文档内容
2024 年中考第一次模拟考试（山西卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A．8 B．－8 C． D．
2．观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（ab3）2＝a2b6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
4．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首
咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为
“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为
0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为8.4×10n，则n的值是（ ）
A．6 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣6
5．如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为6cm，瓶内液体的最大深度CD＝3cm，则截面圆中弦
AB的长为（ ）A． B． C． D．8cm
6．如图，将质量为10kg的铁球放在不计重力的木板OB上的A处，木板左端O处可自由转动，在B处用
力F竖直向上抬着木板，使其保持水平，已知OA的长为1m，OB的长为x m，g取10N/kg，则F关于
x的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
7．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，
图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°．当∠MAC为（ ）度
时，AM与CB平行．
A．16 B．60 C．66 D．114
8．已知反比例函数 ，下列结论不正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣1，1）
B．图象在第二、四象限
C．当x＜0时，y随着x的增大而增大
D．当x＞1时，y＞﹣1
9．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，
CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由
A口同时驶入立交桥，均以12m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲车从G口出，乙车从F口出
B．立交桥总长为252m
C．从F口出比从G口出多行驶72m
D．乙车在立交桥上共行驶16s
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六
边形OA B D E ，当n＝2030时，正六边形OA B C D E 的顶点D 的坐标是（ ）
n n n n n 2030 2030 2030 2030 2030 2030
∁
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算： ＝ ．
12．化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1～10时，依次用天干——甲、乙、
丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷
分子结构式中“H”的个数是 ．13．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点
M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于
点D，若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为2，则△ABC的面积为 ．
14．有甲、乙两把不同的锁和A、B、C三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙
不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是 ．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝3 ，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，
过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MB＝3：8，则NG•CG＝
．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）(1)计算： ；
(2)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
因式分解：
解：原式 第一步
第二步
第三步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．
任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是
______________________．
任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出
正确的解答过程．17．（7分）解分式方程： ．
18．（9分）某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加
入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将
调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为150°．
请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 36 0 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同
学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女
的概率．
19．（8分）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买 2个A品
牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．
（1）求A，B两种品牌的足球的单价．
（2）2023年学校购买足球的预算为6400元，总共购买100个球且购买A品牌足球的数量不多于B品
牌足球数量的2倍，有几种购买方案．
20．（8分）学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝ 称为折
射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在
细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得
BF＝12cm，DF＝16cm．
（1）求入射角α的度数．
（2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据： ， ，
）21．（8分）阅读与思考
下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务：
由一道习题引发的思考——“十字架模型”的拓展研究
在我们教材上，有这样一道习题：如图 1，四边形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个
门，要修建两条路BE和AF，且使得BE⊥AF，那么这两条路等长吗？为什么？
对于上面问题，我是这样思考的：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°．
又∵BE⊥AF，∴∠BEA+∠DAF＝∠DAF+∠AFD＝90°
∴∠BEA＝∠AFD，（依据*）
∴Rt ABE≌Rt DAF，∴BE＝AF．
有趣的是对于两个端点分别在正方形ABCD一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，是否
△ △
这两条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究：
如图2，在正方形ABCD中，若点M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、AD上的任意四点，且
MN⊥PQ，垂足为O，则MN仍然与PQ相等．理由如下：
过点M作ME⊥CD，垂足为E，过点P作PF⊥AD，垂足为F．则容易证明四边形AMED和ABPF
均为矩形，
∴ME＝AD，PF＝AB．∵AB＝AD，∴ME＝PF
在四边形QOND中，∵∠NOQ＝∠D＝90°，
…
任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题：
（1）画横线部分的“依据*”是 ．
（2）在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有： AC ．（从下面选项中填出两项）．
A．转化思想
B．方程思想
C．由特殊到一般的思想
D．函数思想
（3）请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程．22．（12分）综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数
学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接
BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系： ，∠BDC＝ °；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接
BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，
CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关
系：
（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S ＝
ABP
． △
23．（13分）综合与实践
如图，抛物线y＝ x2﹣ x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物
线的顶点为D，对称轴为直线l．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点E，使OE＝EC，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理
由；
（3）设点F在直线l上运动，点G在平面内运动，若以点B，C，F，G为顶点的四边形是菱形，且
BC为边，直接写出点F的坐标．
