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2012年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，选出符合要
求的一项）
1．（3分）岳阳楼是江南三大名楼之一，享有“洞庭天下水，岳阳天下楼”的盛名，从图中看，
你认为它是（ ）
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B． + ＝2+
C．（x﹣2）（x+3）＝x2﹣6 D．（﹣a）2＝﹣a2
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．随机事件发生的可能性是50%
B．一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2
C．为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生作为样本
D．若甲组数据的方差S甲 2＝0.31，乙组数据的方差S乙 2＝0.02，则乙组数据比甲组数据稳
定
4．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果|a|＝1，那么a＝1
B．一组对边平行的四边形是平行四边形
C．如果a是有理数，那么a是实数
D．对角线相等的四边形是矩形
5．（3分）如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A向右平移2个单
位，向后平移1个单位后，所得几何体的视图（ ）
第1页（共26页）A．主视图改变，俯视图改变
B．主视图不变，俯视图不变
C．主视图不变，俯视图改变
D．主视图改变，俯视图不变
6．（3分）如图，一次函数y ＝x+1的图象与反比例函数y ＝ 的图象交于A、B两点，过点A
1 2
作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（ ）
A．点A和点B关于原点对称
B．当x＜1时，y ＞y
1 2
C．S△AOC ＝S△BOD
D．当x＞0时，y 、y 都随x的增大而增大
1 2
7．（3分）如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方
形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积
为S，旋转的角度为 ，S与 的函数关系的大致图象是（ ）
θ θ
第2页（共26页）A． B．
C． D．
8．（3分）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切 O于A、B两点，CD切 O于点E，AD
与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、O⊙C，对于下列结论： O⊙D2＝DE•CD；
①
AD+BC＝CD； OD＝OC； S梯形ABCD ＝ CD•OA； ∠DOC＝90°，其中正确的是（
② ③ ④ ⑤
）
A． B． C． D．
二、填空①题②（⑤本大题共8小题②，③每题④3分，满分共24③分④）⑤ ①④⑤
9．（3分）计算：|﹣2|＝ ．
10．（3分）分解因式：x3﹣x＝ ．
11．（3分）圆锥底面半径为 ，母线长为2，它的侧面展开图的圆心角是 ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是
．
13．（3分）“校园手机”现象受社会普遍关注，某校针对“学生是否可带手机”的问题进行
了问卷调查，并绘制了扇形统计图．从调查的学生中，随机抽取一名恰好是持“无所谓”
态度的学生的概率是 ．
第3页（共26页）14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB＝3，
BC＝4，则BD＝ ．
15．（3分）图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m＝ （用
含n的代数式表示）．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，且AD＝ AB，DF∥BC，E为BD的
中点．若EF⊥AC，BC＝6，则四边形DBCF的面积为 ．
三、解答题（本大题共10道小题，满分共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：3﹣ +（ ）﹣1﹣（2012﹣ ）0+2cos30°．
π
18．（6分）解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来．
19．（6分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝ ．
20．（6分）九（一）班课题学习小组，为了了解大树生长状况，去年在学校门前点A处测得一
棵大树顶点C的仰角为30°，树高5m；今年他们仍在原点A处测得大树D的仰角为37°，
第4页（共26页）问这棵树一年生长了多少m？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，
≈1.732）
21．（6分）如图所示，在 O中， ＝ ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连
接BC． ⊙
（1）求证：AC2＝AB•AF；
（2）若 O的半径长为2cm，∠B＝60°，求图中阴影部分面积．
⊙
22．（8分）岳阳楼、君山岛去年评为国家5A级景区．“十•一”期间，游客满员，据统计绘制
了两幅不完整的游客统计图（如图 、图 ），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）把图 补充完整； ① ②
（2）在图①中画出君山岛“十•一”期间游客人次的折线图；
（3）由统计②可知，岳阳楼、君山岛两景点“十一”期间共接待游客149000人次，占全市接
待游客总数的40%，求全市共接待游客多少人次（用科学记数法表示，保留两位有效数
第5页（共26页）字）
▱
23．（8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣
清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数图象．
（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间（t min）的函数解析式；
（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？
24．（8分）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合
做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．
第6页（共26页）（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141
万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，
乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
25．（8分）（1）操作发现：如图 ，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连
接DC，以DC为边在BC上①方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数
量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图 ，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）
相同，猜想AF与B②D在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图 ，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC
为边在B③C上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′
与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图 ，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与图 相同，Ⅰ
中的结论④是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论． ③
26．（10分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线
组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅
口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图 所示，如果把锅纵断面的抛物线记
为C ，把锅盖纵断面的抛物线记为C ． ①
1 2
（1）求C 和C 的解析式；
1 2
（2）如图 ，过点B作直线BE：y＝ x﹣1交C 于点E（﹣2，﹣ ），连接OE、BC，在x轴
1
②
上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；
（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C 或C 上是否存在一点Q，使得△EBQ的面
1 2
积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．
第7页（共26页）第8页（共26页）2012年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，选出符合要
求的一项）
1．【分析】根据轴对称及中心对称的定义，结合图形即可作出判断．
【解答】解：由图形可得，岳阳楼是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：A．
【点评】此题考查了轴对称及中心对称图形的判定，属于基础题，掌握轴对称及中心对称
的定义是解答本题的关键．
2．【分析】利用多项式的乘法、二次根式的加减法及幂的有关运算性质计算后即可得到正确
的选项．
【解答】解：A、a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项错误；
B、 + ＝2+ ，故本选项正确；
C、（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，故本选项错误；
D、（﹣a）2＝a2，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了多项式的乘法、二次根式的加减法及幂的有关运算性质，属于基本运
算，要求必须掌握．
3．【分析】根据事件发生可能性的大小和概率的值的大小的关系以及中位数、众数、方差的定
义分别进行判断即可．
【解答】解：A、随机事件发生的可能性是大于0，小于1，故本选项错误；
B、一组数据2，2，3，6的众数是2，中位数是2.5，故本选项错误；
C、为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生的中考数学成绩作为
样本，容量太小，故本选项错误；
D、若甲组数据的方差S甲 2＝0.31，乙组数据的方差S乙 2＝0.02，则乙组数据比甲组数据稳
定，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性的大小、中位数、众数、方差等，解
题的关键是根据有关定义判断出每一项的正误．
第9页（共26页）4．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答
案．
【解答】解：A、如果|a|＝1，那么a＝±1，错误；
B、一组对边平行的四边形是平行四边形，也可能是梯形，错误；
C、如果a是有理数，那么a是实数，正确；
D、对角线相等的四边形是矩形，也有可能是等腰梯形或其它四边形，错误．
故选：C．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命
题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．【分析】主视图是从正面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可
作出判断．
【解答】解：根据图形可得，图 及图 的主视图一样，俯视图不一样，即主视图不变，俯
视图改变． ① ②
故选：C．
【点评】此题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图及俯视图的观察方法是解答本题的
关键，难度一般．
6．【分析】求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的
特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断
C；根据图形的特点即可判断D．
【解答】解：A、 ，
∵把 代入 得：x+1＝ ，
① ②
解得：x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x ＝﹣2，x ＝1，
1 2
代入 得：y ＝﹣1，y ＝2，
1 2
∴B（①﹣2，﹣1），A（1，2），
∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；
B、当﹣2＜x＜0或x＞1时，y ＞y ，故本选项错误；
1 2
第10页（共26页）C、∵S△AOC ＝ ×1×2＝1，S△BOD ＝ ×|﹣2|×|﹣1|＝1，
∴S△BOD ＝S△AOC ，故本选项正确；
D、当x＞0时，y 随x的增大而增大，y 随x的增大而减小，故本选项错误；
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的
能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有
一定代表性的题目．
7．【分析】过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，则可证明△ENK≌△EML，从而得出
重叠部分的面积不变，继而可得出函数关系图象．
【解答】解：如右图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，
∵点E是正方形的对称中心，
∴EN＝EM，
由旋转的性质可得∠NEK＝∠MEL，
在Rt△ENK和Rt△EML中， ，
故可得△ENK≌△EML，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的 ．
故选：B．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象，证明△ENK≌△EML，得出阴影部分的面积始
终等于正方形面积的 是解答本题的关键．
8．【分析】连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利
用切线长定理得到DE＝DA，CE＝CB，由CD＝DE+EC，等量代换可得出CD＝AD+BC，选
项 正确；由AD＝ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形
②
第11页（共26页）EDO全等，可得出∠AOD＝∠EOD，同理得到∠EOC＝∠BOC，而这四个角之和为平角，
可得出∠DOC为直角，选项 正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，
利用两对对应角相等的两三角⑤形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得
比例可得出OD2＝DE•CD，选项 正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得
①
到梯形ABCD的面积为 AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为
AB•CD，选项 错误，而OD不一定等于OC，选项 错误，即可得到正确的选项．
【解答】解：连④接OE，如图所示： ③
∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
∴∠DAO＝∠DEO＝∠OBC＝90°，
∴DA＝DE，CE＝CB，AD∥BC，
∴CD＝DE+EC＝AD+BC，选项 正确；
在Rt△ADO和Rt△EDO中， ②
，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD＝∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC＝∠BOC，
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB＝180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）＝180°，即∠DOC＝90°，选项 正确；
∴∠DOC＝∠DEO＝90°，又∠EDO＝∠ODC， ⑤
∴△EDO∽△ODC，
∴ ＝ ，即OD2＝DC•DE，选项 正确；
①
而S梯形ABCD ＝ AB•（AD+BC）＝ AB•CD，选项 错误；
④
由OD不一定等于OC，选项 错误，
③ 第12页（共26页）则正确的选项有 ．
故选：A． ①②⑤
【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判
定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题
的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，满分共24分）
9．【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|＝2．
故答案为：2．
【点评】解题关键是掌握绝对值的规律．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值
是它的相反数；0的绝对值是0．
10．【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：x3﹣x，
＝x（x2﹣1），
＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继
续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
11．【分析】易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧
面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥底面半径是 ，
∴圆锥的底面周长为 ，
设圆锥的侧面展开的扇π形圆心角为n°，
＝ ，
π
解得n＝90．
故答案为90°．
【点评】此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的
底面周长．
12．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不
第13页（共26页）等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵a＝k，b＝2（k+1），c＝k﹣1，
∴△＝4（k+1）2﹣4×k×（k﹣1）＝3k+1≥0，
解得：k≥﹣ ，
∵原方程是一元二次方程，
∴k≠0．
故本题答案为：k≥﹣ ，且k≠0．
【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
△＞0 方程有两个不相等的实数根；
①△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
②△＜0⇔方程没有实数根．
③（2）一元⇔二次方程的二次项系数不为0．
13．【分析】根据扇形统计图求出持“无所谓”态度的学生所占的百分比，即可求出持“无所
谓”态度的学生的概率．
【解答】解：恰好是持“无所谓”态度的学生的概率是1﹣35%﹣56%＝9%．
故答案为：9%．
【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
14．【分析】由题意可得∠AB′D＝∠B＝90°，AB′＝AB＝3，由勾股定理即可求得AC的长，
则可得B′C的长，然后设BD＝B′D＝x，则CD＝BC﹣BD＝4﹣x，由勾股定理CD2＝
B′C2+B′D2，即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：如图，点B′是沿AD折叠，点B的对应点，连接B′D，
∴∠AB′D＝∠B＝90°，AB′＝AB＝3，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝ ＝5，
∴B′C＝AC﹣AB′＝5﹣3＝2，
设BD＝B′D＝x，则CD＝BC﹣BD＝4﹣x，
在Rt△CDB′中，CD2＝B′C2+B′D2，
第14页（共26页）即：（4﹣x）2＝x2+4，
解得：x＝ ，
∴BD＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了折叠的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方
程思想的应用，注意掌握折叠中的对应关系．
15．【分析】根据8＝2×4，5×7＝35，8×10＝80，得出2，5，8…第n个数为：2+3（n﹣1），4，7，
10，…第n个数为：4+3（n﹣1）即可得出第n个圆中，m的值．
【解答】解：∵2×4＝8，
5×7＝35，
8×10＝80，
…
∴2，5，8…第n个数为：2+3（n﹣1），
4，7，10，…第n个数为：4+3（n﹣1），
∴第n个圆中，m＝[2+3（n﹣1）]×[4+3（n﹣1）]＝（3n+1）（3n﹣1）＝9n2﹣1．
故答案为：9n2﹣1．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用
发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
16．【分析】过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，根据题意设BE＝DE
＝x，则AD＝AF＝4x，由DG∥EF，利用平行线分线段成比例求 FG，由DF∥BC得
△ADF∽△ABC，利用相似比求DF，同时可得∠DFG＝∠C，易证Rt△DFG∽Rt△ACH，
利用相似比求 x，在 Rt△ABH 中，用勾股定理求 AH，计算△ABC 的面积，由
△ADF∽△ABC，利用相似三角形的性质求△ADF的面积，作差求四边形DBCF的面积．
【解答】解：如图，过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，
第15页（共26页）∵E为BD的中点，且AD＝ AB，
∴可设BE＝DE＝x，则AD＝AF＝4x，
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴DG∥EF， ＝ ，即 ＝ ，解得FG＝ x，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC， ＝ ，即 ＝ ，
解得DF＝4，
又∵DF∥BC，
∴∠DFG＝∠C，
∴Rt△DFG∽Rt△ACH， ＝ ，即 ＝ ，
解得x2＝ ，
在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH＝ ＝ ＝9，
则S△ABC ＝ ×BC×AH＝ ×6×9＝27，
又∵△ADF∽△ABC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
S△ADF ＝ ×27＝12，
∴S四边形DBCF ＝S△ABC ﹣S△ADF ＝27﹣12＝15．
故答案为：15．
第16页（共26页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理．关键是通过
作辅助线，构造相似三角形，利用相似比解题．
三、解答题（本大题共10道小题，满分共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．在计算时，需要针对
每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝3﹣ +3﹣1+2×
＝3﹣ +3﹣1+
＝5．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．
18．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式
的解集表示在数轴上即可．
【解答】解： ，
由 得2x≥2，即x≥1；
由①得x＜3；
在②数轴上表示为：
故不等式组的解集为：1≤x＜3．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可
以观察不等式的解，若x≥较小的数、＜较大的数，那么解集x介于两数之间．
19．【分析】先把除法化成乘法，再根据乘法分配律展开得出x﹣1+x+1，合并同类项得出2x，
代入求出即可．
第17页（共26页）【解答】解：原式＝（ + ）×（x+1）（x﹣1）
＝ ×（x+1）（x﹣1）+ ×（x+1）（x﹣1）
＝x﹣1+x+1
＝2x，
当x＝ 时，
原式＝2× ＝1．
【点评】本题考查了对分式的化简求值的应用，通过做此题培养了学生的计算能力，题目
比较典型，是一道具有一定代表性的题目．
20．【分析】由题意得：∠DAB＝37°，∠CAB＝30°，BC＝5m，然后分别在Rt△ABC与Rt△DAB
中，利用正切函数求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠DAB＝37°，∠CAB＝30°，BC＝5m，
在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝5 （m），
在Rt△DAB中，BD＝AB•tan37°≈5 ×0.75≈6.495（m），
则CD＝BD﹣BC＝6.495﹣5＝1.495（m）．
答：这棵树一年生长了1.495m．
【点评】本题考查仰角的定义．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角
三角形是解此题的关键．
21．【分析】（1）由 ＝ ，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相
等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似，根据相似得比例
可得证；
（2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC
为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA＝OC，利用三线合一得到OE为角平分
线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求
出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC
的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公
式即可求出阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：∵ ＝ ，
第18页（共26页）∴∠ACD＝∠ABC，又∠BAC＝∠CAF，
∴△ACF∽△ABC，
∴ ＝ ，即AC2＝AB•AF；
（2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，
如图所示：
∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°，
又∵OA＝OC，∴∠AOE＝∠COE＝ ×120°＝60°，
在Rt△AOE中，OA＝2cm，
∴OE＝OAcos60°＝1cm，
∴AE＝ ＝ cm，
∴AC＝2AE＝2 cm，
则S阴影 ＝S扇形OAC ﹣S△AOC ＝ ﹣ ×2 ×1＝（ ﹣ ）cm2．
【点评】此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，弧、圆心
角及弦之间的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性
质及定理是解本题的关键．
22．【分析】（1）根据折线图可以看出3日岳阳楼的游客有13000人，再画出条形图即可；
（2）根据条形图可得到每天到君山岛的游客人次，再画出折线图；
（3）总人数＝岳阳楼、君山岛两景点“十一”期间所接待游客总数÷它所占全市接待游客
总数的百分比．
【解答】解（1）根据折线图可以看出3日岳阳楼的游客有13000人，
如图 所示：
①
第19页（共26页）（2）如图 所示：
②
（3）149000÷40%＝372500＝3.725×105≈3.7×105（人）．
【点评】此题主要考查了条形统计图和折线图，关键是读懂统计图，从统计图中得到必要
的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
23．【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶
段：y＝0和灌水阶段解析式即可；
（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案．
【解答】解：（1）排水阶段：设解析式为：y＝kt+b，
图象经过（0，1500），（25，1000），则：
，
解得： ，
第20页（共26页）故排水阶段解析式为：y＝﹣20t+1500，
当y＝0时，t＝75，
故0≤t＜75，
清洗阶段：y＝0（75≤t＜95），
灌水阶段：设解析式为：y＝at+c，
图象经过（195，1000），（95，0），则：
，
解得： ，
灌水阶段解析式为：y＝10t﹣950（95≤t≤245）；
（2）∵排水阶段解析式为：y＝﹣20t+1500；
∴y＝0时，0＝﹣20t+1500，
解得：t＝75，
则排水时间为75分钟，
清洗时间为：95﹣75＝20（分钟），
∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500（m3），
∴1500＝10t﹣950，
解得：t＝245，
故灌水所用时间为：245﹣95＝150（分钟）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及图象与x轴交点坐标求法，根
据图象得出正确信息是解题关键．
24．【分析】（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x﹣5）个月完成，根据两队合作6个月
完成求得x的值即可；
（2）根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可．
【解答】解：（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x﹣5）个月完成，根据题意得：
+ ＝ ，
解得：x＝15或x＝2，
经检验x＝15或x＝2都是原方程的根，但x＝2不符合题意．
答：甲队需要10个月完成，乙队需要15个月完成；
第21页（共26页）（2）根据题意得： ，
解得：a≤4 b≥9．
∵a≤12，b≤12且a，b都为正整数，
∴9≤b≤12又a＝10﹣ b，
∴b为3的倍数，
∴b＝9或b＝12．
当b＝9时，a＝4；
当b＝12时，a＝2
∴a＝4，b＝9或a＝2，b＝12．
方案一：甲队作4个月，乙队作9个月；
方案二：甲队作2个月，乙队作12个月；
【点评】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题时，可把总工程量看
做“1”．此题主要考查列分式方程（组）解应用题中的工程问题．分析题意，找到关键描
述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定
定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF＝BD；
（2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF＝BD；
（3）Ⅰ．AF+BF′＝AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD＝AF；同理
△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′＝AD，所以AF+BF′＝AB；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF＝AB+BF′；通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），
则BF′＝AD（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得AF＝AB+BF′．
【解答】解：（1）AF＝BD；
证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），
∴BC＝AC，∠BCA＝60°（等边三角形的性质）；
同理知，DC＝CF，∠DCF＝60°；
∴∠BCA﹣∠DCA＝∠DCF﹣∠DCA，即∠BCD＝∠ACF；
在△BCD和△ACF中，
第22页（共26页），
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD＝AF（全等三角形的对应边相等）；
（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF＝BD（全等三角形的对应边相等）
所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF＝BD仍
然成立；
（3）Ⅰ．AF+BF′＝AB；
证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD＝AF；
同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′＝AD，
∴AF+BF′＝BD+AD＝AB；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF＝AB+BF′；
证明如下：在△BCF′和△ACD中，
，
∴△BCF′≌△ACD（SAS），
∴BF′＝AD（全等三角形的对应边相等）；
又由（2）知，AF＝BD；
∴AF＝BD＝AB+AD＝AB+BF′，即AF＝AB+BF′．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．等边三角形的三条边
都相等，三个内角都是60°．
26．【分析】（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式．
第23页（共26页）（2）根据直线BE：y＝ x﹣1知，该直线必过（0，﹣1）点，那么∠EBO＝∠CBO，若以点P、
B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，那么夹这组对应角的对应边必成比例，先求出BC、
BO、BE的长，然后分情况根据线段间的比例关系求出BP的长，进而得到OP的长，即可
确定P点坐标．
（3）△EBQ中，BE长为定值，若以BE为底，当△EBQ的面积最大时，Q到直线BE的距离
最大；由于点Q可能在抛物线C 或C 上，因此两种情况都要解一下，最后通过比较得到
1 2
能使△EBQ面积最大的Q点．首先作直线l∥BE，分别令直线l与抛物线C 、C 有且仅有
1 2
一个交点，那么符合条件的Q点必在这两个交点中，先求出这两个交点分别到直线BE的
距离，距离大者符合条件，由此可得到Q点坐标和△EBQ的面积最大值．
【解答】解：（1）由于抛物线C 、C 都过点A（﹣3，0）、B（3，0），可设它们的解析式为：y＝a
1 2
（x﹣3）（x+3）；
抛物线C1还经过D（0，﹣3），则有：
﹣3＝a（0﹣3）（0+3），a＝
即：抛物线C ：y＝ x2﹣3（﹣3≤x≤3）；
1
抛物线C 还经过C（0，1），则有：
2
1＝a（0﹣3）（0+3），a＝﹣
即：抛物线C ：y＝﹣ x2+1（﹣3≤x≤3）．
2
（2）由于直线BE：y＝ x﹣1必过（0，﹣1），所以∠CBO＝∠EBO（tan∠CBO＝tan∠EBO
＝ ）；
由E点坐标可知：tan∠AOE≠ ，即∠AOE≠∠CBO，所以它们的补角∠EOB≠∠CBx；
若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，只需考虑两种情况：
∠CBP ＝∠EBO，且OB：BE＝BP ：BC，即：
1 1
①
3： ＝BP ： ，得：BP ＝ ，OP ＝OB﹣BP ＝ ；
1 1 1 1
第24页（共26页）∴P （ ，0）；
1
∠P BC＝∠EBO，且BC：BP ＝OB：BE，即：
2 2
②
：BP ＝3： ，得：BP ＝ ，OP ＝BP ﹣OB＝ ；
2 2 2 2
∴P （﹣ ，0）；
2
综上，符合条件的P点有：P （ ，0）、P （﹣ ，0）．
1 2
（3）如图，作直线l∥直线BE，设直线l：y＝ x+b；
当直线l与抛物线C 只有一个交点时：
1
①
x+b＝ x2﹣3，即：x2﹣x﹣（3b+9）＝0，
∴△＝1+4（3b+9）＝0，
解得，3b+9＝﹣ ，
∴x2﹣x+ ＝0
∴该交点Q （ ，﹣ ）；
2
Q 到直线 BE： x﹣y﹣1＝0 的距离： ＝ ＝
2
；
当直线l与抛物线C 只有一个交点时：
2
②
x+b＝﹣ x2+1，即：x2+3x+9b﹣9＝0，
∴该交点Q （﹣ ， ）；
1
Q 到直线 BE： x﹣y﹣1＝0 的距离： ＝ ；
1
第25页（共26页）∴符合条件的Q点为Q （﹣ ， ）；
1
△EBQ的最大面积：S ＝ ×BE× ＝ ．
max
方法二：
当点Q在C 上时，可设Q（x， x2﹣3），过Q作QM平行y轴交BE于M，则M（m， x﹣
1
1），
则BM＝ x﹣1﹣（ x2﹣3）＝﹣ （x+0.5）2+ ，所以当x＝﹣0.5时BM最大值为 ，
所以 S△EBQ最大＝S△EQM+S△BQM＝ （xB﹣xE）× ＝0.5×5× ＝ ，
同理可得，Q在C
2
上时，最大面积为 ，
综上最大面积为 ．
【点评】考查了二次函数综合题．该题的难度和计算量都比较大，涉及了函数解析式的确
定、相似三角形的判定和性质、图形面积的解法等重点知识；解答（2）题时，应注意分不同
的对应边来进行讨论，以免漏解．（3）的难度较大，点到直线的距离公式【点（x ，y ）到直
0 0
线（Ax+By+C＝0）的距离为：d＝ 】是需要记住的内容．另外，题目在设计
时结合了一定的生活元素，形式较为新颖．
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日期：2020/9/4 9:38:38；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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