文档内容
2014年江苏省镇江市中考数学试卷
一、填空题：本大题共12小题，每小题2分，共计24分．
1．（2分）（2016•镇江）计算：|﹣5|= ．
2．（2分）（2014•镇江）计算：（﹣ ）×3= ．
3．（2分）（2014•镇江）化简：（x+1）（x﹣1）+1= ．
4．（2分）（2014•镇江）分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
5．（2分）（2014•镇江）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则
BD= ．
6．（2分）（2014•镇江）如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°．若
∠1=25°，∠2=70°，则∠B= ．
7．（2分）（2014•镇江）一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们众数为1，则这组数据的平均数为
．
8．（2分）（2014•镇江）若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则m=
．
9．（2分）（2014•镇江）已知圆锥的底面半径为3，母线长为8，则圆锥的侧面积等于
．
10．（2分）（2014•镇江）如图，将△OAB绕着点O逆时针连续旋转两次得到△OA″B″，每次旋
转的角度都是50°．若∠B″OA=120°，则∠AOB= ．
11．（2分）（2014•镇江）一辆货车从甲地匀速驶往乙地，到达后用了半小时卸货，随即匀速返
回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍．货车离甲地的距离y（千米）
关于时间x（小时）的函数图象如图所示．则a= （小时）．
第1页（共26页）12．（2分）（2014•镇江）读取表格中的信息，解决问题．
n=1 a = +2 b = +2 c =1+2
1 1 1
n=2 a =b +2c b =c +2a c =a +2b
2 1 1 2 1 1 2 1 1
n=3 a =b +2c b =c +2a c=a +2b
3 2 2 3 2 2 2 2
… … … …
满足 的n可以取得的最小整数是 ．
二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题给出的四个选项中，恰有
一项符合题目要求）
13．（3分）（2014•镇江）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）3=x9B．（﹣2x）3=﹣6x3C．2x2﹣x=xD．x6÷x3=x2
14．（3分）（2014•镇江）一个圆柱如图放置，则它的俯视图是（ ）
A．三角形B．半圆C．圆D．矩形
15．（3分）（2014•镇江）若实数x、y满足 =0，则x+y的值等于（ ）
A．1B． C．2D．
16．（3分）（2014•镇江）如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，
则∠A的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
17．（3分）（2014•镇江）已知过点（2，﹣3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，设s=a+2b，
则s的取值范围是（ ）
第2页（共26页）A．﹣5≤s≤﹣ B．﹣6＜s≤﹣ C．﹣6≤s≤﹣ D．﹣7＜s≤﹣
三、解答题（本大题共有11小题，共计81分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．）
18．（8分）（2014•镇江）（1）计算：（ ）﹣1+ cos45°﹣ ；
（2）化简：（x+ ）÷ ．
19．（10分）（2014•镇江）（1）解方程： ﹣ =0；
（2）解不等式：2+ ≤x，并将它的解集在数轴上表示出来．
20．（6分）（2014•镇江）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点
E在AO上，且OE=OC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
21．（6分）（2014•镇江）为了了解“通话时长”（“通话时长”指每次通话时间）的分布情况，
小强收集了他家1000个“通话时长”数据，这些数据均不超过18（分钟）．他从中随机抽取
了若干个数据作为样本，统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图．
“通话时
长” 0＜x≤3 3＜x≤6 6＜x≤9 9＜x≤12 12＜x≤15 15＜x≤18
（x分钟）
次数 36 a 8 12 8 12
根据表、图提供的信息，解答下面的问题：
（1）a= ，样本容量是 ；
（2）求样本中“通话时长”不超过9分钟的频率： ；
（3）请估计小强家这1000次通话中“通话时长”超过15分钟的次数．
第3页（共26页）22．（6分）（2014•镇江）在一只不透明的布袋中装有红球、黄球各若干个，这些球除颜色外都
相同，充分摇匀．
（1）若布袋中有3个红球，1个黄球．从布袋中一次摸出2个球，计算“摸出的球恰是一红一
黄”的概率（用“画树状图”或“列表”的方法写出计算过程）；
（2）若布袋中有3个红球，x个黄球．
请写出一个x的值 ，使得事件“从布袋中一次摸出4个球，都是黄球”是不可
能的事件；
（3）若布袋中有3个红球，4个黄球．
我们知道：“从袋中一次摸出4个球，至少有一个黄球”为必然事件．
请你仿照这个表述，设计一个必然事件： ．
23．（6分）（2014•镇江）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+4（k≠0）与y轴交于点A．
（1）如图，直线y=﹣2x+1与直线y=kx+4（k≠0）交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为
﹣1．
①求点B的坐标及k的值；
②直线y=﹣2x+1与直线y=kx+4与y轴所围成的△ABC的面积等于 ；
（2）直线y=kx+4（k≠0）与x轴交于点E（x ，0），若﹣2＜x ＜﹣1，求k的取值范围．
0 0
24．（6分）（2014•镇江）如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到
达点B，sinα= ，然后又沿着坡度为i=1：4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从A点
到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？
第4页（共26页）25．（6分）（2014•镇江）六•一儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN（不计
宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN（MP⊥OP，
NQ⊥OQ），他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相
等，比如：A、B、C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等．
爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为S 、S 、S ，
1 2 3
并测得S =6（单位：平方米）．OG=GH=HI．
2
（1）求S 和S 的值；
1 3
（2）设T（x，y）是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数关系式；
（3）公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花
木（区域边界上的点除外），已知MP=2米，NQ=3米．问一共能种植多少棵花木？
26．（8分）（2014•镇江）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一
点，∠EAB=∠ADB．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；
（3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长．
27．（9分）（2014•镇江）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=﹣x2+2nx﹣
n2+2n的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4．
（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；
（2）小丽发现：将抛物线y=﹣x2+2nx﹣n2+2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为
坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；
第5页（共26页）（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列），
= ．
①写出C点的坐标：C（ ， ）（坐标用含有t的代数式表示）；
②若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．
28．（10分）（2014•镇江）我们知道平行四边形那有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿
着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论
【发现与证明】
在 ▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
结论1：B′D∥AC；
结论2：△AB′C与 ▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形．
…
请利用图1证明结论1或结论2．
【应用与探究】
在 ▱ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
（1）如图1，若AB= ，∠AB′D=75°，则∠ACB= ，BC= ；
（2）如图2，AB=2 ，BC=1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积；
（3）已知AB=2 ，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？
第6页（共26页）2014 年江苏省镇江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共12小题，每小题2分，共计24分．
1．（2分）（2016•镇江）计算：|﹣5|= 5 ．
【解答】解：|﹣5|=5．
故答案为：5
2．（2分）（2014•镇江）计算：（﹣ ）×3= ﹣ 1 ．
【解答】解：（﹣ ）×3，
=﹣ ×3，
=﹣1．
故答案为：﹣1．
3．（2分）（2014•镇江）化简：（x+1）（x﹣1）+1= x 2 ．
【解答】解：（x+1）（x﹣1）+1
=x2﹣1+1
=x2．
故答案为：x2．
4．（2分）（2014•镇江）分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≠ 1 ．
【解答】解：由题意得x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
5．（2分）（2014•镇江）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则
BD= 2 ．
【解答】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF= AD，
∵EF=1，
第7页（共26页）∴AD=2，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD=2，
故答案为：2．
6．（2分）（2014•镇江）如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°．若
∠1=25°，∠2=70°，则∠B= 45 ° ．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠3=∠2=70°，
∴∠BAC=∠3﹣∠1=70°﹣25°=45°，
∵∠C=90°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣45°=45°．
故答案为：45°．
7．（2分）（2014•镇江）一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们众数为1，则这组数据的平均数为
．
【解答】解：∵众数为1，
∴a=1，
∴平均数为： = ．
故答案为： ．
8．（2分）（2014•镇江）若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则m=
．
【解答】解：根据题意得△=12﹣4m=0，
解得m= ．
故答案为 ．
第8页（共26页）9．（2分）（2014•镇江）已知圆锥的底面半径为3，母线长为8，则圆锥的侧面积等于 24 π ．
【解答】解：圆锥的侧面积=2π×3×8÷2=24π，
故答案为：24π．
10．（2分）（2014•镇江）如图，将△OAB绕着点O逆时针连续旋转两次得到△OA″B″，每次旋
转的角度都是50°．若∠B″OA=120°，则∠AOB= 20 ° ．
【解答】解：∵∠AOA′=∠A″OA′=50°，
∴∠B″OB=100°，
∵∠B″OA=120°，
∴∠AOB=∠B″OA﹣∠B″OB=120°﹣100°=20°，
故答案为20°．
11．（2分）（2014•镇江）一辆货车从甲地匀速驶往乙地，到达后用了半小时卸货，随即匀速返
回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍．货车离甲地的距离y（千米）
关于时间x（小时）的函数图象如图所示．则a= 5 （小时）．
【解答】解：由题意可知：
从甲地匀速驶往乙地，到达所用时间为3.2﹣0.5=2.7小时，
返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍，
返回用的时间为2.7÷1.5=1.8小时，
所以a=3.2+1.8=5小时．
故答案为：5．
12．（2分）（2014•镇江）读取表格中的信息，解决问题．
n=1 a = +2 b = +2 c =1+2
1 1 1
n=2 a =b +2c b =c +2a c =a +2b
2 1 1 2 1 1 2 1 1
n=3 a =b +2c b =c +2a c=a +2b
3 2 2 3 2 2 2 2
… … … …
满足 的n可以取得的最小整数是 7 ．
第9页（共26页）【解答】解：由a +b +c = +2 + +2+1+2 =3（ + +1），
1 1 1
a +b +c =9（ + +1），
2 2 2
…
a +b +c =3n（ + +1），
n n n
∵
∴a +b +c ≥2014×（ ﹣ +1）（ + ）=2014（ + +1），
n n n
∴3n≥2014，
则36＜2014＜37，
∴n最小整数是7．
故答案为：7
二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题给出的四个选项中，恰有
一项符合题目要求）
13．（3分）（2014•镇江）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）3=x9B．（﹣2x）3=﹣6x3C．2x2﹣x=xD．x6÷x3=x2
【解答】解：A、底数不变指数相乘，故A正确；
B、（﹣2x）3=﹣8x3，故B错误；
C、不是同类项不能合并，故C错误；
D、底数不变指数相减，故D错误；
故选：A．
14．（3分）（2014•镇江）一个圆柱如图放置，则它的俯视图是（ ）
A．三角形B．半圆C．圆D．矩形
【解答】解：水平放置的圆柱的俯视图是矩形，
故选：D．
15．（3分）（2014•镇江）若实数x、y满足 =0，则x+y的值等于（ ）
A．1B． C．2D．
【解答】解：由题意得，2x﹣1=0，y﹣1=0，
解得x= ，y=1，
所以，x+y= +1= ．
故选：B．
第10页（共26页）16．（3分）（2014•镇江）如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，
则∠A的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵OB=5，OD=3，
∴BD=4，
∵∠A= ∠BOC，
∴∠A=∠BOD，
∴tanA=tan∠BOD= = ，
故选：D．
17．（3分）（2014•镇江）已知过点（2，﹣3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，设s=a+2b，
则s的取值范围是（ ）
A．﹣5≤s≤﹣ B．﹣6＜s≤﹣ C．﹣6≤s≤﹣ D．﹣7＜s≤﹣
【解答】解：∵直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，
∴a＜0，b≤0，
∵直线y=ax+b（a≠0）过点（2，﹣3），
∴2a+b=﹣3，
∴a= ，b=﹣2a﹣3，
∴s=a+2b= +2b= b﹣ ≤﹣ ，
s=a+2b=a+2（﹣2a﹣3）=﹣3a﹣6＞﹣6，
即s的取值范围是﹣6＜s≤﹣ ．
故选：B．
第11页（共26页）三、解答题（本大题共有11小题，共计81分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．）
18．（8分）（2014•镇江）（1）计算：（ ）﹣1+ cos45°﹣ ；
（2）化简：（x+ ）÷ ．
【解答】解：（1）原式=2+ × ﹣3
=2+1﹣3
=0；
（2）原式= •
= •
=3（x﹣1）
=3x﹣3．
19．（10分）（2014•镇江）（1）解方程： ﹣ =0；
（2）解不等式：2+ ≤x，并将它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：（1）去分母得：3x+6﹣2x=0，
移项合并得：x=﹣6，
经检验x=﹣6是分式方程的解；
（2）去分母得：6+2x﹣1≤3x，
解得：x≥5，
解集在数轴上表示出来为：
20．（6分）（2014•镇江）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点
E在AO上，且OE=OC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
第12页（共26页）【解答】（1）证明：∵在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠1=∠2；
（2）四边形BCDE是菱形；
证明：∵∠1=∠2，CD=BC，
∴AC垂直平分BD，
∵OE=OC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形DEBC是菱形．
21．（6分）（2014•镇江）为了了解“通话时长”（“通话时长”指每次通话时间）的分布情况，
小强收集了他家1000个“通话时长”数据，这些数据均不超过18（分钟）．他从中随机抽取
了若干个数据作为样本，统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图．
“通话时
长” 0＜x≤3 3＜x≤6 6＜x≤9 9＜x≤12 12＜x≤15 15＜x≤18
（x分钟）
次数 36 a 8 12 8 12
根据表、图提供的信息，解答下面的问题：
（1）a= 2 4 ，样本容量是 10 0 ；
（2）求样本中“通话时长”不超过9分钟的频率： 0.6 8 ；
（3）请估计小强家这1000次通话中“通话时长”超过15分钟的次数．
第13页（共26页）【解答】解：（1）根据直方图可得：a=24，样本容量是：36+24+8+12+8+12=100；
（2）根据题意得： =0.68，
答：样本中“通话时长”不超过9分钟的频率是0.68；
故答案为：0.68；
（3）根据题意得：
1000× =120（次），
答：小强家这1000次通话中“通话时长”超过15分钟的次数是120次．
22．（6分）（2014•镇江）在一只不透明的布袋中装有红球、黄球各若干个，这些球除颜色外都
相同，充分摇匀．
（1）若布袋中有3个红球，1个黄球．从布袋中一次摸出2个球，计算“摸出的球恰是一红一
黄”的概率（用“画树状图”或“列表”的方法写出计算过程）；
（2）若布袋中有3个红球，x个黄球．
请写出一个x的值 1 或 2 或 3 ，使得事件“从布袋中一次摸出4个球，都是黄球”是不可
能的事件；
（3）若布袋中有3个红球，4个黄球．
我们知道：“从袋中一次摸出4个球，至少有一个黄球”为必然事件．
请你仿照这个表述，设计一个必然事件： 从袋中一次摸出 5 个球，至少有两个黄球 ．
【解答】解：（1）设三个红球分别是1、2、3，黄球为4，列表得：
y
1 2 3 4
x
（x，y）
1 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3）
第14页（共26页）（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）
共12种； 所以摸出的球恰是一红一黄”的概率= = ；
（2）因为不可能事件的概率为0，所以x可取1≤x≤3之间的整数，
故答案为：1或2或3；
（3）因为必然事件的概率为1，所以从袋中一次摸出5个球，至少有两个黄球是必然事件，
故答案为：从袋中一次摸出5个球，至少有两个黄球．
23．（6分）（2014•镇江）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+4（k≠0）与y轴交于点A．
（1）如图，直线y=﹣2x+1与直线y=kx+4（k≠0）交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为
﹣1．
①求点B的坐标及k的值；
②直线y=﹣2x+1与直线y=kx+4与y轴所围成的△ABC的面积等于 ；
（2）直线y=kx+4（k≠0）与x轴交于点E（x ，0），若﹣2＜x ＜﹣1，求k的取值范围．
0 0
【解答】解：（1）①∵直线y=﹣2x+1过点B，点B的横坐标为﹣1，
∴y=2+1=3，
∴B（﹣1，3），
∵直线y=kx+4过B点，
∴3=﹣k+4，
解得：k=1；
②∵k=1，
∴一次函数解析式为：y=x+4，
∴A（0，4），
∵y=﹣2x+1，
∴C（0，1），
∴AC=4﹣1=3，
∴△ABC的面积为： ×1×3= ；
故答案为： ；
（2）∵直线y=kx+4（k≠0）与x轴交于点E（x ，0），﹣2＜x ＜﹣1，
0 0
第15页（共26页）∴当x =﹣2，则E（﹣2，0），代入y=kx+4得：0=﹣2k+4，
0
解得：k=2，
当x =﹣1，则E（﹣1，0），代入y=kx+4得：0=﹣k+4，
0
解得：k=4，
故k的取值范围是：2＜k＜4．
24．（6分）（2014•镇江）如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到
达点B，sinα= ，然后又沿着坡度为i=1：4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从A点
到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？
【解答】解：如图所示：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CD⊥AD于点D，
由题意得：AB=0.65千米，BC=1千米，
∴sinα= = = ，
∴BF=0.65× =0.25（km），
∵斜坡BC的坡度为：1：4，
∴CE：BE=1：4，
设CE=x，则BE=4x，
由勾股定理得：x2+（4x）2=12
解得：x= ，
∴CD=CE+DE=BF+CE= + ，
答：点C相对于起点A升高了（ + ）km．
第16页（共26页）25．（6分）（2014•镇江）六•一儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN（不计
宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN（MP⊥OP，
NQ⊥OQ），他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相
等，比如：A、B、C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等．
爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为S 、S 、S ，
1 2 3
并测得S =6（单位：平方米）．OG=GH=HI．
2
（1）求S 和S 的值；
1 3
（2）设T（x，y）是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数关系式；
（3）公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花
木（区域边界上的点除外），已知MP=2米，NQ=3米．问一共能种植多少棵花木？
【解答】解：（1）∵矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等，
∴弯道为反比例函数图象的一部分，
设函数解析式为y= （k≠0），OG=GH=HI=a，
则AG= ，BH= ，CI= ，
所以，S = •a﹣ •a=6，
2
解得k=36，
所以，S = •a﹣ •a= k= ×36=18，
1
S = •a= k= ×36=12；
3
（2）∵k=36，
∴弯道函数解析式为y= ，
∵T（x，y）是弯道MN上的任一点，
∴y= ；
（3）∵MP=2米，NQ=3米，
第17页（共26页）∴GM= =18， =3，
解得OQ=12，
∵在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），
∴x=2时，y=18，可以种8棵，
x=4时，y=9，可以种4棵，
x=6时，y=6，可以种2棵，
x=8时，y=4.5，可以种2棵，
x=10时，y=3.6，可以种1棵，
一共可以种：8+4+2+2+1=17棵．
答：一共能种植17棵花木．
26．（8分）（2014•镇江）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一
点，∠EAB=∠ADB．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；
（3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，
∴EA是⊙O的切线．
（2）证明：如图2，连接BC，
第18页（共26页）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBA=∠ABC=90°
∵B是EF的中点，
∴在RT△EAF中，AB=BF，
∴∠BAC=∠AFE，
∴△EAF∽△CBA．
（3）解：∵△EAF∽△CBA，
∴ = ，
∵AF=4，CF=2．
∴AC=6，EF=2AB，
∴ = ，解得AB=2 ．
∴EF=4 ，
∴AE= = =4 ，
27．（9分）（2014•镇江）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=﹣x2+2nx﹣
n2+2n的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4．
（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；
（2）小丽发现：将抛物线y=﹣x2+2nx﹣n2+2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为
坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；
（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列），
= ．
①写出C点的坐标：C（ ﹣ 4t+ 2 ， 4+ t ）（坐标用含有t的代数式表示）；
②若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．
第19页（共26页）【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+2nx﹣n2+2n过点P，P点的纵坐标为4，
∴4=﹣x2+2nx﹣n2+2n
解得：x =n+ ，x =n﹣ ，
1 2
∵PQ=x ﹣x =4，
1 2
∴2 =4，
解得：n=4，
∴抛物线的函数关系式为：y=﹣x2+8x﹣8，
∴4=﹣x2+8x﹣8，
解得：x=2或x=6，
∴P（2，4）．
（2）正确；
∵P（2，4），PQ=4，
∴Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（﹣2，4），
∴P与Q′正好关于y轴对称，
∴所得新抛物线的对称轴是y轴，
∵抛物线y=﹣x2+8x﹣8=﹣（x﹣4）2+8，
∴抛物线的顶点M（4，8），
∴顶点M到直线PQ的距离为4，
∴所得新抛物线顶点到直线PQ的距离为4，
∴所得新抛物线顶点应为坐标原点．
（3）①如图2，过P作x轴的垂线，交x轴于M，过C作CN⊥MN于N，
∵ = ，
第20页（共26页）∴ = ，
∵△APM∽△PCN，
∴ = = = ，
∵AM=2﹣1=1，PM=4，
∴PN=t，CN=4t，
∴MN=4+t，
∴C（﹣4t+2，4+t），
②由（1）可知，旋转后的新抛物线是y=ax2，
∵新抛物线是y=ax2过P（2，4），
∴4=4a，
∴a=1，
∴旋转后的新抛物线是y=x2，
∵C（﹣4t+2，4+t）在抛物线y=x2上，
∴4+t=（﹣4t+2）2，
解得：t=0（舍去）或t= ，
∴t= ．
28．（10分）（2014•镇江）我们知道平行四边形那有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿
着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论
【发现与证明】
在 ▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
结论1：B′D∥AC；
结论2：△AB′C与 ▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形．
…
请利用图1证明结论1或结论2．
【应用与探究】
在 ▱ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
（1）如图1，若AB= ，∠AB′D=75°，则∠ACB= 45 ° ，BC= ；
（2）如图2，AB=2 ，BC=1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积；
（3）已知AB=2 ，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？
第21页（共26页）【解答】解：【发现与证明】
在 ▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠ADC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴AB′=AB，B′C=BC，∠AB′C=∠B，
∴AB′=CD，B′C=AD，∠AB′C=∠ADC，
在△AB′C和△CAD中，
，
∴△AB′C≌△CAD（SAS），
∴∠ACB′=∠CAD，
设AD、B′C相交于E，
∴AE=CE，
∴△ACE是等腰三角形，
即△AB′C与 ▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形；
∵B′C=AD，AE=CE，
∴B′E=DE，
∴∠CB′D=∠ADB′，
∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD，
∴∠ADB′=∠DAC，
∴B′D∥AC；
【应用与探究】
（1）如图1，∵在 ▱ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠AB′C=30°，
∵∠AB′D=75°，
∴∠CB′D=45°，
∵B′D∥AC，
∴∠ACB′=∠CB′D=45°，
∵∠ACB=∠ACB′，
∴∠ACB=45°；
作AG⊥BC于G，
∴AG=CG，
第22页（共26页）∵∠B=30°，
∴AG= AB= = ，
∴CG= ，BG= = ，
∴BC=BG+CG= ，
故答案为：45°， ；
（2）如图2，
作CG⊥AB′于G，
∵∠B=30°，
∴∠AB′C=30°，
∴CG= B′C= BC= ，B′G= B′C= BC= ，
∵AB′=AB=2 ，
∴AG=2 ﹣ = ，
设AE=CE=x，则EG= ﹣x，
∵CG2+EG2=CE2，
∴（ ）2+（ ﹣x）2=x2，解得x= ，
∴AE= ，
∴△AEC的面积= AE•CG= × × = ；
（3）如图2，∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B=30°，
∴∠AB′C=∠CDA=30°，
∵△AB′D是直角三角形，
当∠B′AD=90°，AB＞BC时，
设∠ADB′=∠CB′D=y，
∴∠AB′D=y﹣30°，
∵∠AB′D+∠ADB′=90°，
∴y﹣30°+y=90°，解得y=60°，
∴∠AB′D=y﹣30°=30°，
∵AB′=AB=2 ，
第23页（共26页）∴AD= × =2，
∴BC=2，
当∠ADB′=90°，AB＞BC时，如图3，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′=90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AB=2 ，
∴BC= AB= × =3；
当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图4，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2 ，
∴∠AB′C=30°，
∴GC= B′C= BC，
∴G是BC的中点，
在RT△ABG中，BG= AB= ×2 =3，
∴BC=6；
第24页（共26页）当∠AB′D=90°时，如图5，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D=90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=2 ，
∴BC=AB÷ =2 × =4；
∴已知当BC的长为2或3或4或6时，△AB′D是直角三角形．
第25页（共26页）参与本试卷答题和审题的老师有：wangming；蓝月梦；星期八；wkd；wd1899；caicl；gsls；sjzx；
bjy；73zzx；2300680618；wdzyzlhx；HJJ；sks；lantin；sd2011；守拙（排名不分先后）
菁优网
2016年7月19日
第26页（共26页）
