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2014年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选
项，不选，多选，错选，均不得分）
1．（4分）计算﹣4×（﹣2）的结果是（ ）
A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣2
2．（4分）如图，由相同的小正方体搭成的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝
50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（ ）
A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm
4．（4分）下列整数中，与 最接近的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（4分）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）某品牌电插座抽样检查的合格率为99%，则下列说法总正确的是（ ）
第1页（共20页）A．购买100个该品牌的电插座，一定有99个合格
B．购买1000个该品牌的电插座，一定有10个不合格
C．购买20个该品牌的电插座，一定都合格
D．即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格
7．（4分）将分式方程1﹣ ＝ 去分母，得到正确的整式方程是（ ）
A．1﹣2x＝3 B．x﹣1﹣2x＝3 C．1+2x＝3 D．x﹣1+2x＝3
8．（4分）如图，把一个小球垂直向上抛出，则下列描述该小球的运动速度v（单位：m/s）与运
动时间（单位：s）关系的函数图象中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于
点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．不确定
10．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形
EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（ ）
第2页（共20页）A．4：3 B．3：2 C．14：9 D．17：9
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）计算x•2x2的结果是 ．
12．（5分）如图折叠一张矩形纸片，已知∠1＝70°，则∠2的度数是 ．
13．（5分）因式分解a3﹣4a的结果是 ．
14．（5分）抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各1双（除颜色外其余都相同），在看不见的情况
下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是 ．
15．（5分）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使
AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD＝10cm，AB＝60cm，则这
个车轮的外圆半径为 cm．
16．（5分）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复
进行这种运算的过程如下：
则第n次运算的结果y ＝ （用含字母x和n的代数式表示）．
n
三、解答题（本题共8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第
24题14分，共80分）
第3页（共20页）17．（8分）计算：|2 ﹣1|+（ ﹣1）0﹣（ ）﹣1．
18．（8分）解不等式组： ，并把解集在如图数轴上表示出来．
19．（8分）已知反比例函数y＝ ，当x＝2时，y＝3．
（1）求m的值；
（2）当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围．
20．（8分）如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷EF⊥AD，垂足为
A，AB＝CD且AD＝BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明
这一结论．
21．（10分）如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC＝500m的A处出发，沿着俯角为15°的
方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求
他飞行的水平距离BC（结果精确到1m）．
22．（12分）为了估计鱼塘中成品鱼（个体质量在0.5kg及以上，下同）的总质量，先从鱼塘中
捕捞50条成品鱼，称得它们的质量如表：
质量/kg 0.5 0.6 0.7 1.0 1.2 1.6 1.9
数量/条 1 8 15 18 5 1 2
第4页（共20页）然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号．
（1）请根据表中数据补全如图的直方图（各组中数据包括左端点不包括右端点）．
（2）根据图中数据分组，估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最
大？
（3）根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？
（4）请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量（精确到1kg）．
23．（12分）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，
A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，
根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系
如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量（t 单位：吨）之间的函数关系是s
＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；
（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利
润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．
求w关于x的函数关系式；
①若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
（②3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利
润，并求出最大毛利润．
第5页（共20页）24．（14分）研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定．
定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形．
（1）研究性质
如图1，等角六边形ABCDEF中，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什
①么位置关系？证明你的结论．
如图2，等角六边形ABCDEF中，如果有AB＝DE，则其余两组正对边BC与EF，CD与
②AF相等吗？证明你的结论．
如图3，等角六边形ABCDEF中，如果三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O，那么三
③组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么数量关系？证明你的结论．
（2）探索判定
三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120°，才能保证六边形一定是等角
六边形？
第6页（共20页）2014年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选
项，不选，多选，错选，均不得分）
1．【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：﹣4×（﹣2），
＝4×2，
＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．
2．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解；从正面看第一层是三个正方形，第二层是中间一个正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．【分析】判断出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第
三边的一半可得AC＝2OD．
【解答】解：∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AC＝2OD＝2×50＝100cm．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解
题的关键．
4．【分析】根据5 ，25与30的距离小于36与30的距离，可得答案．
【解答】解：∵52＝25，62＝36，
∴5 ，25与30的距离小于36与30的距离，
∴与 最接近的是5．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，两个被开方数的差小，算术平方根的差也小是解
题关键．
第7页（共20页）5．【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．
【解答】解：∵直径所对的圆周角等于直角，
∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．【分析】根据概率的意义，可得答案．
【解答】解：A、B、C说法都非常绝对，故A、B、C错误；
D、即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格，说法合理，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了概率的意义，本题解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念．
7．【分析】分式方程两边乘以最简公分母x﹣1，即可得到结果．
【解答】解：分式方程去分母得：x﹣1﹣2x＝3，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8．【分析】一个小球垂直向上抛出，小球的运动速度v越来越小，到达最高点是为0，小球下落
时速度逐渐增加，据此选择即可．
【解答】解：根据分析知，运动速度v先减小后增大．
故选：C．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象．分析小球的运动过程是解题的关键．
9．【分析】过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得
∠IEF+∠HEB＝90°，再根据BE＝EF即可解题．
【解答】解：如图所示，过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE＝∠EIF＝90°，
∵E是BF的垂直平分线EM上的点，
∴EF＝EB，
∵E是∠BCD角平分线上一点，
第8页（共20页）∴E到BC和CD的距离相等，即BH＝EI，
Rt△BHE和Rt△EIF中， ，
∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL），
∴∠HBE＝∠IEF，
∵∠HBE+∠HEB＝90°，
∴∠IEF+∠HEB＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∵BE＝EF，
∴∠EBF＝∠EFB＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，
全等三角形对应角相等的性质．
10．【分析】首先得出△MEC∽△DAC，则 ＝ ，进而得出 ＝ ，即可得出答案．
【解答】解：∵ME∥AD，
∴△MEC∽△DAC，
∴ ＝ ，
∵菱形ABCD的对角线AC＝4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，
∴AE＝1cm，EC＝3cm，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为： ＝ ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出 ＝ 是解题关
键．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
第9页（共20页）11．【分析】根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余
字母连同它的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：x•2x2＝2x3．
故答案为：2x3．
【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．【分析】根据折叠性质得出∠2＝∠EFG，求出∠BEF，根据平行线性质求出∠CFE，即可
求出答案．
【解答】解：
∵根据折叠得出四边形MNFG≌四边形BCFG，
∴∠EFG＝∠2，
∵∠1＝70°，
∴∠BEF＝∠1＝70°，
∵AB∥DC，
∴∠EFC＝180°﹣∠BEF＝110°，
∴∠2＝∠EFG＝ ∠EFC＝55°，
故答案为：55°．
【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，对顶角相等的应用，解此题的关键是能根
据平行线性质求出∠CFE的度数．
13．【分析】原式提取a后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
14．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色
的情况，再利用概率公式即可求得答案．
第10页（共20页）【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，它们恰好同色的有4种情况，
∴它们恰好同色的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重
复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．【分析】设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，根据CD＝10cm，AB＝60cm，设半径为r，
则OD＝r﹣10，根据垂径定理得：r2＝（r﹣10）2+302，求得r的值即可．
【解答】解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，
∵CD＝10cm，AB＝60cm，
∴设半径为r，则OD＝r﹣10，
根据题意得：r2＝（r﹣10）2+302，
解得：r＝50，
故答案为：50．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，解题的关键是正确构造直角三角形．
16．【分析】将y 代入y 计算表示出y ，将y 代入y 计算表示出y ，归纳总结得到一般性规律
1 2 2 2 3 3
即可得到结果．
【解答】解：将y ＝ 代入得：y ＝ ＝ ；
1 2
第11页（共20页）将y ＝ 代入得：y ＝ ＝ ，
2 3
依此类推，第n次运算的结果y ＝ ．
n
故答案为： ．
【点评】此题考查了分式的混合运算，找出题中的规律是解本题的关键．
三、解答题（本题共8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第
24题14分，共80分）
17．【分析】分别根据0指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质计算出各数，再根
据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝2 ﹣1+1﹣
＝ ．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性
质是解答此题的关键．
18．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
∵解不等式 得：x＞2，
解不等式 ①得：x＜3，
∴不等式②组的解集为2＜x＜3，
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的
解集的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．
19．【分析】（1）把x、y的值代入反比例函数解析式，通过方程来求m的值；
（2）根据反比例函数图象的性质进行解答．
第12页（共20页）【解答】解：（1）把x＝2时，y＝3代入y＝ ，得
3＝ ，
解得：m＝﹣1；
（2）由m＝﹣1知，该反比例函数的解析式为：y＝ ．
当x＝3时，y＝2；
当x＝6时，y＝1．
∴当3≤x≤6时，由于y随x的增大而减小，所以函数值y的取值范围是：1≤y≤2．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．（1）题，实际上
是把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程．
20．【分析】首先证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断．
【解答】证明：∵AB＝CD、AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，正确理解平行四边形的判定方法是关键．
21．【分析】首先过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，进而里锐角三角函数
关系得出DE、AE的长，即可得出DF的长，求出BC即可．
【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
由题意可得：∠ADE＝15°，∠BDF＝15°，AD＝1600m，AC＝500m，
∴cos∠ADE＝cos15°＝ ≈0.97，
∴ ≈0.97，
解得：DE＝1552（m），
sin15°＝ ≈0.26，
∴ ≈0.26，
第13页（共20页）解得；AE＝416（m），
∴DF＝500﹣416＝84（m），
∴tan∠BDF＝tan15°＝ ≈0.27，
∴ ≈0.27，
解得：BF＝22.68（m），
∴BC＝CF+BF＝1552+22.68＝1574.68≈1575（m），
答：他飞行的水平距离为1575m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形得出CF，BF的长是解
题关键．
22．【分析】（1）由函数图象可以得出1.1﹣1.4的有5条，就可以补全直方图；
（2）分别求出各组的频率，就可以得出结论；
（3）由这组数据的个数为50，就可以得出第25个和第26个数的平均数就可以得出结论；
（4）设鱼塘中成品鱼的条数为x，根据作记号的鱼50：x＝2：100建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）由函数图象可以得出1.1﹣1.4的有5条，补全图形，得：
（2）由题意，得
0.5﹣0.8的频率为：24÷50＝0.48，
0.8﹣1.1的频率为：18÷50＝0.36，
1.1﹣1.4的频率为：5÷50＝0.1，
第14页（共20页）1.4﹣1.7的频率为：1÷50＝0.02，
1.7﹣2.0的频率为：2÷50＝0.04．
∵0.48＞0.36＞0.1＞0.04＞0.02．
∴估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在0.5﹣0.8的可能性最大；
（3）这组数据的个数为50，就可以得出第25个和第26个数分别是1.0，1.0，
∴（1.0+1.0）÷2＝1.0，
鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在0.8﹣1.1内；
（4）设鱼塘中成品鱼的条数为x，由题意，得：
50：x＝2：100，
解得：x＝2500．
2500× ＝2260kg．
【点评】本题考查了频数分布直方图的运用，比较频率大小的运用，中位数的运用，平均数
的运用，由样本数据估计总体数据的运用，解答时认真分析统计表和统计图的数据是关键．
23．【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；
（2） 当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经
营总①成本＝w +w ﹣3×20；
A B
若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入 中求得的表达式，求出A类杨梅的
②数量； ①
（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨
梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m
﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．
【解答】解：（1） 当2≤x＜8时，如图，
设直线AB解析式为①：y＝kx+b，
将A（2，12）、B（8，6）代入得：
，解得 ，
∴y＝﹣x+14；
当x≥8时，y＝6．
②所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：
第15页（共20页）y＝ ；
（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．
当2≤x＜8时，
①w
A
＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；
w ＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x
B
∴w＝w +w ﹣3×20
A B
＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60
＝﹣x2+7x+48；
当x≥8时，
w ＝6x﹣x＝5x；
A
w ＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x
B
∴w＝w +w ﹣3×20
A B
＝（5x）+（108﹣6x）﹣60
＝﹣x+48．
∴w关于x的函数关系式为：
w＝ ．
当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x ＝9，x ＝﹣2，均不合题意；
1 2
②当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．
∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．
（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，
则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]
万元，
∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．
当2≤x＜8时，
①w
A
＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；
w ＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12
B
∴w＝w +w ﹣3×m
A B
第16页（共20页）＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m
＝﹣x2+7x+3m﹣12．
将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64
∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，
此时m＝ ，m﹣x＝ ；
当x≥8时，
②w
A
＝6x﹣x＝5x；
w ＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12
B
∴w＝w +w ﹣3×m
A B
＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m
＝﹣x+3m﹣12．
将3m＝x+60代入得：w＝48
∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．
综上所述，购买杨梅共 吨，其中A类杨梅4吨，B类 吨，公司能够获得最大毛利润，
最大毛利润为64万元．
【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、
利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．
24．【分析】（1）通过验证容易得到猜想：三组正对边分别平行．要证明两条线段平行，只需证
明同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，要证AB∥DE，只需连接AD，证明∠ADE＝
∠DAB即可，其它两组同理可得．
（2）要证BC＝EF，CD＝AF，只需连接AE、BD，证明△AFE≌△DCB即可．
（3）由条件“三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O”及（1）中的结论可证到
第17页（共20页）＝ ，将等角六边形ABCDEF补成等边三角形后，可以证到AB+AF＝
DE+DC，从而得到三组正对边分别相等．
（4）若只有1个内角为120°或有2个内角为120°，可以通过举反例说明该六边形不一定是
等角六边形；若有3个内角为120°，可以通过分类讨论证明该六边形一定是等角六边形．
【解答】解：（1） 结论：AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF．
证明：连接AD，如①图1，
∵六边形 ABCDEF 是等角六边形，∴∠BAF＝∠F＝∠E＝∠EDC＝∠C＝∠B＝
＝120°．
∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA＝360°，∴∠DAF+∠EDA＝360°﹣120°﹣120°＝120°．
∵∠DAF+∠DAB＝120°，∴∠DAB＝∠EDA．∴AB∥DE．
同理BC∥EF，CD∥AF．
结论：EF＝BC，AF＝DC．
②证明：连接AE、DB，如图2，
∵AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AE＝DB，∠EAB＝∠BDE．
∵∠BAF＝∠EDC．∴∠FAE＝∠CDB．
在△AFE和△DCB中，
．
∴△AFE≌△DCB．
∴EF＝BC，AF＝DC．
结论：AB＝DE，AF＝DC，EF＝BC．
③延长FE、CD相交于点P，延长EF、BA相交于点Q，延长DC、AB相交于点S，如图3．
∵六边形ABCDEF是等角六边形，∴∠BAF＝∠AFE＝120°．∴∠QAF＝∠QFA＝60°．
∴△QAF是等边三角形．∴∠Q＝60°，QA＝QF＝AF．
同理：∠S＝60°，SB＝SC＝BC；∠P＝60°，PE＝PD＝ED．
∵∠S＝∠P＝60°，∴△PSQ是等边三角形．∴PQ＝QS＝SP．
∴QB＝QS﹣BS＝PS﹣CS＝PC．∴AB+AF＝AB+QA＝QB＝PC＝PD+DC＝ED+DC．
第18页（共20页）∵AB∥ED，∴△AOB～△DOE．∴ ．
同理： ， ．
∴ ．
∴ ＝ ＝1．
∴AB＝ED，AF＝DC，EF＝BC．
（2）连接BF，如图4，
∵BC∥EF，∴∠CBF+∠EFB＝180°．
∵∠A+∠ABF+∠AFB＝180°，∴∠ABC+∠A+∠AFE＝360°．
同理：∠A+∠ABC+∠C＝360°．
∴∠AFE＝∠C．
同理：∠A＝∠D，∠ABC＝∠E．
Ⅰ．若有2个内角等于120°，不能保证该六边形一定是等角六边形．
反例：当∠A＝∠D＝120°，∠ABC＝150°时，∠E＝∠ABC＝150°．
∵六边形的内角和为720°，∴∠AFE＝∠C＝ （720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°）＝90°．
此时该六边形不是等角六边形．
Ⅱ．若有3个内角等于120°，能保证该六边形一定是等角六边形．
设∠A＝∠D＝ ，∠ABC＝∠E＝ ，∠AFE＝∠C＝ ．则2 +2 +2 ＝720°．∴ + + ＝
360°． α β γ α β γ α β γ
∵有3个内角等于120°，∴ 、 、 中至少有两个为120°．
若 、 、 都等于120°，则α六个β内γ角都等于120°；
若α、β、γ中有两个为120°，根据 + + ＝360°可得第三个也等于120°，则六个内角都等
于α120β°．γ α β γ
综上所述：至少有3个内角等于120°，能保证该六边形一定是等角六边形．
第19页（共20页）【点评】本题引导学生对几何图形进行科学探究（从定义到性质到判定），考查了相似三角
形、全等三角形以及平行四边形的性质与判定、多边形的内角和定理等知识，考查了分类
讨论的思想，培养了学生的批判意识（举反例说明一个命题是假命题），是一道非常难得
的好题．
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