文档内容
2013年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）.
1．（3分）﹣ 的倒数为（ ）
A． B．﹣ C．2013 D．﹣2013
2．（3分）运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器求 + 的近似值，其按键顺
序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，下列条件中能判定直线l ∥l 的是（ ）
1 2
第1页（共22页）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠5 C．∠1+∠3＝180° D．∠3＝∠5
5．（3分）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D． ＜
6．（3分）已知（x﹣y+3）2+ ＝0，则x+y的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．5
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，5，3，1，4，3的中位数是3
B．五边形的外角和是540度
C．“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是真命题
D．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点
8．（3分）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．
若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步
规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1
＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们
可以得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…
+i2012+i2013的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约
为4.3平方公里，最小的岛是飞濑屿，面积约为0.0008平方公里．请用科学记数法表示飞
濑屿的面积约为 平方公里．
10．（3分）一副扑克牌52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花4种花色，每种花色
各有13张，分别标有字母A、K、Q、J和数字10、9、8、7、6、5、4、3、2．从这副牌中任意抽取
第2页（共22页）一张，则这张牌是标有字母的概率是 ．
11．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k 0（填
“＞”或“＜”）
12．（3分）定义 为二阶行列式．规定它的运算法则为 ＝ad﹣bc．那么当x＝1时，二
阶行列式 的值为 ．
13．（3分）如图，已知△ABC内接于 O，BC是 O的直径，MN与 O相切，切点为A，若
∠MAB＝30°，则∠B＝ 度．⊙ ⊙ ⊙
14．（3分）如图，两个反比例函数y＝ 和y＝ 在第一象限内的图象分别是C 和C ，设点P
1 2
在C 上，PA⊥x轴于点A，交C 于点B，则△POB的面积为 ．
1 2
15．（3分）已知 + ＝0，则 的值为 ．
16．（3分）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下
面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块
（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙
中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中
第3页（共22页）仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷（方块上标有
旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有
．（请填入方块上的字母）
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算： ﹣（ ）﹣1+（﹣1）2013．
18．（6分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
19．（6分）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中x＝2．
20．（8分）某县为了了解2013年初中毕业生毕业后的去向，对部分初三学生进行了抽样调查，
就初三学生的四种去向（A．读普通高中； B．读职业高中 C．直接进入社会就业； D．其
它）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）．
请问：
（1）该县共调查了 名初中毕业生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）若该县2013年初三毕业生共有4500人，请估计该县今年的初三毕业生中读普通高中
的学生人数．
21．（8分）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交
AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3
（1）求证：BN＝DN；
第4页（共22页）（2）求△ABC的周长．
22．（8分）中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办
法如下：
一．以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；
二．个人所得税纳税税率如下表所示：
纳税级数 个人每月应纳税所得额 纳税税率
1 不超过1500元的部分 3%
2 超过1500元至4500元的部分 10%
3 超过4500元至9000元的部分 20%
4 超过9000元至35000元的部 25%
分
5 超过35000元至55000元的部 30%
分
6 超过55000元至80000元的部 35%
分
7 超过80000元的部分 45%
（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人的每
月应缴纳的个人所得税；
（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？
23．（10分）如图，AB是 O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A＝30°，D为 的中点．
（1）求证：AB＝BC；⊙
（2）求证：四边形BOCD是菱形．
第5页（共22页）24．（10分）如图，已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的基础上，设以AB为直径的 M与y轴交于C、D两点，求CD的长．
⊙
25．（10分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD
（1）若AB＝9，CD＝4，BD＝10，请问在线段BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点
的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明
理由；
（2）若AB＝9，CD＝4，BD＝12，请问在线段BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶
点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB＝9，CD＝4，BD＝15，请问在线段BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶
点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（4）若AB＝m，CD＝n，BD＝l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的
三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？
第6页（共22页）2013年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）.
1．【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
【解答】解：∵（﹣ ）×（﹣2013）＝1，
∴﹣ 的倒数为﹣2013．
故选：D．
【点评】本题考查了倒数的定义，熟记概念是解题的关键．
2．【分析】根据计算器上的键的功能， 是先按 ，再按8， 是先按2nd键，再按
，最后按6，即可得出答案．
【解答】解： 是先按 ，再按8，
是先按2nd键，再按 ，最后按6，
则 + 的顺序先按 ，再按8，按+，按2nd键，按 ，最后按6，
故选：A．
【点评】此题主要考查了计算器的使用方法，由于计算器的类型很多，可根据计算器的说
明书使用．
3．【分析】先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即可．
【解答】解：A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误；
B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确；
C、主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误；
D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图及中心对称的知识，判断中心对称图形是要寻找
对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．【分析】平行线的判定定理有： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行①． ②
③ 第7页（共22页）根据以上内容判断即可．
【解答】解：A、根据∠1＝∠2不能推出l ∥l ，故A选项错误；
1 2
B、∵∠5＝∠3，∠1＝∠5，
∴∠1＝∠3，
即根据∠1＝∠5不能推出l ∥l ，故B选项错误；
1 2
C、∵∠1+∠3＝180°，
∴l ∥l ，故C选项正确；
1 2
D、根据∠3＝∠5不能推出l ∥l ，故D选项错误；
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定定理有： 同位角相等，两
直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平①行．
5．【分析】先由②数轴观察a、b、c的大小关系，③然后根据不等式的基本性质对各项作出正确判
断．
【解答】解：由数轴可以看出a＜b＜0＜c．
A、∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故选项错误；
B、∵a＜b，∴a+c＜b+c，故选项正确；
C、∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故选项错误；
D、∵a＜c，b＜0，∴ ＞ ，故选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质及实数和数轴的基本知识，比较简单．
6．【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y的方程组，求出x、y的值即可．
【解答】解：∵（x﹣y+3）2+ ＝0，
∴ ，解得 ，
∴x+y＝﹣1+2＝1．
故选：C．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消
元法是解答此题的关键．
7．【分析】根据中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心分别对每一项进行分析，即可
得出答案．
【解答】解：A、把这组数据2，5，3，1，4，3从小到大排列为：1，2，3，3，4，5，最中间两个数
第8页（共22页）的平均数是（3+3）÷2＝3，则中位数是3，故本选项正确；
B、任何凸多边形的外角和都是360度，则五边形的外角和是360度，故本选项错误；
C、“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题，
故本选项错误；
D、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故本选项错误；
故选：A．
【点评】此题考查了中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心，掌握中位数、多边形
的外角、三角形的外接圆与外心是解题的关键，要熟知课本中的有关知识，才能进行解答．
8．【分析】i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4•i＝i，i6＝i5•i＝
﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．
【解答】解：由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝
i4•i＝i，i6＝i5•i＝﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵ ＝503…1，
∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013＝i．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求
出一个循环内的和再计算，有一定难度．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0008＝8×10﹣4．
故答案为：8×10﹣4．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的
比值就是其发生的概率． ① ②
【解答】解：∵一副扑克牌52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花4种花色，每种
花色各有13张，分别标有字母A、K、Q、J和数字10、9、8、7、6、5、4、3、2，
第9页（共22页）∴其中带有字母的有16张，
∴从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是标有字母的概率是 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相
同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
11．【分析】根据A（1，﹣1），B（﹣1，3），利用横坐标和纵坐标的增减性判断出k的符号．
【解答】解：∵A点横坐标为1，B点横坐标为﹣1，
根据﹣1＜1，3＞﹣1，
可知，随着横坐标的增大，纵坐标减小了，
∴k＜0．
故答案为＜．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标判断出函数的增减性是
解题的关键．
12．【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：当x＝1时，原式＝（x﹣1）2＝0．
故答案为：0
【点评】此题考查了完全平方公式，弄清题中的新定义是解本题的关键．
13．【分析】由MN与 O相切，根据弦切角定理，即可求得∠C的度数，又由BC是 O的直
径，根据圆周角定⊙理，可求得∠BAC＝90°，继而求得答案． ⊙
【解答】解：∵MN与 O相切，∠MAB＝30°，
∴∠C＝∠MAB＝30°，⊙
∵BC是 O的直径，
∴∠BAC⊙＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝60°．
故答案为：60．
【点评】此题考查了弦切角定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的
应用．
14．【分析】根据反比例函数y＝ （k≠0）系数k的几何意义得到S△POA ＝ ×4＝2，S△BOA ＝
第10页（共22页）×2＝1，然后利用S△POB ＝S△POA ﹣S△BOA 进行计算即可．
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C 于点B，
2
∴S△POA ＝ ×4＝2，S△BOA ＝ ×2＝1，
∴S△POB ＝2﹣1＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了反比例函数y＝ （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝
（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
15．【分析】先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：∵ + ＝0，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∴ ＝ ＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数，判断出a、b
异号是解题的关键．
16．【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，
中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C
下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的
方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．由此得到本题答案．
【解答】解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断
由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷．
结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷；
同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷；
由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，
所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：
第11页（共22页）进行下一步推理：
因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；
而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．
因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷，
根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．
综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．
故答案为：B、D、F、G．
【点评】此题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、
E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于中档题．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．【分析】本题涉及负指数幂、乘方、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然
后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝4﹣ ﹣1
＝4﹣2﹣1
＝1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是掌握负指数幂、乘方、二次根式化简等考点的运算．
18．【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可找出不等式组
的解集．
【解答】解： ，
由 得：x＞﹣1，
由①得：x≤2，
不②等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
在数轴上表示为： ．
第12页（共22页）【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点
表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
19．【分析】先将括号内的第一项约分，再进行同分母分式的加法运算，再将除法转化为乘法，
进行化简，最后将x＝2代入．
【解答】解：（ + ）÷
＝（ + ）•
＝ •
＝x﹣1，
当x＝2时，运算＝2﹣1＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
20．【分析】（1）根据A的人数与所占的百分比列式进行计算即可得解；
（2）求出B的人数，再求出C所占的百分比，然后补全统计图即可；
（3）用过总人数乘以A所占的百分比40%，计算即可得解．
【解答】解：（1）40÷40%＝100名，
所以，该县共调查了100名初中毕业生；
（2）B的人数：100×30%＝30名，
C所占的百分比为： ×100%＝25%，
补全统计图如图；
（3）4500×40%＝1800名，
答：估计该县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数是1800．
第13页（共22页）【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD＝AB＝10，从而计算周
长即可．
【解答】（1）证明：∵AN平分∠BAC
∴∠1＝∠2
∵BN⊥AN
∴∠ANB＝∠AND＝90°
在△ABN和△ADN中，
∵ ，
∴△ABN≌△ADN（ASA），
∴BN＝DN．
（2）解：∵△ABN≌△ADN，
∴AD＝AB＝10，
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线，
∴CD＝2MN＝6，
故△ABC的周长＝AB+BC+CD+AD＝10+15+6+10＝41．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，
第14页（共22页）一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．
22．【分析】（1）根据月收入超过3500元起，超过部分在1500元内的部分，应按照3%的税率
缴纳个人所得税，甲的月工资4000元，应缴税的部分是4000﹣3500＝500元，再算出500
元应缴纳的税款即可；超过部分在1500元至4500元的部分，应按照10%的税率缴纳个人
所得税，乙的月工资6000元，应缴税的部分是6000﹣3500＝2500元，再算出2500元应缴
纳的税款即可；
（2）根据个人所得税纳税税率表可知，丙每月的工资收入额应为超过4500元至9000元的
部分，设丙每月的工资收入额应为x元，根据丙每月缴纳的个人所得税为95元列出方程
即可求解．
【解答】解：（1）（4000﹣3500）×3%
＝500×3%
＝15（元），
1500×3%+（6000﹣3500﹣1500）×10%
＝45+1000×10%
＝45+100
＝145（元）．
答：甲每月应缴纳的个人所得税为15元；乙每月应缴纳的个人所得税145元．
（2）设丙每月的工资收入额应为x元，则
1500×3%+（x﹣3500﹣1500）×10%＝95，
解得x＝5500．
答：丙每月的工资收入额应为5500元．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解决本题关键是理解纳税的办法，找出应纳税的部
分，然后根据基本的数量关系求解．
23．【分析】（1）由AB是 O的切线，∠A＝30°，易求得∠OCB的度数，继而可得∠A＝
∠OCB＝30°，又由等角对⊙等边，证得AB＝BC；
（2）首先连接OD，易证得△BOD与△COD是等边三角形，可得OB＝BD＝OC＝CD，即可
证得四边形BOCD是菱形．
【解答】证明：（1）∵AB是 O的切线，
∴OB⊥AB， ⊙
∵∠A＝30°，
第15页（共22页）∴∠AOB＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝ ∠AOB＝30°，
∴∠A＝∠OCB，
∴AB＝BC；
（2）连接OD，
∵∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵D为 的中点，
∴ ＝ ，∠BOD＝∠COD＝60°，
∵OB＝OD＝OC，
∴△BOD与△COD是等边三角形，
∴OB＝BD＝OC＝CD，
∴四边形BOCD是菱形．
【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定以及等边三角形的判定
与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
24．【分析】（1）解关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣4m2＝0，求出x的值，即可得到A、B两点
的坐标；
（2）由二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，A、B是抛物线与x轴的交点，根据
抛物线的对称性及圆的半径处处相等可知PM是AB的垂直平分线，且MP＝MA＝MB＝
AB，得出点P的坐标为（m，﹣2m），又根据二次函数的顶点式为y＝（x﹣m）2﹣4m（2 m＞
0），得出顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），则﹣2m＝﹣4m2，解方程求出m的值，再把m的值
代入y＝（x﹣m）2﹣4m2，即可求出二次函数的解析式；
第16页（共22页）（3）连接CM．根据（2）中的结论，先在Rt△OCM中，求出CM，OM的长度，利用勾股定理
列式求出OC的长，再根据垂径定理得出弦CD的长等于OC的2倍．
（4）根据切线长定理，圆外一点向圆引出的两条切线，它们的长相等，根据两点间距离公
式可求出F点坐标．
【解答】解：（1）∵y＝（x﹣m）2﹣4m2，
∴当y＝0时，（x﹣m）2﹣4m2＝0，
解得x ＝﹣m，x ＝3m，
1 2
∵m＞0，
∴A、B两点的坐标分别是（﹣m，0），（3m，0）；
（2）∵A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，
∴AB＝3m﹣（﹣m）＝4m，圆的半径为 AB＝2m，
∴OM＝AM﹣OA＝2m﹣m＝m，
∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，﹣2m），
又∵二次函数y＝（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），
∴﹣2m＝﹣4m2，
解得m ＝ ，m ＝0（舍去），
1 2
∴二次函数的解析式为y＝（x﹣ ）2﹣1，即y＝x2﹣x﹣ ；
（3）如图，连接CM．
在Rt△OCM中，∵∠COM＝90°，CM＝2m＝2× ＝1，OM＝m＝ ，
∴OC＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝2OC＝ ．
追加第（4）问：过点B作x轴的垂线l，若点F为直线l上一点，且△BCF是等腰三角形，求
F点坐标．
（4）∵FB⊥x轴，∴FB为 M的切线，∵△BCF是等腰三角形，
⊙
第17页（共22页）∴BC＝BF，BC＝CF，BF＝CF，
设F（ ，t），∵B（ ，0），C（0， ），
∴（ ﹣0）2+（0﹣ ）2＝t2，∴t＝± ，
∴（ ﹣0）2+（0﹣ ）2＝（ ﹣0）2+（t﹣ ）2，
∴t ＝0（舍），t ＝ ，
1 2
∴（ ﹣0）2+（t﹣ ）2＝t2，
∴t＝ ，
∴F （ ， ），F （ ，﹣ ）．
1 2
【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数与一元二次方程的关系，二次函
数的性质，以及圆的半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的应用，勾股定理，垂径定理等
知识，综合性较强，但难度不是很大，仔细分析求解便不难解决．
第18页（共22页）25．【分析】（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角
形相似，设BP＝x，根据∠B＝∠D＝90°和相似三角形的判定得出当 ＝ 或 ＝
时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即
可；
（2）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
设BP＝x，根据∠B＝∠D＝90°和相似三角形的判定得出当 ＝ 或 ＝ 时，使以
P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（3）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
设BP＝x，根据∠B＝∠D＝90°和相似三角形的判定得出当 ＝ 或 ＝ 时，使以
P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（4）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
分为两种情况，求出即可．
【解答】解：（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三
角形相似，
理由是：设BP＝x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当 ＝ 或 ＝ 时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点
的三角形相似，
∴ ＝ 或 ＝ ，
① ②
解方程 得：x＝ ，经检验x＝ 是方程 的解，且符合题意．
① ①
方程 得：x（10﹣x）＝36，
x2﹣1②0x+36＝0，
△＝（﹣10）2﹣4×1×36＜0，此方程无解，
∴当BP＝ 时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
第19页（共22页）∴存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此
时BP的值为 ；
（2）在BD上存在2个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的
三角形相似，
理由是：设BP＝x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当 ＝ 或 ＝ 时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点
的三角形相似，
∴ ＝ 或 ＝ ，
① ②
解方程 得：x＝ ，经检验x＝ 是方程 的解，且符合题意．
① ①
方程 得：x（12﹣x）＝36，
x2﹣1②2x+36＝0，
△＝（﹣12）2﹣4×1×36＝0，
此方程的解为x ＝x ＝6，经检验x＝6是方程 的解，且符合题意．
2 3
②
∴当BP＝ 或6时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形
相似，
∴存在2个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
此时BP的值为 或6；
（3）在BD上存在3个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的
三角形相似，
理由是：设BP＝x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，
第20页（共22页）∴当 ＝ 或 ＝ 时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点
的三角形相似，
∴ ＝ 或 ＝ ，
① ②
解方程 得：x＝ ，经检验x＝ 是方程 的解，且符合题意．
① ①
方程 得：x（15﹣x）＝36，
x2﹣1②5x+36＝0，
△＝（﹣15）2﹣4×1×36＝81，
此方程的解为x ＝3，x ＝12，经检验x ＝3，x ＝12是方程 的解，且符合题意．
2 3 2 3
②
∴当BP＝ 或3或12时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的
三角形相似，
∴存在3个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
此时BP的值为 或3或12；
（4）由两种情况：
第一种情况：方程 有一个实数根，方程 没有实数根，
△＝l2﹣4mn＜0，①
②
第二种情况：方程 有两个相等的实数根，
△＝l2﹣4mn＝0，②
此时这个实数根也是方程 的实数根，
①
＝ ，
m＝n＝ l，
所以当△＝l2﹣4mn＜0或m＝n＝ l时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D
三点为顶点的三角形相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，根的判别式的应用，注意：ax2+bx+c＝0
（a≠0，a、b、c为常数），当△＝b2﹣4ac＜0时，方程无实数解，当△＝b2﹣4ac＝0时，方程
第21页（共22页）有两个相等的实数解，当△＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不等的实数解．
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