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2014 年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）（2014•衡阳）﹣2的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．（3分）（2014•衡阳）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2014•衡阳）环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问
题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指
大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．
用科学记数法表示0.0000025为（ ）
A．2.5×10﹣5 B．2.5×105 C．2.5×10﹣6 D．2.5×106
4．（3分）（2014•衡阳）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（3分）（2014•衡阳）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会
报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的
距离（s 米）与散步所用时间（t 分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是
（ ）
A．小明看报用时8分钟 B．公共阅报栏距小明家200米C．小明离家最远的距离为400米D．小明从出发到回家共用时16分钟
6．（3分）（2014•衡阳）下列运算结果正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．x3•x2=x6 C．x5÷x=x5 D．x3•（3x）2=9x5
7．（3分）（2014•衡阳）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2014•衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（ ）
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
9．（3分）（2014•衡阳）如图所示的图形是由7个完全相同的小正方体组成的立体
图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，
坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（ ）
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
11．（3分）（2014•衡阳）圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
12．（3分）（2014•衡阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边形都相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的梯形是等腰梯形二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）（2014•攀枝花）函数 中，自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）（2014•衡阳）化简： （ ﹣ ）= ．
15．（3分）（2014•衡阳）如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长
为 ．
16．（3分）（2014•衡阳）甲、乙两同学参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷6
次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为： =10.5， =10.5， =0.61，
=0.50，则成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
17．（3分）（2014•衡阳）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，
∠BAD的度数为 ．
18．（3分）（2014•衡阳）若点P（﹣1，m），P（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的
1 2
图象上，则m= n（填“＞”“＜”或“=”号）．
19．（3分）（2014•衡阳）分式方程 = 的解为x= ．
20．（3分）（2014•衡阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M 的坐标为（1，
0
0），将线段OM 绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M ，使得
0 1
M M ⊥OM ，得到线段OM ；又将线段OM 绕原点O逆时针方向旋转45°，再将
1 0 0 1 1
其延长到M ，使得M M ⊥OM ，得到线段OM ；如此下去，得到线段OM ，OM ，
2 2 1 1 2 3 4
OM ，…
5根据以上规律，请直接写出OM 的长度为 ．
2014
三、解答题（本大题共8小题，满分60分）
21．（6分）（2014•衡阳）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（a+2b）﹣b2，其中a=1，
b=﹣2．
22．（6分）（2014•衡阳）小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取
了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇
形统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）计算被抽取的天数；
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数；
（3）请估计该市这一年（365天）达到优和良的总天数．23．（6分）（2014•衡阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为点E、F．
求证：△BED≌△CFD．
24．（6分）（2014•衡阳）学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年
底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．
25．（8分）（2014•衡阳）某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买
笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少
买1件．
（1）若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；
（2）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；
（3）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率
26．（8分）（2014•衡阳）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在
Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于
点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；
（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直
角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断 的值是否
随着α的变化而变化？如果不变，请求出 的值；反之，请说明理由．
27．（10分）（2014•衡阳）如图，已知直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣4，0）、B
（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向点B移动，同时，
将直线y= x以每秒0.6个单位的速度向上平移，分别交AO、BO于点C、D，设运
动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；
（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D为圆心，以DO长为
半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．28．（10分）（2014•衡阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣
3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的
面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？
2014 年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）（2014•衡阳）﹣2的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【考点】倒数．菁优网版权所有
【分析】根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣ ．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣ ．
故选：B．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）（2014•衡阳）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分折叠后可重合．
3．（3分）（2014•衡阳）环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问
题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指
大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．
用科学记数法表示0.0000025为（ ）
A．2.5×10﹣5 B．2.5×105 C 2.5×10﹣6 D．2.5×106
【考点】科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与
较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个
不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 0025=2.5×10﹣6；
故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜
10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）（2014•衡阳）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7．
故选C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
5．（3分）（2014•衡阳）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会
报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的
距离（s 米）与散步所用时间（t 分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是
（ ）
A．小明看报用时8分钟 B．公共阅报栏距小明家200米
C．小明离家最远的距离为400米 D．小明从出发到回家共用时16分钟
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【分析】A．从4分钟到8分钟时间增加而离家的距离没变，所以这段时间在看报；B.4分钟时散步到了报栏，据此知公共阅报栏距小明家200米；
C．据图形知，12分钟时离家最远，小明离家最远的距离为400米；
D．据图知小明从出发到回家共用时16分钟．
【解答】解：A．小明看报用时8﹣4=4分钟，本项错误；
B．公共阅报栏距小明家200米，本项正确；
C．据图形知，12分钟时离家最远，小明离家最远的距离为400米，本项正确；
D．据图知小明从出发到回家共用时16分钟，本项正确．
故选：A．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表
示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
6．（3分）（2014•衡阳）下列运算结果正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．x3•x2=x6 C．x5÷x=x5 D．x3•（3x）2=9x5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；单项式乘单项式．菁优网
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【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法，可判断B，根据同底数
幂的除法，可判断C，根据单项式乘单项式，可判断D．
【解答】解：A、指数不能相加，故A错误；
B、底数不变指数相加，故B错误；
C、底数不变指数相减，故C错误；
D、x3（3x）2=9x5，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．
7．（3分）（2014•衡阳）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
专题： 计算题．
【分析】本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出x的取值范
围．
【解答】解：不等式组
由①得，x＞1，
由②得，x≥2，
故不等式组的解集为：x≥2，
在数轴上可表示为：
故选：A．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的
8．（3分）（2014•衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（ ）
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．菁优网版权所有
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．
【解答】解：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；
②x2+4x+4=（x+2）2；正确；
③﹣x2+y2=（x+y）（y﹣x），故原题错误；
故正确的有1个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了运用公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式
法分解因式是解题关键．9．（3分）（2014•衡阳）如图所示的图形是由7个完全相同的小正方体组成的立体
图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】根据几何体组成，结合三视图的观察角度，进而得出答案．
【解答】解：根据立方体的组成可得出：
A、是几何体的左视图，故此选项错误；
B、是几何体的三视图，故此选项正确；
C、是几何体的主视图，故此选项错误；
D、是几何体的俯视图，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，准确把握观察角度是解题关键．
10．（3分）（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，
坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（ ）
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．菁优网版权所有
【分析】先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．
【解答】解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，
∴AE=1.5BE=18米，
∵BC=10米，
∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选D．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质
的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．
11．（3分）（2014•衡阳）圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
【考点】弧长的计算．菁优网版权所有
【分析】根据弧长的公式l= 进行计算．
【解答】解：设该扇形的半径是r．
根据弧长的公式l= ，
得到：12π= ，
解得 r=18，
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算．熟记公式是解题的关键．
12．（3分）（2014•衡阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边形都相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的梯形是等腰梯形
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【分析】利用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、四条边都相等的是菱形，故错误，是假命题；B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形，故错误，是假命题；
D、正确，是真命题．
故选D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定
定理，难度不大，属于基础题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）（2014•攀枝花）函数 中，自变量x的取值范围是 x≥ 2 ．
【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开
方数是非负数．
14．（3分）（2014•衡阳）化简： （ ﹣ ）= 2 ．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】首先将括号里面化简，进而合并，即可运用二次根式乘法运算法则得出即
可．
【解答】解： （ ﹣ ）
= ×（2 ﹣ ）
= ×
=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．15．（3分）（2014•衡阳）如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长
为 1 0 ．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据矩形性质求出BD=2BO，OA=OB，求出∠AOB=60°，得出等边三角形
AOB，求出BO=AB，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
∴BD=2BO=10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形性质的应用，注意：矩形的对
角线相等且互相平分．
16．（3分）（2014•衡阳）甲、乙两同学参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷6
次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为： =10.5， =10.5， =0.61，
=0.50，则成绩较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
【考点】方差．菁优网版权所有
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为S 2=0.61＞S 2=0.50，方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定
甲 乙
的是乙．故答案为：乙．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越
大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
17．（3分）（2014•衡阳）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，
∠BAD的度数为 65 ° ．
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对
的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O直径
∴∠ADB=90°
∵∠B=∠ACD=25°
∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．
故答案为：65°．
【点评】考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线
之一．
18．（3分）（2014•衡阳）若点P（﹣1，m），P（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的
1 2
图象上，则m= ＜ n（填“＞”“＜”或“=”号）．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
专题： 计算题．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣1•m=k，﹣2•n=k，解得m=﹣
k，n=﹣ ，然后利用k＞0比较m、n的大小．
【解答】解：∵P（﹣1，m），P（﹣2，n）在反比例函数y= （k＞0）的图象上，
1 2
∴﹣1•m=k，﹣2•n=k，
∴m=﹣k，n=﹣ ，
而k＞0，
∴m＜n．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，
k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
19．（3分）（2014•衡阳）分式方程 = 的解为x= 2 ．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
专题： 计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2=x2﹣x+2x﹣2，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：2
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．（3分）（2014•衡阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M 的坐标为（1，
0
0），将线段OM 绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M ，使得
0 1
M M ⊥OM ，得到线段OM ；又将线段OM 绕原点O逆时针方向旋转45°，再将
1 0 0 1 1其延长到M ，使得M M ⊥OM ，得到线段OM ；如此下去，得到线段OM ，OM ，
2 2 1 1 2 3 4
OM ，…
5
根据以上规律，请直接写出OM 的长度为 2 100 7 ．
2014
【考点】规律型：点的坐标．菁优网版权所有
专题： 规律型．
【分析】根据点M 的坐标求出OM ，然后判断出△OM M 是等腰直角三角形，然
0 0 0 1
后根据等腰直角三角形的性质求出OM ，同理求出OM ，OM ，然后根据规律写
1 2 3
出OM 即可．
2014
【解答】解：∵点M 的坐标为（1，0），
0
∴OM =1，
0
∵线段OM 绕原点O逆时针方向旋转45°，M M ⊥OM ，
0 1 0 0
∴△OM M 是等腰直角三角形，
0 1
∴OM = OM = ，
1 0
同理，OM = OM =（ ）2，
2 1
OM = OM =（ ）3，
3 2
…，
OM = OM =（ ）2014=21007．
2014 2013
故答案为：21007．
【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了等腰直角三角形的判定
与性质，读懂题目信息，判断出等腰直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分60分）21．（6分）（2014•衡阳）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（a+2b）﹣b2，其中a=1，
b=﹣2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【分析】先利用平方差公式和整式的乘法计算，再合并化简，最后代入求得数值即
可．
【解答】解：原式=a2﹣b2+ab+2b2﹣b2
=a2+ab，
当a=1，b=﹣2时
原式=1+（﹣2）=﹣1．
【点评】此题考查代数式求值，注意先利用整式的乘法化简，再代入求得数值．
22．（6分）（2014•衡阳）小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取
了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇
形统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）计算被抽取的天数；
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数；
（3）请估计该市这一年（365天）达到优和良的总天数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
【分析】（1）根据扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数
为32天，即可得出被抽取的总天数；（2）利用轻微污染天数是50﹣32﹣8﹣3﹣1﹣1=5天；表示优的圆心角度数是
360°=57.6°，即可得出答案；
（3）利用样本中优和良的天数所占比例得出一年（365天）达到优和良的总天数即
可．
【解答】解：（1）∵扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数
为32天，
∴被抽取的总天数为：32÷64%=50（天）；
（2）轻微污染天数是50﹣32﹣8﹣3﹣1﹣1=5天；
表示优的圆心角度数是 360°=57.6°，
如图所示：
；
（3）∵样本中优和良的天数分别为：8，32，
∴一年（365天）达到优和良的总天数为： ×365=292（天）．
∴估计该市一年达到优和良的总天数为292天．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（6分）（2014•衡阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△ CFD．
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
专题： 证明题．
【分析】首先根据AB=AC可得∠B=∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得
∠BED=∠CFD=90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的
参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
24．（6分）（2014•衡阳）学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年
底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
专题： 增长率问题．
【分析】设这两年的年平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得
到结果．【解答】解：设这两年的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2=7200，即（1+x）2=1.44，
开方得：1+x=1.2或x+1=﹣1.2，
解得：x=0.2=20%，或x=﹣2.2（舍去）．
答：这两年的年平均增长率为20%．
【点评】考查了一元二次方程的应用，本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）
2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
25．（8分）（2014•衡阳）某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买
笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少
买1件．
（1）若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；
（2）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；
（3）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率
【考点】列表法与树状图法；二元一次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）首先由题意可得：2x+y=15，继而求得y与x之间的关系式；
（2）根据每种奖品至少买1件，即可求得所有可能的结果；
（3）由买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，直接利用概率公式求解
即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：2x+y=15，
∴y=15﹣2x；
（2）购买方案：x=1，y=13；
x=2，y=11，
x=3，y=9；
x=4，y=7；
x=5，y=5；
x=6，y=3，
x=7，y=1；∴共有7种购买方案；
（3）∵买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，
∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为： ．
【点评】本题考查了列举法求概率的知识．注意用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
26．（8分）（2014•衡阳）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在
Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于
点P，DF经过点C．
（1）求∠ADE的度数；
（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直
角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断 的值是否
随着α的变化而变化？如果不变，请求出 的值；反之，请说明理由．
【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=
AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据
∠ADE=∠ADC﹣∠EDF计算即可得解；
（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三
角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与
它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对
应边成比例可得 = 为定值．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD=AD=BD= AB，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，
∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°；
（2）∵∠EDF=90°，
∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，
∴∠PDM=∠CDN，
∵∠B=60°，BD=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，
∴∠CPD=∠BCD，
在△DPM和△DCN中，
，
∴△DPM∽△DCN，
∴ = ，
∵ =tan∠ACD=tan30° ，
∴ 的值不随着α的变化而变化，是定值 ．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也
是本题的难点．27．（10分）（2014•衡阳）如图，已知直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣4，0）、B
（0，3），点P从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向点B移动，同时，
将直线y= x以每秒0.6个单位的速度向上平移，分别交AO、BO于点C、D，设运
动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；
（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D为圆心，以DO长为
半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．
【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由待定系数法就可以求出直线AB
的解析式，再由点的坐标求出AO，BO的值，由勾股定理就可以得出AB的值，求
出sin∠BAO的值，作PE⊥AO，表示出PE的值，得出PE=DO，就可以得出结论；
（2）由三角函数值表示CO的值，由菱形的性质可以求出菱形的边长，作DF⊥AB
于F由三角函数值就可以求出DO，DF的值，进而得出结论．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得： ，
∴y= x+3．
∴直线AB∥直线y= x．
∵A（﹣4，0）、B（0，3），∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=5．
∴sin∠BAO= ，tan∠DCO= ．
作PE⊥AO，
∴∠PEA=∠PEO=90°
∵AP=t，
∴PE=0.6t．
∵OD=0.6t，
∴PE=OD．
∵∠BOC=90°，
∴∠PEA=∠BOC，
∴PE∥DO．
∴四边形PEOD是平行四边形，
∴PD∥AO．
∵AB∥CD，
∴四边形ACDP总是平行四边形；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，
∴tan∠DCO=tan∠BAO= ．
∵DO=0.6t，
∴CO=0.8t，
∴AC=4﹣0.8t．
∵四边形ACDP为菱形，
∴AP=AC，
∴t=4﹣0.8t，
∴t= ．∴DO= ，AC= ．
∵PD∥AC，
∴∠BPD=∠BAO，
∴sin∠BPD=sin∠BAO= ．
作DF⊥AB于F．
∴∠DFP=90°，
∴DF= ．
∴DF=DO．
∴以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB相切．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的将诶相似的运用，勾股定理的运用，三角
函数值的运用，平行四边形的判定及性质的运用，菱形的性质的运用，解答时灵
活运用平行四边形的性质是关键．
28．（10分）（2014•衡阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣
3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的
面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）利用交点式求出抛物线的解析式；
（2）如答图2，求出S的表达式，再根据二次函数的性质求出最值；
（3）△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，所以△ACD必为直角三角
形．本问分多种情形，需要分类讨论，避免漏解．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣3，0）、B（1，0），
∴抛物线解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）．
将点C（0，﹣3m）代入上式，得a×3×（﹣1）=﹣3m，∴m=a，
∴抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x﹣1）=mx2+2mx﹣3m．
（2）当m=2时，C（0，﹣6），抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6，则P（x，2x2+4x﹣6）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有
，解得 ，
∴y=﹣2x﹣6．
如答图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，则F（x，﹣2x﹣6）．∴PF=yF﹣yP=（﹣2x﹣6）﹣（2x2+4x﹣6）=﹣2x2﹣6x．
S=S +S = PF•AE+ PF•OE= PF•OA= （﹣2x2﹣6x）×3
△PFA △PFC
∴S=﹣3x2﹣9x=﹣3（x+ ）2+
∴S与x之间的关系式为S=﹣3x2﹣9x，当x=﹣ 时，S有最大值为 ．
（3）∵y=mx2+2mx﹣3m=m（x+1）2﹣4m，
∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4m）．
如答图②，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA﹣OE=2；
过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=OF﹣OC=4m﹣3m=m．
由勾股定理得：
AC2=OC2+OA2=9m2+9；
CD2=CF2+DF2=m2+1；
AD2=DE2+AE2=16m2+4．
∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，
∴△ACD必为直角三角形．
i）若点A为直角顶点，则AC2+AD2=CD2，
即：（9m2+9）+（16m2+4）=m2+1，
整理得：m2=﹣ ，
∴此种情形不存在；
ii）若点D为直角顶点，则AD2+CD2=AC2，
即：（16m2+4）+（m2+1）=9m2+9，整理得：m2= ，
∵m＞0，∴m= ．
此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2 ，CD= ，AC= ；
△BOC的三边长为：OB=1，OC= ，BC= ．
两个三角形对应边不成比例，不可能相似，
∴此种情形不存在；
iii）若点C为直角顶点，则AC2+CD2=AD2，
即：（9m2+9）+（m2+1）=16m2+4，
整理得：m2=1，
∵m＞0，∴m=1．
此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2 ，CD= ，AC=3 ；
△BOC的三边长为：OB=1，OC=3，BC= ．
∵ = ，
∴满足两个三角形相似的条件．∴m=1．
综上所述，当m=1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．
【点评】本题是二次函数综合题型，考查了函数的图象与性质、待定系数法、相似、
勾股定理、图形面积计算等知识点，难度不大．第（2）问重点考查了图形面积的计
算方法；第（3）问重点考查了分类讨论的数学思想．
