文档内容
难点与解题模型 10 平行线中的常见的四种“拐角”模型
题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）
题型二：“铅笔”模型
题型三：“鸡翅”模型
题型四：“骨折模型”
题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）
一、“猪蹄”模型
猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。
猪蹄模型（又名燕尾模型、M 字模型）
步骤总结
步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线
步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角
步骤三：推导出角的数量关系
模型结论：∠B＋∠D＝∠DEB．
二、锯齿模型
已知 图示 结论（性质） 证明方法
AB∥DE ∠B+∠E=∠C
遇拐点做平行
线（方法不唯
一）
AB∥DE ∠B+∠M+∠E=∠C+∠Na∥b 所有朝左角之和等于所有朝右角的和
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，直线 ，将一个含 角的直角三角尺 按图中
方式放置，点E在 上，边 、 分别交 于点H、K，若 ，则 等于（ ）．
A． B． C． D．
【典例1-2】（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为
（ ）
A．70° B．65° C．35° D．5°
【典例1-3】（2024•茌平区一模）如图， ， ，则 ， ， 的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-4】（2024·河南南阳·模拟预测）传统文化如同一颗璀璨的明珠，熠熠生辉，为增强学生体质，同时让学生感受中国传统文化，某校将国家非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同
学“抖空竹”时的一个瞬间，小红同学把它抽象成数学问题：如图②，已知 ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-5】（2023·北京西城·统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，
完成证明．
已知：如图，AB∥CD．
求证：∠AEC=∠A+∠C
方法二
方法一
证明：如图，延长AE，交CD于点
证明：如图，过点E作MN∥AB
F．【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2024·辽宁·模拟预测）汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面(如图)，明亮
的光束是由位于抛物线反射镜焦点 F 上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴 平行的方向射
出，若 ，则光线 与 形成的 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图， ， ，若 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C．72° D．108°
【变式1-3】（2024·甘肃·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电
望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中 为竖直方向的
馈源（反射面），入射波 经过三次反射后沿 水平射出，且 ，已知入射波 与法线的夹
角 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知 ，若 与 的夹角为 ， ，则
的度数为（ ）A． B． C． D．
【变式1-5】（2024·江苏常州·一模）如图，直线 ，点A在直线a上，点C在直线b上， ，
若 ，则 ．
【变式1-6】问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得
∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
(1)当点P在A、B两点之间运动时， ∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、
∠β之间的数量关系．
(3)问题拓展：如图4，M A ∥N A ，A −B −A −⋯−B −A 是一条折线段，依据此图所含信息，
1 n 1 1 2 n−1 n
把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．题型二：“铅笔”模型
从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：
那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。
模型结论：∠B+∠E+∠D=360°
【中考母题学方法】
【典例2-1】（崇川区校级三模）如图，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E=120°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【典例2-2】（2024春•启东市校级月考）如图，直线 a∥b，∠1＝28°，则∠3＝ 度，∠3+∠4+∠5＝
度．
【典例2-3】请在横线上填上合适的内容．
（1）如图（1）已知 // ，则 ．解：过点 作直线 // ．
∴ （ ）．（ ）
∵ // ， // ，
∴（ ）//（ ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）
∴ （ ）．（ ）．
∴ ．
∴ ．
（2）如图②，如果 // ，则 （ ）
【典例2-4】如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（江苏模拟）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D＝120°，
则∠C的度数为（ ）
A．120° B．100° C．140° D．90°
【变式2-2】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而
可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出
∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °；
问题迁移：
（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，
∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接
写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【变式2-3】（1）如图1，l ∥l ，求∠A +∠A +∠A ＝______．（直接写出结果）
1 2 1 2 3（2）如图2，l ∥l ，求∠A +∠A +∠A +∠A ＝_____．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4
（3）如图3，l ∥l ，求∠A +∠A +∠A +∠A +∠A ＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4 5
（4）如图4，l ∥l ，求∠A +∠A +…+∠A ＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2 n
题型三：“鸡翅”模型
已知 图示 结论（性质）
AB∥DE ∠1=∠2+∠3
E
AB∥DE
1 2 ∠1+∠3-∠2=180°
A
B
3
D
C
【中考母题学方法】
【典例3-1】（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明
代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民
间流行的历史至少在 年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：
， ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【典例3-2】AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的
平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
【典例3-3】（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题：如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE?
小明认为∠D−∠A=20°时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面
的作图与填空：
解：用直尺和圆规，在DA的右侧找一点M，使∠DAM=∠D（只保留作图痕迹）．
∵∠DAM=∠D，
∴①_____________
∵∠D−∠DAB=20°
∴∠BAM=②_________°，
∵∠B=160°，
∴∠B+∠BAM=③__________°，
∴④_____________
∴BC∥DE．
所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC∥DE．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】如图，若 ，则∠1+∠3-∠2的度数为【变式3-2】问题探究：
如下面四个图形中， AB CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：
（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平
行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
【变式3-3】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+ ∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
题型四：“骨折模型”
模型结论：∠E=∠B-∠D
【中考母题学方法】
【典例4-1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图， ， ， ．则 ．
【典例4-2】（2023·四川资阳·中考真题）如图， ， 交 于点F， 则
．【典例4-3】①如图1，AB CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，AB CD，则∠E＝∠A＋∠C；③如
图3，AB CD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，AB CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是
（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线 ．若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·河南漯河·二模）如图，直线 ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】 ①如图1， ，则 ；②如图2， ，则 ；③如图3， ，则 ；④如图4，直线 EF，点 在直线 上，则
．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
