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2024 年中考第二次模拟考试（深圳卷）
数学·全解全析
第一部分选择题
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．每题给出4个选项，其中只有一种是正确旳）
1．2023年第31届世界水日宣传语为：珍惜每滴清水，拥有美好明天．世界水日提醒我们节约用水要从生
活中的点点滴滴做起．小丽将节约用水3立方米记作 立方米，那么浪费用水2立方米记作（ ）
A． 立方米 B． 立方米 C． 立方米 D． 立方米
【答案】A
【分析】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．利用相反意义量的定义判
断即可．
【详解】解：如果节约用水3立方米记作 立方米，那么浪费用水2立方米记作 立方米．
故选：A
2．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解： 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
其中轴对称图形有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键．
3．2023年江西为办好10件民生实事，加大创业担保贷款扶持力度，决定增加安排担保基金6000万元．
将6000万用科学记数法表示应为（ ）
x=√3+1
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为 形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当绝对值 时，n是正整数，当
原数的绝对值 时，n负整数．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，熟记概念是解题的关键．
4．为迎接体育中考，九年级（1）班八名同学课间练习垫排球，记录成绩（个数）如下：40，38，42，
35，45，40，42，42，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A．40，41 B．42，41 C．41，42 D．41，40
【答案】B
【分析】先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．
【详解】解：将数据从小到大排列为：35，38，40，40，42，42，42，65， 众数为42； 中位数为
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！．
故选：B．
【点睛】本题考查了众数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最
中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把
数据按要求重新排列，就可能会出错．
5．已知有两个全等的含 角的直角三角板，斜边长为2，其初始位置如下图左图所示，将一个三角板保
持不动，另一个三角板沿斜边向右下方平移，当四边形 是菱形时，平移距离 的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用等角对等边的性质证得EA＝ED，再利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
【详解】∵ CDE是含 角的直角三角板，斜边长为2，
∴∠CDE＝90°，∠ECD＝30°，
∴ED＝ EC＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CAB＝∠CAD＝30°，
∵∠CED＝60°，
∴∠ADE＝∠EAD＝30°，
∴AE＝DE＝1，
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、菱形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，利用含30度
角的直角三角形的性质求得DE＝1是解题的关键．
6．下列运算正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项的法则，积的乘方运算性质，同底数幂的除法法则，完全平方公式分别计算，然
后对选项进行判断即可
【详解】A. ，故选项错误
B. ，故选项正确
C. ，故选项错误
D. ，故选项错误
故选B
【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、，同底数幂和完全平方公式，熟练掌握计算法则是解题关键.
7．如图A、O、B在同一条直线上，如果OA的方向是北偏西 ，那么OB的方向是南偏东（ ）
A． B．30° C．60° D．
【答案】A
【分析】如图所示，只需要求出∠BOE的度数即可．
【详解】解：由题意得 ，
∴ ，
∴OB的方向是南偏东 ，
故选A．
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【点睛】本题主要考查了方位角的计算，对顶角相等，熟知相关知识是解题的关键．
8．某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某
电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购
进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多
购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题
意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】略
9．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 、 、 、 都在这这些小正方形的顶点上， 、
相交于点 ．则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点B作 ，连接 ．根据题图和勾股定理先判断 的形状，再求出 的正弦，
利用平行线的性质可得结论．
【详解】解：如图，过点B作 ，连接 ．由网格和勾股定理可求得；
∴
∴ 是直角三角形．
在 中， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理和解直角三角形，作辅助线平移 到直角 中，
是解决本题的关键．
10．如图（1），点P为菱形 对角线 上一动点，点E为边 上一定点，连接 ， ， ．
图（2）是点P从点A匀速运动到点C时， 的面积y随 的长度x变化的关系图象（当点P在
上时，令 ），则菱形 的周长为（ ）
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C．20 D．24
【答案】C
【分析】根据图象可知，当 时，即点 与点 重合，此时 ，进而求出菱形的面积，当
时，此时点 与点 重合，即 ，连接 ，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知：当 时，即点 与点 重合，此时 ，
∴ ，
当 时，此时点 与点 重合，即 ，连接 ，交 于点 ，
则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的周长为 ；
故选C．【点睛】本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，
是解题的关键．
第二部分非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取一名去参加“喜迎二十大”演讲比赛，则恰好抽到乙同学的概
率是 ．
【答案】
【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现
m种结果，那么事件A的概率 ．由题意得出从4位同学中选取1位共有4种等可能结果，其中选
中乙同学的只有1种结果，根据概率公式可得．
【详解】解：从4位同学中选取1位共有4种等可能结果，
其中选中乙同学的只有1种结果，
∴恰好选中乙同学的概率为 ，
故答案为： ．
12．若 ， 则 = ， = ．
【答案】 30 74
【分析】
第一个空先利用提公因式法因式分解，再代入计算即可；第二个空利用完全平方公式变形后，代入计算即
可．
【详解】解： ；
．
故答案为：30，74．
【点睛】本题考查代数式求值，掌握因式分解法和熟练利用完全平方公式是解题关键．
13．如图， 是 的直径，点 、 在 上．若 ，则 ．
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】 /26度
【分析】本题考查圆周角定理，直径所对的圆周角是 ，同弧所对圆周角是相等的；结合已知条件求得
的度数是解题的关键．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ．
故答案为： ．
14．如图，在 中， 轴，双曲线 经过点B，将 绕点 B
逆时针旋转，使点 O 的对应点 D 落在 x 轴正半轴上， 的对应线段 恰好经过点 O．则 k 的值是
．
【答案】
【分析】先求得 是等边三角形，即可求得 的坐标，然后根据待定系数法即可求得 的值.
【详解】∵ 轴,
，
，
，，
，
是等边三角形，
如图，过点 作 轴于点 ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵双曲线 经过点 ，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数
法求反比例函数的解析式等，求得 是等边三角形是解题的关键．
15．如图，在正方形 中，以 为边作等边三角形 ，连接 ， ， ，则下列结论：①
；② ；③ 和 的面积比为 ；④ ．其中结论正确的序号有
．
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】①③④
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得 ， ， ，由等腰三
角形的性质可得 ，故①正确，由直角三角形和相似三角形的性质分别求出
， ，可判断②，由三角形的面积公式可得 ，
，可得 和 的面积比为 ，故③正确；由直角三
角形的性质可得 ，可得 ，故④正确，即可求解．
【详解】解： 四边形 是正方形， 是等边三角形，
， ， ，
，
，故①正确，
如图，设 与 交于点 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
过点 作 交 的延长线于 ，
， ， ，
，
，
四边形 是正方形，，
，
，
，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，故②错误；
是等边三角形， ，
，
， ，
四边形 是矩形，
，
， ，
和 的面积比为 ，故③正确；
， ，
，
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
，
，
，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全
等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，其中第16小题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8
分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．计算： ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化
简得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】
【分析】先算分式的减法运算，再把除法化为乘法，进行约分化简，最后代入求值，即可．
【详解】原式==
=
=
=
=
= ，
原式= ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分和约分，是解题的关键．
18．2018年全国青少年禁毒知识竞赛开始以来，永州市青少年学生跃参如，掀起了学习禁毒知识的热潮，
禁毒知识竞赛的成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格．为了了解我市广大学生参加禁毒知识竞
赛的成绩，抽取了部分学生的成绩，根据抽查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图
（1）本次抽查的人数是 ；
（2）扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为 度；
（3）补全条形统计图；
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（4）若某校有2000名学生，请你估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有多少人？
【答案】（1）120人；（2）18；（3）见解析；（4）1000.
【分析】（1）根据优秀人数和优秀率即可求出本次抽查的人数；
（2）求出不及格率乘360°即可求出不及格学生所占的圆心角的度数；
（3）根据总人数和其他人数计算出良好的人数，然后补全条形统计图即可；
（4）求出优秀率和良好率的和乘2000即可.
【详解】解：（1）本次抽查的人数为24÷20%＝120（人），
故答案为120人；
（2）扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为360°× ＝18°，
故答案为18；
（3）良好的人数为120﹣（24+54+6）＝36（人），
补全图形如下：
（4）估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有2000× ＝1000（人）．
【点睛】此题考查的是扇形统计图和条形统计图，结合扇形统计图和条形统计图计算数据是解决此题的关
键.
19．北京时间12月18日晚23点，2022年卡塔尔世界杯决赛，阿根廷对战法国.阿根廷最终战胜法国，时
隔36年再次夺得世界杯冠军，这也是阿根廷队历史第3次在世界杯夺冠，梅西赛后接受采访时说道，“我
们受到了很多挫折，但我们做到了”，世界杯结束后，学生对于足球的热情高涨.为满足学生课间运动的需
求，学校计划购买一批足球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足
球和2个B品牌足球共需640元
(1)求A，B两种品牌足球的单价；
(2)若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于B
品牌的足球个数，求该校购买这些足球共有几种方案？【答案】(1)A品牌足球单价为80元，B品牌足球单价为120元；
(2)共有8种方案
【分析】
（1）根据购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需
640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球 个，然后根据购买A品牌的足球不少于3个且不
多于B品牌的足球个数，列出一元一次不等式组，即可得出答案．
【详解】（1）解：设A.，B两种品牌足球的单价分别为x元，y元，
根据题意.，得 ，
解得 ，
答：A品牌足球单价为80元，B品牌足球单价为120元；
（2）解：设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球 个，
根据题意.，得 ，
解得 ，
∵a为整数，
∴
所以共有8种方案
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出
相应的方程组．
20．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，交⊙O
于点D．连接CD交AB于点E，延长BD和CA相交于点P，过点A作AG∥CD交BP于点G．
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)求证：直线GA是⊙O的切线．
(2)求证：AG•AD＝GD•AB．
(3)若tan∠AGB＝ ，PG＝6，求sin∠P的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）欲证明直线GA是⊙O的切线，只需推知OA⊥GA即可；
（2）根据折叠的性质得到：AC=AD．通过相似三角形 BAD∽△AGD的对应边成比例即可得出结论；
△
（3）由sin∠P= ，所以需要求得线段AD、AP的长度；利用（2）中的AD2=GD•BD和锐角三角函数的
定义求得BD=2GD；根据 PAG∽△PBA是对应边成比例得到：PA2=PG•PB，即PA2=6（6+3GD）；结合勾
股定理知PA2=AD2+PD2．△求出GD，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵将 ABC沿直线AB折叠得到 ABD，
∴BC＝BD． △ △
∴点B在CD的垂直平分线上．
同理得：点A在CD的垂直平分线上．
∴AB⊥CD即OA⊥CD，
∵AG CD．
∴OA⊥GA．
∵OA是⊙O的半径，
∴直线GA是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°．
∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠GAB＝90°，
∴∠GAD+∠BAD＝90°．
∴∠ABD＝∠GAD．
∵∠ADB＝∠ADG＝90°，
∴△BAD∽△AGD．
∴ ．
∴AG•AD＝GD•AB；
（3）解：∵tan∠AGB＝ ，∠ADG＝90°，
∴ = ．
∴AD= GD．
由（2）知， BAD∽△AGD，
△
∴ ，
∴AD2＝GD•BD，
∴BD＝2GD．
∵ ＝ ，
∴∠GAD＝∠GBA＝∠PCD．
∵AG CD，
∴∠PAG＝∠PCD．
∴∠PAG＝∠PBA．
∵∠P＝∠P，
∴△PAG∽△PBA．
∴PA2＝PG•PB
∵PG＝6，BD＝2GD，
∴PA2＝6（6+3GD）．
∵∠ADP＝90°，
∴PA2＝AD2+PD2．
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴6（6+3GD）＝（ GD）2+（6+GD）2．
解得：GD＝2或GD＝0（舍去）．
∴AD＝2 ，AP＝6 ，
∴sin∠P＝ ＝ ．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的性质，锐角三角函数和勾股定理等知识，在运用切
线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点
连半径，无切点作垂直”．
21．如图，已知二次函数 的图象经过点 ，且对称轴是直线 ．该函数图象和x轴
交于B，C两点（点B在点C的左侧）．
（1）求该函数解析式；
（2）求B，C两点的坐标；
（3）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作 ，垂足为Q，求PQ的最大值．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【分析】（1）根据二次函数 的图象经过点 ，且对称轴是直线 ，即可得到，由此即可求解；
（2）令 ，得到 ，解方程即可；
（3）连接CP，连接AP交x轴于H，先利用勾股定理求出AC的长，则 ，
设 ，直线AP的解析式为 ，从而求出 ，则 ，
则可得到 ，要想PQ最大，则 要最大，由此即可求
解．
【详解】解：（1）∵二次函数 的图象经过点 ，且对称轴是直线 ，
∴
解得 ， ，
∴这个二次函数解析式为 ；
（2）当 时， ，
解得 ， ，
所以点B，C的坐标分别为 ， ；
（3）如图所示，连接CP，连接AP交x轴于H，
∵A（0，3），C（3，0），
∴OA=OC=3，
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ ，
∵PQ⊥AC，
∴ ，
设 ，直线AP的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线AP的解析式为 ，
∵H是直线AP与x轴的交点，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵要想PQ最大，则 要最大，
∴当 ， 有最大值 ，
∴此时 ．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题，一次函数与二次函
数综合等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22．（1）课本再现：如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：如图，在矩形 中，
， ， 是 上不与 和 重合的一个动点，过点 分别作 和 的垂线，垂足分别为 ，
．求 的值．如图1，连接 ，利用 与 的面积之和是矩形面积的 ，可求出
的值，请你写出求解过程．
（2）知识应用：如图2，在矩形 中，点 ， 分别在边 ， 上，将矩形 沿直线 折
叠，使点 恰好与点 重合，点 落在点 处．点 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），过点
分别作直线 ， 的垂线，垂足分别为 和 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，若
， ，求平行四边形 的周长．
（3）如图3，当点 是等边 外一点时，过点 分别作直线 、 、 的垂线、垂足分别为点 、
、 ．若 ，请直接写出 的面积．
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】（1）见解析；（2）24；（3）
【分析】（1）连接 ，由矩形的性质得出 ， ， ，
， ，再由勾股定理得 ，则 ， ，然后由三角形面积即
可得出结论；
（2）连接 ，过点 作 于 ，证 ，则 ，再由勾股定理得
，然后由三角形面积求出 ，即可解决问题；
（3）连接 ， ， ，由 ，求得 ，由
，得 ，从而求出 ．
【详解】（1）解：如图1，连接 ，
四边形 是矩形，
， ， ， ， ，
， ，
， ，，
解得： ；
（2）解： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
连接 ，过点 作 于 ，如图2所示：
则四边形 是矩形，
，
由折叠的性质得： ， ，
，
，
，
，
在 中，
由勾股定理得： ，
，
， ， ，
，
，
，
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！的周长 ；
（3）解：如图3，连接 ， ， ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握矩形的性质和判定，折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定
理，三角形面积等知识是解题的关键．
