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2013 年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题：
1．（3分）（2013•广州）比0大的数是（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．1
2．（3分）（2013•广州）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2013•广州）在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（
）
A．向下移动1格 B．向上移动1格 C．向上移动2格 D．向下移动2格
4．（3分）（2013•广州）计算：（m3n）2的结果是（ ）
A．m6n B．m6n2 C．m5n2 D．m3n2
5．（3分）（2013•广州）为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A：报纸，B：电视，C：网络，D：身边的人，E：其他”
五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷，先随机抽取50名中学生进行该问卷调查，根据调查的结果绘制条
形图如图所示，该调查的方式是（ ），图中的a的值是（ ）A．全面调查，26 B．全面调查，24 C．抽样调查，26 D．抽样调查，24
6．（3分）（2013•广州）已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2013•广州）实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣2.5|=（ ）
A．a﹣2.5 B．2.5﹣a C．a+2.5 D．﹣a﹣2.5
8．（3分）（2013•广州）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
9．（3分）（2013•广州）若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
10．（3分）（2013•广州）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，
AD=6，则tanB=（ ）
A．2 B．2 C． D．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）（2013•广州）点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= ________ _ ．
12．（3分）（2013•广州）广州某慈善机构全年共募集善款5250000元，将5250000用科学记数法表示为 ________ _
．
13．（3分）（2003•广州）分解因式：x2+xy= ________ _ ．
14．（3分）（2013•广州）一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ________ _ ．
15．（3分）（2013•广州）如图，Rt△ABC的斜边AB=16，Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′
的斜边A′B′上的中线C′D的长度为 ________ _ ．16．（3分）（2013•广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，
点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为 ，则点P的坐标为 ________ _ ．
三．解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（9分）（2013•广州）解方程：x2﹣10x+9=0．
18．（9分）（2013•广州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．
19．（10分）（2013•广州）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（10分）（2013•广州）已知四边形ABCD是平行四边形（如图），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD．
（1）利用尺规作出△A′BD．（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设DA′与BC交于点E，求证：△BA′E≌△DCE．
21．（12分）（2013•广州）在某项针对18～35岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”
为m，规定：当m≥10时为A级，当5≤m＜10时为B级，当0≤m＜5时为C级．现随机抽取30个符合年龄条件的青年
人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下表：
11 10 6 15 9 16 13 12 0 8
2 8 10 17 6 13 7 5 7 3
12 10 7 11 3 6 8 14 15 12
（1）求样本数据中为A级的频率；
（2）试估计1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数；
（3）从样本数据为C级的人中随机抽取2人，用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率．
22．（12分）（2013•广州）如图，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已
知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．
（1）求船P到海岸线MN的距离（精确到0.1海里）；
（2）若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先
到达船P处．23．（12分）（2013•广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴
上，点B的坐标为（2，2），反比例函数 （x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D．
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于
点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．
24．（14分）（2013•广州）已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点
B重合），连接CD，且CD=OA．
（1）当OC= 时（如图），求证：CD是⊙O的切线；
（2）当OC＞ 时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．
①当D为CE中点时，求△ACE的周长；
②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．
25．（14分）（2013•广州）已知抛物线y =ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．
1
（1）使用a、c表示b；
（2）判断点B所在象限，并说明理由；
（3）若直线y =2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C（ ），求当x≥1时y 的取值范围．
2 12013 年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．（3分）（2013•广州）比0大的数是（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．1
考点： 有理数大小比较．
3338333
分析： 比0的大的数一定是正数，结合选项即可得出答案．
解答： 解：4个选项中只有D选项大于0．
故选D．
点评： 本题考查了有理数的大小比较，注意掌握大于0的数一定是正数．
2．（3分）（2013•广州）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
3338333
分析： 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：
解：从几何体的正面看可得图形 ．
故选：A．
点评： 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3分）（2013•广州）在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（
）
A．向下移动1格 B．向上移动1格 C．向上移动2格 D．向下移动2格考点： 生活中的平移现象．
3338333
分析： 根据题意，结合图形，由平移的概念求解．
解答： 解：观察图形可知：从图1到图2，可以将图形N向下移动2格．
故选D．
点评： 本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移前后图形的位
置．
4．（3分）（2013•广州）计算：（m3n）2的结果是（ ）
A．m6n B．m6n2 C．m5n2 D．m3n2
考点： 幂的乘方与积的乘方．
3338333
分析： 根据幂的乘方的性质和积的乘方的性质进行计算即可．
解答： 解：（m3n）2=m6n2．
故选：B．
点评： 此题考查了幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键，是一道基础题．
5．（3分）（2013•广州）为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A：报纸，B：电视，C：网络，D：身边的人，E：其他”
五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷，先随机抽取50名中学生进行该问卷调查，根据调查的结果绘制条
形图如图所示，该调查的方式是（ ），图中的a的值是（ ）
A．全面调查，26 B．全面调查，24 C．抽样调查，26 D．抽样调查，24
考点： 条形统计图；全面调查与抽样调查．
3338333
分析： 根据关键语句“先随机抽取50名中学生进行该问卷调查，”可得该调查方式是抽样调查，调查的样本容量
为50，故6+10+6+a+4=50，解即可．
解答： 解：该调查方式是抽样调查，
a=50﹣6﹣10﹣6﹣4=24，
故选：D．
点评： 此题主要考查了条形统计图，以及抽样调查，关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决
问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
6．（3分）（2013•广州）已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 由实际问题抽象出二元一次方程组．
3338333
专题： 数字问题．
分析： 根据等量关系为：两数x，y之和是10；x比y的3倍大2，列出方程组即可．
解答： 解：根据题意列方程组，得：
．
故选：C．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，要注意抓住题目中的一些关键性词语“x比y的3倍大
2”，找出等量关系，列出方程组是解题关键．7．（3分）（2013•广州）实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣2.5|=（ ）
A．a﹣2.5 B．2.5﹣a C．a+2.5 D．﹣a﹣2.5
考点： 实数与数轴．
3338333
分析： 首先观察数轴，可得a＜2.5，然后由绝对值的性质，可得|a﹣2.5|=﹣（a﹣2.5），则可求得答案．
解答： 解：如图可得：a＜2.5，
即a﹣2.5＜0，
则|a﹣2.5|=﹣（a﹣2.5）=2.5﹣a．
故选B．
点评： 此题考查了利用数轴比较实数的大小及绝对值的定义等知识．此题比较简单，注意数轴上的任意两个数，右
边的数总比左边的数大．
8．（3分）（2013•广州）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
3338333
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答：
解：根据题意得： ，
解得：x≥0且x≠1．
故选D．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
9．（3分）（2013•广州）若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
考点： 根的判别式．
3338333
专题： 计算题．
分析： 根据已知不等式求出k的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况．
解答： 解：∵5k+20＜0，即k＜﹣4，
∴△=16+4k＜0，
则方程没有实数根．
故选A
点评： 此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的
值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
10．（3分）（2013•广州）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，
AD=6，则tanB=（ ）
A．2 B．2 C． D．
考点： 梯形；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理．
3338333
分析： 先判断DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中
点，继而可得EF是△CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tanB
的值即可计算．
解答： 解：∵CA是∠BCD的平分线，
∴∠DCA=∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，
∵AB⊥AC，
∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），
∴点F是AC中点，
∴AF=CF，
∴EF是△CAB的中位线，
∴EF= AB=2，
∵ = =1，
∴EF=DF=2，
在Rt△ADF中，AF= =4 ，
则AC=2AF=8 ，
tanB= = =2 ．
故选B．
点评： 本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判
断点F是AC中点，难度较大．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）（2013•广州）点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= 7 ．
考点： 线段垂直平分线的性质．
3338333
分析： 根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，代入即可求出答案．
解答： 解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，
∴PB=PA=7，
故答案为：7．
点评： 本题考查了对线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
12．（3分）（2013•广州）广州某慈善机构全年共募集善款5250000元，将5250000用科学记数法表示为 5.25×1 0 6 ．
考点： 科学记数法—表示较大的数．
3338333
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数
点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1
时，n是负数．
解答： 解：将5250000用科学记数法表示为：5.25×106．
故答案为：5.25×106．
点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示
时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）（2013•广州）分解因式：x2+xy= x （ x+ y ） ．
考点： 因式分解-提公因式法．
3338333
分析： 直接提取公因式x即可．解答： 解：x2+xy=x（x+y）．
点评： 本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取
公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
14．（3分）（2013•广州）一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m ＞﹣ 2 ．
考点： 一次函数图象与系数的关系．
3338333
分析： 根据图象的增减性来确定（m+2）的取值范围，从而求解．
解答： 解：∵一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，
∴m+2＞0，
解得，m＞﹣2．
故答案是：m＞﹣2．
点评： 本题考查了一次函数的图象与系数的关系．
函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；
函数值y随x的增大而增大⇔k＞0．
15．（3分）（2013•广州）如图，Rt△ABC的斜边AB=16，Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′
的斜边A′B′上的中线C′D的长度为 8 ．
考点： 旋转的性质；直角三角形斜边上的中线．
3338333
分析： 根据旋转的性质得到A′B′=AB=16，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可．
解答： 解：∵Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，
∴A′B′=AB=16，
∵C′D为Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线，
∴C′D= A′B′=8．
故答案为8．
点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段
的夹角等于旋转角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
16．（3分）（2013•广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，
点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为 ，则点P的坐标为 （ 3 ， 2 ） ．
考点： 垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．
3338333
专题： 探究型．
分析： 过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答
案．
解答： 解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD= OA=3，
在Rt△OPD中，
∵OP= ，OD=3，
∴PD= = =2，
∴P（3，2）．
故答案为：（3，2）．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
三．解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（9分）（2013•广州）解方程：x2﹣10x+9=0．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
3338333
分析： 分解因式后得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解答： 解：x2﹣10x+9=0，
（x﹣1）（x﹣9）=0，
x﹣1=0，x﹣9=0，
x =1，x =9．
1 2
点评： 本题啊扣除了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方
程．
18．（9分）（2013•广州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．
考点： 菱形的性质；勾股定理．
3338333
分析： 根据菱形的性质得出AC⊥BD，再利用勾股定理求出BO的长，即可得出答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，
∴AC⊥BD，DO=BO，
∵AB=5，AO=4，
∴BO= =3，
∴BD=2BO=2×3=6．
点评： 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，根据已知得出BO的长是解题关键．
19．（10分）（2013•广州）先化简，再求值： ，其中 ．
考点： 分式的化简求值；二次根式的化简求值．
3338333
专题： 计算题．
分析： 分母不变，分子相减，化简后再代入求值．解答：
解：原式= = =x+y=1+2 +1﹣2 =2．
点评： 本题考查了分式的化简求值和二次根式的加减，会因式分解是解题的 题的关键．
20．（10分）（2013•广州）已知四边形ABCD是平行四边形（如图），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD．
（1）利用尺规作出△A′BD．（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设DA′与BC交于点E，求证：△BA′E≌△ DCE．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定；作图-轴对称变换；翻折变换（折叠问题）．
3338333
分析：（1）首先作∠A′BD=∠ABD，然后以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，连接BA′，DA′，即可作出
△A′BD．
（2）由四边形ABCD是平行四边形与折叠的性质，易证得：∠BA′D=∠C，A′B=CD，然后由AAS即可判定：
△BA′E≌△DCE．
解答： 解：（1）如图：①作∠A′BD=∠ABD，
②以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，
③连接BA′，DA′，
则△A′BD即为所求；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠C，
由折叠的性质可得：∠BA′D=∠BAD，A′B=AB，
∴∠BA′D=∠C，A′B=CD，
在△BA′E和△DCE中，
，
∴△BA′E≌△DCE（AAS）．
点评： 此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前
后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（12分）（2013•广州）在某项针对18～35岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”
为m，规定：当m≥10时为A级，当5≤m＜10时为B级，当0≤m＜5时为C级．现随机抽取30个符合年龄条件的青年
人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下表：
11 10 6 15 9 16 13 12 0 8
2 8 10 17 6 13 7 5 7 3
12 10 7 11 3 6 8 14 15 12
（1）求样本数据中为A级的频率；
（2）试估计1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数；
（3）从样本数据为C级的人中随机抽取2人，用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率．
考点： 列表法与树状图法；用样本估计总体；频数与频率．
3338333
分析： （1）由抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有15人，即可求得样本数据中为A级的频率；
（2）根据题意得：1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数为：1000× =500；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得2个人的“日均发微博条数”都
是3的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：（1）∵抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有15人，
∴样本数据中为A级的频率为： = ；
（2）1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数为：1000× =500；
（3）C级的有：0，2，3，3四人，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的有2种情况，
∴抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率为： = ．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率、频数与频率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的
列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=
所求情况数与总情况数之比．
22．（12分）（2013•广州）如图，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已
知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．
（1）求船P到海岸线MN的距离（精确到0.1海里）；
（2）若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先
到达船P处．
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
3338333
分析： （1）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可；
（2）在Rt△BPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断．
解答： 解：（1）过点P作PE⊥AB于点E，
由题意得，∠PAE=32°，AP=30海里，
在Rt△APE中，PE=APsin∠PAE=APsin32°≈15.9海里；
（2）在Rt△PBE中，PE=15.9海里，∠PBE=55°，
则BP= ≈19.4，A船需要的时间为： =1.5小时，B船需要的时间为： =1.3小时，
故B船先到达．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难
度一般．
23．（12分）（2013•广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴
上，点B的坐标为（2，2），反比例函数 （x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D．
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于
点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．
考点： 反比例函数综合题．
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分析：
（1）首先根据题意求出C点的坐标，然后根据中点坐标公式求出D点坐标，由反比例函数 （x＞0，k≠0）的
图象经过线段BC的中点D，D点坐标代入解析式求出k即可；
（2）分两步进行解答，①当D在直线BC的上方时，即0＜x＜1，如图1，根据S四边形CQPR =CQ•PD列出S关于
x的解析式，②当D在直线BC的下方时，即x＞1，如图2，依然根据S四边形CQPR =CQ•PD列出S关于x的解析
式．
解答： 解：（1）∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，2），
∴C（0，2），
∵D是BC的中点，
∴D（1，2），
∵反比例函数 （x＞0，k≠0）的图象经过点D，
∴k=2；
（2）当D在直线BC的上方时，即0＜x＜1，
如图1，∵点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，
∴y= ，
∴S四边形CQPR =CQ•PD=x•（ ﹣2）=2﹣2x（0＜x＜1），
如图2，同理求出S四边形CQPR =CQ•PD=x•（2﹣ ）=2x﹣2（x＞1），
综上S= ．点评： 本题主要考查反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，解答（2）问的函
数解析式需要分段求，此题难度不大．
24．（14分）（2013•广州）已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点
B重合），连接CD，且CD=OA．
（1）当OC= 时（如图），求证：CD是⊙O的切线；
（2）当OC＞ 时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．
①当D为CE中点时，求△ACE的周长；
②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．
考点： 圆的综合题．
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分析： （1）关键是利用勾股定理的逆定理，判定△OCD为直角三角形，如答图①所示；
（2）①如答图②所示，关键是判定△EOC是含30度角的直角三角形，从而解直角三角形求出△ACE的周长；
②符合题意的梯形有2个，答图③展示了其中一种情形．在求AE•ED值的时候，巧妙地利用了相似三角形，
简单得出了结论，避免了复杂的运算．
解答： （1）证明：连接OD，如答图①所示．
由题意可知，CD=OD=OA= AB=2，OC= ，
∴OD2+CD2=OC2
由勾股定理的逆定理可知，△OCD为直角三角形，则OD⊥CD，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：①如答图②所示，连接OE，OD，则有CD=DE=OD=OE，
∴△ODE为等边三角形，∠1=∠2=∠3=60°；
∵OD=CD，∴∠4=∠5，
∵∠3=∠4+∠5，∴∠4=∠5=30°，
∴∠EOC=∠2+∠4=90°，
因此△EOC是含30度角的直角三角形，△AOE是等腰直角三角形．
在Rt△EOC中，CE=2OA=4，OC=4cos30°= ，
在等腰直角三角形AOE中，AE= OA= ，
∴△ACE的周长为：AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC）= +4+（2+ ）=6+ + ．
②存在，这样的梯形有2个．
答图③是D点位于AB上方的情形，同理在AB下方还有一个梯形，它们关于直线AB成轴对称．
∵OA=OE，∴∠1=∠2，
∵CD=OA=OD，∴∠4=∠5，
∵四边形AODE为梯形，∴OD∥AE，∴∠4=∠1，∠3=∠2，
∴∠3=∠5=∠1，
在△ODE与△COE中，∴△ODE∽△COE，
则有 ，∴CE•DE=OE2=22=4．
∵∠1=∠5，∴AE=CE，
∴AE•DE=CE•DE=4．
综上所述，存在四边形AODE为梯形，这样的梯形有2个，此时AE•DE=4．
点评： 本题是几何综合题，考查了圆、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形、梯形等几何图形的性
质，涉及切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等多个知识点，难度较大．
25．（14分）（2013•广州）已知抛物线y =ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．
1
（1）使用a、c表示b；
（2）判断点B所在象限，并说明理由；
（3）若直线y =2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C（ ），求当x≥1时y 的取值范围．
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考点： 二次函数综合题．
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分析： （1）抛物线经过A（1，0），把点代入函数即可得到b=﹣a﹣c；
（2）判断点在哪个象限，需要根据题意画图，由条件：图象不经过第三象限就可以推出开口向上，a＞0，只需
要知道抛物线与x轴有几个交点即可解决，
判断与x轴有两个交点，一个可以考虑△，由△就可以判断出与x轴有两个交点，所以在第四象限；或者直接
用公式法（或十字相乘法）算出，由两个不同的解 ，进而得出点B所在象限；
（3）当x≥1时，y 的取值范围，只要把图象画出来就清晰了，难点在于要观察出 是抛物线与x
1
轴的另一个交点，理由是 ，由这里可以发现，b+8=0，b=﹣8，a+c=8，还可以发现
C在A的右侧；可以确定直线经过B、C两点，看图象可以得到，x≥1时，y 大于等于最小值，此时算出二次函
1数最小值即可，即求出 即可，已经知道b=﹣8，a+c=8，算出a，c即可，即是要再找出一个与a，c有关
的式子，即可解方程组求出a，c，直线经过B、C两点，把B、C两点坐标代入直线消去m，整理即可得到c﹣
a=4联立a+c=8，解得c，a，即可得出y 的取值范围．
1
解答： 解：（1）∵抛物线y =ax2+bx+c（a≠0，a≠c），经过A（1，0），
1
把点代入函数即可得到：b=﹣a﹣c；
（2）B在第四象限．
理由如下：∵抛物线y =ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），
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∴ ，
所以抛物线与x轴有两个交点，
又因为抛物线不经过第三象限，
所以a＞0，且顶点在第四象限；
（3）∵ ，且在抛物线上，
∴b+8=0，∴b=﹣8，
∵a+c=﹣b，∴a+c=8，
把B、C两点代入直线解析式易得：c﹣a=4，
即
解得： ，
如图所示，C在A的右侧，
∴当x≥1时， ．
点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点问题等知识，根据数
形结合得出是解题关键．
