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2024 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．计算 的结果是（ ）
A． B．10 C．3 D．
【答案】A
【详解】解：由题意知， ，
故选：A．
2．如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道 和 ，如果公路一侧铺设的管道 与纵向连通管道
的夹角 为 ，那么公路另一侧铺设的管道 与纵向连通管道 的夹角 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵两条平行管道 和 ，
∴
∴
则
故选：C
3．计算 ，正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】解： ．
故选：B．
4．如图，四边形 的对角线 ， 相交于点O， ，且 ，则添加下列一个条件能
判定四边形 是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
当 时，四边形 是矩形；故选项A不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形，故选项B符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；故选项C不符合题意；
当 时，不能判定四边形 为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．5．如图，在矩形 中，点O，M分别是 的中点， ，则 的长为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【详解】解：∵矩形 中，点O，M分别是 的中点， ，
∴ ， ， ，
∴ ；
故选D．
6．如图，函数 的图象与函数 的图象相交于 ， ，当 时， 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由函数图象可知，当 时，函数 的图象在函数 的图象上方，即此时 ，
故选：A
7．如图，在 中，直径 与弦 相交于点P，连接 ， ， ，若 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． ° C． D．
【答案】D
【详解】解∶∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
8．如图，抛物线 与x轴交于点 ，其对称轴为直线 ．
① ；
② ；
③当 时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【详解】解：开口向上则 ，与y轴交点在原点下方，故 ，
∴ ，故①正确；
对称轴为 ，与x轴一个交点是 ，
∴另一个交点为 ，
∴代入解析式得 ，故②错误；
∵开口向上，对称轴为
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y随x的增大而增大，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点
∴关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，故④正确．
综上所述，其中正确的结论有①③④．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．计算： ．
【答案】
【详解】解： ，
故答案为：
10．正n边形的每个内角的度数为 ， 则n的值是 ．
【答案】6
【详解】根据题意有每个外角的度数为： ，
，
故答案为：6．11．分解因式： ．
【答案】
【详解】解：
故答案为： ．
12．如图，点 是平面直角坐标系的原点．平行四边形 的顶点 在反比例函数 图象上．若点
，点 ，则 的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵平行四边形 ，
∴ ， ，
∴点 横坐标为： ，点 纵坐标为： ，
∴ ，
代入 ，得： ，解得： ，
故答案为： ．
13．如图，在矩形 中， ， ，对角线 ， 相交于点 ，点 在线段 上，且
，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值为 ．【答案】
【详解】解：过 作 ，
∵四边形 矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴当 三点共线时，取得最小值，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14．（5分）计算： ．
【答案】
【详解】
．
15．（5分）解不等式： ．
【答案】
【详解】解：
．
16．（5分）解方程： ．
【答案】
【详解】解：
经检验： 是原分式方程的解17．（5分）已知 ，在 上找一点P，使 ．
【答案】见解析
【详解】解：如图，点 即为所求．
18．（5分）如图，点E，C，D，A在同一条直线上， ， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【详解】 ，
，
， ，
，
．
19．（5分）随着社会经济发展和物质消费水平的大幅度提高，我国每年垃圾产生量迅速增长，为了倡导
绿色社区，做好垃圾分类工作，某社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式对辖区内
四个小区进行抽查，并且每个小区不重复检查．(1)若由甲组对 四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是________；
(2)若甲、乙两组同时抽查，请用画树状图法或列表法求出甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率．
【答案】(1) ；(2)
【详解】（1）解：由甲组对 四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是 ；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的结果数为1，
∴甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率为 ．
20．（5分）如图，平面直角坐标系 在边长为1的正方形组成的网格中， 的顶点均在格点上，
点A，B，C的坐标分别是 、 、 ，把 绕原点O逆时针旋转 后得到
，画出 并写出点 的坐标．
【答案】图见详解，
【详解】解：所作 如图所示：∴点 ；
21．（6分）如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，现在匾额下方放置斜梯。图②中的
线段 就是悬挂在墙壁 上的某块匾额的截面示意图． 已知斜梯长BE=5米，梯子底部到墙面的距离
EA=3米，匾额高 米， ，从水平地面点D处看点C的仰角 ．求匾额顶
部到D处的距离CD的长．（参考数据： ）
【答案】匾额顶部到D处的距离CD的长是6.4米
【详解】解：过C作 于H，
∴ ，
则四边形 是矩形，
∴ ．
在 中，EA=3米，BE=5米，
∴ ，AB=4米，
又∵ ，∴
∴ ，
∴ 米 ，∴ 米，
在 中，
∴ ，
∴ 或6.4米，
答：匾额悬挂的高度是6.4米．
22．（7分）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往距离学校360千米的基地进行研学活动．大巴车
匀速行驶1小时后，学校因事派人乘坐轿车匀速沿同一路线追赶，大巴车降低速度继续匀速行驶，轿车追
上大巴车后，两车继续匀速行驶到达基地．如图表示大巴车和轿车离学校的距离y（千米）与大巴车出发
时间x（时）之间函数关系的部分图象．结合图中提供的信息，解答下列问题：
(1)求大巴车行驶1小时后的速度；
(2)求轿车离学校的距离y与x的函数解析式．
【答案】(1) 60
(2) ，详见解析
【详解】（1）解：根据图象知： 大巴车行驶1小时后的速度为 千米/时，
故答案为：60；
（2）解： 由题意，设 ，将点 、 代入，∴ 解得 ；
∴函数表达式为 ．
23．（7分）语文王老师为了了解同学们的语文寒假作业完成情况，进行了一个简单的练习，现从1班，2
班中各随机抽取 名学生的练习成绩（满分 分， 分及 分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面
给出了部分信息：
1班 名学生的练习成绩为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ．
2班 名学生的练习成绩条形统计图如图：
1班、2班抽取的学生的练习成绩的平均数、众数、中位数、 分及以上人数所占百分比如表所示：
年
平均数 众数 中位数 分及以上人数所占百分比
级
1班
2班
(1)求出上述表中的 ， ， 的值；
(2)1班， 班共 名学生参加此次练习，估计参加此次练习成绩合格的学生人数是多少？
【答案】(1) ， ，
(2) 人
【详解】（1） 1班成绩中，得分为8分的出现了五次，出现的次数最多，
1班成绩的众数 ；（1分）
将2班20名学生的成绩从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为7分，7分，
2班成绩的中位数 ；（1分）
1班成绩中，8分及以上人数为10人，；（2分）
（2） 人，（3分）
估计参加此次练习成绩合格的学生人数是99人．
24．（8分）如图， 是 的直径， 是 上两点，且 ，连接 并延长与过点 的
的切线相交于点 ，连接 ．
(1)证明： 平分 ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接 交 于点 ，
，
且 ，
平分 ，
（2）解： 为 的直径，
，是 的切线，
，
，
由（1）知， ，
四边形 为矩形，
，
，
在 中， ，
．
．
是 的中位线，
，
，
在 中， ．
25．（8分）如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中 米，
米，最高点 离地面的距离为9米，以地面 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
(2)暑期来临之际，该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚拋物线部分悬挂下来（条幅的宽可
忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于底面上方2米．设条幅与 的水平距离为 米，求出
的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．【详解】（1）解：∵矩形 ， 米， 米，
∴ 米， 米，
∴ ，
∴抛物线的对称轴为 ，
∴ ，
设抛物线的解析式为： ，把 代入，得： ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：由题意，当 时： ，
解得： ，
当 时， ，
∴ ．
26．（10分）
知识探究
（1）如图1， 是等腰直角三角形， ，点D，E分别在 ， 边上， ， 交于点
F，且 ．
①判断线段 之间的数量关系并说明理由；
② = ．
问题解决
（2）如图2，市中心有一形状为等腰直角三角形的封闭公路 ，为缓解此处的交通堵塞问题，准备建
造地下人行通道，原计划有4个出入口A、B、D、E， D、E分别位于主干道AC和BC上，两条人行通道
BD、AE，交汇于F点。现在需要增加一条人行通道CF，已知AB段公路长为4km，求人行通道 的最
小距离．图1 图2
【答案】（1）① ；② ；（3） 长的最小值为 ，最大值为 ．
【详解】解：（1）∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∵ ，即 ．
∴ ，
∴ ．
∴ ， ，即 ；
∴ ；
（2） 长的最小值为 ．
由题意，可知点 在以 为弦．所对圆心角为 的 上（ ，则 ，劣弧 所
对的圆周角是 ）．
如图所示， ．
∵ ，
∴ ．
连接 ．当点 在线段 上时， 取得最小值，
如图所示，此时 ．
∴ ．
∴ 长的最小值为 ．
