
在 Rt△BDH中, BD=√BH2+DH2=4,
由(3)可知直线AC的解析式为y=3x+3,
设D(t,3t+3),
∵B(3,0),
∴(3−t)²+(3t+3)²=16,
1
解得 t =− ,t =−1(舍去),
1 5 2
1 ( 1 12)
当 t=− 时, D − , ,
5 5 5
( 1 12)
∴ 点 D 的坐标为 − , ;
5 5
(5)存在.
1
取线段BQ 的中点G，再将QG绕点 Q 旋转90°得到QG',则 tan∠G'BQ= ,直线 BG'与抛物线的交点即为
2
点 M.
①如解图④,将QG绕点 Q 顺时针旋转90°,过点 Q作NZ∥x轴,过点 G',B 分别作 G'N⊥NZ 于点 N,BZ⊥NZ 于
1
点 Z,易得△NQG'∽△ZBQ,且相似比为 .
2
1 3 1 1 ( 1 1)
由题意得BZ=OQ=1,QZ=OB=3,∴NG'= Qz= ,QN= BZ= ,. 点 G'的坐标为 − ,− ,又∵
2 2 2 2 2 2
8
{ 1 3 { x=−
1 3 y= x− 7 {x=3 ( 8 29)
B(3,0),∴ 直线 BG'的解析式为 y= x− ,联立 7 7 , 解得 舍去), ∴M − ,− ;
7 7 29 y=0 7 49
y=−x2+2x+3 y=
49
②如解图⑤，将线段 QG 绕点 Q 逆时针旋转90°得到 QG",过点 G"作G"L⊥CQ 于点 L,
同理，可得点 G''
(1
,
5)
,
2 2
∴ 直线 BG"的解析式为y=-x+3.
{ y=−x+3 {x=0 {x=3
,
联立 解得 艺 (舍去),∴点M(0,3).
y=−x2+2x+3 y=3 y=0
( 8 29)
综上所述，点M的坐标为 − ,− 或(0,3);
7 49
(6)如解图⑥,将△OCE 绕点 O 顺时针旋转90°得到△OBS,连接RS,∵OB=OC=3,
∴∠OCB=∠OBC=45°,
∵∠EOR=45°,
∴∠EOC+∠ROB=∠SOB+∠ROB=45°,
∴∠EOR=∠SOR=45°,
∵OR=OR,OE=OS,
∴△EOR≌△SOR(SAS),
∴ER=RS,
由旋转性质得, ∠SBO =∠OCB=45°,
∵∠RBS=∠RBO+∠SBO= 45°+45°=90°,
∴RS²=BR²+BS²,即 ER²= BR²+CE²,
设E(x₁,y₁),R(x₂,y₂),
则 ER2=[√2(x −x )] 2 =2[(x +x ) 2−4x x ],
2 1 1 2 1 2
设平移后的抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3−m,
{ y=−x+3
联立 , 得 x²−3x+m=0,
y=−x2+2x+3−m
x +x =3
{ 1 2
x x =m
∴ 1 2
x + y =3
1 1
x + y =3
2 2
∴y₁=x₂,y₂=x₁,
∴E,R关于直线y=x对称,
∴CE=BR,设CE=BR=a,则 ER=3√2−2a,
∴(3√2−2a)
2=2a2,
∴a=3√2−3或 a=3√2+3(舍去),
∴ER=6−3√2,
∴(6−3√2)
2=2(32−4m),
9
解得 m= (√2−1).
2
三阶 综合强化练
1. (1)证明:设点D(-m,0),由题意可知A,B两点关于y轴对称，
∴A(−m,m²−1),B(m,m²−1),P(0,−1),
∴PB²=m²+m⁴,PD²=m²+1,BD²=4m²+(m²−1)²,
∴BD²=4m²+(m²−1)²=m⁴+2m²+1=PB²+PD²,
∴△BPD是直角三角形,∴∠BPD=90°;
(2)解:ac=-1;
理由:∵y=ax²+c,∴P(0,c),
设点D(-n,0),∴B(n,an²+c),
∴PB²=n²+a²n⁴,PD²=n²+c²,BD²=4n²+(an²+c)²,
∵∠BPD=90°,∴BD²=PB²+PD²,
∴4n²+(an²+c)²=n²+a²n⁴+n²+c²,
∴2c=-2,
∴ac=-1;(3)解: 4ac−b²=−4.
【解法提示】设 y=a(x−ℎ)²+k,∴P(h,k),设D(h-p,0),则
A(ℎ−p,ap²+k),B(ℎ +p,ap²+k),∴PB²=p²+ a²p⁴,PD²=p²+k²,BD²=4 p²+(ap²+k)²,∴∠BPD=
1 4ac−b2
90°,∴BD²=PB²+PD²,∴4 p²+(ap²+k)²=p²+a²p⁴+ p2+k2,∴ak+1=0,k=− ,::k= ,
a 4a
4ac−b2 1
∴ =− ,∴4ac−b2=−4.
4a a
2. 解:(1)∵抛物线 y=ax²−3x+c(a≠0)与x轴交于A(4,0),C两点,与y轴交于点B(0,-4),
∴将点A(4,0),B(0,-4)代入抛物线解析式，
{16a−12+c=0 { a=1
, ,
得 解得
c=−4 c=−4
∴抛物线的解析式为 y=x²−3x−4;
(2)【思路点拨】点 P 为抛物线上的点，可以设出点P 的坐标，由所给的 BP 与 PD 的关系，分点P 在点D上
方和下方两种情况讨论，从而得到点 P的坐标.设点 P(m,m²−3m−4)(m⟩0),
∵B(0,-4),∴D(m,-4),
∵BP=√5PD,∴BD=2PD,
①当点 P在点 D 上方时，即 y >y ,m2−3m−4>−4且m>0,解得m>3,
P D
PD=m²−3m−4−(−4)=m²−3m,
1 7
∴ m=m2−3m,解得m=0(舍去)或 m= ,
2 2
(7 9)
∴点 P 的坐标为 ,− ;
2 4
②当点 P在点 D下方,即0<m<3时, PD=(−4)−(m²−3m−4)=−m²+3m,
1 5
∴ m=−m2+3m,解得m=0(舍去)或 m= ,
2 2
(5 21)
∴点 P的坐标为 ,− ,
2 4
(7 9) (5 21)
综上所述，点P的坐标为 ,− 或 ,− ;
2 4 2 4
(3)【思路点拨】由中点坐标公式得到点F的坐标，作CF的垂线FM，构造直角三角形，通过等量代换得到角
相等，利用三角形相似和相似比可得到点M的坐标，从而得到MC的解析式，与抛物线解析式联立求解即可.
∵A(4,0),B(0,-4),∴点F的坐标为(2,-2),
1
∵tan∠FCP= ,
2
∴分两种情况讨论：
1
①若点 P 在直线 CF 上方,如解图①,过点 F 作 CF的垂线FM₁，且使得 FM = CF,连接CM₁并延长，交抛
1 2
物线于点 P₁，则点 P₁ 即为所求.过点 F 作x轴的平行线RS,分别过点 C,M₁ 作 RS的垂线交 RS 于点 S,R,
∵∠CFM₁=90°,∴∠CFS+∠M₁FR=90°,
∵∠CFS+∠FCS=90°,∴∠M₁FR=∠FCS,
1
∴△FRM₁∽△CSF,且相似比为 ,
2
∵ 抛物线 y=x²−3x−4与x轴交于A，C两点，
∴C(-1,0).
1 1 3
∴FS=3,CS=2,∴FR= CS=1,RM = FS= ,
2 1 2 2∴M ( 3,− 1) ,∴ 直线M₁C 的解析式为 y=− 1 x− 1 ,令 x2−3x−4=− 1 x− 1 ,解得x=-1(舍去)或
1 2 8 8 8 8
31 31
x= ,∴点P₁的横坐标为 ;
8 8
1
②若点 P在直线 CF下方,如解图②,过点 F 作 CF的垂线FM₂，且使得 FM = CF,连接CM₂并延长，交抛
2 2
物线于点 P₂，则点 P₂即为所求，过点 F 作y轴的平行线交x轴于点 N，过点 M₂作NF的垂线与NF的延长线交
于点 Q，
1 3 1
同理可得， FQ= CN= ,QM = FN=1,
2 2 2 2
∴M ( 1,− 7) ,..直线M₂C的解析式为 y=− 7 x− 7 ,令 x2−3x−4=− 7 x− 7 ,解得x=-1(舍去)或 x= 9 ,
2 2 4 4 4 4 4
9
∴点P₂的横坐标为 ;
4
31 9
综上所述，点P的横坐标为 或 .
8 4
3. 解:(1)将C(0,3)代入抛物线解析式γ=a(x+1)(x-3),解得a=-1,
∴ 抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3,
∵y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4,
∴点D 的坐标为(1,4);
(2)【思路点拨】此题求最小值，通过观察可知为“胡不归”问题，可通过抛物线的对称性求解.
如解图①,连接CD,过点 P 作PH⊥CD,交 DC 的延长线于点 H，
由(1)得,C(0,3),D(1,4),
∴易得∠CDP=45°,
√2
∴PH= PD,
2
√2
∴PB+ PD=PB+PH,
2
√2
∴当点 B,P,H三点共线时, PB+ PD的值最小，连接BC，设抛物线的对称轴与 BC交于点 E，易知
2
∠BCO=45°,∴∠CED=∠BCO=45°,
∵∠CDP=45°,∴∠DCB=90°,∴BC⊥CD,
√2
∴PB+ PD的最小值为BC的长，
2
∵C(0,3),B(3,0),∴BC=3 √2,
√2
PB+ PD即 的最小值为3 √2;
2
(3)【思路点拨】遇到135°这种角度的时候，可通过构造辅助圆解决问题，分点 P 在线段 BC 的上方和下方两种情况讨论，结合圆的性质和勾股定理求解点P的坐标.
如解图②，当点 P 在线段BC的上方时，以点 O 为圆心，OC长为半径作⊙O，交线段 BC 上方抛物线的对称
轴于点P，交x轴负半轴于点 G,连接CG,
∴∠AGC=45°,
∴∠CPB=135°,
设抛物线的对称轴交x轴于点 F，连接OP，则OP=OC=3,
∵D(1,4),∴抛物线的对称轴为直线x=1,
∴OF=1,∴PF=√OP2−OF2=2√2,
∴点P 的坐标为(1,2 √2);
如解图③，当点 P 在线段 BC 下方时，以 BC 为斜边在 BC上方作等腰Rt△CBM,以点 M 为圆心,CM长为半径
作⊙M，交BC下方抛物线的对称轴于点P，同理此时∠CPB=135°,
过点 P 作 PH⊥BM 于点 H,
∵ PM=CM=3,PH=3-1=2,
∴MH=√M P2−PH2=√5,
∵∠CBO=45°,∠CBM=45°,
∴BM⊥x轴,同理CM⊥y轴,
∴点M的坐标为(3,3),
∴P(1,3−√5),
综上所述，点P的坐标为(1，2 √2)或( (1,3−√5).
