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2024 年中考第二次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个数中，属于有理数的是（ ）
A． B． C．π D．
【答案】B
【分析】
根据无理数和有理数的定义进行判断即可．
【详解】解： 是无理数； 是有理数；π是无理数； 是无理数，
故选：B．
【点睛】本题考查实数的分类，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．
2．下列计算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的运算法则进行计算后判断即可；
【详解】A ，计算正确，不符合题意；
B 8×10×5＝400，计算不正确，符合题意；
C ，计算正确，不符合题意；
D4-(-5)×3＝4+15=19，计算正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了有理数乘方以及有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键.
3．习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列绿色食品、回收、节能、节水四个节能环保标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以不是轴对称图形，
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形．
故选：A．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则运算即可；
【详解】解： ，A错误；
，B错误；
，D错误；
故选C
【点睛.】本题考查整式的运算；熟练掌握完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解
题的关键
5．若一次. 函数y＝kx+b的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则函数y＝bx
﹣k的图象只能是图中的（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【详解】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，
∴k＞0，b＜0，
∴﹣k＜0，
∴y＝bx﹣k的图象经过第二、三、四象限．
结合函数图象得到C选项符合题意．
故选C．
【点睛】解答本题的关键是注意掌握函数值y随x的增大而减小 k＜0；函数值y随x的增大而增大 k＞
0；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交 b＞0，一次函数⇔y=kx+b图象与y轴的负半轴相交 b⇔＜0，
一次函数y=kx+b图象过原点 b=0． ⇔ ⇔
6．如图，在菱形ABCD中，⇔ ， ，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，
交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．
【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x， ，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE= ，
∴x=OE=
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE= ,
故选A．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形
的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的
转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
=
= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是准确掌握提取公因式和公式法，熟练进行因式分解．
8．2023年上半年江西进出口总值3312.3亿元，同比增长6.3%，居全国第十位．今年以来，在全球经济增
长放缓、外部需求走弱的大背景下，江西外贸却能保持稳中有进、稳中提质．将3312.3亿用科学记数法表
示应为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：∵3312.3亿 ，
∴将3312.3亿用科学记数法表示应为 ；
故答案为 ．
9．若一元二次方程 的两根分别为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根，
， ．根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，代入代数
式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别为 ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
10． ， 两市相距200千米，甲车从 市到 市，乙车从 市到 市，两车同时出发，已知甲车速度比
乙车速度快12千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是 千米/小时，则根据题意，
可列方程 .
【答案】
【分析】利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．
【详解】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键．
11．如图，在 中， ，半径为3cm的 是 的内切圆，连接 、 ，则图中阴影部
分的面积是 cm2．（结果用含 的式子表示）【答案】
【分析】根据内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，得到 的大小，然后用扇形面积公式即可求
出
【详解】∵内切圆圆心是三条角平分线的交点
∴ ；
设 ，
在 中：
在 中：
由①②得：
扇形面积： （cm2）
故答案为：
【点睛】本题考查内心的性质，扇形面积计算；解题关键是根据角平分线算出 的度数
12．如图，在长方形 中， ， ，点 在线段 上以 的速度由点 向点
运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停
止运动．当点 的运动速度是 时， 与 全等．【答案】 或 /3或2
【分析】根据题意设运动时间为 ，点 的速度为 ，根据全等三角形的判定方法，分类讨论：①当
时， ， ；②当 时， ， ；根据全等三角
形的性质即可求解．
【详解】解：长方形 中， ， ，点 在线段 上以 的速度由点 向点
运动，设运动时间为 ，点 的速度为 ，
∴点 从点 到点 的时间为 ，
∴ ， ， ，
①当 时， ， ，
∴ ，解得， ，
∴ ，
∴ ，即点 的速度为 ；
②当 时， ， ，
∴ ，解得， ，
∴ ，
∴ ，即点 的速度为 ；
综上所述，当点 的运动速度是为 或 时， 与 全等，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形，三角形全等的判定和性质的综合，理解动点的运动规律，掌握全
等三角形的判定方法是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（1）解方程
（2）计算：
【答案】（1）x=2，x=-1；（2）
1 2
【分析】（1）利用十字相乘法对一元二次方程因式分解，进而即可求解；
（2）先求特殊角三角函数，进而即可求解．
【详解】（1） ，(x-2)(x+1)=0，
x-2=0或x+1=0，
∴x=2，x=-1；
1 2
（2）原式=
= ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及特殊角三角函数的运算，掌握十字相乘因式分解法以及特殊角
三角函数值，是解题的关键．
14．已知：如图， ，点 、 在线段 上， 与 交于点 ，且 ， ．
求证： ．
【答案】见解析
【分析】先证明 ，再利用 证明 即可证明 ．
【详解】证明： ，
，即 ，
在 与 中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键，全
等三角形的判定定理有 ．
15．如图，四边形 为正方形，点 在 边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．(1)在图 中，在 上找一点F，使 ；
(2)在图 中，在 上找一点G，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 即可完成作图；
（2）连接 即可完成作图．
【详解】（1）解：如图1， 即为所求
（2）解：如图2， 即为所求．【点睛】本题考查几何作图，考查了正方形的对称性．掌握正方形的性质是关键．
16．足球比赛中，为了使参赛两队的球服颜色不同，规定：一个球队一般准备三套不同颜色的球衣，赛前
参赛两队抽签选择主队和客队的身份，由主队先选择球衣颜色后，另一支球队选择不同颜色的球衣．现
A、B两队都准备了红、白、黄三种颜色的球衣．
(1)求A队选择红色球衣的概率；
(2)用列举法求出两队球衣颜色为一红一白的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率计算公式进行求解即可；
（2）先列举出所有的等可能性的结果数，再找到两队球衣颜色为一红一白的结果数，最后依据概率计算
公式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有红、白、黄三种颜色的球衣，A队选择每一种颜色的球衣的概率相同，
∴A队选择红色球衣的概率为 ；
（2）解：A队选择红色，B队选择黄色；A队选择红色，B队选择白色；
A队选择黄色，B队选择红色；A队选择黄色，B队选择白色；
A队选择白色，B队选择红色；A队选择白色，B队选择黄色；
∴一共有六种等可能性的结果数，其中两队球衣颜色为一红一白的结果数有2种，
∴两队球衣颜色为一红一白的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，列举法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键．
17．如图，反比例函数 的图象与正比例函数y=2x相交于A（1，a），B两点，点C在第四象
限，CA∥y轴，AB⊥BC．(1)求反比例函数解析式及点B坐标；
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1) ，B（-1，-2）
(2)5
【分析】（1）先利用正比例函数解析式确定A（1，2），再把A点坐标代入y＝ 中求出k得到反比例函
数解析式为y＝ ，然后根据中心对称求得B点坐标；
（2）作BD⊥AC于D，如图，利用等角的余角相等得到∠C＝∠ABD，然后在Rt ABD中利用正切的定义
即可求得tanC的值，根据勾股定理求得AB，通过证明 ADO～ ABC，根据相似△三角形的性质即可求得
ABC的面积． △ △
△【详解】（1）解：∵点A(1，a)在y＝2x上，
∴a＝2，
∴A(1，2)，
把A(1，2)代入 得k＝2
∴反比例函数的解析式为 ，
∵A、B两点关于原点成中心对称，
∴B(﹣1，﹣2)；
（2）解:如图所示，作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，
∵AB⊥BC．
∴∠ABC＝90°，∠BHC＝90°，∴∠C＝∠ABH，
∵BH∥x轴，
∴∠AOD＝∠ABH，
∴∠AOD＝∠C，
∴ ，
∵A(1，2)，B(﹣1，﹣2)，
∴AH＝4，BH＝2，OD=1，AD=2，
∴ ，S AOD＝ =1，
△
∵∠AOD＝∠C，∠ADO＝∠ABC＝90°，
∴△ADO～ ABC，
△
∴有 ，即 ，
解得S ABC＝5．
△
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形面积，勾股定理，相似三角形的判定与性
质，以及锐角三角函数的定义，掌握反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积公式，勾股定理，
相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的定义，证得 ADO～ ABC是解题的关键．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．解△答应写出△文字说明，证明过程或演算步骤）
18．近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达
到 万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞
赛，并从七、八年级各随机选取了 名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用 表示，其
中 ： ， ： ， ： ， ： ，得分在 分及以上为优秀）．下
面给出了部分信息：七年级 组同学的分数分别为： ， ， ， ；
八年级C组同学的分数分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， ．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七
八
(1)填空： ______， ______， ______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”
的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)该校现有学生七年级 名，八年级 名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【答案】(1) ， ，
(2)八年级对“防灾减灾”的了解情况更好，理由见解析
(3)两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为 人
【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计容量，掌握中位数和众数的定义，用样本去估计总量的方
法是解题的关键．
（1）根据众数，中位数的概念，求得 ， ，利用七年级 、 两类的人数和除以总人数求得 ，即可解
答；
（2）根据平均数，中位数，优秀率，进行评价即可；
（3）根据优秀率的定义，进行计算即可解答．
【详解】（1）解： 七年级学生的竞赛成绩从小到大排列第 和 个数为 和 ，
，
八年级中 组人数为 ， 组人数为 ， 组人数为 ， 组中得分为
的人数为 ，，
七年级学生的优秀率为 ，
故答案为： ， ， ；
（2）解：由于八年级竞赛成绩的中位数为 为大于七年级竞赛成绩的中位数 ，
八年级对“防灾减灾”的了解情况更好；
（3）解： （人），
两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为 人．
19．如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点 ， ， ，
均在同一直线上， ，测得 ．（结果保留小数点后一位）
(1)连接 ，求证： ；
(2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据： ）
【答案】(1)见解析
(2)雕塑的高约为 米
【分析】
（ 1 ） 根 据 等 边 对 等 角 得 出 ， 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 得 出
，进而得出 ，即可得证；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，在 中，得出 ，则
，在 中，根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，∴
∵
即
∴
即
∴ ；
（2）如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
在 中，
∴ ，
∴
∴
在 中， ，
∴
（米）．
答：雕塑的高约为 米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角
函数的定义是解题的关键．
20．为培养大家的阅读能力，我校初一年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000
元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．
(1)求我校初一年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；
(2)我校初一年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且
两种书总费用不超过124元，求这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多
少元？
【答案】(1)10元，14元
(2)有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用：
（1）设我校初一年级订购《西游记》的单价是x元，则订购《朝花夕拾》的单价是 元，利用数量 总
价 单价，结合花费14000元订购《朝花夕拾》的数量比花费7000元订购《西游记》的数量多300本，可
列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出订购《西游记》的单价，再将其代入1.4x中，即可求出订
购《朝花夕拾》的单价；
（2）设这个班订购m本《朝花夕拾》，则订购 本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低
于3本，且两种书总费用不超过124元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，
结合m为正整数，可得出各订购方案，再求出各订购方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设我校初一年级订购《西游记》的单价是x元，则订购《朝花夕拾》的单价是 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
∴ ．
答：我校初一年级订购《西游记》的单价是10元，订购《朝花夕拾》的单价是14元；
（2）解：设这个班订购m本《朝花夕拾》，则订购 本《西游记》，
根据题意得： ，
解得： ，
又∵m为正整数，
∴m可以为3，4，5，6，∴这个班共有4种订购方案，
方案1：订购3本《朝花夕拾》，7本《西游记》，所需总费用为 （元）；
方案2：订购4本《朝花夕拾》，6本《西游记》，所需总费用为 （元）；
方案3：订购5本《朝花夕拾》，5本《西游记》，所需总费用为 （元）；
方案4：订购6本《朝花夕拾》，4本《西游记》，所需总费用为 （元）．
∵ ，
∴按照这些方案订购最低总费用为112元．
答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．如图， 是 的直径，点 是劣弧 中点， 与 相交于点 ．连接 ， ，
与 的延长线相交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，请直接写出 _____．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3) ．
【分析】此题考查了圆的切线的判定定理，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂
径定理，勾股定理等知识，利用同弧或等弧所对的圆周角相等以及勾股定理列出方程，是解决问题的关键．
（1）连接 ，根据直径所对的圆周角是直角及等腰三角形转换得 ，即可证明结论；
（2）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，以及平行线的判定和性质，推论转化即可证明结论；
（3）根据垂径定理得到点 为的中点，设 ，则 ，利用勾股定理列方程计算得出 ，
再利用中位线的性质即可求出 的长．
【详解】（1）连接 ，∵ 是 直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）∵点 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图：设 交于点H，∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 为 ，
根据勾股定理，得 ，
解得： ，
∴ ，
∵ 是 的中位线，
∴ ．
故答案为： ．
22．如图，抛物线 交 轴于点 、 (点 在点 的左侧)，与 轴交于点 ，点 、 的坐
标分别为 ， ，对称轴 交 轴于 ，点 为抛物线顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是直线 下方的抛物线上一点，且 ．求 的坐标；(3) 为抛物线对称轴上一点，是否存在以 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3) 或 或 或
【分析】（1）由点 、点 的坐标和对称轴的值列出方程组，即可求出抛物线解析式．
（2）由抛物线解析式可求出顶点 的坐标，进而求出 和 的面积，由面积可推出 的
边上的高 ，求出到 距离等于 的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点 的
坐标．
（3）若 是等腰三角形，通过作图画 两圆一线 来确定点 的位置，再根据半径的长度及勾股定
理求出点 的坐标．
【详解】（1）解：将点 ，点 代入抛物线解析式，由对称轴 ，
得
解得，
抛物线解析式为： ．
（2）将 代入抛物线解析式得： ，
顶点
，
，设直线 解析式为： ，
将点 ，点 代入，
得
解得，
直线 的解析式为：
如图，设直线 与对称轴的交点为 ，将 代入
点 ，
，
，
设 中 边上的高为 ，则 ，
如图，设在直线 下方的 轴上有一点 到 的距离为 ，且 ，
， ，
是等腰直角三角形
，
点 在过点 与直线 平行的直线上，
即将直线 向下平移 个单位长度即可得到直线 ，
直线 的解析式为：
联立 ，
解得： 或点 的坐标为 ， ．
（3） 点 与点 关于对称轴 对称，点 ，
点 ，
①如图，连接 ，以点 为圆心， 的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点 ，此时 ，
为等腰三角形．
由图知：点 位于点 上方时， 、 、 三点共线，所以此点舍去；
点 位于点 下方时，点 与点 重合，此时点 的坐标为 ．
②如图，以点 为圆心， 的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点 ，此时 ，
为等腰三角形．在 中， ， ，
此时点 的坐标为 或 ．
③如图，作线段 的垂直平分线，与 交于点 ，与 轴交于点 ，与对称轴的交点即为所求点 ，
此时 ， 为等腰三角形．
连接 ， 为线段 的垂直平分线，
，点 为 中点，
， ， 由中点坐标公式得点
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
点
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入解析式，
得 ，解得 ，
直线 解析式为：
将 代入直线 解析式得： ，
此时点 ．
综上所述：点Ｍ的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数因动点产生的三角形面积问题、因动点产生的等腰三
角形问题，求出到底边的距离等于高的直线解析式，利用画“两圆一线”构造等腰三角形是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．如图1，在正方形 中，点 分别在边 上，且 ，延长 到点G，使得
，连接 ．【特例感知】
（1）图1中 与 的数量关系是______________．
【结论探索】
（2）图2，将图1中的 绕着点A逆时针旋转 ，连接 并延长到点G，使得
，连接 ，此时 与 还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若 ，当 是以 为直角边的直角三角形时，请直接写出
的长．
【答案】(1) = ，(2)存在，证明见解析，（3） 或 或16或4．
【分析】(1)连接GC，证△CDG≌△CBE，得出△GCE为等腰直角三角形即可；
(2)类似（1）的方法，先证△AFD≌△AEB，再证△CDG≌△CBE，得出△GCE为等腰直角三角形即可；
(3)根据E、F是直角顶点分类讨论，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：(1)连接GC，
∵AE=AF，AD=AB，
∴DF=BE，
∵ ，
∴DG = BE，
∵∠GDC=∠B=90°，DC=BC，
∴△CDG≌△CBE，
∴CE=CG，∠GCD=∠ECB，
∵∠ECB+∠DCE=90°，
∴∠GCE=∠GCD+∠DCE=90°，
∴ = ；
故答案为： = ；(2) 存在，连接GC，
∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，
∴∠FAD=∠EAB，
∴△FAD≌△EAB，
∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，
∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，
∴∠GDC=∠EBC，
∵DC=BD，
∴△CDG≌△CBE，
与（1）同理， = ；
(3)当∠FEG=90°时，如图1，因为∠FEA=∠GEC=45°，
所以，A、E、C在一条直线上，
∵AB=5，
∴AC=5 ,CE=5 -3 =2 ,
GE= EC=4；
如图2，E在CA延长线上，同理可得，EC=8 ，
GE= EC=16；
当∠EFG=90°时，如图3，∠AFD=∠EFG+∠AFE=135°，
由（2）得，∠AFD=∠AEB=135°，DF=BE，
所以，B、E、F在一条直线上，作AM⊥EF，垂足为M，
∵ ，
∴EF=6，AM=ME=MF=3，
，
BE=DF=1,FG=2，；
如图4，同图3，BE=DF=7，FG=14，EF=6，
，
综上， 的长为 或 或16或4．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和等腰直角三角形的性质，解题关
键是恰当的连接辅助线，构造全等三角形；会分类讨论，结合题目前后联系，解决问题．
