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2024 年中考第三次模拟考试
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6
C C D D C C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．
8．
9．
10．
11．3
12．2或4或10
三、解答题（本大题共5个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（6分）【详解】解：（1）
（1分）
（2分）
；（3分）
（2） ，解①得： ，（4分）
解②得： ，（5分）
∴ ．（6分）
14．（6分）【详解】（1）证明： ，
，
又 ，
，
即 ，（1分）
在 和 中，
，
，（2分）
．（3分）
（2）证明：由（1）得 ，
， ，（4分）
，（5分）
四边形 是平行四边形．（6分）
15．（6分）【详解】（1）解：在 上找一点D，连接 ，如图，
则 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ 即为所求；（3分）
（2）解：延长 分别交 于 、 ，根据垂径定理得到 ，连接 相交于
点, 根据圆周角定理得到 ， ，则点 为 的内角平分线的交点，所以
点 为 的内心；
（6分）
16．（6分）【详解】（1）解：根据随机事件的定义：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量
重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，即可判断，
故答案为：随机；（2分）
（2）解：画树状图如下：
（4分）
由树状图可知，共16种等可能的结果，其中小明、小红抽到同一景点的结果有4种，（5分）
∴小明、小红抽到同一景点的概率为 ．（6分）
17．（6分）【详解】（1）解：第③步出现错误，原因是分子相减时未变号．（1分）
（2）解：原式
（2分）＝ （3分）
＝ ．（4分）
∵x是满足条件 的非负整数
∴ ，
∵由于分母不为0，
∴ ，
∴ （5分）
∴原式 或 ．（6分）
四、解答题（本大题共3个小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（8分）【详解】（1）解：七年级抽取的 名学生的竞赛成绩在 组的人数为：
名，
∴补全频数分布直方图如图：（1分）
八年级在 组的学生有 名，
∵八年级学生竞赛成绩在 组和 组的分别为： ，
∴第 名和第 名学生的竞赛成绩为 ，
∴ ，（2分）
∵七年级中抽取的 名学生的竞赛成绩中 分的最多，
∴ ，（3分）
∵八年级学生成绩在 组的学生数为 名，∴八年级学生成绩 组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为 ，（4分）
故答案为： ， ， ；
（2）解：七年级学生成绩好．（5分）
理由：七年级学生成绩平均数、中位数、众数均高于八年级学生成绩，所以七年级学生成绩好．（6分）
（3）解： ，
答：估计七年级竞赛成绩不低于 分的学生人数为 名．（8分）
19．（8分）【详解】（1）解：作 交 于点 ，交 于点 ，
∵ ， ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，（1分）
∵ ， ，
∴ ，（2分）
∴ ，
∴ ，（3分）
∴ ；（4分）
（2）解：作 交 于点 ，
∴四边形 为矩形，（5分）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，（6分）
∵ ，
∴ ，
∵视线 垂直宣传栏板，
∴ ，
∴ ，（7分）
∴ ，
∴ ．
答：小明的眼睛 离地面的距离约 ．（8分）
20．（8分）【详解】（1）解：将 代入双曲线 ，
∴ ，
∴双曲线的解析式为 ，（1分）
将点 代入 ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 ，，（2分）
解得 ，
∴直线解析式为 ；（3分）
（2）解：观察函数图象知，不等式 的解集为： 或 ；（5分）
（3）解：设直线 交 轴于点 ，设点 ，
由直线 的表达式知，点 ，（6分）
则 面积 ，（7分）
解得： ，
即点 的坐标为： ．（8分）
五、解答题（本大题共2个小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（9分）【详解】（1）∵四边形 为 的内接四边形， 为 的直径，
∴ 度，（1分）
∵
∴ （2分）
故答案为：90，180
(2)证明：如图，连接 并延长，交 于点E，连接 （3分）由(1)可知， ， ，
（4分）
，
，
即圆内接四边形的对角互补（5分）
（3）证明:连接 ，如图所示.（6分）
，
，
（7分）
四边形 是圆内接四边形，
，
（8分）
是线段 的中点，
是 的半径，
是 的切线（9分）
22．（9分）【详解】（1）由题意得∶ ，
在 中， ，；（2分）
（2）当点E在 上方时，
如图，过点D作 于点H，
∵ ，
，
，
∵ ， ，
，（3分）
∵点C、E、D在同一条直线上，且 ，
，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ；（4分）
当点E在 下方时，∵ ，
∴ ，（5分）
∴ ，
过点D作 于点M，
∵ ，
∴ ，
综上所述，点到直线 为 或 ；（6分）
（3）如图，取 的中点O，连接 ，则 ． （7分）
∴点G在以O为圆心， 为半径的圆上，
如图，过点过O作 于H，当G在 的反向延长线上时， 最大，即点G到直线 的距离的
最大，（8分）
在 中， ，
∴即点G到直线 的距离的最大值为 ．（9分）23．（12分）
【详解】（1）由题意得： .解得： （1分）
∴抛物线的函数解析式是： .（2分）
（2）∵ .
∴当MN是抛物线的对称轴时，抛物线的顶点是 ，点 .
连接BN.（3分）
则 ；（5分）
（3）设点M的坐标是 ，则点 .（6分）
∴ ， .
∴ .（7分）
∴当 时， 有最大值 ，
这时点 .（8分）
（4）存在，理由如下：
由（1）（3）抛物线的对称轴是直线 ，点 .设点 ， .（9分）
分三种情况讨论：
①当 是对角线时， ，解得： ，这时点 .（10分）
②当 是对角线时， ，解得： ，这时点 .（11分）
③当 是对角线时， ，解得： ，这时点 .（12分）
综上所述，存 或 或 ，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.
