文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（包头卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A D D A D C B D C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．4
12．
13．
14．2
15．1或
16．①②③
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）【详解】（1）（1）解：原式=
= (4分)
当 时，原式 （5分）
（2）解：原方程化为：
（6分）
（7分）
（8分）经检验 是原方程的解．（9分）
所以原方程的解为 ．．（10分）
18.（8分）(1)72（3分）
(2)95，90（6分）
（3）解：七年级学生对消防知识掌握得更好，
理由如下：
平均数：七、八年级学生成绩的平均数相同；
众数：七年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数高；
方差：七年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，即七年级学生成绩比八年级学生成绩更稳定．
综上所述，该校七年级学生对消防知识掌握得更好，
加强学生的消防意识看法：开展“增强学生消防安全意识”主题班会．（建议不唯一，合理即可）（8
分）
19．（8分）【详解】（1）
解：如图
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，（2分）
在 中， ，
∴ （米），
∴观测点P与山脚B点之间的距离是20米．（4分）
（2）
解：如图，过点A作 ，交 的延长线于点D，∵ ， ，
∴ ，
∵山坡 的坡度 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，（6分）
在 中， 米，
∴ （米），
∴观测点P与山顶点A之间的距离是 米．（8分）
20．【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为 ，将 ， 代入，得：
，（2分）
解得 ，（3分）
y与x的函数关系式为 ；（4分）
（2）解：①将 代入 ，得 （件），（5分）
设三月份每件产品的成本是a万元，
由题意得 ，（6分）解得 ，
即三月份每件产品的成本是20万元；（7分）
②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为 ，（8分）
由题意得： ，（9分）
则抛物线的对称轴为 ，且 ，开口向下，
则 时， 取得最小值，（10分）
此时， ，
即四月份最少利润是500万元．（11分）
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润、销量、成本、售价之间的关
系正确列出函数关系式．
21．（12分）（1）证明：连接 ，
切圆于 ，
半径 ，
，
，（1分）
，
，
，（2分）
，
，（3分）
，
；（4分）第二种证法（8分）
（2）解： ， ， ，
，（9分）
，，
， ，
，（10分）
是圆的直径，
，
，
，
，（11分）
，
，
．（12分）
22．（12分）（1）证明： ，
，（1分）
平分 ，
，（2分）
，
∴ ，（3分）
又 ，
四边形 为平行四边形；（4分）
（2）证明： ，
四边形 为矩形，（5分）
，
， ，（6分）
，
，（7分）
，
；（8分）
（3）解：如图3，过点 作 ，交 于 ，过点 作 于 ，， ，
，
，
，
又 ， ，
，（9分）
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（10分）
， ， ，
，
，，（11分）
，
，
．（12分）
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股
定理，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
23．（13分）（1）把 ， 代入 ，得
，（1分）
解得 ，
∴ ；（3分）
（2）当 时， ，
∴ ，
∴ ．
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入，得
，
解得 ，
∴ ．（4分）过 P 点作 轴交 于点 H ，
设 ，则 ，
∴ ，（5分）
∵ 轴
∴ ，（6分）
，
（7分）
，开口向下，
∴当 时， 有最大值，最大值为1，
此时点 P 的坐标为 ；（8分）
（3）设 ，（9分）
∵ ，
∴ ，（10分）
∴ ，（11分）解得 ， ， ， ，
∴ ．（13分）
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数与几何综合，二次函数的图象与
性质，数形结合是解答本题的关键．
