文档内容
难点与新考法 07 二次函数与线段、面积、角度问题（5 大热考题型）
题型一：抛物线与动直线交点问题
题型二：抛物线与动线段交点问题
题型三：二次函数与线段问题
题型四：二次函数与面积问题
题型五：二次函数与角度问题
题型一：抛物线与动直线交点问题
将二次函数和一次函数表达式联立,得到一元二次方程,根据一元二次方程根的判别式的值与0的大小关系来
判断抛物线与直线的交点情况
b2-4ac>0 ↔抛物线与直线有两个交点;
b2-4ac=0 ↔抛物线与直线有一个交点:
b2-4ac<0 ↔抛物线与直线没有交点
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·河南开封·二模）已知二次函数 的图象经过点 和 ，与 轴的
另一个交点为 ，与 轴交于点 ．
(1)求二次函数的表达式及顶点坐标；
(2)将二次函数 的图象在点 ， 之间的部分（包含点 ， ）记为图象 ．已知直线 ：恒过点(2,3)，当直线 与图象 有两个公共点时，请直接写出 的取值范围；
(3)在第（2）题的条件下， 取最大值时，将直线 向下平移，交抛物线于点P(x ,y )和点Q(x ,y )，交
1 1 2 2
线段 于点 ，结合函数的图象，求 的取值范围．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·江苏南京·三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数 的
图像与函数 的图像交点的横坐标可视为方程 的根．
(1)函数 的图像与函数 的图像有两个不同交点，求 取值范围．
(2)已知二次函数 （ 为常数）．
①设直线 与抛物线 有两个不同交点，求 取值范围．
②已知点 ，若抛物线 与线段 只有一个公共点，请直接写出 的取值
范围．2．（2024·江苏南通·一模）已知抛物线 （m，n为常数， ）与x轴交于A，B两点
（点A在点B的左侧），与y轴交点C，顶点为D， ．
(1)求 的值；
(2)如图，连接 交 于点 ，求证： ；
(3)设M是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点M作 轴，交直线 于点N．由线段
长的不同取值，试探究符合条件的点M的个数．
3．（2024·江苏无锡·一模）已知二次函数 的图象交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ．一次
函数 的图象经过点 ， ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若二次函数 的图象与平行于 轴的直线 始终有两个交点 ， （点 在点 的左侧），
为该抛物线上异于 ， 的一点，点 ， 的横坐标分别为 ， ．当 的值发生变化时， 的
度数是否也发生变化？若变化，请求出 度数的范围；若不变，请说明理由；
(3)过点 的直线交直线 于点 ，连接 ，当直线 与直线 的夹角等于 的2倍时，求出
点 的坐标．4．（2024·广东广州·二模）已知二次函数 的图象为抛物线C，一次函数
的图象为直线l．
(1)求抛物线C的顶点坐标（用含m的式子表示）；
(2)若直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上，求k的值；
(3)当 时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交
点，其中在抛物线对称轴左侧的交点记为点P，当 为钝角三角形时，求m的取值范围．
题型二：抛物线与动线段交点问题
1.动线段在x轴上(点C在点D左侧)
交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点
图示满足条件 动线段CD在点A左侧或 点D(或点C)在AB之间 点C在点A左侧且点D在点B
在点B右侧 右侧
2.动线段在直线上(点 C在点 D上方)
交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点
图示
满足条件 点D在点A上方或点C 点D(或点C)在AB之间 点C在点A上方且点D在
在点B下方 点B下方
3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧)
交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点
图示
满足条件 点C在点A下方或点C在 点C在点A或CD经过点M 点C在点B处或点C在点B
点M上方 处或点C在点A上方且在 上方且在点M下方
点B下方
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为
“完美点”．抛物线 （a为常数且 ）与y轴交于点A．
(1)若 ，求抛物线的顶点坐标；(2)若线段 （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
(3)若抛物线与直线 交于M、N两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
求a的取值范围．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·云南文山·二模）已知抛物线 （a，c为常数， ）经过点 ，顶点为
D．
(1)当 时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)将点 向左平移4个单位得到点 H，连接 ，若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图
象，求a的取值范围．
2．（2024·云南昆明·三模）平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点A．
(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；
(2)已知点 、 ，若线段 与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
3．（2024·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）与 轴交
于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点 ，点 在抛物线上．(1)求点 的坐标（用含 的式子表示）．
(2)当 的纵坐标为3时，求 的值；
(3)已知点 ， ，若抛物线与线段 恰有一个公共点，请结合函数图象求出 的取值范围．
4．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线 相交于
， 两点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2) 为直线 下方抛物线上的任意一点，连接 ， ，求 面积的最大值．
(3)点 在直线 上，将线段 沿着 轴向上或向下平移，点 和点 的对应点分别为点 和点
，为使平移后的线段 与抛物线只有一个公共点，设点 的纵坐标为 ，求 的取值范围．5．（2024·河北·模拟预测）如图，抛物线 ，M为抛物线的顶点，点P是直线
上一动点，且点P的横坐标为m．
(1)求点M的坐标（用含m的式子表示）；
(2)连接 ，当线段 与抛物线L只有一个交点时，求m的取值范围；
(3)将抛物线上横、纵坐标互为相反数的点定义为这个抛物线上的“互反点”．若点 ．
①求抛物线L的解析式，并判断抛物线上是否有“互反点”，若有，求出“互反点”的坐标．若没有，请
说明理由；
②若点 为x轴上的动点，过Q作直线 轴，将抛物线 的图象记为
，将 沿直线 翻折后的图象记为 ，当 ， 两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写
出n的取值范围．题型三：二次函数与线段问题
第一步:设点坐标及坐标表示
第二步:表示线段长
第三步:根据线段长度或者数量关系列方程求解
【中考母题学方法】
【典例3】（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，作直线 ．
(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点 是线段 上方的抛物线上一动点，过点 作 ，垂足为 ，请问线段 是否存在
最大值？若存在，请求出最大值及此时点 的坐标；若不存在请说明理由．
(3)如图2，点 是直线 上一动点，过点 作线段 （点 在直线 下方），已知 ，若
线段 与抛物线有交点，请直接写出点 的横坐标 的取值范围．
【变式3-1】（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象交 轴
于 ， 两点， ， 为抛物线顶点．
(1)求 ， 的值；
(2)点 为直线 下方抛物线上一点，过点 作 轴，垂足为点 ，交 于点 ，是否存在
？若存在，求出此时 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，以 为圆心，2为半径作圆， 为圆 上任一点，求 的最小值．
【变式3-2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴
交于点 ，其顶点为D．
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得 的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点E在以点 为圆心，1为半径的 上，连接 ，以 为边在 的下方作等边三角形 ，
连接 ．求 的取值范围．【变式3-3】（2024·湖南·中考真题）已知二次函数 的图像经过点 ，点P(x ,y )，
1 1
Q(x ,y )是此二次函数的图像上的两个动点．
2 2
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线 的上方，过点P作 轴于点C，交AB于点D，连接 ．若 ，求证 的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限， ，若点M在直线 上，且横坐标为 ，过点M作 轴于
点N，求线段 长度的最大值．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·山西太原·模拟预测）综合与探究
如图1，二次函数 的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点 ．点
P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线
于另一点E．(1)求点A，B，C的坐标．
(2)如图2，当点P在第二象限时，连接 ，交直线 于点F．当 时，求m的值．
(3)当点P在第三象限时，以 为边作正方形 ，当点C在正方形 的边上时，直接写出点D
的坐标．
2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，直线 与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线
经过点A，B，其顶点为C．(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求 的面积；
(3)点P为直线 上方抛物线上的任意一点，过点P作 轴交直线 于点D，求线段 的最大值及
此时点P的坐标．
3．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 和
，点 为线段 上一点，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，连结 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 为直角三角形时，求线段 的长度；
(3)在抛物线上是否存在这样的点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交
于点 ，抛物线 经过 ， 两点且与 轴的正半轴交于点 ．
(1)求 的值及抛物线的解析式．
(2)如图①，若点 为直线 上方抛物线上一动点，当 时，求 点的坐标；
(3)如图②，若 是线段 的上一个动点，过点 作直线 垂直于 轴交直线 和抛物线分别于点 、
，连接 ．设点 的横坐标为 ．
①当 为何值时，线段 有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理
由．5．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的右侧），与
轴交于点 ，连接 ．已知点 ， ．
(1)求该抛物线的表达式及直线 的表达式．
(2) 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 于点 ，求 的最大值．
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度， 为点 的对应点，平移后的抛物线与 轴交
于点 ， 为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以 为腰的 是等腰三角形
的点 的坐标．
6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于 ，两点，点 的横坐标为 ．
(1)求直线 和抛物线的解析式；
(2)点 是直线 下方的抛物线上一动点（不与点 重合），过点 作 轴的平行线，与直线 交于
点 ，连接 ，设点 的横坐标为 ；
①若点 在 轴上方，当 为何值时， 是等腰三角形；
②若点 在 轴下方，设 的周长为 ，求 关于 的函数关系式，当 为何值时， 的周长
最大，最大值是多少？
7．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点 ，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线 ．
(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作 轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作
，垂足为M．求 的最大值及此时P点的坐标．
题型四：二次函数与面积问题
一、面积问题的解题步骤
第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等
第二步：根据点坐标表示出线段长
第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形
与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。
二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法:
1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB 交抛物线于点P,则2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点 P,与 AB 交于点Q,则
3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积 如图③,直线!经
过点A和 BC 的中点 P,则
【中考母题学方法】
【典例4】（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点，与 轴
交于点 ，其中 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若 是二次函数图象上的一点，且点 在第二象限，线段 交 轴于点 的面积是 的面
积的2倍，求点 的坐标．【变式4-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与
y轴交于点C，其中 ， ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得 的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和
的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数 的图象与 轴分别交于点
，与 轴交于点C(0,−3)， 为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当 两点关于抛物线对称轴对称， 是以点 为直角顶点的直角三角形时，求点 的坐标；
(3)设 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，试探究： 的面积 是否存在最小值，若存在，请求出
最小值，若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相
交于 ， 两点（点 在点 左侧），顶点为 ，连接 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若 是 轴正半轴上一点，连接 ．当点 的坐标为 时，求证： ；
(3)如图2，连接 ，将 沿 轴折叠，折叠后点 落在第四象限的点 处，过点 的直线与线段
相交于点 ，与 轴负半轴相交于点 ．当 时， 与 是否相等？请说明理由．【中考模拟即学即练】
1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴
交于点C，点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，连接 ．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当 的面积最大时， 边上的高 的值为______．
2．（2024·甘肃·模拟预测）如图，抛物线 的图象经过 ， ， 三点．(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标；
(2)在直线 下方的抛物线上是否存在一点E，使 的面积最大，若存在，求出点E的坐标和
的最大面积；
(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四
边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·四川乐山·模拟预测）已知二次函数 （ ）与 轴交于 、 两点，与 轴
交于 ，顶点为 ．
(1)如图①，若 为直角三角形，求 的值；
(2)如图②，设AD与 交于 ，在 的变化过程中， 与 不重合部分的面积比 的值是
否为定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由；
(3)如图③，若 ，作 的中点 ，过点 在第二象限内作 轴的垂线段 ，以 、 为邻边
作矩形 ，记矩形 与 重叠部分的面积为 ，矩形 以每秒 个单位长度的速度向右运
动，当 经过 点时，停止运动．设运动时间为 ，求 与 的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围．在运动过程中， 是否存在最大值，若存在，直接写出这个最大值．
4．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数 经过 ， 两点， 轴于点 ，且
点 ， ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是线段 上一动点（不与 ， 重合），过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，当线段 的长
度最大时，求点 的坐标及 ；
(3)点 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的 点，使 成为直角三角形？若存在，求出所
有点 的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 与
轴交于A，B两点（点 在点 的左侧），其顶点为 ， 是抛物线第四象限上一点．
(1)求线段 的长；
(2)当 时，若 的面积与 的面积相等，求 的值；
(3)延长 交 轴于点 ，当 时，将 沿 方向平移得到 ．将抛物线 平移得到抛
物线 ，使得点 ， 都落在抛物线 上．试判断抛物线 与 是否交于某个定点．若是，求出该定点
坐标；若不是，请说明理由．
6．（2024·四川凉山·中考真题）如图，抛物线 与直线 相交于 两点，
与 轴相交于另一点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是直线 上方抛物线上的一个动点（不与 重合），过点 作直线 轴于点 ，交直线
于点 ，当 时，求 点坐标；
(3)抛物线上是否存在点 使 的面积等于 面积的一半？若存在，请直接写出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
7．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点
，点 在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点 在第二象限内，且 的面积为3时，求点 的坐标；
(3)在直线 上是否存在点 ，使 是以 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．8．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数 的图像经过 ， 两点，其中a，
b，c为常数，且 ．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是 ，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线 交于点
E，连接 ， ， ．是否存在点P，使 ？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点 在直线 下方的抛物线上时，过点 作 轴的平行线交 于点 ，设点 的横坐标为t，
的长为 ，请写出 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
(3)连接 ，交 于点 ，求 的最大值．题型五：二次函数与角度问题
1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°)
第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形
第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题
第三步：结合锐角三角函数值列方程求解
2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助
圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点.
【中考母题学方法】
【典例5】（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 和点
B，与y轴交于点C．
(1)求b的值；
(2)如图，M是第一象限抛物线上的点， ，求点M的横坐标；
(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，
的长为d．
①求d关于n的函数解析式；
②L与x轴围成的区域记为U，U与 内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，
且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．【变式5-1】（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （a、b
为常数， ）．
(1)若抛物线与 轴交于 、 两点，求抛物线对应的函数表达式；
(2)如图，当 时，过点 、 分别作 轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接
．求证： 平分 ；
(3)当 ， 时，过直线 上一点 作 轴的平行线，交抛物线于点 ．若 的最
大值为4，求 的值．【变式5-2】（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线 经过点A(−4,0)、 ，交y轴于
点 ，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为 时，求四边形 的面积；
(3)当 时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接 ，判断 的形状，并说明理由．【变式5-3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
，顶点为D
(1)求二次函数的解析式；
(2)P为直线 上方抛物线上一点，求 面积最大值及P点坐标；
(3)P为第四象限抛物线上一点，且 ，求出点P的坐标；
【变式5-4】（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交
于点 ， ， ，对称轴为直线 ，将抛物线 绕点 旋转 后得到新抛物线 ，抛
物线 与 轴交于点 ，顶点为 ，对称轴为直线 ．
(1)分别求抛物线 和 的表达式；
(2)如图 ，点 的坐标为 ，动点 在直线 上，过点 作 轴与直线 交于点 ，连接 ，．求 的最小值；
(3)如图 ，点 的坐标为 ，动点 在抛物线 上，试探究是否存在点 ，使 ？若
存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线 与x轴交于点A，B（点A在点B的左
边），与y轴负半轴交于点C，且 ，直线 经过B，C两点．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在抛物线上，满足 ，求点D的坐标；
(3)如图2，设抛物线的顶点为T，直线 与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为 的
中点，求 的值．
2．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图， 直线 与x，y轴分别交于点A，B，抛物线
经过A， B两点，与x轴的另外一个交点为C，点P是直线 上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线 于点 D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在点P运动过程中，连接 ，当 的中点恰好落在y轴上时，连接 ，在抛物线
上是否存在点Q，使得 ，如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请
说明理由．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线 ，函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示，在m，n，p这三个实数中，有两个是正数，且没有负数：
x … 0 1 …
y … 4 m n 4 p …
(1)求抛物线的表达式；
(2)该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上一点．
①若点D在第二象限，过点D作x轴的垂线，垂足为E，设DE交 于点F，当 取得最大值时，
求点D的坐标；
②是否存在点D，使得 ？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C，并且经过 ， 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为直线 下方抛物线上的一动点，直线 交线段 于点E，请求出 的最大值；
(3)探究：在抛物线上是否存在点M，使得 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明
理由．
5．（2024·湖南·模拟预测）定义：若抛物线 沿 轴向右平移 个单位长度得到抛物线 ，那么我们称抛物线 是 的“友好抛物线”， 称为“友好值”．如图，抛物线 与 轴交于
两点，抛物线 是 的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线 与 轴交于 两点，与
轴交于点 ，作直线 ，点 是抛物线 上一动点．
(1)抛物线 的表达式为_________；
(2)若点 在第四象限，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，当 时，求 的长；
(3)是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线 与轴交于
点 、 两点，与 轴交于点 ，连接 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当 的面积等于 面积的2倍时，求此时点Q的坐
标；
(3)如图2，点 在 轴下方的抛物线上，点 为抛物线的顶点．过点 作 轴于点 ，连接
交 于点 ，连接 ， ，探究抛物线上是否存在点 ，使
，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2024·广东清远·模拟预测）综合探究
如图，在 中 ， ，经过点C的直线 交x轴正半轴于点B(4,0)，一抛物线经
过点A、B、C，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求抛物线及直线 的函数表达式；
(2)若点G是在第一象限内抛物线上的一动点，求使 面积达到最大时点G的坐标，并求出此时面积的
最大值；
(3)若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线 上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的
，满足 ．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，与
轴交于点 ，与 轴交于 两点（ 在 的左侧），连接 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是射线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴，垂足为 ，交 于点 ．点 是线段
上一动点， 轴，垂足为 ，点 为线段 的中点，连接 ．当线段 长度取得最大
值时，求 的最小值；
(3)将该抛物线沿射线 方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段 长度取得最大值时的点 ，且与直
线 相交于另一点 ．点 为新抛物线上的一个动点，当 时，直接写出所有符合条件的
点 的坐标．9．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
点 坐标为 ，点 坐标为 ．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点 是直线 上方抛物线上一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线，
垂足为点 ，请探究 是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时 点的坐标；若没有最大值，
请说明理由．
(3)点 为该抛物线上的点，当 时，请直接写出所有满足条件的点 的坐标．10．（2024·湖北·中考真题）如图1，二次函数 交 轴于 和 ，交 轴于 ．
(1)求 的值．
(2) 为函数图象上一点，满足 ，求 点的横坐标．
(3)如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为 与 轴交于点 ，记 ，记 顶点横坐标
为 ．
①求 与 的函数解析式．
②记 与 轴围成的图象为 与 重合部分（不计边界）记为 ，若 随 增加而增加，且 内恰
有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出 的取值范围．11．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴
交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B(4,0)， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接 ，过点P作 轴于点D，交 于点K．
记 ， 的面积分别为 ， ，求 的最大值；
(3)如图2，连接 ，点E为线段 的中点，过点E作 交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，
使 ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
