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义 务 教 育 教 科 书
教
七年级
科
书
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七年级 上册
YIWU JIAOYU JIAOKESHU 数
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学
七
年
级
上
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初初中中数数学学六六三三制制七七上上封封面面..iinndddd 11 22002244//77//2244 1133::2266义 务 教 育 教 科 书
七年级
下册
人民教育出版社 课程教材研究所 编著
·北 京·顾 问：林 群 田 刚
主 编：王长平
执行主编：李海东
分册主编：宋莉莉
编写人员：（以姓氏笔画为序）
刘 达 孙 锋 宋莉莉 张 伟
张文韬 陆志强 崔佳佳 薛 彬
责任编辑：王翠巧
责任设计：王俊宏
责任校对：王 苗
责任印制：王 超 张 灿
义务教育教科书 数学 七年级 下册
人民教育出版社 课程教材研究所 编著
出版发行
（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081）
网 址 http://www.pep.com.cn
重 印 ×××有限公司
发 行 ×××有限公司
经 销 全国新华书店
印 刷 ×××有限责任公司
版 次 ××××年×月第1版
印 次 ××××年×月第1次印刷
开 本 787毫米×1 092毫米 1/16
印 张 ×
字 数 ×××千字
书 号 ISBN 978-7-107-×××××-×
定 价 ×.××元
价格依据文件号：×××
版权所有·未经许可请勿擅用本书制作各类出版物·违者必究
如发现印、装质量问题，影响阅读，请与×××公司联系。电话：××× -××××××××致同学
亲爱的同学，新的学期开始了．在本学期的数学学习中，我们将要学习哪
些内容？快来了解一下吧．
“相交线与平行线”将学习平面内的两条相交直线和平行直线，你将通过
直观想象、操作确认、推理论证等方法，得出它们的性质，初步体会通过推理
获得数学结论的方法，培养言之有据的思考习惯；你还将在小学学习的基础
上，进一步学习平移这种图形变化，经历探究图形变化规律的过程．
在 “实数”中，你将认识一类新的数———无理数．有了无理数，数的范围
将从有理数扩充到实数．你还将学习用数轴上的点表示实数，体会实数与数轴
上的点的一一对应关系，从而借助几何直观理解实数．
“平面直角坐标系”将为你建立平面内的点与有序数对之间的联系，这样
你就可以用数和运算研究图形，用图形表示数和运算结果了，这将有利于增强
你的几何直观．
对于要求两个未知数的实际问题，“二元一次方程组”将带你列出含有两
个未知数的一次方程组表示其中的相等关系，并通过解方程组获得实际问题的
答案．通过类比等式、一元一次方程学习 “不等式与不等式组”，你将对不等
关系有新的认识，并进一步学习不等式的性质和解法．这些内容的学习有助于
你抽象能力、运算能力、模型观念和应用意识的提升．
在现实世界中，人们经常需要根据信息作出合理决策，这就要用到统计学
知识．在 “数据的收集、整理与描述”中，你将学习统计学中收集和整理数据
的常用方法，你还将学习如何用图表直观地描述数据，培养数据观念．
此外，综合与实践 “低碳生活”将带你了解 “碳达峰”“碳中和”，计算生
活中的 “碳足迹”，设计自己的低碳生活行动方案；“白昼时长规律的探究”将
带你探究不同地区白昼时长的变化规律，进一步认识和理解现实世界．
数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功．让我们扬帆
起航，开启一段新的数学之旅吧！
书书书目 录
第七章 相交线与平行线
１
７．１ 相交线 ２
观察与猜想 看图时的错觉 １０
７．２ 平行线 １１
７．３ 定义、命题、定理 ２２
７．４ 平移 ２６
探究与发现 利用平移设计图案 ３０
数学活动
３２
小结
３４
第八章 实数
３９
８．１ 平方根 ４０
８．２ 立方根 ４８
８．３ 实数及其简单运算 ５２
阅读与思考 为什么 槡２不是有理数 ５８
数学活动
５９
小结
６０第九章 平面直角坐标系
６３
９．１ 用坐标描述平面内点的位置 ６４
阅读与思考 用经纬度表示地理位置 ７１
９．２ 坐标方法的简单应用 ７２
数学活动
８２
小结
８３
第十章 二元一次方程组
８７
１０．１ 二元一次方程组的概念 ８８
１０．２ 消元———解二元一次方程组 ９１
１０．３ 实际问题与二元一次方程组 １０１
１０．４ 三元一次方程组的解法 １０７
图说数学史 中国古代数学的光辉成就
———解多元一次方程组 １１２
阅读与思考 中国古代著名的一次不定
方程组问题 １１４
数学活动
１１５
小结
１１７第十一章 不等式与不等式组
１２０
１１．１ 不等式 １２１
阅读与思考 用求差法比较大小 １３０
１１．２ 一元一次不等式 １３１
１１．３ 一元一次不等式组 １３８
数学活动
１４２
小结
１４３
综合与实践 低碳生活
１４６
第十二章 数据的收集、整理与描述
１５０
１２．１ 统计调查 １５１
探究与发现 瓶子中有多少粒豆子 １５９
１２．２ 用统计图描述数据 １６０
信息技术应用 利用信息技术工具画统计图 １７８
图说数学史 统计学点滴 １８０
数学活动
１８２
小结
１８３
综合与实践 白昼时长规律的探究
１８８第七章 相交线与平行线
你对两条直线相交、平行一定不陌生吧！菜园篱笆上交叉的竹竿，笔直的
公路上的车行道线，大桥的吊索、钢梁上的钢条，棋盘中的横线和竖线，教室
里课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边……都给我们以相交线或平行
线的形象．你能再举出一些相交线和平行线的实例吗？
在上一章中，我们认识了几何图形，并学习了一些基本的平面图形———直
线、射线、线段和角．本章我们将学习平面内不重合的两条直线的位置关系：
相交与平行．对于相交，要研究两条直线相交所成的角的位置关系和数量关
系；对于平行，要借助一条直线与另外两条直线相交所成的角，研究平行线的
判定和性质．在此基础上，还要学习图形的平移等．在本章中获得的知识，是
后面学习三角形、四边形等平面图形的基础．
在本章中，我们还将学习通过简单的推理得出数学结论的方法，逐步养成
言之有据的思考习惯．
书书书７．１ 相交线
在上一章中，我们认识了相交线，知道相交是直线之间
的一种基本位置关系，如何刻画这种位置关系呢？本节我们
借助直线相交所成的角的位置关系和数量关系，研究相交线．
７１１ 两条直线相交
如图７．１１，取两根木条犪，犫，将它们钉在一
b
起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线
a
的模型．在转动木条的过程中，它们所成的角也在
变化，你能发现这些角之间不变的关系吗？
图７．１１
/
任意画两条相交的直线，形成四个角 （图７．１
C
B
２），∠１和∠２有怎样的位置关系？∠１和∠３呢？ 2
1
分别量一下各个角的度数，∠１和∠２的度数 O 3
4
A
有什么关系？∠１和∠３呢？
D
利用信息技术工具，改变两条直线相交所成 图７．１２
的角的大小，上述关系还保持吗？为什么？
∠１和∠２有一条公共边犗犆，它们的另一边互为反向延长线 （∠１和∠２
互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角．
∠１和∠３有一个公共顶点犗，并且∠１的两边
图７．１２中还有没有
分别是∠３的两边的反向延长线，具有这种位置关
其他邻补角与对顶角？
系的两个角，互为对顶角．
在图７．１２中，∠１＝∠３．这个结论还可以通过补角的性质得到：∠１与
∠２互补，∠３与∠２互补，由 “同角的补角相等”，可得∠１＝∠３．类似地，
可得∠２＝∠４．这样，可以得到对顶角的性质：
对顶角相等．
上面推出 “对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式：
２ 第七章 相交线与平行线因为 ∠１与∠２互补，∠３与∠２互补，
所以 ∠１＝∠３ （同角的补角相等）．
例１ 如图７．１３，直线犪，犫相交，∠１＝４０°，
b
求∠２，∠３，∠４的度数．
2
解：由∠１和∠２互为邻补角，得 1
a 3
4
∠２＝１８０°－∠１＝１８０°－４０°＝１４０°．
由对顶角相等，得 图７．１３
∠３＝∠１＝４０°，∠４＝∠２＝１４０°．
１．在下列各图中，∠１和∠２是不是对顶角？
1
1 1
1 2
2 2
2
（第１题）
２．如图，在相交线的模型中，如果两根木条犪，犫所成的角中有一个角
∠α＝３５°，其他三个角分别等于多少度？如果∠α等于９０°，１１５°，犿°呢？
D
b
a
a A O B
C
（第２题） （第３题）
３．如图，直线犃犅，犆犇相交于点犗，∠犃犗犆∶∠犅犗犆＝２∶７，则
∠犅犗犆＝ °，∠犃犗犇＝ °．
７１２ 两条直线垂直
垂直是相交的一种特殊情形．在相交线的模型 （图７．１１）中，固定木条犪，
转动木条犫．当犫的位置变化时，犪，犫所成的∠α也会发生变化．当∠α＝９０°
第七章 相交线与平行线 ３时 （图７．１４），这两根木条垂直．
b A
b
A D
a
O
a C O D
C B
B
图７．１４ 图７．１５
一般地，当两条直线犪，犫相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我
们说犪与犫互相垂直 （ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ），记作 “犪⊥犫”．
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点
叫作垂足．在图７．１５中，犃犅⊥犆犇，垂足为犗．
由上可知，如果两条直线相交所成的四个角中
有一个角等于９０°，那么这两条直线互相垂直．在图
７．１５中，如果直线犃犅，犆犇相交于点犗，∠犃犗犇＝
反过来，如果犃犅⊥
９０°，那么犃犅⊥犆犇．这个推理过程可以写成下面的 犆犇，那么∠犃犗犇是多
形式： 少度？写出这个推理
过程．
因为 ∠犃犗犇＝９０°，
所以 犃犅⊥犆犇．
在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，例如图７．１６中窗户上
互相垂直的木条、网球拍上互相垂直的网线．你能再举出其他例子吗？
图７．１６
４ 第七章 相交线与平行线接下来我们研究互相垂直的两条直线的性质．
/
如图７．１７，用三角尺或量角器画已知直线犾的垂线．
（１）经过直线犾上一点犃画犾的垂线，这样的垂线能画出几条？
（２）经过直线犾外一点犅画犾的垂线，这样的垂线能画出几条？
B
l l
A
图７．１７
可以发现，经过一点 （在已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条
垂线，并且只能画出一条垂线．由此得到关于垂线的基本事实：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
例２ 如图７．１８，过点犘画出射线犃犅或线段犃犅的垂线．
P
B
P
画一条射线或线段
A P B A B 的垂线，就是画它们所
A
在直线的垂线．
图７．１８
解：如图７．１９所示．
P B
P
O
A P B A B O
A
图７．１９
第七章 相交线与平行线 ５我们再来研究互相垂直的两条直线的另一个性质．
5
如图７．１１０，在灌溉时，要把河中的水引到 P
农田犘处，如何挖渠能使渠道最短？
图７．１１０
/
如图７．１１１，犘是直线犾外一点，犘犗⊥犾，垂
P
足为犗，我们称犘犗为点犘到直线犾的垂线段．
犃是直线犾上除点犗外一点，连接犘犃．测量并比较
线段犘犗与犘犃的长度，你能得到什么结论？改变
l
A O
点犃的位置呢？
图７．１１１
你也可以利用信息技术工具，在直线犾上拖动
点犃，改变点犃的位置，探究犘犗与犘犃的长度关系．
可以发现，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
简单说成：垂线段最短．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．
对于图７．１１０，现在你知道如何挖渠能使渠道最短了吗？
１．当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条
直线有什么位置关系？为什么？ D
P
C
２．如图，分别过点犘画直线犃犅，犆犇的垂线，并量
A B
出点犘到直线犃犅的距离．
（第２题）
３．如图，在三角形犃犅犆中，∠犆＝９０°．
A
（１）分别指出点犃到直线犆犅，点犅到直线犃犆的
距离是哪些线段的长度；
（２）三条边犃犅，犃犆，犆犅中哪条边最长？为什么？
C B
（第３题）
６ 第七章 相交线与平行线７１３ 两条直线被第三条直线所截
前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的
E
情形，接下来，我们进一步研究同一平面内一条直
1
2
线与两条直线分别相交的情形． A 4 B
3
5
如图７．１１２，直线犃犅，犆犇与犈犉相交 （也 6
D
8
7
可以说两条直线犃犅，犆犇被第三条直线犈犉所截）， C
F
构成八个角．我们已经学习了有公共顶点的角的关
图７．１１２
系，下面我们看那些没有公共顶点的两个角的关系．
先看图７．１１２中的∠１和∠５，这两个角分别
∠２和∠６是同位角
在直线犃犅，犆犇的同一侧 （上方），并且都在直线 吗？图７．１１２中还有没
犈犉的同侧 （右侧），具有这种位置关系的一对角叫 有其他同位角？若有，
作同位角． 标记出它们．
再看∠３和∠５，这两个角都在直线犃犅，犆犇
之间，并且分别在直线犈犉的两侧 （∠３在直线犈犉
图７．１１２中还有没
的左侧，∠５在直线犈犉的右侧），具有这种位置关
有其他内错角与同旁内
系的一对角叫作内错角．∠３和∠６虽然也都在直线
角？若有，标记出它们．
犃犅，犆犇之间，但是它们在直线犈犉的同一旁 （左
侧），具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角．
例３ 如图７．１１３，直线犇犈，犅犆被直线犃犅
A
所截．
4
（１）∠１和∠２，∠１和∠３，∠１和∠４各是什 D 2 3 E
么位置关系的角？ 1
B C
（２）如果∠１＝∠４，那么∠１和∠２相等吗？
图７．１１３
∠１和∠３互补吗？为什么？
解： （１）∠１和∠２是内错角，∠１和∠３是同旁内角，∠１和∠４是同
位角．
（２）如果∠１＝∠４，又由对顶角相等，可得∠２＝∠４，因此∠１＝∠２．
因为∠４和∠３互补，所以∠４＋∠３＝１８０°．又因为∠１＝∠４，所以∠１＋
∠３＝１８０°，即∠１和∠３互补．
第七章 相交线与平行线 ７
１．分别指出下列各图中的同位角、内错角、同旁内角．
a b
a b
D A E
8
5
1 4 7
6
c 3 1 2 3 4
2
c B C
（第１题） （第２题）
２．如图，∠犅与哪个角是内错角？与哪个角是同旁内角？它们分别是哪
两条直线被哪一条直线所截形成的？对∠犆进行同样的讨论．
１．如图，直线犃犅，犆犇，犈犉相交于点犗．
D
（１）写出∠犃犗犆，∠犅犗犈的邻补角； E
（２）写出∠犇犗犃，∠犈犗犆的对顶角； A O B
（３）如果∠犃犗犆＝５０°，求∠犅犗犇，∠犆犗犅的度数． F
C
２．如图，在一张半透明的纸上画一条直线犾，在犾上任取 （第１题）
一点犘，在犾外任取一点犙，折出过点犘且与犾垂直的
直线．这样的直线能折出几条？为什么？过点犙呢？
３．如图，直线犃犅，犆犇相交于点犗，犈犗⊥犃犅，垂足为犗，
l
∠犈犗犆＝３５°．求∠犃犗犇的度数． P
（第２题）
４．如图，画犃犈⊥犅犆，犆犉⊥犃犇，垂足分别为犈，犉．
E
A D
C
B
O
D
A B C
（第３题） （第４题）
８ 第七章 相交线与平行线
５．如图，直线犃犅，犆犇相交于点犗，犗犃平分∠犈犗犆．
（１）若∠犈犗犆＝７０°，求∠犅犗犇的度数；
（２）若∠犈犗犆∶∠犈犗犇＝２∶３，求∠犅犗犇的度数．
E D
A O B
C
（第５题） （第６题）
６．如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少
（比例尺为１∶１６０）？
７．如图，∠１和∠２，∠３和∠４各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们
各是什么位置关系的角？
D C D C
1 1
3
4
2 3 2 4
A B A B E
（第７题）
８．如图，犃犅⊥犾，犆犅⊥犾，犅为垂足，那么犃，犅，犆三点在
同一条直线上吗？请说明理由． A
９．直线犃犅，犆犇相交于点犗．
C
（１）犗犈，犗犉分别是∠犃犗犆，∠犅犗犇的平分线．画出这个
l
B
图形．
（第８题）
（２）射线犗犈，犗犉在同一条直线上吗？为什么？
第七章 相交线与平行线 ９
看图时的错觉
观察以下图形，并回答提出的问题．
１．图１每组中的线段犪与犫哪一条长？
b
a a
b b a
图１
２．图２每组中蓝色的圆犃和圆犅哪一个大？
A B A B
图２
你对自己的结论有把握吗？利用刻度尺量一量，这时你的答案是什么？
要对事物作出某种判断，总是基于对这个事物的观察、实验与思考．其中
观察的结果是作出判断的重要依据，所以观察时必须认真、仔细．有时观察得
出的猜想不一定正确，还要借助于实验等进行验证．
图３每组中蓝色的线段互相平行吗？如何检验？学习了平行线的知识后，
你的检验方法会更多．
图３
１０ 第七章 相交线与平行线７．２ 平行线
除相交外，平行也是直线之间的基本位置关系，本节我
们将研究平行线．与相交线类似，我们借助两条直线被第三
条直线所截形成的角，研究平行线的判定与性质．
７２１ 平行线的概念
5
如图７．２１，将两根木条犪，犫分别与木条犮钉在一起，并把它们想象
成在同一平面内两端无限延伸的三条直线．固定木条犫和犮，转动木条犪，
直线犪从在犮的左侧与直线犫相交逐步变为在犮的右侧与直线犫相交．想
象一下，在这个过程中，有没有直线犪与直线犫不相交的位置呢？
c c c
a
a
a
b b b
图７．２１
可以发现，在木条犪转动的过程中，存在直线犪与犫不相交的位置．在同
一平面内，当直线犪，犫不相交时，我们说直线犪与犫互相平行 （ｐａｒａｌｌｅｌ），记
作 “犪∥犫”．在同一平面内，不重合
的两条直线只有两种位置关系：相交
与平行．
在实际生活中，平行线随处可
见，例如农田中平行的田垄、建筑物
表面平行的栅格线 （图７．２２）．你还
能举出其他例子吗？ 图７．２２
第七章 相交线与平行线 １１可以借助直尺和三角尺画平行线．如图７．２３，
a
保持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线
犪，犫，则犪∥犫．
b
图７．２３
5
在图７．２１转动木条犪的过程中，有几个位置
C
使得直线犪与犫平行？
B
如图７．２４，过点犅画直线犪的平行线，能画
a
出几条？过点犆呢？ 图７．２４
一般地，有如下关于平行线的基本事实：
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
c
由以上基本事实，可以进一步得到如下结论：
b
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条
直线也互相平行． a
图７．２５
也就是说：如果犫∥犪，犮∥犪，那么犫∥犮（图７．２５）．
如图，用直尺和三角尺画平行线：
（１）过点犃画犕犖∥犅犆；
（２）过点犆画犆犈∥犇犃，与犃犅交于点犈；过点犆画犆犉∥犇犅，与犃犅
的延长线交于点犉．
A D C
B C A B
１２ 第七章 相交线与平行线７２２ 平行线的判定
我们已经知道，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平
行．但是，由于直线是无限延伸的，检验它们是否相交有困难，所以难以直接
根据两条直线不相交来判断它们是否平行．那么，有没有其他判定方法呢？
5
在如图７．２３利用直尺和三角尺画平行线的过程中，三角尺起着什么
样的作用？
记图７．２３中紧贴三角尺的直尺的边所在直线为
c
犮，得到图７．２６．可以看出，画互相平行的直线犪和
a
1
犫，实际上就是分别画相等的∠１和∠２的一条边，而
∠１和∠２正是直线犪，犫被直线犮截得的同位角．这说
b
2
明，如果同位角∠１＝∠２，那么犪∥犫．
一般地，有如下利用同位角判定两条直线平行的 图７．２６
基本事实：
判定方法１ 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条
直线平行．
简单说成：同位角相等，两直线平行．
两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角．由同
位角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定两条直
线平行呢？
/
如图７．２７，直线犪，犫被直线犮所截．
c
（１）内错角∠１与∠２满足什么条件时，能得出 4
a
犪∥犫？ 2 3
1
（２）同旁内角∠１与∠３满足什么条件时，能得出 b
犪∥犫？
图７．２７
如果∠１＝∠２，由判定方法１，能得到犪∥犫，理由如下：因为∠１＝∠２，
而∠２＝∠４ （为什么？），所以∠１＝∠４，即同位角相等，从而犪∥犫．
第七章 相交线与平行线 １３这样，就得到了利用内错角判定两条直线平行
的方法：
遇到一个新问题
判定方法２ 两条直线被第三条直线所截，如 时，常常把它转化为已
果内错角相等，那么这两条直线平行．
知的 （或 已 解 决 的）
问题．
简单说成：内错角相等，两直线平行．
类似地，如果∠１与∠３互补，由判定方法１
或判定方法２，能得到犪∥犫（为什么？）．这样，就得到了利用同旁内角判定两
条直线平行的方法：
判定方法３ 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两
条直线平行．
简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
例１ 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条
b c
直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
分析：垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应
角的关系来判断两条直线是否平行． 1 2
a
解：这两条直线平行．理由如下：
图７．２８
如图７．２８，
∵ 犫⊥犪，
此处符号 “∵”表
∴ ∠１＝９０°．
示 “因为”，符号 “∴”
同理 ∠２＝９０°．
表示 “所以”．
∴ ∠１＝∠２．
又 ∠１和∠２是同位角，
∴ 犫∥犮（同位角相等，两直线平行）．
你还能利用其他方法说明犫∥犮吗？
１．如图，犈是犃犅上一点，犉是犇犆上一点，犌是犅犆的延长线上一点．
（１）如果∠犅＝∠犇犆犌，那么可以判断哪两条直线平行？为什么？
（２）如果∠犇＝∠犇犆犌，那么可以判断哪两条直线平行？为什么？
１４ 第七章 相交线与平行线（３）如果∠犇＋∠犇犉犈＝１８０°，那么可以判断哪两条直线平行？为
什么？
A D
E F
B C G
（第１题） （第２题）
２．如图，木工常用角尺画平行线，你能说出其中的道理吗？
３．在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知∠２是直角，
要判断两条钢轨是否平行，只需要再度量图中标出的哪个角？为什么？
1
2
5 3
4
（第３题） （第４题）
４．如图是两条道路互相垂直的交叉路口，你能画出它的平面示意图 （用
两条平行线段表示一条道路）吗？你能用类似的方法，画出两条道路
成４５°角的交叉路口的平面示意图吗？
７２３ 平行线的性质
利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直
线平行．反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关
系呢？这就是下面要学习的平行线的性质．
类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线平行时，它们被第三条
直线截得的同位角的关系．
第七章 相交线与平行线 １５/
如图７．２９，画两条平行线犪∥犫，然后任意画
c
一条截线犮与这两条平行线相交，度量所形成的八
个角的度数． 2 1
a
3 4
在∠１，∠２，…，∠８中，哪些是同位角？它
们的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三 6 5
b
条直线截得的同位角有什么关系． 7 8
利用信息技术工具改变截线犮的位置，同样度
图７．２９
量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
一般地，平行线具有性质：
性质１ 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
简单说成：两直线平行，同位角相等．
5
前面我们利用 “同位角相等，两直线平行”推出了 “内错角相等，两
直线平行”．类似地，你能由性质１推出两条平行线被第三条直线截得的
内错角之间的关系吗？
如图７．２１０，直线犪∥犫，犮是截线．根据 “两直线平
c
行，同位角相等”，可得∠１＝∠２．而∠３和∠２互为对顶
角，所以∠３＝∠２．所以∠３＝∠１．这样就得到了平行线的 2
a
3
另一个性质：
1
性质２ 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． b
简单说成：两直线平行，内错角相等．
图７．２１０
类似地，由性质１或性质２，可以推出平行线关于同旁
内角的性质 （请你自己完成推理过程）：
性质３ 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
例２ 图７．２１１是一块梯形铁片的残余部分，量得∠犃＝１００°，∠犅＝
１１５°，梯形的另外两个角∠犇，∠犆分别是多少度？
１６ 第七章 相交线与平行线解：因为梯形上、下两底犇犆与犃犅互相平行，
D C
根据 “两直线平行，同旁内角互补”，可得∠犃与
∠犇互补，∠犅与∠犆互补．于是
∠犇＝１８０°－∠犃＝１８０°－１００°＝８０°， A B
∠犆＝１８０°－∠犅＝１８０°－１１５°＝６５°．
图７．２１１
所以梯形的另外两个角∠犇，∠犆分别是８０°，６５°．
１．如图，直线犪∥犫，∠１＝５４°，∠２，∠３，∠４各是多少度？
a
1
A
b
2
D E 111
4
3 555 333
B C 44 222
（第１题） （第２题） （第３题）
２．如图，在三角形犃犅犆中，犇是犃犅上一点，犈是犃犆上一点，∠犃犇犈＝
６０°，∠犅＝６０°，∠犃犈犇＝４０°．
（１）犇犈和犅犆平行吗？为什么？
（２）∠犆是多少度？为什么？
３．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是
（填序号）．
① ∠１＝∠２； ② ∠４＋∠５＝１８０°；
③ ∠１＋∠４＝９０°； ④ ∠４＋９０°＝∠３．
前面我们学习了平行线的判定和性质，在解决问题
c d
时，经常需要把它们结合起来使用．
a
例３ 如图７．２１２，已知直线犪∥犫，∠１＝∠３，那
1
2 3
么直线犮与犱平行吗？为什么？ b
分析：由于∠２和∠３是直线犮与犱被直线犫所截形
图７．２１２
成的同位角，所以如果能推出∠２＝∠３，就可以判断直
第七章 相交线与平行线 １７线犮和犱是平行的．而已知∠１＝∠３，所以只需由直线犪∥犫，推出∠１＝∠２．
解：直线犮与犱平行．理由如下：
如图７．２１２，
你能用其他方法判定
∵ 犪∥犫，
直线犮与犱平行吗？
∴ ∠１＝∠２ （两直线平行，内错角相等）．
又 ∠１＝∠３，
∴ ∠２＝∠３．
∴ 犮∥犱（同位角相等，两直线平行）．
例４ 如图７．２１３，∠１＝∠２，∠３＝５０°，∠犃犅犆等于
多少度？
A 3
分析：由于∠３的大小是已知的，所以可以尝试推导 a
2
∠犃犅犆与∠３的大小关系．而由已知条件∠１＝∠２，可以推
1
出犪∥犫，从而可以得到∠犃犅犆＝∠３． B C b
解：∵ ∠１＝∠２，
图７．２１３
∴ 犪∥犫（内错角相等，两直线平行）．
∴ ∠３＝∠犃犅犆（两直线平行，同位角相等）．
又 ∠３＝５０°，
∴ ∠犃犅犆＝５０°．
１．如图，如果直线犪∥犫，∠１＋∠２＝１８０°，那么直线犫和犮平行吗？为
什么？
c A E
a b
1
C
2 B
1
2
F D
（第１题） （第２题）
２．如图，犃犅∥犆犇，且∠１＝∠２，那么直线犅犈与犆犉平行吗？为什么？
１８ 第七章 相交线与平行线
１．读下列语句，并画出图形：
（１）直线犃犅垂直于犆犇，垂足是犗，点犘是直线犃犅上一点，直线犈犉经过
点犘且与直线犆犇平行；
（２）直线犃犅，犆犇相交于点犗，点犘是直线犃犅，犆犇外的一点，直线犘犈与
直线犆犇平行，且与直线犃犅相交于点犈．
２．如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁犇犈，使犇犈∥犅犆．如果
∠犃犅犆＝３１°，∠犃犇犈应为多少度？
A
D E B
B C
O A
（第２题） （第３题）
３．如图，一条水渠两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠犃是
１３５°，第二次的拐角∠犅是多少度？为什么？
４．如图，在下列条件中，能判断直线犪∥犫的是 （ ）．
（Ａ）∠２＋∠５＝１８０° （Ｂ）∠２＝∠４
（Ｃ）∠４＋∠５＝１８０° （Ｄ）∠１＝∠３
c d
5
a 4
1 2 a
1 5
4 2 3
3 b b
（第４题） （第５题） （第６题）
５．如图，犪∥犫，直线犮，犱是截线，∠１＝８０°，∠５＝
e
７０°．∠２，∠３，∠４各是多少度？为什么？
50ed
６．如图，有一块长方形玻璃，如何检验它相对的两条边 40e
40e c
是否平行？
40e b
７．找出图中互相平行的直线和互相垂直的直线．
a
（第７题）
第七章 相交线与平行线 １９
８．当光线从水中射向空气时，要发生折射，在水中
平行的光线，折射到空气中也是平行的．如图，
1 3
∠１＝４５°，∠２＝１２２°，求图中∠３，∠４的度数． 2 4
９．图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原
理吗？
（第８题）
A
F
B C
D E
（第９题） （第１０题）
１０．如图，若犃犅∥犉犈，犅犆∥犇犈，则∠犈＋∠犅等于多少度？
１１．如图，许多漂亮的装饰图案是用平行条纹设计的．请你用平行条纹设计一些
图案，并与同学交流一下．
（第１１题）
１２．如图，当∠１＝∠３时，直线犪，犫平行吗？当∠２＋∠３＝１８０°时，直线犪，犫
平行吗？为什么？
c D C
1 1
2 A B
1 a 1 1
D C
b
3
A B
（第１２题） （第１３题）
２０ 第七章 相交线与平行线１３．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：
犃犅 犃犅，犃犃 犃犅，犃犇 犇犆，犃犇 犅犆．
１ １ １ １ １ １ １
你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下．
１４．如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，
∠１＝∠２，∠３＝∠４，∠２和∠３有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和
离开潜望镜的光线是平行的？（提示：分析这两条光线被哪条直线所截．）
1
5
2
3
6
4
（第１４题）
第七章 相交线与平行线 ２１７．３ 定义、命题、定理
前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描
述．例如：
（１）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；
（２）使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；
（３）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个
角的平分线；
（４）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．
这样的描述称为数学对象的定义 （ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ）．一个数学对象的定义揭示
了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断．例如，
“数轴”指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度；
３
根据方程的解的定义，可以判断狓＝ 是方程２狓＝３的解．
２
我们再来看一些可以判断正确与否的陈述语句，例如：
（１）等式两边加同一个数，结果仍相等；
（２）对顶角相等；
（３）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（４）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（５）如果一个数能被２整除，那么它也能被４整除．
容易判断，前４个语句都是正确的，第５个语句是错误的．像这样可以判断
为正确 （或真）或错误 （或假）的陈述语句，叫作命题 （ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．被判断为
正确 （或真）的命题叫作真命题，被判断为错误 （或假）的命题叫作假命题．
数学中的命题常可以写成 “如果……那么……”的形式，这时 “如果”后
接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．例如，在上面的命题 （３）中，
“两条直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行”是结论．
有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出来，从而将它们写成
“如果……那么……”的形式．例如，命题 “对顶角相等”可以写成 “如果两
个角是对顶角，那么这两个角相等”．
２２ 第七章 相交线与平行线由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命
题就是正确的；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误
的．例如，命题 “互为相反数的两个数的绝对值相等”是正确的，命题 “如果
两个角互补，那么它们是邻补角”是错误的．
１．举出一些学过的定义的例子．
２．举出一些学过的真命题的例子．
３．指出下列命题的题设和结论：
（１）若犪＝犫，则５犪＝５犫；
（２）如果犃犅⊥犆犇，垂足为犗，那么∠犃犗犆＝９０°；
（３）如果∠１＝∠２，∠２＝∠３，那么∠１＝∠３；
（４）两直线平行，同位角相等．
在前面，我们学过一些图形的性质，它们都是真命题．其中有些命题是基
本事实，如 “两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直
线平行”等．还有一些命题，如 “对顶角相等” “内错角相等，两直线平行”，
它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理 （ｔｈｅｏｒｅｍ）．定理也
可以作为继续推理的依据．
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理
过程叫作证明 （ｐｒｏｏｆ）．下面以证明命题 “在同一平面内，如果一条直线垂直
于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明．
例 如图７．３１，已知直线犪⊥犫，犫∥犮，求证犪⊥犮．
b c
证明：∵ 犪⊥犫（已知），
∴ ∠１＝９０°（垂直的定义）．
∵ 犫∥犮（已知）， 1 2
a
∴ ∠１＝∠２ （两直线平行，同位角相等）． 图７．３１
∴ ∠２＝９０°（等式的基本事实）．
∴ 犪⊥犮（垂直的定义）．
由例题可以看出，证明中的每一步推理都要有根据，不能 “想当然”．这
第七章 相交线与平行线 ２３些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等．
判断一个命题是错误的，只要举出一个例子 （反例），
A
它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
例如，要判断命题 “相等的角是对顶角”是错误的，
1
O
可以举出如下反例：在图７．３２中，犗犆是∠犃犗犅的平分 2 C
线，∠１＝∠２，但它们不是对顶角．
B
图７．３２
１．在下面的括号内，填上推理的依据．
A D
如图，∠犃＋∠犅＝１８０°，求证∠犆＋∠犇＝１８０°．
证明：∵ ∠犃＋∠犅＝１８０°，
B C
∴ 犃犇∥犅犆（ ）．
（第１题）
∴ ∠犆＋∠犇＝１８０°（ ）．
２．命题 “同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举
出反例．
１．下列语句哪些是命题？哪些是真命题？
（１）如果犪＝犫，犫＝犮，那么犪＝犮；
（２）等角的补角相等；
（３）过一点作直线犾的垂线；
（４）两个锐角的和是钝角．
２．如图，用符号表示下列推理过程：
A
（１）因为∠１和∠２相等，根据 “内错角相等，两直线平
行”，所以犃犅和犈犉平行； 1 3
D E
2
（２）因为犇犈和犅犆平行，根据 “两直线平行，同位角相
等”，所以∠１＝∠犅，∠３＝∠犆．
B F C
（第２题）
２４ 第七章 相交线与平行线
３．完成下面的证明．
（１）如图 （１），犃犅∥犆犇，犅犆∥犈犇．求证∠犅＋∠犇＝１８０°．
证明：∵ 犃犅∥犆犇，
∴ ∠犅＝ （ ）．
∵ 犅犆∥犈犇，
∴ ∠犆＋∠犇＝１８０°（ ）．
∴ ∠犅＋∠犇＝１８０°．
A B
E A A
D D
1 2
C D
B C B C
（第３题）
（２）如图 （２），∠犃犅犆＝∠犃′犅′犆′，犅犇，犅′犇′分别是∠犃犅犆，∠犃′犅′犆′的
平分线．求证∠１＝∠２．
证明：∵ 犅犇，犅′犇′分别是∠犃犅犆，∠犃′犅′犆′的平分线，
１
∴ ∠１＝ ∠犃犅犆，∠２＝ （ ）．
２
又 ∠犃犅犆＝∠犃′犅′犆′，
１ １
∴ ∠犃犅犆＝ ∠犃′犅′犆′（ ）．
２ ２
∴ ∠１＝∠２．
４．如图，平行直线犃犅，犆犇与犈犉相交，交点分别为犈，
犉，犈犌平分∠犃犈犉，犉犎平分∠犈犉犇，犈犌和犉犎平 A E B
行吗？为什么？ H
G
C F D
（第４题）
第七章 相交线与平行线 ２５７．４ 平移
在日常生活中，一些图案可以看成由其中的一部分平行移动得到，例如图
７．４１中建筑物表面、瓷砖和织物上的图案等．这样的图案常常给人整齐、和
谐的感觉．你能再举出一些类似的例子吗？
图７．４１
5
仔细观察下面的图案 （图７．４２），它们有什么共同特征？能否根据其
中的一部分绘制出整个图案？
图７．４２
可以发现，图７．４２中的每个图案都是由一些相同的图形组成的，将其中
的一个图形平行移动，就可以得到整个图案．例如，图７．４２ （１）中的图案是
由大小相同的平行四边形组成的，将其中的一个平行移动，再涂上不同的颜
色，就可以得到整个图案．
一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形
运动叫作平移 （ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ）．图形平移的方向不限于水平或竖直方向，图形可
以沿平面内任何方向平移．
２６ 第七章 相交线与平行线下面我们研究平移前后图形的关系．
/
如图７．４３ （１），把一张半透明的纸盖在一个四边形上，在纸上描出
四边形，然后将这张纸沿着某一方向移动一定距离．这两个四边形的形
状、大小有什么关系？
A
A
B
B
图７．４３
如图７．４３ （２），在这两个四边形中，找出两组对应点犃与犃′，犅与
犅′，连接它们得到线段犃犃′，犅犅′，犃犃′和犅犅′有什么位置关系？测量它
们的长度，它们的长度有什么关系？
可以发现，经过平移得到的四边形与原四边形
画出连接其他一些对
的形状、大小完全相同；连接两组对应点得到的线
应点的线段，它们仍有类
段犃犃′与犅犅′平行，并且它们的长度相等，即
似的关系吗？
犃犃′∥犅犅′，并且犃犃′＝犅犅′．
事实上，对于平移前后的图形，都能发现类似的规律 （你也可以利用平移
再画出一些图形进行研究）．于是，我们归纳出平移的性质．
3
把一个图形平移，得到的新图形具有下列特点：
１．新图形与原图形的形状和大小完全相同．
２．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这
两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行 （或在同一条直线上）且
相等．
给定一个图形，可以画出这个图形平移后的图形．
例 如图７．４４，平移三角形犃犅犆，使点犃移动到点犃′，画出平移后的
三角形犃′犅′犆′．
第七章 相交线与平行线 ２７A A
l
B C
A A
B C B C
图７．４４ 图７．４５
分析：要画出平移后的三角形犃′犅′犆′，关键是确定其三个顶点的位置．题
目中已知点犃的对应点犃′，由平移前后的图形对应点的连线平行且相等，即
可确定点犅，犆的对应点犅′，犆′的位置．
解：如图７．４５，连接犃犃′，过点犅画犃犃′的平行线犾，在犾上截取犅犅′＝
犃犃′，则点犅′就是点犅的对应点．
类似地，作出点犆的对应点犆′，连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犃′，就得到了平移
后的三角形犃′犅′犆′．
实际上，几何图形都可以看作由点组成，对于一些规则的几何图形，只要
画出图形中的一些关键点经过平移后的对应点，连接这些对应点，就可以得到
原图形平移后的图形．
利用平移，人们可以设计出美丽的图案，许多装饰图案就是利用平移设计
的 （图７．４６）．
图７．４６
/
选择一个图形作为基本图形，利用平移设计一个图案，再给它们涂上
颜色．和同学交流一下你的设计．
利用信息技术工具，可以方便地平移图形，设计图案，你也可以试
一试．
２８ 第七章 相交线与平行线
１．在方格纸中平移三角形犃犅犆，使点犃移到点犕，点犅和点犆应移到
什么位置？再次平移三角形，使点犃由点犕移到点犖．分别画出两次
平移后的三角形．如果直接平移三角形犃犅犆，使点犃移到点犖，平移
后的三角形和前面第二次平移后得到的三角形位置相同吗？
A C
M
B
B
A
C
N
D
A
（第１题） （第２题） （第３题）
２．如图，经过平移，四边形犃犅犆犇的顶点犃移到点犃′．画出平移后的四
边形犃′犅′犆′犇′．
３．利用平移，绘制出如图所示的图案．
１．图中的图案分别可以由什么图形平移形成？
A D
A
B
B E C F C D
（第１题） （第２题） （第３题）
２．如图，将三角形犃犅犆沿犅犆方向平移至三角形犇犈犉，找出图中平行的线段和
相等的线段．
３．将四边形犃犅犆犇沿箭头方向平移１ｃｍ，画出平移后的四边形犃′犅′犆′犇′．
第七章 相交线与平行线 ２９
４．用平移方法说明怎样得出平行四边形的面积公式犛＝犪犺．
a
h h
a
（第４题） （第５题）
５．如图，有一个由４个三角形组成的图形，通过平移，你能用它组成什么图案？
试一试，把你的图案与同学交流一下．
a
第七章 相交线与平行线
m
b
６．如图，在一块长为犪ｍ，宽为犫ｍ的长方形草
地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右
平移１ｍ就是它的右边线．求这块草地青草覆
盖的面积．
m
（第６题）
利用平移设计图案
通过平移一个图形，不仅可以绘制带状的图案，还可以绘制覆盖整个平面
的美丽图案，例如荷兰艺术家埃舍尔的作品、蜂巢、织物上的图案等（图１）．这
样的图案给人整齐有序、可以无限延展的感觉．
图１
３０你知道图１中的图案是怎样生成的吗？与利用平移绘制带状的图案类似，
在绘制这样的图案时，也要首先选定一个基本图形，然后把这个图形先按某一
方向重复移动一定距离，再按另一个方向 （与之前平移的方向不平行）重复移
动一定距离，就可以得到一幅美丽的图案了．
再来看图１（１），不难发现，这个图案是由其中的一个 “鸟”形图案 （图２）
平移得到的．那么，这个 “鸟”形图案又是怎样画出来的呢？
借助正方形上的平移，就可以画出 “鸟”形图案．图３展示了由正方形上
的平移得到这个 “鸟”形图案的过程．
图２ 图３
这种正方形上的平移，因为是从一处移到另一处 （上移到下、下移到上、
左移到右、右移到左），所以能保证这样的图案平移后互相吻合，不留缝隙，形
成一幅美丽的图案．
图４中的图案也是先通过正方形上的平移得到一个基本图形，再平移这个
图形得到的．你能分别说一说每个图案中的基本图形是怎样得到的吗？
图４
图１（３）中图案的基本图形是通过正六边形上的平移得到的，你能利用平
移画出这个基本图形吗？
最后，请你利用平移设计几幅美丽的图案吧！设计图案时，你也可以利用
信息技术工具．
第七章 相交线与平行线 ３１
" .*=3+"
学习了平行线后，李明、刘伟、王芳三位同学分别想出了过直线外
一点画这条直线的平行线的新方法．
李明的画法如图１所示．
b b b
P P P 2 c P 2
a a a 1 a 1
Pb 2 1 ca
图１
刘伟的画法如图２所示．
l l
P S S
P
P P
b
a R
R
a a
a
P ?a l?a RS=P PS ba
图２
王芳是通过折纸画的，方法如图３所示．
P P P P
b
a a a a
图３
你还有其他方法吗？动手试一试，与同学交流一下．
３２ 第七章 相交线与平行线" @@/
如图４，传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独
特的艺术表现力和文化内涵．
图４
在各式各样的窗格图案中，有一类是仅由笔直的短木条或铁条沿横、
竖、斜方向交错构成的 （图５）．这样的窗格子给人以明朗、匀称、简洁
的感觉．
图５
你能用交错的线段设计一些窗格图案吗？请在图６中试一试．
图６
第七章 相交线与平行线 ３３
第七章 相交线与平行线
在本章中，我们研究了平面内不重合的两条直线的位置关系———相交
与平行．对于相交，按照从一般到特殊的顺序，先研究了两条直线相交所
形成的邻补角和对顶角的位置关系和数量关系，这也是相交线的性质，
然后研究了相交的特殊情形———垂直，它在实际生产和生活中具有广泛
的应用．对于平行，借助两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错
角和同旁内角，研究了平行线的判定与性质．
通过对平行线的研究，我们知道了 “图形的判定”讨论的是确定某
种图形需要什么条件．例如，两条直线与第三条直线相交，具备 “同位角
相等”，就有 “两直线平行”．而 “图形的性质”讨论的是这类图形有怎样
的共同特性．例如，两条直线只要平行，它们被第三条直线所截时，就一
定有同位角相等．
学习本章时，要注意观察实物、模型和图形，通过观察、测量、实验、
３４对比、类比等，借助几何直观寻找图形中的位置关系和数量关系，发现
图形的性质．同时，还要注意体会通过推理获得数学结论的方法，培养言
之有据的习惯和有条理地思考、表达的能力．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．下面是本章学到的一些数学名词：邻补角、对顶角、垂直、平行、
同位角、内错角、同旁内角、平移，你能用自己的语言描述它们吗？你
能分别画一个图形表示它们吗？
２．两条直线相交形成的四个角具有怎样的位置关系和数量关系？
３．什么是点到直线的距离？你会度量吗？请举例说明．
４．怎样判定两条直线是否平行？平行线有什么性质？对比平行线的
性质和直线平行的判定方法，它们有什么异同？
５．什么是命题？如何判断一个命题是正确的还是错误的？请结合具
体例子说明．
６．图形平移时，连接各对应点的线段有什么关系？如何利用平移设
计图案？
１．如图，直线犃犅⊥犆犇，垂足为犗，直线犈犉经过点犗，
C
∠１＝２６°，求∠２，∠３，∠犅犗犈的度数． F
2
２．如图是一根弯形管道的平面示意图，其中的拐角 A 1 B
3
∠犃犅犆＝１２０°，∠犅犆犇＝６０°，这时说管道犃犅与犇犆 E O
平行对吗？为什么？ D
（第１题）
３．判断题．
（１）犪，犫，犮是直线，若犪∥犫，犫∥犮，则犪∥犮；
D C
（２）犪，犫，犮是直线，若犪⊥犫，犫⊥犮，则犪⊥犮．
A B
（第２题）
第七章 相交线与平行线 ３５４．根据下列语句画出图形：
（１）过线段犃犅的中点犆，画犆犇⊥犃犅；
（２）点犘到直线犃犅的距离是３ｃｍ，过点犘画直线犃犅的垂线；
（３）过三角形犃犅犆内的一点犘，分别画犃犅，犅犆，犃犆的平行线．
５．如图，某人骑自行车自犃处沿正东方向前进，至犅处后，行驶方向改为东偏南
１５°，行驶到犆处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线．
A B A D
1
15e
C
B C
（第５题） （第６题）
６．如图，∠１＝３０°，∠犅＝６０°，犃犅⊥犃犆，垂足为犃．
c
（１）∠犇犃犅＋∠犅等于多少度？
2 1
（２）犃犇与犅犆平行吗？犃犅与犇犆平行吗？ a
3 4
７．如图，平行线犪，犫被直线犮所截，若知道∠１～∠８中一个
6 5
b
角的度数，能否求出其他角的度数？如果能，用其中一个角
7 8
表示出其他各角．
（第７题）
８．选择题．
（１）如图 （１），点犈在犃犆的延长线上，下列条件中能判断犃犅∥犆犇的是
（ ）．
（Ａ）∠３＝∠４ （Ｂ）∠１＝∠２
（Ｃ）∠犇＝∠犇犆犈 （Ｄ）∠犇＋∠犃犆犇＝１８０°
（２）如图 （２），∠１＋∠２＝１８０°，∠３＝１０８°，则∠４＝ （ ）．
（Ａ）７２° （Ｂ）８０° （Ｃ）８２° （Ｄ）１０８°
c d
B 3 D 1 3 a
1
2
4 4
b
A C E 2
（第８题）
３６ 第七章 相交线与平行线９．图中所示为防护网的示意图，它可看成由两组平行线组成，你能通过检验一些
角的大小来验证其中的线段平行吗？说出你的做法．
A C
l
A B 1
P
l
O B D 2
（第９题） （第１０题） （第１１题）
１０．如图，∠犃犗犅内有一点犘．
（１）过点犘画犘犆∥犗犅，交犗犃于点犆，画犘犇∥犗犃，交犗犅于点犇；
（２）写出图中相等的角；
（３）写出图中互补的角．
１１．如图，直线犾∥犾，犃犅⊥犾，犆犇⊥犾，犃犅和犆犇平行吗？为什么？
１ ２ ２ １
１２．完成下面的证明．
（１）如图 （１），点犇，犈，犉分别是三角形犃犅犆的边犅犆，犆犃，犃犅上的点，
犇犈∥犅犃，犇犉∥犆犃．求证∠犉犇犈＝∠犃．
证明：∵ 犇犈∥犅犃，
∴ ∠犉犇犈＝ （ ）．
∵ 犇犉∥犆犃，
∴ ∠犃＝ （ ）．
∴ ∠犉犇犈＝∠犃．
A A
E
C
F O D
B D C B
（１） （２）
（第１２题）
（２）如图 （２），犃犅和犆犇相交于点犗，∠犆＝∠犆犗犃，∠犇＝∠犅犗犇．求证
犃犆∥犇犅．
证明：∵ ∠犆＝∠犆犗犃，∠犇＝∠犅犗犇，
且 ∠犆犗犃＝∠犅犗犇（ ），
第七章 相交线与平行线 ３７∴ ∠犆＝ ．
∴ 犃犆∥犇犅（ ）．
１３．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，
举出一个反例．
（１）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（２）同旁内角相等，两直线平行；
（３）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．
１４．如图是两个整体图案的局部，分别指出其中的基本图形，并说明怎样由基本图
形平移得到整个图案．
（第１４题）
１５．如图，这是一套住房的平面图，图中有许多相交线和平行线．量量你家的住房，
选择适当的比例尺，画出它的平面图．你能自己设计一个户型图吗？
P B
M
D
N
S
A
C R
（第１５题） （第１６题）
１６．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点犃滚向桌边犘犙，碰着犘犙
上的点犅后便反弹而滚向桌边犚犛，碰着犚犛上的点犆便反弹而滚向点犇．已知
犘犙∥犛犚，犃犅，犅犆，犆犇都是直线，且∠犃犅犆的平分线犅犖垂直于犘犙，
∠犅犆犇的平分线犆犕垂直于犛犚，那么，球经过两次反弹后所滚的路径犆犇是
否平行于原来的路径犃犅？
３８ 第七章 相交线与平行线第八章 实数
当 “天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度狏（单位：ｍ／ｓ）时，
它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．狏的大小满足狏２＝２犵犚，其
中犵是地球表面的重力加速度，犵≈９．８ （单位：ｍ／ｓ２ ），犚是地球半径，犚≈
６．４×１０６ （单位：ｍ）．怎样求狏呢？这就要用到平方根的概念．
随着对于数的认识的不断深入，人们发现，边长为１的正方形的对角线的
长度值不是有理数，这就需要引入一种新的数———无理数．实际中对第二宇宙
速度等的计算也要用到无理数．
在本章中，我们将首先学习平方根与立方根；在此基础上引入无理数，把
数的范围从有理数扩充到实数；然后类比有理数，引入实数在数轴上的表示和
实数的运算，从中进一步感悟数系扩充的过程，并用这些知识解决一些实际
问题．
第七章 相交线与平行线８．１ 平方根
我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的
平方．反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个
数呢？
5
如果一个数的平方等于９，那么这个数是多少？
因为３２＝９，所以这个数可以是３；又因为（－３） ２＝９，所以这个数也可以
是－３．除３，－３以外，任何一个数的平方都不等于９．因此，如果一个数的平
方等于９，那么这个数是３或－３．填写下表：
４
狓２ １ １６ ３６ ４９
２５
狓
一般地，如果一个数狓的平方等于犪，即狓２＝犪，那么这个数狓叫作犪的
平方根 （ｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ）或二次方根．例如，３和－３是９的平方根．通常把３和
－３合在一起简记为 “±３”，则±３是９的平方根．求一个数的平方根的运算，
叫作开平方．
±３的平方等于９，９的平方根是±３，可以发现，平方与开平方互为逆运
算 （图８．１１）．根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根．
+1 +1
1 1
-1 -1
+2 +2
4 4
-2 -2
+3 +3
9 9
-3 -3
图８．１１
例１ 求下列各数的平方根：
９
（１）６４； （２） ； （３）０．０１．
１００
４０ 第八章 实数解：（１）因为（±８） ２＝６４，所以６４的平方根是±８；
（ ）
３ ９ ９ ３
（２）因为 ± ２ ＝ ，所以 的平方根是± ；
１０ １００ １００ １０
（３）因为（±０．１） ２＝０．０１，所以０．０１的平方根是±０．１．
5
正数的平方根有什么特点？０的平方根是多少？负数有平方根吗？
可以看出，正数有两个平方根，它们互为相反数．
因为０２＝０，并且任何一个不为０的数的平方都不等于０，所以０的平方根
是０．
正数的平方是正数，负数的平方也是正数，０的平方是０，即在我们所认
识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根．
正数犪的正的平方根记为 “槡犪”，读作 “根号犪”，
犪叫作被开方数；正数犪的负的平方根可以用
只有当犪≥０时，槡犪
“－槡犪”表示，故正数犪的平方根可以用 “±槡犪” 有意义；而当犪＜０时，
表示，读作 “正、负根号犪”．例如，±槡９表示９的 槡犪没有意义．为什么？
平方根，±槡９＝±３．特别地，０的平方根记为槡０．
例２ 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明
理由．
（１）０．３６； （２）－５； （３）（－４） ２．
解：（１）因为０．３６是正数，所以０．３６有两个平方根，±槡０．３６＝±０．６；
（２）因为－５是负数，所以－５没有平方根；
（３）因为（－４） ２＝１６是正数，所以（－４）
２
有两个平方根，
±槡（－４） ２＝±槡１６＝±４．
１．判断题．
（１）１的平方根是１； （２）－１的平方根是－１；
（３）０．５是０．２５的一个平方根； （４）０的平方根是０．
第八章 实数 ４１２．求下列各数的平方根：
６４
（１） ； （２）６２ ； （３）０．４９．
８１
３．求下列各式中狓的值：
（１）狓２＝２５； （２）９狓２＝４； （３）（狓－１） ２＝１．
我们知道，正数犪有两个平方根，其中正的平方根槡犪叫作犪的算术平方
根．正数犪的算术平方根用槡犪来表示．
规定：０的算术平方根是０．０的算术平方根也记为槡０．
例３ 求下列各数的算术平方根：
４９
（１）１００； （２） ； （３）０．０００１．
６４
解：（１）因为１０２＝１００，所以１００的算术平方根是１０，即槡１００＝１０；
（ ）
（２）因为
７
２ ＝
４９
，所以
４９
的算术平方根是
７
，即
槡４９
＝
７
；
８ ６４ ６４ ８ ６４ ８
（３）因为０．０１２＝０．０００１，所以０．０００１的算术平方根是０．０１，即
槡０．０００１＝０．０１．
从例３可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根就越大．这个结论对
所有正数都成立．
/
怎样用两个面积为１ｄｍ２ 的小正方形拼成一个面积为２ｄｍ２ 的大正方
形？这个大正方形的边长是多少？
如图８．１２，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的４个直角三角
图８．１２
４２ 第八章 实数形拼在一起，就得到一个面积为２ｄｍ２ 的大正方形．
设大正方形的边长为狓ｄｍ，则
狓２＝２．
由边长的实际意义可知
小正方形的对角线
狓＝槡２，
的长是多少呢？
所以大正方形的边长是 槡２ｄｍ．
/
槡２有多大呢？
因为１２＝１，２２＝４，１２＜２＜２２ ，所以
１＜槡２＜２；
因为１．４２＝１．９６，１．５２＝２．２５，１．４２＜２＜１．５２ ，所以
１．４＜槡２＜１．５；
因为１．４１２＝１．９８８１，１．４２２＝２．０１６４，１．４１２＜２＜１．４２２ ，所以
１．４１＜槡２＜１．４２；
因为１．４１４２＝１．９９９３９６，１．４１５２＝２．００２２２５，１．４１４２＜２＜１．４１５２ ，所以
１．４１４＜槡２＜１．４１５；
……
如此进行下去，可以得到槡２的更精确的估计范
无限不循环小数是
围．事实上，槡２＝１．４１４２１３５６２３７３…，它是一个
指小数位数无限，且小
无限不循环小数．
数部分不循环的小数．你
实际上，很多正有理数的算术平方根 （例如 以前见过这样的数吗？
槡３，槡５，槡６等）都是无限不循环小数．
１．求下列各数的算术平方根：
８１
（１）０．０９； （２） ； （３）５２．
４９
第八章 实数 ４３２．求下列各式的值：
槡１６
（１）槡３６； （２）－槡０．６４； （３）± ．
９
３．排球比赛场地呈长方形，长是宽的２倍，面积为１６２ｍ２．它的长与宽分
别是多少？
大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根 （或其
近似值）．不同品牌的计算器，按键顺序有所不同．
例４ 用计算器求下列各式的值：
（１）槡３１３６； （２）槡２ （结果保留小数点后三位）．
解：（１）依次按键 ，
显示：５６．
所以槡３１３６＝５６．
（２）依次按键 ， 计算器上显示的
显示：１．４１４２１３５６２． １．４１４２１３５６２是槡２的近
似值．
所以槡２≈１．４１４．
下面来解决本章引言中提出的问题．
由狏２＝２犵犚及狏的实际意义，得狏＝槡２犵犚，其中犵≈９．８ （单位：ｍ／ｓ２ ），
犚≈６．４×１０６ （单位：ｍ）．用计算器求得
狏≈槡２×９．８×６．４×１０６＝１．１２×１０４．
因此，第二宇宙速度狏约为１．１２×１０４ｍ／ｓ，即１１．２ｋｍ／ｓ．
/
（１）用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你
发现了什么规律？
… 槡０．０６２５ 槡０．６２５ 槡６．２５ 槡６２．５ 槡６２５ 槡６２５０ 槡６２５００ …
… …
４４ 第八章 实数（２）用计算器计算槡３ （结果保留小数点后三位），并利用你在 （１）中
发现的规律求出槡０．０３，槡３００，槡３００００的近似值，你能根据槡３的值求出
槡３０的近似值吗？
在日常生活中，我们经常遇到估计一个数的大小的问题．
第八章 实数
!
例５ 小丽想用一块面积为４００ｃｍ２
的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面
积为３００ｃｍ２ 的长方形纸片，使它的长与
宽的比为３∶２．但她不知道能否裁得出
来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，
一定能用一块面积大的纸片裁出一块面
积小的纸片！”
你同意小明的说法吗？小丽能用这
块纸片裁出想要的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为３狓ｃｍ，
宽为２狓ｃｍ．
根据边长与面积的关系，得
３狓·２狓＝３００，
６狓２＝３００，
狓２＝５０．
由边长的实际意义，得
狓＝槡５０．
因此长方形纸片的长为３槡５０ｃｍ． ３槡５０就是３×槡５０．
因为５０＞４９，所以槡５０＞７．
由上可知３槡５０＞２１，即长方形纸片的长应该大于２１ｃｍ．
因为槡４００＝２０，所以正方形纸片的边长只有２０ｃｍ．这样，长方形纸片的
长将大于正方形纸片的边长．
答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片．
４５
１．用计算器求下列各式的值：
（１）槡９６１； （２）槡９６．０４； （３）槡４０３ （结果保留小数点后三位）．
２．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？
槡８
（１）槡５； （２）槡２６； （３） ．
３
３．长方形画纸的面积为７００ｃｍ２ ，长与宽的比为５∶４．王芳想从中裁出半
径为１２ｃｍ的圆形画纸，她的想法可行吗？
１．求下列各数的平方根：
１
（１）８１； （２） ； （３）０．００１６．
１０６
２．求下列各数的算术平方根：
２５
（１） ； （２）０．０４； （３）１０２．
６４
３．判断题．
（１）槡５是５的一个平方根；
（２）（－３）
２
的算术平方根是－３；
（３）槡４的平方根是±２；
（４）０的平方根与算术平方根都是０．
４．用计算器求下列各式的值 （结果保留小数点后两位）：
槡１１１
（１）槡４０８； （２）槡５１．４２５３４； （３） ．
４
５．比较下列各组数的大小：
槡３ 槡２ 槡１０－１
（１）槡６５与８； （２） 与 ； （３） 与１．
３ ２ ２
４６ 第八章 实数
６．求下列各式中狓的值：
（１）狓２－１００＝０； （２）２５狓２＝３６； （３）（狓＋２） ２＝０．４９．
７．估算面积为３ｄｍ２ 的正方形的边长是多少分米 （结果保
留小数点后两位）．
８．如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间
狋（单位：ｓ）与钟摆的长度犾（单位：ｍ）之间满足狋＝
槡犾
２π ．当钟摆的长度为０．２５ｍ时，摆动一个来回所用
犵
的时间是多少秒？（π取３．１４，犵取９．８ｍ／ｓ２．结果保留
小数点后两位．）
（第８题）
９．一个正方形的面积扩大为原来的４倍，它的边长变为原
来的多少倍？面积扩大为原来的９倍呢？狀倍呢？
１０． （１）求 （槡０） ２ ，（槡４） ２ ，（槡９） ２ ，（槡２５） ２ ，（槡３６） ２ 的值．对于任意非负数犪，
（槡犪）
２
等于多少？
（２）求槡０２ ，槡２２ ，槡（－３）
２
，槡５２ ，槡（－６）
２
的值．对于任意数犪，槡犪２ 等
于多少？
１１．任意找一个正数，比如１２３４，利用计算器对它开平方，再对得到的算术平
方根开平方……如此进行下去，你有什么发现？
第八章 实数 ４７８．２ 立方根
在上一节，我们通过研究平方的逆运算学习了平方根，
本节来研究立方的逆运算．
如果一个数的立方等于８，那么这个数是多少？
因为２３＝８，所以这个数可以是２．除２以外，任何一个数的立方都不等于８．
因此，如果一个数的立方等于８，那么这个数是２．
一般地，如果一个数狓的立方等于犪，即狓３＝犪，
那么这个数狓叫作犪的立方根 （ｃｕｂｅｒｏｏｔ）或三次
到了高中，我们将
方根．例如，２是８的立方根．求一个数的立方根的 学习一般的开方运算．
运算，叫作开立方．
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．根据这
种互逆关系，可以求一个数的立方根．
/
根据立方根的意义填空：
因为１３＝１，所以１的立方根是 （ ）；
因为 （ ） ３＝０．０６４，所以０．０６４的立方根是 （ ）；
因为 （ ） ３＝－８，所以－８的立方根是 （ ）；
１ １
因为 （ ） ３＝－ ，所以－ 的立方根是 （ ）；
８ ８
因为 （ ） ３＝０，所以０的立方根是 （ ）．
你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？０的立方根是多少？
3
正数的立方根是正数， 你能说一说数的立
负数的立方根是负数， 方根与数的平方根有什
么不同吗？
０的立方根是０．
４８ 第八章 实数
书书书类似于平方根，一个数犪的立方根记为
“槡３犪”，读作 “三次根号犪”，其中犪是被开方数，
槡犪实际上省略了
３是根指数．例如，槡３８表示８的立方根，槡３８＝２； 槡２犪中的根指数２，因此
槡３－８表示－８的立方根，槡３－８＝－２．槡３犪中的根指
槡犪也可以读作 “二次根
号犪”．
数 “３”不能省略．
例１ 求下列各数的立方根：
１２５
（１）（－２） ３ ； （２）３４３； （３）－６４； （４） ．
２７
解：（１）（－２）
３
的立方根是－２，即槡３（－２） ３＝－２；
（２）因为７３＝３４３，所以３４３的立方根是７，即槡３３４３＝７；
（３）因为 （－４） ３＝－６４，所以－６４的立方根是－４，即槡３－６４＝－４；
（ ）
５ ３ １２５ １２５ ５ 槡３１２５ ５
（４）因为 ＝ ，所以 的立方根是 ，即 ＝ ．
３ ２７ ２７ ３ ２７ ３
１．判断题．
（１）－３是－２７的立方根； （２）±３是２７的立方根；
（３）（－１）
３
的立方根是－１； （４）槡３－８的立方根是－２．
２．求下列各数的立方根：
６４
（１）－１； （２）０．００８； （３）－ ．
２７
３．如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为２１６ｃｍ３ ，
它的棱长是多少？ （第３题）
下面，我们探究互为相反数的两个数的立方根的关系．
/
计算槡３８和槡３－８，它们有什么关系？槡３２７和槡３－２７呢？你能从中发现
什么规律？
一般地，槡３－犪＝－槡３犪．
第八章 实数 ４９例２ 求下列各式的值：
（１）槡３－５１２； （２）－槡３－０．００１； （３）槡３－４３．
解：（１）槡３－５１２＝－槡３５１２＝－８；
（２）－槡３－０．００１＝槡３０．００１＝０．１；
（３）槡３－４３＝－槡３４３＝－４．
在例１、例２中，我们是利用开立方与立方的关系求立方根的．实际上，
很多有理数的立方根 （如槡３２，槡３３，槡３４等）是无限不循环小数，我们可以用有
理数近似地表示它们．
一些计算器设有 键，用它可以求出一个数的立方根 （或其近似值）．例如，
用计算器求槡３２１９７，只需依次按键 ，显示：１３，所以槡３２１９７＝１３．
用计算器求槡３３，只需依次按键 ，显示槡３３的近似值：１．４４２２４９５７０，所以
槡３３≈１．４４２．
有些计算器需要调用备用功能 求一个数的立方根，具体操作参见计算器
的使用说明．
/
用计算器计算…，槡３０．０００２１６，槡３０．２１６，槡３２１６，槡３２１６０００，…，你
能发现什么规律？用计算器计算槡３１００ （结果保留小数点后三位），并利用
你发现的规律求出槡３０．１，槡３０．０００１，槡３１０００００的近似值．
１．求下列各式的值：
槡３ ８
（１）槡３０．０２７； （２）槡３（－７） ３ ； （３） － ．
２７
２．用计算器求下列各式的值：
（１）槡３６８５９； （２）槡３６８９２１；
（３）槡３０．０２８０９２ （结果保留小数点后三位）．
３．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？
（１）槡３７； （２）槡３９９； （３）槡３６３５； （４）槡３－２８．
５０ 第八章 实数
１．求下列各式的值：
槡３７
（１）－槡３０．１２５； （２）－槡３７２９； （３） －１．
８
２．用计算器求下列各式的值 （结果保留小数点后三位）：
槡３１
（１）槡３５５７２； （２）－ ； （３）±槡３２５．９８６５５８．
１３
３．比较下列各组数的大小：
３
（１）槡３７与２； （２）槡３９与２．５； （３）－槡３３与－ ．
２
４．求下列各式中狓的值：
３
（１）狓３＝－０．０６４； （２）狓３－３＝ ； （３）（狓＋１） ３＝８． r
８
５．把一个长、宽、高分别为２１ｄｍ，２０ｄｍ，１９ｄｍ的长方体铁
块熔化后铸成一个正方体铁块 （不计损耗），这个正方体的棱
h
长是多少分米 （结果保留小数点后两位）？
６．如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为２２６００ｃｍ３ ，高犺
等于底面半径狉的５．４８倍，底面半径狉是多少厘米？（π取３．１４，
（第６题）
结果保留小数点后两位．）
７．一个正方体的体积扩大为原来的８倍，它的棱长变为原来的多少倍？扩大为
原来的２７倍呢？狀倍呢？
８．（１）求 （槡３０）３，（槡３８）３，（槡３－８）３，（槡３２７）３，（槡３－２７）３ 的值．对于任意数犪，
（槡３犪）３等于多少？
（２）求槡３０３ ，槡３２３ ，槡３（－２）
３
，槡３（－３）
３
，槡３４３ 的值．对于任意数犪，槡３犪３ 等
于多少？
９．任意找一个数，比如１２３４，利用计算器对它开立方，再对得到的立方根开立
方……如此进行下去，你有什么发现？
第八章 实数 ５１８．３ 实数及其简单运算
在前面的学习中，我们通过引入一类新的数———负数，
使数的范围扩充到有理数．本章我们认识了像槡２，槡３３这样的
无限不循环小数，它们是有理数吗？如果不是，我们将再次
扩充数的范围．
/
把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？
５ ３ ２７ １１ ９
４， ，－ ， ， ， ．
２ ５ ４ ９ １１
可以发现，上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即
５ ３
４＝４．０， ＝２．５，－ ＝－０．６，
２ ５
整数可以写成小数
２７ １１ ９
＝６．７５， ＝１．２·， ＝０．８·１·． 点后为０的小数．
４ ９ １１
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数
或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或
无限循环小数也都是有理数．
通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方
根、立方根是无限不循环小数，例如槡２，－槡５， 无理数是不能写成
两个整数之比 （分数）
槡３２，槡３３等．π＝３．１４１５９２６５…也是无限不循环小数．
的数，它和有理数一
从上面的讨论可知，无限不循环小数都不是有理数．
样，都是现实世界中客
无限不循环小数又叫作无理数 （ｉｒｒａｔｉｏｎａｌｎｕｍｂｅｒ）．
观存在的量的反映．
像有理数一样，无理数也有正负之分．例如，
槡２，槡３３，π是正无理数，－槡２，－槡３３，－π是负无
理数．
５２ 第八章 实数##
我国古人对无理数已经有了很多认识．《九章算术》中用 “面”来表示开
平方开不尽的数．刘徽在其著作 《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运
算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法 “求微数法”．
有理数和无理数统称实数 （ｒｅａｌｎｕｍｂｅｒ）．这样，我们学过的数可以这样
分类：
正有理数
烄 烌
有理数 烅０ 烍 有限小数或无限循环小数
烄
负有理数
实数 烆 烎
烅
正无理数
烄 烌
烆无理数 无限不循环小数
烅 烍
负无理数
烆 烎
由于非０有理数和无理数都有正负之分，所以非０实数也有正负之分，于
是实数也可以这样分类：
正实数
烄
实数 烅０
负实数
烆
与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示．
数轴上表示正无理数犪的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是犪个单位长
度；表示负无理数－犫（犫＞０）的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是犫个
单位长度．下面，我们以π，槡２，－槡２为例，看一看如何在数轴上表示无理数．
以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π．如图８．３１，从原点开
始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点犗到达点犗′，
点犗′对应的数是多少？
O 1 2 3O 4
图８．３１
第八章 实数 ５３从图８．３１中可以看出，犗犗′的长是这个圆的周长π，所以点犗′对应的数
是π．这样，数轴上的点犗′就表示无理数π．
以单位长度为边长画一个正方形 （图８．３２），以原点为圆心，正方形的对
角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示槡２，与负半轴的交点就表示－槡２．
（为什么？）
2 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
图８．３２
当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点
来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．因此，实数与数轴上的
点是一一对应的．
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实
数总比左边的点表示的实数大．
１．判断题．
（１）无限小数都是无理数；
（２）无理数都是无限小数；
（３）用根号表示的数都是无理数；
（４）所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点
都表示有理数；
（５）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都
表示实数．
２．在０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０的平方根与立方根中，哪些是
有理数？哪些是无理数？
３．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小 （用 “＜”连接）：
３
－２，槡２， ，－π．
２
５４ 第八章 实数有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数．
（１）槡２的相反数是 ，－π的相反数是 ，０的相反数是 ；
（２）︱槡２︱＝ ，︱－π︱＝ ，︱０︱＝ ．
一般地，对于实数，同样有
数犪的相反数是－犪． 一个实数的绝对值
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的 就是它在数轴上的对应
绝对值是它的相反数；０的绝对值是０．即设犪表示 点与原点的距离．
一个实数，则
烄犪，当犪＞０时；
｜犪｜＝烅０，当犪＝０时；
烆－犪，当犪＜０时．
例１ （１）分别写出－槡６，π－３．１４的相反数；
（２）指出－槡５，１－槡３３分别是什么数的相反数；
（３）求槡３－６４的绝对值；
（４）已知一个数的绝对值是槡３，求这个数．
解：（１）因为
－（－槡６）＝槡６，－（π－３．１４）＝３．１４－π，
所以－槡６，π－３．１４的相反数分别为槡６，３．１４－π．
（２）因为
－（槡５）＝－槡５，－（槡３３－１）＝１－槡３３，
所以－槡５，１－槡３３分别是槡５，槡３３－１的相反数．
（３）因为
３槡－６４＝－槡３６４＝－４，
所以
︱槡３－６４︱＝︱－４︱＝４．
（４）因为
第八章 实数 ５５︱槡３︱＝槡３，︱－槡３︱＝槡３，
所以绝对值为槡３的数是槡３或－槡３．
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除 （除数不
为０）、乘方运算，而且正数及０可以进行开平方运算，
随着数的范围的进
任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运 一步扩充，负数也将可
算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用． 以进行开平方运算．
例２ 计算：
（１）（槡３＋槡２）－槡２； （２）３槡３＋２槡３．
解：（１）（槡３＋槡２）－槡２ （２）３槡３＋２槡３
＝槡３＋（槡２－槡２）（加法结合律） ＝（３＋２）槡３ （分配律）
＝槡３＋０ ＝５槡３．
＝槡３；
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计
算结果的近似值时，一般先用近似有限小数 （例
在近似计算时，计
如，比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无
算过程中有时也使用 “去
理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入．
尾法”，即用近似有限小
例３ 计算 （结果保留小数点后两位）：
数去代替无理数时，直接
（１）槡５－槡７； （２）π·槡３３． 舍去要保留数位的下一位
数字，最后对计算结果四
解：（１）槡５－槡７≈２．２３６－２．６４６＝－０．４１；
舍五入．如槡５－槡７≈
（２）π·槡３３≈３．１４２×１．４４２≈４．５３．
２．２３６－２．６４５≈－０．４１．
１．求下列各数的相反数与绝对值：
π 槡５－１
槡１３，－槡７，－ ，１．４－槡２， ，０．
２ ２
２．计算：
（１）２槡５－３槡５； （２）槡３３－︱１－槡３３︱．
３．计算 （结果保留小数点后两位）：
（１）槡１７＋槡２２； （２）槡３６－槡６．
５６ 第八章 实数
１．在下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
２２ 槡３
３．１４， － ， ，－槡６，槡３６，槡３５，槡３１２５．
７ ３
２．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小 （用 “＜”连接）：
１
－ ，－１．５，２槡２，︱－３︱．
３
３．求下列各数的绝对值：
槡２
槡３－８，槡１７，－ ，槡３－２，１－槡３２．
３
４．计算 （结果保留小数点后两位）：
（１）π－槡１０； （２）３槡２－槡３２．
５．计算：
（１）２（槡６－槡７）－︱２槡６－槡７︱； （２）（－槡２） ２＋（－槡３２） ３．
６． （１）有没有最小的正整数？有没有最小的整数？
（２）有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？
（３）有没有最小的正实数？有没有最小的实数？
７．写出所有符合下列条件的数：
（１）小于槡３７的所有正整数；
（２）大于－槡１０且小于槡１０的所有整数；
（３）绝对值小于槡６的所有整数．
８．如图，长方形内两个正方形的面积分别为３ｃｍ２ ，１ｃｍ２． 3 cm2 1 cm2
（１）求长方形的周长；
（２）求图中两块阴影部分的面积和． （第８题）
９．已知数０．１０１００１０００１００００１…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个１之
间依次多一个０．这个数是有理数还是无理数？为什么？
第八章 实数 ５７
为什么槡２不是有理数
古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们认为 “万
物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比表示．
后来毕达哥拉斯学派发现，边长为１的正方形的对
角线的长不能表示为整数或整数之比 （即槡２不是
有理数），对此他们感到惊恐不安．由此，引发了
第一次数学危机．
事实上，“槡２不是有理数”是可以证明的，下
毕达哥拉斯 （Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ，
面给出一种证明方法．
约公元前５８０—约前５００）
假设槡２是有理数，那么存在两个互质的正整
数狆，狇，使得
狆
＝槡２，
狇
于是
狆＝槡２狇．
两边平方得
狆２＝２狇２．
由２狇２ 是偶数，得狆２ 是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以狆也是
偶数．
因此可设狆＝２狉（狉是正整数），代入上式，得４狉２＝２狇２ ，即
狇２＝２狉２．
所以狇也是偶数．这样，狆，狇都是偶数，与假设狆，狇互质矛盾．
这个矛盾说明，槡２不能写成分数的形式，即槡２不是有理数．
历史上，人们对无理数的认识经历了曲折、漫长的过程，直到１９世纪下半
叶，才最终给出了无理数的严格定义．这时，实数的理论体系才建立起来，持
续两千多年的第一次数学危机终于结束了．
５８ 第八章 实数
"0"3+J
按照国际标准，Ａ系列纸为长方形，其中Ａ０纸的面积为１ｍ２．将
Ａ０纸沿长边对折、裁开，便成Ａ１纸；将Ａ１纸沿长边对折、裁开，便成
Ａ２纸；将Ａ２纸沿长边对折、裁开，便成Ａ３纸；将Ａ３纸沿长边对折、
裁开，便成Ａ４纸……
将Ａ４纸按如图１所示的方式折叠，你有什么发现？你能据此估算
Ａ０纸的长与宽分别是多少毫米吗 （结果取整数）？
图１
" 0!/
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他
的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是
５９３１９，求它的立方根．华罗庚脱口而出：３９．
你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？
按照下面的方法试一试：
（１）由１０３＝１０００，１００３＝１００００００，你能确定
华罗庚 （１９１０—１９８５）
槡３５９３１９是几位数吗？
（２）由５９３１９的个位上的数是９，你能确定槡３５９３１９的个位上的数是几吗？
（３）如果划去５９３１９后面的三位３１９得到数５９，而３３＝２７，４３＝６４，
由此你能确定槡３５９３１９的十位上的数是几吗？
已知１９６８３，１１０５９２都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它
们的立方根吗？
第八章 实数 ５９
/
本章我们学习了平方根和立方根，并通过开平方、开立方运算认识
了一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围从有理
数扩充到实数．随着数的范围的扩充，数的运算也有了新的发展．在实数
范围内，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对０和任意正数能
进行开平方运算，对任意实数能进行开立方运算，由此你的运算能力也
得到了提升．
在本章中，我们类比有理数及其运算，引入了实数的相反数、绝对
值等概念以及实数的运算和运算律；类比用数轴上的点表示有理数，用
数轴上的点表示无理数．学习时应注意体会 “类比”这种思想方法的作
用．由于实数与数轴上的点是一一对应的，所以我们可以利用数轴将数与
形联系起来，借助几何直观理解实数的有关概念及运算．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．什么是平方根？什么样的数有平方根？
２．什么是算术平方根？平方根与算术平方根有什么联系和区别？
３．什么是立方根？任何实数都有立方根吗？
４．开平方与平方有怎样的关系？开立方与立方呢？
５．什么是无理数？无理数与有理数有什么区别？举例说明，怎样用
有理数估计一个开方开不尽的数的范围．
６０ 第八章 实数６．实数由哪些数组成？实数与数轴上的点有怎样的对应关系？
７．数的范围是如何从正整数逐步扩充到实数的？随着数的范围的不
断扩充，数的运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？
１．求下列各数的平方根及算术平方根：
（ ）
２５ ７ ２
（１）０．３６； （２） ； （３） － ； （４）１０４．
１６ ８
２．求下列各数的立方根：
２７ １
（１） ； （２）－ ； （３）－０．７２９； （４）３６．
８ ６４
３．求下列各式的值：
槡 １６
（１）－ １－ ； （２）槡３１０３ ； （３）±槡０．０９； （４）槡（３－π） ２．
２５
４．用计算器求下列各式的值：
（１）槡１８０６２５； （２）－槡９．７７ （结果保留小数点后三位）；
（３）槡３３９３０４； （４）槡３０．４３ （结果保留小数点后三位）．
５．计算：
（ ）
１
（１）槡２（槡２＋２）； （２）槡３ 槡３＋ ．
槡３
６．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？与哪个整数更接近？
（１）槡９１； （２）槡３９１．
７．已知︱狓︱＜π（狓是整数），求狓的值，并在数轴上表示求得的数．
８．一个圆与一个正方形的面积都是２πｃｍ２ ，它们中哪一个的周长较大？你能从中
得到什么启示？
９．天气晴朗时，一个人站在海边能看到大海的最远距离狊（单位：ｋｍ）可用狊２＝
１６．７４犺来估计，其中犺（单位：ｍ）为眼睛到海平面的距离．王芳站在海边观
第八章 实数 ６１察，眼睛到海平面的距离为１．５ｍ，她能看到的最远距离是多少千米？如果她站
在海边的岩石上，眼睛到海平面的距离为８．７ｍ，她能看到的最远距离是多少千
米？（结果保留小数点后两位．）
１０．将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了５８ｍｍ．如果玻璃
杯内部的底面半径为９５ｍｍ，那么正方体的棱长是多少毫米？（π取３．１４，结
果取整数．）
１１． （１）怎样把由５个边长为１的小正方形组成的图形 （如图）剪
拼成一个大正方形？
（２）在数轴上画出这个大正方形的边长所对应的点．
（第１１题）
６２ 第八章 实数第九章 平面直角坐标系
在庆祝中华人民共和国成立７０周年联欢活动中，天安门广场上出现了
“祖国万岁”等壮观的图案，你知道它们是怎么组成的吗？
原来，表演现场设置了由有序数对标识的点位，３０００多名表演者手举光
影屏，根据预先编排的流程，不停地变换所在的点位，就拼出了不同的图案．
类似于生活中用有序数对确定位置，在数学中可以通过建立平面直角坐标系，
用坐标来刻画平面内点的位置．
在本章中，我们将学习平面直角坐标系等有关知识，由此建立图形与数量
之间的联系．这将为几何问题和代数问题的相互转化打下基础．
第八章 实数９．１ 用坐标描述平面内点的位置
本章引言中的点位是用小学学过的有序数对表示的，它
刻画了天安门广场表演区内点的位置．本节我们继续学习刻
画平面内点的位置的方法．
９１１ 平面直角坐标系的概念
我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，数轴上每个点都对应一个实
数，这个实数叫作这个点在数轴上的坐标．例如，在图９．１１的数轴上，点犃
的坐标为－４，点犅的坐标为２．反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个点在
数轴上的位置也就确定了．例如，在图９．１１的数轴上，坐标为５的点是点犆．
这样，利用数轴上点的坐标，可以确定直线上点的位置．
A B C
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
图９．１１
类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平
面内的点的位置呢 （例如图９．１２中犃，犅，犆，犇，犈各点）？
y
y
5
N
A 4 A(3, 4)
3
2
C C x
1
E M
E -4-3-2-1O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
-3 D
D B
-4
B
图９．１２ 图９．１３
如图９．１３，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成
平面直角坐标系 （ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｐｌａｎｅｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｓｙｓｔｅｍ）．水平的数轴称为狓轴
６４ 第九章 平面直角坐标系或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为狔轴或纵轴，习惯上取向上
为正方向；两坐标轴的交点犗称为平面直角坐标系的原点．
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了．例
如，如图９．１３，由点犃分别向狓轴和狔轴作垂线，垂足犕在狓轴上的坐标
是３，垂足犖在狔轴上的坐标是４，我们说点犃的横坐标是３，纵坐标是４，
有序数对 （３，４）就叫作点犃的坐标，记作 “犃（３，４）”．类似地，请你写出
点犅，犆，犇，犈的坐标：犅（ ， ），犆（ ， ），
犇（ ， ），犈（ ， ）．
原点犗的坐标是什么？狓轴和狔轴上的点的坐标有什么特点？
可以看出，原点犗的坐标为 （０，０）；狓轴上的点的纵坐标为０，例如 （１，０），
（－１，０），…；狔轴上的点的横坐标为０，例如 （０，１），（０，－１），…．
建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ
四个部分 （图９．１４），每个部分称为象限，它们分别叫作第一象限、第二象
限、第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．
y
y
6
5 5 A(4, 5)
4 4
3 B 3
2 2
1 1
-5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x
-1 -1
-2 C -2 D
-3 -3
-4 -4 E
-5 -5
图９．１４ 图９．１５
例１ 在平面直角坐标系中描出下列各点：
犃（４，５），犅（－２，３），犆（－２．５，－２），犇（４，－２），犈（０，－４）．
解：如图９．１５，先在狓轴上找出表示４的点，再在狔轴上找出表示５的
点，过这两个点分别作狓轴和狔轴的垂线，垂线的交点就是点犃．
第九章 平面直角坐标系 ６５类似地，可在图９．１５中描出点犅，犆，犇，犈．
类比数轴上的点与实数是一一对应的，对于坐标平面内任意一点犕，都有
唯一的一个有序实数对 （狓，狔）（即点犕的坐标）和它对应；反过来，对于任
意一个有序实数对 （狓，狔），在坐标平面内都有唯一的一点犕 （即坐标为
（狓，狔）的点）和它对应．也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应
的．这样，利用坐标平面内点的坐标，可以确定平面内点的位置．
１．写出图中点犃，犅，犆，犇，犈，犉的坐标．
y
5
E
B 4
3
2
1
F
-6 -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 7 x
-1
-2
A
-3
D
-4 C
（第１，２题）
２．在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点：
犔（－５，－３），犕（４，０），犖（－６，２），
犘（５，－３．５），犙（０，５），犚（６，２）．
３．根据点所在的位置，用 “＋”“－”填表．
点的位置 横坐标符号 纵坐标符号
在第一象限 ＋ ＋
在第二象限
在第三象限
在第四象限
６６ 第九章 平面直角坐标系９１２ 用坐标描述简单几何图形
几何图形都是由点组成的，坐标可以描述平面内点的位置，因而就可以描
述一些几何图形．
/
如图９．１６，正方形犃犅犆犇的边长为６，如果
D C
以点犃为原点，犃犅所在直线为狓轴，建立平面直
角坐标系，那么以哪条线为狔轴？写出正方形的顶
点犃，犅，犆，犇的坐标．
请另建立一个平面直角坐标系，这时正方形的
A(O) B x
顶点犃，犅，犆，犇的坐标又分别是什么？与同学
图９．１６
交流一下．
显然，这样建立的平面直角坐标系以犃犇所在直线为狔轴．当取１个单位
长度代表长度 “１”时，正方形的顶点犃，犅，犆，犇的坐标分别是 （０，０），
（６，０），（６，６），（０，６）．若以犃犅的中点为原点，犃犅所在直线为狓轴，建
立平面直角坐标系，当取１个单位长度代表长度 “１”时，则正方形的顶点犃，
犅，犆，犇的坐标分别是 （－３，０），（３，０），（３，６），（－３，６）．
一般地，可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形．在用坐标描
述简单几何图形时，只需用坐标描述这些图形上关键点的位置．这时，建立的
平面直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同．为了能方便地写出图形上点的
坐标，在建立平面直角坐标系时，要考虑图形的形状特征．
类似地，在平面直角坐标系中，由简单几何图形的一些关键点 （例如顶
点）的坐标，可以确定这些关键点的位置，进而确定这个简单几何图形．
例２ 在平面直角坐标系中，长方形犃犅犆犇的顶点坐标分别为犃（－３，２），
犅（－３，－２），犆（３，－２），犇（３，２）．画出长方形犃犅犆犇．
分析：一个长方形四个顶点的位置确定了， y
3
这个长方形就确定了．在平面直角坐标系中，由 A D
2
顶点坐标描出长方形犃犅犆犇的四个顶点，就可以 1
-4 -3-2 -1O 1 2 3 4 x
画出这个长方形． -1
-2
解：如图９．１７，由长方形犃犅犆犇的顶点坐标 B C
-3
图９．１７
第九章 平面直角坐标系 ６７分别为犃（－３，２），犅（－３，－２），犆（３，－２），犇（３，２），描出点犃，犅，犆，犇，
连接犃犅，犅犆，犆犇，犇犃，就可以画出长方形犃犅犆犇．
##
１７世纪，法国数学家笛卡儿 （Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６－
１６５０）引入坐标系，用方程表示曲线，开了用代数方法
解决几何问题的先河．从那以后，数学的面貌发生了划
时代的变化，代数和几何两大领域更加密切地联系起来．
１．方格纸上有犃，犅两点，若以点犅为原点建立平面直角坐标系，则点
犃的坐标为 （－２，１）．若以点犃为原点建立平面直角坐标系，则点犅
的坐标为 （ ）．
（Ａ）（－２，１） （Ｂ）（２，－１）
（Ｃ）（－２，－１） （Ｄ）（２，１）
２．如图，在直角三角形犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犆＝３，犅犆＝４．建立平面
直角坐标系，写出三角形犃犅犆三个顶点的坐标．
B
F E
A B
C D
C A
（第２题） （第３题）
３．如图是一个角钢的横截面，建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示
角钢各顶点的位置 （图中小正方形的边长代表１０ｃｍ长）．
６８ 第九章 平面直角坐标系
１．如图，写出标有字母的各点的坐
y
标，并指出它们的横坐标和纵 5
A 4 C
坐标．
3
２．在平面直角坐标系中，标出下列 2
B
1 D
各点：
-7-6-5-4-3 -2-1 O1 2 3 4 5 6 7 8 x
点犃在狔轴上，位于原点上方， H
-1
-2
F
距离原点２个单位长度； -3
G E
-4
点犅在狓轴上，位于原点右侧，
-5
距离原点１个单位长度；
（第１题）
点犆在狓轴上方，狔轴右侧，到每条坐标轴的距离都是２个单位长度；
点犇在狓轴上，位于原点右侧，距离原点３个单位长度；
点犈在狓轴上方，狔轴右侧，到狓轴的距离是２个单位长度，到狔轴的距离
是４个单位长度．
依次连接这些点，你得到了什么图形？
３．如图，在所给的平面直角坐标系中描出点犃（－４，－４），犅（－２，－２），
犆（３，３），犇（５，５），犈（－３，－３），犉（０，０）．这些点有什么关系？你能再
找出一些类似的点吗？
y
5
4 G
3
2
E
1 A
F
-5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 x
-1
D
-2
-3 B C
-4
（第３题） （第４题）
４．如图，建立平面直角坐标系，使点犅，犆的坐标分别为 （０，０）和 （４，０），
写出点犃，犇，犈，犉，犌的坐标，并指出它们所在的象限．
第九章 平面直角坐标系 ６９
５．如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐
标系，使棋子 “帅”位于点 （０，－４），“马”位于点
（３，－４），则 “兵”位于点 ．如果 “马”再
走一步，那么 “马”的新位置位于点 ．（按
（第５题）
照象棋规则，棋子 “马”只能沿着棋盘上 “ ”
或 “ ”的对角线行走）
６．在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．
（１）（０，４），（－２，２）， （－１，２）， （－３，０）， （－１，０）， （－４，－２），
（－１，－２），（－１，－４），（１，－４），（１，－２），（４，－２），（１，０），
（３，０），（１，２），（２，２），（０，４）；
（２）（－２，２），（０，２），（０，１），（－１，０），（－１，－２），（０，－３），（４，－３），
（３，－２），（６，０），（０，０），（１，１），（１，２．５），（０，３），（－２，２）．
观察得到的图形，你觉得它们分别像什么？求出所得图形的面积．
７．建立一个平面直角坐标系，描出点犃（－２，４），犅（３，４），画出直线犃犅．若
点犆为直线犃犅上的任意一点，则点犆的纵坐标是什么？想一想：
（１）如果一些点在平行于狓轴的直线上，那么这些点的纵坐标有什么特点？
（２）如果一些点在平行于狔轴的直线上，那么这些点的横坐标有什么特点？
８．在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下面条件的点，标出它们的位
置，看一看它们在第几象限或在哪条坐标轴上：
（１）点犘（狓，狔）的坐标满足狓狔＞０；
（２）点犘（狓，狔）的坐标满足狓狔＜０；
（３）点犘（狓，狔）的坐标满足狓狔＝０．
９．已知点犗（０，０），犅（１，２），点犃在坐标轴上，且犛 ＝２，求满足条件
三角形犗犃犅
的点犃的坐标．
１０．设计一个能够用它的顶点坐标描绘出来的图形，把这些坐标告诉你的同学，
看一看他能否画出你设计的图形．
７０ 第九章 平面直角坐标系
用经纬度表示地理位置
怎样表示地理位置呢？通过地球上的经度和纬
度，人们可以确定一个地点在地球上的位置．
在地球仪和很多地图上，都布满了细线网，这
就是经线和纬线．地球仪上与赤道平行的线是纬线，
它们用度（°）来表示地理纬度．赤道上所有点的纬
度是０°，北极对应北纬９０°，南极对应南纬９０°．北
京位于北纬３９．９３°，但仅用纬度这一坐标确定北京
的位置还是不够的，还需要第二个坐标———经度．
地球仪上连接南北两极的线是经线，它们也用度（°）来表示地理经度．经
过英国格林尼治 （Ｇｒｅｅｎｗｉｃｈ）天文台旧址的经线作为经度的起始线，即０°经
线．它东面的所有点有东经度值 （从０°到１８０°），西面的所有点有西经度值．例
如北京位于东经１１６．３３°．
由于地球可近似地看作一个球体，所以经线和纬线在地球表面构成一个坐
标网．经线沿东西方向分布，纬线沿南北方向分布．指明一点的经度和纬度，
就可以确定这一点在地球上的位置．例如，“北纬３９．９３°，东经１１６．３３°”确定
了北京在地球上的位置．
以下是某台风中心位置的一些信息：
１２月１８日１４时，台风中心位于海南
省三沙市永暑礁东北方向约２７０ｋｍ的海面
上，地理坐标为北纬１１．２°，东经１１４．８°．
１２月２０日５时，台风中心位于海南省
三沙市永兴岛西偏南方向大约２００ｋｍ的海
面上，地理坐标为北纬１６．２°，东经１１０．６°．
你能从中找出哪几种表示位置的方法？
你能借助地球仪，找到这次台风的中心在上
述两个时刻的位置吗？
第九章 平面直角坐标系 ７１９．２ 坐标方法的简单应用
平面直角坐标系建立了平面内的点与它的坐标的一一对
应关系，这样就可以利用坐标方法数形结合地研究一些问题．
９２１ 用坐标表示地理位置
在实际生活中，经常需要准确描述一些地点的位置，这时可以通过建立平
面直角坐标系，用坐标来表示地理位置．
/
根据以下条件画一幅示意图，画出天安门、国家体育场、中国人民抗
日战争纪念馆、北京朝阳火车站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位置．
国家体育场：在天安门以北约９ｋｍ处．
中国人民抗日战争纪念馆：在天安门以西约１４．５ｋｍ，再往南约６ｋｍ处．
北京朝阳火车站：在天安门以东约９．５ｋｍ，再往北约４ｋｍ处．
首钢滑雪大跳台：在天安门以西约２１ｋｍ处．
颐和园：在天安门以西约１１ｋｍ，再往北约１０ｋｍ处．
如图９．２１，选天安门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为狓轴、
狔轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表１ｋｍ长．依题目
所给条件，点 （０，０）就是天安门的位置，点 （０，９）就是国家体育场的位
置，点 （－１４．５，－６）就是中国人民抗日战争纪念馆的位置．
y/km
10
(0, 9)
8
6
4
2
-20-18-16-14-12-10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 x/km
-2
-4
-6
(-14.5, -6)
图９．２１
７２ 第九章 平面直角坐标系类似地，请你在图９．２１上画出北京朝阳火车
选取天安门所在位置
站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位置，并标明它们
为原点，并分别以正东、
的坐标．
正北方向为狓轴、狔轴的
正方向，有什么优点？
3
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布平面图的过程如下：
（１）建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定狓
轴、狔轴的正方向；
（２）根据具体问题，确定单位长度；
（３）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
我们知道，通过建立平面直角坐标系，可以用坐标表示平面内点的位置．
还有其他方法吗？
如图９．２２，一艘船在犃处遇险后向相距
３５ｎｍｉｌｅ位于犅处的救生船报警，如何用方
B
向和距离描述救生船相对于遇险船的位置？救
60e
A
生船接到报警后准备前往救援，如何用方向和
距离描述遇险船相对于救生船的位置？
图９．２２
由图９．２２可知，救生船在遇险船北偏东６０°的方向上，与遇险船的距离
是３５ｎｍｉｌｅ．用北偏东６０°，３５ｎｍｉｌｅ就可以确定救生船相对于遇险船的位置．
反过来，用南偏西６０°，３５ｎｍｉｌｅ就可以确定遇险船相对于救生船的位置．
一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示平面内的地理位置，还可
以用表示方向的角和距离表示平面内物体的位置．
例１ 某海警舰艇编队在巡航时，舰艇观察员观测到一座东西向的海岛，
海岛的西端位于舰艇的北偏西６０°，１．３８ｎｍｉｌｅ处，东端位于舰艇北偏东４５°方
向．请你根据以上信息，估算这座海岛东西向的长度．（１ｎｍｉｌｅ＝１．８５２ｋｍ）
解：如图９．２３，根据题目信息，画出表示舰艇和海岛相对位置的示意图．
量得犃犅≈４．０ｃｍ，犅犆≈５．５ｃｍ．由于犃犅的长度代表实际距离１．３８ｎｍｉｌｅ
第九章 平面直角坐标系 ７３（约２．５６ｋｍ），可知图９．２３中１ｃｍ代 B C
表实际距离约０．６４ｋｍ，所以海岛东西向
的实际长度约为０．６４×５．５≈３．５（ｋｍ）．
60e45e
A
图９．２３
１．如图， （１）如果点犅，犆的坐标分别为
犅（－１，－２）和犆（１，－１），写出犃，
G F
D
犇，犈，犉，犌各点的坐标；
E
（２）请你在图中再建立一个平面直角坐 A C
B
标系，并写出各点的坐标．
（第１题）
２． 李明家在学校以东１０００ｍ，再往北
１５００ｍ处；张华家在学校以西２０００ｍ，
再往南５００ｍ 处；王芳家在学校以南
１５００ｍ处．建立适当的平面直角坐标系，
画出学校和这三位同学家的位置，并用
B
坐标表示出来．
40e
３．如图是三艘舰艇的位置示意图，试用方
C A
向和距离描述犃，犅处的两艘舰艇相对
于犆处舰艇的位置． （第３题）
９２２ 用坐标表示平移
我们知道，对一个图形进行平移，图形上点的位置会发生变化．这时如果
建立平面直角坐标系，就可以用坐标的变化表示平移了．
/
如图９．２４，将点犃（－２，－１）向右平移５个单位长度，得到点犃，
１
在图上标出这个点，并写出它的坐标．观察坐标的变化，你能发现点犃的
１
坐标与点犃的坐标之间有什么关系吗？把点犃向上平移４个单位长度呢？
７４ 第九章 平面直角坐标系把点犃向左或向下平移２个单位长度呢？
y
再找几个点，对它们进行平移，观察各 4
3
组对应点的坐标之间的关系，你能从中发现
2
什么规律？ 1
-4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 x
-1
A(- 2 , -1
-2
-3
图９．２４
一般地，在平面直角坐标系中，将点（狓，狔）向右（或左）平移犪个单位长
度，可以得到对应点（狓＋犪，狔）（或（狓－犪，狔））；将点（狓，狔）向上（或下）平移
犫个单位长度，可以得到对应点（狓，狔＋犫）（或（狓，狔－犫））．
/
如图９．２５，正方形犃犅犆犇四个顶点的坐标分别是犃（－２，４），
犅（－２，３），犆（－１，３），犇（－１，４），将正方形犃犅犆犇先向下平移７个
单位长度，再向右平移８个单位长度，两次平移后四个顶点相应地变为点
犈，犉，犌，犎 （图９．２６），它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方
形犃犅犆犇，使点犃移到点犈，它和前面得到的正方形位置相同吗？
y y
5 5
A D A D
4 4
3 3
B C B C
2 2
1 1
-6-5-4-3-2 -1 O1 2 3 4 5 6 7 8x -6-5-4-3-2 -1 O1 2 3 4 5 6 7 8 x
-1 -1
-2 -2
E H
-3 -3
-4 -4
F G
-5 -5
图９．２５ 图９．２６
可以求出点犈，犉，犌，犎的坐标分别是 （６，－３）， （６，－４）， （７，－４），
（７，－３）．如果直接平移正方形犃犅犆犇，使点犃移到点犈，它和前面得到的正方形
位置相同 （图９．２６）．
一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过
将原来的图形作一次平移得到．
第九章 平面直角坐标系 ７５例２ （１）如图９．２７，长方形犃′犅′犆′犇′
y
可以由长方形犃犅犆犇经过怎样的平移得到？对 4 A D
3
应点的坐标有什么变化？ A D
2
（２）点犘（－３，１）是长方形犃犅犆犇 P(-3,1) 1
B C
-5-4-3-2 -1 O1 2 3 4 5 6 7 x
上一点，写出点犘的对应点犘′的坐标． -1
-2
B C
解：（１）将长方形犃犅犆犇先向右平移
图９．２７
３个单位长度，再向上平移２个单位长度，
可以得到长方形犃′犅′犆′犇′．把长方形犃犅犆犇各个点的横坐标都加３，纵坐标
都加２，就得到了它们在长方形犃′犅′犆′犇′上对应点的坐标．
（２）由于点犘是长方形犃犅犆犇上一点，将点犘的横坐标加３，纵坐标加
２，就得到对应点犘′的坐标 （０，３）．
１．如图，将三角形向右平移２个单位长
y
度，再向上平移３个单位长度，则平 5
(-1, 4)
4
移后三个顶点的坐标分别是 （ ）．
3
2
（Ａ）（２，２），（３，４），（１，７）
1 (1, 1)
（Ｂ）（－２，２），（４，３），（１，７）
-5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x
（Ｃ）（－２，２），（３，４），（１，７） (-4, -1) -1
-2
（Ｄ）（２，－２），（３，３），（１，７）
-3
２．如图，图形Ⅱ可以由图形Ⅰ经过怎样 （第１题）
的平移得到？对应点的坐标有什么变化？
y y
6 6
5 5
4 4
3 3
■
2 2
1 1
-6-5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 6 x -6-5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 6 x
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 ■ -4
-5 -5
-6 -6
（１） （２）
（第２题）
７６ 第九章 平面直角坐标系３．在平面直角坐标系中，已知点犃（０，－２），
y
犅（３，０），先将线段犃犅向左平移２个单位 4
3
长度，向上平移３个单位长度，得到线段
2
1
犆犇；再将线段犆犇向左平移３个单位长度， B
-5-4-3-2 -1 O1 2 3 4 x
向下平移２个单位长度，得到线段犈犉．画 -1
-2 A
出平移后的线段犆犇和犈犉，并写出点犆，
（第３题）
犇，犈，犉的坐标．
对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反
过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可以看出对这个图形进行了怎样的
平移．
/
如图９．２８，三角形犃犅犆三个顶点的坐
y
标分别是犃（４，３），犅（３，１），犆（１，２）． 4
3 A
（１）将三角形犃犅犆三个顶点的横坐标都
2 C
减去６，纵坐标不变，分别得到点犃，犅， 1 B
１ １ -5-4-3-2 -1 O1 2 3 4 x
犆，依次连接犃，犅，犆各点，所得三角形 -1
１ １ １ １ -2
犃犅犆与三角形犃犅犆的大小、形状和位置 -3
１ １ １
-4
有什么关系？
图９．２８
（２）将三角形犃犅犆三个顶点的纵坐标都
减去５，横坐标不变，分别得到点犃，犅，犆，依次连接犃，犅，犆各
２ ２ ２ ２ ２ ２
点，所得三角形犃犅犆与三角形犃犅犆的大小、形状和位置有什么关系？
２ ２ ２
如图９．２９，容易发现，所得三角形犃犅犆与三角形犃犅犆的大小、形状
１ １ １
完全相同，三角形犃犅犆可以看作将三角形犃犅犆向左平移６个单位长度得
１ １ １
到．类似地，三角形犃犅犆与三角形犃犅犆的大小、形状完全相同，它可以看
２ ２ ２
作将三角形犃犅犆向下平移５个单位长度得到．
第九章 平面直角坐标系 ７７y 将三角形犃犅犆三个
4
顶点的横坐标都减去６，
A 3 A
1
C 1 2 C 同时纵坐标都减去５，画
B 1 B
1 出得到的图形．你有什么
-5-4-3-2 -1 O1 2 3 4 x
-1 发现？
-2 A
2
-3 C
2
-4 B
2
图９．２９
一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加 （或
减去）一个正数犪，相应的新图形可以看作把原图形向右 （或左）平移犪个单
位长度得到；如果把它各个点的纵坐标都加 （或减去）一个正数犪，相应的新
图形可以看作把原图形向上 （或下）平移犪个单位长度得到．
例３ 如图９．２１０，将三角形犃犅犆平移，得到三角形犃犅犆，其中任意一点
１ １ １
犘（狓，狔）平移后的对应点为犘（狓＋５，
０ ０ １ ０
y
狔＋３）．写出三角形犃犅犆的一种沿坐标轴方
０ 6
向的平移方式，以及点犃，犅，犆的坐标． 5
１ １ １
4
解：由平移前后的对应点犘和犘的 A(-2, 3) P 1 (x 0 +5, y 0+3)
１ 3
坐标关系可知，将三角形犃犅犆先向右平 2
移５个单位长度，再向上平移３个单位长 P(x 0 , y 0 ) 1 C(2, 0)
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 x
度，可以得到三角形犃犅犆．同时，还可 -1
１ １ １ B(-4, -1)
-2
以得到点犃，犅，犆的对应点犃，犅，犆的
１ １ １ 图９．２１０
坐标分别为（３，６），（１，２），（７，３）．
１．如图，将四边形犃犅犆犇平移后，顶点犆（２， y A
7
３）的坐标变成了 （２，０），这时点犃（２，７）， 6
5 B D
犅（１，５），犇（３，５）的坐标分别变成了什么？
4
3
画出四边形犃犅犆犇平移后得到的图形． C (2, 3)
2
1
(2, 0)
-2-1 O1 2 3 4 5 6 x
-1
（第１题）
７８ 第九章 平面直角坐标系２．如图，平行四边形犃犗犆犅四个顶点的
y
坐标分别是犃（２，２），犗（０，０），犆（４， 3
A B
2
０），犅（６，２）．将这四个顶点的横坐标
1
C
都减去３，同时纵坐标都加１，分别得 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 x
-1
到点犃′，犗′，犆′，犅′．请在图中画出 -2
四边形犃′犗′犆′犅′，它与平行四边形 （第２题）
犃犗犆犅有什么关系？
３．三角形犃犅犆的三个顶点的坐标分别为犃（－３，２），犅（１，１），犆（－１，
－２）．若将三角形犃犅犆平移，使点犃平移到点 （１，－２）处，写出三
角形犃犅犆沿坐标轴方向平移的一种方式，以及点犅和点犆的对应点的
坐标．
１．如图，机械手要将一个工件从图中犃处移动到犅处，但是这个工件不能碰到
图中的红色障碍，试用坐标写出一条机械手在移动中可能要走过的路线．
y
110 000
B
O 1 x
A
（第１题） （第２题）
２．如图，这是一所学校的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标
表示教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置．类似地，你能用坐标表
示你自己学校各主要建筑物的位置吗？
第九章 平面直角坐标系 ７９３．如图，在一次活动中，位于犃处的１班准备前往相距５ｋｍ
的犅处与位于犅处的２班会合，如何用方向和距离描述
A
２班相对于１班的位置？反过来，如何用方向和距离描述
40e
１班相对于２班的位置？
４．如图，在一次飞行表演中，６架飞机犃，犅，犆，犇，犈，犉
B
编队飞行，且保持队形不变，分别写出它们的坐标．当飞机
（第３题）
犃飞行到犃′位置时，飞机犅，犆，犇，犈，犉飞到了什么位
置？用坐标表示这５架飞机的新位置．
y y
3 A 4
3
2
D B A 2
1
D C
1
-5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x
-1 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x
E C -1
-2
-2
F A B
-3 -3
（第４题） （第５题）
５．如图，将平行四边形犃犅犆犇向左平移２个单位长度，再向上平移３个单位长
度，得到平行四边形犃′犅′犆′犇′．画出平移后的图形，并指出各个顶点的坐标．
６．如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄 “底部”的点犃
的坐标为 （－１，－２），表示叶片 “顶部”的点犅的坐标为 （２，６），请你写
出图中点犆，犇，犈，犉的坐标．
A 10 D
B C
第九章 平面直角坐标系
42
81
G
E
B F r =4
E
D
F
A C 38
（第６题） （第７题）
７．一长方形零件的尺寸 （单位：ｍｍ）如图所示，建立适当的平面直角坐标系，
用坐标表示点犃，犅，犆，犇，犈，犉，犌的位置．
８０８．在制作动画片时，经常要用到图形的平移．如图，小鹿从点犃到犅，再到犆，
到犇，这几个过程中，分别进行了怎样的平移？
A
5
4
3 B C B
2
A D
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C
（第８题） （第９题）
９．如图，在平面直角坐标系中，三角形犃犅犆的顶点犃，犅的坐标分别为犃（３，６），
犅（－３，３）．把三角形犃犅犆平移得到三角形犆犇犈，使点犃平移到点犆处，那么点
犆平移后的对应点犈的坐标是什么？
１０．如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图的一部分．如
果这个平面直角坐标系分别以正东、正北方向为狓轴、狔轴的正方向，并且
猴山和狮虎山的坐标分别是 （２，１）和 （８，２），你能在此图上标出熊猫馆
（６，６）的位置吗？
１１．如图，三角形犆犗犅是由三角形犃犗犅经过某种变换后得到的图形，观察点犃
与对应点犆的坐标之间的关系．三角形犃犗犅内任意一点犕的坐标为 （狓，
狔），点犕经过这种变换后得到点犖，点犖的坐标是什么？
y
4
A
3
2
M
1
B
-2 -1O 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 N
-3
C
（第１０题） （第１１题）
第九章 平面直角坐标系 ８１
"* E %4
春天到了，七年级 （２）班组织同学
到人民公园春游，李明、张华对着景区 M
'
示意图 （图１），描述牡丹园的位置 （图
#
中小正方形的边长代表１００ｍ长）如下．
李明：“牡丹园的坐标是 （３，３）．” >K K
张华：“牡丹园在中心广场东北方
100m #
向约４２０ｍ处．”
K
实际上，他们所说的位置都是正 图１
确的．你知道李明同学是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的吗？
你理解张华同学所说的 “东北方向约４２０ｍ处”的含义吗？
用他们的方法，你能描述公园内其他景点的位置吗？与同学交流
一下．
"K=$@@
“方阵表演”是运动会上非常受欢
迎的项目．各方阵借助色彩丰富、意
义独特的拼板、服装、道具等，通过
队形变化展示各自的特色风貌．
请以小组为单位，为你们班的方
阵表演设计一组动作，并写出表演设
计方案，与其他小组交流．设计方案
中要建立适当的平面直角坐标系，用
坐标表示方阵队员的位置．
８２ 第九章 平面直角坐标系
* D
, ,
%
本章我们通过具体实例学习了平面直角坐标系等知识，学习了应用
坐标描述一些简单图形，并应用坐标方法解决了一些简单问题．
建立平面直角坐标系后，对于坐标平面内任意一点犕，都有唯一的
一个有序实数对 （狓，狔）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对
（狓，狔），在坐标平面内都有唯一的点犕与它对应．这样，就建立了平面
内的点与它的坐标的一一对应关系，从而可以数形结合地研究问题．
坐标方法有广泛的应用．例如，我们可以利用坐标描述一些地点的分
布情况；还可以通过平面直角坐标系中对应点的坐标之间的关系，研究
图形的平移等问题．这种用数和运算来研究几何问题的方法是非常重要的，
可以培养我们的空间观念和几何直观，今后我们将不断地看到它的应用．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．结合具体实例，谈谈如何建立平面直角坐标系．在平面直角坐标系
中描出原点以及其他一些点的位置，并分别指出它们的横坐标、纵坐标
及所在的象限．
２．当要用坐标描述一个简单几何图形时，你是如何建立平面直角坐
标系的？结合长方形谈谈你的做法．
３．你能结合具体实例，说一说怎样用坐标描述一个区域内的地点分
布情况吗？你又是怎样用方向和距离表示两个地点或物体的相对位置的？
请结合实例说明．
４．你能结合具体实例，说一说怎样借助坐标表示图形的平移吗？
第九章 平面直角坐标系 ８３
１．在平面直角坐标系中描出下列各点，并指出 y
5
各点的横坐标和纵坐标及各点所在的象限．
4
3
犃（２，３），犅（－２，３），犆（－２，－３），犇（２，－３）．
2
２．如图，写出八边形各顶点的坐标． 1
３．在同一平面直角坐标系中描出下列各组点， -5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 x
-1
并将各组内的点用线段依次连接起来． -2
-3
（１）（－２，０），（０，０），（０，５），（－２，２）， -4
-5
（－２，０）；
（第２题）
（２）（－５，０），（－２，－２），（０，－２），（０，０），（－５，０）；
（３）（２，０），（０，０），（０，－５），（２，－２），（２，０）；
（４）（５，０），（２，２），（０，２），（０，０），（５，０）．
观察所得的图形，你觉得它像什么？
４．图中标明了李明家附近的一些地方，这些地方都在网格线的交点处．
（１）写出书店和邮局的坐标；
（２）一个星期日早晨，李明从家出发，先后去了下列地点：（－１００，２００），
（１００，０），（２００，１００），（２００，－２００），（－１００，－２００），（０，－１００），最
后回到家里，依次写出他路上经过的地方；
（３）用线段依次连接他在 （２）中经过的地点，你能得到什么图形？
y
400 N 340 350 000 010 020
330 030
320 040
300 310 8 B 8 050
300 6 6 060
200
290 4 4 070
100 280 2 2 D 080
270 8 6 4 A 2 2 4 6 8 090
-400-300-200-100O 100 200 300 400 x 260 2 2 100
250 4 4 110
-100
240 6 6 120
-20 0 230 8 C 8 130
220 140
210 150
-300 200 190 180170 160
（第４题） （第５题）
８４ 第九章 平面直角坐标系５．如图，一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了犃，犅，犆，犇四个目标．
由雷达显示可知，目标犃在这艘船的南偏西７０°，４ｎｍｉｌｅ处．写出其他三个目
标相对这艘船的方向和距离．（图中中央位置为这艘船的位置）
６．平行四边形犃犅犆犗四个顶点的坐标分别是犃（槡３，槡３），犅（３槡３，槡３），犆（２槡３，
０），犗（０，０）．将这个平行四边形向左平移槡３个单位长度，得到平行四边形
犃′犅′犆′犗′．求平行四边形犃′犅′犆′犗′四个顶点的坐标．
７． （１）坐标 （狓，３）中的狓分别取－３，－２，－１，０，１，２，３时所表示的点是
否在一条直线上？如果这些点在一条直线上，这条直线与狓轴有什么关系？
（２）坐标 （３，狔）中的狔分别取－３，－２，－１，０，１，２，３时所表示的点是否在
一条直线上？如果这些点在一条直线上，这条直线与狓轴有什么关系？
８．图中显示了１０名学生平均每星期用于体育锻炼的课余时间和用于上网的课余时间
（单位：ｈ）．
（１）建立平面直角坐标系表示图中各点．
（２）图中有一个点位于方格纸的对角线上，这表示什么意思？
（３）图中方格纸的对角线的左上方的点有什么共同的特点？它右下方的点呢？
（４）估计一下你每星期用于体育锻炼的课余时间和用于上网的课余时间，在图
上描出对应的点，这个点位于什么位置？
5
5
（第８题）
９．树人中学的学生计划参观革命圣地延安，如图是校学生会绘制的延安革命纪念
馆及部分遗址分布图 （图上 标注的是各地点的位置，小正方形的边长代表实际
第九章 平面直角坐标系 ８５约３５０ｍ长）．请你在图上建立平面直角坐标系，表示各地点的位置．
（第９题）
１０．兴康社区附近有五个快递中转站：第一个在居委会，第二个在居委会北偏东
３０°方向２０００ｍ处，第三个在居委会正西方向４５００ｍ处，第四个在居委会东
南方向３０００ｍ处，第五个在居委会正南方向２５００ｍ处．请你绘制一张平面
图，表示这５个快递中转站的位置．
１１．建立平面直角坐标系，并描出下列各点：
犃（１，１），犅（５，１），犆（３，３），犇（－３，３），犈（１，－２），犉（１，４），犌（３，２），
犎（３，－２），犐（－１，－１），犑（－１，１）．
连接犃犅，犆犇，犈犉，犌犎，犐犑，分别找出它们的中点，将这些中点的横坐标
和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们
之间有什么关系？写出你的发现，并与同学进行交流．
１２．如图，三角形犘犙犚是三角形犃犅犆经过某种变
y
换后得到的图形，点犃，犅，犆经过这种变换 4
后分别得到点犘，犙，犚，观察对应点的坐标 3 A
2 C
之间的关系．三角形犃犅犆内任意一点犕的坐 M
1
B
标为 （狓，狔），点犕经过这种变换后得到点
-4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 x
犖，点犖的坐标是什么？
-1
N -2
R
P -3
（第１２题）
８６ 第九章 平面直角坐标系第十章 二元一次方程组
在解决一些问题时，经常会遇到求两个未知数的情形．看下面的问题．
新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采
摘的主要方式．某种棉大户租用６台大、小两种型号的采棉机，１ｈ就完成了
８ｈｍ２ 棉田的采摘．如果大型采棉机１ｈ完成２ｈｍ２ 棉田的采摘，小型采棉机
１ｈ完成１ｈｍ２ 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多
少台？
在这个问题中，要求的是两个未知数．如果用一元一次方程来解决，列方
程时，要用一个未知数表示另一个未知数．能不能根据题意直接设两个未知
数，使列方程变得容易呢？我们从这个想法出发开始本章的学习．
在本章中，我们将从实际问题出发，认识二元一次方程组，学习解二元一
次方程组的方法，并运用二元一次方程组解决一些实际问题．在此基础上，学
习三元一次方程组及其解法．通过本章的学习，你将对方程 （组）有新的认识．
第九章 平面直角坐标系１０．１ 二元一次方程组的概念
我们来看本章引言中的问题．
列方程要先找到相等关系．本章引言中的问题包含了哪些必须同时满
足的相等关系？若设这个种棉大户租用了狓台大型采棉机，狔台小型采棉
机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？
容易发现，问题包含两个必须同时满足的相等关系：
大型采棉机台数＋小型采棉机台数＝总台数，
大型采棉机１ｈ采摘面积＋小型采棉机１ｈ采摘面积＝１ｈ采摘总面积．
这两个相等关系可以分别用方程狓＋狔＝６和２狓＋狔＝８表示．
上面的两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？
可以看出，在上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数 （狓和狔），且
含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是１，像这样的方程叫
作二元一次方程 （ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ）．
上面的问题中包含两个必须同时满足的相等关系，也就是未知数狓，狔必
须同时满足方程
狓＋狔＝６ ①
和
２狓＋狔＝８． ②
把这两个方程合在一起，写成
烄狓＋狔＝６，
烅
烆２狓＋狔＝８，
就组成了一个方程组．这个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都
是整式，含有未知数的项的次数都是１，一共有两个方程，像这样的方程组叫
作二元一次方程组 （ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ）．
８８ 第十章 二元一次方程组/
满足方程①，且符合问题的实际意义的狓，狔的值有哪些？把它们填
入表中．
狓
狔
上表中哪对狓，狔的值还满足方程②？
显然，狓＝１，狔＝５；狓＝２，狔＝４；…；狓＝５，狔＝１满足方程①，也就是
使方程狓＋狔＝６两边的值相等，它们都是方程狓＋狔＝６的解．如果不考虑方
程狓＋狔＝６与上面实际问题的联系，那么狓＝－１，狔＝７；狓＝０．１，狔＝５．９；…
也都是这个方程的解．
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次
方程的解．
我们还发现，狓＝２，狔＝４既满足方程①，又满足方程②．也就是说，
狓＝２，狔＝４是方程①与方程②的公共解．我们把狓＝２，狔＝４叫作二元一次方
烄狓＋狔＝６， 烄狓＝２，
程组 的解，这个解通常记作
烅 烅
烆２狓＋狔＝８ 烆狔＝４．
联系前面的问题可知，这个种棉大户租用了２台大型采棉机，４台小型采
棉机．
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组
的解．
对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题
的解．
１．某村乡村振兴项目计划把２８ｔ黄桃加工成罐头，刚开始每天加工２ｔ，
后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工４ｔ，前后共用８天完
成全部加工任务．这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？
２．在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜１场得２分，负１场得
１分．某队在１０场比赛中得到１６分，这个队的胜、负场数分别是多少？
第十章 二元一次方程组 ８９
１．填表，使上下每对狓，狔的值是方程３狓＋狔＝５的解．
５
狓 －２ ０ ０．４
３
狔 －１ －２ －２．５ －３
烄狓＋６狔＝４，
２．方程组烅 的解是 （ ）．
烆３狓－狔＝２．５
烄狓＝２， 烄狓＝－５．５，
（Ａ）烅 （Ｂ）烅
烆狔＝－０．２５ 烆狔＝４
烄狓＝１， 烄狓＝－１，
（Ｃ）烅 （Ｄ）烅
烆狔＝０．５ 烆狔＝－０．５
３．如果三角形的三个内角分别是狓°，狔°，狔°，求：
（１）狓，狔满足的关系式；
（２）当狓＝９０时，狔的值；
（３）当狔＝６０时，狓的值．
４．我国古代数学著作 《孙子算经》（成书于公元４００年前后）中有 “鸡兔同笼”
问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”你能
用二元一次方程组表示问题中的数量关系吗？试找出问题的解．
５．把一根长７ｍ的钢管截成２ｍ长和１ｍ长两种规格的钢管，为了不造成浪费，
应截成２ｍ长和１ｍ长的钢管各多少根？你能用二元一次方程来解决这个问
题吗？
９０ 第十章 二元一次方程组１０．２ 消元———解二元一次方程组
在上一节中，我们根据本章引言中的问题列出了方程
组，并结合未知数的实际意义，通过逐一尝试的方法，找出
了方程组的解．本节我们继续研究怎样解二元一次方程组．
１０２１ 代入消元法
在上一节中，我们已经看到，直接设两个未知数：租用了狓台大型采棉
机，狔台小型采棉机，可以列方程组
烄狓＋狔＝６，
烅
烆２狓＋狔＝８
表示本章引言中问题包含的相等关系．如果只设一个未知数：租用了狓台大型
采棉机，那么这个问题也可以用一元一次方程
２狓＋（６－狓）＝８
来解决．
对于本章引言中的问题，采用不同的设未知数的方法，由问题中的相
等关系，可以分别列出二元一次方程组和一元一次方程．你能由所列出的
二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗？
我们发现，二元一次方程组中第一个方程狓＋狔＝６可以写为狔＝６－狓．由于两
个方程中的狔都表示租用小型采棉机的台数，所以可以通过等量代换，把第二个方
程２狓＋狔＝８中的狔换为６－狓，这个方程就化为一元一次方程２狓＋（６－狓）＝８．解
这个一元一次方程，得狓＝２．把狓＝２代入狔＝６－狓，得狔＝４，从而得到这个方程
组的解．
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以
把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知
数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思
想，叫作消元思想．
第十章 二元一次方程组 ９１上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未
知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次
方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法．
例１ 用代入法解方程组
烄狓－狔＝３， ①
烅
烆３狓－８狔＝１４． ②
分析：方程①中狓的系数是１，用含狔的式子表示狓，再代入方程②，比较简便．
解：由①，得
狓＝狔＋３． ③
把③代入②，得
把③代入①可以吗？
３（狔＋３）－８狔＝１４．
试试看．
解这个方程，得
狔＝－１．
把狔＝－１代入③，得
把狔＝－１代入①或
狓＝２．
②可以吗？
所以这个方程组的解是
烄狓＝２，
烅
烆狔＝－１．
例２ 用代入法解方程组
烄３狓－５狔＝３， ①
烅
烆２狓－狔＝１６． ②
分析：方程②中狔的系数是－１，用含狓的式子表示狔，再代入方程①，
比较简便．
解：由②，得
狔＝２狓－１６． ③
把③代入①，得
３狓－５（２狓－１６）＝３．
解这个方程，得
狓＝１１．
９２ 第十章 二元一次方程组把狓＝１１代入③，得
狔＝６．
所以这个方程组的解是
烄狓＝１１，
烅
烆狔＝６．
１．把下列方程改写成用含狓的式子表示狔的形式：
（１）３狓＋狔－１＝０； （２）２狓－狔＝３．
２．用代入法解下列方程组：
烄２狓－狔＝５， 烄３狓－２狔＝５，
（１）
烅
（２）
烅
烆３狓＋４狔＝２； 烆２狓＋狔＝８；
烄４犪－３犫＝５， 烄狊－３狋＝－２，
（３）
烅
（４）
烅
烆２犪＋犫＝５； 烆狊＋５狋＝６．
上面要解的二元一次方程组的两个方程中都有一个未知数的系数为１
或－１，下面再来看另外一些例子．
例３ 用代入法解方程组
烄２狓－５狔＝－１１， ①
烅
烆９狓＋７狔＝３９． ②
分析：方程①中狓的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含狔的式
子表示狓，再代入方程②．
解：由①，得
５ １１
狓＝ 狔－ ． ③
２ ２
把③代入②，得
（ ） 解这个方程组时，可
５ １１
９ 狔－ ＋７狔＝３９． 以先消去狔吗？试试看．
２ ２
解这个方程，得
狔＝３．
第十章 二元一次方程组 ９３把狔＝３代入③，得
狓＝２．
所以这个方程组的解是
烄狓＝２，
烅
烆狔＝３．
例４ 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快
递员星期一的送件数和揽件数分别为１２０件和４５件，报酬为２７０元；他星期二的送
件数和揽件数分别为９０件和２５件，报酬为１８５元．如果这名快递员每送一件和每
揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
分析：由题意可知，
送１２０件的报酬＋揽４５件的报酬＝２７０，
送９０件的报酬＋揽２５件的报酬＝１８５．
由此可以列出方程组，通过解方程组解决问题．
解：设这名快递员每送一件的报酬是狓元，每揽一件的报酬是狔元．
根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系，列得方程组
烄１２０狓＋４５狔＝２７０， ①
烅
烆９０狓＋２５狔＝１８５． ②
由①，得
９ ３
狓＝ － 狔． ③
４ ８
把③代入②，得
（ ）
９ ３
９０ － 狔＋２５狔＝１８５．
４ ８
解这个方程，得
狔＝２．
把狔＝２代入③，得
狓＝１．５．
所以这个方程组的解是
烄狓＝１．５，
烅
烆狔＝２．
答：这名快递员每送一件的报酬是１．５元，每揽一件的报酬是２元．
９４ 第十章 二元一次方程组
１．用代入法解下列方程组：
烄４狓－３狔＝－２， 烄３犿＋２狀＝１７，
（１）
烅
（２）
烅
烆５狓＋４狔＝１３； 烆２犿－３狀＋６＝０．
２．一种商品分装在大、小两种包装盒内，３大盒、４小盒共装１０８瓶，２大
盒、３小盒共装７６瓶．大、小包装盒每盒各装多少瓶？
１０２２ 加减消元法
前面我们用代入法求出了方程组
烄狓＋狔＝６， ①
烅
烆２狓＋狔＝８ ②
的解．这个方程组的两个方程中，狔的系数有什么关系？利用这种关系，
你能发现新的消元方法吗？
这两个方程中未知数狔的系数相等，②－①可
以消去未知数狔，得
②－①就是用方程
狓＝２． ②的左边减去方程①的
把狓＝２代入①，得 左边，方程②的右边减
去方程①的右边．
狔＝４．
所以这个方程组的解是
烄狓＝２，
烅
烆狔＝４．
烄３狓＋１０狔＝２．８，
联系上面的解法，想一想怎样解方程组
烅
烆１５狓－１０狔＝８．
从上面两个方程组的解法可以看出，当二元一次方程组的两个方程中同一
未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就
能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．
第十章 二元一次方程组 ９５这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法．
例５ 用加减法解方程组
烄 狔
３狓＋ ＝０， ①
２
烅
狔
２狓－ ＝１５． ②
烆 ２
解：①＋②，得
５狓＝１５，
狓＝３．
把狓＝３代入①，得
把狓＝３代入②，
狔
３×３＋ ＝０， 可以解得狔吗？
２
狔＝－１８．
所以这个方程组的解是
烄狓＝３，
烅
烆狔＝－１８．
用加减法解下列方程组：
烄狓＋２狔＝９， 烄２犪－３犫＝－９，
（１）
烅
（２）
烅
烆３狓－２狔＝－１； 烆７犪－３犫＝６；
烄狓
烄５狓＋２狔＝２７， －５狔＝１３，
（３）
烅
（４）
烅
３
烆５狓－４狔＝２１；
烆狓＋５狔＝－４１．
当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相
反数时，能用加减法解方程组吗？看下面的例子．
例６ 用加减法解方程组
烄３狓－２狔＝４， ①
烅
烆７狓＋４狔＝１８． ②
９６ 第十章 二元一次方程组分析：这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接
把这两个方程进行加减不能消元．观察这两个方程中未知数狔的系数之间的关
系，将①×２可以使两个方程中狔的系数互为相反数，就可以用加减法求解了．
解：①×２，得
６狓－４狔＝８． ③
②＋③，得
１３狓＝２６，
狓＝２．
把狓＝２代入①，得
３×２－２狔＝４，
狔＝１．
所以这个方程组的解是
烄狓＝２，
烅
烆狔＝１．
例７ 我国古代数学著作 《九章算术》中记载了这样一道题：
今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？
意思是：假设５头牛、２只羊，共值金１０两；２头牛、５只羊，共值金８
两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？
分析：由于每头牛和每只羊的价格分别相等，所以根据 “５头牛、２只羊，
共值金１０两；２头牛、５只羊，共值金８两”可列得方程组．
解：设每头牛和每只羊分别值金狓两和狔两．
根据问题中的相等关系，列得方程组
利用等式的性质对
烄５狓＋２狔＝１０， ① 方程适当变形，使得两个
烅
方程中某个未知数的系数
烆２狓＋５狔＝８． ②
互为相反数或相等，就可
①×２，得
以用加减法求解了．
１０狓＋４狔＝２０． ③
②×５，得
１０狓＋２５狔＝４０． ④
④－③，得
２１狔＝２０，
第十章 二元一次方程组 ９７２０
狔＝ ．
２１
２０
把狔＝
２１
代入①，得
如果用加减法消去
狔，应该怎样解？解得的
３４
狓＝ ．
结果一样吗？
２１
所以这个方程组的解是
烄 ３４
狓＝ ，
２１
烅
２０
狔＝ ．
烆 ２１
３４ ２０
答：每头牛和每只羊分别值金 两和 两．
２１ ２１
解方程组的基本思想是消元．代入消元法和加减消元法是二元一次方程组
的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方
法不同．应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法．
（１）怎样解下面的方程组？
烄２狓＋狔＝１．５， 烄狓＋２狔＝３，
烅 烅
烆０．８狓＋０．６狔＝１．３； 烆３狓－２狔＝５．
（２）选择你认为简便的方法解习题１０．１的第４题 （“鸡兔同笼”问题）．
１．用加减法解下列方程组：
烄 ２０
２狓＋３狔＝－ ，
烄３狓＋４狔＝１６， ９
（１）
烅
（２）
烅
烆５狓－６狔＝３３； ５
３狓＋２狔＝－ ．
烆 ３
２．周末，王芳到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子．已知鲈鱼每千克３５元，茄
子每千克６元，王芳买的茄子比鲈鱼多０．５ｋｇ，共花费４４元．她买了
鲈鱼和茄子各多少千克？
９８ 第十章 二元一次方程组
１．把下列方程改写成用含狓的式子表示狔的形式：
３ １ ７
（１） 狓＋２狔＝１； （２） 狓＋ 狔＝２；
２ ４ ４
（３）５狓－３狔＝狓＋２狔； （４）２（３狔－３）＝６狓＋４．
２．用代入法解下列方程组：
烄狔＝狓＋３， 烄３狊－狋＝５，
（１）烅 （２）烅
烆７狓＋５狔＝９； 烆５狊＋２狋＝１５；
烄狓＋狔 狓－狔
烄２狓＋３狔＝－５， ＋ ＝６，
（３）烅 （４）烅 ３ ２
烆３狓－４狔＝１８；
烆３（狓＋狔）－２（狓－狔）＝２８．
３．用加减法解下列方程组：
烄３狌＋２狋＝７， 烄２犪＋犫＝３，
（１）烅 （２）烅
烆６狌－２狋＝１１； 烆３犪＋犫＝４；
烄１ ３
烄２狓－５狔＝７， 狓－ 狔＝－３，
（３）烅 （４）烅 ３ ２
烆４狓－３狔＝７；
烆５狓＋狔＝２．
４．某旅行社组织２００人到花果岭和云水洞旅游．经统计，到花果岭旅游的人数比
到云水洞的人数的２倍少１．到这两地旅游的人数各是多少？
５．一条船顺流航行，每小时行驶２０ｋｍ；逆流航行，每小时行驶１６ｋｍ．船在静
水中的速度与水流速度分别是多少？
６．七年级 （１）班的同学去参加科技体验活动，第一组有２人选择 “九天揽月”
活动，３人选择 “深海探幽”活动，共花费１３０元；第二组有４人选择 “九天
揽月”活动，２人选择 “深海探幽”活动，共花费１４０元．每张 “九天揽月”
和 “深海探幽”活动的票价各为多少元？
７．解下列方程组：
烄２狌 ３狏 １
＋ ＝ ，
烄３（狓－１）＝狔＋５， ３ ４ ２
（１）烅 （２）烅
烆３（狓＋５）＝５（狔－１）； ４狌 ５狏 ７
＋ ＝ ．
烆５ ６ １５
第十章 二元一次方程组 ９９８． 《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五
寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳
子剩余４．５尺，将绳子对折再量木头，木头剩余１尺，问木头长多少尺．请
你解决这个问题．
９．某市出租车起步价所包含的行驶里程为０～３ｋｍ，超过３ｋｍ的部分按一定标
准另外收取里程费．张华乘坐出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为７ｋｍ，
起步价和里程费共计１７．２元；第二次乘车行驶的路程为１３ｋｍ，起步价和里
程费共计２８元．你能由此计算出出租车的起步价和超过３ｋｍ后的里程费收费
标准吗？
１０．为举办 “我和我的祖国”文艺会演，学校为七年级 （１）班表演诗朗诵的５名
男生和３名女生租用演出服的总费用是１９０元；为七年级 （２）班表演小合唱
的１１名男生和１２名女生租用演出服的总费用是５８０元．如果每套男、女生
演出服的租用费分别相同，每套男、女生演出服的租用费各是多少钱？
１１．２台大型收割机和５台小型收割机同时工作２ｈ共收割小麦３．６ｈｍ２ ，３台大
型收割机和２台小型收割机同时工作５ｈ共收割小麦８ｈｍ２．１台大型收割机
和１台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷？
１２．我国明代数学家程大位 （１５３３—１６０６）所著 《算法统宗》中记载了 “二果问
价”问题：
九百九十九文钱，甜果苦果买一千．
甜果九个十一文，苦果七个四文钱．
试问甜苦果几个，又问各该几个钱．
意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九
个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜
果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题．
１００第十章 二元一次方程组１０．３ 实际问题与二元一次方程组
前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次
方程组解决了一些简单的实际问题．本节我们继续探究如何
用二元一次方程组解决实际问题．
/
养牛场原有３０头大牛和１５头小牛，１天约用饲料６７５ｋｇ；一周后又
购进１２头大牛和５头小牛，这时１天约用饲料９４０ｋｇ．饲养员李大叔估
计每头大牛１天需饲料１８～２０ｋｇ，每头小牛１天需饲料７～８ｋｇ．你能通
过计算检验他的估计吗？
分析：设每头大牛和每头小牛１天各约用饲料狓ｋｇ和狔ｋｇ．
根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组
烄 ，
烅
烆 ． 可以先独立分析问
解这个方程组，得 题中的数量关系，列出
方程组，得出问题的解
烄狓＝ ，
烅 答，再与同学交流．
烆狔＝ ．
这就是说，每头大牛１天约需饲料 ｋｇ，
每头小牛１天约需饲料 ｋｇ．因此，饲养员李
大叔对大牛食量的估计 ，对小牛食量的估
计 ．
１．为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．Ａ车间购买了３盏甲
型节能灯和５盏乙型节能灯，共花费５０元；Ｂ车间购买了１２盏甲型节
能灯和４盏乙型节能灯，共花费８８元．１盏甲型节能灯和１盏乙型节能
灯的售价各是多少元？
第十章 二元一次方程组１０１
书书书２．学校图书馆分两次购买了相同版本的 《西游记》和 《水浒传》供学生
借阅．第一次买了２套 《西游记》和３套 《水浒传》，共花费１５１元；
第二次买了４套 《西游记》和２套 《水浒传》，共花费１７８元．每套
《西游记》和 《水浒传》的价格分别是多少元？
３．某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量都基本没变，但支付
的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由７０２０元上升为８５２０元，
原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由２４０元／ｔ上调为３００元／ｔ，建筑垃
圾清运费的收费标准由１５０元／ｔ上调为１８０元／ｔ．这家公司去年的餐厨
垃圾和建筑垃圾各有多少吨？
/
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是１∶２．现要把
一块长２００ｍ、宽１００ｍ的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种
植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比
是３∶４？
分析：如图１０．３１，一种划分方案为：甲、乙两
D F C
种作物的种植区域分别为长方形犃犈犉犇和长方形
犈犅犆犉．
此时设犃犈＝狓ｍ，犈犅＝狔ｍ，根据问题中涉 A E B
x m y m
及长度、产量的相等关系，列得方程组 图１０．３１
烄 ，
烅
烆 ．
解这个方程组，得
烄狓＝ ，
烅
烆狔＝ ．
过长方形土地的长边上离一端 处，作这条边的垂线，把这块土地
分为两块长方形土地．较大一块土地种植 种作物，较小一块土地种植
种作物．
１０２第十章 二元一次方程组
１．对于探究２中的问题，如果按照如图的方式划分土地，分别在长方形
犇犕犖犆和犕犃犅犖土地中种植甲、乙两种作物，那么犃犕的长度是多少？
D C ２狓 ３ ２
狓＋２狔 －３
M N
４狔
A B
（第１题） （第２题）
２．如图，３×３的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各
列及对角线上的三个数之和均相等，狓，狔各应取什么值？
３．某地为打造运河风光带，雇用 Ａ，Ｂ两个工程队共同完成一段长为
１８０ｍ的河道的清理任务．已知Ａ工程队每天清理１２ｍ，Ｂ工程队每天
清理８ｍ，两个工程队工作天数之和为２０天，Ａ，Ｂ工程队分别清理了
多长的河道？
/
如图１０．３２，丝路纺织
A
120km
厂与 Ａ，Ｂ两地由公路、铁
10km
路相连．这家纺织厂从 Ａ地
购进一批长绒棉运回工厂， B
制成纺织面料运往Ｂ地．已知 20km 110km
图１０．３２
长绒棉的进价为３．０８万元／ｔ，
纺织面料的出厂价为４．２５万元／ｔ，公路运价为０．５元／ （ｔ·ｋｍ），铁路
运价为０．２元／ （ｔ·ｋｍ），且这两次运输共支出公路运费５２００元，铁路
运费１６６４０元．那么这批纺织面料的销售额比原料费 （原料费只计长绒
棉的价格）与运输费的和多多少元？
分析：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关．设购买狓ｔ长绒棉，
制成狔ｔ纺织面料．根据题中数量关系填写表１０．３１．
第十章 二元一次方程组１０３表１０３１
狓ｔ长绒棉 狔ｔ纺织面料 合计
公路运费／元
铁路运费／元
价值／元
题目所求的是 ，为此需先解出 与 ．
由表１０．３１，列得方程组
烄 ，
烅
烆 ．
解这个方程组，得
烄狓＝ ，
烅
烆狔＝ ．
因此，这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多 元．
从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具．用
方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解
后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义．
１．某运输公司有大小两种型号的货车，２辆大货车与３辆小货车一次可以
运货１５．５ｔ，５辆大货车与６辆小货车一次可以运货３５ｔ．３辆大货车与
５辆小货车一次可以运货多少吨？
２．七年级的地质兴趣小组到一座山顶进
行田野调查．上山之前，２０名成员各
票种 票价／元
买了一张缆车票，共花费１１８０元．缆
往返 ８０
车票价如右表所示，他们购买了往返 单程 ４５
票和单程票各多少张？
３．甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员
在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为３０ｋｍ／ｈ，平路的
速度为４０ｋｍ／ｈ，下坡的速度为５０ｋｍ／ｈ，那么他从甲地骑到乙地需
５４ｍｉｎ，从乙地骑到甲地需４２ｍｉｎ．甲地到乙地全程是多少千米？
１０４第十章 二元一次方程组
１．解下列方程组：
烄２狓 ３狔 １７
＋ ＝ ，
烄３狓－狔＝５， ３ ４ １２
（１）烅 （２）烅
烆５狔－１＝３狓＋５； 狓 狔 １
－ ＝－ ．
烆６ ２ ３
２．一个户外运动俱乐部的成员完成了两天的徒步运动．两天的徒步时间分别为
８ｈ和１０ｈ，共走了９８ｋｍ，且第一天比第二天少走２ｋｍ，这个俱乐部的成员
两天徒步的平均速度各是多少？
３． 《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七
客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？
４．某港口码头使用Ａ，Ｂ两种型号的机器人搬运货物．在２４ｈ内，３台Ａ型机器
人和２台Ｂ型机器人共搬运货物４５０ｔ，且每台Ａ型机器人比Ｂ型机器人多搬
运货物２５ｔ，每台Ａ型机器人和每台Ｂ型机器人２４ｈ的搬运量分别是多少？
５．如图，学校规划在一块长１８ｍ、宽１３ｍ的长方形场
A M D
地犃犅犆犇上，分别设计与犃犇，犃犅平行的横向和纵
向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，
N
六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边
犃犕∶犃犖＝８∶９，那么通道的宽是多少？
B C
６．一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册 （第５题）
和横幅，其中宣传册的数量是展板的５倍．广告公司
制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示．
产品 展板 宣传册 横幅
时间／ｈ １ ０．２ ０．５
利润／元 ６０ ３．５ ２０
若制作三种产品共需２５ｈ，所获利润为９７５元，求这三种产品的总件数．
７．七年级书法兴趣小组到文具店购买Ａ，Ｂ两种型号的毛笔，文具店的销售方
式是：
第十章 二元一次方程组１０５（１）一次性购买Ａ型毛笔不超过２０支时，按零售价销售；超过２０支时，超
过部分每支的价格比零售价低０．４元．
（２）一次性购买Ｂ型毛笔不超过１５支时，按零售价销售；超过１５支时，超
过部分每支的价格比零售价低０．６元．
这个小组共有２０名同学，若每人买１支Ａ型毛笔和２支Ｂ型毛笔，共需支付
３２５元；若每人买２支Ａ型毛笔和１支Ｂ型毛笔，共需支付３０９元．这家文具
店Ａ，Ｂ型毛笔的零售价分别是多少？
８．一家超市的账目记录显示，某天卖出３９支牙刷和２１盒牙膏，收入３９６元；另
一天，以同样的价格卖出同样的牙刷５２支和牙膏２８盒，收入５１８元．这个记
录是否有误？如果有误，请说明理由．
９．编一道符合实际意义的应用题，使其中的未知数满足方程组
烄２狓＋３狔＝２１，
烅
烆３狓＋４狔＝２９．
与同学交流一下，并解决这个问题．
１０６第十章 二元一次方程组１０．４ 三元一次方程组的解法
前面我们通过列二元一次方程组解决了一些问题．实际
上，有不少问题含有更多的未知数，类比二元一次方程组的
研究方法，我们来解决这样的问题．
看下面的问题．
问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了２２场比赛，积４７分，且胜
的场数比负的场数的４倍多２．按照足球联赛的积分规则，胜一场得３分，平
一场得１分，负一场得０分，那么这支球队胜、平、负各多少场？
解决这个问题的一个自然的想法是，设这个球队胜、平、负的场数分别为
狓，狔，狕，根据题意，可以得到下面三个方程：
狓＋狔＋狕＝２２，
３狓＋狔＝４７，
狓＝４狕＋２．
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在
一起，写成
烄狓＋狔＋狕＝２２，
烅３狓＋狔＝４７，
烆狓＝４狕＋２．
这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数
的项的次数都是１，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或
加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么，能不能按照同样的思
路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次
方程组呢？
本节内容为选学内容．
第十章 二元一次方程组１０７让我们看前面列出的三元一次方程组
烄狓＋狔＋狕＝２２， ①
烅３狓＋狔＝４７， ②
烆狓＝４狕＋２． ③
仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②并化简，得到两个只含
狔，狕的方程狔＋５狕＝２０和狔＋１２狕＝４１，它们组成方程组
烄狔＋５狕＝２０，
烅 你还能用其他方法解
烆狔＋１２狕＝４１．
这个三元一次方程组吗？
解这个二元一次方程组，可以求出狔和狕，进而可
以求出狓．
从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过 “代入”
或 “加减”进行消元，把 “三元”化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为
解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的
思路是一样的．
消元 消元
三元一次方程组 → 二元一次方程组 → 一元一次方程
例１ 解三元一次方程组
烄３狓＋４狕＝７， ①
烅２狓＋３狔＋狕＝９， ②
烆５狓－９狔＋７狕＝８． ③
分析：方程①只含狓，狕，因此，可以由②③消去狔，得到一个只含狓，狕
的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．
解：②×３＋③，得
１１狓＋１０狕＝３５． ④
①与④组成方程组
烄３狓＋４狕＝７，
烅
烆１１狓＋１０狕＝３５．
解这个方程组，得
烄狓＝５，
烅
烆狕＝－２．
１０８第十章 二元一次方程组把狓＝５，狕＝－２代入②，得
２×５＋３狔－２＝９，
１
狔＝ ．
３
因此，这个三元一次方程组的解为
你还有其他解法吗？
烄狓＝５， 试一试，并与这种解法进
１
行比较．
烅狔＝ ，
３
烆狕＝－２．
解下列三元一次方程组：
烄狓－２狔＝－９， 烄４狓－９狕＝１７，
（１） 烅狔－狕＝３， （２） 烅３狓＋狔＋１５狕＝１８，
烆２狕＋狓＝４７； 烆狓＋２狔＋３狕＝２；
烄狓＋狔＝３， 烄３狓－狔＋狕＝４，
（３） 烅狔＋狕＝４， （４） 烅２狓＋３狔－狕＝１２，
烆狕＋狓＝５； 烆狓＋狔＋狕＝６．
在解决一些含有三个未知数的问题时，可以考虑列三元一次方程组，通过
解方程组获得问题的答案．
例２ 在等式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮中，当狓＝－１时，狔＝０；当狓＝２时，狔＝３；
当狓＝５时，狔＝６０．求犪，犫，犮的值．
分析：把犪，犫，犮看作三个未知数，分别把已知的狓，狔值代入原等式，
就可以得到一个三元一次方程组．
解：根据题意，列得三元一次方程组
烄犪－犫＋犮＝０， ①
烅４犪＋２犫＋犮＝３， ②
烆２５犪＋５犫＋犮＝６０． ③
第十章 二元一次方程组１０９②－①，得
犪＋犫＝１． ④
③－①，得
４犪＋犫＝１０． ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
烄犪＋犫＝１，
烅
烆４犪＋犫＝１０．
解这个方程组，得
烄犪＝３，
烅
烆犫＝－２．
把犪＝３，犫＝－２代入①，得
犮＝－５．
因此犪，犫，犮的值分别为３，－２，－５．
例３ 一个三位数，各数位上的数的和为１４，百位上的数的２倍减去十位
１
上的数的差是个位上的数的 ．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交
３
换位置，那么所得的新数比原数小９９．求这个三位数．
分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相
等关系，可以列三元一次方程组．
解：设这个三位数百位上的数为狓，十位上的数为狔，个位上的数为狕．
根据题意，列得三元一次方程组
烄狓＋狔＋狕＝１４， ①
１
烅２狓－狔＝ 狕， ②
３
烆１００狕＋１０狔＋狓＋９９＝１００狓＋１０狔＋狕． ③
解这个方程组，得
烄狓＝４，
烅狔＝７，
烆狕＝３．
因此这个三位数是４７３．
１１０第十章 二元一次方程组
１
１．甲、乙、丙三个数的和是３５，甲数的２倍比乙数大５，乙数的 等于丙
３
１
数的 ．求这三个数．
２
２．在等式狕＝犪狓＋犫狔＋犮中，当狓＝１，狔＝２时，狕＝８；当狓＝２，狔＝１
时，狕＝５；当狓＝－１，狔＝－１时，狕＝４．求犪，犫，犮的值．
１．解下列三元一次方程组：
烄４狓＋９狔＝１２，
烄狔＝２狓－７，
３狔－２狕＝１，
（１）烅５狓＋３狔＋２狕＝２， （２）烅
１９
烆３狓－４狕＝４； ７狓＋５狕＝ ．
烆 ４
２．解下列三元一次方程组：
烄狓 狔 狕
烄２狓＋４狔＋３狕＝９，
＝ ＝ ，
（１）烅 ２ ３ ４ （２）烅３狓－２狔＋５狕＝１１，
烆２狓－狔＋２狕＝２７；
烆５狓－６狔＋７狕＝１３．
３．在等式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮中，当狓＝１时，狔＝－２；当狓＝－１时，狔＝２０；当
３ １
狓＝ 与狓＝ 时，狔的值相等．求犪，犫，犮的值．
２ ３
４．一个三位数，十位上的数等于百位上的数的２倍，百位上的数的３倍减去个位
１
上的数等于十位上的数的 ，且各数位上的数的和为１１．求这个三位数．
４
５．甲地到乙地全程是３．３ｋｍ，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成．如
果保持上坡每小时走３ｋｍ，平路每小时走４ｋｍ，下坡每小时走５ｋｍ，那么
从甲地到乙地需５１ｍｉｎ，从乙地到甲地需５３．４ｍｉｎ．从甲地到乙地时，上坡、
平路、下坡的路程各是多少？
第十章 二元一次方程组１１１我国古代很早就开始对多元一次方程组进行研究，古代数学著
作 《九章算术》中专门设 “方程”章讨论多元一次方程组．多元一
次方程组的解法是我国在世界上领先的重大数学成就之一．我国古
代解多元一次方程组的方法主要有直除法和互乘相消法．
烄３狓＋２狔＋狕＝３９，① 烄３狓＋２狔＋狕＝３９，
②×３－①－①
烅２狓＋３狔＋狕＝３４，② 烅 ５狔＋狕＝２４，
③×３－①
烆狓＋２狔＋３狕＝２６，③ 烆 ４狔＋８狕＝３９．
继续使用此法，将一行消到只剩下一个未知数，即可求解．
《九章算术》中的 “直除法”具有普遍性，相当于现代高等
代数的矩阵解法．《九章算术》是世界上最早记录这种解法的著作．
刘徽给出了直除法的理论 贾宪根据题目特点灵活地
基础———举率以相减，不害余 选择直除法和互乘相消法，并
数之课也，即两个方程对应相 且不再借助具体问题阐述如何
减，方程组的解不变．刘徽还 解多元一次方程组，他将中国
创造了 “互乘相消法”． 传统数学的抽象化推进到了一
个新阶段．
１１２第十章 二元一次方程组解多元一次方程组的方法反映了中国古代数学程序化的特点．宋元时
期，中国数学家朱世杰又发展了多元高次方程组的求解方法．我国著名数学
家吴文俊先生就借鉴中国古代数学的思想和方法，古为今用，创立了数学机
械化理论，在国际上产生了巨大的影响．
烄５狓＋２狔＝１０，①
①×２
烄１０狓＋４狔＝２０，
烅 烅
烆２狓＋５狔＝８， ② ②×５ 烆１０狓＋２５狔＝４０．
然后用第二行减去第一行，消去狓，可以得到狔的值．
互乘相消法不但起到事半功倍的作用，而且可以推广，正
如刘徽所说：“以小推大，虽四、五行不异也．”
杨辉率先以接近现代的 梅文鼎系统整理和总结了
形式列、解多元一次方程 中国传统数学中多元一次方程
组，并对如何解多元一次方 组的解法．
程组进行了系统的论述．
第十章 二元一次方程组１１３
中国古代著名的一次不定方程组问题
《九章算术》的 “方程”章中记载了一道有趣的
“五家共井问题”：今有五家共井，甲二绠不足，如乙
一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一
绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠．
各得所不足一绠，皆逮．问井深、绠长各几何．
这个问题的意思是：今有五家人共用一口水井，
每家都备有打水绳，但各家的绳长可能不同．如果把
２条甲家的绳子和１条乙家的绳子接起来，刚好能够
着井里的水面；把３条乙家的绳子和１条丙家的绳子
接起来，刚好能够着井里的水面；……那么这五家的
打水绳各有多长？井深是多少？
显然，问题中包含了多个未知数．若设甲、乙、丙、丁、戊各家绳长分别
为狓，狔，狕，狌，狏，井深为犺，则可列得方程组
烄２狓＋狔＝犺，
３狔＋狕＝犺，
烅４狕＋狌＝犺， （）
５狌＋狏＝犺，
烆６狏＋狓＝犺．
与二元、三元一次方程组不同的是，上述一次方程组有６个未知数，５个方
程．任意给定犺的一个值，就可求出狓，狔，狕，狌，狏的值，也就是说， （）
有无穷多个解．像 （）这样的方程组被称为不定方程组．
“五家共井问题”可能是中国古代数学中最早出现
的不定方程组问题．到了５世纪，《张丘建算经》中记
载的 “百鸡问题”引起了后世中外数学家的广泛兴趣，
成了中国古代数学中流传更广的不定方程组问题．
“百鸡问题”的意思是：如果１只公鸡值５个钱，
１只母鸡值３个钱，３只小鸡值１个钱．现用１００个钱，
买了１００只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只．
１１４第十章 二元一次方程组如果设公鸡、母鸡、小鸡的只数分别为狓，狔，狕，那么可列得一次不定方
程组
烄 １
５狓＋３狔＋ 狕＝１００，
３
烅
烆狓＋狔＋狕＝１００．
这个方程组的解必须是正整数，你能找出其中一个正整数解吗？
事实上，数学家研究的不定方程组常常把解限定在正整数、整数、有理数
等范围内．“百鸡问题”属于典型的一次不定方程组问题．在张丘建之后，我国
数学家又编制了许多其他一次不定方程组问题，但都没有给出这类方程组的一
般解法．直到１９世纪，清代数学家利用南宋数学家秦九韶 （约１２０２—约１２６１）
发现的 “大衍求一术”，终于使一次不定方程组问题的求解获得了新的突破．
" /+ A
（１）在平面直角坐标系中，你能把二元一次方程狓－狔＝０的一个解
用一个点表示出来吗？标出一些以方程狓－狔＝０的解为坐标的点，过这
些点中的任意两点作直线，你有什么发现？在这条直线上任取一点，这
个点的坐标是方程狓－狔＝０的解吗？
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程
的图象．想一想，二元一次方程的图象是什么几何图形？
（２）根据 （１）的结论，在同一平面直角坐标系中画出二元一次方
程组
烄２狓＋狔＝４，
烅
烆狓－狔＝－１
中的两个二元一次方程的图象．由这两个二元一次方程的图象，你能得出
这个二元一次方程组的解吗？
第十章 二元一次方程组１１５" D5KM
随着人们生活水平的提高，很多家庭
都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱
动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮
严重．如果前轮报废，换上新轮胎，而后
轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的
为了让轮胎均匀磨损并延
安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如
长轮胎的使用寿命，我们建议
果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会
每行驶１００００ｋｍ进行一次轮
提高．为了解决这个问题，一般的汽车使
胎换位．
用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的
建议．
资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到６００００ｋｍ时报废，
而后轮轮胎应在汽车行驶达到８００００ｋｍ时报废．如果在轮胎的使用寿命
内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时，交换
前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车
的行驶里程．
１１６第十章 二元一次方程组
本章我们通过实际问题引入了二元一次方程 （组），学习了二元一次
方程组的解法———代入消元法和加减消元法，运用二元一次方程组解决
了一些实际问题．在此基础上，学习了简单的三元一次方程组及其解法．
消元是解二 （三）元一次方程组的基本思想．根据方程组的具体情
况，利用代入消元法或加减消元法，把 “三元”转化为 “二元”，把 “二
元”转化为 “一元”，这一过程体现了化归思想．通过解二 （三）元一次
方程组，你的运算能力也得到了提升．
二 （三）元一次方程组是刻画实际问题的重要数学模型，在现实中
具有广泛的应用．用它解决实际问题时，要注意分析问题中的各种数量关
系，找出其中的相等关系，引进适当的未知数，建立相应的方程组，解
方程组并检验解的意义，这一过程有助于培养你的模型观念和应用意识．
请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧．
１．什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的解？什么是二 （三）
元一次方程组？什么是二 （三）元一次方程组的解？
２．举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组．“代入”与 “加
第十章 二元一次方程组１１７减”的目的是什么？
３．解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系与区别？你能
说一说 “消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？
４．提出一个实际问题，并用二元或三元一次方程组解决它．你能说
一说用方程组解决实际问题的基本思路吗？
１．用代入法解下列方程组：
烄犪＝２犫＋３， 烄狓－狔＝１３，
（１）烅 （２）烅
烆犪＝３犫＋２０； 烆狓＝６狔－７；
烄狓－狔＝４， 烄５狓－狔＝１１０，
（３）烅 （４）烅
烆４狓＋２狔＝－１； 烆９狔－狓＝１１０．
２．用加减法解下列方程组：
烄３犿＋犫＝１１， 烄０．６狓－０．４狔＝１．１，
（１）烅 （２）烅
烆－４犿－犫＝１１； 烆０．２狓－０．４狔＝２．３；
烄４犳＋犵＝１５， 烄０．５狓＋３狔＝－６，
（３）烅 （４）烅
烆３犵－４犳＝－３； 烆０．５狓＋狔＝２．
３．解下列方程组：
烄４（狓－狔－１）＝３（１－狔）－２， 烄２（狓－狔） 狓＋狔
－ ＝－１，
（１）烅狓
狔
（２）烅 ３ ４
＋ ＝２；
烆２ ３ 烆６（狓＋狔）－４（２狓－狔）＝１６．
４．解下列方程组：
烄３狓－狔＋狕＝３， 烄５狓－４狔＋４狕＝１３，
（１）烅２狓＋狔－３狕＝１１， （２）烅２狓＋７狔－３狕＝１９，
烆狓＋狔＋狕＝１２； 烆３狓＋２狔－狕＝１８．
５．１号仓库与２号仓库共存粮４５０ｔ．现从１号仓库运出存粮的６０％，从２号仓库运
出存粮的４０％，结果２号仓库剩余粮食比１号仓库剩余粮食多３０ｔ．１号仓库与
２号仓库原来各存粮多少吨？
１１８第十章 二元一次方程组
６．王芳花１９元买了若干支记号笔和中性笔，记号笔和中性笔的价格分别为５元／支
和３元／支．王芳买了多少支记号笔？多少支中性笔？
７．为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量
不超过１２ｍ３ 时，按一级单价收费；超过１２ｍ３ 时，超过部分按二级单价收费．
五月份张华家用水１４ｍ３ ，缴费３７．６元；李明家用水１７ｍ３ ，缴费４７．２元．那么
这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？
８． “冰墩墩”和 “雪容融”分别是北京２０２２年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．一家商
店连续两个月销售规格为 “１０ｃｍ”的 “冰墩墩”和 “雪容融”摆件，销售情况
如下表所示．
销售量／件
销售额／元
冰墩墩 雪容融
第１个月 １００ ４０ １２３２０
第２个月 １６０ ６０ １９３６０
分别求 “冰墩墩”和 “雪容融”摆件的零售价格．
９．甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑
步．如果同时同地出发，反向而行，每隔
２ｍｉｎ相遇一次；如果同时同地出发，同向
而行，每隔６ｍｉｎ相遇一次．已知甲比乙跑
得快，甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？
１０． 《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大
小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知５个大容器和１个小容器的总
容量为３斛 （斛是过去的一种量器），１个大容器和５个小容器的总容量为２斛．
大、小容器的容量分别是多少斛？
１１．现有１角、５角、１元硬币各１０枚，从中取出１５枚，共值７元．１角、５角、
１元硬币各取出多少枚？
１２．某电脑公司有Ａ型、Ｂ型、Ｃ型三种型号的电脑，其中Ａ型电脑每台６０００元，
Ｂ型电脑每台４０００元，Ｃ型电脑每台２５００元．某中学现有资金１００５００元，
计划全部用于从这家电脑公司购进３６台两种型号的电脑．请你设计几种不同的
购买方案供这所学校选择，并说明理由．
第十章 二元一次方程组１１９第十一章 不等式与不等式组
数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系．现实世界和日常
生活中存在大量涉及不等关系的问题．例如，当两家超市推出不同的优惠方案
时，到哪家超市购物花费较少？这个问题就蕴含了不等关系．对于这样的问
题，常常要分析问题中的数量关系，找到其中的不等关系，列出相应的数学式
子———不等式 （组），并通过解不等式 （组）得出结论．这样的思路与利用方
程 （组）研究相等关系问题的思路是类似的．
本章我们将从什么是不等式说起，类比等式和方程，探究不等式的性质，
学习一元一次不等式 （组）及其解法，并利用不等式的知识解决一些问题，感
受不等式在研究不等关系问题中的重要作用．
第十章 二元一次方程组１１．１ 不等式
前面我们学习了用等式表示问题中的相等关系，本节我
们将学习不等式及其性质．有了不等式，就可以表示问题中
的不等关系了．
１１１１ 不等式及其解集
问题 一辆汽车在高速公路上匀速行驶，
６：００时汽车距前方的Ａ地２１０ｋｍ，汽车要在
８：００之前驶过Ａ地，车速应满足什么条件？
分析：设车速是狓ｋｍ／ｈ．
汽车要在８：００之前驶过Ａ地，从时间上
看，就是以狓ｋｍ／ｈ的速度行驶２１０ｋｍ的时
间不到２ｈ，这个不等关系可以表示为
２１０
＜２． ①
狓
从路程上看，就是以狓ｋｍ／ｈ的速度行驶２ｈ的路程要超过２１０ｋｍ，这个不等
关系可以表示为
２狓＞２１０． ②
像①②这样用符号 “＜”或 “＞”表示不等关系的式子，叫作不等式
（ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ）．像犪＋２≠犪－２这样用 “≠”表示不等关系的式子也是不等式．
有些不等式中不含字母，例如３＜４，－１＞－２；有些不等式中含有字母，
例如①②这样的不等式．我们常用不等式来表示不等关系．
例１ 用不等式表示下列不等关系：
（１）犪与１５的和大于２７；
（２）犫的一半与３的差是负数；
（３）某县在乡村振兴项目的援助下，共种植１３３３ｈｍ２ 猕猴桃，种植面积
超过全县原有猕猴桃种植面积的１８倍．
解：（１）犪＋１５＞２７；
第十一章 不等式与不等式组１２１犫
（２） －３＜０；
２
（３）设这个县原有猕猴桃种植面积为狓ｈｍ２ ，那么１３３３＞１８狓，也可以表
示为１８狓＜１３３３．
当不等式中的字母表示未知数时，经常需要求出未知数应取哪些值．如对
于前面问题中的不等式２狓＞２１０，我们需要了解满足条件的车速狓的值．例如，
当狓＝９０时，２狓＝１８０，不等式２狓＞２１０不成立；当狓＝１１０时，２狓＝２２０，不等
式２狓＞２１０成立．这就是说，当狓取某些值 （如１１０）时，不等式２狓＞２１０成
立；当狓取某些值 （如９０）时，不等式不成立．
与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解．例
如，１１０是不等式２狓＞２１０的解，而９０不是不等式２狓＞２１０的解．
/
再取狓的一些值试一试，看一看哪些是不等式２狓＞２１０的解．
狓 … ９０ １１０ …
２狓 … １８０ ２２０ …
观察不等式２狓＞２１０的解，它们都满足什么条件？
可以发现，当狓＞１０５时，不等式２狓＞２１０总成立；而当狓＜１０５或狓＝１０５时，
不等式２狓＞２１０不成立．这就是说，任何一个大于１０５的数都是不等式２狓＞２１０的
解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于１０５的数都不是不等式２狓＞２１０
的解．因此，狓＞１０５表示了能使不等式２狓＞２１０成立的狓的取值范围．
由上可知，在前面的问题中，汽车要在８：００之前驶过Ａ地，车速应大于
１０５ｋｍ／ｈ．
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的
解，组成这个不等式的解集．例如狓＞１０５是不等
式２狓＞２１０的解集，它可以在数轴上直观表示
在表示１０５的点上
（图１１．１１）．求不等式的解集的过程叫作解不等式．
画空心圆圈，表示解集
不包含这个点所对应
的数．
0 105
图１１．１１
１２２第十一章 不等式与不等式组
１．用不等式表示下列不等关系：
（１）犪是正数； （２）５与狓的和小于７；
（３）－４与犿的积大于８； （４）犿与１的差小于犿的３倍；
（５）经检测，某公园的环境噪声在５０ｄＢ （分贝）以下；
（６）某市有公交车１２０００辆，其中新能源公交车所占比例超过６６％．
２．下列数中哪些是不等式狓＋３＞６的解？哪些不是？
－４，－２．５，０，１，２．５，３，３．２，４．８，８，１２．
３．直接说出下列不等式的解集：
（１）狓＋３＞６； （２）２狓＜８； （３）狓－２＞０．
１１１２ 不等式的性质
对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例如不等式狓＋４＞１０
的解集是狓＞６，不等式２狓＜６的解集是狓＜３．但是对于比较复杂的不等式，
５狓＋１ 狓－５
例如 －２＞ ，直接得出它的解集就比较困难．因此，还要讨论怎样
６ ４
解不等式．
与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质．为
此，我们先来看一看不等式有什么性质．
因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻
类比等式的性质，你
画，所以可以类比等式的性质研究不等式的性质．
能猜想不等式有哪些性
与等式类似，关于不等式，有以下两个基本
质吗？
事实．
（１）交换不等式两边，不等号的方向改变：
如果犪＞犫，那么犫＜犪．
例如，由５＞狓，可得狓＜５．
可以借助数轴理解
（２）不等关系可以传递： 这两个基本事实．
如果犪＞犫，犫＞犮，那么犪＞犮．
例如，由狔＞狓，狓＞－３，可得狔＞－３．
第十一章 不等式与不等式组１２３我们知道，等式两边加或减同一个数 （或式子），乘或除以同一个数 （除
数不为０），结果仍相等．不等式是否也有类似的性质呢？
先考虑不等式两边加 （或减）同一个数的情况．
/
用 “＞”或 “＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中
的规律：
（１）５＞３， （２）－１＜３，
５＋２ ３＋２， －１＋４ ３＋４，
５＋０ ３＋０， －１＋０ ３＋０，
５＋（－２） ３＋（－２）； －１＋（－７） ３＋（－７）．
根据发现的规律填空：不等式两边加同一个
数，不等号的方向 ． 换一些其他数，验
由于减法可以转化为加法，因而这个规律对于 证这个发现．
不等式两边减去同一个数的情形仍然成立．
一般地，不等式有如下性质：
不等式的性质１ 不等式两边加 （或减）同一
可以借助数轴理解
个数 （或式子），不等号的方向不变．
这个性质．
如果犪＞犫，那么犪±犮＞犫±犮．
接下来，考虑不等式两边乘 （或除以）同一个不为０的数的情况．
/
用 “＞”或 “＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中
的规律：
（１）６＞２， （２）－２＜３，
６×５ ２×５， －２×４ ３×４，
６×（－５） ２×（－５）； －２×（－０．５） ３×（－０．５）．
根据发现的规律填空：不等式两边乘同一个正数，不等号的方向 ；
不等式两边乘同一个负数，不等号的方向 ．
１２４第十一章 不等式与不等式组由于除以一个不为０的数等于乘这个数的倒
数，并且这个数的倒数和它的符号相同，因而这个 换一些其他数，验
证这个发现．如果不等式
规律对于不等式两边除以同一个不为０的数的情形
两 边 乘 ０，结 果 又 如
仍然成立．
何呢？
一般地，不等式还有如下两个性质：
不等式的性质２ 不等式两边乘 （或除以）同一个正数，不等号的方向
不变．
（ ）
犪 犫
如果犪＞犫，犮＞０，那么犪犮＞犫犮或 ＞ ．
犮 犮
不等式的性质３ 不等式两边乘 （或除以）同一个负数，不等号的方向
改变．
（ ）
犪 犫
如果犪＞犫，犮＜０，那么犪犮＜犫犮或 ＜ ．
犮 犮
比较不等式的性质２和性质３，指出它们有什么区别．再比较不等式的性
质和等式的性质，它们有什么异同？
例２ 已知犪＞犫，比较下列两个式子的大小，并说明依据．
（１）犪＋３与犫＋３； （２）－２犪与－２犫．
解：（１）因为犪＞犫，
所以 犪＋３＞犫＋３ （不等式的性质１）．
（２）因为犪＞犫，
所以 －２犪＜－２犫（不等式的性质３）．
１．已知狆＞狇，用 “＞”或 “＜”填空，并说明依据：
１ １
（１）狆＋ 狇＋ ； （２）狆－２ 狇－２； （３）狆＋２犿 狇＋２犿；
２ ２
狆 狇
（４）－５狆 －５狇； （５） ； （６）４狆＋１ ４狇＋１．
３ ３
２．已知犿＞３，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围：
犿
（１）犿＋５； （２） ； （３）－２犿； （４）３犿－４．
６
第十一章 不等式与不等式组１２５与解方程类似，解不等式要借助不等式的性质，将不等式逐步化为狓＞犿
或狓＜犿 （犿为常数）的形式．
例３ 利用不等式的性质解下列不等式：
（１）狓－７＞２６； （２）３狓＜２狓＋１；
２
（３） 狓＞５０； （４）－４狓＞３．
３
解：（１）根据不等式的性质１，不等式两边加７，不等号的方向不变，所以
狓－７＋７＞２６＋７，
狓＞３３．
（２）根据不等式的性质１，不等式两边减２狓，不等号的方向不变，所以
３狓－２狓＜２狓＋１－２狓，
狓＜１．
３
（３）根据不等式的性质２，不等式两边乘 ，不等号的方向不变，所以
２
３ ２ ３
× 狓＞ ×５０，
２ ３ ２
狓＞７５．
（４）根据不等式的性质３，不等式两边除以－４，不等号的方向改变，所以
－４狓 ３
＜ ，
－４ －４
３
狓＜－ ．
４
还可以在数轴上直观地表示例３中不等式的解集，如不等式狓－７＞２６的
解集狓＞３３在数轴上的表示如图１１．１２所示．
0 33
图１１．１２
请你分别在数轴上
不等式３狓＜２狓＋１的解集狓＜１在数轴上的表
表示例３中其他两个不
示如图１１．１３所示．
等式的解集．
0 1
图１１．１３
１２６第十一章 不等式与不等式组除了含有＜，＞，≠的不等式，像犪≥犫或犪≤犫这样的式子，也经常用来
表示两个数量的大小关系，它们也是不等式．例
符号 “≥”与 “＞”
如，狓≥３表示狓＞３或狓＝３，即狓可以取３和
的含义有什么区别？“≤”
大于３的所有值．符号 “≥”读作 “大于或等
与 “＜”呢？
于”，也可以说是 “不小于”；符号 “≤”读作
“小于或等于”，也可以说是 “不大于”．
犪≥犫或犪≤犫形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质．
例如，如果犪≥犫，那么－２犪≤－２犫．
生活中也有很多不等关系可以用形如犪≥犫
或犪≤犫的不等式表示．如图１１．１４所示的高速
公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的
最低车速应为８０ｋｍ／ｈ，最高车速应为１００ｋｍ／ｈ．
如果用狏（单位：ｋｍ／ｈ）表示汽车的速度，则狏应
满足：狏≥８０且狏≤１００，或表示为８０≤狏≤１００．
回到本节开头的问题，如果汽车所行驶道路
图１１．１４
的最高限速是１２０ｋｍ／ｈ，那么车速狓应满足什
么条件？
例４ 如图１１．１５，一个长方体形状的鱼缸
长１０ｄｍ，宽３．５ｄｍ，高７ｄｍ．若鱼缸内已有
m
水的高度为１ｄｍ，现准备向鱼缸内继续注水．用
7
d
犞（单位：ｄｍ３ ）表示新注入水的体积，写出犞
的取值范围并在数轴上表示． 10 dm 3.5 dm
分析：问题中的不等关系是：已有水的体积 图１１．１５
与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积．
解：因为 “已有水的体积＋新注入水的体积犞≤鱼缸的容积”，所以
１０×３．５×１＋犞≤１０×３．５×７，
解得
犞≤２１０．
又由于新注入水的体积犞不能是负数，所以犞的取值范围是
０≤犞≤２１０．
第十一章 不等式与不等式组１２７在数轴上表示犞的取值范围如图１１．１６所示．
在表示０和２１０的
点上画实心圆点，表示
0 210
取值范围包含这两个点
图１１．１６
所对应的数．
１．关于狓的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出相应的解集．
（１） （２）
-2 0 0 3
（３）
-1 0 4
２．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（１）狓＋５＞－１； （２）４狓＜３狓＋５；
１ ６
（３） 狓≤ ； （４）－８狓＞１０．
７ ７
３．某日北京的最低气温是１９℃，最高气温是２８℃，用不等式表示这天的
气温狋（单位：℃）的变化范围．
１．下列数中哪些是不等式２狓＋３＞９的解？哪些不是？
－４，－２，０，３，３．０１，４，６，１００．
２．用不等式表示下列不等关系：
（１）犪与５的和是正数； （２）犫与１２的差大于－５；
（３）犮的４倍大于或等于８；
（４）某市２０２１年空气质量为优良的天数比２０１７年的２２４天多出的天数超过了６０．
３．直接写出下列不等式的解集：
（１）狓＋２＞６； （２）２狓＜－８；
（３）狓－２＞０．１； （４）－３狓＜１０．
１２８第十一章 不等式与不等式组４．已知犿＞狀，用 “＜”或 “＞”填空，并说明依据：
（１）犿－５ 狀－５； （２）６犿 ６狀；
１ １
（３）－ 犿 － 狀； （４）犿＋３狀 ４狀．
３ ３
５．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（１）狓＋３＞－１； （２）６狓≤５狓－７；
１ ２
（３）－ 狔＜ ； （４）４狔≥－１２．
３ ３
６．陶器和瓷器被誉为 “土与火的艺术”，陶瓷
火焰色调 温度狋／℃
的制作工艺离不开人们对火焰的利用和温度
最初赤色 ４７５
的控制．我国古代窑工根据火焰的不同色调， 最初赤色至暗赤 ４７５～６５０
就可以推测窑内的大致温度，其对照情况如 暗赤至樱桃红 ６５０～７５０
右表所示．设窑内温度为狋℃． 樱桃红至鲜红 ７５０～８２０
（１）用不等式表示当火焰色调为 “暗赤至樱 鲜红至橘黄 ８２０～９００
桃红”时，窑内温度的范围； 橘黄至黄色 ９００～１０９０
（２）烧制某瓷器时，窑内温度的范围是 黄色至浅黄色 １０９０～１３２０
１２６０≤狋≤１３１０，窑内火焰的色调是怎 浅黄色至白色 １３２０～１５４０
灰白色 １５４０以上
样的？
７．已知犪＞犫，用 “＜”或 “＞”填空，并说明依据：
（１）２犪－５ ２犫－５； （２）－３．５犫＋１ －３．５犪＋１．
８．用不等式表示下列不等关系，写出解集并在数轴上表示解集：
（１）狓的３倍大于１； （２）狓与３的和不小于７；
１
（３）狔的 小于或等于－２； （４）狔的２倍小于狔与１的差．
４
９．如图是某机器零件的设计图纸 （图中长度单位：ｍｍ），
L 40 0.02
用不等式表示零件长度犔的合格尺寸 （犔的取值范围）．
１０．某市地铁票收费标准如下：
（第９题）
不超过６ｋｍ３元；超过６ｋｍ到１２ｋｍ （含）４元；
超过１２ｋｍ到２２ｋｍ （含）５元；超过２２ｋｍ到３２ｋｍ （含）６元；
超过３２ｋｍ部分，每增加１元可再乘坐２０ｋｍ．
第十一章 不等式与不等式组１２９一位乘客单次乘坐地铁购票花费了８元，设他乘坐地铁的里程为狓ｋｍ，用
不等式表示狓的范围．
１１．有一个两位数，如果把它的个位上的数犪和十位上的数犫对调，那么什么情
况下得到的两位数比原来的两位数大？什么情况下得到的两位数比原来的两
位数小？什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？
１ １ １
１２．已知三个正整数犪，犫，犮满足犪＜犫＜犮，且 ＋ ＋ ＝１，求犪，犫，犮．
犪 犫 犮
用求差法比较大小
制作某产品有两种用料方案．方案一：用４块Ａ型钢板，８块Ｂ型钢板；
方案二：用３块Ａ型钢板，９块Ｂ型钢板．Ａ型钢板的面积比Ｂ型钢板大．从
省料角度考虑，应选哪种方案？
设Ａ、Ｂ型钢板的面积分别为狓和狔，则两种方案用料面积分别为４狓＋８狔
和３狓＋９狔．现在需要比较这两个数量的大小．
两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数犪，犫比较大小，那么
当犪＞犫时，一定有犪－犫＞０；
当犪＝犫时，一定有犪－犫＝０；
当犪＜犫时，一定有犪－犫＜０．
反过来也对，即
当犪－犫＞０时，一定有犪＞犫；
当犪－犫＝０时，一定有犪＝犫；
当犪－犫＜０时，一定有犪＜犫．
因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的
正负判断对象的大小．
用求差的方法，你能回答前面的用料问题吗？
１３０第十一章 不等式与不等式组１１．２ 一元一次不等式
不等式有多种类型．与学习了方程后重点研究一元一次
方程类似，本节我们研究一类简单的不等式，探索它的解
法，并用它解决一些实际问题．
观察下面的不等式：
２
狓－７＞２６，３狓＜２狓＋１， 狓＞５０，－４狓＞３．
３
它们有哪些共同特征？
可以发现，上述每个不等式都只含有一个未知数，且含有未知数的式子都
是整式，未知数的次数是１．类似于一元一次方程，只含有一个未知数，且含
有未知数的式子都是整式，未知数的次数是１的不等式，叫作一元一次不等式
（ｌｉｎｅａｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｗｉｔｈｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ）．
在上一节例３解不等式
狓－７＞２６
的过程中，根据不等式的性质１，不等式两边加７，不等号的方向不变，得
狓－７＋７＞２６＋７，
即
狓＞２６＋７．
这一过程相当于把不等式狓－７＞２６左边的项 “－７”，变号为 “＋７”后移
到右边．这就是说，解不等式时也可以 “移项”，即把不等式一边的某项变号
后移到另一边，而不等号的方向不变．
一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程类似的步骤，就可以
求出一元一次不等式的解集．
例１ 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
狓－５ ５狓＋１
（１）３（狓－１）＜狓－２； （２） ＋２≥ ．
４ ６
第十一章 不等式与不等式组１３１第十一章 不等式与不等式组
櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲
解：（１）去括号，得 （２）去分母，得
３狓－３＜狓－２． ３（狓－５）＋２４≥２（５狓＋１）．
移项，得 去括号，得
３狓－狓＜－２＋３． ３狓－１５＋２４≥１０狓＋２．
合并同类项，得 移项，得
２狓＜１． ３狓－１０狓≥２＋１５－２４．
系数化为１，得 合并同类项，得
１ －７狓≥－７．
狓＜ ．
２
系数化为１，得
这个不等式的解集在数轴上的表
狓≤１．
示如图１１．２１所示．
这个不等式的解集在数轴上的表
示如图１１．２２所示．
0 1
2
图１１．２１ 0 1
图１１．２２
解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤和依据有什么类似之处？
3
解一元一次方程，要依据等式的性质，将方程逐步化为狓＝犿的形式；
而解一元一次不等式，则要依据不等式的性质，将不等式逐步化为狓＜犿
（狓≤犿）或狓＞犿 （狓≥犿）的形式．
１．解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（１）５狓＋１５＞４狓－１； （２）２（狓＋５）≤３（狓－５）；
狓－１ ２狓＋５ 狓＋１ ２狓－５
（３） ＞ ； （４） ≥ ＋１．
７ ３ ６ ４
１３２２．当狓或狔满足什么条件时，下列关系成立？
（１）２（狓＋１）大于或等于１；
（２）４狓与７的和不小于６；
（３）狔与１的差不大于２狔与３的差；
１
（４）３狔与７的和的 小于－２．
４
与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不等
关系，可以把实际问题转化为数学问题，进而通过解不等式得到实际问题的答案．
例２ 七年级举办古诗词知识竞赛，共有２０道题，每一题答对得１０分，
答错或不答都扣５分．如果规定初赛成绩超过９０分晋级决赛，那么至少要答对
多少道题才能成功晋级？
分析：“初赛成绩超过９０分”是问题中蕴含的不等关系，可以根据这个不
等关系列出不等式．
解：设初赛答对了狓道题．
根据 “初赛成绩超过９０分”晋级决赛，列得不等式
１０狓－５（２０－狓）＞９０．
去括号，得
１０狓－１００＋５狓＞９０．
移项，合并同类项，得
１５狓＞１９０．
系数化为１，得
２
狓＞１２ ．
３ 万元地区生产总值
由狓应为正整数，可得狓至少为１３． 能耗是指每万元地区生
答：初赛至少要答对１３道题才能成功晋级． 产总值所消费的能源总
量 （折算为标准煤），
例３ 某市去年万元地区生产总值能耗为
其下降率是衡量一个地
０．３２０ｔ标准煤，如果计划使今年万元地区生产总
区节能减排成效的重要
值能耗比去年的下降率不小于５％，那么这个市今
指标．
年万元地区生产总值能耗至多为多少？
第十一章 不等式与不等式组１３３分析：“今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于５％”是问题中
蕴含的不等关系，即
去年万元地区生产总值能耗－今年万元地区生产总值能耗
×１００％≥５％．
去年万元地区生产总值能耗
解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为狓ｔ标准煤．
根据题意，列得不等式
０．３２０－狓
×１００％≥５％．
０．３２０
去分母，得
０．３２０－狓≥０．３２０×５％．
移项，合并同类项，得
－狓≥－０．３０４．
系数化为１，得
狓≤０．３０４．
答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为０．３０４ｔ标准煤．
１．某工程队计划在１０天内修路６ｋｍ．施工前２天修完１．２ｋｍ后，计划
发生变化，准备至少提前２天完成修路任务，以后几天内平均每天至少
要修路多少？
２．一家商店以每辆３４０元的进价购入一批自行车共１５０辆，并以每辆４５０
元的价格销售．两个月后，自行车的销售额已超过这批自行车进货的总
费用，这时至少已售出多少辆自行车？
下面来看本章引言中的问题．
例４ 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的
优惠方案：在甲超市累计购物超过１００元后，超出１００元的部分按九折收费；
在乙超市累计购物超过５０元后，超出５０元的部分按九五折收费．顾客到哪家
超市购物花费较少？
分析：在甲超市购物超过１００元后享受优惠，在乙超市购物超过５０元后
１３４第十一章 不等式与不等式组享受优惠．因此，需要分三种情况讨论：
（１）累计购物不超过５０元；
（２）累计购物超过５０元而不超过１００元；
（３）累计购物超过１００元．
解：设累计购物花费狓元．
（１）当累计购物不超过５０元，即狓≤５０时，在甲、乙两超市购物都不享
受优惠，而两家超市以同样价格出售同样的商品，因此到两超市购物花费
相同．
（２）当累计购物超过５０元而不超过１００元，即５０＜狓≤１００时，在甲超市
购物不享受优惠，但在乙超市购物能享受优惠，因此到乙超市购物花费较少．
（３）当累计购物超过１００元，即狓＞１００时，在甲、乙两超市购物都能享
受优惠．
① 若到甲超市购物花费较少，则
１００＋０．９（狓－１００）＜５０＋０．９５（狓－５０）．
解得
狓＞１５０．
即狓＞１５０时，到甲超市购物花费较少．
② 若到乙超市购物花费较少，则
１００＋０．９（狓－１００）＞５０＋０．９５（狓－５０）．
解得
狓＜１５０．
即１００＜狓＜１５０时，到乙超市购物花费较少．
③ 若到两超市购物花费相同，则
１００＋０．９（狓－１００）＝５０＋０．９５（狓－５０）．
解得
狓＝１５０．
即狓＝１５０时，到甲、乙两超市购物花费相同．
答：当累计购物花费不超过５０元或等于１５０元时，到两家超市购物花费
相同；当累计购物超过５０元而不到１５０元时，到乙超市购物花费较少；当累
计购物超过１５０元时，到甲超市购物花费较少．
第十一章 不等式与不等式组１３５
１．学校打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励给在绘画比赛中获
奖的学生．笔记本的价格为１６元／个，中性笔的价格为４元／支．如果学
校一共要购买１００件奖品，总费用不能超过９００元，那么学校最多能买
多少个笔记本？
２．一家水果店花费１００００元购进了大樱桃和小樱桃各２００ｋｇ，计划分别
以３９元／ｋｇ和２９元／ｋｇ的价格销售，但大樱桃在运输中损耗了２０％．
若小樱桃的售价不变，为了使获得的总利润不低于预期利润的９０％，
大樱桃的售价至少要定为每千克多少元？
１．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（１）３（２狓＋５）＞２（４狓＋３）； （２）１０－４（狓－４）≤２（狓－１）；
２狓－４ 狓－５ ２狓－１ ３狓－４
（３） ＜ ； （４） ≤ ；
７ ２ ３ ６
３狔－１ 狔＋１ 狔＋１ ２狔－５
（５） －２＞ ； （６） － ≥１．
５ ４ ６ ４
４犪＋１
２．犪取什么值时，代数式 表示下列数？
６
（１）正数； （２）小于－２的数； （３）０．
３．下列解不等式的过程是否正确？如果不正确，请加以改正．
（１）－３狓＋２≥－４；
解：移项，得－３狓≥－６．
两边都除以－３，得狓≥２．
（２）狓－４＜２狓＋１．
解：移项，得－４－１＜２狓－狓．
合并同类项，得－５＜狓．
即狓＜－５．
１３６第十一章 不等式与不等式组４．求满足下列条件的正整数狓的值：
（１）狓＋２＜６； （２）２狓＋５＜１０；
狓－３ ２狓－５ ２＋狓 ２狓－１
（３） ≥ ； （４） ≥ －２．
２ ３ ２ ３
５．长跑比赛中，刘伟跑在前面，在离终点１００ｍ时，他以６．５ｍ／ｓ的速度向终
点冲刺．在他身后１０ｍ的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在刘伟
之前到达终点？
６．电脑专营店销售一批笔记本电脑，第一个月以５５００元／台的价格售出６０台，
第二个月起降价，以５０００元／台的价格将这批笔记本电脑全部售出，销售款
总额超过５５万元．这批笔记本电脑至少有多少台？
７．一批苹果的进价是８．５５元／ｋｇ，销售中估计有５％的苹果正常损耗．商家把售
价至少定为多少，才能避免亏本？
８．一条食品包装生产线完成智能化升级后，每个月生产的无菌纸盒包装饮料的
数量是原来月均产量的１．７倍．升级后，这条生产线８个月生产的无菌纸盒包
装饮料的数量比原来１２个月的生产量至少多１０００万盒，这条生产线原来平
均每月的产量至少是多少万盒？
１ ３
９．分别求出不等式５狓－１＞３（狓＋１）与 狓－１＜７－ 狓的解集，并尝试确定它们
２ ２
的公共部分．
１０．某校七年级５６０名学生和１１位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆．客运公
司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示．
车型 Ａ型 Ｂ型
载客量／人 ４０ ５６
租金／元 １０００ １２００
学校计划租用１１辆客车，那么
（１）最多可以租多少辆Ａ型客车？
（２）共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？
第十一章 不等式与不等式组１３７１１．３ 一元一次不等式组
一个不等式可以表示一个不等关系，当一个问题中含有
多个不等关系时，怎样用不等式表示并求解呢？
问题 某工程队用每小时可抽３０ｔ水的抽水机来抽污水管道里积存的污
水，估计积存的污水超过１２００ｔ而不足１５００ｔ，求将污水抽完所用时间的范围．
设用狓ｈ将污水抽完，则狓同时满足不等式
３０狓＞１２００， ①
３０狓＜１５００． ②
类似于方程组，把这两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组
成一个一元一次不等式组 （ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｗｉｔｈｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ），记作
烄３０狓＞１２００，
烅
烆３０狓＜１５００．
怎样确定不等式组中狓的取值范围呢？
类似方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组
中狓的取值范围．
由不等式①，解得
狓＞４０．
由不等式②，解得
狓＜５０．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
（图１１．３１）．
利用数轴体会：不
等式组中狓的取值范围
是两个不等式解集的公
共部分．
0 40 50
图１１．３１
从图１１．３１容易看出不等式①和②的解集的公共部分，也就是不等式组
中狓的取值范围是
１３８第十一章 不等式与不等式组４０＜狓＜５０．
这就是说，将污水抽完所用时间多于４０ｈ而少于５０ｈ．
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的
烄３０狓＞１２００，
解集．解不等式组就是求它的解集．例如，不等式组
烅
的解集是
烆３０狓＜１５００
４０＜狓＜５０．
例１ 解下列不等式组：
烄２狓－１＞狓＋１， ①
（１）
烅
烆狓＋８＜４狓－１； ②
烄２狓＋３≥狓＋１１， ①
（２）
烅２狓＋５
－１＜２－狓． ②
烆 ３
解：（１）解不等式①，得
狓＞２．
解不等式②，得
狓＞３．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 （图１１．３２）．
利用数轴可以直观
0 2 3 地确定不等式组的解集．
图１１．３２
从图１１．３２可以找出两个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解
集为
狓＞３．
（２）解不等式①，得
狓≥８．
解不等式②，得
４
狓＜ ．
５
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 （图１１．３３）．
第十一章 不等式与不等式组１３９0 4 8
5
图１１．３３
从图１１．３３可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解．
１ ３
例２ 狓取哪些整数值时，不等式５狓＋２＞３（狓－１）与 狓－１≤７－ 狓都
２ ２
成立？
分析：使两个不等式都成立的狓的值，就是两个不等式的公共解，因此求
出由这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是狓可取的整数值．
解：解不等式组
烄５狓＋２＞３（狓－１），
烅１ ３
狓－１≤７－ 狓，
烆２ ２
得
５
－ ＜狓≤４．
２
所以狓可取的整数值是－２，－１，０，１，２，３，４．
3
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这
些解集的公共部分．利用数轴可以直观地确定不等式组的解集．
１．解下列不等式组：
烄２狓＞１－狓， 烄狓－５＞１＋２狓，
（１）
烅
（２）
烅
烆狓＋２＜４狓－１； 烆３狓＋２≤４狓；
烄２
狓＋５＞１－狓，
３
（３）
烅
３ １
狓－１≤ 狓－ ．
烆 ４ ８
２．狓取哪些整数值时，不等式狓＋３＞６与２狓－１＜１０都成立？
１４０第十一章 不等式与不等式组
１．解下列不等式组：
烄狓－１＜３， 烄狓－１＞３，
（１）烅 （２）烅
烆狓＋１＜３； 烆狓＋１＞３；
烄狓－１＜３， 烄狓－１＞３，
（３）烅 （４）烅
烆狓＋１＞３； 烆狓＋１＜３．
２．解下列不等式组：
烄２狓－１＞０， 烄３（狓－１）＋１３＜５狓－２（５－狓），
（１）烅 （２）烅
烆狓＋１≤３； 烆５－（２狓＋１）＞３－６狓；
烄１
烄狓－３（狓－２）≥４， （狓＋４）＜２，
２
（３）烅１＋２狓 （４）烅
＞狓－１； 狓＋２ 狓＋３
烆 ３ ＞ ．
烆 ２ ３
１
３．狓取哪些整数值时，不等式４（狓－０．３）＜０．５狓＋５．８与３＋狓＞ 狓＋１都成立？
２
４．狓取哪些整数值时，２≤３狓－７＜８成立？
５．把一些书分给几名同学，如果每人分３本，那么剩余８本；如果前面的每名
同学分５本，那么最后一人分到了书但不到３本．这些书有多少本？共有多少
名同学？
第十一章 不等式与不等式组１４１
" *0?KKM
统计资料表明，２０１７年某地区的城市建成区面积为９８６．３５ｋｍ２ ，城市建成
区绿地面积为３４１．３２ｋｍ２ ，城市建成区绿地率为３４．６％．２０２２年这个地区的城
市建成区面积比２０１７年增加了约２０８ｋｍ２ ，城市建成区绿地率超过了４０％．
根据上述资料，试用一元一次不等式解决下面的问题：
２０１７—２０２２年，这个地区增加的城市建成区绿地面积超过了多少平
方千米？
通过报刊、图书、网络等再收集一些资料，分析其中的数量关系，
编成问题．看一看能不能用一元一次不等式解决这些问题．
" ((
在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了５０张同样的卡
片，上面分别写有１，２，３，…，４９，５０．
游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取
E
五张，并将它们正面向下放置在桌上 （图１）．这五张卡片
A D
分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ．张华依次将相邻两张卡片上
的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数 B C
图１
最大．
下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 Ａ，Ｂ Ｂ，Ｃ Ｃ，Ｄ Ｄ，Ｅ Ｅ，Ａ
两数的和 ５４ ６６ ５９ ７１ ４８
李明经过思考，说出答案：“Ｂ卡片上的数最大．”
张华说：“答对了！”
李明又说：“我还知道，如果按照卡片上的数从小到大的排序来排列
这些卡片，那么顺序是Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｂ．”
张华惊讶地说：“你说对了！你是怎么猜出来的？”
试试和同学一起玩这个游戏，想一想李明是用什么办法找到答案的．
１４２第十一章 不等式与不等式组
不等式 （组）是刻画不等关系的数学模型，它有广泛的应用．本章我
们主要学习了不等式的基础知识以及一类最简单的不等式 （组）———
一元一次不等式 （组），并运用不等式解决了一些简单的实际问题．
本章的许多内容都可以和等式、方程类比．等式、不等式都能够表示
问题中的数量关系，等式表示相等关系，不等式则表示不等关系；不等
式具有与等式类似的性质；解方程需要依据等式的性质，解不等式则需
要依据不等式的性质；解一元一次方程是将方程逐步化为狓＝犿的形式，
解一元一次不等式则是将不等式逐步化为狓＜犿 （狓≤犿）或狓＞犿
（狓≥犿）的形式，两者都运用了化归的思想，解一元一次不等式的过程
也与解一元一次方程类似．类比地学习，有利于对知识的理解和掌握．通
过解不等式 （组），你的运算能力也得到了进一步提升．
用不等式解决实际问题也与方程类似：首先要分析问题中的数量关
系，找出不等关系，通过设未知数、列不等式，把实际问题转化为数学问
第十一章 不等式与不等式组１４３题；然后通过解不等式获得数学结论；最后讨论数学结论是否符合实际
意义，并用数学结论解释实际问题．这也体现了建立数学模型解决实际问
题的一般过程，有助于培养模型观念和应用意识．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．总结不等式的性质，并与等式的性质进行比较．
２．总结一元一次不等式的解法，并与一元一次方程的解法进行比较．
结合具体例子说明：解未知数为狓的不等式，就是依据不等式的性质，
将不等式逐步化为狓＜犿 （狓≤犿）或狓＞犿 （狓≥犿）的形式．
３．如何解一元一次不等式组？结合具体例子说明：解不等式组就是
求相关不等式的解集的公共部分．
４．举例说明数轴在解不等式 （组）中的作用．
５．结合实例体会运用不等式解决实际问题的过程．
１．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（１）３（２狓＋７）＞２３； （２）１２－４（３狓－１）≤２（２狓－１６）；
狓＋３ ２狓－５ ２狓－１ ３狓－１ ５
（３） ＜ －１； （４） － ≥ ．
５ ３ ３ ２ １２
２．犪取什么值时，１５－７犪的值满足下列条件？
（１）大于１； （２）小于１； （３）等于１．
３．解下列不等式组：
烄２狓＋１＞－１， 烄－（狓－１）＞３，
（１）烅 （２）烅
烆２狓＋１＜３； 烆２狓＋９＞３；
烄－３（狓－２）≥４－狓，
烄３（狓－１）＋１＞５狓－２（１－狓），
（３）烅 （４）烅１＋２狓
烆５－（２狓－１）＜－６狓； ＞狓－１．
烆 ３
狓＋３
４． 的值能否同时大于２狓＋３和１－狓的值？说明理由．
５
５．若犪是一个实数，比较犪与２犪的大小．
１４４第十一章 不等式与不等式组
６．某运动员５０００ｍ长跑的个人最好成绩为１６ｍｉｎ４５ｓ．在一次５０００ｍ长跑比赛
中，他跑完前３０００ｍ用时１０ｍｉｎ３０ｓ．如果这名运动员希望在本次比赛中获得
的成绩不低于自己的个人最好成绩，那么在剩下的路程中，他的平均速度至少
要为多少？
７．在装修施工过程中，两位施工人员要用一辆手推车将一批瓷砖用电梯运送上楼．
电梯额定载重量为１０５０ｋｇ，他俩的体重分别为７０ｋｇ和７５ｋｇ，手推车的质量
为２１ｋｇ，一箱瓷砖的质量约为５１ｋｇ，那么他俩用电梯一次最多能将多少箱瓷砖
运送上楼？
８．在一场篮球比赛中，某队罚篮得分为１０分，投进２分球和３分球共４８个．如果
这支球队在本场比赛中总得分超过１１０分，那么他们至少投进多少个３分球？
９．某汽车销售公司计划购买并销售Ａ型和Ｂ型两种型号的新能源汽车共２０辆．这
两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示．
单位：万元／辆
类型 进价 售价
Ａ型 ２７ ２７．８
Ｂ型 ２４．４ ２５．８
为了保证将这２０辆车全部售出后，所得利润要超过２０．５万元，那么这个公司最
多能购买Ａ型汽车多少辆？
１０．按照如下程序操作，规定：从 “输入一个值狓”到 “结果是否大于８５”为一次
程序操作．如果结果得到的数小于或等于８５，则用得到的这个数进行下一次
操作．
D
4 1 85
（１）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的狓的取值范围是多少？
（２）如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的狓的取值范围是多少？
１１．甲、乙两名同学各提一个水桶在同一个水龙头前打水．如果甲打满一桶水需
犪ｍｉｎ，乙打满一桶水需犫ｍｉｎ，那么谁先打水，能使两人都打满一桶水所用时
间和 （包含等待时间）较少？
第十一章 不等式与不等式组１４５综合与实践
低碳生活
全球气候正在变暖，科学家认
为，这与大气中二氧化碳等温室气
体的浓度变化有关．２０１５年， 《巴
黎协定》向全世界警告，要求各国
共同努力，把全球平均气温升幅控
制在工业化前水平以上低于２℃之
内，并努力将气温升幅限制在工业
化前水平以上１．５℃之内．２０２０年，我国承诺，二氧化碳排放力争于２０３０年前
“碳达峰”，２０６０年前实现 “碳中和”．什么是 “碳达峰” “碳中和”？要实现我
国 “碳达峰”“碳中和”的目标，除了国家层面的规划和实施，我们每个人还
能作出什么贡献呢？我们该进行怎样的低碳生活呢？
通过对 “碳达峰” “碳中和”等相关知识的学习，以及对身边 “碳足迹”
计算的认识，建立低碳生活的理念，并设计自己的低碳生活行动方案．
通过报刊、图书、网络等查阅、收集 “碳中和”的相关资料．
学习 “碳中和”等相关知识
“碳中和”“碳交易”等是 《巴黎协定》中促进各国低碳绿色发展活动的重
要概念，要建立低碳生活的理念，需深入学习相关知识．
任务１ 分享交流
分享课前查阅的相关资料，对 “碳中和”“碳交易”等相关概念，以及在
当前国际、国内背景下二氧化碳减排发展情况等进行组内交流分享．
１４６综合与实践 低碳生活任务２ 问题探究
在我们生活的大气层中，二氧化碳虽然只约占大气体积的０．０３％，但其对
气温有较大的影响．
根据此信息，你能提出哪些问题？你能解决其中的哪些问题？
计算生活中的 “碳足迹”
每个人的日常消费都会产生二氧化碳 （温室气体都可转化为二氧化碳当量
计算）排放．积极倡导并实践 “低碳”生活是我们每一个人的社会责任．
任务１ 计算 “碳足迹”
查阅、收集相关资料，计算你的家庭某月的 “碳足迹”．
姓名 家庭人数
家庭某月 “碳足迹”计算
序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量／ｋｇ
１ 家庭用电 ｋＷ·ｈ
２ 水 ｔ
３ 天然气 ｍ３
４ 液化气 ｋｇ
５ 汽油／柴油 Ｌ
６ 煤 ｋｇ
７ 猪肉 ｋｇ
８ 牛肉 ｋｇ
９ Ａ４纸 张
１０ 塑料袋 个
中途飞机
１１ 次
（２００～１０００ｋｍ）
长途飞机
１２ 次
（１０００ｋｍ以上）
… …… ……
综合与实践 低碳生活１４７任务２ 根据完成的任务１，你有哪些思考？请在组内分享交流．
认识、分析我国 “碳达峰”“碳中和”目标
２０２１年我国发布的 《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，２０２０年
我国碳排放强度 （单位国内生产总值二氧化碳排放）比２０１５年下降１８．８％，
比２００５年下降４８．４％，超额完成了我国向国际社会承诺的 “到２０２０年下降
４０％～４５％”的目标，累计少排放二氧化碳约５８亿吨，基本扭转了二氧化碳
排放快速增长的局面．与此同时，我国经济也实现跨越式发展．２０２０年，我国
宣布自主贡献新目标举措：中国二氧化碳排放力争于２０３０年前达到峰值，单
位国内生产总值二氧化碳排放将比２００５年下降６５％以上，努力争取２０６０年前
实现 “碳中和”．
任务１ 提出问题
根据以上材料，要实现我国 “碳达峰”的目标，你能从碳排放强度、二氧
化碳排放量、国内生产总值 （ＧＤＰ）等方面提出哪些数学问题？
任务２ 解决问题
在任务１提出的问题中，你能解决哪些问题？请给出解决方案．
任务３ 自主研究
根据你查阅得到的资料，你还能结合低碳生活提出一些数学问题吗？试解
决你提出的问题．
设计低碳生活行动方案
任务 每个人的生活都与全球命运共同体相关，选择低碳生活是我们每个
人的责任与义务，从身边做起，请设计你们小组的低碳生活行动方案．
１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小
组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案．
３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规
１４８综合与实践 低碳生活划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告．
４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，
分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足．
通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成
表、表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师和全班同学一起，通过质
疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价
和教师评价，完成本次综合与实践活动．
综合与实践 低碳生活１４９第十二章
数据的收集、整理与描述
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的统计数据．例如，从２０１３年到
２０２２年，我国 ?ＧＤＰ从５９万亿元增长到１２１万亿元；２０２２年６月北京市的平
均气温为２５．７℃；育人中学七年级学生每星期校外体育锻炼的平均时间约为
５．２ｈ；等等．这些数据可以帮助人们了解周围世界的现状和变化规律，从而为
人们决策提供依据．你知道它们是如何获得的吗？你知道如何选择合适的统计
图表描述它们吗？
统计学 （ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）是一门通过数据来研究问题和解决问题的科学，它能
帮助我们回答上面的问题．在本章中，我们将在小学所学统计知识的基础上，
学习收集数据的一些基本方法，在此基础上进一步学习如何整理数据，并用统
计图表直观形象地描述数据，从中发现数据蕴含的规律，获取我们需要的
信息．
今后如果不作特殊说明，本套书中涉及的有关全国统计数据涵盖的地域范围为全
?
国３１个省 （自治区、直辖市），未包括我国台湾省、香港特别行政区和澳门特别行政区．
书书书１２．１ 统计调查
统计的研究对象是数据．面对一个统计问题，首要的任
务是收集数据，统计调查是收集数据的常用方法．
１２１１ 全面调查
问题１ 如果要了解全班同学对文学、科技、体育、艺术、劳技五类课外
活动的喜爱情况，你会怎么做？
为解决问题１，需要进行统计调查．
首先，可以通过问卷调查的方法收集数据，为此要设计调查问卷．
调查问卷
年 月
在下面五类课外活动中，你最喜爱 如果想了解男、女生
喜爱课外活动的差异，问
的是 （ ）（单选）．
卷中还应该包含什么内容？
（Ａ）文学 （Ｂ）科技 （Ｃ）体育
（Ｄ）艺术 （Ｅ）劳技
利用调查问卷，可以收集到全班每位同学最喜爱的课外活动的编号 （字
母），我们把它们称为数据．例如，某同学经过调查，收集到如下５０个数据：
Ｃ Ｅ Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ
Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ
Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ 用字母代替活动的
类型，可以方便统计．
Ｄ Ｃ Ｄ Ｅ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｅ Ａ
Ｂ Ｄ Ｃ Ｅ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ
从上面的数据中，你能看出全班同学对各类课外活动的喜爱情况吗？
杂乱无章的数据不利于发现其中的规律．为了更清楚地了解数据所蕴含的
规律，需要对数据进行整理．统计中经常用表格整理数据，对前面５０个数据
的整理如表１２．１１所示．
第十二章 数据的收集、整理与描述１５１表１２１１ 全班同学最喜爱的课外活动的人数统计表
课外活动类型 划记 人数 百分比
文学 （Ａ） 正 ７ １４％
科技 （Ｂ） 正 ８ １６％
体育 （Ｃ） 正正正 １７ ３４％
艺术 （Ｄ） 正正 １４ ２８％
劳技 （Ｅ） ４ ８％
合计 ５０ １００％
在表１２．１１中，用划记法记录数据时，“正”字的每一划 （笔画）代表一
位同学．例如，编号为Ａ的课外活动对应的人数是７，记为 “正 ”．
!
表１２．１１可以清楚地反映全班同学喜爱各类课外活动的情况．例如，最喜
爱文学类课外活动的同学有７人，占全班人数的１４％；最喜爱科技类课外活动
的同学有８人，占全班人数的１６％；等等．
为了更直观地表示表１２．１１中的信息，还可以用条形图 （图１２．１１）和
扇形图 （图１２．１２）来描述数据．
8
14
20
17
14
15 28 16
10 8
7 4
5
34
0
图１２．１１
图１２．１２
你能根据表１２．１１、图１２．１１和图１２．１２，说一说全班同学对五类课外
活动的喜爱情况吗？
在上面的调查中，我们利用调查问卷得到全班同学喜爱课外活动的数据，
利用表格整理数据，并用统计图对数据进行直观形象的描述．通过分析这些表
和图，了解全班同学喜爱课外活动的情况．在这个调查中，全班同学是要考察
的全体对象，我们对全体对象都进行了调查．像这样考察全体对象的调查叫作
全面调查．例如，２０２０年我国进行的第七次全国人口普查，就是一次全面调
查．普查结果显示，我国人口 （包括现役军人、香港特别行政区、澳门特别行
政区和台湾地区的人口）共约１４４３５０万人．
在上面的调查中，全班学生是要考察的全体对象，称为总体，组成总体的
１５２第十二章 数据的收集、整理与描述每一名学生称为个体．为了强调调查目的，有时也把全班每一名学生喜爱的课
外活动类型的全体作为总体，每一名学生喜爱的课外活动类型作为个体．
１．下列调查问题设计得合理吗？为什么？
（１）你每天睡眠充足吗？
（２）你们学校的环境噪声是否在５５ｄＢ以下？
（３）大多数同学认为学校操场应该铺设塑胶跑道，你同意吗？
２．下列调查问题的答案的选项设计得合理吗？如果不合理，如何修改？
（１）你对学校食堂的午餐满意吗？（ ）
（Ａ）非常满意 （Ｂ）满意 （Ｃ）一般 （Ｄ）不满意
（２）你平时最喜欢的一项课外活动是 （ ）．
（Ａ）读课外书 （Ｂ）体育活动 （Ｃ）看电视 （Ｄ）踢足球
３．举出一些生活中运用全面调查的例子．
１２１２ 抽样调查
全面调查需要对调查对象的全体进行调查，能否通过调查一部分对象了解
调查对象的整体情况呢？
问题２ 育人中学有２０００名学生，要想了解全校学生对文学、科技、体
育、艺术和劳技五类课外活动的喜爱情况，应该怎样进行调查？
可以用全面调查的方法对全校学生逐个进行调查，然后整理收集到的数
据，统计出全校学生对五类课外活动的喜爱情况．但是，育人中学的学生比较
多，全面调查花费的时间长，消耗的人力、物力大．因此，需要寻找一种不作
全面调查就能了解全校学生喜爱各类课外活动情况的方法，达到既省时省力又
能解决问题的目的．这就是我们要讨论的抽样调查．
抽样调查 （ｓａｍｐｌｉｎｇｓｕｒｖｅｙ）是这样一种方法，它只抽取一部分对象进行
调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况．例如，在问题２中，我们可以
只抽取一部分学生进行调查，然后通过分析被调查学生的数据来推断全校学生
对五类课外活动的喜爱情况．全校学生是要考察的总体，而被抽取调查的那部
分学生构成总体的一个样本．
第十二章 数据的收集、整理与描述１５３
那么，抽取多少名学生进行调查比较合适？被调查的学生又该如何抽取呢？
如果抽取调查的学生很少，样本就不容易具有代
表性，也就不能客观地反映总体的情况；如果抽取调 想了解一锅八宝粥
里各种成分的比例，只
查的学生很多，虽然样本容易具有代表性，但花费的
要搅拌均匀后，舀一勺
时间、精力也很多，达不到省时省力的目的．因此抽
查看，就能对整锅的情
取调查的学生数目要适当．例如，问题２中可以抽取
况估计个八九不离十．
１００名学生作为样本进行调查．一个样本中包含的个体
这与抽取部分学生估计
的数目称为样本容量，上述抽取的样本容量为１００．
全校学生情况有什么相
为了使样本尽可能具有代表性，除抽取调查的 似之处？
学生数要合适外，抽取样本时，不能偏向某些学
生，应使学校中的每一名学生都有相等的机会被抽
你还能想出使每名
到．例如，上学时间在学校门口随机调查１００名学
学生都有相等机会被抽
生；在全校学生的学籍号中，随机抽取１００个号 到的方法吗？
码，调查这些号码对应的学生；等等．
表１２．１２是李明同学抽取的样本容量为１００的调查数据统计表．
表１２１２ 抽样调查１００名学生最喜爱课外活动的人数统计表
课外活动类型 划记 人数 百分比
文学 （Ａ） 正正 １３ １３％
科技 （Ｂ） 正正正 １８ １８％
体育 （Ｃ） 正正正正正正 ３２ ３２％
艺术 （Ｄ） 正正正正正 ２７ ２７％
劳技 （Ｅ） 正正 １０ １０％
合计 １００ １００％
１５４第十二章 数据的收集、整理与描述从表１２．１２中可以看出，样本中最喜爱体育类
10
课外活动的学生最多，所占百分比为３２％．据此可 13
以估计，这所学校的学生中，最喜爱体育类课外活 27 18
动的学生最多，约占全校学生的３２％．类似地，由
32
表１２．１２可以估计育人中学最喜爱其他类课外活动
图１２．１３
的学生占全校学生的百分比，如图１２．１３所示．
在上面抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，
像这样的抽样方法称为简单随机抽样．
抽样调查是实际中经常采用的收集数据的方法．除了具有花费少、省时省
力的特点，它还适用于一些不宜用全面调查的情况，例如检测某批次灯泡的使
用寿命等具有破坏性的调查．需要注意的是，在抽样调查中，如果抽取样本的
方法得当，一般样本能客观地反映总体的情况，抽样调查的结果会比较接近总
体的情况，否则抽样调查的结果往往会偏离总体的情况．
3
全面调查和抽样调查是收集数据的两种方法．全面调查收集到的数据
全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．抽
样调查具有花费少、省时省力的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直
接关系到对总体估计的准确程度．
１．在一次试验中，为了估算５００块大小相同的试验田中海水稻的产量，通
过简单随机抽样的方法抽取了５０块试验田进行测产．指出这项抽样调
查的总体、个体、样本和样本容量．
２．为了解全校同学的平均身高，某同学调查了座位在自己旁边的３名同
学，把他们身高的平均值作为全校同学平均身高的估计．
（１）这项调查是抽样调查吗？
（２）这项调查结果能较好地反映总体的情况吗？如果不能，请说明理由．
３．七年级 （１）班要选３名同学代表全班参加班级之间的交流活动．现在
按下面的办法抽取：
第十二章 数据的收集、整理与描述１５５把全班同学的姓名分别写在没有明显差别的小纸片上，把纸片混放在
一个盒子里，充分搅拌后，随机抽取３张，按照纸片上所写的名字选取
３名同学．
你觉得上面的抽取过程是简单随机抽样吗？为什么？
４．在以下调查中，哪些适宜用全面调查，哪些适宜用抽样调查？
（１）了解全班同学的身高情况；
（２）调查超市售卖的草莓农药残留是否超标；
（３）选出学校短跑最快的学生参加全市比赛；
（４）调查某批次汽车的抗撞击能力．
请以小组为单位，合作解决下面的问题．
问题３ 比较你所在学校三个年级同学的平均体重：
（１）制订调查方案，并实施调查；
（２）根据收集到的数据，分析出每个年级同学的平均体重，并用折线图表
示平均体重随年级增加的变化趋势；
（３）每组安排一位代表向全班介绍本组完成上述任务的情况，并进行比较
和评议．
１．对全国人民作 “你认同的低碳生活方式”的民意调查，下面是三名同
学设计的调查方法：
同学甲：可以把要调查的问题放到访问量很大的网站上．
同学乙：可以在所住的小区门口随机调查一些居民．
同学丙：只要在班上调查一些同学就可以了．
上面三名同学能获得比较准确的民意调查结果吗？为什么？
２．一名学生想了解全校同学的家庭用电量情况，调查了本校家住光明小
区的５０名同学的家庭月均用电量，并把这５０个家庭月均用电量的平均
数作为全校同学家庭月均用电量的平均数的估计值，你觉得合理吗？
若不合理，请说明理由，并设计一个抽样调查的方案．
１５６第十二章 数据的收集、整理与描述３．你的脉搏是一分钟多少次？测量一下．你认为一次测量所得的数据能代
表一般情况吗？为什么？请设计一个能够较准确地反映你脉搏的测量
方案．
１．两名同学在作统计调查时，使用了下面两种提问方式，哪一种较好？为什么？
（１）难道你不认为科幻片比纪录片更有意思吗？
（２）你更喜欢哪一类电影，科幻片还是纪录片？
２．要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中
最合适的是 （ ）．
（Ａ）随机选取一个班的学生 （Ｂ）随机选取一个体育队的学生
（Ｃ）在全校女生中随机选取１００人 （Ｄ）在全校学生中随机选取１００人
３．一家茶饮店为了选出最受顾客欢迎的饮料，在某个星期日对光顾本店的前５０
位顾客进行了调查．结果显示，超过一半的顾客都认为柠檬茶是自己最爱喝的
饮料．这是否意味着大多数光顾这家店的顾客都最喜欢喝柠檬茶？为什么？
４．下列调查中，哪些适宜用全面调查，哪些适宜用抽样调查？
（１）了解全班同学每周课余用于阅读的平均时间；
（２）调查市场上某品牌花生油的真菌毒素含量是否符合食品安全国家标准；
（３）检测鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数；
（４）调查某车间２０名职工对安全生产知识的了解情况．
５．为了解全班同学的出生月份分布情况，需对全班同学进行调查，请设计调查
问卷进行调查，并用表格整理数据．
６．学校准备购买一批演出服，供学生活动时借用．七年级 （１）班的同学随机调
查了全校４０名同学适合的演出服尺码，结果发现：穿Ｓ号的有５人，穿Ｍ号
的有１６人，穿Ｌ号的有１０人，穿ＸＬ号的有５人，穿ＸＸＬ号的有４人．根
据调查结果，你认为七年级 （１）班的同学会为学校购买服装提出什么建议？
第十二章 数据的收集、整理与描述１５７７．下表是２０２１年我国分地区国家级自然保护区的个数统计表．
地区 北京 天津 河北 山西 内蒙古 辽宁 吉林 黑龙江
个数 ２ ３ １４ ８ ２９ １９ ２４ ４９
地区 上海 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南
个数 ２ ３ １１ ８ １７ １６ ７ １３
地区 湖北 湖南 广东 广西 海南 重庆 四川 贵州
个数 ２２ ２３ １５ ２３ １０ ７ ３２ １１
地区 云南 西藏 陕西 甘肃 青海 宁夏 新疆
个数 ２１ １１ ２６ ２１ ７ ９ １５
请将表中各地区国家级自然保护区的个数 （用狓表示）按以下数据段进行分组，
用表格统计各数据段中的地区个数，并说一说国家级自然保护区的分布情况．
狓＜５，５≤狓＜１０，１０≤狓＜１５，１５≤狓＜２０，２０≤狓＜２５，２５≤狓＜３０，
３０≤狓＜３５，３５≤狓＜４０，４０≤狓＜４５，４５≤狓＜５０．
８．一家食品公司为调查新开发的一种点心的咸度是否适中，随机邀请了３６人免
费品尝并评分，结果如下：
Ｃ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ
Ａ 太咸
Ｄ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ｅ Ｃ Ｂ 稍咸
Ｃ 适中
Ｅ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｅ Ｃ Ｂ Ｃ
Ｄ 稍淡
Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ
Ｅ 太淡
请用表格整理上面的数据，画出条形图，并推断
大多数顾客将如何评价这种点心的咸度．
９．为了解全校同学家庭丢弃不可降解塑料袋的情况，请制订调查方案，并实施
调查．根据调查结果，你能估计全校同学家庭一个月内丢弃不可降解塑料袋的
情况吗？
１５８第十二章 数据的收集、整理与描述
瓶子中有多少粒豆子
一个瓶子中装有一些豆子，如何估计这个瓶子中豆子的数目？请同学们通
过小组合作完成下面的活动：
（１）从瓶子中取出一些豆子，记 （２）给这些豆子做上记号；
录这些豆子的粒数犿；
（３）把这些豆子放回瓶子中，充 （４）从瓶子中再取出一些豆子，
分摇匀； 记录这些豆子的粒数狆和其中带有
记号的豆子的粒数狀；
（５）利用得到的数据犿，狆，狀，估计原来瓶子中豆子的粒数狇≈ ；
（６）数出瓶子中豆子的总数，验证你的估计．
上面的试验利用了抽样调查的方法．类似的试验在生产和科研中经常用到．
例如，可以用这种方法估计一个养鱼池中鱼的数目．
首先从鱼池的不同地方捞出一些鱼，在这些鱼的身上做上记号，并记录捞出
的鱼的数目犿，然后把鱼放回鱼池．过一段时间后，在同样的地方再捞出一些鱼，
狀
记录这些鱼的数目狆，数出其中带有记号的鱼的数目狀，把 作为整个鱼池中带有
狆
狆
记号的鱼在鱼的总数中所占的比值．这样就可以估计鱼池里鱼的数目狇≈ ×犿．
狀
第十二章 数据的收集、整理与描述１５９１２．２ 用统计图描述数据
对于收集到的统计数据，在对它们进行整理的基础上，
往往需要根据问题的特点，选择合适的统计图描述数据，直
观形象地反映数据的特征和其中蕴含的信息，从而解决相应
的问题．
１２２１ 扇形图、条形图和折线图
在小学，我们学习过画条形图、折线图描述数据，并认识了扇形图．在上
一节中，我们通过扇形图直观描述了全班同学或全校同学喜爱各类课外活动的
情况，你知道上一节中的扇形图是如何画出来的吗？
我们知道，扇形图用圆代表总体，每一个扇形代表总体中的一部分，通过
扇形的大小反映各个部分占总体的百分比．由于在一个圆内，扇形的大小由它
的圆心角确定，因而只要根据各部分占总体的百分比求出圆心角的度数，就可
以画出各部分对应的扇形．
例如，画图１２．１３的扇形图时，首先按各类课外活动
所占的百分比，计算出对应扇形的圆心角度数，如 “文学”
36e
47e
对应扇形的圆心角为３６０°×１３％≈４７°．同样可以计算出 97e 65e
115e
“科技”“体育”“艺术”“劳技”对应扇形的圆心角分别约
为６５°，１１５°，９７°，３６°．然后根据各圆心角的度数，在一个
图１２．２１
圆中画出各个扇形 （图１２．２１），并注明各类别的名称及其
相应的百分比，便得到图１２．１３的扇形图．
体重
例１ 体重指数 （ＢＭＩ）是衡量人体胖瘦程度的常用指标 （ＢＭＩ＝ ）．
身高
２
某公司为了解员工的胖瘦状况，随机抽取了６０名员工的体检数据，计算得到
他们的体重指数数据 （单位：ｋｇ／ｍ２ ），如表１２．２１所示．
请选择合适的统计图，表示这个公司６０名员工中各类别体重指数的员工
人数和所占的百分比．同时说一说从绘制的统计图中，能获得哪些信息．
１６０第十二章 数据的收集、整理与描述表１２２１
２５．２ １７．９ ２２．２ ２３．３ ２９．０ ２１．４ １８．０ １９．２
２１．０ １７．５ １８．９ ２２．９ ２７．２ ２１．２ １８．８ １８．３
ＢＭＩ（犿） 分类
２０．７ １６．７ １８．４ １７．５ ２２．３ ２２．１ ２４．１ ２０．０
犿＜１８．５ 体重过低
３４．６ １７．４ ２１．２ ２２．５ ２６．１ ２１．５ ２０．８ １９．４
１８．５≤犿＜２４．０ 体重正常
２０．８ １７．５ １８．８ ２２．６ ２７．０ １９．１ ２４．４ ２３．８
２４．０≤犿＜２８．０ 超重
２１．７ ２２．１ １９．５ ２３．７ ２３．７ ２１．４ １９．７ １９．３
犿≥２８．０ 肥胖
２３．４ ２９．１ ２３．２ ２７．６ ２３．８ ２３．９ ２３．５ ３１．０
１８．４ ２３．９ ２３．４ ３１．０
分析：可以先借助表格，统计各类别体重指数的员工人数和所占的百分
比．为了清楚地表示各类别中的人数，可以绘制条形图；为了直观地表示各类
别中的人数所占的百分比，可以绘制扇形图．
解：根据表１２．２１中的数据，统计出这个公司６０名员工的体重指数情况，
如表１２．２２所示．
表１２２２
分类 划记 人数 百分比
体重过低 正正 １０ １６．７％
体重正常 正正正正正正正 ３８ ６３．３％
超重 正 ７ １１．７％
肥胖 正 ５ ８．３％
合计 ６０ １００％
分别画出条形图 （图１２．２２）和扇形图 （图１２．２３），表示这个公司各类
别体重指数的员工人数和所占的百分比．
40 38
35 8.3
30 16.7
25 11.7
20
15
10
10 7 63.3
5
5
0
图１２．２２ 图１２．２３
第十二章 数据的收集、整理与描述１６１从图１２．２２和图１２．２３中可以看出，这个公司６０
从图１２．２２和图
名员工中体重正常的人数最多，有３８人，所占百分比
１２．２３中，你还能推
为６３．３％；体重过低的人数次之，有１０人，所占百分 断出这个公司员工胖
比为１６．７％；超重的有７人，所占百分比为１１．７％； 瘦程度的什么信息？
肥胖的人数最少，有５人，所占百分比为８．３％．
由此可以推断这个公司员工的胖瘦状况．例如，这个公司大多数员工的体
重正常，但仍有大约８％的员工肥胖，需要引起注意．
１．七年级的所有学生都参加了社团活动，因条件限制，每名学生都只能
加入一个社团．李明对全年级同学参加社团活动的情况进行了一次调
查．如图是根据李明的调查数据绘制的不完整的统计图，请根据图中信
息，回答下列问题，并将统计图补充完整．
90
80
80
70
60 .
60
50
40 40 40 1).
30 7C.
20
20
10 4 .
10
0
. 1). 7C. 4 . . /
（第１题）
（１）七年级共有多少名学生？
（２）七年级有多少名学生参加篮球社？
（３）七年级参加美术社的学生人数占全年级总人数的百分比是多少？
２．某学校全体学生来自青山、绿水、向阳三个村庄，其人数比为１∶２∶２．
（１）如果有２０人来自青山村，那么这所学校共有多少名学生？
（２）用扇形图表示来自三个村庄的学生数所占的百分比．
３．张华家下个月各项消费支出的预算额如下表所示．请选择合适的统计
图，描述张华家下个月各项支出的预算额占总预算额的百分比．
类别 食品 住房贷款 教育 交通 衣着 医疗 生活用品及水、电费 其他
预算额／元２１００ １７５０ １１００ ５５０ ３５０ ５００ ３５０ ３００
１６２第十二章 数据的收集、整理与描述接下来，我们进一步学习用条形图和折线图描述数据．
例２ 表１２．２３是２０１３—２０２２年我国货物出口总额与进口总额的数据．请
选择合适的统计图，描述这十年我国货物进、出口总额的变化情况，并对它们
进行比较．
表１２２３ ２０１３—２０２２年我国货物进、出口总额
年份 ２０１３ ２０１４ ２０１５ ２０１６ ２０１７
货物出口总额／亿元 １３７１３１ １４３８８４ １４１１６７ １３８４１９ １５３３０９
货物进口总额／亿元 １２１０３８ １２０３５８ １０４３３６ １０４９６７ １２４７９０
年份 ２０１８ ２０１９ ２０２０ ２０２１ ２０２２
货物出口总额／亿元 １６４１２９ １７２３７４ １７９２７９ ２１４２５５ ２３７４１２
货物进口总额／亿元 １４０８８１ １４３２５４ １４２９３６ １７３１５９ １８０６００
分析：折线图用折线的上升或下降表示数据的增减变化情况，有利于描述
数据的发展趋势；条形图能直观地表示各个数据的大小，便于比较数据．因
此，可以绘制折线图或条形图描述这十年我国货物进、出口总额各自的变化情
况．而要比较货物出口总额和进口总额，则可以把它们表示在同一幅统计图
中，绘制复合折线图或复合条形图．
解：可以绘制复合折线图描述表１２．２３中的数据，如图１２．２４所示．
250 000
200 000
150 000
100 000
50 000
0
1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
图１２．２４
也可以绘制复合条形图描述表１２．２３中的数据，如图１２．２５所示．
第十二章 数据的收集、整理与描述１６３
250 000
200 000
150 000
100 000
50 000
0
1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
图１２．２５
从图１２．２４或图１２．２５中可以看出，除２０１５、２０１６年外，２０１３—２０２２年
这十年间，我国的货物出口总额与进口总额基本上都保持逐年增长的趋势，而
且每年的出口总额都大于进口总额．
5
比较扇形图、条形图和折线图，它们在描述数据方面各有什么特点？
１．我国可再生能源发展不断实现新突破．下表是２０１３—２０２２年我国安装
完毕并投入使用的风力和太阳能发电装机容量．请选择合适的统计图表
示这两组数据，并说一说从图中读到的信息．
年份 ２０１３ ２０１４ ２０１５ ２０１６ ２０１７
风力发电／万千瓦 ７６５２ ９６５７ １３０７５ １４７４７ １６３２５
太阳能发电／万千瓦 １５８９ ２４８６ ４２１８ ７６３１ １２９４２
年份 ２０１８ ２０１９ ２０２０ ２０２１ ２０２２
风力发电／万千瓦 １８４２７ ２０９１５ ２８１６５ ３２８７１ ３６５６４
太阳能发电／万千瓦 １７４３３ ２０４１８ ２５３５６ ３０６５４ ３９２６８
２．下表记录了２０１６—２０２２年我国九年义务教育巩固率、高中阶段毛入学
率和高等教育毛入学率的情况．请选择合适的统计图描述这三组数据，
并说一说从图中读到的信息．
１６４第十二章 数据的收集、整理与描述年份 ２０１６ ２０１７ ２０１８ ２０１９ ２０２０ ２０２１ ２０２２
九年义务教育巩固率／％ ９３．４ ９３．８ ９４．２ ９４．８ ９５．２ ９５．４ ９５．５
高中阶段毛入学率／％ ８７．５ ８８．３ ８８．８ ８９．５ ９１．２ ９１．４ ９１．６
高等教育毛入学率／％ ４２．７ ４５．７ ４８．１ ５１．６ ５４．４ ５７．８ ５９．６
１２２２ 直方图
我们学习了条形图、扇形图和折线图等
描述数据的统计图，下面介绍另一种常用来
描述数据的统计图．
问题１ 为了举办运动会，学校准备从七
年级学生中挑选身高接近的４０人组成入场式
仪仗队．有６３人报名参加选拔，他们的身高
（单位：ｃｍ）数据如表１２．２４所示．
表１２２４
１５８ １５８ １６０ １６８ １５９ １５９ １５１ １５８ １５９
１６８ １５８ １５４ １５８ １５４ １６９ １５８ １５８ １５８
１５９ １６７ １７０ １５３ １６０ １６０ １５９ １５９ １６０
１４９ １６３ １６３ １６２ １７２ １６１ １５３ １５６ １６２
１６２ １６３ １５７ １６２ １６２ １６１ １５７ １５７ １６４
１５５ １５６ １６５ １６６ １５６ １５４ １６６ １６４ １６５
１５６ １５７ １５３ １６５ １５９ １５７ １５５ １６４ １５６
选择身高在哪个范围的学生参加呢？
为了使选取的仪仗队队员的身高看起来比较整齐，需要知道数据 （身高）
的分布情况，即在哪些身高范围的同学比较多，哪些身高范围的同学比较少．
为此，可以通过对这些数据适当分组来进行整理．
１．计算最大值与最小值的差
在表１２．２４的数据中，最大值是１７２，最小值是１４９，最大值与最小值的
差是２３，说明身高的变化范围是２３．
２．决定组距和组数
把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点间的距离 （组内数据的取值
第十二章 数据的收集、整理与描述１６５范围）称为组距．根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同．在本问题中，
我们作等距分组，即令各组的组距相同．如果从最小值起每隔３作为一组，那
么由于
最大值－最小值 ２３ ２
＝ ＝７ ，
组距 ３ ３
所以要将数据分成８组：１４９≤狓＜１５２，１５２≤狓＜１５５，…，１７０≤狓＜１７３，其
中狓表示身高值．这里组距和组数分别为３和８．
组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经
对于本节问题１中的
验和所研究的具体问题来决定．将一批数据分组，
数据，你能举出其他分组
一般数据越多，分的组数也越多．当数据在１００个 的例子吗？
以内时，按照数据的多少，常分成５～１２组．
３．列频数分布表
对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫作频
数．整理可得下面的频数分布表：
表１２２５ 频数分布表
身高分组 划记 频数 身高分组 划记 频数
１４９≤狓＜１５２ ２ １６４≤狓＜１６７ 正 ８
１５２≤狓＜１５５ 正 ６ １６７≤狓＜１７０ ４
１５５≤狓＜１５８ 正正 １２ １７０≤狓＜１７３ ２
１５８≤狓＜１６１ 正正正 １９ 合计 ６３
１６１≤狓＜１６４ 正正 １０
４．画频数分布直方图
如图１２．２６，为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据表１２．２５
画出频数分布直方图 （ｈｉｓｔｏｇｒａｍ）．
7
6
5
4
3
2
1
0 149 152 155 158 161 164 167 170 173 cm
图１２．２６
１６６第十二章 数据的收集、整理与描述在图１２．２６中，横轴表示身高，纵轴表示频数与组距的比值．容易看出，
频数
小长方形面积＝组距× ＝频数．
组距
由此可见，频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的
频数的大小，小长方形的高是频数与组距的比值．
等距分组时，各小长方形的面积 （频数）与高的比是常数 （组距）．因此，
画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高
表示频数．例如，图１２．２６表示的等距分组问题通常用图１２．２７的形式表示．
20
15
10
5
0 149 152 155 158 161 164 167 170 173 cm
图１２．２７
从表１２．２５和图１２．２７中可以看出，身高在１５５≤狓＜１５８，１５８≤狓＜１６１，
１６１≤狓＜１６４三个组的人数最多，共有１２＋１９＋１０＝４１ （人）．因此，可以从身
高在１５５ｃｍ至１６４ｃｍ （不含１６４ｃｍ）范围的同学中挑选仪仗队队员．
/
上面对数据进行分组时，组距取３，把数据分成８组．如果组距取２
或４，那么数据分成几个组？这样能否选出需要的４０名同学呢？
１．如图反映了七年级 （１）班全班同学
M
从家到学校所需的平均时间，请根据 U*U
17
直方图回答下列问题： 14
（１）七年级 （１）班一共有多少名同学？
5
（２）从家到学校所需的平均时间在哪
2
个范围的同学最多？哪个范围的 0 10 20 30 40 50 60Kmin
（第１题）
同学最少？
第十二章 数据的收集、整理与描述１６７（３）你还能从图中获得什么信息？
２．菲尔兹奖是国际上享有崇高声誉的数学奖项，每４年评选一次，主要授
予为数学发展作出杰出贡献的年龄不超过４０岁的年轻数学家．下面是
截至２０２２年菲尔兹奖得主获奖时的年龄：
２９ ３９ ３５ ３３ ３９ ２８ ３３ ３５ ３１ ３１ ３７ ３２ ３８
３６ ３１ ３９ ３２ ３８ ３７ ３４ ２９ ３４ ３８ ３２ ３５ ３６
３３ ２９ ３２ ３５ ３６ ３７ ３９ ３８ ４０ ３８ ３７ ３９ ３８
３４ ３３ ４０ ３６ ３６ ３７ ４０ ３１ ３８ ３８ ４０ ４０ ３７
３５ ４０ ３９ ３７ ３０ ４０ ３４ ３６ ３６ ３９ ３５ ３７
请根据下面不同的分组方法列出频数分布表，画出频数分布直方图，比
较哪一种分组能更好地说明菲尔兹奖得主获奖时的年龄分布．
（１）组距是２，各组是２８≤狓＜３０，３０≤狓＜３２，…；
（２）组距是５，各组是２５≤狓＜３０，３０≤狓＜３５，…；
（３）组距是１０，各组是２０≤狓＜３０，３０≤狓＜４０，…．
在工农业生产和科学试验中，也常用直方图描述数据的频数分布情况．
例３ 为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了１００根
麦穗，量得它们的长度 （单位：ｃｍ）如表１２．２６所示．
表１２２６
６．５ ６．４ ６．７ ５．８ ５．９ ５．９ ５．２ ４．０ ５．４ ４．６
５．８ ５．５ ６．０ ６．５ ５．１ ６．５ ５．３ ５．９ ５．５ ５．８
６．２ ５．４ ５．０ ５．０ ６．８ ６．０ ５．０ ５．７ ６．０ ５．５
６．８ ６．０ ６．３ ５．５ ５．０ ６．３ ５．２ ６．０ ７．０ ６．４
６．４ ５．８ ５．９ ５．７ ６．８ ６．６ ６．０ ６．４ ５．７ ７．４
６．０ ５．４ ６．５ ６．０ ６．８ ５．８ ６．３ ６．０ ６．３ ５．６
５．３ ６．４ ５．７ ６．７ ６．２ ５．６ ６．０ ６．７ ６．７ ６．０
５．５ ６．２ ６．１ ５．３ ６．２ ６．８ ６．６ ４．７ ５．７ ５．７
５．８ ５．３ ７．０ ６．０ ６．０ ５．９ ５．４ ６．０ ５．２ ６．０
６．３ ５．７ ６．８ ６．１ ４．５ ５．６ ６．３ ６．０ ５．８ ６．３
１６８第十二章 数据的收集、整理与描述列出样本的频数分布表，画出频数分布直方图，并估计这种大麦穗长的分
布情况．
解：（１）计算最大值与最小值的差．
在样本数据中，最大值是７．４，最小值是４．０，它们的差是
７．４－４．０＝３．４．
（２）决定组距与组数．
在本例中，最大值与最小值的差是３．４．如果取组距为０．３，那么由于
３．４ １
＝１１ ，
０．３ ３
所以可以分成１２组，组数适合．于是取组距为０．３，组数为１２．
（３）列频数分布表．
表１２２７
分组 划记 频数 分组 划记 频数
４．０≤狓＜４．３ １ ６．１≤狓＜６．４ 正正 １３
４．３≤狓＜４．６ １ ６．４≤狓＜６．７ 正正 １１
４．６≤狓＜４．９ ２ ６．７≤狓＜７．０ 正正 １０
４．９≤狓＜５．２ 正 ５ ７．０≤狓＜７．３ ２
５．２≤狓＜５．５ 正正 １１ ７．３≤狓＜７．６ １
５．５≤狓＜５．８ 正正正 １５ 合计 １００
５．８≤狓＜６．１ 正正正正正 ２８
（４）画频数分布直方图，如图１２．２８所示．
30
25
20
15
10
5
0 4.0 4.3 4.6 4.9 5.2 5.5 5.8 6.1 6.4 6.7 7.0 7.3 7.6 cm
图１２．２８
从表１２．２７和图１２．２８看到，麦穗长度大部分落在５．２ｃｍ至７．０ｃｍ （不
第十二章 数据的收集、整理与描述１６９含７．０ｃｍ）的范围，落在其他范围的较少．长度在５．８≤狓＜６．１范围的麦穗根
数最多，有２８根，而长度在４．０≤狓＜４．３，４．３≤狓＜４．６，４．６≤狓＜４．９，
７．０≤狓＜７．３，７．３≤狓＜７．６范围的麦穗根数很少，总共只有７根．由此可以
估计这种大麦穗长主要分布在５．２ｃｍ至７．０ｃｍ （不含７．０ｃｍ）的范围，其中
穗长在５．８ｃｍ至６．１ｃｍ （不含６．１ｃｍ）范围的大麦最多．
5
比较条形图和直方图，它们在描述数据方面各有什么特点？
１．如图，为了解８００ｍ赛跑后学生心率的分布情况，体育老师统计了全
班４８名学生８００ｍ赛跑后一分钟的脉搏次数，并根据收集的数据画出
了频数分布直方图．由于不小心，有一个小长方形被墨水盖住了．你能
根据已有信息把直方图补全吗？
M
16
14
12
10
8
6
4
2
0 130 135 140 145 150 155 160 165 170 6
（第１题）
２．下面是从蔬菜大棚中收集的５０株番茄上的果实个数：
２８ ６２ ５４ ２９ ３２ ４７ ６８ ２７ ５５ ４３
３６ ７９ ４６ ５４ ２５ ８２ １６ ３９ ３２ ６４
６１ ５９ ６７ ５６ ４５ ７４ ４９ ３６ ３９ ５２
８５ ６５ ４８ ５８ ５９ ６４ ９１ ６７ ５４ ５７
６８ ５４ ７１ ２６ ５９ ４７ ５８ ５２ ５２ ７０
请按组距为１０将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图，
并分析这５０株番茄上果实个数分布的情况．
１７０第十二章 数据的收集、整理与描述１２２３ 趋势图
前面，我们用折线图表示了与时间有关的量 （如２０１３—２０２２年我国货物
进、出口总额）的发展趋势．在现实生活中，还经常需要研究更广泛的两个量
之间的关系，如ＧＤＰ随时间的变化趋势、学生体重与身高的关系、商品销售
收入与广告支出的关系等，用什么统计图描述它们之间的关系呢？
问题２ 为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统
计，得到一组卖出的冷饮杯数与当天最高气温的数据，如表１２．２８所示．
表１２２８
最高气温／℃ １２ １３ １７ １９ ２０ ２２ ２４ ２５ ２８
冷饮杯数 ５０ ６９ ７４ ９０ １０８ ９７ １１９ １２５ １５４
你能用统计图描述这家饮品店一天中卖出的冷饮杯数与当天的最高气温之
间的关系吗？
由表１２．２８可以看出，随着最高气温的逐渐升高，饮品店卖出的冷饮杯
数大致呈现逐渐上升的趋势．为了更加清楚地看出冷饮杯数与最高气温之间的
关系，如图１２．２９，用横轴表示最高气温，用纵轴表示冷饮杯数，描出表
１２．２８中各对值 （１２，５０），（１３，６９），…，（２８，１５４）所对应的点．
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
图１２．２９
观察图１２．２９中散点的分布情况，可以发现，这些散点大致落在一条呈
上升趋势的直线附近．
/
如果用一条尽可能靠近所有散点的直线来表示一天卖出的冷饮杯数
与当天最高气温之间的关系，你能试着在图１２．２９中画出这条直线吗？
第十二章 数据的收集、整理与描述１７１如图１２．２１０，有的同学可能会画出这样一条直线，让它经过尽可能多的点．
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
图１２．２１０
如图１２．２１１，有的同学可能会画出这样一条直线，让它两侧的点的个数
大致相等．
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
图１２．２１１
如图１２．２１２，有的同学可能会画出多条直线，然后测量各点到这些直线
的距离和，选取距离和最小的直线作为所求的直线．
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
图１２．２１２
要画出 “尽可能靠近所有散点的直线”，可以有很多种画法，上面的几种
画法都有一定的道理．到了高中，我们将学习计算 “竖直距离”的平方和，当
这个平方和最小时，可以求出一条直线来描述饮品店一天卖出的冷饮杯数与当
１７２第十二章 数据的收集、整理与描述天最高气温之间的关系 （图１２．２１３）．
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
图１２．２１３
像上面这样，用一条线 （直线或曲线）来描述一个量与另一个量之间关系
的统计图，叫作趋势图 （ｔｅｎｄｅｎｃｙｃｈａｒｔ）．
趋势图比较清楚地表示了两个量之间的关系，有利于根据一个量的变化，
预测另一个量的变化趋势．例如，根据图１２．２１３中的趋势图，可以预测当一
天的最高气温为３０°Ｃ时，饮品店卖出的冷饮约为１５５杯．
5
结合具体问题，说一说趋势图在描述数据方面有什么特点．
１．下表记录了８位男生和他们的父亲的身高．用趋势图描述儿子身高与父
亲身高之间的关系，并根据你作的趋势图，估计当父亲身高为１７５ｃｍ
时儿子的身高．
父亲身高／ｃｍ １６５ １６８ １７２ １７４ １７７ １７７ １８０ １８３
儿子身高／ｃｍ １６８ １６９ １７４ １７７ １７６ １７８ １８１ １８２
２．下表是２０１６—２０２２年我国地下水供水量的数据．
年份 ２０１６ ２０１７ ２０１８ ２０１９ ２０２０ ２０２１ ２０２２
地下水供水量／亿立方米 １０５７ １０１７ ９７６ ９３４ ８９３ ８５４ ８２８
用趋势图描述这段时间我国地下水供水量的变化趋势，并预测２０２３年
的地下水供水量．查阅资料，看一看你的预测值与２０２３年的实际值相
差多少．
第十二章 数据的收集、整理与描述１７３
１．学校准备购买一批课外读物．为使课外读物能够满足学生的需求，学校就 “我
最喜爱的课外读物类型”作了一次样本容量为１５０的抽样调查．如图是根据调
查结果绘制的统计图．
60
50
40 35 37
28
20
0
（第１题）
（１）绘制扇形图，表示样本中喜爱各类课外读物的学生所占的百分比；
（２）学校计划购买课外读物４５００册，根据样本数据，估计学校购买多少册科
普类读物比较合理．
２．下面的折线图描述了某地一天的气温变化情况．
32 31
30 30
30 29
28
28 27 27
26
26
24 24
24 23
22
22
20
18
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4
1 1 1 1 1 2 2 2
（第２题）
（１）这一天的最高气温是多少？什么时刻达到最高气温？
（２）这一天的最低气温是多少？什么时刻达到最低气温？
（３）估计这一天７时、１１时、１５时和１９时的气温．
（４）描述这一天气温的变化情况．
１７４第十二章 数据的收集、整理与描述３．下表记录了２０１６—２０２２年我国的汽车销量和新能源汽车销量．
年份 ２０１６ ２０１７ ２０１８ ２０１９ ２０２０ ２０２１ ２０２２
汽车销量／万辆 ２８０２．８２８８７．９２８０８．１２５７６．９２５３１．１２６２７．５２６８６．４
新能源汽车销量／万辆 ５０．７ ７７．７ １２５．６ １２０．６ １３６．７ ３５２．１ ６８８．７
选择合适的统计图，描述这些年我国汽车销量和新能源汽车销量的变化情况，
以及新能源汽车销量在汽车销量中的占比的变化趋势．
４．体育委员统计了全班同学６０秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表．
分组 ６０≤狓＜８０ ８０≤狓＜１００ １００≤狓＜１２０ １２０≤狓＜１４０
频数 ３ ４ １７ ９
分组 １４０≤狓＜１６０ １６０≤狓＜１８０ １８０≤狓＜２００
频数 ８ ６ １
根据频数分布表回答下列问题：
（１）这个班有多少名同学？
（２）组距是多少？组数是多少？
（３）跳绳次数在１２０≤狓＜１６０范围的同学有多少？占全班人数的百分之几？
（４）画出适当的统计图表示频数分布表中的信息．
（５）你怎样评价这个班的跳绳成绩？
５．绿水村经过五年的乡村振兴发展，年经济收入翻了两番．五年前和现在，绿水
村的年经济收入中 “种植收入”“养殖收入”“第三产业收入”和 “其他收入”
的占比情况分别如图 （１）（２）所示．
6
11
24
38
56
27
30
8
（第５题）
读图并回答下列问题：
（１）哪些项目的收入增长了，哪些项目的收入减少了，与五年前相比分别增
长或减少了多少？
第十二章 数据的收集、整理与描述１７５（２）按现在的趋势，什么产业可能成为绿水村的支柱产业 （即年经济收入中
占比最多的产业）？为什么？
６．据统计，Ａ，Ｂ两省人口总数基本相同．某年Ａ省的城镇在校初中学生人数为
１５０万，乡村在校初中学生人数为１３万；Ｂ省的城镇在校初中学生人数为２１１万，
乡村在校初中学生人数为４０万．李明根据这些数据画出下面两种复合条形图．
300
250 250
200 200
150 150
100 100
50 50
0 0
A B A B
（第６题）
（１）哪种图能更好地反映两省在校初中学生总人数？
（２）哪种图能更好地比较Ａ （或Ｂ）省城镇与乡村在校初中学生人数？
（３）说一说这两种图的特点．
７．一个面粉批发商统计了前４８个星期的销售量 （单位：ｔ）：
２４．４ １９．１ ２２．７ ２０．４ ２１．０ ２１．６ ２２．８ ２０．９ ２１．８ １８．６ ２４．３ ２０．５
１９．７ ２３．５ ２１．６ １９．８ ２０．３ ２２．４ ２０．２ ２２．３ ２１．９ ２２．３ ２１．４ １９．２
２３．５ ２０．５ ２２．１ ２２．７ ２３．２ ２１．７ ２１．１ ２３．１ ２３．４ ２３．３ ２１．０ ２４．１
１８．５ ２１．５ ２４．４ ２２．６ ２１．０ ２０．０ ２０．７ ２１．５ １９．８ １９．１ １９．１ ２２．４
将数据适当分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图，并分析这个面粉
批发商每星期购进面粉多少吨比较合适．
８．下表是２０１３—２０２２年我国的ＧＤＰ数据．用趋势图描述我国这段时间ＧＤＰ的
发展趋势，并根据作出的趋势图，预测我国２０２３年的ＧＤＰ数值．查阅资料，
看一看你的预测值与２０２３年ＧＤＰ的实际值相差多少．
年份 ２０１３ ２０１４ ２０１５ ２０１６ ２０１７
ＧＤＰ／亿元 ５９２９６３．２ ６４３５６３．１ ６８８８５８．２ ７４６３９５．１ ８３２０３５．９
年份 ２０１８ ２０１９ ２０２０ ２０２１ ２０２２
ＧＤＰ／亿元 ９１９２８１．１ ９８６５１５．２ １０１３５６７．０１１４９２３７．０１２１０２０７．２
１７６第十二章 数据的收集、整理与描述
９．下表记录了１９９５—２０２０年每隔五年我国高新技术产品的出口额及其在当年商品
出口贸易总额中所占的百分比．请绘制合适的统计图表示我国高新技术产品出口
贸易的发展趋势．
年份 １９９５ ２０００ ２００５ ２０１０ ２０１５ ２０２０
高新技术产品
１０１ ３７０ ２１８２ ４９２４ ６５５２ ７７６３
出口额／亿美元
占商品出口贸易总额
６．８ １４．８ ２８．６ ３１．２ ２８．８ ３０．０
的百分比／％
１０．下表是２０２２年我国分地区城市绿地面积统计表．
地区 北京 天津 河北 山西
面积／ｈｍ２ ９３５５８ ４７７１３ １００５６３ ５８２８８
地区 内蒙古 辽宁 吉林 黑龙江
面积／ｈｍ２ ７１５７３ １５０４６２ ９９４５１ ７４５２７
地区 上海 江苏 浙江 安徽
面积／ｈｍ２ １７２６４７ ３１９７２５ １８９７５７ １３２３６３
地区 福建 江西 山东 河南
面积／ｈｍ２ ９１０８８ ８０５６０ ２８０６５０ １３５１７０
地区 湖北 湖南 广东 广西
面积／ｈｍ２ １１７９８５ ９９４３９ ５３９６０４ ８１２３６
地区 海南 重庆 四川 贵州
面积／ｈｍ２ １９６８３ ７６５８４ １４３４５９ １００４８７
地区 云南 西藏 陕西 甘肃
面积／ｈｍ２ ６３２７０ ６８５８ ８０２６９ ３２８３４
地区 青海 宁夏 新疆
面积／ｈｍ２ ９１６０ ２６４１８ ９０６３９
根据上面提供的数据，分析２０２２年这些地区的城市绿地面积的分布情况．
第十二章 数据的收集、整理与描述１７７
利用信息技术工具画统计图
利用信息技术工具画统计图不但快捷方便，而且画出的统计图标准、美观．
能画统计图的信息技术工具有专门的统计软件，如Ｒ、ＳＰＳＳ、ＳＡＳ等；也有具
有一定统计功能的软件，如电子表格、ＧｅｏＧｅｂｒａ、网络画板等；还有图形计算
器等．
下面以绘制图１２．２６中的直方图为例，简单介绍一下用某计算机软件画统
计图的操作过程．
１．输入数据
将表１２．２４中的数据输入，形成列表ｌ１．
２．设置起点和组距
在输入栏输入命令 “组限（ｌ１，１４９，ｄ）”，其中数值１４９代表起点，ｄ代表组
距，点击回车键，就创建了ｄ的一个滑动条，同时在 “代数区”会出现列表ｌ２．
这时右键点击滑动条，可在 “属性”中设置ｄ的变化范围和增量，如设置范围
为１≤ｄ≤５，增量为０．５（图１）．
图１
３．画直方图
在输入栏输入命令 “直方图（ｆａｌｓｅ，ｌ２，ｌ１，ｔｒｕｅ）”，点击回车键，即可得到一
个直方图．
１７８第十二章 数据的收集、整理与描述４．改变组距
拖动滑动条使ｄ＝３，即可得到图１２．２６中的直方图 （图２）．
图２
利用信息技术工具，不仅能画直方图，还可以画条形图、扇形图和折线图
等其他类型的统计图．请利用信息技术工具画出条形图１２．１１和扇形图１２．１２．
注意：不同软件或同一软件的不同版本，其具体操作可能不同．
第十二章 数据的收集、整理与描述１７９︽
关
于
死
亡
表
的
自
然
的
和
政
治
的
考
察
︾
书
影
１７世纪，英国学者格兰特通过整理和分析有关死亡
原因的公报中庞大的数据，对当时伦敦的人口问题作了一
些论断，于１６６２年出版了 《关于死亡表的自然的和政治
的考察》，这对后世统计学发展有重大影响．
１８９４年，统计学家凯尔在挪威作
关于退休金和疾病保险金调查时，将人
口按城市和乡村进行 “分层”，然后在
1 2 3
各层中按照比例抽取样本，这就是 “代
表性抽样”．
1 2 3 1 3
由部分推断整体就会产生误差，
１９世纪的人们质疑抽样调查的可信性．
１９０６年，统计学家鲍利系统地说明了 1 2 3 2 1
如何测定抽样误差．经过几十年的努
力，抽样调查的方法最终被公众接受．
1 2 3
１８０第十二章 数据的收集、整理与描述“大数据”正在改变世界，
正在改变人们的思维模式和行为
方式……如今，计算机的发展使
需要大量计算的统计方法得以实
现，统计学仍然在发展中……
１８９９年，酿酒师戈塞特为了研究原料及生
产条件与啤酒质量的关系，需要分析酿酒过程中
的数据．由此，他开启了一个全新的课题———人
为试验下得到的少量数据的小样本统计问题．
随着小样本理论进一步完善和发展，统计分
析研究的范围进一步扩大，统计学的发展也迈上
了新台阶．
１８７０年，高尔顿开始用统计方法研
究遗传学，例如，他发现子女的平均身
高有向所有成年子女平均身高 “回归”
的倾向．相关研究促进统计学取得了突破
性进展———回归和相关的发现和发展．这
选自高尔顿１８８６年发表的论文
不仅提供了一种重要的统计方法，而且
《遗传身高向平均身高的回归》
为２０世纪统计方法的发展提供了契机．
第十二章 数据的收集、整理与描述１８１
"@) + CP
通过小组合作完成下列活动：
根据本班人数准备相同数量的小纸片，这些小纸片没有明显差别．
１．调查并记录全班每名同学的身高，分别写在不同小纸片上，算出
全班同学的平均身高，然后把所有的小纸片放在一个纸盒里．
２．充分搅拌盒中的纸片，随机抽取出１５张纸片作为一个样本，计算
纸片上数字的平均值，将抽取的纸片放回纸盒．
３．比较样本平均身高和全班平均身高，谈谈你对这个结果的看法．
４．重复上述步骤２若干次，把每次求得的样本平均身高和全班平均
身高作比较，你有什么发现？
"A+
准备一把带刻度的直尺，和一位同学合作来测量反应速度．
第一步：伸出一只手，拇指和其余四
指分开；
第二步：让同伴把直尺直立，刻度０
在下方，拿到你的拇指和四指之间，使刻
度０的位置与拇指在同一高度，然后松手，
你要以最快的速度抓住直尺；
第三步：记录手抓在直尺上的刻度犾
（单位：ｃｍ）；
第四步：重复试验１０次，记录并整理
试验所得数据．
在１０次试验中，所得犾的最大值、最小值和平均值各是多少？犾的值
与反应速度有什么关系？与你的同伴对调，并重复上面的过程，看谁的反
应速度快．
１８２第十二章 数据的收集、整理与描述
为了更好地了解周围世界，经常需要有目的地收集一些数据，然后
用统计图表整理和描述数据，发现数据中蕴含的信息，再根据现有信息
作出合理推断和预测．这一过程不仅有助于具体问题的解决，也可以培养
数据观念．
本章我们学习了两种收集数据的方法———全面调查和抽样调查．全面
调查考察全体调查对象，抽样调查只考察部分调查对象．因为抽样调查是
根据样本来推断总体，所以在设计抽样方案时，要注意样本对总体的代
表性．简单随机抽样是一种基本且实用的抽样方法，它要求总体中的每一
个个体都有相等的机会被抽到．
利用统计图表等整理和描述数据，有利于发现和探索数据中蕴含的
规律，获取数据中的信息．不同的统计图在描述数据时有不同的特点，应
根据实际问题的需要选用合适的统计图描述数据．条形图、扇形图一般用
来描述分类数据．条形图直观地显示了每个类别数据的大小，利用它容易
比较各类别数据之间的差距；扇形图显示了每个类别数据占总数的百分
比，利用它容易看出各类别数据相对总数的大小，以及各类别数据之间
的相对大小．折线图常用于描述随时间变化的数据，它能够显示不同时刻
第十二章 数据的收集、整理与描述１８３的数据，利用它容易看出数据随时间的变化趋势．直方图一般用来描述连
续分组数据，通过对数据分组，显示数据取值的分布，利用它容易从整
体上把握数据分布的特点．趋势图可以用来描述两个量之间的关系，利用
它可以根据一个量的变化预测另一个量的变化趋势．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．什么是全面调查和抽样调查？它们各有什么优缺点？哪些情况下
宜用全面调查？哪些情况下宜用抽样调查？
２．为什么抽样调查可以作为了解总体的方法？为了使样本对总体有
较好的代表性，抽样时需要注意什么？
３．简单随机抽样有什么特点？用简单随机抽样抽取的样本是否一定
具有代表性？请举例说明．
４．扇形图、条形图、折线图、直方图和趋势图在描述数据方面各有
什么特点？请举例说明如何根据问题的需要选取恰当的统计图表示数据．
１．一家电影院为调查最近上映的电影的受欢迎程度，设计了如下调查问卷，调查
对象是来电影院的人．这个问卷中存在哪些不足？
姓名 年龄
１．今天晚上你看的电影是 ．
２．电影好看吗？（ ）
（Ａ）很好看 （Ｂ）好看 （Ｃ）不好看
３．你买爆米花了吗？（ ）
（Ａ）买了 （Ｂ）没有
４．请用十分制为电影打分，你认为你今晚观看的电影可以打 分．
５．今晚的电影与你看的上一场电影相比怎么样？（ ）
（Ａ）比上一场好看 （Ｂ）差不多 （Ｃ）没有上一场好看
１８４第十二章 数据的收集、整理与描述２．要调查下列问题，应采用全面调查还是抽样调查？说一说理由．
（１）某城市的空气质量；
（２）全国中学生的视力和用眼卫生情况；
（３）某批应聘人员的技术水平；
（４）某池塘中现有鱼的数量．
３．下列调查的样本是否具有代表性？
（１）为了解全校同学喜爱课程的情况，对某班男同学进行调查；
（２）为了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查；
（３）为了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查．
４．校医务室调查了３０名在校七年级男生的体重情况，发现他们的平均体重为
４８ｋｇ，你觉得可以用它作为七年级学生平均体重的估计吗？为什么？
５．为了解全校学生参与家务劳动的情况，某学校开展了 “一周参与家务劳动时间”
的问卷调查，根据收集到的数据，将劳动时间狓（单位：ｍｉｎ）分为Ａ （狓＜６０），
Ｂ （６０≤狓＜９０），Ｃ （９０≤狓＜１２０），Ｄ （狓≥１２０）四组进行统计，并绘制了如图
所示的不完整的条形图和扇形图．请把统计图补充完整，并回答以下问题：
（１）这次一共调查了多少名学生？
（２）若这所学校共有１５００名学生，根据以上调查结果，估计这所学校学生中一
周参与家务劳动时间不少于９０ｍｉｎ的学生大约有多少人．
90
80
70
70 D A
60
50
40 30 C B
30
40 35
20
10
0
A B C D
（第５题）
６．学校想购买一批跑鞋供学生借用．七年级 （１）班的同学负责调查女生的鞋号，
他们从全校各个年级随机抽查了３８名女同学的鞋号，具体数据如下：
３５ ３７ ４１ ３５ ３７ ３６ ３７ ３８ ３６ ３７
３７ ３８ ３５ ３４ ３９ ３５ ４０ ３６ ３７ ３６
３８ ３９ ３７ ３９ ３６ ３５ ３６ ３７ ３８ ３４
４０ ３７ ３５ ３８ ３８ ３６ ３７ ３６
第十二章 数据的收集、整理与描述１８５（１）整理上面的数据，看一看穿不同鞋号的女生各有多少．绘制合适的统计图，
表示穿不同鞋号的女生占调查总人数的百分比．
（２）你认为七年级 （１）班的同学会为学校购买女生的运动鞋提出什么建议？
７．下表记录了２０１３—２０２２年我国高速铁路营业里程和客运量的数据．
年份 ２０１３ ２０１４ ２０１５ ２０１６ ２０１７
营业里程／ｋｍ １１０２８ １６４５６ １９８３８ ２２９８０ ２５１６４
客运量／万人 ５２９６２ ７０３７８ ９６１３９ １２２１２８ １７５２１６
年份 ２０１８ ２０１９ ２０２０ ２０２１ ２０２２
营业里程／ｋｍ ２９９０４ ３５３８８ ３７９２９ ４０１３９ ４２２４１
客运量／万人 ２０５４３０ ２３５８３３ １５５７０７ １９２２３６ １２７５３３
选择合适的统计图，分别表示我国高速铁路营业里程和客运量的变化情况，并
描述从图中读到的信息．
８．某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查．下面是通过
简单随机抽样调查，获得的５０个家庭去年的月均用水量 （单位：ｔ）数据．
３．９ ５．１ ７．７ １１．３ １．５ １１．１ ７．３ ７．９ ５．６ ４．５
１０．７ ２４．８ １１．４ ６．２ １０．１ ２．１ ６．９ １７．５ ３．１ ５．４
２２．２ １８．０ １３．６ １５．９ １６．７ １０．２ ２．０ ４．９ ５．２ １２．０
１２．５ １３．８ ３．５ ５．７ ４．８ ７．１ ６．２ ５．９ ３．４ ８．９
２．４ １４．４ ４．２ ６．４ ６．８ ７．３ ５．５ ９．７ ８．３ １９．０
（１）选择合适的组距和组数，列出样本频数分布表，画出频数分布直方图．从直
方图中能得到什么信息？
（２）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按１．５
倍价格收费．若要使６０％的家庭水费支出不受影响，家庭月均用水量应该
定为多少？为什么？
９．在相同的条件下，对同一型号的３０辆汽车进行每百千米耗油试验，结果
（单位：Ｌ）如下：
７．１ ８．１ ７．３ ７．１ ７．８ ７．６ ７．６ ７．４ ６．９ ７．２
７．２ ７．９ ７．６ ７．５ ７．０ ７．２ ７．９ ７．７ ７．６ ７．４
７．４ ７．５ ７．４ ８．３ ８．０ ７．６ ７．４ ７．６ ７．５ ７．９
请统计分析这批汽车的耗油情况．
１８６第十二章 数据的收集、整理与描述１０．通常来说，广告支出越多，商品销售收入越高．下表记录了一家公司某产品的
广告支出与销售收入的数据．
广告支出／万元 １ ２ ４ ５ ７
销售收入／万元 １２ ２０ ２５ ３０ ４０
绘制趋势图描述销售收入随广告支出增加的变化趋势，并预测当广告支出为８
万元时，销售收入是多少．
１１．阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启
发，树立崇高理想，涵养浩然正气．请你设计一个调查方案，了解你所在学校
同学课余阅读的情况，并比较男、女生在阅读爱好和阅读量上是否有差异．
第十二章 数据的收集、整理与描述１８７综合与实践
白昼时长规律的探究
北京天安门广场上，五星红旗每天都
会早晨升起，傍晚降落．有同学可能会问：
天安门广场上，每天国旗的升降旗时刻都
是一样的吗？其实，天安门广场上每天升
降旗的时刻并不是固定不变的，而是根据
北京的日出、日落时刻变动的．根据生活经
验，我们知道：一年四季中白昼时长 （白昼时长是指从日出到日落的时间长
度）并不是固定不变的．那么，一座城市每天的日出、日落时刻有什么规律
呢？下面我们就来共同探究这个问题吧．
１．探究北京白昼时长的变化规律．
２．探究不同纬度、经度地区白昼时长变化规律的差异，并用这些规律解
决一些实际问题．
１．通过报刊、图书、网络等查阅资料，了解二十四节气；收集北京２０２４
年全年日出、日落时刻的数据；收集北京、新疆阿图什、广东揭阳２０２４年
二十四节气日的白昼时长数据．
２．学习如何使用信息技术工具绘制简单的统计图．
探究北京白昼时长的变化规律
通过查阅资料，可以收集到北京２０２４年全年日出、日落时刻的数据．通过
对数据的分析比较，可以发现不少有趣的规律，例如：
（１）１月１２日到６月１１日，日出时刻由７：３６逐渐提前到４：４５，平均每天
１８８综合与实践 白昼时长规律的探究依次提前约１ｍｉｎ８ｓ；
（２）６月１７日到１２月２９日，日出时刻由４：４５又逐渐推迟到７：３６，平均
每天推迟５３ｓ；
（３）１月１日到１月１２日和１２月２９日到１２月３１日，每天的日出时刻大
约为７：３６，６月１１日到６月１７日，每天的日出时刻大约为４：４５．
它们反映了北京日出时刻的部分变化规律．那么，如何较为全面地刻画北
京白昼时长的变化规律呢？我们知道，北京全年的日出、日落时刻数据繁多，
能否选用其中一些具有代表性的数据来刻画呢？
我们知道，二十四节气日是气候变化的节点，北京日出、日落时刻以及白
昼时长与它们可能有着密切联系．二十四节气起源于我国黄河流域，是前人世
代农耕劳作智慧的结晶，是我国传统文化在历法中的体现．二十四节气的名称，
含有气候变化、物候特点和农业生产活动等多种含义 （表１），２０１６年，我国
二十四节气被联合国教科文组织正式列入 《人类非物质文化遗产代表作名录》．
表１ 二十四节气名称的含义
表示寒来暑往四季变化 立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬、冬至
象征气温变化 小暑、大暑、处暑、白露、寒露、霜降、小寒、大寒
反映降水 雨水、谷雨、小雪、大雪
反映物候现象或农事活动 惊蛰、清明、小满、芒种
下面，我们通过北京２０２４年二十四节气日的日出、日落时刻，来探究北
京白昼时长的变化规律．
任务１ 整理数据
利用收集到的北京２０２４年全年日出、日落时刻的数据，计算北京２０２４年
二十四节气日的白昼时长，完成表２．
表２ 北京２０２４年二十四节气日白昼时长
节气 日期 日出时刻 日落时刻 白昼时长
小寒 １月６日 ７：３６ １７：０４ ９ｈ２８ｍｉｎ
大寒 １月２０日
立春 ２月４日
雨水 ２月１９日
惊蛰 ３月５日
综合与实践 白昼时长规律的探究１８９续表
节气 日期 日出时刻 日落时刻 白昼时长
春分 ３月２０日
清明 ４月４日
谷雨 ４月１９日
立夏 ５月５日
小满 ５月２０日
芒种 ６月５日
夏至 ６月２１日
小暑 ７月６日
大暑 ７月２２日
立秋 ８月７日
处暑 ８月２２日
白露 ９月７日
秋分 ９月２２日
寒露 １０月８日
霜降 １０月２３日
立冬 １１月７日
小雪 １１月２２日
大雪 １２月６日
冬至 １２月２１日
任务２ 描述数据
利用信息技术工具绘制出北京２０２４年二十四节气日的日出、日落时刻的
散点图．
任务３ 分析数据
你能推断北京２０２４年日出、日落时刻有什么规律吗？北京２０２４年中哪一
天的白昼最长？这一天是否也是日出最早、日落最晚的一天？北京２０２４年白
昼时长是如何变化的？请用数据和适当的统计图说明．
探究不同纬度、不同经度地区白昼时长的变化规律
每天的日出、日落时刻受地球的自转与公转影响．同一日期，不同地点每天日
出、日落的时刻各不相同；同一地点，日出、日落的时刻也随日期的变化而变化．
为了探究不同纬度和不同经度地区白昼时长的变化规律，我们选择北京
１９０综合与实践 白昼时长规律的探究（基准城市）、新疆阿图什 （与北京纬度大致相同但经度不同）、广东揭阳 （与
北京经度大致相同但纬度不同）三个城市，探究它们白昼时长的变化规律．
任务１ 比较研究
（１）收集北京、新疆阿图什、广东揭阳三地２０２４年二十四节气日的白昼
时长数据．观察这些数据，你能发现这三地的白昼时长是如何变化的吗？请用
适当的统计图说明．
（２）观察统计图，你认为影响白昼时长变化的因素有哪些？这些因素又是
如何影响白昼时长的？
（３）２０２４年这三地的平均白昼时长是多少？这三地的白昼时长是否具有
１２ｈ附近的天数多，其他时长的天数少的特点？请你通过绘制这三地白昼时长
的频数分布直方图，进行比较和分析．
任务２ 日出、日落时刻与正午时刻的关系
当某地太阳高度达到一天中的最大值
时，就是一天的正午时刻．理论上，一个地
区日出、日落时刻相对于当天的正午时刻应
该是 “对称”的 （图１），于是就能得到一个
图１
简单的计算公式：
白昼时长＝（正午时刻－日出时刻）×２＝（日落时刻－正午时刻）×２．
通常情况下，公式中的 “正午时刻”为当地的正午１２时整．根据上述计算
公式，如果已知某地某天的日出时刻或日落时刻，就能推算出当天的白昼时
长；反过来，如果已知此地某天的白昼时长，也能推算出当天的日出时刻与日
落时刻．
（１）根据以上公式，如果某地的白昼时长在某个阶段逐日变得越长时，那
么此地的日出时刻与日落时刻在那个阶段会如何变化？为什么？
（２）类比上述计算方法，如果已知某地后一天的日出时刻或前一天的日落
时刻，如何计算此地这两日之间的黑夜时长？
（３）观察表２收集的北京日出、日落时刻数据，我们发现，日出、日落时
刻并不是关于北京时间正午１２时整对称的 （也就是说，正午时刻不是北京时
间正午１２时整），而是存在一定的误差．请以小组为单位，从报刊、图书、网
络等查阅资料或咨询专业人士，了解造成这种现象的原因．
综合与实践 白昼时长规律的探究１９１有趣的护眼模式 （选做）
近年来，近视已经成为影响青少年健康的重要问题，
而手机、电脑等电子产品是造成青少年近视的主要原因
之一．为了尽量减少使用手机对眼睛带来的伤害，很多手
机在系统里开发了护眼模式，这种护眼模式可以智能地识
别日出、日落时刻．
任务 我们知道，各地每天的日出、日落时刻并不相
同，而手机的使用者可能分布在全国乃至全世界不同的地
方．那么智能手机是如何智能地识别日出、日落时刻的变
化呢？请你查阅相关资料，了解背后的道理吧．
１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小
组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案．
３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规
划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告．
４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，
分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足．
通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成
表、表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师和全班同学一起，通过质
疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价
和教师评价，完成本次综合与实践活动．
１９２综合与实践 白昼时长规律的探究!"#
本套教科书 （七～九年级）由人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材
研究开发中心依据教育部 《义务教育数学课程标准 （２０２２年版）》编写．
本套教科书集中反映了基础教育课程改革的最新成果，总结了上一版 《义务教育
教科书 数学》的编写经验，凝聚了教育专家、学科专家、教材编写人员、教研人员
及一线教师的集体智慧．参加本套教科书统稿的还有薛彬、王光明，参加本册教科书
统稿的还有陈清华，参加本册教科书编写的还有陈晓娣、王翠巧．本套教科书封面设
计由中央美术学院设计团队完成，人民教育出版社设计部制作．本册教科书版式设计
为王俊宏，封面插图绘制为康鲁雷，内文插图绘制为王俊宏、张婷婷、康鲁雷．我们
感谢所有对教科书的编写、审读、试教、出版等提供过帮助与支持的同仁和社会各界
朋友．
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行了联系，
得到了他们的大力支持．新华社、国家卫星气象中心、视觉中国、ＩＣｐｈｏｔｏ、中新图片
和张朝平等为本册教科书提供了图片素材．对此，我们表示衷心的感谢！
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵的意
见和建议．我们将本着精益求精的态度，集思广益，不断修订，努力使教科书日趋
完善．
联系方式
电 话：０１０５８７５８３１９，５８７５８８６６
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中小学教材意见反馈平台：ｊｃｙｊｆｋ．ｐｅｐ．ｃｏｍ．ｃｎ
人民教育出版社 课程教材研究所
