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专题 8 二次函数
1.一般地，如果 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫作x的二次函数.其中， 是二次项，
是一次项， 是常数项.
2.二次函数的图象的性质：二次函数的图象是 ，对称轴是 .(1)若a>0，当 时，y随x
的增大而增大；当 时，y随x 的增大而减小；当 时，函数有最小值，为 .(2)若a<0,当
时,y随x的增大而减小；当 时，y随x 的增大而增大；当 时，函数有最大值，为 .
3.二次函数 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)中,a,b,c 的含义:a 的符号与 有关， 时抛物线开
b
口向上， 时抛物线开口向下；b的符号与对称轴有关，对称轴为 x=− ,先根据开口方向确定 a 的符
2a
号，再根据对称轴的 确定b的符号；c的符号与抛物线和 的交点有关，抛物线和 y 轴的交点坐
标为 ，当抛物线和 y 轴正半轴相交时， ，当抛物线和 y 轴负半轴 相交时, .
4.二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是其对应的 的图象与x轴的交点坐标的
；一元二次方程中的 可以判定二次函数的图象与x轴是否有交点，当 时，图象与x轴有
；当 时，图象与x轴有 ; 当 时, 图象 与x轴 .
5. 二次函数的平移法则: 、 .
6.二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式: ;(2)顶点式: ;(3)交点式： .若已知抛物线上任
意三点，通常选择 ，利用待定系数法列 来解；当已知抛物线的 或 时，常设其解析
式为顶点式来解；结合题设的具体情况，亦可选择顶点式的 为所求函数的解析式；当已知抛物线与x轴有
时，则选择设函数解析式为 来解.
7.用二次函数解决实际问题
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的 值.
(2)二次函数的应用包括以下几个方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的 关系；运用二次
函数的知识解决实际问题中的 值.
实战演练
1.抛物线. y=2(x+9)²−3的顶点坐标是 ( )
A.(9,-3) B.(-9,-3)
C.(9,3) D.(-9,3)
2.点A(m-1,y ),B(m,y )都在二次函数 y=(x−1)²+n的图象上.若y2 B.m>
2
3
C. m<1 D. 1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程 ax²+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根.
其中，正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4. 如图,二次函数 y=ax²+ bx+c的图象与x轴相交于A(--1,0),B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确
的是 ( )
A. a>0
B.当x>-1时，y的值随x值的增大而增大
C.点 B的坐标为(4,0)
D.4a+2b+c>0
5.抛物线的函数表达式为 y= 3(x−2)²+1,，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，
则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 ( )
A.y=3(x+1)²+3
B.y=3(x−5)²+3
C.y=3(x−5)²−1
D.y=3(x+1)²−1
6.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x -2 0 1 3
y 6 -4 -6 -4
下列各选项中，正确的是 ( )
A.这个函数的图象开口向下
B.这个函数的图象与x轴无交点
C.这个函数的最小值小于--6
D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大
7.二次函数 y=ax²−2ax+c(a>0)的图象过A(-3,y ),B(-1,y ),C(2,y ),D(4,y )四个点，下列说法一定正确的
1 2 3 4是 ( )
A.若 y₁y₂>0,则yy>0
1 2
B.若 y₁y₄>0,则 y₂y₃>0
C.若 y₂y₄<0,则 y₁y₃<0
D.若 y₃y₄<0,则 y₁y₂<0
8.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃.臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎
炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率” p与加
工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为： p=at²+bt+c(a≠0,a,b,c是常数)，如图记录了三次实验的数
据.根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A.3.50分钟 B.4.05分钟
C.3.75分钟 D.4.25分钟
9.设抛物线 y=x²+(a+1)x+a,其中a为实数.
(1) 若抛 物 线 经 过 点 ( -1, m),则m= ;
(2)将抛物线 y=x²+(a+1)x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 .
10.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以
看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 y(单位：
m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 y=a(x−ℎ)²+k(a<0).
某运动员进行了两次训练.
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度 y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 y= a(x−ℎ)²+k(a<0);
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x 近似满足函数关系y= −0.04(x−9)²+23.24.记该运
动员第一次训练的着陆点的水平距离为 d，第二次训练的着陆点的水平距离为 d，则d d(填“>”“=”或
1 2 1 2
“<”).
3
11.如图,在平面直角坐标系中，抛物线 y=− x2+bx+c与x轴交于点 A(4,0),与y轴交于点 B(0,3).
4(1)求抛物线的函数表达式；
6
(2)点P 为直线 AB 上方抛物线上一动点,过点 P 作PQ⊥x轴于点Q,交 AB 于点 M,求 PM+ AM的最大值
5
及此时点 P 的坐标；
12.在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时白球在黑球前面70 cm处.
小聪测量黑球减速后的运动速度 v(单位： cm/s)、运动距离 y(单位: cm)随运动时间t(单位：s)变化的数据，
整理得下表.
运动时间t/s 0 1 2 3 4
运动速度 v/ cm/s 10 9.5 9 8.5 8
运动距离 y/ cm 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度 v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t 之间成二次函
数关系.
(1)直接写出 v关于t的函数解析式和y关于t 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)当黑球减速后运动距离为 64 cm时，求它此时的运动速度；
(3)若白球一直以 2cm /s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球? 请说明理由.
13.已知二次函数 y=ax²+ bx+c 的图象经过(-2,1),(2,-3)两点.
(1)求b的值;
(2)当c>-1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 ；
(3)设(m，0)是该函数的图象与x轴的一个公共点.当--1 yc,则m的取值范围是 ；(直接写出结果即可)
B B
(3)当1≤x≤3时,函数 y的最小值等于6,求 m 的值.
15.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件.
(1)如图,设第x(00;
④若ax2+bx =ax2+bx (x ≠x ),则 0− x<− x=−
2a 2a 2a 4a
b b b 4ac−b2
(2)x>− x<− x=−
2a 2a 2a 4a
3.开口方向 a>0 a<0 位置 y轴(0,c) c>0 c<0
4.二次函数 横坐标 △=b²−4ac△>0 两个交点 △=0 一个交点△<0 没有交点
5.左加右减 上加下减
6.(1)y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
(2)y=a(x-h)²+k(a,h,k是常数,a≠0)
(3)y=a(x−x₁)⋅(x−x₂)(a,x₁,x₂是常数，a≠0) 一般式 三元一次方程组 顶点 对称轴 特殊形式 两个交
点 交点式
7.(1)最大(小) (2)二次函数最大(小)
1. B 【解析】本题考查抛物线的顶点坐标.抛物线 y= 2(x+9)²−3的顶点坐标是(-9,-3),故选 B.
2. B 【解析】本题考查二次函数的性质、解不等式.∵点A(m-1,y₁)和点 B(m,y₂)都在二次函数 y=(x-1)²+n的图象上, ∴y₁=(m−1−1)²+n=(m−2)²+n, y₂=(m−1)²+n.∵y₁ ,故选 B.
2
3. C 【解析】本题考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式.对于①，∵抛物线经过点
((1,0),∴a+b+c=0.∵00,∴方程( ax²+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根，故③正确.综上所述，正确的结论是
①③,共有2个,故选 C.
4. D 【解析】本题考查二次函数的图象与性质.
选项 逐项分析 正误
A ∵抛物线开口向下，∴a<0
由图象可知，当x>-1时，在对称轴的右
B
边，y随x的增大而减小
C ∵点A(-1,0)和点 B关于直线x=1对称,∴点 B的坐标为(3,0) ×
D 由题可知,当x=2时,y=4a+2b+c>0 ✔
故选 D.
5. C 【解析】本题考查二次函数的图象与性质、函数图象的平移变换.由题意可知，将x轴向上平移2个单位
长度，即将函数图象向下平移2 个单位长度；同理，将y轴向左平移3个单位长度，即将函数图象向右平移3个
单位长度.∵抛物线的表达式为 y=3(x−2)²+1,∴平移后的函数表达式为. y=3(x−2−3)²+1−2,即为 y=3(x-
5)²−1,故选C.
6. C 【解析】本题考查二次函数的图象和性质.∵当x=0和x=3时，函数值y相等，∴二次函数的图象关于直
3 3 3
线 x= 对称，∴对称轴为 x= ,∴当 x= 时，函数 y最小值小于-6，且抛物线开口向上，A选项错误，C选项
2 2 2
正确;函数 y经过(-2,6),(0,-4),∴其图象与x轴有交点，B选项错误；当x>1时，y的值随x的增大先减小后增大，D
选项错误，故选 C.
7. C 【解析】本题考查二次函数的图象和性质.∵y= ax²−2ax+c=a(x−1)²−a²+c,:抛物线的对称轴
为.x=1，∴四点中距离对称轴远近关系为A>D>B>C，∵a>0,∴抛物线开口向上,∴y₁>y₁>y₂>y₃,当y₁> y₄>y₂>0>y₃
时,y₁y₂>0,y₃y₄<0,且y₁y₄>0,y₂y₃<0,故选项 A,B,D错误;当y₁>y₄>0>y₂>y₃时,y₂y₄<0,y₁y₃<0,故选项C正确,故选C.
8. C 【解析】本题考查二次函数的应用.将图象中的三个点(3,0.8),(4,0.9),(5,0.6)代入函数关系. p=at²+ bt+c
{9a+3b+c=0.8, {a=−0.2,
中得 16a+4b+c=0.9,解得 b=1.5, 所以函数关系式为 p=−0.2t²+1.5t−1.9..由题意可知，加工煎炸臭
25a+5b+c=0.6, c=−1.9,
b 1.5
豆腐的最佳时间应为抛物线顶点的横坐标 t= − =− =3.75, 则当t=3.75分钟时，为最佳时间，故选
2a 2×(−0.2)
C.
9.(1)0；(2)2 【解析】本题考查二次函数的性质、函数图象的平移.(1)将(-1,m)代入 y=x²+(a+1)x+a,得4a−(a+1) 2 −a2+2a−1
m=1--(a+1)+a=0;(2)原抛物线顶点的纵坐标为 = ,向上平移2个单位长度后的 纵 坐 标
4 4
−a2+2a−1 −a2+2a+7 −(a−1) 2+8
为 +2= = ,∴当a=1时，所得抛物线顶点的纵坐标存在最大值，最大值为
4 4 4
2.
10.(1)23.20, y=−0.05(x−8)²+23.20(2)<
(1)由表格中的数据确定抛物线的顶点坐标，从而可得h，k的值，k的值即为运动员竖直高度的最大值，再将
(0，20.00)代入函数关系式即可求出a的值，据此可得函数关系式；(2)设着陆点的纵坐标为 t，分别代入第一次和
第二次的函数关系式，求出着陆点的水平距离，比较大小即可作出判断.
解:(1)由题知,抛物线的顶点坐标为(8,23.20),所以h=8,k=23.20,
即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m.
根据表格中的数据可知,当x=0时,y=20.00,代入 y=a(x−8)²+23.20,,得20.00=64a+23.20,解得a=-0.05,
所以函数关系式为 y=−0.05(x−8)²+23.20.
(2)<.
由题意，设着陆点的纵坐标为t(t<20.00)，
则第一次训练时， t=−0.05(x−8)²+23.20,
解得 x=8±√20(23.20−t),
由图知，第一次训练着陆点的水平距离
d =8+√20(23.20−t),
1
第二次训练时,t=-0.04(x-9)²+23.24,
解得 x=9±√25(23.24−t),
由图知，第二次训练着陆点的水平距离
d =9+√25(23.24−t).
2
因为20(23.20-t)<25(23.24-t),
所以d₁0,∴当t=16时,w的值最小为6,
4
∴黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球.
1
另解1:当ω=0时,
t2−8t+70=0,判定方程无解.
4
另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球.先
确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于 70 cm.
4
13.(1)b=-1 (2)1 (3)a<0或 a>
5
(1)将已知点的坐标代入二次函数，列出三元一次方程组，两式相减，可直接求出b的值；(2)根据(1)中结论得
到a与c 的等量关系，代入顶点坐标公式，构造关于顶点纵坐标的不等式，即可求解；(3)根据题意得x=-1和x=3
时函数值一正一负，即可求解.
解:(1)把点(-2,1),(2,-3)代入 y=ax²+bx+c,
{1=4a−2b+c,
得
−3=4a+2b+c,
两式相减,得4=-4b,
解得b=-1.
(2)1.
把b=-1代入4a-2b+c=1,
得4a+2+c=1,
−1−c
∴a= ,
4
4ac−b2 1 1
∴顶点纵坐标为 =c+ =c+1+ −1.
4a c+1 c+1
∵c>-1,∴c+1>0.
下证对于任意的正数a，b，都有 a+b≥2√ab.
∵(√a−√b)
2=a+b−2√ab≥0,
∴a+b≥2√ab,，当a=b时取等号，
1
即 c+1+ −1≥1,
c+1
∴顶点纵坐标的最小值为1.
4
(3)a<0或 a> .
5
由4a-2+c=-3得c=-4a-1.当x=-1和x=3时函数值一正一负，
∴(a+1-4a-1)(9a-3-4a-1)<0,
∴-3a(5a-4)<0,
∴a(5a-4)>0,
4
∴a> 或a<0.
5
14.(1)(-m,m²-m) (2)m<-3.5
√41−1
(3)m=-2或 m=
4
(1)根据配方法或顶点公式法即可求得顶点坐标；
(2)根据开口方向、函数的增减性确定对称轴位置，从而求出m的取值范围;(3)分-m≤1,1<-m≤3,-m>3三种情况
讨论x取何值时，y有最小值6，代入 函数y中，解方程即可求值.
解:(1)解法一:
y=x²+2mx+2m²−m=(x+m)²−m²+2m²−m= (x+m)²+m²−m.
∴顶点 A(−m,m²−m).
2m
解法二：
∵x=− =−m,
2×1
4×1×(2m2−m)−(2m) 2
y= =m2−m.
4×1
∴顶点 A 的坐标为( (−m,m²−m).
(2)m<-3.5.
(3)分三种情况讨论：
①-m≤1,即 m≥-1.
当x=1时,y=6.
1+2m+2m²−m=6.
√41−1 √41+1
解方程，得 m = ,m =− (不符合题意，舍去).
1 4 2 4
√41−1
∴m= .
4
②1<-m≤3即-3≤m<-1.
当x=-m时,y=6.
∴m²−m=6.
解方程，得 m₁=−2,m₂=3(不符合题意，舍去).∴m=-2.
③-m>3即m<-3.当x=3时,y=6.
∴9+6m+2m²−m=6.
3
解方程，得 m =−1,m =− (均不符合题意，舍去).
1 2 2
√41−1
综上所述：m=-2或 m= .
4
{
16,(00,故①错误；对于②，抛物线的对称轴为 x=− ,则 0<
2a
b
− <1,所以 ab<0，无法判断a的正、负情况，所以b<0不一定成立,故②错误;对于③,当c>0时, abc<0,故③错误；
2a
b ( b )
对于④，由二次函数的图象的对称性得x₃，x₄关于直线 x=− 对称，所以 x +x =2× − ,所以0<
2a 3 4 2a
x₃+x₄<2,，故④正确.综上，正确说法的个数是1，故选 A.
4.2.25
解：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系(其中小明的身高用 AB来表示).
设抛物线的解析式为 y=a(x−ℎ)²+k.
由题意可知BC=3,OB=1,
∴点C的坐标为(2,0).
∵抛物线的顶点坐标为(0,3),且过点 C(2,0),
3
将(2,0)代入 y=a(x−0)²+3中得 a=− ,
4
3
∴抛物线的解析式为
y=− x2+3,
4
3
将x=-1代入 y=− x2+3中得y=2.25,
4∴小明投篮的最高点距离地面为2.25米.
5.(1)4 1 (2)(1,1) (3)3
(1)将点 A(-2,m)代入直线解析式,求出 m 的值,得点 A 的坐标，再代入二次函数解析式，即可求出a的值；
(2)将直线解析式与二次函数解析式联立，即可求出点 B的坐标；(3)先求出直线y=-x+2与x轴的交点坐标，
再利用三角形面积之间的关系求出△AOB 的面积.
解:(1)将点 A(-2,m)代入 y=-x+2得m=-(-2)+2=4,∴点A的坐标是(-2,4),代入 y=ax²中得4=4a,∴a=1.
{y=−x+2,
(2)由(1) 得二次函数的解析式为 y=x²,联立 解得∴点 B的坐标是(1,1).
y=x2,
(3)在直线y=-x+2中,令y=0,则x=2,∴直线 y=-x+2与x轴的交点C 的坐标为(2,0),
1 1
∴S =S −S = ×4×2− ×1×2=3,即△AOB的面积为3.
AOB AOC BOC 2 2
