文档内容
2014 年福建省泉州市中考数学试卷
一、选择题（每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡题目区域内作
答答对的得3分，答错或不答一律得0分．）
1．（3分）（2014•泉州）2014的相反数是（ ）
A．2014 B．﹣2014 C． D．
2．（3分）（2014•泉州）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1 C．（ab）2=a2b2 D．a6÷a3=a2
3．（3分）（2014•泉州）如图的立体图形的左视图可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2014•泉州）七边形外角和为（ ）
A．180° B．360° C．900° D．1260°
5．（3分）（2014•泉州）正方形的对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）（2014•泉州）分解因式x2y﹣y3结果正确的是（ ）
A．y（x+y）2 B．y（x﹣y）2 C．y（x2﹣y2） D．y（x+y）（x﹣y）
7．（3分）（2014•泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y= （m≠0）的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题4分，共40分）8．（4分）（2014•泉州）2014年6月，阿里巴巴注资1200000000元入股广州恒大，将数据
1200000000用科学记数法表示为 ．
9．（4分）（2014•泉州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=50°，则∠BOC= °．
10．（4分）（2014•泉州）计算： + = ．
11．（4分）（2014•泉州）方程组 的解是 ．
12．（4分）（2014•泉州）在综合实践课上，六名同学的作品数量（单位：件）分别为：3、5、2、5、
5、7，则这组数据的众数为 件．
13．（4分）（2014•泉州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b都相交，∠1=65°，则∠2=
°．
14．（4分）（2014•泉州）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则
CD的长为 cm．
15．（4分）（2014•泉州）如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=
°．16．（4分）（2014•泉州）已知：m、n为两个连续的整数，且m＜ ＜n，则m+n= ．
17．（4分）（2014•泉州）如图，有一直径是 米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的
最大扇形ABC，则：
（1）AB的长为 米；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米．
三、解答题（共89分）
18．（9分）（2014•泉州）计算：（2 ﹣1）0+|﹣6|﹣8×4﹣1+ ．
19．（9分）（2014•泉州）先化简，再求值：（a+2）2+a（a﹣4），其中a= ．
20．（9分）（2014•泉州）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，
连接CE，AF．求证：AF=CE．21．（9分）（2014•泉州）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外
没有其他区别．
（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？
（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表
示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．
22．（9分）（2014•泉州）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点O（0，0），A（2，
0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
23．（9分）（2014•泉州）课外阅读是提高学生素养的重要途径．某校为了了解学生课外阅读情
况，随机抽查了50名学生，统计他们平均每天课外阅读时间（t小时）．根据t的长短分为A，B，C，D四类，下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表．请根据图中提供的
信息，解答下面的问题：
50名学生平均每天课外阅读时间统计表
类别 时间t（小时） 人数
A t＜0.5 10
B 0.5≤t＜1 20
C 1≤t＜1.5 15
D t≥1.5 a
（1）求表格中的a的值，并在图中补全条形统计图；
（2）该校现有1300名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于1小时？
24．（9分）（2014•泉州）某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了
一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨
道到达C处，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设（t 分）后甲、乙两遥控车与B处的距
离分别为d ，d ，则d ，d 与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：
1 2 1 2（1）填空：乙的速度v = 米/分；
2
（2）写出d 与t的函数关系式；
1
（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车
的信号不会产生相互干扰？
25．（12分）（2014•泉州）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边
AB，BC，CA上．
（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．
①判断
四边形DECF一定是什么形状？②裁剪
当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，
并证明你的结论；
（2）折叠
请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．
26．（14分）（2014•泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图
象交于点P（2，1）．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC= ．2014 年福建省泉州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡题目区域内作
答答对的得3分，答错或不答一律得0分．）
1．（3分）（2014•泉州）2014的相反数是（ ）
A．2014 B．﹣2014 C． D．
考点：相反数．
分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
解答：解：2014的相反数是﹣2014．
故选B．
点评：本题考查了相反数的概念，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）（2014•泉州）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1 C．（ab）2=a2b2 D．a6÷a3=a2
考点：同底数幂的除法；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方．
分析：根据二次根式的运算法则，乘法分配律，幂的乘方及同底数幂的除法法则判断．
解答：解：A、a3+a3=2a3，故选项错误；
B、2（a+1）=2a+2≠2a+1，故选项错误；
C、（ab）2=a2b2，故选项正确；
D、a6÷a3=a3≠a2，故选项错误．
故选：C．
点评：本题主要考查了二次根式的运算法则，乘法分配律，幂的乘方及同底数幂的除法法则，
解题的关键是熟记法则运算
3．（3分）（2014•泉州）如图的立体图形的左视图可能是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．
分析：左视图是从物体左面看，所得到的图形．
解答：解：此立体图形的左视图是直角三角形，
故选：A．
点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三
视图中．
4．（3分）（2014•泉州）七边形外角和为（ ）A．180° B．360° C．900° D．1260°
考点：多边形内角与外角．
分析：根据多边形的外角和等于360度即可求解．
解答：解：七边形的外角和为360°．
故选B．
点评：本题考查了多边形的内角和外角的知识，属于基础题，掌握多边形的外角和等于360°
是解题的关键．
5．（3分）（2014•泉州）正方形的对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：轴对称的性质
分析：根据正方形的对称性解答．
解答：解：正方形有4条对称轴．
故选D．
点评：本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键．
6．（3分）（2014•泉州）分解因式x2y﹣y3结果正确的是（ ）
A．y（x+y）2 B．y（x﹣y）2 C．y（x2﹣y2） D．y（x+y）（x﹣y）
考点：提公因式法与公式法的综合运用
分析：首先提取公因式y，进而利用平方差公式进行分解即可．
解答：解：x2y﹣y3=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y）．
故选：D．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关
键．
7．（3分）（2014•泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y= （m≠0）的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
分析：先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二
者一致的即为正确答案．
解答：
解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，由函数y= 的图象可知m＞0，故本选项正
确；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，由函数y= 的图象可知m＞0，相矛盾，故本选
项错误；
C、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而减小，则m＜0，而该直线与y轴交于正半
轴，则m＞0，相矛盾，故本选项错误；
D、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而增大，则m＞0，而该直线与y轴交于负半轴，则m＜0，相矛盾，故本选项错误；
故选：A．
点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才
能灵活解题．
二、填空题(每小题4分，共40分）
8．（4分）（2014•泉州）2014年6月，阿里巴巴注资1200000000元入股广州恒大，将数据
1200000000用科学记数法表示为 1.2×1 0 9 ．
考点：科学记数法—表示较大的数
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将1200000000用科学记数法表示为：1.2×109．
故答案为：1.2×109．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（4分）（2014•泉州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=50°，则∠BOC= 5 0 °．
考点：对顶角、邻补角．
分析：根据对顶角相等，可得答案．
解答：解；∵∠BOC与∠AOD是对顶角，
∴∠BOC=∠AOD=50°，
故答案为：50．
点评：本题考查了对顶角与邻补角，对顶角相等是解题关键．
10．（4分）（2014•泉州）计算： + = 1 ．
考点：分式的加减法
分析：根据同分母分式相加，分母不变分子相加，可得答案．
解答：
解：原式= =1，
故答案为：1．
点评：本题考查了分式的加减，同分母分式相加，分母不变分子相加．
11．（4分）（2014•泉州）方程组 的解是 ．
考点：解二元一次方程组．
专题：计算题．
分析：方程组利用加减消元法求出解即可．解答：
解： ，
①+②得：3x=6，即x=2，
将x=2代入①得：y=2，
则方程组的解为 ．
故答案为：
点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减
消元法．
12．（4分）（2014•泉州）在综合实践课上，六名同学的作品数量（单位：件）分别为：3、5、2、5、
5、7，则这组数据的众数为 5 件．
考点：众数．
分析：根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案．
解答：解：∵5出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为5；
故答案为：5．
点评：此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．
13．（4分）（2014•泉州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b都相交，∠1=65°，则∠2= 6 5
°．
考点：平行线的性质．
分析：根据平行线的性质得出∠1=∠2，代入求出即可．
解答：解：∵直线a∥b，
∴∠1=∠2，
∵∠1=65°，
∴∠2=65°，
故答案为：65．
点评：本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．
14．（4分）（2014•泉州）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则
CD的长为 5 cm．考点：直角三角形斜边上的中线．
分析：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD= AB．
解答：解：∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，
∴CD= AB= ×10=5cm．
故答案为：5．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关
键．
15．（4分）（2014•泉州）如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=
110 °．
考点：等腰三角形的性质．
分析：先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠A，再根据三角形的外角等于
等于与它不相邻的两个内角的和，进行计算即可．
解答：解：∵CA=CB，
∴∠A=∠ABC，
∵∠C=40°，
∴∠A=70°
∴∠ABD=∠A+∠C=110°．
故答案为：110．
点评：此题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质、三角形的外角等
于等于与它不相邻的两个内角的和．
16．（4分）（2014•泉州）已知：m、n为两个连续的整数，且m＜ ＜n，则m+n= 7 ．
考点：估算无理数的大小．
分析：先估算出 的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论．
解答：解：∵9＜11＜16，
∴3＜ ＜4，
∴m=3，n=4，
∴m+n=3+4=7．
故答案为：7．
点评：本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出 的取值范围是解答此题的关
键．
17．（4分）（2014•泉州）如图，有一直径是 米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的
最大扇形ABC，则：
（1）AB的长为 1 米；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米．考点：圆锥的计算；圆周角定理
专题：计算题．
分析：（1）根据圆周角定理由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径，即BC= ，根据等腰直角三
角形的性质得AB=1；
（2）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2πr=
，然后解方程即可．
解答：解：（1）∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC= ，
∴AB= BC=1；
（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr= ，
解得r= ．
故答案为1， ．
点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．
三、解答题（共89分）
18．（9分）（2014•泉州）计算：（2 ﹣1）0+|﹣6|﹣8×4﹣1+ ．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
分析：本题涉及零指数幂、绝对值、负指数幂、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进
行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：
解：原式=1+6﹣8× +4
=1+6﹣2+4
=9．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关
键是熟练掌握零指数幂、绝对值、负指数幂、二次根式化简等考点的运算．19．（9分）（2014•泉州）先化简，再求值：（a+2）2+a（a﹣4），其中a= ．
考点：整式的混合运算—化简求值
分析：首先利用完全平方公式和整式的乘法计算，再进一步合并得出结果，最后代入求得数
值即可．
解答：解：（a+2）2+a（a﹣4）
=a2+4a+4+a2﹣4a
=2a2+4，
当a= 时，
原式=2×（ ）2+4=10．
点评：此题考查整式的化简求值，注意先化简，再代入求值．
20．（9分）（2014•泉州）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，
连接CE，AF．求证：AF=CE．
考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质
专题：证明题．
分析：根据矩形的性质得出DC∥AB，DC=AB，求出CF=AE，CF∥AE，根据平行四边形的判
定得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出答案．
解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴CF∥AE，
∵DF=BE，
∴CF=AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平
行，平行四边形的对边相等．
21．（9分）（2014•泉州）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外
没有其他区别．
（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？
（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表
示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
分析：（1）由在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他
区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出相同
颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其
他区别，∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是： ；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次取出相同颜色球的有3种情况，
∴两次取出相同颜色球的概率为： = ．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（9分）（2014•泉州）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点O（0，0），A（2，
0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．
分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为
直线x=1；
（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根据含30度的
直角三角形三边的关系得OB= OA′=1，A′B= OB= ，则A′点的坐标为（1， ），
根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣ （x﹣1）2+ 的顶点．
解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，作A′B⊥x轴于点B，
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，
在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，
∴OB= OA′=1，
∴A′B= OB= ，
∴A′点的坐标为（1， ），
∴点A′为抛物线y=﹣ （x﹣1）2+ 的顶点．点评：
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ，
），对称轴直线x=﹣ ，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减
小；x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；x=﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛
物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x
的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；x=﹣ 时，y取得最大值 ，
即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．
23．（9分）（2014•泉州）课外阅读是提高学生素养的重要途径．某校为了了解学生课外阅读情
况，随机抽查了50名学生，统计他们平均每天课外阅读时间（t小时）．根据t的长短分为A，
B，C，D四类，下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表．请根据图中提供的
信息，解答下面的问题：
50名学生平均每天课外阅读时间统计表
类别 时间t（小时） 人数
A t＜0.5 10
B 0.5≤t＜1 20
C 1≤t＜1.5 15
D t≥1.5 a
（1）求表格中的a的值，并在图中补全条形统计图；
（2）该校现有1300名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于1小时？
考点：条形统计图；用样本估计总体；统计表
分析：（1）用抽查的学生的总人数减去A，B，C三类的人数即为D类的人数也就是a的值，并补全统计图；
（2）先求出课外阅读时间不少于1小时的学生占的比例，再乘以1300即可．
解答：解：（1）50﹣10﹣20﹣15=5（名），
故a的值为5，条形统计图如下：
（2）1300× =520（名），
答：估计该校共有520名学生课外阅读时间不少于1小时．
点评：本题主要考查样本的条形图的知识和分析问题以及解决问题的能力，属于基础题．
24．（9分）（2014•泉州）某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了
一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨
道到达C处，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设（t 分）后甲、乙两遥控车与B处的距
离分别为d ，d ，则d ，d 与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：
1 2 1 2
（1）填空：乙的速度v = 4 0 米/分；
2
（2）写出d 与t的函数关系式；
1
（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车
的信号不会产生相互干扰？
考点：一次函数的应用
分析：（1）根据路程与时间的关系，可得答案；
（2）根据甲的速度是乙的速度的1.5倍，可得甲的速度，根据路程与时间的关系，可得a
的值，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据两车的距离，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
解答：解：（1）乙的速度v =120÷3=40（米/分），
2
故答案为：40；
（2）v =1.5v =1.5×40=60（米/分），
1 2
60÷60=1（分钟），a=1，
d = ；
1（3）d =40t，
2
当0≤t≤1时，d ﹣d ＞10，
2 1
即﹣60t+60﹣40t＞10，
解得0 ；
当0 时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；
当1≤t≤3时，d ﹣d ＞10，
1 2
即40t﹣（60t﹣60）＞10，
当1≤ 时，两遥控车的信号不会产生相互干扰
综上所述：当0 或1≤t 时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．
点评：本题考查了一次函数的应用，（1）利用了路程速度时间三者的关系，（2）分段函数分别
利用待定系数法求解，（3）当0≤t≤1时，d ﹣d ＞10；当1＜t≤3时，d ﹣d ＞10，分类讨
2 1 1 2
论是解题关键．
25．（12分）（2014•泉州）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边
AB，BC，CA上．
（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．
①判断
四边形DECF一定是什么形状？
②裁剪
当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，
并证明你的结论；
（2）折叠
请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．
考点：四边形综合题
分析：（1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据
△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关
系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出
顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．
（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿
B1对折，使DA1⊥BB1．
解答：解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形．
②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，
∵∠ACB=45°，AC=24cm∴AG= =12 ，
设DF=EC=x，平行四边形的高为h，
则AH=12 h，
∵DF∥BC，
∴ = ，
∵BC=20cm，
即： =
∴x= ×20，
∵S=xh=x• ×20=20h﹣ h2．
∴﹣ =﹣ =6 ，
∵AH=12 ，
∴AF=FC，
∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．
（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C 重合，得到三角形ABB ，第二步，沿
1 1
B 对折，使DA ⊥BB ．
1 1 1
理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相
似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论．
26．（14分）（2014•泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图
象交于点P（2，1）．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC= ．考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；
垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
专题：压轴题；探究型．
分析：
（1）设反比例函数的关系式y= ，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．
（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的
周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C
的值．
②由于BC=2，sin∠BMC= ，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M
应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定
与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．
解答：
解：（1）设反比例函数的关系式y= ．
∵点P（2，1）在反比例函数y= 的图象上，
∴k=2×1=2．
∴反比例函数的关系式y= ．
（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．
当x=0时，y=0+3=3，
则点B的坐标为（0，3）．OB=3．
当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，
则点A的坐标为（3，0），OA=3．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴OA′=OA=3．
∵PC⊥y轴，点P（2，1），
∴OC=1，PC=2．
∴BC=2．
∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，
∴A′B=3 ，A′C= ．
∴△A′BC的周长为3 + +2．
∵S△ABC = BC•A′O= A′B•CD，
∴BC•A′O=A′B•CD．
∴2×3=3 ×CD．
∴CD= ．
∵CD⊥A′B，
∴sin∠BA′C=
== ．
∴△A′BC的周长为3 + +2，sin∠BA′C的值为 ．
②当1＜m＜2时，
作经过点B、C且半径为m的⊙E，
连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，
过点E作EG⊥OB，垂足为G，
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．
∵CP是⊙E的直径，
∴∠PBC=90°．
∴sin∠BPC= = = ．
∵sin∠BMC= ，
∴∠BMC=∠BPC．
∴点M在⊙E上．
∵点M在x轴上
∴点M是⊙E与x轴的交点．
∵EG⊥BC，
∴BG=GC=1．
∴OG=2．
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，
∴四边形OGEH是矩形．
∴EH=OG=2，EG=OH．
∵1＜m＜2，
∴EH＞EC．
∴⊙E与x轴相离．
∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC= ．
②当m=2时，EH=EC．
∴⊙E与x轴相切．
Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．
∴点M与点H重合．
∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，
∴EG=
= ．
∴OM=OH=EG= ．
∴点M的坐标为（ ，0）．
Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，
同理可得：点M的坐标为（﹣ ，0）．
③当m＞2时，EH＜EC．
∴⊙E与x轴相交．
Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，
设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．
∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，
∴MH=
=
= ．
∵EH⊥MM′，
∴MH=M′H．∴M′H═ ．
∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，
∴EG=
=
= ．
∴OH=EG= ．
∴OM=OH﹣MH= ﹣ ，
∴OM′=OH+HM′= + ，
∴M（ ﹣ ，0）、M′（ + ，0）．
Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，
同理可得：M（﹣ + ，0）、M′（﹣ ﹣ ，0）．
综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；
当m=2时，满足要求的点M的坐标为（ ，0）和（﹣ ，0）；
当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（ ﹣ ，0）、（ +
，0）、（﹣ + ，0）、（﹣ ﹣ ，0）．点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的
判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，
考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，
sin∠BMC= 联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．
