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2015 年贵州省铜仁市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、
C、D四个备选答案．其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应
的答题卡上．
1．（4分）（2015•铜仁市）2015的相反数是（ ）
A．2015 B．﹣2015 C．﹣ D．
2．（4分）（2015•铜仁市）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=2a4 B．2a2×a3=2a6
C．3a﹣2a=1 D．（a2）3=a6
3．（4分）（2015•铜仁市）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如
图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣ x2，当水面离桥拱顶的高度
DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
4．（4分）（2015•铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正
确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．（4分）（2015•铜仁市）请你观察下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心
对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）（2015•铜仁市）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形
的边数是（ ）A．3 B，4 C.5 D.6
7．（4分）（2015•铜仁市）在一次数学模拟考试中，小明所在的学习小组7名同学
的成绩分别为：129，136，145，136，148，136，150．则这次考试的平均数和众数分
别为（ ）
A．145，136 B．140，136 C．136，148 D．136，145
8．（4分）（2015•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角
线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
9．（4分）（2015•铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：
EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
10．（4分）（2015•铜仁市）如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k x+2与x轴交
1
于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点B，连
接B0．若S =1，tan∠BOC= ，则k 的值是（ ）
△OBC 2A．﹣3 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分分，共32分）
11．（4分）（2015•铜仁市）|﹣6.18|= ．
12．（4分）（2015•铜仁市）定义一种新运算：x*y= ，如2*1= =2，则
（4*2）* （﹣1）= ．
13．（4分）（2015•铜仁市）不等式5x﹣3＜3x+5的最大整数解是 ．
14．（4分）（2015•铜仁市）已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab=
．
15．（4分）（2015•铜仁市）已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这
个菱形的面积为 cm2．
16．（4分）（2015•铜仁市）小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，
2，3，4，5，6点，得到的点数为奇数的概率是 ．
17．（4分）（2015•铜仁市）如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点
E，使CE= CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长
为 ．
18．（4分）（2015•铜仁市）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6= ．
二、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题20分，第20、21、22题每小题20分
共40分，要有解题的主要过程）
19．（20分）（2015•铜仁市）（1）﹣ ÷|﹣2 ×sin45°|+（﹣ ）﹣1÷（﹣14× ）
（2）先化简（ + ）× ，然后选择一个你喜欢的数代入求值．
20．（10分）（2015•铜仁市）为了增强学生的身体素质，教育部门规定学生每天参
加体育锻炼时间不少于1小时，为了了解学生参加体育锻炼的情况，抽样调查了
900名学生每天参加体育锻炼的时间，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计
图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）请补充这次调查参加体育锻炼时间为1小时的频数分布直方图．
（2）求这次调查参加体育锻炼时间为1.5小时的人数．
（3）这次调查参加体育锻炼时间的中位数是多少？
21．（10分）（2015•铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F
在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．
求证：AD=CE．22．（2015•铜仁市）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°
的方向，轮船从B处继 续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在
船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向
继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（ ≈1.732）[来源:Zxxk.Com]
四、解答题（共1小题，满分12分）
23．（12分）（2015•铜仁市）2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，
房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，己
知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用
车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬？
（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装
满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？五、解答题（共1小题，满分12分）
24．（12分）（2015•铜仁市）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为
B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线
于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．
六、解答题
25．（14分）（2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交
于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐
标）；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一
个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运
动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，
△MNB面积最大，试求出最大面积．2015 年贵州省铜仁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、
C、D四个备选答案．其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应
的答题卡上．
1．（4分）（2015•铜仁市）2015的相反数是（ ）
A．2015 B．﹣2015 C．﹣ D．
【考点】相反数．.
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边
添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
2015的相反数是：﹣2015．
故选：B．[来源:Z|xx|k.Com]
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在
这个数的前边添加“﹣”
2．（4分）（2015•铜仁市）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=2a4 B．2a2×a3=2a6
C．3a﹣2a=1 D．（a2）3=a6
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．.
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘法、幂的乘方的运算方法，利用排除法求
解．
【解答】解：A、应为a2+a2=2a2，故本选项错误；
B、应为2a2×a3=2a5，故本选项错误；
C、应为3a﹣2a=1，故本选项错误；
D、（a2）3=a6，正确．
故选：D．【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，
熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（4分）（2015•铜仁市）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如
图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣ x2，当水面离桥拱顶的高度
DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
【考点】二次函数的应用．.
【分析】根据题意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答．
【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y=﹣4代入y=﹣ x2，
得x=±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB=20m．
即水面宽度AB为20m．
故选C．
【点评】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，
借助二次函数解决实际问题．
4．（4分）（2015•铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正
确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式．.【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△
的关系是解答此题的关键．
5．（4分）（2015•铜仁市）请你观察下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心
对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心
旋转180度后与原图重合．
6．（4分）（2015•铜仁市）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形
的边数是（ ）
A．3 B，4 C.5 D.6
【考点】多边形内角与外角．.
【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即
可求得这个多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360÷60=6．故选：D．
【点评】此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角
和等于360度是关键．
7．（4分）（2015•铜仁市）在一次数学模拟考试中，小明所在的学习小组7名同学
的成绩分别为：129，136，145，136，148，136，150．则这次考试的平均数和众数分
别为（ ）
A．145，136 B．140，136 C．136，148 D．136，145
【考点】众数；加权平均数．.
【分析】众数的定义求解；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以
不止一个；再利用平均数的求法得出答案．
【解答】解：在这一组数据中136是出现次数最多的，故众数是136；
他们的成绩的平均数为：（129+136+145+136+148+136+150）÷7=140．
故选B．
【点评】此题主要考查了众数以及平均数的求法，此题比较简单注意计算时要认
真减少不必要的计算错误．
8．（4分）（2015•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角
线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．.
【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE
的方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：设ED=x，则AE=8﹣x；
∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=42+（8﹣x）2，
解得：x=5，
∴ED=5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根
据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵
活进行判断、分析、推理或解答．
9．（4分）（2015•铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：
EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即
可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=1=3：4，∴DE：AB=3：4，
∴S ：S =9：16．
△DFE △BFA
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三
角形的面积之比等于相似比的平方
10．（4分）（2015•铜仁市）如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k x+2与x轴交
1
于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点B，连
接B0．若S =1，tan∠BOC= ，则k 的值是（ ）
△OBC 2
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．.
【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然
后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【解答】解：∵直线y=k x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
1
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC=2，
∵S =1，
△OBC
∴BD=1，∵tan∠BOC= ，
∴ = ，
∴OD=3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点B，
∴k =1×3=3．
2
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，
能够求得点B的坐标，难度不大．
二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分分，共32分）
11．（4分）（2015•铜仁市）|﹣6.18|= 6.1 8 ．
【考点】绝对值．.
【分析】一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．一个负数的绝对值是它的相反
数．
【解答】解：﹣6.18的绝对值是6.18．
故答案为：6.18．
【点评】此题考查绝对值问题，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是
它的相反数；0的绝对值是0．
12．（4分）（2015•铜仁市）定义一种新运算：x*y= ，如2*1= =2，则
（4*2）*（﹣1）= 0 ．【考点】有理数的混合运算．.
专题：
新定义．
【分析】先根据新定义计算出4*2=2，然后再根据新定义计算2*（﹣1）即可．
【解答】解：4*2= =2，
2*（﹣1）= =0．
故（4*2）*（﹣1）=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算
应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
13．（4分）（2015•铜仁市）不等式5x﹣3＜3x+5的最大整数解是 3 ．
【考点】一元一次不等式的整数解．.
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条
件的正整数即可．
【解答】解：不等式的解集是x＜4，
故不等式5x﹣3＜3x+5的正整数解为1，2，3，
则最大整数解为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本
题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
14．（4分）（2015•铜仁市）已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab=
﹣ 6 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．.
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得
a=2，b=﹣3，进而可得答案．
【解答】解：∵点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），
∴a=2，b=﹣3，∴ab=﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变
化规律
15．（4分）（2015•铜仁市）已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这
个菱形的面积为 2 4 cm2．
【考点】菱形的性质．.
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
【解答】解：∵一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，
∴这个菱形的面积= ×6×8=24（cm2）．
故答案为：24．
【点评】本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是
解答此题的关键
16．（4分）（2015•铜仁市）小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，
2，3，4，5，6点，得到的点数为奇数的概率是 ．
【考点】概率公式．.
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；
二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：根据题意知，掷一次骰子6个可能结果，而奇数有3个，所以掷到上面
为奇数的概率为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．17．（4分）（2015•铜仁市）如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点
E，使CE= CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长
为 8 ．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．.
【分析】先根据点D是AB的中点，BF∥DE可知DE是△ABF的中位线，故可得出
DE的长，根据CE= CD可得出CD的长，再根据直角三角形的性质即可得出结
论．
【解答】解：∵点D是AB的中点，BF∥DE，
∴DE是△ABF的中位线．
∵BF=10，
∴DE= BF=5．
∵CE= CD，
∴ CD=5，解得CD=4．
∵△ABC是直角三角形，
∴AB=2CD=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并
且等于第三边的一半是解答此题的关键．
18．（4分）（2015•铜仁市）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6= a 6 +6 a 5 b+15 a 4 b 2 +20 a 3 b 3 +15 a 2 b 4 +6a b 5 + b 6 ．
【考点】完全平方公式；规律型：数字的变化类．.
【分析】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b
的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
【解答】解：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
【点评】此题考查数字的规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发
现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
二、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题20分，第20、21、22题每小题20分
共40分，要有解题的主要过程）
19．（20分）（2015•铜仁市）（1）﹣ ÷|﹣2 ×sin45°|+（﹣ ）﹣1÷（﹣14× ）
（2）先化简（ + ）× ，然后选择一个你喜欢的数代入求值．
【考点】分式的化简求值；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.
【分析】（1）分别根据数的开方法则、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算
法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行
计算即可．
【解答】解：（1）原式=﹣2÷|2 × |﹣2÷（﹣ ）
=﹣2÷2﹣2×（﹣2）
=﹣1+4
=3；（2）原式= •
= •
= ，
当x=1时，原式=1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
20．（10分）（2015•铜仁市）为了增强学生的身体素质，教育部门规定学生每天参
加体育锻炼时间不少于1小时，为了了解学生参加体育锻炼的情况，抽样调查了
900名学生每天参加体育锻炼的时间，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计
图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）请补充这次调查参加体育锻炼时间为1小时的频数分布直方图．
（2）求这次调查参加体育锻炼时间为1.5小时的人数．
（3）这次调查参加体育锻炼时间的中位数是多少？
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数．.
【分析】（1）根据时间是2小时的有90人，占10%，据此即可求得总人数，利用总
人数乘以百分比即可求得时间是1小时的一组的人数，即可作出直方图；
（2）总数减去其它各组的人数即可求解；
（3）根据中位数的定义就是大小处于中间位置的数，据此即可求解．
【解答】解：（1）调查的总人数是好：90÷10%=900（人），
锻炼时间是1小时的人数是：900×40%=460（人）．；
（2）这次调查参加体育锻炼时间为1.5小时的人数是：900﹣270﹣360﹣90=180
（人）；
（3）锻炼的中位数是：1小时．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用
统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解
决问题．
21．（10分）（2015•铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F
在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．
求证：AD=CE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．.
专题：
证明题．
【分析】作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明
△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．
【解答】证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：
则∠DGF=∠ECF，
在△DFG和△EFC中， ，
∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，
∴∠A=∠ADG=∠AGD，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD=GD，
∴AD=CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌
握等边三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
22．（2015•铜仁市）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°
的方向，轮船从B处继 续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在
船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向
继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（ ≈1.732）[来源:Zxxk.Com]
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．.
【分析】如图，直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利
用三角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB=BD﹣CD即可列方程，从而求
得AD的长，与170海里比较，确定轮船继续向前行驶，有无触礁危险．
【解答】解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险理由如下：如图所示．
则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．
∴∠CAB=∠ABD，
∴BC=AC=200海里．
在Rt△ACD中，设CD=x海里，
则AC=2x，AD= = = x，
在Rt△ABD中，AB=2AD=2 x，
BD= = =3x，
又∵BD=BC+CD，
∴3x=200+x，
∴x=100．
∴AD= x=100 ≈173.2，
∵173.2海里＞170海里，
∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．
【点评】本题主要考查了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解
直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．
四、解答题（共1小题，满分12分）
23．（12分）（2015•铜仁市）2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，
房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，己
知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用
车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬？
（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装
满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？【考点】分式方程的应用；二元一次方程组的应用．.[来源:学科网ZXXK]
【分析】（1）可设甲种货车每辆车可装x件帐蓬，乙种货车每辆车可装y件帐蓬，
根据等量关系：①甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷；②甲种货车装运
1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等；列出方程组求
解即可；
（2）可设甲种汽车有z辆，乙种汽车有（16﹣z）辆，根据等量关系：这批帐篷有
1490件，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设甲种货车每辆车可装x件帐蓬，乙种货车每辆车可装y件帐蓬，
依题意有
，
解得 ，
经检验， 是原方程组的解．
故甲种货车每辆车可装100件帐蓬，乙种货车每辆车可装80件帐蓬；
（2）设甲种汽车有z辆，乙种汽车有（16﹣z）辆，依题意有
100z+80（16﹣z﹣1）+50=1490，
解得z=6，
16﹣z=16﹣6=10．
故甲种汽车有6辆，乙种汽车有10辆．
【点评】考查了分式方程的应用和二元一次方程组的应用，利用二元一次方程组
求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方
程组表示出来是解题的关键．
五、解答题（共1小题，满分12分）
24．（12分）（2015•铜仁市）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为
B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线
于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．【考点】切线的性质．.
【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE
丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过
等量代换得到结果．
（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式 ，列方程可得结果．
【解答】（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，[来源:学科网]
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE丄AB，
∴∠E=90°，
∴BC= = =5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，∴ ，
∴BC2=CD•CE，
∴CD= = ，
∴OC= = ，
∴⊙O的半径= ．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定
理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
六、解答题
25．（14分）（2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交
于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐
标）；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一
个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，
△MNB面积最大，试求出最大面积．
【考点】二次函数综合题．.
【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；
（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种
情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB= ×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，
运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方
2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3 ，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3 ，∴OP=OC+PC=3+3 或OP=PC﹣OC=3 ﹣3
∴P （0，3+3 ），P （0，3﹣3 ）；
1 2
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P （﹣3，0）；
3
③当BP=BC时，∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P （0，0）；
4
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3 ）或（0，3﹣3 ）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB= ×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，试求出最大面积是1．此时点N
在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等
腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是
解题的关键．
