专题 8 二次函数
1.一般地，如果 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫作x的二次函数.其中， 是二次项，
是一次项， 是常数项.
2.二次函数的图象的性质：二次函数的图象是 ，对称轴是 .(1)若a>0，当 时，y随x
的增大而增大；当 时，y随x 的增大而减小；当 时，函数有最小值，为 .(2)若a<0,当
时,y随x的增大而减小；当 时，y随x 的增大而增大；当 时，函数有最大值，为 .
3.二次函数 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)中,a,b,c 的含义:a 的符号与 有关， 时抛物线开
b
口向上， 时抛物线开口向下；b的符号与对称轴有关，对称轴为 x=− ,先根据开口方向确定 a 的符
2a
号，再根据对称轴的 确定b的符号；c的符号与抛物线和 的交点有关，抛物线和 y 轴的交点坐
标为 ，当抛物线和 y 轴正半轴相交时， ，当抛物线和 y 轴负半轴 相交时, .
4.二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是其对应的 的图象与x轴的交点坐标的
；一元二次方程中的 可以判定二次函数的图象与x轴是否有交点，当 时，图象与x轴有
；当 时，图象与x轴有 ; 当 时, 图象 与x轴 .
5. 二次函数的平移法则: 、 .
6.二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式: ;(2)顶点式: ;(3)交点式： .若已知抛物线上任
意三点，通常选择 ，利用待定系数法列 来解；当已知抛物线的 或 时，常设其解析
式为顶点式来解；结合题设的具体情况，亦可选择顶点式的 为所求函数的解析式；当已知抛物线与x轴有
时，则选择设函数解析式为 来解.
7.用二次函数解决实际问题
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的 值.
(2)二次函数的应用包括以下几个方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的 关系；运用二次
函数的知识解决实际问题中的 值.
实战演练
1.抛物线. y=2(x+9)²−3的顶点坐标是 ( )
A.(9,-3) B.(-9,-3)
C.(9,3) D.(-9,3)
2.点A(m-1,y ),B(m,y )都在二次函数 y=(x−1)²+n的图象上.若y<y,，则m的取值范围为 ( )
1 2 1 23
A. m>2 B.m>
2
3
C. m<1 D. <m<2
2
3.已知抛物线 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,0<a<c)经过点(1,0),有下列结论：
①2a+b<0;
②当x>1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程 ax²+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根.
其中，正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4. 如图,二次函数 y=ax²+ bx+c的图象与x轴相交于A(--1,0),B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确
的是 ( )
A. a>0
B.当x>-1时，y的值随x值的增大而增大
C.点 B的坐标为(4,0)
D.4a+2b+c>0
5.抛物线的函数表达式为 y= 3(x−2)²+1,，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，
则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 ( )
A.y=3(x+1)²+3
B.y=3(x−5)²+3
C.y=3(x−5)²−1
D.y=3(x+1)²−1
6.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x -2 0 1 3
y 6 -4 -6 -4
下列各选项中，正确的是 ( )
A.这个函数的图象开口向下
B.这个函数的图象与x轴无交点
C.这个函数的最小值小于--6
D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大
7.二次函数 y=ax²−2ax+c(a>0)的图象过A(-3,y ),B(-1,y ),C(2,y ),D(4,y )四个点，下列说法一定正确的
1 2 3 4是 ( )
A.若 y₁y₂>0,则yy>0
1 2
B.若 y₁y₄>0,则 y₂y₃>0
C.若 y₂y₄<0,则 y₁y₃<0
D.若 y₃y₄<0,则 y₁y₂<0
8.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃.臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎
炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率” p与加
工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为： p=at²+bt+c(a≠0,a,b,c是常数)，如图记录了三次实验的数
据.根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A.3.50分钟 B.4.05分钟
C.3.75分钟 D.4.25分钟
9.设抛物线 y=x²+(a+1)x+a,其中a为实数.
(1) 若抛 物 线 经 过 点 ( -1, m),则m= ;
(2)将抛物线 y=x²+(a+1)x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 .
10.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以
看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 y(单位：
m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 y=a(x−ℎ)²+k(a<0).
某运动员进行了两次训练.
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度 y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 y= a(x−ℎ)²+k(a<0);
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x 近似满足函数关系y= −0.04(x−9)²+23.24.记该运
动员第一次训练的着陆点的水平距离为 d，第二次训练的着陆点的水平距离为 d，则d d(填“>”“=”或
1 2 1 2
“<”).
3
11.如图,在平面直角坐标系中，抛物线 y=− x2+bx+c与x轴交于点 A(4,0),与y轴交于点 B(0,3).
4(1)求抛物线的函数表达式；
6
(2)点P 为直线 AB 上方抛物线上一动点,过点 P 作PQ⊥x轴于点Q,交 AB 于点 M,求 PM+ AM的最大值
5
及此时点 P 的坐标；
12.在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时白球在黑球前面70 cm处.
小聪测量黑球减速后的运动速度 v(单位： cm/s)、运动距离 y(单位: cm)随运动时间t(单位：s)变化的数据，
整理得下表.
运动时间t/s 0 1 2 3 4
运动速度 v/ cm/s 10 9.5 9 8.5 8
运动距离 y/ cm 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度 v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t 之间成二次函
数关系.
(1)直接写出 v关于t的函数解析式和y关于t 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)当黑球减速后运动距离为 64 cm时，求它此时的运动速度；
(3)若白球一直以 2cm /s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球? 请说明理由.
13.已知二次函数 y=ax²+ bx+c 的图象经过(-2,1),(2,-3)两点.
(1)求b的值;
(2)当c>-1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 ；
(3)设(m，0)是该函数的图象与x轴的一个公共点.当--1<m<3时，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围.14.在平面直角坐标系中，抛物线 y=x²+2mx+2m²−m的顶点为 A.
(1)求顶点 A 的坐标(用含有字母m 的代数式表示)；
(2)若点B(2,y ),C(5, yc)在抛物线上，且y > yc,则m的取值范围是 ；(直接写出结果即可)
B B
(3)当1≤x≤3时,函数 y的最小值等于6,求 m 的值.
15.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件.
(1)如图,设第x(0<x≤20)个生产周期设备售价 z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示.求z关于x的
函数解析式(写出x的范围)；
(2)设第x个生产周期生产并销售的设备为y件,y与x 满足关系式 y=5x+40(0<x≤20).在(1)的条件下,工厂第几个
生产周期创造的利润最大? 最大为多少万元? (利润=收入-成本)
压轴预测
1.若点 A(-1,m),B(3,m)在同一个函数图象上，这个函数可能为 ( )
A.y=(x−1)²+9 B.y=(x+1)²+9
C.y=(x+3)²−9 D.y=(x−2)²−9
2.已知二次函数 y=−x²+2x+3,当自变量x的值满足a<x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，则a的
值可以为( )
1 1
A.− B. C. -1 D.1
2 2
3.已知二次函数 y=ax²+bx+c的图象与x轴交于(x₁,0),(x₂,0)两点,且满足 −1<x₁<0,1<x₂<2,则下列说法正
确的个数是 ( )
①a+b+c<0;
②b<0;
③abc>0;
④若ax2+bx =ax2+bx (x ≠x ),则 0<x₃+x₁<2.
3 3 4 4 3 4
A.1 B.2C.3 D.4
4.运动场上，小明投球时，发现篮球轨迹最高点距离地面3 米，小明距离最高点的水平距离为1米，篮球落
地处距离小明3米，那么你能计算出小明投篮的最高点距离地面为多少米吗?
5.如图已知二次函数 y=ax²图象与直线y=-x+2交于点 A(-2,m),点 B.
(1)求m,a的值;
(2)求点 B 坐标;
(3)连接OA,OB,求△AOB 的面积.
参考答案
1. ax² bx c
b
2.抛物线 x=−
2a
b b b 4ac−b2
(1)x>− x<− x=−
2a 2a 2a 4a
b b b 4ac−b2
(2)x>− x<− x=−
2a 2a 2a 4a
3.开口方向 a>0 a<0 位置 y轴(0,c) c>0 c<0
4.二次函数 横坐标 △=b²−4ac△>0 两个交点 △=0 一个交点△<0 没有交点
5.左加右减 上加下减
6.(1)y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
(2)y=a(x-h)²+k(a,h,k是常数,a≠0)
(3)y=a(x−x₁)⋅(x−x₂)(a,x₁,x₂是常数，a≠0) 一般式 三元一次方程组 顶点 对称轴 特殊形式 两个交
点 交点式
7.(1)最大(小) (2)二次函数最大(小)
1. B 【解析】本题考查抛物线的顶点坐标.抛物线 y= 2(x+9)²−3的顶点坐标是(-9,-3),故选 B.
2. B 【解析】本题考查二次函数的性质、解不等式.∵点A(m-1,y₁)和点 B(m,y₂)都在二次函数 y=(x-1)²+n的图象上, ∴y₁=(m−1−1)²+n=(m−2)²+n, y₂=(m−1)²+n.∵y₁<y₂,∴(m−2)²+n<(m−1)²+
3
n,即( (m−2)²−(m−1)²<0,,整理得-2m+3<0,∴m> ,故选 B.
2
3. C 【解析】本题考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式.对于①，∵抛物线经过点
((1,0),∴a+b+c=0.∵0<a<c,∴2a+b<0,故①正确;对于②,若点(1，0)在抛物线的对称轴的左边时，在点(1，0)到顶点这段
抛物线上，y随x的增大而减小，故②错误；对于③，∵a+b+c=0,∴b+c=-a,∴原方程可化为( ax²+bx−
a=0.∵△=b²+4a²>0,∴方程( ax²+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根，故③正确.综上所述，正确的结论是
①③,共有2个,故选 C.
4. D 【解析】本题考查二次函数的图象与性质.
选项 逐项分析 正误
A ∵抛物线开口向下，∴a<0
由图象可知，当x>-1时，在对称轴的右
B
边，y随x的增大而减小
C ∵点A(-1,0)和点 B关于直线x=1对称,∴点 B的坐标为(3,0) ×
D 由题可知,当x=2时,y=4a+2b+c>0 ✔
故选 D.
5. C 【解析】本题考查二次函数的图象与性质、函数图象的平移变换.由题意可知，将x轴向上平移2个单位
长度，即将函数图象向下平移2 个单位长度；同理，将y轴向左平移3个单位长度，即将函数图象向右平移3个
单位长度.∵抛物线的表达式为 y=3(x−2)²+1,∴平移后的函数表达式为. y=3(x−2−3)²+1−2,即为 y=3(x-
5)²−1,故选C.
6. C 【解析】本题考查二次函数的图象和性质.∵当x=0和x=3时，函数值y相等，∴二次函数的图象关于直
3 3 3
线 x= 对称，∴对称轴为 x= ,∴当 x= 时，函数 y最小值小于-6，且抛物线开口向上，A选项错误，C选项
2 2 2
正确;函数 y经过(-2,6),(0,-4),∴其图象与x轴有交点，B选项错误；当x>1时，y的值随x的增大先减小后增大，D
选项错误，故选 C.
7. C 【解析】本题考查二次函数的图象和性质.∵y= ax²−2ax+c=a(x−1)²−a²+c,:抛物线的对称轴
为.x=1，∴四点中距离对称轴远近关系为A>D>B>C，∵a>0,∴抛物线开口向上,∴y₁>y₁>y₂>y₃,当y₁> y₄>y₂>0>y₃
时,y₁y₂>0,y₃y₄<0,且y₁y₄>0,y₂y₃<0,故选项 A,B,D错误;当y₁>y₄>0>y₂>y₃时,y₂y₄<0,y₁y₃<0,故选项C正确,故选C.
8. C 【解析】本题考查二次函数的应用.将图象中的三个点(3,0.8),(4,0.9),(5,0.6)代入函数关系. p=at²+ bt+c
{9a+3b+c=0.8, {a=−0.2,
中得 16a+4b+c=0.9,解得 b=1.5, 所以函数关系式为 p=−0.2t²+1.5t−1.9..由题意可知，加工煎炸臭
25a+5b+c=0.6, c=−1.9,
b 1.5
豆腐的最佳时间应为抛物线顶点的横坐标 t= − =− =3.75, 则当t=3.75分钟时，为最佳时间，故选
2a 2×(−0.2)
C.
9.(1)0；(2)2 【解析】本题考查二次函数的性质、函数图象的平移.(1)将(-1,m)代入 y=x²+(a+1)x+a,得4a−(a+1) 2 −a2+2a−1
m=1--(a+1)+a=0;(2)原抛物线顶点的纵坐标为 = ,向上平移2个单位长度后的 纵 坐 标
4 4
−a2+2a−1 −a2+2a+7 −(a−1) 2+8
为 +2= = ,∴当a=1时，所得抛物线顶点的纵坐标存在最大值，最大值为
4 4 4
2.
10.(1)23.20, y=−0.05(x−8)²+23.20(2)<
(1)由表格中的数据确定抛物线的顶点坐标，从而可得h，k的值，k的值即为运动员竖直高度的最大值，再将
(0，20.00)代入函数关系式即可求出a的值，据此可得函数关系式；(2)设着陆点的纵坐标为 t，分别代入第一次和
第二次的函数关系式，求出着陆点的水平距离，比较大小即可作出判断.
解:(1)由题知,抛物线的顶点坐标为(8,23.20),所以h=8,k=23.20,
即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m.
根据表格中的数据可知,当x=0时,y=20.00,代入 y=a(x−8)²+23.20,,得20.00=64a+23.20,解得a=-0.05,
所以函数关系式为 y=−0.05(x−8)²+23.20.
(2)<.
由题意，设着陆点的纵坐标为t(t<20.00)，
则第一次训练时， t=−0.05(x−8)²+23.20,
解得 x=8±√20(23.20−t),
由图知，第一次训练着陆点的水平距离
d =8+√20(23.20−t),
1
第二次训练时,t=-0.04(x-9)²+23.24,
解得 x=9±√25(23.24−t),
由图知，第二次训练着陆点的水平距离
d =9+√25(23.24−t).
2
因为20(23.20-t)<25(23.24-t),
所以d₁<d₂.
11.(1)y=− 3 x2+ 9 x+3(2) 27 , ( 1, 9)
4 4 4 2
(1)将点 A，B的坐标分别代入抛物线解析式，解出b，c的值即可求解；(2)根据待定系数法求出直线 AB 的
解析式，设出 P点的坐标(t为待定系数)，进而得出点 M的坐标，用含t的式子表示出 PM，MQ的长，利用勾股
6
定理及锐角三角函数的定义用含 t的式子表示出AM的长，进而表示出 PM+ AM,利用二次函数的性质可得答
5
案.
3
解:(1)∵抛物线 y=− x2+bx+c经过点A(4,0),B(0,3),
4{ 9
{−12+4b+c=0, b= ,
∴ 解得 4
c=3.
c=3.
3 9
∴抛物线的函数表达式为
y=− x2+ x+3.
4 4
(2)∵直线 AB经过点 A(4,0),B(0,3),
3
∴直线 AB的函数表达式为 y=− x+3.
4
设 P ( t,− 3 t2+ 9 t+3 ) ,
4 4
( 3 )
则 M t,− t+3 ,其中0<t<4,
4
∴PM=− 3 t2+ 9 t+3− (3 t+3 ) =− 3 t2+3t, MQ=− 3 t+3.
4 4 4 4 4
∵AO=4,BO=3,∴AB= √3²+4²=5.
MQ OB 3
∵sin∠MAQ= = = ,
AM AB 5
5 5
∴AM= MQ=− t+5.
3 4
∴PM+ 6 AM=− 3 t2+3t+ 6( − 5 ι+5 ) = − 3 t2+ 3 t+6=− 3 (t−1) 2+ 27 .
5 4 5 4 4 2 4 4
3
∵0<t<4,− <0,
4
6 27 9
∴t=1时, PM+ AM1取得最大值，最大值为 此时，点 P的坐标为(1， ).
5 4 2
1 1
12.(1)v=− t+10,y=− t2+10t
2 4
(2)6 cm/s (3)不会,理由略
(1)根据表中数据由待定系数法即可求得两函数解析式；(2)把y=64代入函数解析式求得时间t，再由 t的值即
可求解；(3)根据题意建立两球距离与时间的函数关系式，再根据函数的性质即可求解.
1 1
解：
(1)v=− t+10,y=− t2+10t.
2 4
1
(2)依题意，得 64.− t2+10t=64.
4
∴t²−40t+256=0.
解得. t₁=8,t₂=32.
当t₁=8时,v=6;
当t₂=32时,v=-6(舍).
答:黑球减速后运动64 cm时的速度为 6 cm/s.(3)设黑白两球的距离为 wcm.
1 1
w=70+2t−y= t2−8t+70= (t−16) 2+6.
4 4
1
∵ >0,∴当t=16时,w的值最小为6,
4
∴黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球.
1
另解1:当ω=0时,
t2−8t+70=0,判定方程无解.
4
另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球.先
确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于 70 cm.
4
13.(1)b=-1 (2)1 (3)a<0或 a>
5
(1)将已知点的坐标代入二次函数，列出三元一次方程组，两式相减，可直接求出b的值；(2)根据(1)中结论得
到a与c 的等量关系，代入顶点坐标公式，构造关于顶点纵坐标的不等式，即可求解；(3)根据题意得x=-1和x=3
时函数值一正一负，即可求解.
解:(1)把点(-2,1),(2,-3)代入 y=ax²+bx+c,
{1=4a−2b+c,
得
−3=4a+2b+c,
两式相减,得4=-4b,
解得b=-1.
(2)1.
把b=-1代入4a-2b+c=1,
得4a+2+c=1,
−1−c
∴a= ,
4
4ac−b2 1 1
∴顶点纵坐标为 =c+ =c+1+ −1.
4a c+1 c+1
∵c>-1,∴c+1>0.
下证对于任意的正数a，b，都有 a+b≥2√ab.
∵(√a−√b)
2=a+b−2√ab≥0,
∴a+b≥2√ab,，当a=b时取等号，
1
即 c+1+ −1≥1,
c+1
∴顶点纵坐标的最小值为1.
4
(3)a<0或 a> .
5
由4a-2+c=-3得c=-4a-1.当x=-1和x=3时函数值一正一负，
∴(a+1-4a-1)(9a-3-4a-1)<0,
∴-3a(5a-4)<0,
∴a(5a-4)>0,
4
∴a> 或a<0.
5
14.(1)(-m,m²-m) (2)m<-3.5
√41−1
(3)m=-2或 m=
4
(1)根据配方法或顶点公式法即可求得顶点坐标；
(2)根据开口方向、函数的增减性确定对称轴位置，从而求出m的取值范围;(3)分-m≤1,1<-m≤3,-m>3三种情况
讨论x取何值时，y有最小值6，代入 函数y中，解方程即可求值.
解:(1)解法一:
y=x²+2mx+2m²−m=(x+m)²−m²+2m²−m= (x+m)²+m²−m.
∴顶点 A(−m,m²−m).
2m
解法二：
∵x=− =−m,
2×1
4×1×(2m2−m)−(2m) 2
y= =m2−m.
4×1
∴顶点 A 的坐标为( (−m,m²−m).
(2)m<-3.5.
(3)分三种情况讨论：
①-m≤1,即 m≥-1.
当x=1时,y=6.
1+2m+2m²−m=6.
√41−1 √41+1
解方程，得 m = ,m =− (不符合题意，舍去).
1 4 2 4
√41−1
∴m= .
4
②1<-m≤3即-3≤m<-1.
当x=-m时,y=6.
∴m²−m=6.
解方程，得 m₁=−2,m₂=3(不符合题意，舍去).∴m=-2.
③-m>3即m<-3.当x=3时,y=6.
∴9+6m+2m²−m=6.
3
解方程，得 m =−1,m =− (均不符合题意，舍去).
1 2 2
√41−1
综上所述：m=-2或 m= .
4
{
16,(0<x≤12)
15.(1)z= 1
− x+19.(12<x≤20)
4
(2)工厂在第 14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元.
(1)分0<x≤12,12<x≤20两种情况求z关于x的函数解析式；(2)根据自变量取值范围确定利润W 的函数关系式，
结合一次函数与二次函数的图象与性质即可求得最大利润.
解:(1)由图可知,当0<x≤12时,z=16.
{12k+b=16, 1
当12<x≤20时,z是关于x的一次函数,设z= kx+b,则 得 k=− ,b=19,
20k+b=14, 4
1
即
z=− x+19,
4
∴z关于x的函数解析式为
(2)设第x个生产周期工厂创造的利润为W 万元.
①0<x≤12时,
W=(16-10)×(5x+40)=30x+240,
当x=12时,
W最大值=30×12+240=600(万元).
②12<x≤20时,
(1 )
W = x+19−10 ×(5x+40)
45
=− x2+35x+360
4
5
=− (x−14) 2+605,
4
当x=14时, W 大仙=605(万元).
最
综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605 万元.
压轴预测
1. A 【解析】本题 考查二 次 函 数 的 图象 与性质.∵点A(-1,m)和点 B(3,m)在同一抛物线上,∴点 A和点
B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线x=1，∴这个函数的解析式可能是. y=(x−1)²+9,故选 A.
2. B 【解析】本题考查二次函数的性质. ∵y=−x²+2x+ 3=−(x−1)²+4,:∴对称轴为x=1,当x=1时,y取得
最大值为4.当x=2时,y=3,恰好满足4-3=1,∴当a<x≤2时，函数最大值在x=1处取得，最小值在x=2处取得.根据二次
函数的对称性，可得2--1≥1-a，∴a≥0.∵a一定在对称轴左边,即 a<1,∴0≤a<1.综上,故选 B.
3. A 【解析】本题考查二次函数的图象与性质.对于①，当a<0时，二次函数 y=ax²+bx+c的图象开口向
b
下，由 −1<x₁<0,1<x₂<2,,当x=1时,y=a+b+c>0,故①错误；对于②，抛物线的对称轴为 x=− ,则 0<
2a
b
− <1,所以 ab<0，无法判断a的正、负情况，所以b<0不一定成立,故②错误;对于③,当c>0时, abc<0,故③错误；
2a
b ( b )
对于④，由二次函数的图象的对称性得x₃，x₄关于直线 x=− 对称，所以 x +x =2× − ,所以0<
2a 3 4 2a
x₃+x₄<2,，故④正确.综上，正确说法的个数是1，故选 A.
4.2.25
解：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系(其中小明的身高用 AB来表示).
设抛物线的解析式为 y=a(x−ℎ)²+k.
由题意可知BC=3,OB=1,
∴点C的坐标为(2,0).
∵抛物线的顶点坐标为(0,3),且过点 C(2,0),
3
将(2,0)代入 y=a(x−0)²+3中得 a=− ,
4
3
∴抛物线的解析式为
y=− x2+3,
4
3
将x=-1代入 y=− x2+3中得y=2.25,
4∴小明投篮的最高点距离地面为2.25米.
5.(1)4 1 (2)(1,1) (3)3
(1)将点 A(-2,m)代入直线解析式,求出 m 的值,得点 A 的坐标，再代入二次函数解析式，即可求出a的值；
(2)将直线解析式与二次函数解析式联立，即可求出点 B的坐标；(3)先求出直线y=-x+2与x轴的交点坐标，
再利用三角形面积之间的关系求出△AOB 的面积.
解:(1)将点 A(-2,m)代入 y=-x+2得m=-(-2)+2=4,∴点A的坐标是(-2,4),代入 y=ax²中得4=4a,∴a=1.
{y=−x+2,
(2)由(1) 得二次函数的解析式为 y=x²,联立 解得∴点 B的坐标是(1,1).
y=x2,
(3)在直线y=-x+2中,令y=0,则x=2,∴直线 y=-x+2与x轴的交点C 的坐标为(2,0),
1 1
∴S =S −S = ×4×2− ×1×2=3,即△AOB的面积为3.
AOB AOC BOC 2 2
