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2024 年中考第二次模拟考试（湖南长沙卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的绝对值是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】
解： 的绝对值是2024．
故选：A．
2．2024年元旦假期的到来，点燃了消费者的出游热情，也激发了旅游市场的活力．元旦假期三天，长沙
市共接待游客 万人次． 数据“ 万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式 ，其中 ， 的取值
是解题的关键．确定 的值的方法是看数变成 时，小数点的移动，当小数点向左移动时， 的值与移动
位数相同；当小数点向右移动时，小数点移动位数的相反数等于 的值．
【详解】解： 万= ，
故选： ．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
此题考查了幂的运算法则和乘法公式，根据幂的运算法则和乘法公式计算后即可得到答案．
【详解】解：A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项错误，不符合题意；
C． ，故选项错误，不符合题意；
D． ，故选项正确，符合题意．
故选：D．
4．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空
间站时代”，下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．此题考查了轴对称图形和中心对称图形的
识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，
旋转 后与自身重合．
【详解】解：A．标志既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B．标志既是轴对称又是中心对称图形，故选项符合题意；
C．标志是轴对称但不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．标志既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：B．
5．如图，过三角形 顶点 作 ， ， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，得 ，根据三角形内角和，即可求出 ．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线和三角形的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，三角形的内角和．
6．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无
处找”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
由①得，得： ，
由②得： ，
则不等式组的解集为 ，
在数轴上表示为：故选：D．
7．如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模
拟测试成绩，下列说法错误的是（ ）
A．极差是10 B．众数是90分
C．平均数是91分 D．中位数是90分
【答案】A
【分析】
此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、极差，能从统计图中获得有关数据，求
出众数、中位数、平均数、极差是解题的关键．根据众数、中位数、平均数、极差的定义和统计图中提供
的数据分别列出算式，求出答案．
【详解】
解：A、∵ ，∴极差是 ，
故A符合题意；
B、∵90出现了5次，出现的次数最多，
∴众数是90；故此选项不符合题意；
C、平均数是 ；
故此选项不符合题意；
D、∵共有10个数，
∴中位数是第5、6个数的平均数，
∴中位数是 ；故此选项不符合题意．
故选：A．
8．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买
了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小
乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列
表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
9．如图是长沙某4S店新能源车轮胎展厅陈列的轮胎正面及其固定支架的截面图，凹槽 是矩形．当
轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与 边相切．若 ， ，则此轮胎的半径为
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，连接 ，过 点作
，交 于点 ，交 于点 ，则点 为轮胎与边 的切点，由矩形的性质得
， ，则 ，得 ， ， ，设轮
胎的半径为 ，则， ，然后由勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：连接 ，过 点作 ，交 于点 ，交 于点 ，
则 ，
轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与 边相切，
点 为切点，
四边形 是矩形，
， ，
，
， ， ，
设轮胎的半径为 ，则， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，解得： ，
轮胎的半径是 ．
故选：C．
10．若三条长度分别为 ， ， 的线段能构成三角形，我们就把 称为三角数组，已知 是三
角数组，则下列说法正确的是（ ）
① 一定是三角数组；② 不一定是三角数组；
③ 一定是三角数组；④ 不一定是三角数组；
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B
【分析】 ，且 ，先证明 ，即可证明 ，由此即可判断①②；
根据 是一个三角数组， 不是一个三角数组即可判断③④．
【详解】解：∵ 是三角数组，
∴可设 ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 一定是三角数组，故①正确，②不正确；
∵ 是一个三角数组， ，
∴ 不是一个三角数组，
∴当 是三角数组时， 不一定是三角数组，故③错误，④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，实数比较大小，正确理解题意是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．要使代数式 有意义，则x应满足的条件是 ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式有意义条件和分式有意义求出x的取值范围．
【详解】解：代数式 有意义，
可得： ，
解得 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义与分式有意义的条件
是解题的关键．
12．若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】将 变形后可得 即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ；
【点睛】本题考查了运用整体思想求代数式值，将条件和问题进行准确变形再整体代入计算是解题的关键．
13．如图，四边形 是圆内接四边形， ，则 的度数为 度．
【答案】
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，根据圆的内接四边形的对角互补，结合已知即可求解．
【详解】解：∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
14．已知一次函数 ，如果y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围为 ．
【答案】 /
【分析】利用一次函数中一次项系数正负性与y随自变量x的增大而变化的情况列不等式计算即可．【详解】 y随自变量x的增大而减小，
，
，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查一次函数的性质，一次函数中一次项系数 ，y随自变量x的增大而增大； ，
y随自变量x的增大而减小．熟悉此函数图像性质是解题的关键．
15．如果关于 的方程 （ 为常数）有两个相等的实数根，那么 ．
【答案】
【分析】根据根的判别式为零时，有两个相等的实数根，就可以求出 的值．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有两个
不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．
16．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的
直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：
；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，
弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是 ．
【答案】
【分析】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），根据所给
的二组数找规律可得结论．
【详解】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ．
则弦为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9
分，第24、25每题10分，共72分）
17．计算：
【答案】
【分析】
本题考查实数的混合运算，先计算特殊角三角函数值，零次幂，负整数次幂，绝对值，再进行加减运算即
可，正确计算是解题的关键．
【详解】解：
18．化简： ，再从 ，0，1中选择一个你喜爱的x的值代入求值．
【答案】 ，当 时，值为
【分析】根据分式的混合运算法则将原式进行化简，然后选择一个使分式有意义的值代入求解即可．
【详解】解：，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键，选择喜欢的值代入
时要注意使分式有意义．
19．长沙第一高楼位于芙蓉区五一商圈的国金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具体高度，通过下
面方法进行测算．如图，小明站在楼前的平地B处，观测到国金大厦的最高点G仰角为15°，他朝正前方
笔直行走900.8米来到C处，此时观测到国金大厦的最高点G仰角为30°，若小明的眼睛离地面1.6米．
(1)求长沙第一高楼国金大厦的高度 ；
(2)小明还要走多远（ 的距离）才能到达国金大厦？
【答案】(1)长沙第一高楼国金大厦的高度DG为452米
(2)小明还要走450.4 米才能到达国金大厦
【分析】（1）根据题意可得： 米， 米， ， ，先根
据三角形的外角性质可得 ，从而可得 米，然后在 中，利用含
30度角的直角三角形的性质求出 的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；
（2）根据题意可得： ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得： 米， 米， ， ，
∵ 是 的一个外角， ，
∴ ，
∴ ，∴ 米，
在 中， （米），
∴ （米），
∴长沙第一高楼国金大厦的高度 为452米；
（2）由题意得： ，
在 中， 米，
∴ （米），
∴ 米，
∴小明还要走 米才能到达国金大厦．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．如图，菱形 的对角线 相交于点O，E是 的中点，点F，G在 上，
．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由菱形的性质得到 ，进而证明 是 的中位线，得到 ，再由
， ， 即可证明四边形 是矩形；
（2）根据线段中点的定义得到 ，在 中，由勾股定理得 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，∵E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，即 ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵E是 的中点， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是
解题的关键．
21．我市某中学开展了“强国复兴有我”迎国庆知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩（满
分100分），按得分划分为A： ，B： ，C： ，D： 四个等级，绘
制成如下两幅不完整的统计图表．
分数段（分） 频数（人） 频率
10
a b16 c
4 d
请根据以上信息回答下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量为______；
(2)其中频数分布表中 ______， ______并补全频数分布直方图；
(3)若该校共有1200名同学参赛，成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，估计全校学生成绩为
“优”等的学生有多少人．
【答案】(1)
(2) ，
(3) 人．
【分析】此题考查了扇形统计图、频数分布表等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问
题．
（ ）由 等级的频数除以频率求出参赛学生共有的人数，即可解决问题；
（ ）用总人数减去其它等级的人数即可求出成绩在 等级的学生人数，得到a的值，用C等级的人数除
以总人数即可得到c的值，根据所求补全统计图即可；
（ ）由C、D等级的人数之和的占比乘以全校人数同学即可．
【详解】（1）参赛学生共有 （人），
即这次抽样调查的样本容量为 ，
故答案为：
（2）成绩在 等级的学生人数为 （人），
即
，
故答案为： ，
补全频数分布直方图如下：（3） （人）
答：估计全校学生成绩为“优”等的学生有 人．
22．定义：过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一
个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“捷线”．
(1)等边三角形“捷线”条数是________；
(2)如图， 中， ，点 在 上，且 ，求证： 是 的“捷线”；
(3)在 中， ， ， ， 、 分别在边 、 上，且 是 的“捷
线”，求 的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，可得答案；
（2）利用 ，得 ，则 是 的“捷线”；
（3）根据“捷线”的定义知， 与 相似，当 时，利用相似三角形的性质解决问题．
【详解】（1）解：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图所示，则 ， ， ，
， ， 是等边三角形 的捷线，
故答案为：3；
（2）证明： ， ，
，
，
，
是 的“捷线”；
（3）解：设 是 的内心，连接 ，
则 平分 ，
是 的捷线，
与 相似，
分两种情况：①当 时， ，
， ， ，
，
作 于点 ，如图所示，
则 ， 是 的内切圆半径，
，
平分 ，，
，
，
即 ，
，
，
，
，
即 ，
，
②当 时，
， ，
同理可得 ，
综上： ．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内心，勾股定理，直角三
角形的内切圆半径等知识，本题综合性强，有一定的难度．
23．某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下：
茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤）
甲 a 200
乙 300
已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．
(1)求a的值；
(2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤．①求销售完这两种茶叶的最大利润；
②“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低m元（ ），甲种茶叶的售价不变，
为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求m的最大值．
【答案】(1)100
(2)①41000元；②m的最大值为40
【分析】（1）由题意：用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同，列出分式方
程，解方程即可；
（2）①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，
再由一次函数的性质即可得出结论；
②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，再由一
次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴a的值为100；
（2）解：①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，
由题意得： ，其中 ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∴当 时，y的最大值 ，
答：销售完这两种茶叶的最大利润为41000元；
②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，∴当 时，y的最小值 ，
解得： ，
∴m的最大值为40．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系
式．
24．如图， 内接于 ， 是 的直径， ， 是 的切线，点D是AC上一动点
（点D不与点A，B重合），连接BD并延长交AC于点H，交CF于点E，连接AE，AD．
(1)求 的面积；
(2)当 时，求 的长；
(3)若 的面积记为 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ，
，请用含k的代数式表示 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据圆周角定理先得到 ，勾股定理求出 ，再利用三线合一求出 ，即可利用面积公
式求出答案；
（2）根据已知得到 ，过点E作 ，交 延长线于点G，根据平行线间的距离处处相等得 ，再根据30度角的性质得到 的长；
（3）根据相似三角形及勾股定理分别求出 ，即可得到 的值．
【详解】（1）∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的切线，
∴ ,
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
过点E作 ，交 延长线于点G，则 ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，直角三角形30度
角的性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
25．在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的
“密接点”．例如： 与 有且只有一个交点 ，则称这两个函数为“亲密函数”，点
称为他们的“密接点”．
(1)判断下列几组函数，是“亲密函数”的在 内记“ ”，不是“亲密函数”的在 内记“ ”；
与 ；
与 ；
与 ．
(2)一次函数 与反比例函数 （其中 为常数， )，且他们的“密接点” 到原点的距
离等于 ，求 的值．(3)两条直线 与 都是二次函数 的“亲密函数”，且“密接点”分别为 ．记直线 与 的
交点的纵坐标为 ，直线 与 轴的交点的纵坐标为 ．试判断 与 的关系，并证明你的判断．
【答案】(1) ； ； ；
(2) 的值为 或 ；
(3) ，证明见解析．
【分析】（ ）根据“亲密函数”的定义即可作出判断；
（ ）由一次函数 与反比例函数 (其中 为常数， )是“亲密函数”，可得
，求出 或 ， 或 ，根据 到原点的距离等于 ，求出 的值，
即可求解；
（ ）设直线 ，直线 ，由直线 与 都是二次函数 的“亲密函数”，
且“密接点”分别为 ，可得 ， ， ， ，设直线
的解析式为 ，求出 ， ，即可求证．
【详解】（1）解： ∵ 与 有且只有一个交点 ，
∴这两个函数是“亲密函数”，
故答案为： ；
∵ 与 没有交点，
∴这两个函数不是“亲密函数”，
故答案为： ；
∵ 与 有且只有一个交点 ，∴这两个函数是“亲密函数”，
故答案为： ；
（2）解：∵一次函数 与反比例函数 (其中 为常数， )是“亲密函数”，
∴方程 有且只有一个实数根，
∴ 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ 或 ，
当 时， ，
解得 ，
∴ ，
∵“密接点” 到原点的距离等于 ，
∴ ，
解得 或 (不合，舍去)，
∴ ；
当 时， ，
解得 ，
∴ ，
∵“密接点” 到原点的距离等于 ，
∴ ，
解得 或 (不合，舍去)，
∴ ；
综上， 的值为 或 ；
（3）解： ．证明：设直线 ，直线 ，
∵两条直线 与 都是二次函数 的“亲密函数”，且“密接点”分别为 ，
∴ ，
即 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可得 ， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ， ，
得，
，
∴ ，
令 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了新定义，一次函数、反比例函数与二次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，
待定系数法求函数的解析式，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是读懂“亲密函数”、“密接
点”的定义，理解它们之间的关系．
