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专项训练九 利用“将军饮马”解决线段最值问题
1.在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区,现要求在MN上选取一点P,向两个小区
铺设电缆.下面四种铺设方案中,使用电缆材料最少的是( )
A. B. C. D.
2.如图,在五边形 ABCDE 中,∠BAE=α(∠BAE 为钝角),∠B=∠E=90°,在 BC,DE 上分别找一点
M,N,当△AMN周长最小时,∠MAN的度数为 ( )
1
A. α B.α-90° C.2α-180° D.α-45°
2
3.如图,等边三角形ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A'BC'关于直线l对称,D
为线段BC'上一动点,则AD+CD的最小值是 ( )
A.4 B.3❑√2 C.2❑√3 D.2+❑√3
4.(2023·宜宾)如图,M是正方形ABCD边CD的中点,P是正方形内一点,连接BP,线段BP以点B为
中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为 .
5.如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值
AP
时, 的值是 .
PC1
6.(2023·达州)在△ABC中,AB=4❑√3,∠C=60°,在边BC上有一点P,且BP= AC,连接AP,则AP的最
2
小值为 .
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以点C为顶点的正方形CDEF(C,D,E,F四个顶点按
逆时针方向排列)可以绕点C自由转动,且 CD=❑√2,连接AF,BD.
(1)求证:△FCA≌△DCB.
❑√2
(2)在正方形CDEF旋转过程中,求 BD+ AD的最小值.
2
1.如图,网格纸上每个小正方形的边长为1,点A,点C均在格点上,点P为x轴上任意一点,则△PAC
周长的最小值为 .
2.(2023·自贡)如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起,M,N分别是斜边 DE,AB的中点,
DE=2,AB=4.
(1)将△CDE绕顶点C旋转一周,请直接写出点M,N距离的最大值和最小值.
(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2),求MN的长.图1 图2
3.(2023·宜宾)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C(3,0),顶点
k
A,B(6,m)恰好落在反比例函数y= 第一象限的图象上.
x
(1)分别求反比例函数的解析式和直线AB所对应的一次函数的解析式.
(2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP周长的值最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.【详解答案】
基础夯实
1.A
2.C 解析:如图,作点A关于BC对称的点A',作点A关于DE对称的点A'',则A''E=AE,A'B=AB,连接A'A'',分别交
线段BC和线段DE于点M和点N,连接AM,AN,这时候△AMN的周长取最小值.
∵∠B=∠E=90°,
∴A'M=AM,AN=A''N,
∴∠AA'M=∠A'AM,∠AA''N=∠A''AN,
∴∠AMN=2∠A'AM,∠ANM=2∠A''AN,
∵∠MAN+∠MAB+∠NAE=α,∠MAN+∠AMN+∠ANM=180°,
∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN=180°,
∴∠BAM+∠EAN=180°-α,
∴∠MAN=α-(180°-α)=2α-180°.
故选C.
3.A 解析:连接CC',如图所示.
∵△ABC、△A'BC'均为等边三角形,
∴∠ABC=∠A'=60°,A'B=BC=A'C',∴A'C'∥BC,
∴四边形A'BCC'为菱形,
∴点C关于BC'对称的点是A',
∴当点D与点B重合时,AD+CD取最小值,最小值为AA'的长.
∵AA'=AB+A'B=2+2=4,
∴AD+CD的最小值为4.故选A.
4.2❑√10-1 解析:如图,连接BM,将BM以点B为中心逆时针旋转90°,点M的对应点为点E.∵点P的运动轨迹
是以点M为圆心,1为半径的半圆,∴点Q的运动轨迹是以点E为圆心,1为半径的半圆.当M,Q,E三点共线时,
MQ 的值最小.∵四边形 ABCD 是正方形,∴CD=AB=BC=4,∠C=90°.∵M 是 CD 的中点,∴CM=2.∴BM==2 .由旋转,得 BM=BE,∠MBE=90°.∴ME= BM=2 .∴MQ=ME-EQ=2
❑√CM2+BC2=❑√22+42 ❑√5 ❑√2 ❑√10 ❑√10
-1.∴MQ的最小值为2❑√10-1.
2
5. 解析:如图,作点F关于AC的对称点F',连接EF'交AC于点P',过点F'作AD的垂线段,交AC于点K.由题
7
意,得此时点F'落在AD上,且根据对称的性质,当点P与点P'重合时,PE+PF取得最小值.设正方形ABCD的边
2
长 为 a, 则 AF'=AF= a.∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ,∴ ∠ F'AK=45°,∠ P'AE=45°,AC=❑√2
3
2❑√2
a.∵F'K⊥AF',∴∠F'AK=∠F'KA=45°.∴∠F'KP'=∠EAP'=45°.∴AK= a.∵∠F'P'K=∠EP'A,∴△F'KP'∽△E
3
F'K KP' 1 2 7 AP' 2
AP'.∴ = =2.∴AP'= AK= ❑√2a.∴CP'=AC-AP'= ❑√2a.∴ = .∴当 PE+PF 取得最小值时,
EA AP' 3 9 9 CP' 7
AP 2
的值是 .
PC 7
6.2❑√13-2 解析:如图,作△ABC的外接圆,圆心为点M,连接AM,BM,CM,过点M作MD⊥AB于点D,过点B作
BN⊥AB,交BP的垂直平分线于点N,连接AN,BN,PN,以点N为圆心,BN(PN)的长为半径作圆.∵∠ACB=60°,点M
180°-∠AMB
为△ABC的外接圆的圆心,∴∠AMB=2∠ACB=120°,AM=BM.∴∠MAB=∠MBA= =30°.∴MD=
2
1AM.∵MD⊥AB,∴AD=1AB=2 .在Rt△ADM中,∵AM2=MD2+AD2,∴AM2= 1AM 2+(2 )2.
❑√3 ❑√3
2 2 2
∴AM=4,即 AM=BM=CM=4.由作图可知 BN⊥AB,点 N 在 BP 的垂直平分线上,∴∠PBN=∠BPN=90°-
∠ ABC.∴ ∠ PNB=180°-(∠ PBN+∠ BPN)=2∠ ABC. 又 ∵ 点 M 为 △ ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 ,
CM AM CM AC 1
∴ ∠ AMC=2∠ ABC.∴ ∠ AMC=∠ PNB.∵ = ,∴ △ AMC∽ △ PNB.∴ = .∵ BP= AC,∴
PN BN BN PB 2CM AC 1
= =2, 即 BN= CM=2.∴ PN=BN=2. 在 Rt△ ABN 中 ,AN=❑√AB2+BN2=❑√(4❑√3)2+22=2❑√13. 由
BN PB 2
AP≥AN-PN=2❑√13-2,得AP的最小值为2❑√13-2.
7.解:(1)证明:∵四边形CDEF是正方形,
∴CF=CD,∠FCD=∠ACB=90°,
∴∠ACF=∠BCD,
∵AC=BC,∴△FCA≌△DCB(SAS).
(2)如图,取AC的中点M,连接DM,BM.
∵CD=❑√2,CA=2,CM=1,
∴CD2=CM·CA,
CD CM
∴ = ,
CA CD
∵∠DCM=∠ACD,
∴△DCM∽△ACD,
DM CD ❑√2
∴ = = ,
AD AC 2
❑√2
∴DM= AD,
2
❑√2
∴BD+ AD=BD+DM≥BM,
2
❑√2
∴BD+ AD的最小值为BM的长,
2
∵BM= ,
❑√CB2+CM2=❑√22+12=❑√5
❑√2
∴BD+ AD的最小值为❑√5.
2
能力提升
1.2❑√2+2❑√10 解析:如图,点P即为所求.∵A(2,4),C(4,2),C'(4,-2),
∴AC= =2 ,AC'= =2 ,
❑√22+22 ❑√2 ❑√22+62 ❑√10
∴△PAC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+AP+PC'=AC+AC'=2❑√2+2❑√10.
2.解:(1)点M,N距离的最大值为3,最小值为1.
(2)如图,连接MC,过点N作NP⊥MC,交MC的延长线于点P.
∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°,
∴∠BCE=120°.
∵∠BCN=∠ECM=45°,
∴∠MCN=(∠BCE+∠ECM)-
∠BCN=∠BCE=120°.
∴∠NCP=180°-∠MCN=60°.
∴∠CNP=90°-∠NCP=30°.
1
∴CP= CN=1.
2
在Rt△CNP中,NP= = .
❑√NC2-CP2 ❑√3
在Rt△MNP中,MP=MC+CP=1+1=2,
∴MN= .
❑√N P2+M P2=❑√3+4=❑√7
3.解:(1)如图1,过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BD⊥x轴于点D,则∠AEC=∠CDB=90°.
图1
∵点C(3,0),B(6,m),∴OC=3,OD=6,BD=m.
∴CD=OD-OC=3.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=90°,AC=BC.
∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°,∴∠ACE=∠CBD.
∴△ACE≌△CBD(AAS).
∴AE=CD=3,CE=BD=m.
∴OE=OC-EC=3-m.
∴点A的坐标是(3-m,3).
k
∵点A,B(6,m)恰好落在反比例函数y= 第一象限的图象上,
x
∴3(3-m)=6m.解得m=1.
∴点A的坐标是(2,3),点B的坐标是(6,1).∴k=6m=6.
6
∴反比例函数的解析式是y= .
x
设直线AB所对应的一次函数的解析式为y=px+q.
把点A(2,3),B(6,1)代入,
{ 1
得{2p+q=3,解得 p=- ,
2
6p+q=1.
q=4.
1
∴直线AB所对应的一次函数的解析式为y=- x+4.
2
图2
(2)存在.如图2,延长AE至点A',使得EA'=EA,连接A'B交x轴于点P,连接AP.
∴点A与点A'关于x轴对称.
∴AP=A'P,点A'(2,-3).
∵AP+PB=A'P+PB=A'B,
∴AP+PB的最小值是A'B的长度.
∵AB= =2 ,即AB是定值,
❑√(2-6)2+(3-1)2 ❑√5∴此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A'B最小.
设直线A'B的解析式是y=nx+t.
{2n+t=-3, {n=1,
将点A'(2,-3),B(6,1)代入,得 解得
6n+t=1. t=-5.
∴直线A'B的解析式是y=x-5.
当y=0时,0=x-5,解得x=5,即点P的坐标是(5,0),
此时AP+PB+AB=AB+A'B=2 + =2 +4 .
❑√5 ❑√(2-6)2+(-3-1)2 ❑√5 ❑√2
综上所述,在x轴上存在一点P(5,0),使△ABP周长的值最小,最小值是2❑√5+4❑√2.
