文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（山东济南卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的绝对值是（ ）
A．2024 B． C． D．
2．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
3．光年是天文学上一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于94600亿 ，用科学记数
法表示94600亿是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．徽章交换是现代奥林匹克运动会特有的文化活动．在2022年北京冬奥会上，徽章交换依然深受欢迎．下列徽章图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．将分别标有“最”、“美”、“济”、“南”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉
字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的
球上的汉字可以组成“济南”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，则 的值为（ ）
A．6 B．－6 C．3 D．9
9．如图，在 中， ， ，以点A为圆心，以 为半径作弧交 于点D，连接
，以点D为圆心，以 为半径作弧交 于点E，分别以点C、E为圆心，以大于 的长为半
径作弧，两弧交于点P，作射线 交 于点F，以下结论不正确的是（ ）A． B．
C． D．
10．定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于 的点叫做这个函数图像上的一个“n阶方形内
点”．例如，点 是函数 图像上的一个“ 阶方形内点”；点 是函数 图像上的一
个“2阶方形内点”．若y关于x的二次函数 的图像上一定存在“n阶方形内点”，
则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式： ．
12．围棋起源于中国，棋子分黑白两色 一个不透明的盒子中装有 个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋
子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ，则盒中棋子的总个数是
个
13．关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 ．
14．如图，正八边形 的边长为 ，以顶点 为圆心， 的长为半径画圆，则阴影部分的面积
为 结果保留 ．
15．学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从 处匀速跑向 处，乙同学从 处匀速跑往 处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为
（秒），甲、乙两人之间的距离为 （米）， 与 之间的函数关系如图所示，则图中 的值是 ．
16．如图，已知正方形 边长为4，O为对角线的交点，M、N分别是边 、 上的动点，且
，连接 、 ，则 的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分6分）计算： ．
18．（本小题满分6分）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
19．（本小题满分6分）如图，在菱形 中，点M、N分别在 、 上，且 ，求
证： ．
20．（本小题满分8分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装
置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管 cm，
，试管倾斜角 为 ．21．（本小题满分8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔
试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分
分，实际得分用 表示）：
， ， ， ， ，
随机抽取 名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中， 组的数据如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)在扇形统计图中，“ 组”所对应的扇形的圆心角是 ；
(2) ，并补全图 中的频数分布直方图；
(3)在笔试阶段中， 名学生成绩的中位数是 分；
(4)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照 的权重计入总成绩，总成绩在 分以上的将获得“环保
之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．
22．（本小题满分8分）如图，已知 是 的直径，直线 是 的切线，切点为C， 垂足
为E， 连接 ．(1)求证： 平分 ：
(2)若 求 的半径．
23．（本小题满分10分）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直
播带货”将成为企业营销变革的新起点． 某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买A，B两种型号
直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的 倍，用1800元购买A型设备的数量比用1000元购
买B型设备的数量多5台．
(1)求A、B型设备单价分别是多少元；
(2)某平台计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于 B型设备数量的一半，设购买A型设
备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
24．（本小题满分10分）如图1，点光源 射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片 投影到与胶
片平行的屏幕上，形成影像 ．已知 ，胶片与屏幕的距离 为定值，设点光源到胶片
的距离 长为 单位： ， 长为 单位： ，当 时， ．
(1)求 的长．
(2)求 关于 的函数解析式，在图2中画出图像，并写出至少一条该函数性质．
(3)若要求 不小于 ，求 的取值范围．
25．（本小题满分12分）抛物线 过点 ，点 ，顶点为 ，与 轴相交于点 ．
点 是该抛物线上一动点，设点 的横坐标为 ．(1)求抛物线的表达式及点 的坐标；
(2)如图1，连接 ， ， ，若 的面积为 ，求 的值；
(3)连接 ，过点 作 于点 ，是否存在点 ，使得 ．如果存在，请求出点
的坐标；如果不存在，请说明理由．
26．【阅读理解】如图1，在矩形 中，若 ，由勾股定理，得 ，同理
，故 ．
【探究发现】如图2，四边形 为平行四边形，若 ，则上述结论是否依然成立？请
加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知 为 的一条中线， ．求证：
．
【尝试应用】如图4，在矩形 中，若 ，点P在边 上，则 的最小值
为_______．
