文档内容
周
测
小
卷
第
10
周测小卷
第 章 数的开方
10
00A?A
11. 解: . 的平方根是 . 算术平方根是
周测1 平方根和立方根
(1)0 81 ±0 9,
. 分
0 9; ……………………………………… (3 )
1. A 【解析】 ∵ 9=3,∴ 9 的算术平方根是 3 . (2)(-6) 2 的平方根是 ±6, 算术平方根是 6 . …
2. A 【解析】负数没有平方根 选项符合题意 正 分
,A ;
……………………………………… (6 )
数有
2
个平方根
,B
选项不符合题意
;0
的立方根 12. 解:
(1)∵ 16
x2
-1=0,
是 选项不符合题意 立方根是它本身的有
0,C ; 1, ∴ 16
x2
=1,
选项不符合题意.
0,-1,D
x2 1
3 ∴ = ,
3. D 【解析】 1 1 选项不符合题意 4 16
= ,A ; =
8 2 9 x 1 分
∴ =± ;………………………………… (4 )
2 4
2 选项不符合题意 1 1 1
,B ; (- ) = = ,C x 3
(2)∵ ( +2) =-8,
3 5 25 5
x
选项不符合题意 3 3 3 ∴ +2=-2,
;- (-2) =- -8 =-(-2)= 2, x . 分
选项符合题意. ∴ =-4 ………………………………… (8 )
D 13. 解: a 的算术平方根为 b 的立方根
4. B 【解析】 x 和 x是一个正数的两个平 (1)∵ -3 1,2 +4
∵ +13 14-2 为
方根 x x 解得 x 3 4,
,∴ +13+14-2 =0, =27,∵ 27 =3, a 2 b 3 x的立方根是 . ∴ -3=1 =1,2 +4=4 =64,
∴ 3 a b 分
5. C 【解析】设绣布的长为 x 宽为 x 根据 ∴ =4, =30,…………………………… (2 )
3 cm, 2 cm, c是正数 且它的一个平方根等于其本身
题意 得 x x x2 x2 x ∵ , ,
, 3 ·2 =294,∴ 6 =294,∴ =49,∴ = c 分
绣布的长大于 x 绣布的长为 ∴ =1;…………………………………… (5 )
±7,∵ 0,∴ = 7,∴ 由 可知 a b c 章
宽为 周长为 . (2) (1) , =4, =30, =1,
21 cm, 14 cm, (21+14)×2=70(cm) a b c
6. B 【解析】设圆形绣布的半径为 r 根据题意 得 ∴ 2 +2 -4 =2×4+2×30-4×1=8+60-4=64, 数
, , 的平方根为
的
∵ 64 ±8,
π r2 = 390,∵ π 取 3,∴ r2 = 130,∴ r = 130, a b c的平方根为 . 分 开
∴ 2 +2 -4 ±8 …………… (8 )
方
14. 解: 正方形绿化区 ABCD 和正方形花园区
∵ 121< 130< 144,∴ 11< 130<12,∵ 130< (1)∵
. 2 . . 的值 EFGC的面积分别为 2 和 2
11 5 =132 25,∴ 11< 130<11 5,∴ 130 900 m 400 m ,
更接近 . BC CG
11 ∴ = 900=30(m), = 400=20(m),
7. 【解析】 3 的立方根是 . BG BC CG
-4 ∵ -64=-4,∴ -64 -4 ∴ = - =30-20=10(m),
8. 【解析】 即n ∴ S 长方形BHFG=10×20=200(m 2 ),
4 ∵ 16< 17< 25,∴ 4< 17<5,
的值为 . 即灌木区面积为 2
200 m ,
4
.
9. 【解析】根据题意 得v df . ∵ 900÷200=4 5,
80 , =16 =16× 10×2 5= 绿化区面积是灌木区面积的 . 倍
该辆车刹车前的行驶速度为 ∴ 4 5 ; ………
16×5=80(km/h),∴
分
. ……………………………………… (6 )
80 km/h 根据题意 得郁金香的占地面积为
10. . 【解析】根据表格可知 (2) ,
(1)0 2,200;(2)25 600 ,
当被开方数扩大为原来的 倍时 它的算术平 1 2
100 , (900-400-200)× =100(m ),
方根就扩大为原来的 倍 当被开方数缩小到 3
10 , 该区域的边长为 . 分
∴ 100=10(m) …… (8 )
原来的 1 时 , 它的算术平方根就缩小到原来的 15. 解: (1) 根据题意 , 得V 魔方=1×18×12=216(cm 3 ),
100
魔方的棱长为 3 分
1 . . a a . ∴ 216=6(cm); ……… (2 )
, ∵ 2 56=1 6, = 160, ∴ = 2 56 × 根据题意可知 上下左右端四个完全相同的
10 (2) ,
. 三角形正好拼成一个边长为 的正方形
10 000=25 600 6 ,
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10
三角形 ABC 为等腰直角三角形 且 S
∴ , 三角形ABC= 无理数 5 3 . 分
: ,- 3, 11 ………………… (6 )
1S 1 5
正方形= ×6×6=9,
4 4 12. 解: 原式 1
(1) =3+(-2)-
设AB AC x 则1 x2 2
∴ = = , =9,
2 1 分
解得x 负值已舍去 = ; ……………………… (3 )
= 18( ), 2
即AC的长为 分 原式
18;……………………… (6 ) (2) = 3+ 2-1-5- 3
由 知 AC . 分
(3) (2) , = 18, = 2-6 ………………………… (6 )
13. 解: 2 2
∵ 16< 18< 25, (1)∵ 5 =25,( 21) =21,25>21,
分
∴ 4< 18<5, ∴ 5> 21; ……………………………… (3 )
3 3 3
∴ 7<3+ 18<8, (2)∵ (-4) =-64,( -60) =-60,-64<-60,
另一顶点C落在 和 之间. 分 3 . 分
∴ 7 8 ……… (10 ) ∴ -4< -60 …………………………… (6 )
周测2 实数 14. 解: 根据题意 得 1 1
(1) , |- |= ,
2 2
1. C 【解析】 1 是分数 属于有理数 选项不符合
, ,A ∵ 9< 12< 16,
4
题意 . 是有限小数 属于有理数 选项 ∴ 3< 12<4,
;3 141 5 , ,B
不符合题意 是无理数 选项符合题意 ∴ -4<- 12<-3,
;- 6 ,C ;
将 个实数在数轴上表示出来如解图所示
3 是整数 属于有理数 选项不符合题意. 4 , …
125=5 , ,D 分
2. A ……………………………………… (4 )
3. B 【解析】 即最 U U
∵ 4<7,∴ 2< 7,∴ - 5<0<2< 7,
大的数是 .
7
4. B 【解析】带根号的数不一定都是无理数 如 第 题解图
, 4= 14
是有理数 选项不符合题意 无限不循环小数
2 ,A ; 由解图可知 1 分
章 是无理数 选项符合题意 实数可以分为正实 ,-4<- 12<|- |< 6; … (6 )
,B ; 2
数 负实数和 选项不符合题意 能在数轴上表
数 、 0,C ; 根据题意 得 1 的相反数
示出来的数都是实数 选项不符合题意. (2) , |- |,- 12,-4, 6
的 2
,D
开 5. C 【解析】 . . 分别是 1 按从小到大的顺序排
方 | 2-2| =2- 2≈2-1 414=0 586, - , 12,4,- 6,
2
. . . . .
| 2-2|-π≈0 586-3 14=-2 554≈-2 55
6. A 【解析】根据题意 , 得大正方形的面积为 2×2 2 = 列为 - 6<- 1 < 12<4 . ……………… (10 分 )
2
大正方形的边长为 即小正方形的对角线 15. 解: 分 Y
8,∴ 8, (1)C; ………… (2 ) Y Y
长为 点A所表示的无理数为 . . 分
8,∴ 8 (2)10 05; ………… (4 )
7. 答案不唯一 且更接
3( ) (3)∵ 15< 226<16,
近于
8. 【解析】 3 1 1 3 1 即 15, Y
> ∵ = , 3 >1,∴ > , 设 x
27 3 3 3 ∴ 226=15+ , 第 题解图
3 如解图 将正方形边长分为 15
3 1 . ,
> 与x两部分
3 27 15 ,
9. 【解析】 . 由面积公式 可得x2 x
4 3+2-( 3-2)= 3+2- 3+2=4 , +30 +225=226,
10. 【解析】 ∵
x较小
,
5 ∵ 4< 5< 9,∴ 2< 5<3,∴ 1< 5-1<
可以略去x2
∴ ,
1 5-1 p 5-1 p 5-1 得方程 x
2,∴ < <1,∴ = ,∴ 2 +1=2× + 30 +225≈226,
2 2 2 2
解得x .
. ≈0 03,
1= 5
. . 分
∴ 226≈15 03 ……………………… (12 )
11. 解:有理数 17 3 . 分
:|- |, 25, 216,5 12;…… (3 )
8
2参考答案
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第
11
第 章 整式的乘除
11
00A?A
周测3 幂的运算 ∴ 2 n +3 =64, 即 2 n +3 =2 6 ,
n 解得n . 分
1. D 【解析】 幂的乘方 底数不变 指数相乘 ∴ +3=6, =3 …………………… (6 )
∵ , , , 13. 解:根据题意 得音乐文件夹和照片文件夹的总
,
m3 3 m3×3 m9.
∴ ( ) = = 大小为 . . 10 10 21
2. A 【解析】
∵
a3
·
a
=
a4
,∴
被挡住的代数式应 2 6-0 6=2(GB)= 2×2 ×2 =2 (KB
分
),
……………………………………… (2 )
是a.
照片文件夹的大小为 6 2 8
3. C 【解析】逐项分析如下表 64×4=2 ×2 = 2 (MB)=
: 8 10 18 分
2 ×2 =2 (KB), ……………………… (4 )
选项 逐项分析 判断正误 则音乐文件夹中存放音乐数量为 21 18 15
(2 -2 )÷2 =
A
a2
·
a6
=
a8
≠
a12
✕ 2
21-15
-2
18-15
=2
6
-2
3
=64-8=56(
首
),
王老师的音乐文件夹中共存放有 首音乐.
a5 a5 a5 a10 ∴ 56
B + =2 ≠ ✕ 分
C (-3
a
)
2
=9
a2
√ 14. 解:设
…
S
…………
2
………
2
…
022
……
2 02
…
3
……… (6 )
=1+5+5 +…+5 +5 ①,
D ( a2b ) 3 = a6b3 ≠ a5b3 ✕ 则 5 S =5+5 2 +5 3 +…+5 2 023 +5 2 024 ②,
4. B 【解析】
∵ (-2
a2
)
k
=-8
a6
,∴ 2
k
=6,(-2)
k
=-8,
由
②-①,
得
5
S
-
S
=4
S
=5
2 024
-1,
解得k . 2024
=3 原式 5 -1. 分
5. D 【解析】 依据的是幂的乘方. ∴ = ……………………… (10 )
4 ④
6. D 【解析】 x y 3 x -2 y x 3 y 2 15. 解: (1)∵ 2 300 =2 3×100 =(2 3 ) 100 =8 100 ,
∵ 2 =6,2 =3,∴ 2 =(2 ) ÷(2 ) =
3 2 . 3 200 =3 2×100 =(3 2 ) 100 =9 100 , ……………… (3 分 )
6 ÷3 =24 又
体现最新中考方向,上市 年,年年“遇见”中
∵ 8<9,
13
考题. 年起,《黑白卷》使用者可进入武老师快答
∴ 8
100
<9
100
,
2025
,享有多轮预测服务. 即 300 200 分
2 <3 ;……………………………… (6 )
APP
7. ( x + y ) 3+2 m 【解析】原式 =( x + y ) 3+2 m. (2)∵ 2 125 =2 5×25 =(2 5 ) 25 =32 25 , 章
100 4×25 4 25 25
8. 【解析】原式 1 100 100 . 3 =3 =(3 ) =81 ,
1 =[ ×(-2)] =(-1) =1 75 3×25 3 25 25 分 整
2 4 =4 =(4 ) =64 ,………………… (9 )
9. . 6 【解析】 . 3 2 . 5 又 式
3 95×10 7 9×10 ×5×10 =39 5×10 = ∵ 81>64>32, 的
3 . 95×10 6 (m) . ∴ 81 25 >64 25 >32 25 , 乘
10. 【解析】 末尾数字 个为一组循环 即 100 75 125. 分 除
1,3 ∵ 4 ,24÷ 3 >4 >2 ……………………… (12 )
24 的末尾数字是 周测4 整式的乘法
4=6,∴3 1,2 025÷4=506……1,
2 025 的末尾数字是 .
∴ 3 3 1. B 【解析】原式 a3+1 a4.
11. 解: 原式 a2 a8 a2 =2×(-3)· =-6
(1) = · ·4 2. C 【解析】将原式展开 得 ab a b a2b
a12 分 , 4 ( +2 -5)= 4 +
=4 ;……………………… (3 ) ab2 ab 则 应填入的多项式为 ab2 ab.
原式 x6 x6 x2 8 -20 , “□” 8 -20
(2) =25 + ÷ 3. D 【解析】逐项分析如下
x6 x4. 分 :
=25 + ……………………… (6 )
选项 逐项分析 正误
12. 解: x y x y
(1)∵ +2 -2=0,∴ +2 =2,
x y x y
∴ 9 ·81 =(3
2
) ·(3
4
) A
5 a2
·3
ab2
=5
a3b2
≠5
a2b2
✕
2 x 4 y 3
=3 ·3
2 x +4 y -3
x
·(
x2y2
-2
x
)= -3
x3y2
+
=3
x y
, B x2 x3y2 x2 ✕
2( +2) 6 ≠-3 -6
=3
m n m n m2 mn
4 ( + )(2 -3 )= 2 - -
=3
分 C n2 m2 mn n2 ✕
=81; ………………………… (3 ) 3 ≠2 +2 +3
(2)∵ 4 2
n
+1 ÷8
n
+1 ×16=2 2(2
n
+1) ÷2 3(
n
+1) ×2 4 D
x2y3
(
x2
+2
y2
)=
x4y3
+2
x2y5
√
2(2 n +1)-3( n +1)+4 4. B 【解析】 m2 m m2 m
=2 ∵ 2 -5 -8=0,∴ 2 -5 =8,
n +3 m m m2 m .
=2 , ∴ (2 -5)+6=2 -5 +6=8+6=14
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第
11
5. B 【解析】 需要地砖的面积为 a b a 分钟内流经该水渠的水的体积为 xy
∵ (20 +10 )(10 + ∴ 10 (20 -
b a2 ab b2 需要甲型号的地砖 y2 ) . xy y2 分
20 )=200 +500 +200 ,∴ 4 ×1 2×600=14 400 -2 880 , …… (7 )
数量为 块. 又 x . y .
200 ∵ =0 5, =0 4,
6. C 【解析】根据题图可知 厨房与卫生间的面积为 原式 . . . 2
, ∴ =14 400×0 5×0 4-2 880×0 4
x y y x y x y y x y2 xy x2 . 立方米 .
( + )(3 - - )= ( + )(2 - )= 2 + - , =2 419 2( )
y2 xy x2 a ay2 axy ax2 购买防水材料 答 分钟内流经该水渠的水的体积为 .
∴ (2 + - ) =2 + - ,∴ :10 2 419 2
需要花费的金额为 ay2 axy ax2 元. 立方米. 分
(2 + - ) ………………………………… (10 )
7. x4 【解析】原式 x2 x2 x4. 15. 解: x x2 x x3 x2 xy
-20 =4 ·(-5 )= -20 (1) ①( +4)( -4 +16)= +64;②( - +
8. M N 【解析】M N x x x x x2 y2 分
< - =( +2)( -5)- ( -3)= - ); ……………………………………… (4 )
x x2 x 即M N. 证明: x x2 x
3 -10- +3 =-10<0, < (2) ( +1)( - +1)
9. m2 mn n2 【解析】根据题意 得无盖礼盒的 x3 x2 x x2 x
3 +10 - , = - + + - +1
表面积为 m n m n n2 m2 mn mn x3
(3 + )( +3 )-4 =3 +9 + + = +1,
n2 n2 m2 mn n2. 左边 右边
3 -4 =3 +10 - ∴ = ,
10. 【解析】C A B x x2 mx x3 等式 x x2 x x3 成立 分
-4 = × =( -4)( - +16)= - ∴ ( +1)( - +1)= +1 ; … (8 )
mx2 x x2 mx x3 m x2 m x 解: x x2 x x x2 x
+16 -4 +4 -64= -( +4) +4( +4) - (3) (3 +2)(9 -6 +4)-(3 -2)(9 +6 +4)
B是A的 神奇多项式 即 P A P C x3 x3
64,∵ “ ”, ( )= ( ), =27 +8-(27 -8)
x3 m x2 m x 只有两项 m . 分
∴ -( +4) +4( +4) -64 ,∴ + =16 …………………………………… (12 )
m . 周测5 乘法公式
4=0,∴ =-4
11. 解: (1) 原式 =-8 a2b2 · 1 b3c6 · a2c 1. B 【解析】 ( a +2)( a -2)= a2 -2 2 = a2 -4 .
8 =- a4b5c7 ; ………………… (3 分 ) 2. B 【解析】 ( a -1) 2 = a2 -2 a +1 .
(2) 原式 =3 x2 +9 x -2 x -6-( x2 - x +4 x -4) 3. C 【解析】 (2 x + y ) 2 =4 x2 +4 xy + y2 ,A 选项不符合
=3 x2 +7 x -6- x2 -3 x +4 题意 ;( x -2 y ) 2 = x2 -4 xy +4 y2 ,B 选项不符合题意 ;
=2 x2 +4 x -2 . …………………… (6 分 ) (- x + y )( x + y )= y2 - x2 ,C 选项符合题意 ;(- x + y )( x -
12. 解:原式 = a2 +2 ab -( ab + b2 -3 a2 -3 ab ) y )=- x2 +2 xy - y2 ,D 选项不符合题意.
章 a2 ab ab b2 a2 ab 4. C
= +2 - - +3 +3
5. A 【解析】根据题意可知 购买月季花的费用为
整 =4
a2
+4
ab
-
b2
, ………………… (4
分
) ,
式 当a b 时 (2
a
+1)(2
a
-1)= 4
a2
-1,
购买兰花的费用为
(
a
-
=2, =-1 ,
的
乘 原式 =4×2 2 +4×2×(-1)-(-1) 2 2)(
a
+2)=
a2
-4,∵ 4
a2
-1-(
a2
-4)= 3
a2
+3>0,
所需购买费用较多的是月季花.
除 . 分 ∴
=7 ………………………………… (6 )
13. 解: 根据题意 得 x a x a x2 6. C 【解析】 ∵ 花坛的总面积为 200 m 2 ,∴ ab +2 a2 +
(1) , (5 +4 )(2 +2 )= 10 -
18 x +8,…………………………………… (2 分 ) 2 b2 =200,∵ ( a - b ) 2 = a2 -2 ab + b2 =50,∴ a2 + b2 =
即 10 x2 +18 ax +8 a2 =10 x2 -18 x +8, 50+2 ab , 将a2 + b2 =50+2 ab代入ab +2 a2 +2 b2 =200,
∴ 18 a =-18,
解得ab
=20,∴
种植兰花的面积为
20 m
2.
解得a 分 7. a2 b2
=-1;……………………………… (4 ) 4 -9
将a 代入 x a x a 8. 【解析】原式 2 2
(2) =-1 (5 -4 )(2 +2 ), 10 000 = 39 +2×39×61+61 =
得原式 x x 2 2 .
=(5 +4)(2 -2) (39+61) =100 =10 000
=10
x2
-2
x
-8
.
…………………… (6
分
)
9.
3
【解析】
∵ (
a
-
b
)
2
=
a2
-2
ab
+
b2
=5,(
a
+
b
)
2
=
a2
+
14. 解: 根据题意可知 该水渠横断面的面积为 ab b2 a b 2 a b 2 ab
(1) , 2 + =17,∴ ( + ) -( - ) =4 =17-5=12,
ab .
1 y x x y ∴ =3
·4 (5 +5 -2 ) 10. 2 026 【解析】 2 025 2 024 2 023 2
2 2 -1 2 +2 +2 +…+2 +2+1=
y x y 2 025 2 024 2 023 2 2 026 .
=2 (10 -2 ) (2-1)(2 +2 +2 +…+2 +2+1)= 2 -1
xy y2 平方米 11. 解: 原式 m2 mn mn n2
=(20 -4 ) , (1) =-25 +20 +20 -16
答 该水渠横断面的面积为 xy y2 平方米 m2 mn n2 分
: (20 -4 ) ; =-25 +40 -16 ; …… (3 )
分 原式 a b c a b c
……………………………………… (5 ) (2) =[ +( + )][ -( + )]
分钟 秒 a2 b c 2
(2)∵ 10 =600 , = -( + )
4参考答案
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11
a2 b2 bc c2 分 6. D 【解析】根据题意 得 a3b a2b ab
= - -2 - ; ……………… (6 ) , (6 +12 -3 )÷
原式 x2 xy y2 x2 y2 ab a2 a 这块地的长为 a2 a .
(3) =16 +8 + + -16 3 =2 +4 -1,∴ 2 +4 -1
x2 xy y2. 分 7. x x y x y 【解析】x3 xy2 x x2 y2 x x
=17 +8 -15 ……………… (9 ) ( + )( - ) - = ( - )= ( +
12. 解:原式 x2 xy y2 x2 y2 xy y2 y x y .
=4 -4 + -( - )+4 -4 )( - )
x2 xy y2 x2 y2 xy y2 8. 【解析】根据题意 得圆的面积为 a 2
=4 -4 + - + +4 -4 4π , π(2 ) =
=3
x2
-2
y2
,……………………… (7
分
) 4π
a2
,
正方形的面积为a2
,∵ 4π
a2
÷
a2
=4π,∴
圆的
当x y 时 面积是正方形面积的 倍.
=1, =-2 , 4π
原式 =3×1 2 -2×(-2) 2 =-5 . …………… (8 分 ) 9. 108 【解析】根据题意 , 得 Q = I2R 1 t + I2R 2 t + I2R 3 t =
I2t R R R 将 I . R . R
13. 解: 一个小三角形的面积为1 b a 2 平方米 ( 1+ 2+ 3), =0 6 A, 1 =32 7 Ω, 2 =
∵ ( - ) , . R . t 代入 得原式 . 2
2 42 4 Ω, 3=24 9 Ω, =3 s , =0 6 ×
分 . . . . .
…………………………………………… (2 ) 3×(32 7+42 4+24 9)= 0 36×3×100=108(J)
一个大正方形的面积为 a b 2 平方米 10. x2 x 【解析】A 与 B 的乘积为 x2 可分解为
(2 + ) , …… +3 -9,
分 x x B 与 C 的乘积为 x2 x 可分解为
……………………………………… (4 ) ( -3)( +3), -3 ,
x x A为x B 为 x C 为 x 则 A 与 C
阴影部分的面积为 a b 2 1 b a 2 ( -3),∴ +3, -3, ,
∴ (2 + ) -4× ( - ) = 相乘的积为x x x2 x.
2 ( +3)= +3
a b 2 b a 2 a2 ab b2 平方米. 11. 解: 原式 m5n7 m4n5
(2 + ) -2( - ) =(2 +8 - ) …… (1) =12 ÷(-6 )
分 mn2 分
……………………………………… (10 ) =-2 ;…………………… (3 )
14. 解:
(1)
a2
-
b2
=(
a
+
b
)(
a
-
b
);…………… (4
分
) (2)
原式
=[(
ab
)
2
-
a2
+5
a2b
+
a2
]÷
ab
a b a b a2b2 a2b ab
(2)( - -5)( - +5) =( +5 )÷
ab a. 分
a b a b
=[( - )-5][( - )+5] = +5 ……………………… (6 )
12. 解: 完全平方公式运用错误 分
a b 2 2 (1)①, ;…… (4 )
=( - ) -5
原式 a b a b a b b
a2 ab b2 分 (2) =(3 - )[(3 + )-(3 - )]÷(- )
= -2 + -25;………………………… (8 )
a b a b a b b
(3)
如解图所示
,
S
左阴影 =
a2
-
b2
,
S
右阴影 = (
a
+
=(3 - )(3 + -3 + )÷(- )
b a b b
b
)(
a
-
b
),∵
S
左阴影=
S
右阴影,∴
a2
-
b2
=(
a
+
b
)(
a
-
=2 (3
a
-
b
)÷(- )
b . 答案不唯一 画图方法正确即可 =-2(3 - )
) ( , )………… a b 章
分 =-6 +2 ,
…………
B
…………………………… (13 ) 当a
=3,
b
=-2
时
,
原式
=-6
a
+2
b
整
B C 式
=-6×3+2×(-2)
的
BC . 分
=-22 ………… (10 ) 乘
13. 解:补充证明过程如下 除
C :
即 a b a b c a b a b c
第 题解图 (99 +9 )+( + + )= 3(33 +3 )+( + + ),
14 a b c能被 整除 a b 能被 整除
∵ + + 3 ,3(33 +3 ) 3 ,
周测6 整式的除法与因式分解 这个三位数能被 整除. 分
∴ 3 …………… (12 )
14. 解: x2 xy y2
1. B 【解析】 a6b2 a2b2 a6 a2 b2 (1)4 -4 -4+
28 ÷4 =(28÷4)( ÷ )( ÷ x2 xy y2
b2 a6-2 a4.
=4 -4 + -4
)= 7 ·1=7 x y 2
2. B 【解析】把一个多项式化为几个整式的积的形 =(2 - ) -4
x y x y 分
=(2 - +2)(2 - -2); ………………… (5 )
式 这种变形叫做因式分解. 选项是整式乘法
, A ;C ABC为等腰三角形. 分
(2)△ ……………… (6 )
选项原来就是一个单项式 不是因式分解 选项
, ;D 理由如下
:
没有化为几个整式的积的形式 不是因式分解.
, a2 c2 ab bc ac 即a2 ac c2 ab bc
∵ + + - -2 =0, -2 + + - =0,
3. B 【解析】 9 a2 -6 ab + b2 =(3 a ) 2 -2×3 ab + b2 =(3 a - b ) 2. ∴ ( a - c ) 2 + b ( a - c )= 0,
4. A 【解析】将 a2b ab2 ab 因式分解可得 a c a c b
-4 -6 +2 ∴ ( - )( - + )= 0,
ab a b 被遮盖住的式子为 b . a b c分别是 ABC的三边长
-2 (2 +3 -1),∴ 3 -1 ∵ 、 、 △ ,
5. C 【解析】根据题图可知 图形的面积可以表示为 a c b
, ∴ - + >0,
m2 mn n2 也可以表示为 m n m n 可 a c 即a c
2 +3 + , ( + )(2 + ),∴ ∴ - =0, = ,
以得到 m2 mn n2 m n m n . ABC是等腰三角形. 分
2 +3 + =( + )(2 + ) ∴ △ ……………… (12 )
5大小卷 数学 ·八年级(上册)
HS
周
测
小
卷
第
11
当a b 时 原式
专题 整式的化简及求值 =-3, =2 , =(-2)×(-3)×2+1=13,
他的计算结果是正确的.
∴
计算题专练 9. 解:选择A C B
· + ,
1. 解:原式 a8 a3 a3 (2 x -1)(1+2 x ) 2 +( x +4)
= ·27 ·
a14. =(2
x
-1)(1+4
x
+4
x2
)+(
x
+4)
=27
2. 解:原式 a2 a2 a a =(2
x
+8
x2
+8
x3
-1-4
x
-4
x2
)+(
x
+4)
=2( -1)+( -4 +3 -12)
a2 a2 a =8
x3
+4
x2
-2
x
-1+
x
+4
=2 -2+ - -12
a2 a . =8
x3
+4
x2
-
x
+3,
=3 - -14
3. 解:原式 x x2 x x2 x 当x =-1 时 , 原式 =8×(-1) 3 +4×(-1) 2 -(-1)+
=4 -(4 +4 +1)+5 -5
.
x x2 x x2 x 3=0
=4 -4 -4 -1+5 -5
x2 x 选择1 A C B
= -5 -1, ( + )· ,
当x 时 原式 2 . 2
=5 , =5 -5×5-1=-1
4. 解:原式 x3y2 x2y2 xy3 x3y2 x2y2 xy3 1 x x 2 x
=2 -2 +8 -2 -2 +7 [(2 -1)+(1+2 ) ]( +4)
x2y2 xy3 2
=-4 +15 ,
1 x x x2 x
当x =- 1 , y =2 时 , 原式 =-4×(- 1 ) 2 ×2 2 +15× = 2 (2 -1+1+4 +4 )( +4)
2 2 x2 x x
=(2 +3 )( +4)
1 3 . x3 x2 x2 x
(- )×2 =-64 =2 +8 +3 +12
2 x3 x2 x
5. 解:原式 a b a b 2 =2 +11 +12 ,
=[( + )-( - )] 当x 时 原式 3 2 a b a b 2 = -1 , = 2×(-1) +11×(-1) +12×
=( + - + ) . 答案不唯一 任选其中一个解答即可
b 2 (-1)=-3 ( , )
=(2 ) 10. 解: A B x2 x a x2 bx
b2 (1) · =(2 -4 + )( + )
=4 , x4 bx3 x3 bx2 ax2 abx
=2 +2 -4 -4 + +
∵ |
a
-1|+(
b
-
1
)
2
=0, =2
x4
+(2
b
-4)
x3
+(
a
-4
b
)
x2
+
abx
;
3
A B的展开式中不含x2 项和x3 项
(2)∵ · , a b 1
∴ -1=0, - =0, b a b
章 3 ∴ 2 -4=0, -4 =0,
解得a b
整 ∴
a
=1,
b
=
1
, a b
=8,
a
=2
b
,
a b 2 b
式 3 [( +3 )( -3 )-( -3 ) ]÷3
的 原式 1 2 4. =[ a2 -(3 b ) 2 -( a2 -6 ab +9 b2 )]÷3 b
乘 ∴ =4×( ) = a2 b2 a2 ab b2 b
除
3 9 =( -9 - +6 -9 )÷3
6. 解: 一 未正确展开完全平方式 ab b2 b
(1) , ; =(6 -18 )÷3
原式 a2 ab b2 a2 b2 a b
(2) =4 -4 + -( -4 ) =2 -6 ,
a2 ab b2 a2 b2 当a b 时 原式 .
=4 -4 + - +4 =8, =2 , =2×8-6×2=4
a2 ab b2 11. 解: x x
=3 -4 +5 , (1)( +3) (2- )
当a =2, b =-1 时 , 原式 =3×2 2 -4×2×(-1)+5× =2( x +3)+( x +3)(2- x )-(2- x ) 2
(-1)
2
=12+8+5=25
.
=2
x
+6+2
x
-
x2
+6-3
x
-4+4
x
-
x2
7. 解:原式
=2(2
y2
-
y
-2
y
+1)-2(
y2
+2
y
+1)+6 =-2
x2
+5
x
+8;
y2 y y y2 y x a x
=4 -2 -4 +2-2 -4 -2+6 (2) (3 - )
=2 y2 -10 y +6, =2 x + x (3 a - x )-(3 a - x ) 2
∵
y2
-5
y
+4=0, =2
x
+3
ax
-
x2
-9
a2
+6
ax
-
x2
∴
y2
-5
y
=-4, =-2
x2
+(9
a
+2)
x
-9
a2
,
∴
原式
=2(
y2
-5
y
)+6=2×(-4)+6=-2
.
∵
x
(3
a
-
x
)= -2
x2
-9
a2
,
8. 解:原式 a2 ab b2 a b a b b2 a
= -2 + -( + )( - )-(2 -1) ∴ 9 +2=0,
a2 ab b2 a2 b2 b2
= -2 + - + -2 +1 a 2.
ab ∴ =-
=-2 +1, 9
当a b 时 原式
=3, =-2 , =(-2)×3×(-2)+1=13,
6参考答案
周
测
小
卷
第
12
第 章 全等三角形
12
00A?A
周测7 命题、全等三角形的 CE ,∴ △ BDF ≌△ CFE (SAS),∴ DF = EF = 7,
BC BF CF BF CE CF BD
判定条件及边角边 ∵ =12, ∶ =1 ∶ 2,∴ = =4, = =
AD AB BD AE AC CE 四边形
8,∴ = - =2, = - =6,∴
1. D 【解析】如果两个角互补 那么这两个角可能
, ADFE的周长为AD DF EF AE .
+ + + =2+7+7+6=22
都是
90
°
,
是直角
,
故
D
选项符合题意.
11. 证明: DE AB
(1) ∵ ∥ ,
2. D
BAC ADE
∴ ∠ =∠ ,
3. C 【解析】 ABC DEF E ° B
∵ △ ≌△ ,∠ =95 ,∴ ∠ = 在 ABC和 DAE中
△ △ ,
E ° 点 A D C F 共线 A °
∠ = 95 ,∵ 、 、 、 ,∠ = 50 , AB DA
∵ = ,
BCF A B ° ° °.
∴ ∠ =∠ +∠ =50 +95 =145 BAC ADE
∠ =∠ ,
4. B 【解析】 B DEF AB DF A D
∵ ∠ =∠ , = ,∠ =∠ , AC DE
= ,
无法证明 ABC DFE 选项不符合题意
ABC DAE 分
∴ △ ≌△ ,A ;
∴ △ ≌△ (SAS); ……………… (5 )
∵ AB = DF ,∠ A =∠ D , AC = DE ,∴ △ ABC ≌△ DFE (2) 解: ∵ DE是 △ ACE的中线 , S △ ACE=40,
选项符合题意 BE CF BC FE
(SAS),B ;∵ = ,∴ = ,
S 1S
AB DF A D BC FE 无法证明 ABC ∴ △ ADE= △ ACE=20,
∵ = ,∠ =∠ , = ,∴ △ ≌ 2
DFE 选项不符合题意 AC DF AB DF 由 得 ABC DAE
△ ,C ;∵ = , = , (1) ,△ ≌△ ,
A D 无法证明 ABC DFE 选项不 S S . 分
∠ =∠ ,∴ △ ≌△ ,D ∴ △ ABC= △ ADE=20 …………………… (8 )
符合题意. 12. 解: BAE ° 分
(1)△ ,50 ;……………………… (5 )
5. B 【解析】根据平移的性质 得 ABC DEF 【解法提示】在 BCD 和 BAE 中 BD BE
, △ ≌△ , △ △ ,∵ = ,
S S EF BC FG GE CBD ABE BC BA BCD BAE
∴ △ ABC= △ DEF, = =5cm,∵ =2cm,∴ =5- ∠ =∠ , = ,∴ △ ≌△ (SAS),
平移的距离为 BE BCD BAE 又 ADC ° BCD
2=3(cm),∵ 1 cm,∴ =1 cm, ∴ ∠ =∠ , ∵ ∠ = 180 -∠ -
S S S S S S 即 DEC ABC ° BAE BEA DEC
∴ 阴影= △ DEF- △ AEG = △ ABC- △ AEG = 四边形EBCG, ∠ ,∠ = 180 -∠ -∠ ,∠ = 章
BEA ABC ° ADC ABC °.
S 阴影= 1 ×(3+5)×1=4(cm 2 ) . ∠ CD ,∠ AE C = D 50 AE ,∴ . ∠ =∠ =50 分 全
2 (2) ⊥ , = …………………… (7 )
6. A 【解析】 BAD CAE BAD DAC 理由如下 等
∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ +∠ = : 三
CAE DAC 即 BAC DAE 在 ABC 和 ABC DBE ° 角
∠ +∠ , ∠ = ∠ , △ ∵ ∠ =∠ =90 ,
形
ADE 中 AB AD BAC DAE AC AE DBA DBC DBA EBA
△ ,∵ = ,∠ = ∠ , = , ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
ABC ADE ADE B ° 即 DBC EBA
∴ △ ≌△ (SAS),∴ ∠ =∠ = 70 , ∠ =∠ ,
CDE ° ADB ADE ° ° ° °. 根据题意 得BD BE AB CB
∴∠ =180 -∠ -∠ =180 -70 -70 =40 , = , = ,
7. ° 【解析】 所对应的边为b ° 在 BCD和 BAE中
60 ∵ ∠1 ,∴ ∠1=180 - △ △ ,
° ° °. BD BE
73 -47 =60 ∵ = ,
8. BD 【解析】根据题意可知 在 ABC和 DBC中 DBC EBA
, △ △ , ∠ =∠ ,
AC DC ACB DCB BC BC ABC BC BA
∵ = ,∠ =∠ , = ,∴ △ ≌ = ,
DBC AB DB 故需要测量的线段 BCD BAE
△ (SAS),∴ = , ∴ △ ≌△ (SAS),
是BD. CD AE BCD BAE 分
∴ = ,∠ =∠ , …………… (9 )
9. ° 【解析】在 ADF 和 CFE 中 AD CF BCA BAC °
40 △ △ ,∵ = , ∵ ∠ +∠ =90 ,
A C AF CE ADF CFE BCD ACE BAC °
∠ = ∠ , = ,∴ △ ≌△ (SAS), ∴ ∠ +∠ +∠ =90 ,
ADF CFE ADF AFD CFE BAE ACE BAC °
∴ ∠ = ∠ ,∴ ∠ +∠ = ∠ + ∴ ∠ +∠ +∠ =90 ,
AFD DFE ° CFE AFD ° 即 ACE CAE °
∠ ,∴ ∠ =180 -(∠ +∠ )= 180 - ∠ +∠ =90 ,
ADF AFD A °. AEC ° ACE CAE °
(∠ +∠ )=∠ =40 ∴ ∠ = 180 - (∠ + ∠ ) = 180 -
10. 【解析】 AB AC B C 在 ° °
22 ∵ = = 10,∴ ∠ = ∠ , 90 =90 ,
BDF和 CFE 中 BD CF B C BF CD AE. 分
△ △ ,∵ = ,∠ =∠ , = ∴ ⊥ …………………………… (12 )
7大小卷 数学 ·八年级(上册)
HS
周
测
小
卷
第
12
周测8 角边角、边边边、斜边直角边 50 ° =40 °.
9. 【解析】 BAE CAD BAD CAE 在
1. B 【解析】在三角形甲和丙中 B G BC 5 ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ ,
,∵ ∠ =∠ , = BAD 和 CAE 中 BAD CAE AB AC
△ △ ,∵ ∠ =∠ , = ,
GH C H ABC IGH .
,∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (ASA) ABD ACE BAD CAE AE
2. C 【解析】在 AOB 和 DOC 中 A D ∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (ASA),∴ =
△ △ ,∵ ∠ =∠ , AD AF AE EF .
=8 cm,∴ = - =8-3=5(cm)
AOB DOC OB OC AOB DOC
∠ =∠ , = ,∴ △ ≌△ (AAS), 10. 【解析】如解图 延长BD交AC于点E. BD
16 , ∵ ⊥
B C AB DC OA OD AC BD 故 选
∴ ∠ =∠ , = , = ,∴ = , C AD ADB ADE °. AD 平分 BAC
,∴ ∠ =∠ =90 ∵ ∠ ,
项不正确.
BAD EAD 在 ABD 和 AED 中
∴ ∠ = ∠ , △ △ ,
3. B 【解析】根据题意 得 AE AF DE DF 在
, , = , = , ADB ADE AD AD BAD EAD
∵ ∠ = ∠ , = , ∠ = ∠ ,
AED和 AFD 中 AE AF DE DF AD AD
△ △ ,∵ = , = , = , ABD AED BD ED S
AED AFD EAD FAD ∴ △ ≌△ (ASA),∴ = ,∴ △ ABD =
∴ △ ≌ △ (SSS), ∴ ∠ = ∠ , S
△
AED, S
△
BDC= S
△
DEC,∴ S
△
ABD+ S
△
BDC= S
△
AED+ S
△
DEC=
BAD ° CAD ° BAC BAD
∵ ∠ =55 ,∴ ∠ =55 ,∴ ∠ =∠ + S
△
ACD,∵ S
△
ACD=8,∴ S
△
ABC=2 S
△
ACD=16 .
CAD °. "
∠ =110
4. B 【解析】 ACB ° DE AC ADE
∵ ∠ =90 , ⊥ ,∴ ∠ = &
BCA ° 在 ADE 和 BCA 中 AE %
∠ =90 , Rt△ Rt△ ,∵ =
# $
BA AD BC ADE BCA DE
, = ,∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),∴ =
第 题解图
AC DE BC CD AC AD DE BC 10
,∵ =8, =6,∴ = - = - =8-
. 11. 证明: BD AC EC AC
6=2 ∵ ⊥ , ⊥ ,
5. D 【解析】 四边形 ABCD 为正方形 BAD ADB ECA °
∵ ,∴ ∠ = ∴ ∠ =∠ =90 ,
D ° AB DA. AF BE AGE ° 在 ABD和 EAC中
∠ = 90 , = ∵ ⊥ ,∴ ∠ = 90 , Rt△ Rt△ ,
AEB DAF ° AEB ABE ° AB EA
∴ ∠ +∠ = 90 ,∵ ∠ +∠ = 90 , ∵ = ,
ABE DAF 在 ABE和 DAF中 BAE AD EC
∴ ∠ =∠ , △ △ ,∵ ∠ = = ,
D AB DA ABE DAF ABE DAF ABD EAC 分
∠ , = ,∠ =∠ ,∴△ ≌△ (ASA), ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),…………… (6 )
S S S S S S ABD EAC
∴ △ ABE = △ DAF,∴ △ ABG+ △ AEG = 四边形DEGF+ △ AEG, ∴ ∠ =∠ ,
S S . BAD ABD °
章 ∴ 四边形DEGF= △ ABG=3 ∵ ∠ +∠ =90 ,
6. B 【解析】如解图 连结 AC 在 ACB 和 ACD BAD EAC °
全 中 AB AD BC
,
DC AC
,
A
△
C A
△
CB
∴ ∠
BAE
+∠
°
=
A
9
B
0 ,
AE. 分
等 ,∵ = , = , = ,∴ △ ≌ ∴ ∠ =90 ,∴ ⊥ ……………… (8 )
三 ACD B D ACB ACD 12. 证明:在 ABD和 EBD中
△ (SSS), ∴ ∠ = ∠ , ∠ = ∠ , (1) △ △ ,
角 AB EB
BAC DAC BAD ° B °
形 ∠ =∠ , ∵ ∠ = 54 , ∠ = 35 , ∵ = ,
AD ED
BAC DAC ° D B ° ACB
∴ ∠ =∠ =27 ,∠ =∠ =35 ,∴ ∠ = = ,
BD BD
∠ ACD =180 ° -35 ° -27 ° =118 ° ,∴ ∠ BCD = 360 ° - = ,
ABD EBD
ACB ACD ° ° ° °.
∴ △ ≌△ (SSS),
∠ -∠ =360 -118 -118 =124
ABD EBD
%
∴ ∠ =∠ ,
BD平分 ABC 分
$ ∴ ∠ ; ……………………… (4 )
解:由 得 ABD EBD
" # (2) (1) ,△ ≌△ ,
A BED
第 题解图 ∴ ∠ =∠ ,
6 ABC ° CDE °
∵ ∠ =90 ,∠ =20 ,
7. B D 答案不唯一 【解析】 C 是 AE 的中 A C ° BED C CDE C
∠ =∠ ( ) ∵ ∴ ∠ +∠ = 90 ,∠ = ∠ +∠ = ∠
点 AC CE 在 ABC和 CDE中 B D °
,∴ = , △ △ ,∵ ∠ =∠ , +20 ,
A DCE AC CE ABC CDE . C ° C °
∠ =∠ , = ,∴ △ ≌△ (AAS) ∴ ∠ +20 +∠ =90 ,
8. ° 【解析】 DE AB 于点 E AED C 解得 C °
40 ∵ ⊥ ,∴ ∠ =∠ = ∠ =35 ,
° 在 ADC 和 ADE 中 AD AD CD A ° C ° ° °. 分
90 , Rt△ Rt△ ,∵ = , = ∴ ∠ =90 -∠ =90 -35 =55 …… (10 )
ED ADC ADE EAD 13. 证明: B与 E是直角
, ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),∴ ∠ = (1) ∵ ∠ ∠ ,
CAD ° BAC EAD CAD ° ABC和 DEF均为直角三角形
∠ = 25 ,∴ ∠ = ∠ +∠ = 25 + ∴ △ △ ,
° ° B ° C BAC ° ° 在 ABC和 DEF中
25 =50 ,∴ ∠ =180 -∠ -∠ =180 -90 - Rt△ Rt△ ,
8参考答案
周
测
小
卷
第
12
AC DF
∵ = , 周测9 等腰三角形
AB DE
= , 1. D 【解析】如解图 AB AC B C A
ABC DEF 分 ,∵ = ,∴ ∠ =∠ ,∵ ∠ =
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL); ………… (3 ) ° °
解: 中的结论成立. 分 ° C B 180 -50 °.
(2) (1) ……………… (4 ) 50 ,∴ ∠ =∠ = =65
2
证明如下
"
:
如解图 过点 A 作 AG BC 交 CB 的延长线于
①, ⊥
点G 过点D作DH EF交FE的延长线于点H
, ⊥ ,
则 AGB DHE °
∠ =∠ =90 , # $
ABC DEF
∵ ∠ =∠ , 第 题解图
ABG DEH 1
∴ ∠ =∠ ,
2. B 【解析】 BE 平分 ABC ABE CBE
在 ABG和 DEH中 ∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ ,
△ △ ,
DE BC DEB CBE ABE DEB
AGB DHE ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ ,
∵ ∠ =∠ ,
BD DE AD AB AD BD .
ABG DEH ∴ = =8,∵ =5,∴ = + =13
∠ =∠ , 3. D 【解析】 AB AC C B ° AD 是
AB DE ∵ = ,∴ ∠ =∠ =62 ,∵
= ,
ABG DEH BC边上的中线 BAD 1 BAC 1 °
∴ △ ≌△ (AAS), ,∴ ∠ = ∠ = (180 -
2 2
AG DH
∴ = ,
B 1 ° ° °.
在 ACG和 DFH中 2∠ )= ×(180 -2×62 )= 28
Rt△ Rt△ , 2
AC DF 4. B 【解析】 ABC是等边三角形 B C
∵ = , ∵ △ ,∴ ∠ =∠ =
AG DH ° AB BC 根据题意可知 DE BC GF
= , 60 , = =20, , ⊥ , ⊥
ACG DFH BC BED CFG ° 在 BDE 和 CGF
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL), ,∴ ∠ = ∠ = 90 , △ △
C F 中 B C BED CFG DE GF
∴ ∠ =∠ , ,∵ ∠ = ∠ , ∠ = ∠ , = ,
在 ABC和 DEF中 BDE CGF CF BE EF
△ △ , ∴ △ ≌△ (AAS),∴ = =2,∴ =
BC BE CF .
C F
∵ ∠ =∠ , - - =20-2-2=16
5. C 【解析】 AD BD BC A ABD BDC
ABC DEF ∵ = = ,∴ ∠ =∠ ,∠ =
∠ =∠ ,
C 设 A ABD x 则 BDC C x 又
AB DE ∠ , ∠ =∠ = , ∠ =∠ = 2 , 章
= ,
AB AC ABC C x 在 ABC 中 A
∴ △ ABC ≌△ DEF (AAS); ……………… (8 分 ) ∵ ABC = , C ∴ ∠ ° = 即 ∠ x =2 x , △ x ° ,∠ 解得 + 全
" % ∠ +∠ = 180 , +2 +2 = 180 , 等
x °. 三
=36
角
6. D 【解析】当 ABP是等腰三角形时 分两种情况
△ , 形
讨论 如解图 当AB为底边时 利用三线合一可
$ '
( # ) & : ,① ,
知 有点P P P P 符合条件 当 AB 为腰时
第 题解图 , 1、 2、 3、 4 ;② ,
13 ① 有点P P 符合条件.综上所述 共有 个点符合
5、 6 , 6
解: 中的结论不成立. 分 条件.
(3) (1) …………… (9 )
理由 画图如解图 画法不唯一 . 当 ABC 1 "
: ②( ) △ ≌
DEF时 AB DE AC DF B E且为锐角.
△ , = , = ,∠ =∠ 1 1 1 1
以点D为圆心 DF 长为半径画弧与 EF 交于点
, 1 #
F′ 连结DF′ 则 ABC 与 DEF′同样满足 AB
, , △ △ “ =
DE AC DF′ B E 且为锐角 但显然 第 题解图
, = ,∠ = ∠ ”, 6
ABC 和 DEF′不全等 故 中的结论不成 7. 等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合
△ △ , (1)
立. 分 8. °或 ° 【解析】 若 °的角为底角 则底角为
……………………………………… (12 ) 30 75 ① 30 ,
" % ° 若 °的角为顶角 则底角为 ° °
30 ;② 30 , (180 -30 )÷
°.故等腰三角形的底角度数为 °或 °.
2=75 30 75
# $ & ' ' 9. 60 ° 【解析】 ∵ △ ABC 为等边三角形 ,∴ ∠ A =
ACB ° AC BC 在 ACE和 CBD中 AC
∠ =60 , = , △ △ ,∵ =
第 题解图
13 ② CB A BCD AE CD ACE CBD
,∠ =∠ , = ,∴ △ ≌△ (SAS),
9大小卷 数学 ·八年级(上册)
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周
测
小
卷
第
12
ACE CBD ACE BCG ° AC BC D是AB的中点
∴ ∠ = ∠ ,∵ ∠ +∠ = 60 ,∴ ∵ = , ,
BGE CBD BCG ACE BCG °. A B AB CD 即 ADC BDC °
∠ =∠ +∠ =∠ +∠ =60 ∴ ∠ =∠ , ⊥ , ∠ =∠ =90 ,
10. . 【解析】 BF AC C CBF BC 平 ACB °
6 3 ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ ,∵ ∵ ∠ =90 ,
分 ABF ABC CBF C ABC A B ACD BCD °
∠ ,∴ ∠ = ∠ ,∴ ∠ = ∠ , ∴ ∠ =∠ =∠ =∠ =45 ,
AC AB AD是 CAB 的平分线 BD CD ADC和 BDC是等腰直角三角形
∴ = ,∵ ∠ ,∴ = , ∴ △ △ ,
在 CDE和 BDF 中 C DBF CD BD 即AD BD CD
△ △ ,∵ ∠ =∠ , = , = = ,
EDC FDB CDE BDF CE DF DE
∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (ASA),∴ = ∵ ⊥ ,
BF AE BF AE CE AC AE CE CE EDF °
,∵ =2 ,∴ =2 ,∴ = + =3 = ∴ ∠ =90 ,
BF AB AC BF . . ADC EDC EDF EDC
3 ,∴ = =3 =6 3 ∴ ∠ -∠ =∠ -∠ ,
11. 解:选择条件 分 即 ADE CDF
①②, ……………………… (2 ) ∠ =∠ ,
证明如下 在 ADE和 CDF中
: △ △ ,
OB OC A FCD
∵ = , ∵ ∠ =∠ ,
OBC OCB AD CD
∴ ∠ =∠ , = ,
EBO DCO ADE CDF
∵ ∠ =∠ , ∠ =∠ ,
EBO OBC DCO OCB ADE CDF
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ , ∴ △ ≌△ (ASA),
即 ABC ACB DE DF 分
∠ =∠ , ∴ = ; ……………………………… (5 )
AB AC 中的结论依然成立. 分
∴ = , (2)(1) …………… (6 )
ABC是等腰三角形. 过程不唯一 理由如下
∴ △ ( ) ……… :
分 如解图 连结CD
……………………………………… (8 ) ②, ,
12. 证明: CD AB DF DE AC BC D是AB的中点
∵ ⊥ , ⊥ , ∵ = , ,
BDC EDF ° CAB B AB CD ∴ ∠ =∠ =90 , ∴ ∠ =∠ , ⊥ ,
DF DC 即 ADC BDC °
∵ = , ∠ =∠ =90 ,
DFE DCB ACB °
∴ ∠ =∠ , ∵ ∠ =90 ,
在 DEF和 DBC中 CAB B ACD BCD °
△ △ , ∴ ∠ =∠ =∠ =∠ =45 ,
EDF BDC ADC和 BDC是等腰直角三角形
∵ ∠ =∠ , ∴ △ △ ,
章 DF DC 即AD BD CD
= , = = ,
全 ∠ DFE =∠ DCB , ∵ ∠ EAD =180 ° -∠ CAB ,∠ FCD =180 ° -∠ BCD ,
等 DEF DBC 分 EAD FCD
三 ∴ △ ≌△ (ASA),……………… (4 ) ∴ ∠ =∠ ,
DE DB EF BC DF DE
角 ∴ = , = , ∵ ⊥ ,
形 ABC为等边三角形 EDF °
∵ △ , ∴ ∠ =90 ,
DBE ° AB BC AC EDF ADF ADC ADF
∴ ∠ =60 , = = , ∴ ∠ -∠ =∠ -∠ ,
DBE为等边三角形 BE DB 即 ADE CDF
∴ △ ,∴ = , ∠ =∠ ,
CD AB 在 ADE和 CDF中
∵ ⊥ , △ △ ,
ADE CDF
AD DB 1AB ∵ ∠ =∠ ,
∴ = = , AD CD
2 = ,
EAD FCD
BE 1AB 1BC ∠ =∠ ,
∴ = = , ADE CDF
2 2 ∴ △ ≌△ (ASA),
BE EC DE DF. 分
∴ = , ∴ = ……………………………… (12 )
BC EF &
∵ = , "
"
BE 1EF
∴ = , %
2 %
BF BE
∴ = , &
CF BF BE EC BE. 分
∴ = + + =3 ……………… (10 ) $ ' # ' $ #
13. 解: DE DF. 分
(1) = ………………………… (1 )
理由如下
:
第 题解图
如解图 连结CD 13
①, ,
10参考答案
周
测
小
卷
第
12
周测10 逆命题、线段垂直平分线 6,∴ S △ ABC= S △ ABD+ S △ ACD=9+6=15 .
"
及角平分线
&
1. B '
2. D 【解析】 在 ABC 中 C ° AD 平分 # % $
∵ Rt△ ,∠ =90 ,
BAC DE AB CD DE BC BD
∠ , ⊥ ,∴ = =3 cm,∴ = + 第 题解图
9
CD .
=5+3=8(cm) 10. 【解析】如解图 连结 CO MN 垂直平分
3. C 【解析】 B ADB AD AB DE 垂 10 , ,∵
∵ ∠ =∠ ,∴ = =6,∵ AC CO AO ABO 的周长为 AB BO AO
直平分AC CD AD . ,∴ = ,∴ △ + + =
,∴ = =6 AB BO CO 当BO CO最小时 ABO的周长最
4. C 【解析】如解图 过点 P 作 PF′ BC 于点 F′ + + ,∴ + ,△
, ⊥ , 小 由三角形三边关系可知BO CO BC 当点O
BD平分 ABC PE AB PF′ PE PF , + > ,∴
∵ ∠ , ⊥ ,∴ = =4,∴ 与点D重合时 BO CO最小 即为线段BC的长度
的最小值为 . , + , ,
4 ABO周长的最小值为AB BC .
& " ∴△ + =4+6=10
% # .
1 %
# ' '$
0
第 题解图 " $
4
/
5. A 【解析】根据题意 得当灌溉设备的位置到三
, 第 题解图
10
角形草地三边的距离相等时 设备的灌溉范围最
,
11. 解:补全证明过程如下
大 且不会喷射到草地外的游客 那么这个灌溉设 :
, ,
AED DFN 即 DEM DFN
备应安装在三角形草地三个角的平分线的交 ∴ ∠ =∠ , ∠ =∠ ,
在 DME和 DNF中
点处. △ △ ,
DME DNF
6. B 【解析】 E为AB的中点 FE AB AF BF ∵ ∠ =∠ ,
∵ , ⊥ ,∴ = ,
DEM DFN
AB BCF 的周长为 AC BC BF ∠ =∠ ,
∵ =8,△ 14,∴ =8, + +
DE DF
FC BC AF FC BC AC BC D为BC = ,
= + + = + =14,∴ =6,∵
DME DNF 章
∴ △ ≌△ (AAS),
的中点 BD 1BC .
,∴ =
2
=3
∴
DM
=
DN
, 全
7. 真 【解析】 斜边和一条直角边分别相等的两个 又 DM AB DN AC 等
“ ∵ ⊥ , ⊥ , 三
直角三角形全等 的逆命题是两个全等的直角三 AD平分 BAC. 分
” ∴ ∠ ……………………… (8 ) 角
角形的斜边和一条直角边分别相等 此命题的 12. 证明: AD平分 BAC 形
,∴ (1)∵ ∠ ,
逆命题为真命题. BAE CAE
∴ ∠ =∠ ,
8. 【解析】如解图 连结BD DE DF分别是线段 在 ABE和 ACE中
4 , ,∵ 、 △ △ ,
AB BC的垂直平分线 AD BD BD DC DC ABE ACE
、 ,∴ = , = ,∵ = ∵ ∠ =∠ ,
AD DC . BAE CAE
4,∴ = =4 ∠ =∠ ,
% AE AE
" = ,
ABE ACE
∴ △ ≌△ (AAS),
&
AB AC
∴ = ,
# ' $ AD BC BD CD
∴ ⊥ , = ,
第 题解图 即AD是线段BC的垂直平分线 分
8 ; ……… (5 )
9. 【解析】如解图 过点 D 作 DE AB DF AC 由 可得 AD垂直平分线段BC
15 , ⊥ 、 ⊥ , (2) (1) , ,
垂足分别为E F AD平分 BAC DE AB DF BDP CDE ° BD CD
∴ ∠ =∠ =90 , = ,
、 ,∵ ∠ , ⊥ 、 ⊥
在 BPD和 CED中
△ △ ,
AC DE DF S 1 AB DE 1 DE
,∴ = ,∵ △ ABD= · = ×6 =9, BD CD
2 2 ∵ = ,
BDP CDE
∠ =∠ ,
DE DF S 1 AC DF 1
∴ =3,∴ =3,∴ △ ACD= · = ×4×3= PD ED
2 2 = ,
11大小卷 数学 ·八年级(上册)
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测
小
卷
第
12
BPD CED AD AE
∴ △ ≌△ (SAS), = ,
PBD ECD ABD ACE
∴ ∠ =∠ , ∴ △ ≌△ (SAS),
BP CE. 分 BD CE.
∴ ∥ ……………………………… (10 ) ∴ =
13. 证明:如解图所示 过点E分别作EF OA于 2. 解: ABE和 ACD都是等边三角形
(1) , ⊥ ∵ △ △ ,
点F EG OB于点G EH CD于点H BAE CAD ° AB AE AC AD
、 ⊥ 、 ⊥ , ∴ ∠ =∠ =60 , = , = ,
根据题意可知 OE平分 AOB CE平分 ACD BAE CAE CAD CAE
, ∠ , ∠ , ∴ ∠ -∠ =∠ -∠ ,
EF EG EF EH 即 BAC EAD
∴ = , = , ∠ =∠ ,
EF EG EH 在 ABC和 AED中
∴ = = , △ △ ,
即点E到三边OA OB CD所在直线的距离相等 AB AE
、 、 ; ∵ = ,
分 BAC EAD
……………………………………… (4 ) ∠ =∠ ,
解: BDE 是 ODE 的外角 CDB 是 AC AD
(2) ∵ ∠ △ ,∠ = ,
OCD的外角 ABC AED
△ , ∴ △ ≌△ (SAS),
OED BDE EOD OCD CDB COD ABC AED °
∴ ∠ =∠ -∠ ,∠ =∠ -∠ , ∴ ∠ =∠ =150 ,
由 知 EG EH EG OB EH CD ABE °
(1) , = , ⊥ , ⊥ , ∵ ∠ =60 ,
DE平分 CDB CBE ABC ABE ° ° °.
∴ ∠ , ∴ ∠ =∠ -∠ =150 -60 =90
3. 证明: ABC和 ADE是等腰直角三角形
BDE 1 CDB ∵ △ △ ,
∴ ∠ = ∠ , AB AC AD AE BAC DAE °
2 ∴ = , = ,∠ =∠ =90 ,
OE平分 AOB BAC CAD DAE CAD
∵ ∠ , ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
即 BAD CAE
EOD 1 AOB 分 ∠ =∠ ,
∴ ∠ = ∠ , …………………… (6 ) 在 ABD和 ACE中
2 △ △ ,
AB AC OED BDE EOD 1 CDB ∵ = ,
∴ ∠ = ∠ - ∠ = ∠ -
2 BAD CAE
∠ =∠ ,
1 AOB 1 CDB AOB 1 OCD AD AE ∠ = (∠ -∠ )= ∠ , = ,
2 2 2 ABD ACE
OCD OED ° ∴ △ ≌△ (SAS),
章 ∴ ∠ =2∠ =60 , ADB AEC
ACD ° ∴ ∠ =∠ ,
全
∴ ∠ =120 , DAE ° ADE AED °
又 CE平分 ACD ∵ ∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =90 ,
等 ∵ ∠ , ADE AEC CED °
三 ∴ ∠ +∠ +∠ =90 ,
角 DCE 1 ACD °. 分 ADE ADB CED °
∴ ∠ = ∠ =60 …………… (12 ) ∴ ∠ +∠ +∠ =90 ,
形 2 即 FDE CED °
' " ∠ +∠ =90 ,
$ DFE ° CFD °.
∴ ∠ =90 ,∴ ∠ =90
&
) 4. 证明:如解图 连结AE CG交于点M
, 、 ,
在正方形ABCD和正方形DEFG中 AD CD DE
0 % ( # ∵ , = ,
DG ADC EDG
第 题解图 = ,∠ =∠ ,
13
ADC CDE EDG CDE
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
专题 全等三角形中的“手拉手”问题 即 ADE CDG
∠ =∠ ,
在 ADE和 CDG中
一阶 识别“手拉手” △ △ ,
AD CD
∵ = ,
1. 解:BD CE.理由如下 ADE CDG
= : ∠ =∠ ,
根据题意 得AB AC AD AE BAC DAE DE DG
, = , = ,∠ =∠ , = ,
BAC CAD CAD DAE ADE CDG
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ , ∴ △ ≌△ (SAS),
即 BAD CAE EAD GCD
∠ =∠ , ∴ ∠ =∠ ,
在 ABD与 ACE中 设CD与AE交点为H
△ △ , ,
AB AC EAD AHD ° AHD CHE
∵ = , ∵ ∠ +∠ =90 ,∠ =∠ ,
BAD CAE GCD CHE ° CMH °
∠ =∠ , ∴ ∠ +∠ =90 ,∴ ∠ =90 ,
12参考答案
周
测
小
卷
第
12
AE CG AEB ACD 即 AEP ACQ
∴ ⊥ , ∴ ∠ =∠ , ∠ =∠ ,
AC AG BAD CAE °
∵ = , ∵ ∠ =∠ =60 ,
AE为CG的垂直平分线 DAE ° 即 PAE QAC
∴ , ∴ ∠ =60 , ∠ =∠ ,
CE GE. 在 EAP和 CAQ中
∴ = △ △ ,
# $ AEP ACQ
. ∵ ∠ =∠ ,
AE AC
& = ,
)
PAE QAC
∠ =∠ ,
'
" % EAP CAQ
∴ △ ≌△ (ASA),
( AP AQ
∴ = ,
第 题解图 PAQ °
4 ∵ ∠ =60 ,
APQ为等边三角形.
二阶 综合训练 ∴ △
专题 全等三角形中的“一线三等角”问题
1. 证明: AB BC BAC BED °
(1) ∵ = ,∠ =∠ =30 ,
BAC BCA ° 一阶 识别“一线三等角”
∴ ∠ =∠ =30 ,
ABC ° ° ° °
∴ ∠ =180 -30 -30 =120 , 1. 证明: DEF B BED DEF CEF
BD BE BDE BED ° ∵ ∠ =∠ ,∠ +∠ +∠ =
∵ = ,∴ ∠ =∠ =30 , ° BED B BDE °
DBE ° ° ° ° 180 ,∠ +∠ +∠ =180 ,
∴ ∠ =180 -30 -30 =120 , BDE CEF
ABC DBE ∴ ∠ =∠ ,
∴ ∠ =∠ , 在 BDE和 CEF中
ABC CBD DBE CBD △ △ ,
∴ ∠ -∠ =∠ -∠ , BDE CEF
即 ABD CBE ∵ ∠ =∠ ,
∠ =∠ , B C
在 ABD和 CBE中 ∠ =∠ ,
△ △ , BE CF
AB CB = ,
∵ = , BDE CEF .
ABD CBE ∴ △ ≌△ (AAS)
∠ =∠ , 2. 证明: ACB °
BD BE ∵ ∠ =90 ,
= ,
ACD BCE °
ABD CBE ∴ ∠ +∠ =90 , 章
∴ △ ≌△ (SAS),
BE CD
AD CE ∵ ⊥ , 全
∴ = ;
解:由 得 ABD CBE ∴ ∠ BEC =90 ° , 等
(2) (1) ,△ ≌△ , 三
BCE CBE °
BAD BCE BAC CAF ° CAF ∴ ∠ +∠ =90 , 角
∴ ∠ =∠ =∠ +∠ =30 +∠ ,
ACD CBE 形
ACE ACB BCE ° BCE ACE ∴ ∠ =∠ ,
∵ ∠ =∠ +∠ =30 +∠ ,∠ =
在 ACD和 CBE中
CAF F △ △ ,
∠ +∠ ,
ADC CEB
CAF F ° BCE ∵ ∠ =∠ ,
∴ ∠ +∠ =30 +∠ ,
ACD CBE
CAF F ° ° CAF ∠ =∠ ,
∴ ∠ +∠ =30 +30 +∠ ,
AC CB
F °. = ,
∴ ∠ =60
2. 证明: ABD ACE是等边三角形 ACD CBE
∴ △ ≌△ (AAS),
(1) ∵ △ 、△ ,
AD CE.
AB AD AE AC BAD EAC °
∴ = , = ,∠ =∠ =60 , ∴ =
BAD DAE EAC DAE 3. 解: DAB DBE BCE α
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ , ∵ ∠ =∠ =∠ = ,
即 BAE DAC DBA EBC ° α DBA BDA
∠ =∠ , ∴ ∠ +∠ = 180 - ,∠ +∠ =
在 BAE和 DAC中 ° α
△ △ , 180 - ,
AB AD 即 BDA EBC
∵ = , ∠ =∠ ,
BAE DAC 在 BDA和 EBC中
∠ =∠ , △ △ ,
AE AC DAB BCE
= , ∵ ∠ =∠ ,
BAE DAC BDA EBC
∴ △ ≌△ (SAS); ∠ =∠ ,
解: APQ为等边三角形.理由如下 DB BE
(2) △ : = ,
由 得 BAE DAC BDA EBC
(1) ,△ ≌△ , ∴ △ ≌△ (AAS),
13大小卷 数学 ·八年级(上册)
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周
测
小
卷
第
12
AD BC AB CE
三阶 综合训练
∴ = , = ,
AD CE BC AB AC
∴ + = + = , 1. 证明: BAE ABE BAC BAE
AC CE (1) ∵ ∠1=∠ +∠ ,∠ =∠ +
∵ =10, =7, CAF 且 BAC
AD AC CE . ∠ , ∠1=∠2=∠ ,
∴ = - =10-7=3 ABE CAF AEB CFA
∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ ,
二阶 构造“一线三等角”
在 ABE和 CAF中
△ △ ,
1. 解:如解图 过点 E 作 EF AB 交 BA 的延长线于 AEB CFA
, ⊥ ∵ ∠ =∠ ,
点F ABE CAF
, ∠ =∠ ,
EFA ° AB CA
∴ ∠ =90 , = ,
CAE ° ABE CAF
∵ ∠ =90 , ∴ △ ≌△ (AAS),
AEF EAF ° EAF CAB ° BE AF
∴ ∠ +∠ = 90 ,∠ +∠ = 180 - ∴ = ;
CAE ° ° ° 解: CD BD
∠ =180 -90 =90 , (2) ∵ =2 ,
AEF CAB S S
∴ ∠ =∠ , ∴ △ ACD ∶ △ ABD=2 ∶ 1,
在 AEF和 CAB中 S S S S
△ △ , ∵ △ ABC=21, △ ACD+ △ ABD= △ ABC,
EFA ABC S
∵ ∠ =∠ , ∴ △ ABD=7,
AEF CAB 由 知 ABE CAF
∠ =∠ , (1) ,△ ≌△ ,
AE CA S S
= , ∴ △ ABE= △ ACF,
AEF CAB S S S S S
∴ △ ≌△ (AAS), ∴ △ ACF+ △ BDE= △ ABE+ △ BDE= △ ABD=7,
EF AB ACF与 BDE的面积之和为 .
∴ = =6, ∴ △ △ 7
2. 证明: AE AB
S 1AB EF 1 . (1) ∵ ⊥ ,
∴ △ EAB= · = ×6×6=18 DAE ° 2 2 ∴ ∠ =90 ,
$ 在 ADE和 BCD中
& Rt△ Rt△ ,
AD BC
∵ = ,
DE CD
= ,
章
' " # ADE BCD
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),
全 第 题解图 AE BD
等 4 ∴ = ;
解: AE AB
三 2. 解: ACB BDE ° (2) ∵ ⊥ ,
角 ∵ ∠ =∠ =90 , DAE °
形 BDC DBC EDF BDC ° ∴ ∠ =90 ,
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ =90 , 在 ADE和 BCD中
DBC EDF Rt△ Rt△ ,
∴ ∠ =∠ , AD BC
EF AC ∵ = ,
∵ ⊥ , DE CD
DCB F ° = ,
∴ ∠ =∠ =90 , ADE BCD
在 BCD和 DFE中 ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),
△ △ , BD AE
DCB F ∴ = =1,
∵ ∠ =∠ , AB
DBC EDF ∵ =2,
∠ =∠ , AD AB BD .
BD DE ∴ = + =2+1=3
= ,
专题 构造“倍长中线”利用全等、
BCD DFE
∴ △ ≌△ (AAS),
EF CD 等腰三角形解线段计算与证明
∴ = =3,
ECD °
∵ ∠ =135 ,
一阶 基础训练
ECF ° ECD ° ° °
∴ ∠ =180 -∠ =180 -135 =45 ,
F ° 1. 解:如解图 延长AD至点E 使AD DE 连结BE
∵ ∠ =90 , , , = , ,
CEF为等腰直角三角形 AD是BC边上的中线 BD CD
∴ △ , ∵ ,∴ = ,
CF EF 在 ADC和 EDB中
∴ = =3, △ △ ,
DF CD CF . AD ED
∴ = + =3+3=6 ∵ = ,
14参考答案
周
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卷
第
12
ADC EDB EF EA
∠ =∠ , ∵ = ,
CD BD DEF CEA
= , ∠ =∠ ,
ADC EDB DE CE
∴ △ ≌△ (SAS), = ,
BE AC DEF CEA
∴ = =5, ∴ △ ≌△ (SAS),
BE AB AE BE AB AE AD DF CA EDF C
∵ - < < + , =2 , ∴ = ,∠ =∠ ,
BE AB AD BE AB D是BC的中点
∴ - <2 < + , ∵ ,
AD BD CD
∴ 2<2 <8, ∴ = ,
AD . CA CD
∴ 1< <4 ∵ = ,
" BD CD CA DF DAC ADC
∴ = = = ,∠ =∠ ,
ADB DAC C ADF ADC EDF
∵ ∠ =∠ +∠ ,∠ =∠ +∠ ,
ADB ADF
# % $ ∴ ∠ =∠ ,
在 ADB和 ADF中
△ △ ,
& AD AD
∵ = ,
第 题解图 ADB ADF
1 ∠ =∠ ,
BD FD
2. 证明:如解图 延长CE至点P 使PE CE 连结AP = ,
, , = , ,
ADB ADF
E为AD边的中点 ∴ △ ≌△ (SAS),
∵ ,
AB AF
AE DE ∴ = =10,
∴ = ,
EF EA
在 AEP和 DEC中 ∵ = ,
△ △ ,
PE CE AE 1AF 1 .
∵ = , ∴ = = ×10=5
AEP DEC 2 2
∠ =∠ , "
AE DE
= ,
AEP DEC
∴ △ ≌△ (SAS), # % & $
AP CD P ECD
∴ = ,∠ =∠ ,
AP CD '
∴ ∥ , 章
AB CD 第 题解图
∵ ∥ , 1
全
点P A B在同一条直线上
∴ 、 、 , 2. 证明: AD EF 等
(1) ∵ ∥ ,
CE平分 BCD 三
∵ ∠ , ∴ ∠ BAD =∠ AGF ,∠ DAC =∠ F , 角
BCP DCP
∴ ∠ =∠ , AD平分 BAC 形
∵ ∠ ,
BCP P
∴ ∠ =∠ , BAD DAC
∴ ∠ =∠ ,
BC BP
∴ = , F AGF
∴ ∠ =∠ ;
AB CD AB AP BP
∴ + = + = , 解:BG CF.理由如下
(2) = :
BC AB CD.
∴ = + 如解图 过点C作CH AB交FE的延长线于点H
, ∥ ,
1 " #
AB CH
∵ ∥ ,
B HCE AGF H
& ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ ,
E是BC的中点
∵ ,
% $ BE CE
∴ = ,
第 题解图 在 BEG和 CEH中
2 △ △ ,
B HCE
二阶 综合训练 ∵ ∠ =∠ ,
BE CE
= ,
1. 解:如解图 延长AE至点F 使EF EA 连结DF BEG CEH
, , = , , ∠ =∠ ,
E是DC的中点 BEG CEH
∵ , ∴ △ ≌△ (ASA),
DE CE BG CH
∴ = , ∴ = ,
在 DEF和CEA中 由 得 F AGF
△ , (1) ,∠ =∠ ,
15大小卷 数学 ·八年级(上册)
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测
小
卷
第
12
F H CF CH 为 ° 当x x °均为底角时 x x ° 解
∴ ∠ =∠ ,∴ = , 105 ;③ ,2 +30 , =2 +30 ,
BG CF. 得x ° 不符合题意 舍去. 综上所述 这个三
∴ = =-30 , , ,
' 角形的顶角度数为 °或 °.
24 105
"
( 6. 解: AB AC AD BC
∵ = , ⊥ ,
BAD CAD
∴ ∠ =∠ ,
# & % $ DE AB AED BED °
∵ ⊥ ,∴ ∠ =∠ =90 ,
如解图 当等腰 ABC的顶角为 °时
) ①, △ 66 ,
ADE ° AED BAD ° °
第 题解图 ∠ = 180 - ∠ - ∠ = 180 - 90 -
2
1 ° °
专题 与等腰三角形有关的分类讨论 ×66 =57 ;
2
如解图 当等腰 ABC的底角为 °时
分类训练 ②, △ 66 ,
BAC ° ° °
∠ =180 -2×66 =48 ,
1. B 【解析】若等腰三角形的腰长是 则等腰三角
2, ADE ° AED BAD ° ° 1
形的底边长是 不满足三角形三边关系 ∴ ∠ =180 -∠ -∠ =180 -90 - ×
8-2×2=4, 2
定理 舍去 若等腰三角形的底边长是 则等腰三 ° °.
, ; 2, 48 =66
综上所述 ADE的度数是 °或 °.
角形的腰长是1 满足三角形三边关系 ∴ ,∠ 57 66
×(8-2)= 3, "
2 "
定理.综上所述 等腰三角形的腰长是 .
, 3
c
2. B 【解析】当点 A 为顶点 AB 为腰时 如解图 c
, , ①; &
当点B为顶点 AB为腰时 不存在格点 C 使 AB &
, , , =
CB 当AB为底时 如解图 .综上所述 点 C 的个 # % $ # % $
; , ② ,
数为 个.
4
第 题解图
$ 6
$
" " $
7. 解:如解图 若 BAC 为锐角 则点 D 在线段
①, ∠ ,
章 AB上
,
# $ #
全
∵
CD
⊥
AB
,∠
ACD
=40
°
,
等 A ° ADC ACD ° ° ° °
三 ∴ ∠ =180 -∠ -∠ =180 -90 -40 =50 ,
第 题解图
角 2 AB AC
∵ = ,
形 3. 【解析】 a b 2 a b 当
10 ∵ | -4|+( -2) =0,∴ =4, =2, B 1 ° A 1 ° ° °
ABC为等腰三角形 分情况讨论 当腰长为 ∴ ∠ = (180 -∠ )= ×(180 -50 )= 65 ;
△ , :① 2 2
a 时 ABC的三边长分别为 此时满足 如解图 若 BAC 为钝角 则点 D 在 BA 的延长
=4 ,△ 4、4、2, ②, ∠ ,
三角形三边关系定理 故周长为 当 线上
, 4+4+2=10;② ,
腰长为b 时 ABC 的三边长分别为 此 CD BD ACD °
=2 ,△ 2、2、4, ∵ ⊥ ,∠ =40 ,
时不满足三角形三边关系定理 舍去. 综上所述 DAC ° D ACD ° ° ° °
, , ∴ ∠ =180 -∠ -∠ =180 -90 -40 =50 ,
ABC的周长为 . AB AC
△ 10 ∵ = ,
4. B 【解析】等腰三角形的一个角是 ° 分情况讨
70 , B BCA 1 DAC 1 ° °
论 当顶角为 °时 底角为( ° ° ∴ ∠ =∠ = ∠ = ×50 =25 ,
:① 70 , 180 -70 )÷2= 2 2
° 底角为 °. 综上所述 底角度数为 ° 综上所述 B的度数为 °或 °.
55 ;② 70 , 70 ∴ ,∠ 25 65
或 °. "
55 %
5. °或 ° 【解析】分情况讨论 当 x 为顶角 "
24 105 :① , %
x °为底角时 x x ° ° 解得 x
2 +30 , +2(2 +30 )= 180 , =
# $ $
° 这个三角形的顶角度数为 ° 当 x为底 #
24 ,∴ 24 ;②
角 x °为顶角时 x x ° ° 解得 x
,2 +30 ,2 +(2 +30 )= 180 ,
第 题解图
. ° x ° ° 这个三角形的顶角度数 7
=37 5 ,2 +30 =105 ,∴
16参考答案
周
测
小
卷
第
12
8. 解:分情况讨论 如解图 若 BAC为锐角 ° °
: ①, ∠ , 140 )= 20 ,
EF垂直平分AB FBC FBA ABC ° ° °
∵ , ∴ ∠ =∠ +∠ =40 +20 =60 ,
AF BF 即 A ABF 综上所述 FBC的度数为 °或 °.
∴ = , ∠ =∠ , ∴ ,∠ 30 60
AFB ° "
∵ ∠ =100 ,
A ABF 1 ° AFB 1 ° & '
∴ ∠ =∠ = (180 -∠ )= ×(180 - '
2 2 "
° ° &
100 )= 40 , # $ # $
在 ABC中 AB AC
△ ,∵ = ,
ABC C 1 ° A 1 ° ° ° 第 题解图
∴ ∠ =∠ = (180 -∠ )= ×(180 -40 )=70 , 8
2 2
9. 解: AB AC B C °
FBC ABC ABF ° ° ° ∵ = ,∴ ∠ =∠ =36 ,
∴ ∠ =∠ -∠ =70 -40 =30 ;
当 ABD为等腰三角形时 分三种情况讨论
如解图 若 BAC为钝角
△ , :
②, ∠ ,
当AB AD时 ADB ABD ° 即点D与点
EF垂直平分AB
① = ,∠ =∠ =36 ,
∵ ,
C重合 不符合题意
FA FB
, ;
∴ = ,
° B
当 AB BD 时 BAD BDA 180 -∠
FAB FBA 1 ° AFB 1 ° ② = ,∠ = ∠ = =
∴ ∠ =∠ = (180 -∠ )= ×(180 -
2
2 2
° °
100 ° )= 40 ° , 180 -36 =72 ° ;
BAC ° FAB ° ° ° 2
∴ ∠ =180 -∠ =180 -40 =140 , 当BD AD时 BAD B °
在 ABC中 AB AC ③ = ,∠ =∠ =36 ,
△ ,∵ = , 综上所述 BAD的度数为 °或 °.
∴ ,∠ 72 36
ABC C 1 ° BAC 1 °
∴ ∠ =∠ = (180 -∠ )= ×(180 -
2 2
章
全
等
三
角
形
17参考答案
期中检测
"A?A
期中小卷集训(一) x2 xy x
=(8 -6 )÷2
x y 分
1 B 【解析】 . 4 都是有理数 只有π =4 -3 ,………………………… (5 )
. 3 14, 9 =3,- , 当x y 时 原式
7 2 =5, =3 , =4×5-3×3
是无理数. . 分
=11 ……………… (8 )
2. B 【解析】 a3 2 a3×2 a6 选项不符合题意 12. 解: AB DE
( ) = = ,A ; ∵ ∥ ,
a2 a3 a2+3 a5 选项符合题意 a b a b A D
· = = ,B ;(2 + )(2 - )= ∴ ∠ =∠ ,
a2 b2 选项不符合题意 a 2 a2 a 又 AF DC
4 - ,C ;(2 +1) =4 +4 +1, ∵ = ,
选项不符合题意.
AF FC DC FC 即AC DF
D ∴ + = + , = ,
3. B 【解析】 在 ABC与 DEF中
∵ 25< 34< 36,∴5< 34<6,∴ 8< △ △ ,
. AB DE
34+3<9 ∵ = ,
4. D 【解析】 AC 垂直平分 BD AB AD BC A D
∵ ,∴ = , = ∠ =∠ ,
DC AD BC 四边形 ABCD 的周长为 AC DF
,∵ =3, =2,∴ = ,
AB AD BC DC . ABC DEF 分
+ + + =3+3+2+2=10 ∴ △ ≌△ (SAS), ……………… (7 )
5. C 【解析】共有 对全等三角形 分别为 ABD E B °
5 , △ ≌ ∴ ∠ =∠ =58 ,
ACE BCD CBE BEF CDF ABF DFE ° D E ° ° ° °.
△ ,△ ≌△ ,△ ≌△ ,△ ≌ ∴ ∠ =180 -∠ -∠ =180 -43 -58 =79 周
ACF AEF ADF. 分
△ ,△ ≌△ ……………………………………… (10 ) 测
6. B 【解析】根据题图知 空白部分由 个三角形和 13. 解: 在等腰 ABC 和等腰 AME 中 小
, 4 (1) Rt△ Rt△ ,
卷
BAC MAE ° AB AC AM AE B
个小正方形组成 S 1 x y y 1 xy ∠ = ∠ = 90 , = , = ,∠
1 ,∴ 2=
2
( + )· ·2+
2
·
°
=45 ,
2+( x - y ) 2 = x2 +2 y2 ,∴ 阴影部分为大正方形减空白 BAM MAC ° CAE MAC ° 即 期
部分 ,∴ S 1=( x + y ) 2 - S 2= x2 +2 xy + y2 - x2 -2 y2 =2 xy - ∴
∠
∠ BAM
=∠
+∠ CAE
,
=90 ,∠ +∠ =90 , 中 检
y2 ,∵ x =2 y ,∴ S 1=2·2 y · y - y2 =3 y2 , S 2=(2 y ) 2 + 在
△
ABM和
△
ACE中
,
测
2
y2
=6
y2
,∴
S
1 ∶
S
2=1 ∶ 2
.
∵ AB = AC ,
7.
2(
x
+2)(
x
-2)
【解析】
2
x2
-8=2(
x2
-4)= 2(
x
+ BAM CAE
∠ =∠ ,
x .
2)( -2) AM AE
= ,
8. 3 【解析】 ∵2×4×8 m =2×2 2 ×2 3 m =2 1+2+3 m =2 12 ,∴ 1+ ABM ACE
∴ △ ≌△ (SAS),
m 解得m .
2+3 =12, =3 ACE B ° 分
∴ ∠ =∠ =45 ; …………………… (5 )
9. ° 【解析】 DE AB CDE A °
18 ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ = 48 , BM CE 且BM CE. 分
(2) = , ⊥ ……………… (6 )
° A
AB AC A ° C ABC 180 -∠ 理由如下
∵ = ,∠ =48 ,∴ ∠ =∠ = = :
2 如解图 延长BM与CE交于点D
° BD BC BDC C ° BDE , ,
66 ,∵ = ,∴ ∠ =∠ =66 ,∴ ∠ = 在等腰 ABC 和等腰 AME 中 BAC
BDC CDE °. Rt△ Rt△ ,∠ =
∠ -∠ =18 MAE ° AB AC AM AE
∠ =90 , = , = ,
10. 或20 【解析】分情况讨论 当 t 时 ABC ACB °
4 :① 0< <5 , ∴ ∠ =∠ =45 ,
3
BAM MAC ° CAE MAC °
点P从C到B运动 则BP BC CP t QA ∵ ∠ +∠ =90 ,∠ +∠ =90 ,
, = - =20-4 , =
即 BAM CAE
t BDP QEA BP QA 即 t t 解 ∠ =∠ ,
,∵ △ ≌△ ,∴ = , 20-4 = ,
在 ABM和 ACE中
得t 当 t 时 点P从B到C运动 则 △ △ ,
=4;② 5≤ ≤10 , ,
AB AC
BP t QA t BDP QEA BP QA ∵ = ,
=4 -20, = ,∵ △ ≌△ ,∴ = ,
BAM CAE
即 t t 解得 t 20. 综上所述 当 t 或20
∠ =∠ ,
4 -20= , = , =4 AM AE
3 3 = ,
时 BDP QEA. ABM ACE
,△ ≌△ ∴ △ ≌△ (SAS),
11. 解:原式 x2 xy y2 x2 y2 xy x BM CE ABM ACE
=(4 -4 + +4 - -2 )÷2 ∴ = ,∠ =∠ ,
1大小卷 数学 ·八年级(上册)
HS
ABM MBC ° .
∵ ∠ +∠ =45 , 17
ACE MBC ° 8. 【解析】 ABC FDE EF AC BC
∴ ∠ +∠ =45 , 7 ∵ △ ≌△ ,∴ = =5, =
ACE MBC ACB ° ° ° DE BF BC EF CE .
∴ ∠ +∠ +∠ =45 +45 =90 , =3,∴ = + - =3+5-1=7
∴ ∠ BDC =90 ° , 即BD ⊥ CE , 9. 89 【解析】 ∵ a2 + b2 =( a - b ) 2 +2 ab =8 2 +2×5=74,
∴
BM
⊥
CE.
…………………………… (12
分
) ∴
a2
+
b2
+3
ab
=74+3×5=89
.
" & 10. 【解析】 DC 平分 ADB ADB °
2 ∵ ∠ ,∠ =60 ,
1 % ADC BDC ° DC AB DCB
∴ ∠ =∠ =30 ,∵ ⊥ ,∴ ∠ =
. DCA ° B DAB ° ° °
# $ ∠ =90 ,∴ ∠ =∠ = 90 -30 = 60 ,
ADB B DAB ° ADB 是等边三
第 题解图 ∴ ∠ =∠ =∠ =60 ,∴ △
13 角形 AD BD DC AB AB AC BC
期中小卷集训(二) ,∴ = ,∵ ⊥ , =4,∴ = =
CE AD BEC ADB ° CEB
2,∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ =60 ,∴ ∠ =
1. C
CBE ECB ° CEB 是等边三角形
∠ =∠ =60 ,∴ △ ,
2. A 【解析】 ( x -6) 2 - x +6=( x -6) 2 -( x -6)=( x -6)( x -6- CE CB .
∴ = =2
1)=( x -6)( x -7) . 11. 解:
(1)
原式
=3(
x2
+4
x
+4)
3. B 【解析】 AB AC D 是 BC 的中点 AD
∵ = , ,∴ ⊥ =3( x2 +4 x +2 2 )
BC ,∴ ∠ ADB = 90 ° ,∵ ∠ CBE = 20 ° ,∴ ∠ AOE = =3( x +2) 2 ;………………… (4 分 )
∠ BOD =180 ° -∠ ADB -∠ CBE = 180 ° -90 ° -20 ° = (2) 原式 =4 x2 - y2 -(2 x2 -3 y2 )
°.
70 =4
x2
-
y2
-2
x2
+3
y2
周
4. A 【解析】
∵
正方形的面积为
7,∴
正方形的边长
=2
x2
+2
y2.
……………………… (8
分
)
测 为 根据题意可知 CE CB 点 C 表示的 12. 解:在 AOC和 BOD中
7, , = = 7,∵ △ △ ,
小
数为 且点E在点C的左侧 点 E 表示的数为 OA OB
卷 2, ,∴ ∵ = ,
. OC OD
2- 7 = ,
5. C 【解析】根据题意可得 长方形停车场的一边长 AC BD
期 , = ,
中 为 (2 a +10)m, 另一边长为 (2 a -10)m, 则其面积为 ∴ △ AOC ≌△ BOD (SSS),
检
测 (2
a
+10)(2
a
-10)= (4
a2
-100)m
2. 原有的正方形
∴ ∠
ACO
=∠
D
=130
°
,
AOC ° ACO A °
草坪面积为 a 2 a2 a2 a2 ∴ ∠ =180 -∠ -∠ =30 ,
(2 ) =4 ,∴ 4 -100-4 =-100,
OC平分 AOB
改造后的长方形停车场面积相比原有的正方形
∵ ∠ ,
∴
草坪面积减少了 2. ∴ ∠
AOE
=2∠
AOC
=60
°
,
100 m
AEB A AOE °. 分
6. C 【解析】如解图 过点 A 作 AE AC 过点 D 作 ∴ ∠ =∠ +∠ =80 ………… (10 )
, ⊥ ,
13. 解: 设 x a x b
DE AE 于点 E 则 CAD DAE ° AED (1) 30- = , -20= ,
⊥ , ∠ +∠ =90 ,∠ =
则 x x ab
° ACB AED BAD ° CAD (30- )( -20)= =-10,
90 ,∴ ∠ =∠ ,∵ ∠ =90 ,∴ ∠ +
a b x x
BAC ° BAC DAE 在 BAC和 DAE + =(30- )+( -20)= 10,
∠ =90 ,∴ ∠ =∠ , △ △
中 ACB AED BAC DAE AB AD ∴ (30- x ) 2 +( x -20) 2 = a2 + b2 =( a + b ) 2 -2 ab =10 2 -
,∵ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ , = ,
分
BAC DAE AE AC DE 2×(-10)= 120; ………………………… (6 )
∴ △ ≌△ (AAS),∴ = =10 m, =
根据题意可知 ED AD AE x DG DC
(2) , = - = -1, = -
BC S S S S 1
=2 m, △ ADE= △ ABC,∴ 四边形ABCD= 梯形ACDE= × CG = x -2,
2
(2+10)×10=60 (m 2 ) . ∵
长方形EFGD的面积是
5,
x x
" & ∴ ( -1)( -2)= 5,
设x a x b
% -1= , -2= ,
则a b x x ab
- =( -1)-( -2)= 1, =5,
a2 b2 a b 2 ab 2
∴ + =( - ) +2 =1 +2×5=11,
四边形NGDH和四边形MEDQ是正方形 四边
∵ ,
# $
形EFGD和四边形PQDH是长方形
,
第 题解图
6 阴影部分的面积为 ED2 ED DG DG2 DH
∴ + · + + ·
7. 【解析】 2 2 QD x 2 x x x 2 x x
< ∵ 4 =16,( 17) = 17,16<17,∴ 4< =( -1) +( -1)( -2)+( -2) +( -2)( -
2参考答案
a2 ab b2 ab a2 b2 ab . B BAE AEC B BAE B
1)= + + + = + +2 =11+2×5=21 … ∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ = ∠ +∠ = 2∠ ,
分 C B AEC C AE AC BE
……………………………………… (12 ) ∵ ∠ =2∠ ,∴ ∠ =∠ ,∴ = =5,∴ =
期中小卷集训(三) CE BC BE .
5,∴ = - =12-5=7
"
1. A 【解析】 3 .
-27=-3 %
2. D
3. B 【解析】两点之间线段最短 故 错误 中需 # & $
, ① ;②
要加上 在同一平面内 故 错误 互补的角不一 第 题解图
“ ”, ② ; 9
定是平角 平角分成的两个角互补 故 错误 对
顶角一定 , 相等 互为邻补角的平分 , 线一 ③ 定互相 ; 垂 10. an - bn , 3 20 +3 【解析】令 3 19 -3 18 +3 17 -…+3 3 -3 2 +
, 4
直 故 正确 中需要加上 在同一平面内 m 则m 20-1 0 20-2 1 20-18
, ④、⑤ ;⑥ “ ”, 3= , =3 ×(-1) +3 ×(-1) +…+3 ×
故 错误.
17 20-19 18 20-20 19
⑥ (-1) +3 ×(-1) +3 ×(-1) +1,∵ [3-
4. C 【解析】如解图 过点 D 作 DE AC 于点 E
20-1 0 20-2 1 20-18
, ⊥ , (-1)]×[3 ×(-1) +3 ×(-1) +…+3 ×
CD 平分 ACB AB BC DE BD
∵ ∠ , ⊥ ,∴ = = 3, (-1) 17 +3 20-19 ×(-1) 18 +3 20-20 ×(-1) 19 ] = 3 20 -
20 20 20-1 0 20-2 1
ACD的面积为1 AC DE 1 . (-1) =3 -1,∴ 3 ×(-1) +3 ×(-1) +…+
∴ △ · = ×10×3=15
2 2 20-18 17 20-19 18 20-20 19
3 ×(-1) +3 ×(-1) +3 ×(-1) =
"
20 20 20
3 -1 m 3 -1 3 +3.
,∴ = +1=
& 3-(-1) 3-(-1) 4
11. 解: 根据题意 得绿化区域的面积可表示为
(1) ,
%
a b b a b a b
周
(4 +3 )(4 -2 )-2×2 ( + )
# $ =16
ab
-8
a2
+12
b2
-6
ab
-4
ab
-4
b2 测
小
第 题解图 ab a2 b2 分
4 =6 -8 +8 ; ………………………… (4 ) 卷
a 米 b 米
5. B 【解析】题图 阴影部分的面积为a2 b2 题图 (2)∵ =10 , =20 ,
① -4 ;
② 阴影部分是长为 a +2 b , 宽为 a -2 b 的长方形 , 因 ∴ 6 ab -8 a2 +8 b2 =6 ×10×2
平
0-
方
8
米
×10
.
2 +8×20 2 期
此面积为 a b a b 两个图形中阴影部分 =3 600( ) 中
( +2 )( -2 ),∵ 绿化区域的面积为 平方米. 分 检
的面积相等 ,∴ a2 -4 b2 =( a +2 b )( a -2 b ) . 12. ∴ 解: 3 600 …… (8 分 ) 测
6. B 【解析】如解图 将 ADF 绕点 A 顺时针旋转 (1)<;………………………………… (3 )
, △
解法提示 a b 2 c2 a b c a b c a
°得到 ABH 由旋转的性质 得AH AF BAH 【 】( - ) - =( - + )( - - ),∵ 、
90 △ , , = ,∠ =
b c分别是 ABC的三条边长 a c b a b c
DAF EAF ° BAD ° EAH 、 △ ,∴ + > , - < ,
∠ ,∵ ∠ = 45 ,∠ = 90 ,∴ ∠ =
a b c a b c a b c a b c
EAB BAH EAB DAF BAD EAF ∴ - + >0, - - <0,∴ ( - + )( - - )<
∠ +∠ =∠ +∠ =∠ -∠ =
即 a b 2 c2 .
° 即 EAF EAH 在 AEF 和 AEH 中 0, ( - ) - <0
45 , ∠ =∠ , △ △ ,∵
三角形ABC是等边三角形. 分
AF AH EAF EAH AE AE AEF (2) ……… (4 )
= ,∠ = ∠ , = ,∴ △ ≌
理由如下
:
AEH EH EF S S 1
△ (SAS),∴ = =5,∴ △ AEF= △ AEH= ×5 a2 + b2 +2 c2 -2 ac -2 bc
2
. =
a2
-2
ac
+
c2
+
b2
-2
bc
+
c2
×6=15
" % a c 2 b c 2
=( - ) +( - ) =0,
a c b c
∴ - =0, - =0,
' a b c都为正数
∵ 、 、 ,
a b c
∴ = = ,
) # & $ 三角形ABC是等边三角形. 分
∴ ………… (10 )
第 题解图 13. 解:DE CE BD. 分
6 (1) = - …………………… (1 )
7. x y y 理由如下
2 (2 +1)(2 -1) :
8. 【解析】 a b 即 a b a b BD AD CE AD BAC °
16 ∵3 -5 -4=0, 3 -5 =4,∴8 ÷32 = ∵ ⊥ , ⊥ ,∠ =90 ,
3 a 5 b 3 a -5 b 4 . ADB CEA BAC °
2 ÷2 =2 =2 =16 ∴ ∠ =∠ =∠ =90 ,
9. 【解析】如解图 连结AE D为边AB 的中点 BAD EAC ° ACE EAC °
7 , ,∵ , ∴ ∠ +∠ =90 ,∠ +∠ =90 ,
DE AB ED 为 AB 的垂直平分线 AE BE BAD ACE
⊥ ,∴ ,∴ = , ∴ ∠ =∠ ,
3大小卷 数学 ·八年级(上册)
HS
在 ABD与 CAE中 m n 2 m n 2 mn
△ △ , ∴ ( + ) =( - ) +4 =400,
ADB CEA m n m n
∵ ∠ =∠ , ∵ >0, >0,∴ + >0,
BAD ACE m n
∠ =∠ , ∴ + =20,
AB CA m2 n2 m n m n
= , ∴ - =( + )( - )= 20×4=80,
ABD CAE 即 a 2 a 2
∴ △ ≌△ (AAS), ( -2) -( -6) =80,
BD AE AD CE 阴影部分的面积为 .
∴ = , = , ∴ 80
DE AD AE CE BD 分
∴ = - = - ;………………… (7 ) 二阶 综合训练
证明:由 知 BD AE
(2) (1) , = , 1. 解: 题图 中所表示的面积恒等式为
AC CF CE AD (1) ②
∵ = , ⊥ ,
a b c 2 a2 b2 c2 ab bc ac
AE EF ( + + ) = + + +2 +2 +2 ,
∴ = , 验证如下
AF AE :
∴ =2 , 等式左边 a b c 2
AF BD. 分 =( + + )
∴ =2 …………………………… (12 )
a b c a b c
专题 整式乘法与图形面积 =( + + )( + + )
a2 ab ac ab b2 bc ac bc c2
= + + + + + + + +
一阶 大题小练
a2 b2 c2 ab bc ac 等式右边
= + + +2 +2 +2 = ,
题图 中表示的面积恒等式成立
1. 解:根据解图可知 长方形的长为a b 宽为 a b ∴ ② ;
, +4 , + , x y z 2 x2 y2 z2 xy yz xz
则a2 ab b2 a b a b . (2)∵ ( + + ) = + + +2 +2 +2 ,
+5 +4 =( +4 )( + ) x2 y2 z2 x y z 2 xy yz xz
画出长方形 如下 画法不唯一 ∴ + + =( + + ) -2( + + )
, :( ) 2
周 B C C C C
=9 -2×26
测 B =29;
小 (3)(2
a
+5
b
)(3
a
+4
b
)= 6
a2
+8
ab
+15
ab
+20
b2
卷 C a2 ab b2
=6 +23 +20 ,
第 题解图 答 分别需要题图 中 A 硬纸板 块 B 硬纸板
1 : ③ 6 ,
期
2. 解:根据题图 得 a b 2 故有a2 ab b2 23
块
,
C硬纸板
20
块.
中 ①, ( - ) =1, -2 + =1,
2. 解: 大正方形的面积可以看成 a b 2 也可以
检 根据题图 得 a b 2 a2 b2 故有 ab (1) ( + ) ,
②, ( + ) - - =12, 2 =12,
测
解得ab
=6
看成a2
+2×
1
(
a
+
a
+
b
)
b
=
a2
+2
ab
+
b2
,
a2 b2 2
∴ + =13, 故 a b 2 a2 ab b2
正方形A B的面积之和为 . ( + ) = +2 + ,
∴ 、 13 a b
3. 解:设每个白色长方形的长为a 宽为b a b (2)∵ - =4,
, ( > ), a b 2 a2 ab b2
根据题图 得 a b 2 ab ∴ ( - ) = -2 + =16,
①, ( + ) -4 =35, ab
即a2 ab b2 ab ∵ =12,
+2 + -4 =35, a2 b2 a b 2 ab ab
化简 得a2 b2 ab ∴ + =( - ) +2 =16+2 =16+2×12=40,
, + =2 +35,① a b 2 a2 ab b2
根据题图 得 a b a b ab ∴ ( + ) = +2 + =40+2×12=64,
②, (2 + )( +2 )-5 =102, 根据题意可知 a b均为正数 即a b
即 a2 ab ab b2 ab , 、 , + >0,
2 +4 + +2 -5 =102, a b
化简 得a2 b2 ∴ + =8;
, + =51,② AOB COD °
由 得 ab (3)∵ ∠ =∠ =90 ,
①,② 2 +35=51, AOC BOD °
解得ab ∴ ∠ =∠ =90 ,
=8, 根据题意 设OA OC m OB OD n
即每个白色长方形的面积为 . , = = , = = ,
8 AD S S
4. 解: 正方形ABCD的边长为a AE CF ∵ =10, 三角形AOC+ 三角形BOD=40,
∵ , =2, =6,
FM DE a DF a 即m n 1 m2 1n2
∴ = = -2, = -6, + =10, + =40,
2 2
∴ 阴影部分的面积为FM2 - DF2 =( a -2) 2 -( a -6) 2 , m2 n2
∴ + =80,
长方形EMFD的面积为
∵ 96,
阴影部分面积为 1 OA OB mn 1 m
a a ∵ 2× · = = [( +
∴ ( -2)( -6)= 96, 2 2
设 a m a n 则 mn a a
-2= , -6= , =( -2)( -6)= 96, n 2 m2 n2 1 2 .
m n ) -( + )]= ×(10 -80)= 10
- =4, 2
4参考答案
AMD AMF °
专题 特殊三角形与全等三角形的综合 ∴ ∠ =∠ =90 ,
在 AMD和 AMF中
△ △ ,
一阶 大题小练
AMD AMF
∵ ∠ =∠ ,
1. 解: ∠ BAC =∠ DBE.理由如下 : AM = AM ,
DAM FAM
CAD CAE DAE CAE BAE BAC
∵ ∠ +∠ =∠ ,∠ +∠ =∠ , ∠ =∠ ,
BAC DAE AMD AMF
∠ =∠ , ∴ △ ≌△ (ASA),
BAE CAD DM FM AD AF
∴ ∠ =∠ , ∴ = , = ,
在 BAE和 CAD中 M为BC边的中点
△ △ , ∵ ,
AB AC BM CM
∵ = , ∴ = ,
BAE CAD 在 BMF和 CMD中
∠ =∠ , △ △ ,
AE AD BM CM
= , ∵ = ,
BAE CAD BMF CMD
∴ △ ≌△ (SAS), ∠ =∠ ,
AEB ADC FM DM
∴ ∠ =∠ , = ,
DBE ° BDE AEB AED BAC BMF CMD
∵ ∠ =180 -∠ -∠ -∠ ,∠ = ∴ △ ≌△ (SAS),
DAE ° BDE ADB AED CD BF
∠ =180 -∠ -∠ -∠ , ∴ = ,
BAC DBE. AF AD AB BF AB CD
∴ ∠ =∠ ∴ = = + = + ,
2. 解:BE EF.理由如下 AD CD
= : ∵ =7, =4,
如解图 连结CF AB AF CD .
, , ∴ = - =7-4=3
ABC是等边三角形 %
∵ △ ,
" 周
BAC ° AB AC
∴ ∠ =60 , = , 测
AEF是等边三角形
小
∵ △ , # . $
AE AF EF EAF ° 卷
∴ = = ,∠ =60 ,
BAE BAF BAF CAF °
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ =60 ,
BAE CAF ' 期
∴ ∠ =∠ ,
在 ABE和 ACF中 第 题解图 中
△ △ , 3 检
AB AC 4. 解:如解图 过点 A 作 AE CD 于点 E 过点 B 作
∵ = , , ⊥ , 测
BAE CAF BF CD交DC延长线于点F
∠ =∠ , ⊥ ,
AE AF ACD面积为 CD的长为
= , ∵ △ 48, 12,
ABE ACF
∴ △ ≌△ (SAS), 1 AE
BE CF ∴ ×12 =48,
∴ = , 2
BD为边AC上的中线 AE
∵ , ∴ =8,
BD AC ADC ° AE CD
∴ ⊥ , ∵ ∠ =45 , ⊥ ,
BD垂直平分AC ADE是等腰直角三角形
∴ , ∴ △ ,
AF CF DE AE
∴ = , ∴ = =8,
BE AF CE CD DE
∴ = , ∴ = - =4,
BE EF. ABC CAB °
∴ = ∵ ∠ =∠ =45 ,
& ACB ° AC BC
" ∴ ∠ =90 , = ,
ACE ° BCF
∴ ∠ =90 -∠ ,
CBF ° BCF
% ∵ ∠ =90 -∠ ,
# ACE CBF
' ∴ ∠ =∠ ,
$ 在 ACE和 CBF中
△ △ ,
第 题解图 AEC F
2 ∵ ∠ =∠ ,
3. 解:如解图 延长DM AB交于点F ACE CBF
, 、 , ∠ =∠ ,
AM平分 BAD AC CB
∵ ∠ , = ,
DAM FAM ACE CBF
∴ ∠ =∠ , ∴ △ ≌△ (AAS),
AM DF BF CE
∵ ⊥ , ∴ = =4,
5大小卷 数学 ·八年级(上册)
HS
2. 解:如解图 延长 AD 至点 E 使 ED AD 连
S 1CD BF . (1) ①, , = ,
∴ △ BCD= · =24 结BE.
2
% AD是 ABC的中线 DC DB
& ∵ △ ,∴ = ,
$
在 ADC和 EDB中
△ △ ,
'
DA DE
∵ = ,
ADC EDB
∠ =∠ ,
# "
DC DB
= ,
第 题解图
4 ADC EDB
∴ △ ≌△ (SAS),
二阶 综合训练 EB AC
∴ = =3,
在 ABE中 AB BE AE AB BE
1. 证明:由旋转的性质 得BD BE DBE ° ∵ △ , - < < + ,
(1) , = ,∠ =90 , AE AD
CBE DBE CBD ° CBD ∴ 4-3< <4+3,∴ 1<2 <7,
∴ ∠ =∠ +∠ =90 +∠ ,
ABC ° 1 AD 7
∵ ∠ =90 , ∴ < < ;
2 2
ABD ABC CBD ° CBD
∴ ∠ =∠ +∠ =90 +∠ , 证明:如解图 延长 OE 至点 F 使 EF EO
(2) ②, , = ,
ABD CBE
∴ ∠ =∠ , 连结BF.
在 ABD和 CBE中
△ △ , E是BD的中点
∵ ,
AB CB
∵ = , BE DE
∴ = ,
ABD CBE
∠ =∠ , 在 BEF和 DEO中
△ △ ,
BD BE
= , BE DE
∵ = ,
ABD CBE
周 ∴ △ ≌△ (SAS), BEF DEO
∠ =∠ ,
测 AD CE
∴ = ; EF EO
小 解:如解图 设AD交BC于点G = ,
卷 (2) ①, , ∴ △ BEF ≌△ DEO (SAS),
由 得 ABD CBE
BF DO F DOE
(1) ,△ ≌△ ,
∴ = ,∠ =∠ ,
BAD BCE
期 ∴ ∠ =∠ , ∴ ∠ OBF =180 ° -∠ BOE -∠ F ,
ABC ° AGB CGH
中 ∵ ∠ =90 ,∠ =∠ , ∵ ∠ AOB =∠ COD =90 ° ,
检 BAD AGB BCE CGH ° AOC ° AOB COD BOE DOE
测 ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ =90 , ∴ ∠ =360 -∠ -∠ -∠ -∠ =
AHC ° ° BOE DOE
∴ ∠ =90 , 180 -∠ -∠ ,
AHE ° OBF AOC
∴ ∠ =90 ; ∴ ∠ =∠ ,
证明:如解图 过点 B 分别作 BM AD 于点 OC OD
(3) ②, ⊥ ∵ = ,
M BN CE于点N BF OC
, ⊥ , ∴ = ,
BMH BNH ° 在 OBF和 AOC中
∴ ∠ =∠ =90 , △ △ ,
由 得 ABD CBE BF OC
(1) ,△ ≌△ , ∵ = ,
BM BN OBF AOC
∴ = , ∠ =∠ ,
在 BMH和 BNH中 OB AO
Rt△ Rt△ , = ,
BH BH OBF AOC
∵ = , ∴ △ ≌△ (SAS),
BM BN OF AC
= , ∴ = ,
BMH BNH
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL), OE 1AC.
MHB NHB ∴ =
∴ ∠ =∠ , 2
BH平分 AHE. " "
∴ ∠
$ $
( ) % . ) % # % $ 0 $
/
#
" # " # & %
& & & '
图 图 图 图
① ② ① ②
第 题解图 第 题解图
1 2
6参考答案
综合与实践 CP 连结CD
, ,
APB BPC °
1. 解:【任务一】 a b ab ∵ ∠ =∠ =135 ,
∵ + =8, =5,
APC ° PBA PAB ° PBC
a2 b2 a b 2 ab ∴ ∠ = 90 ,∠ +∠ = 45 ,∠ +
∴ + =( + ) -2 =64-2×5=54;
PCB °
【任务二】根据题意 得 a b 2 a2 ab b2 ∠ =45 ,
, (3 +2 ) =9 +12 +4 ,
在 ABC中 ACB ° AC BC
分别需要甲型硬纸板 张 乙型硬纸板 张 丙 Rt△ ,∠ =90 , = ,
∴ 9 , 12 ,
CAB CBA °.
型硬纸板 张 ∴ ∠ =∠ =45
4 ;
PAC PAB ° PBA PBC °
【任务三】如解图 a2 ab b2 a b a b . ∴ ∠ +∠ =45 ,∠ +∠ =45 ,
,2 +5 +2 =( +2 )(2 + )
PBA PAC PBA PCB
画出长方形如下 画法不唯一 ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ ,
:( )
PAC PCB
B B C ∴ ∠ =∠ ,
B 即 DAC PCB
∠ =∠ ,
在 ADC和 CPB中
C △ △ ,
AC CB
∵ = ,
C DAC PCB
∠ =∠ ,
AD CP
= ,
第 题解图
1 ADC CPB
∴ △ ≌△ (SAS),
2. 解:延长DC到点E 使得CE BD 连结AE ADC CPB °
(1) , = , , ∴ ∠ =∠ =135 ,
ABC是等边三角形 PDC °
∵ △ , ∴ ∠ =45 ,
AB AC BAC ° CPD是等腰直角三角形
∴ = ,∠ =60 , ∴ △ ,
BDC ° DP CP
∵ ∠ =120 , ∴ = , 周
BAC BDC ° PA AD DP
∴ ∠ +∠ =180 , ∵ = + , 测
ABD ACD ° PA PC. 小
∴ ∠ +∠ =180 , ∴ =2
ACE ACD ° " 卷
∵ ∠ +∠ =180 ,
ABD ACE
∴ ∠ =∠ , &
在 ABD和 ACE中 期
△ △ ,
中
AB AC # $
∵ = 检
ABD ACE % 测
∠ =∠ ,
BD CE 图
= , ①
ABD ACE "
∴ △ ≌△ (SAS),
AD AE BAD CAE
∴ = ,∠ =∠ , &
BAC ° 即 BAD DAC °
∵ ∠ =60 , ∠ +∠ =60 ,
DAC CAE DAE ° # $
∴ ∠ +∠ =∠ =60 ,
ADE是等边三角形 %
∴ △ , 图
AD DE CD CE CD BD 即AD CD BD ②
∴ = = + = + , = + ; 第 题解图
证明:如解图 在线段 AP 上取点 D 使得 AD 2
(2) , , =
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周
测
小
卷
第
13
第 章 勾股定理
13
00A?A
周测11 勾股定理及其逆定理 可得AD2 + x2 =13 2 , 在 Rt△ ADC中 , 由勾股定理 , 可得
AD2 2 x 2 2 x2 2 x 2 即 2
1. B 【解析】在 ABC中 B ° 由勾股定理 =15 -(14- ) ,∴ 13 - =15 -(14- ) , 13 -
Rt△ ,∠ =90 , , x2 2 x x2 解得x 在 ABD中 由勾
=15 -196+28 - , =5, Rt△ ,
可得AC
=
AB2
+
BC2
= 13
.
股定理 可得AD 2 2 里 ABC 的面
, = 13 -5 =12( ),∴ △
2. D 【解析】 A B C A B C
∵ ∠ -∠ =∠ ,∠ +∠ +∠ =
积为1BC AD 1 平方里
° A ° 故 ABC是直角三角形 选项 · = ×14×12=84( )
180 ,∴ ∠ =90 , △ ,A 2 2
不符合题意 2 2 2 故 ABC 是直角三角 "
;∵ 6 +8 =10 , △
形 选项不符合题意 b c b c a2 b2
,B ;∵ ( + )( - )= ,∴ =
a2 c2 故 ABC 是直角三角形 选项不符合题
+ , △ ,C
意 A B C A B C
;∵ ∠ ∶ ∠ ∶ ∠ =3 ∶ 4 ∶ 5,∠ +∠ +∠ =
° A ° B ° C ° 故 ABC # % $
180 ,∴ ∠ =45 ,∠ =60 ,∠ =75 , △
不是直角三角形 选项符合题意. 第 题解图
,D 9
3. D 【解析】如解图 根据勾股定理 可得 BC
, , , = 10. 或 5 【解析】分情况讨论 如解图 当
3 : ①,
AB2 AC2 2 2 . 3
+ = 4 +2 = 20
AP B为直角时 AP BC AB AC
!" $ D !* ∠ 1 ,∴ 1⊥ ,∵ = = 13,
BC BP CP 1 BC 1 如解图
=6,∴ 1= 1= = ×6=3; ②,
2 2
% 当 BAP 为直角时 过点 A 作 AD BC 于点 D
# ∠ 2 , ⊥ ,
AB AC BC BD CD 1 BC 1
第 题解图 ∵ = = 13, =6,∴ = = = ×
3 2 2
4. A 【解析】 点A表示的数是 点B表示的数是
在 ABD 中 由勾股定理 可得 AD
∵ 0, 6= 3, Rt△ , , =
AB 在 ABC中 由勾股定理 可得AC
2,∴ =2, Rt△ , , = AB2 BD2 2 2 设 CP x 则
章 AB2 BC2 2 2 D 点表示的实数 - = ( 13) -3 = 2, 2 = ,
+ = 2 +4 = 20,∴ BP x P D x 在 ABP 中 由勾股定
2=6- , 2 =3- , Rt△ 2 ,
勾 是 20 . 理 可得 AP2 BP2 AB2 x 2 2 x2
股 5. B 【解析】根据勾股定理 可得 OP2 OP2 PP 2 , 2= 2- =(6- ) -( 13) = -
定 , 1= + 1 = x 在 ADP 中 由勾股定理 可得 AP2
理 P 2 O P P2 2 , OP O 2 P 2 2 = OP O 1 P 2 + P 1 O P P 2 2 = 3 O O P P2 , O O P P 3 2 = OP . 2 2 + P 12 2 D + 2 2 + 3 A , D2 = R ( t△ 3- x ) 2 + 2 2 2 , = x2 -6 x +13, , ∴ x2 -12 x 2 + =
6. C
2 3
【解
=4
析】
∵
,∴
今有
3
立
=2
木
,
系
,∴
索其
3
末
∶
(
上
=
端
2
)
∶
,
1
委地 23=
x2
-6
x
+13,
解得x
=
3
5
,∴
CP
2=
3
5.综上所述
,
堆在地面的部分 三尺 AC AB 设 AC x
( ) ,∴ - =3, = , 当 ABP是直角三角形时 线段CP的长为 或5.
则AB x 引索却行 沿地面退行 去本 离 △ , 3
= -3,∵ ( ), ( 3
木柱根部 八尺而索尽 BC 在 ABC 中 " "
) ,∴ =8, Rt△ ,
由勾股定理 可得 AC2 AB2 BC2 x2 x 2
, - = ,∴ -( -3) =
2 解得x 73. # 1 $ # % 1 $
8 , =
6 图 图
7. 在同一平面内 垂直于同一条直线的两条直线互 ① ②
, 第 题解图
相不平行 10
11. 解:如解图 延长BC至点D
8. 【解析】在 ABC中 BAC ° 由勾股定 , ,
29 Rt△ ,∠ =90 ,
理 可得AB2 AC2 BC2 又 S BC2 S AC2 且 #
, + = , ∵ 1= , 2= ,
S S AB2 BC2 AC2 则 AB AB
1- 2=25,∴ = - =25, =5,∵ +
AC AC 则在 ABC中 由勾股定理 可 $
=7,∴ =2, Rt△ , , "
得S BC2 AB2 AC2 . %
1= = + =29
9. 【解析】如解图 过点A作AD BC于D 设BD 第 题解图
84 , ⊥ , = 11
x里 则CD x 里 在 ABD中 由勾股定理 根据题意 得AD . . 米
, =(14- ) , Rt△ , , , =20-2 5-2 5=15( ),
8参考答案
周
测
小
卷
第
13
BD 米 AP 蚂蚁从点A爬到点 P 的最短路程为 AP 的长.
=11 , ,
在 ABD中 由勾股定理 可得 P为BC 的中点 BC BP 易得
Rt△ , , ∵ , =12 cm,∴ =6 cm,
AB = AD2 + BD2 = 15 2 +11 2 = 346( 米 ) . AB =8 cm, 在 Rt△ ABP中 , 由勾股定理 , 可得AP2 =
起点A到终点B的直线距离为 米. AB2 + BP2 =8 2 +6 2 =100,∴ AP =10 cm,∴ 蚂蚁从点
∴ 346 ……
A爬到点P的最短路程为 .
分 10 cm
……………………………………… (8 )
$
12. 证明: AP平分 BAC
(1) ∵ ∠ ,
BAP DAP
∴ ∠ =∠ , 1
ABC ° PD AC
∵ ∠ =90 , ⊥ ,
ADP ABP °
∴ ∠ =∠ =90 , " #
在 APB和 APD中
△ △ , 第 题解图
BAP DAP 2
∵ ∠ =∠ ,
3. D 【解析】如解图 根据题意 得 °
ABP ADP , , ∠2=∠1=50 ,
∠ =∠ ,
° ° 又 ° °
AP AP ∴ ∠3=90 -∠2=40 , ∵ ∠5=40 ,∴ ∠4=90 -
= ,
° ° ° °. 在 ABC
APB APD 分 ∠5=50 ,∴ ∠3+∠4=40 +50 =90 Rt△
∴ △ ≌△ (AAS); ……………… (4 )
中 AB 海里 BC . 海里 由勾股
解: AB AC ABC ° , =15 , =16×0 5= 8( ),
(2) ∵ =3, =5,∠ =90 ,
在 ABC中 由勾股定理 可得 定理 , 可得 AC2 = AB2 + BC2 =15 2 +8 2 =289,∴ AC =
∴ Rt△ , ,
海里 我军巡逻舰队的航行速度为 .
BC 2 2 17 ,∴ 17÷0 5=
= 5 -3 =4, 海里/小时 .
由 知 APB APD 34( )
(1) ,△ ≌△ ,
AD AB BP DP CD AC AD
∴ = =3, = ,∴ = - =2, "
设BP x 则CP x DP BP x
= , =4- , = = ,
在 PDC中 由勾股定理 可得
Rt△ , ,
CP2 DP2 CD2 #
= + ,
x 2 x2 2 解得x 3 $
∴ (4- ) = +2 , = ,
2 第 题解图
3
BP的长为3 . 分 4. C 【解析】根据题意 得 OA OB x 尺 BC
∴ ……………………… (10 ) , = = , = 章
2 DE 尺 AD 尺 CD BE 尺 AC CD
13. 证明:根据题意 得 HCE EDF =10 , =1 , = =5 ,∴ = -
(1) , Rt△ ≌Rt△ ≌ AD 尺 OC OA AC x 尺 在 勾
FAG GBH 由 赵爽弦图 可知四边形 = 5- 1=4 , = - = ( -4) , 股
Rt△ ≌Rt△ , “ ” OCB中 OC x 尺 OB x 尺 BC 尺
EFGH是正方形 Rt△ , =( -4) , = , =10 , 定
, 由勾股定理 可得x2 x 2 2. 理
S S S , =( -4) +10
∵ 正方形ABCD= 正方形EFGH+4 △ HCE, 5. A 【解析】如解图 取AB的中点O 过点D作DE
, , ⊥
a b 2 c2 1ab
∴ ( + ) = +4× , AB 于点 E 易得 OE 1 CD 寸 AD BC
2 , = = 1 , = =
a2 ab b2 c2 ab 2
∴ +2 + = +2 ,
OA OB.设AD BC OA OB x 寸 DE 寸
a2 b2 c2 分 = = = = = , =10 ,
∴ + = ;……………………………… (6 )
AE x 寸 在 ADE 中 由勾股定理 可得
(2)
解:由
(1)
知
,
S
正方形ABCD=
a2
+2
ab
+
b2
,
S
正方形EFGH=
=( -1) , Rt△ , ,
AE2 DE2 AD2 即 x 2 2 x2 解得 x .
c2 = a2 + b2 , S 正方形IJKL=( b - a ) 2 = b2 -2 ab + a2 , 即A + D = . 寸 , . ( -1) +10 = , =50 5,
S S S =50 5
∵ 正方形ABCD+ 正方形EFGH+ 正方形IJKL=12,
a2 ab b2 a2 b2 b2 ab a2
∴ +2 + + + + -2 + =12,
a2 b2
∴ 3( + )= 12,
% $
∴
a2
+
b2
=4,
即S
正方形EFGH
的值为
4
.
…… (12
分
)
" &0 #
周测12 勾股定理的应用 K
1. C 【解析】设这枝花在花瓶内的长度为 x 当 第 题解图
5
cm,
花在花瓶内的长度最长时
,
由勾股定理
,
可得 x2
=
6. B 【解析】在
Rt△
ABC 中
,∠
C
=90
°
,
AB
=5,
AC
=
2 2 x 负值已舍去 由勾股定理 可得 BC2 AB2 AC2 2 2
7 +24 ,∴ =25( ),∴ 30-25=5(cm), 4, , = - =5 -4 =9,
这枝花露在花瓶外面部分的长度最短为 . BC 由折叠的性质可知 C F ° EC
∴ 5 cm ∴ =3, ,∠ =∠ =90 , =
2. B 【解析】圆柱体的部分侧面展开图如解图 连结 EF AF BC 设 AE x 则 EC EF x
, , = = 3, = , = = 4- ,
9大小卷 数学 ·八年级(上册)
HS
周
测
小
卷
第
13
在 AEF中 由勾股定理 可得 AE2 AF2 EF2 AB2 2 2 分
Rt△ , , = + , =(20+20) +30 =2 500, …………… (4 )
若选择路径 如解图 由勾股定理 可得
即x2 2 x 2 解得x 25 即AE的长为25. ②, ②, ,
=3 +(4- ) , = 8 , 8 AB2 =20 2 +(20+30) 2 =2 900, …………… (8 分 )
7. 【解析】根据题意 得 AB
480 , =100×5=500(m), ∵ 2 500<2 900,
BC 在 ABC中 由勾股定理 可得AC 蚂蚁选择路径 爬行距离最短 最短路径长为
=140 m, Rt△ , , = ∴ ① ,
AB2 BC2 2 2 . . 分
- = 500 -140 =480(m) 50 cm …………………………………… (9 )
8. . 【解析】根据题意 得 AB CD . BF #
0 9 , = =2 5 m, =
. AC . 在 ABF中 由勾股定理 可 DN
1 5 m, =1 3 m, Rt△ , ,
#
得 AF AB2 BF2 . 2 . 2 FC
= - = 2 5 -1 5 = 2 m,∴ =
AF AC . . 在 CDF中 由勾股定 DN DN
- =2-1 3=0 7 (m), Rt△ ,
理 可得 DF CD2 CF2 . 2 . 2 .
, = - = 2 5 -0 7 =2 4 (m), " "
. . . 梯子底部的滑动距离 BD
DN DN DN
∵ 2 4-1 5=0 9 (m),∴
为 . .
0 9 m
9. 【解析】如解图 连结DE CD AB DCE 第 题解图
12 , ,∵ ⊥ ,∴ ∠ = 11
90 °.根据题意 , 得CB =20 cm, CD =15 cm, DE =17 cm,
12. 解:
(1)∵
AD
⊥
AC
,∴ ∠
CAD
=90
°
,
在
Rt△
DCE 中
,
由勾股定理
,
可得CE2
=
DE2
-
CD2
=
在
Rt△
ACD中
,
由勾股定理
,
可得
CE BE CB CE . AC2 CD2 AD2 2 2
64,∴ =8 cm,∴ = - =12 (cm)
= - =29 -21 =400,
" AC 米
∴ =20 ,
% AB 米 BC 米
$ ∵ =16 , =12 ,
AB2 BC2 2 2 AC2 & ∴ + =16 +12 =400= ,
ABC是直角三角形 且 B °
∴ △ , ∠ =90 ,
#
四边形田地的面积为 S S 1 AB
" L ∴ △ ABC+ △ ACD = ·
2
第 题解图
9 BC 1AD AC 1 1 平
+ · = ×16×12+ ×21×20=306(
10. 【解析】要使铺设管道的费用最低 2 2 2
章 2 000 32 , 方米 分
则需要让铺设管道的长度最短 如解图 作点 A ); …………………………………… (6 )
勾 关于CD的对称点A′ 连结CA′
,
BA′ BA′交
,
CD于 (2)
如解图
,
过点A作AE
⊥
CD于点E
,
股 , 、 , 由 垂线段最短 可得线段 AE 的长即为所引水
点O′ 连结AO′ 过点A′作A′E CD交BD的延长 “ ”,
定 , , ∥ 渠的最短长度.
理 线于点E 则A′E CD 铺设管道的最短距
, = =4 km,
AD AC AE CD
离为A′B的长 点A和点A′关于直线CD对称 ∵ ⊥ , ⊥ ,
,∵ ,∴
AC A′C DE . AO′ A′O′ 在 A′BE S 1AD AC 1CD AE
= = =1 5 km, = ,∴ Rt△ ∴ △ ACD= · = · ,
2 2
中
,
由 勾 股 定 理
,
可 得 A′B
=
A′E2
+
BE2
= AE
∴ 21×20=29 ,
2 . . 2 则铺设管道的最短距
4 +(2 5+1 5) = 32, 解得AE 420
离为 铺设燃气管道的工程费为每千 = ,
32 km,∵ 29
米 元 铺设燃气管道的最低费用为 这条水渠的最短长度为420 米. 分
2000 ,∴ 32× ∴ …… (11 )
元 . 29
2 000=2 000 32( ) " #
#
"
$
% &
$ 00 %
第 题解图
12
" & 专题 利用勾股定理解决最短路径问题
第 题解图
10
一阶 方法训练
11. 解:根据题意展开图形 若选择路径 如解图
, ①, ①
由勾股定理 可得 1. 解:圆柱体的侧面展开图如解图 则 AC 的长为蚂
, ,
10参考答案
周
测
小
卷
第
13
蚁爬行的最短路程 由勾股定理 可得BC2 AB2 AC2
, , = + ,
底面周长为 BC2 2 2
∵ 8 cm, ∴ =6 +8 ,
侧面展开图中BC B′C BC
∴ = =4 cm, ∴ =10,
又 AB 由垂线段最短可知 当AD BC时 AD取得最小值
∵ =3 cm, , ⊥ , ,
在 ABC中 由勾股定理 可得
∴ Rt△ , , S 1BC AD
AC2 AB2 BC2 ∵ △ ABC= · =24,
= + =25, 2
AC
∴ =5 cm, 解得AD 24
蚂蚁爬行的最短路程为 . = ,
∴ 5 cm 5
# $
AD的最小值为24.
∴
5
5. 解:如解图 连结CE 交AD于点F′ 当点F与F′重
, , ,
" % 合时 EF CF EF′ CF′ CE 此时 EF CF 的值最
, + = + = , +
第 题解图 小 最小值为CE的长
1 , ,
2. 解:如解图是长方体盒子的侧面展开图 连结AB′ ABC为等边三角形 E是AB的中点
, , ∵ △ , ,
则AB′的长即为所需的最短丝带长 CE AB BE
, ∴ ⊥ , =2,
AA′ A′B′ AB 在 CBE中 由勾股定理 可得
∵ =4+2+4+2=12, = =9, Rt△ , ,
在 AB′A′中 由勾股定理 可得
∴ Rt△ , , CE = BC2 - BE2 = 4 2 -2 2 = 12,
AB′2 AA′2 A′B′2 2 2
= + =12 +9 =225, EF CF的最小值是 .
则AB′ ∴ + 12
=15, "
所需彩色丝带的最短长度为 .
∴ 15
# #
& '
'r
# $
%
第 题解图
5
" "r
二阶 综合训练
第 题解图
2
3. 解:设靠近村庄的河岸为直线l 如解图 作点 A关 1. 解: 将前面与上面展平 如解图 连结PQ 章
, , ① , ①, ,
于直线l的对称点A′ 连结A′B交直线l于点C 此 在 PDQ中 由勾股定理 可得
, , Rt△ , , 勾
时AC + BC的值最小 , 即为A′B的长 , PQ = 1 2 +(4+2) 2 = 37(dm); 股 定
过点B作BD A′A交A′A的延长线于点D 将右面与上面展平 如解图 连结 PQ 过点 P
⊥ , ② , ②, , 理
BD A′D 作DH的垂线交DH于点M
∴ =4 km, =3 km, ,
在 ABD中 由勾股定理 可得 在 PMQ中 由勾股定理 可得
Rt△ , , Rt△ , ,
A′B2 A′D2 BD2 2 2
∴ = + =3 +4 =25, PQ 2 2
A′B = 4 +(1+2) =5(dm);
∴ =5 km, 将右面与后面展平 如解图 连结PQ
A B 两村庄到抽水站 C 的最短距离之和为 ③ , ③, ,
∴ 、 在 PCQ中 由勾股定理 可得
Rt△ , ,
5 km,
铺设送水管道所需的最低费用为 PQ = 2 2 +(4+1) 2 = 29(dm),
∴ 5×1 200=
元 .
6 000( ) ∵ 5< 29< 37,
蚂蚁运动的最短路程为 .
∴ 5 dm
% # " 2 %
"
$
M ! # $ " 2% . ) $ % 2 "
"r 1 1
第 题解图 ' ( # $ 1 ( ( ) &
3
图 图 图
4.解:根据题意得 S 1AB AC ① ② ③
, △ ABC= · =24, 第 题解图
2 1
AC 2. 解:树干的展开图如解图 葛藤的最短路径为AC
∴ =8, , →
11大小卷 数学 ·八年级(上册)
HS
周
测
小
卷
第
13
DE FB 即在展开图中 将长方形平均分成 个 在 ACD中 由勾股定理 可得
→ , , 3 Rt△ , ,
小长方形 AC2 AD2 CD2 . 2 . 2
, = + =2 4 +3 2 =16,
AB 米 底面周长为 米 在 ABC 中 BC2 BD CD 2 . . 2
∵ =9 , 4 , △ ,∵ =( + ) =(1 8+3 2) =
小长方形的相邻两条边长分别为 米和 米 2
∴ 3 4 , 5 =25,
由勾股定理 可得 AC2 DE2 FB2 2 2 AB2 AC2 BC2
, , = = =3 +4 =25, ∴ + = ,
AC DE FB 米 ABC是直角三角形
∴ = = =5 , ∴ △ ;
AC DE FB 米 . 如解图 过点D作DE AB于点E DF AC于
∴ + + =5+5+5=15( ) (2) , ⊥ , ⊥
答 这段葛藤至少 米. 点F 则此时DE DF取得最小值
: 15 , + ,
# 在 ABD中 由 知 AB2
Rt△ , (1) , =9,
AB
∴ =3,
' &
S 1AD BD 1AB DE
∵ △ ABD= · = · ,
2 2
% $
即1 . . 3DE
×2 4×1 8= ,
2 2
" 解得DE =1 . 44,
同理可得DF .
第 题解图 =1 92,
2 DE DF . . . .
∴ + =1 44+1 92=3 36(km)
3. 解:
(1)△
ABC是直角三角形.理由如下
: 答 至少需要修建 . 的水泥路.
: 3 36 km
AD BC
"
∵ ⊥ ,
ADB ADC ° '
∴ ∠ =∠ =90 ,
即 ABD和 ACD都是直角三角形 &
△ △ ,
在 ABD中 由勾股定理 可得
Rt△ , , # % $
AB2 AD2 BD2 . 2 . 2
= + =2 4 +1 8 =9; 第 题解图
3
章
勾
股
定
理
12参考答案
周
测
小
卷
第
14
第 章 数据的收集与表示
14
00A?A
本次测评中 人数最多的是D等级 最少的是
周测13 数据的收集
(2) , ,
A等级 分
1. D 【解析】普查所涉及的调查对象数量多 耗费 ; ………………………………… (11 )
, 根据抽样调查的情况 健康知识测评成绩在
(3) ,
大量的物力财力 但调查的数据全面 抽样调查适
, ; 分及以上的人数最多 该校学生健康知识的掌
90 ,
用于普查比较困难的情况 抽样调查的样本容量
, 握情况较好. 分
…………………………… (13 )
小 操作简单.对鹊桥二号和嫦娥六号探测器的零
, 周测14 数据的表示
部件进行检查 采用普查的方式 选项不符合题
, ,A
意 高铁站安检处检查乘客随身携带物品的安全 1. C
;
性 采用普查的方式 选项不符合题意 审核 初 2. D 【解析】根据题图可知 八年级 班共有学生
, ,B ; 《 , (1)
中体育与健康课程标准 中的错别字 采用普查的 % 人 选择折纸龙的学生人数为
》 , 16÷40 = 40( ),∴
方式 选项不符合题意 了解长沙段湘江水质情 % 人 .
,C ; 40×45 =18( )
况 采用抽样调查的方式 选项符合题意. 3. A 【解析】根据题意 得 % % %
, ,D , 1-25 -40 -20 =
2. C % ° % °.
15 ,360 ×15 =54
3. C 【解析】根据总体 样本的含义 可得在这次调 4. C 【解析】根据题图可知 抽取的总人数为
、 , , 4+12+
查中 总体是 人对 哪吒 之魔童闹海 的评 人 选项正确 得分在 x
14+8+2=40( ),A ; 70≤ <80
, 3 000 《 2 》
价情况 样本是调查的 人对 哪吒 之魔童闹 的人数为 人 选项正确 得分在 x 的
14 ,B ; 50≤ <60
; 150 《 2
海 的评价情况 个体是调查的每一个人对 哪吒
人数为 人 占总人数的 4 % % 选项错
》 ; 《 4 , ×100 =10 ,C
之魔童闹海 的评价情况. 40
2 》 误 得分不低于 分的人数有 人
4. B 【解析】根据表格可知 测试成绩为 x ; 70 14+8+2=24( ),
, 220≤ <
有 人 频率为 . . 频率为24 . 选项正确.
230 12 , 12÷60=0 2 =0 6,D
5. C 【解析】所选取的样本需要具有广泛性和代表 40
5. A 【解析】根据题图可知 采购活动所需物料从 章
性 故方案三符合要求. ,
, 年 年所需经费从 元增长到
6. 【解析】字母 出现了 次 次数最多 出现 2022 ~2025 1 500 数
n n 3 , ,∴ 元 布置活动场地从 年 年所需 据
2 000 , 2022 ~2025
频数最多的字母是 .
n 经费从 元增长到 元 采购活动所需 的
7. 否 所取的样本容量太小 样本缺乏代表性 说法 1 100 1 280 ,∴ 收
; , ( 物料近 年经费的增长量大于布置活动场地 选 集
4 ,A
合理即可
) 项正确 选项错误. 与
8. 全校 名学生每周的户外运动时间 每一名学 ,B,C,D 表
1 200 ; 6. 扇形统计图 示
生每周的户外运动时间 名学生每周的户外运
;300 7. 【解析】根据题图可知 血型所占百分比为
4 ,AB
动时间
;300 % % % % 血型的人数为
1-20 -25 -45 = 10 ,∴ AB
9.
②①④③ % 人 .
40×10 =4( )
10. 解:根据表格可知
,
A队在这场比赛胜过B队的原
8. 【解析】根据题图可知 分数大于或等于 分
56 , 80
因有A队的投篮命中率 三分球命中率 罚球命
、 、
的人数占总体的百分比为 9+5 %
中率 篮板球均高于B队. 分 ×100 =
、 …………… (10 ) 2+5+11+9+5
11. 解: 补全表格如下 分 . % 总人数为 名 获奖老师共有
(1) ;(8 ) 43 75 ,∵ 128 ,∴ 128×
. % 名 .
成绩等级 频数 频率 43 75 =56( )
9. 解: 补全频数分布表和频数分布直方图如下表
(1)
A(60≤x<70) 3 0.1 和解图所示 分
; ……………………………… (4 )
B(70≤x<80) 6 0.2 总时长 频数
A
C(80≤x<90) 9 0.3 :30~60 4
B
:60~90 8
D(90≤x≤100) 12 0.4
13大小卷 数学 ·八年级(上册)
HS
周
测
小
卷
第
14
续表 图所示 分
; ………………………………… (8 )
总时长 频数 M
C
:90~120 10
D
:120~150 12
E
:150~180 6
M
/
第 题解图
10 ①
【解法提示】a . b 35 . c
=200×0 25=50, = =0 175, =
第 题解图
200
9
. .
【解法提示】根据题图表可知 B 组人数为 人 对 200×0 225=45
, 8 ,
应占比为 % 七 班共有 % 人 作出扇形统计图如解图 ° 35 °
20 ,∴ (1) 8÷20 =40( ), (2) ②,360 × =63 ,
200
A组对应占比为 4 % % D 组共有 阅读积分在 x 分所对应的扇形圆心角
∴ ×100 =10 , 40× ∴ 80≤ <90
40
的度数为 °. 分
% 人 C 组对应占比为 % % 63 ………………………… (15 )
30 =12( ), 1-10 -15 -
% % % C组共有 % 人 .
30 -20 =25 ,∴ 40×25 =10( )
° 分
Y
(2)90 ; …………………………………… (7 ) YU
【解法提示】由 知 C 组对应占比为 % 表
(1) , 25 ,∴
YU
示 C 组劳动总时长的扇形的圆心角为 °
360 ×
% °. YU
25 =90
七 班一周家务劳动的总时长为
(3) (1) 120~
的同学人数最多 总时长为 的
150 min , 30~60 min 第 题解图
10 ②
同学人数最少. 答案不唯一 分
章 ( ) ………… (11 )
10. 解: . 补全频数分布直方图如解
(1)50,0 175,45,
数
据
的
收
集
与
表
示
14参考答案
期末检测
"A?A
期末小卷集训(一) 若 C为 ABC 的顶角 则 ABC 的底角 A
① ∠ △ , △ ∠ =
1. C ° ° °
B 180 -30 ° k 30 . 若 C 为
2. B 【解析】逐项分析如下表
∠ =
2
=75 ,∴ 1=
75
°=0 4;② ∠
:
ABC的底角 则 ABC 的顶角为 ° °
△ , △ 180 -30 ×2=
选项 分析 正误
°
° k 120 .综上所述 k的值为 . 或 .
120 ,∴ 2= ° =4 , 0 4 4
a8 a a9 a8 30
A · = ≠ ✕ 10. 【解析】 BAC DAE BAC
①②③ ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ +
a4 2 a8 DAC DAE DAC 即 BAD CAE 在
B ( ) = √ ∠ = ∠ +∠ , ∠ = ∠ ,
ABD和 ACE 中 AD AE BAD CAE
a6 与a2 不是同类项 不能合并 △ △ ,∵ = ,∠ =∠ ,
C , ✕ AB AC ABD ACE BD CE
= ,∴ △ ≌△ (SAS),∴ = ,①
a8 a a7 a8 正确 ABD ACE ABD ACE
D ÷ = ≠ ✕ ;∵ △ ≌△ ,∴ ∠ = ∠ ,
CAB ° ABD DBC ACB °
3. B 【解析】数轴上的点与实数一一对应 选项不 ∵ ∠ =90 ,∴ ∠ +∠ +∠ =90 ,
,A
ACE DBC ACB ° BDC °
符合题意 全等三角形的面积相等 选项符合题 ∴ ∠ +∠ +∠ =90 ,∴ ∠ =180 -
; ,B
ACE DBC ACB ° ° ° BD
意 AB2 BC2 AC2 ABC不是直角三角形 ∠ -∠ -∠ =180 -90 =90 ,∴ ⊥
;∵ + ≠ ,∴ △ ,C CE 正确 ADE DAC ACD °
选项不符合题意 在同一平面内 两条不相交的直 ,② ;∵ ∠ = ∠ +∠ = 45 ,
周
; , CBD ABD CBD ACD ° DAC
线必平行 但是线段的长是有限的 故两条不相交 ∠ +∠ =∠ +∠ =45 ,∴ ∠ = 测
, , CBD 正确 AB AE BE AC AD BE 小
的线段不一定平行 选项不符合题意. ∠ ,③ ;∵ + > ,∴ + > ,
,D 错误. 卷
4. C 【解析】本次抽样样本容量为 ④
4+12+14+8+2= 11. 解: 原式 分
选项正确 观察题图可得 频数分布直方图 (1) =1+2-2-9=-8;…………… (4 )
40,A ; , 原式 a2 ab b2 a2 b2 ab 期
的组距是 选项正确 总成绩在 环及以上 (2) = -2 - -( - )= -2 , 末
10,B ; 70
检
的社团成员共有 人 占调查总人数 当a 1 b 1 时 原式 ab 1
14+8+2=24( ), =- , =- , =-2 =-2×(- )× 测
5 3 5
的24 % % 选项错误 成绩在 环
×100 =60 ,C ; 50~80 1 2. 分
40 (- )= - …………………………… (8 )
3 15
的频数为 选项正确.
4+12+14=30,D 12. 证明:如解图 分别延长AE BC交于点F
, , ,
5. D 【解析】 DF BC EFB CFD °
∵ ⊥ ,∴ ∠ =∠ =90 , BE平分 ABC ABE FBE
∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ ,
BAC ° B C ° C D
∵ ∠ = 90 ,∴ ∠ +∠ = 90 ,∵ ∠ +∠ = AE BE AEB FEB °
∵ ⊥ ,∴ ∠ =∠ =90 ,
° B D 当添加条件 BE DC 时 可以判
90 ,∴ ∠ =∠ , = , 在 ABE和 FBE中
△ △ ,
定 BEF DCF 当添加条件BF DF时
△ ≌△ (AAS); = , ABE FBE
∵ ∠ =∠ ,
可以判定 BEF DCF 当添加条件EF
△ ≌△ (ASA); = BE BE
= ,
CF时 可以判定 BEF DCF 当添加条
, △ ≌△ (AAS); AEB FEB
∠ =∠ ,
件 BEF C时 已知 BEF 和 DCF 对应三个
∠ =∠ , △ △ ABE FBE
∴ △ ≌△ (ASA),
内角相等 不能判定 BEF DCF.
, △ ≌△ AE FE
∴ = ,
6. C 【解析】设对角线长度为x尺 则竿长度为x尺
, , AD BC
∵ ∥ ,
根据题意 , 得 ( x -4) 2 +( x -2) 2 = x2 , 解得 x =2( 不符 DAF AFB 即 DAE CFE
∴ ∠ =∠ , ∠ =∠ ,
合题意 舍去 或 x 门的对角线长度是
, ) = 10,∴
在 ADE和 FCE中
△ △ ,
尺.
DAE CFE
10 ∵ ∠ =∠ ,
7. 【解析】 2 2 AE FE
13 (4+ 3)(4- 3)= 4 -( 3) =16- = ,
. AED FEC
3=13 ∠ =∠ ,
8. 【解析】原式 a b 2 ab 2 . ADE FCE
28 =( + ) -2 =6 -2×4=28 ∴ △ ≌△ (ASA),
9. . 或 【解析】已知 C ° 需分情况讨论 DE CE
0 4 4 ∠ =30 , : ∴ = ,
15大小卷 数学 ·八年级(上册)
HS
E是CD的中点. 分 项符合题意.
∴ ……………………… (9 )
" % 3. B 【解析】 BC 的垂直平分线分别交 AC BC 于
∵ 、
点D E CE BC CE BD CD ABC
、 , =3,∴ =2 =6, = ,∵ △
& 的周长为 AB AC AB AC
13,∴ 6+ + = 13,∴ + = 7,
ABD的周长为AB AD BD AB AD DC AB
∴ △ + + = + + = +
# AC .
$ '
=7
第 题解图 4. C 【解析】 % 人 本次调查总共
12 ∵ 30÷15 =200( ),∴
抽取了 人 选项不符合题意 %
13.解: BE AB AB BE 200 ,A ;∵ 1-5 -
∵ ⊥ , =4, =3,
% % % 每月使用公共充电桩的次数
AE2 AB2 BE2 2 2 60 -15 =20 ,∴
∴ = + =4 +3 =25,
在 次以上的人所占的百分比为 % 选项不
AE 分 20 20 ,B
∴ =5, ………………………………… (3 )
符合题意 ° % ° 每月使用公共充
AB AC AD平分 BAC ;∵ 360 ×15 =54 ,∴
∵ = , ∠ ,
电桩次数在 次在统计图中对应的圆心角度
AE BC BC BD 16~20
∴ ⊥ , =2 ,
数为 ° 选项符合题意 % 人
54 ,C ;∵ 200×60 =120( ),
S 1AB BE 1AE BD
∴ △ ABE= 2 · = 2 · , 200×5 % =10( 人 ),120-10=110( 人 ),∴ 每月使用
AB BE 公共充电桩的次数在 次的人比在 次以
BD · 4×3 12 10~15 10
∴ = AE = = , 内的多 人 选项不符合题意.
5 5 110 ,D
5. B 【解析】设点E在如解图的位置 连结CE DE
BC BD 24. 分 , 、 ,
∴ =2 = ………………………… (10 )
到点 C 和点 D 的直线距离相等 即 CE DE 设
5 , = ,
周 14. 证明: CD平分 ACB AE x千米 则BE x 千米 在 ACE 中
测 (1) ∵ ∠ , = , =(15- ) , Rt△ ,
小 ∴ ∠ ACD =∠ BCD , 由勾股定理 , 可得CE2 = AC2 + AE2 =4 2 + x2 =16+ x2 ,
卷
∵
AD
∥
BC
,
在
Rt△
BDE中
,
由勾股定理
,
可得DE2
=
BD2
+
BE2
=
BCD ADC
∴ ∠ =∠ , 8 2 +(15- x ) 2 = x2 -30 x +289,∵ CE = DE ,∴ 16+ x2 =
ADC ACD
期 ∴ ∠ =∠ , x2 x 解得x . 符合条件的基站 E 到
-30 +289, =9 1,∴
末 AD AC
检 ∴ = , 点A的距离为 9 . 1 千米.
测 AB AC %
∵ = ,
AB AD
∴ = ,
ABD为等腰三角形 分 "
∴ △ ; ……………… (7 )
& #
解: AB AC ABC °
(2) ∵ = ,∠ =25 , $
ACB ABC °
∴ ∠ =∠ =25 ,
第 题解图
由 知 AC AD AB AD 5
(1) , = , =
6. C 【解析】在 EFG 和 BFC 中 EF BF
ADC ACD 1 ACB . ° △ △ ,∵ = ,
∴ ∠ =∠ = ∠ =12 5 , EFG BFC GF CF EFG BFC
2 ∠ =∠ , = ,∴ △ ≌△ (SAS),
AD BC GE CB EGF C A EGF A C
∵ ∥ , ∴ = ,∠ =∠ ,∵∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ ,
DAB ABC ° CB AB GE AB .
∴ ∠ =∠ =25 , ∴ = =6,∴ = =6
7. x 【解析】 2 x 也能满足条
ADB 1 ° DAB . ° =-3 ∵ (-3) =9,∴ =-3
∴ ∠ = (180 -∠ )= 77 5 ,
件 则x 是原命题的一个反例.
2 , =-3
∴ ∠ BDC =∠ ADB -∠ ADC =77 . 5 ° -12 . 5 ° =65 °. 8. ab ( a +2 b )( a -2 b ) 【解析】原式 = ab ( a2 -4 b2 )=
分
ab a b a b .
……………………………………… (13 ) ( +2 )( -2 )
9. ° 【解析】在 ABC 与 ADE 中 AB AD
期末小卷集训(二)
40 △ △ ,∵ = ,
B D BC DE ABC ADE
∠ = ∠ , = , ∴ △ ≌△ (SAS),
1. B 【解析】 的平方根是 . BAC DAE BAC DAC DAE
81=9,9 ± 9=±3 ∴ ∠ = ∠ ,∴ ∠ - ∠ = ∠ -
2. D 【解析】x2 x4 x6 x8 选项不符合题意 DAC 即 BAD CAE B ° APC °
· = ≠ ,A ; ∠ , ∠ =∠ ,∵ ∠ =30 ,∠ =70 ,
x3 4 x12 x7 选项不符合题意 y 4 y4 CAE BAD APC B ° ° °.
( ) = ≠ ,B ;(-2 ) =16 ≠ ∴ ∠ =∠ =∠ -∠ =70 -30 =40
y4 选项不符合题意 x2 x x3 选 10. 【解析】如解图 连结 PB DE 垂直平分
-16 ,C ;-3 ·4 =-12 ,D 28 , ,∵
16参考答案
AB PA PB PA PC PB PC PA PC的最 在 BCG中 由勾股定理 可得
,∴ = ,∴ + = + ,∴ + Rt△ , ,
小值即为PB + PC 的最小值 , 又 ∵ 当点 C 、 P 、 B 三 BG = BC2 - CG2 = 20 2 -16 2 =12(m),
点共线时 PB PC 取得最小值 即为 BC 的长 AB AG BG
, + , , ∴ = + =12+1=13(m),
PA PC的最小值为 BC 的长 在 ABC 中 答 俱乐部所建造的假山模型AB的高度为
∴ + , Rt△ , : 13 m;
ACB ° AC AB 由勾股定理 可得 分
∠ =90 , =12, =20, , …………………………………………… (6 )
BC = AB2 - AC2 = 20 2 -12 2 =16, 又 ∵ AC =12, 【任务二】根据题意 , 得CF = DE =4 m, GC =16 m,
ACP周长的最小值为AC BC . BG
∴ △ + =12+16=28 =12 m,
" GF GC CF
∴ = + =20(m),
在 BGF中 由勾股定理 可得
% Rt△ , ,
BF BG2 GF2 2 2
= + = 12 +20 = 544(m)
1 答 此时坡面BF的长为 分
: 544m ……… (12 )
$ & #
期末小卷集训(三)
第 题解图
10
11. 解:原式 a3 a2b ab b2 a3 a2b ab 1. C
=6 -3 +4 -2 -6 -2 -4
a2b b2. 分 2. D 【解析】逐项分析如下表
=-5 -2 …………………… (8 ) :
12. 解: BE垂直平分AD AB AD
选项 逐项分析 正误
(1)∵ , = ,
AB BD AD AFE °
∴ = = ,∠ =90 , a a a2 不是因式分解
ABD为等边三角形 A ( +1)( -1)= -1, ✕
∴ △ ,
a b 2 a2 a b2 不是因式分解 周
ADB ° B ( + ) = +2 + , ✕
∴ ∠ =60 , 测
D是BC的中点 C (4 b +2)(4 b -2)=16 b2 -4, 不是因式分解 ✕ 小
∵ ,
卷
BD CD a2 a a 是因式分解
∴ = , D 5 -5=5( +1)( -1), √
∴ AD = CD , 3. B 【解析】工人质检人员检测中性笔芯的书写长
期
度 适合抽样调查 选项不符合题意 检测未央
CAD C 1 ADB ° 分 , ,A ; 末
∴ ∠ =∠ = ∠ =30 ; ……… (5 )
2 湖的水质情况 适合抽样调查 选项符合题意 检
, ,B ;
DE BC. 分 描述一周的温度变化趋势 适合使用折线统计图 测
(2) ⊥ …………………………… (6 )
, ,
理由如下 选项不符合题意 在抽样调查选取样本的过程
: C ;
如解图连结DE 由 得 AFE ° CAD 中 样本需要具有代表性和广泛性 样本的选取需
, (1) ,∠ =90 ,∠ = , ,
C ° 要遵循随机性 选项不符合题意.
∠ =30 , ,D
AEF ° CAD AFE ° ° 4. D 【解析】 ABC ° BAE ° ACB
∴ ∠ = 180 -∠ -∠ = 180 -30 - ∵ ∠ =58 ,∠ =59 ,∴ ∠ =
° ° ° ABC BAE ° CF CG 点 B D 分
90 =60 , 180 -∠ -∠ =63 ,∵ = , 、
BE垂直平分AD 别为 CF CG 的中点 BC DC 在 ABC 和
∵ , 、 ,∴ = , △
∴ EB平分 ∠ AED , 即 ∠ DEF =∠ AEF =60, △ ADC中 ,∵ AB = AD , BC = DC , AC = AC ,∴ △ ABC ≌
ADC ACD ACB °.
DEC ° AEF DEF ° ° △ (SSS),∴ ∠ =∠ =63
∴ ∠ = 180 -∠ -∠ = 180 -60 -
5. B 【解析】如解图 在 ABC 中 由勾股定理
° ° , Rt△ , ,
60 =60 ,
EDC ° C DEC ° ° 可得 AC AB2 BC2 . 2 . 2 在
∴ ∠ = 180 - ∠ - ∠ = 180 - 30 - = + = 1 6 +1 2 = 2(m),
° ° ACD 由勾股定理 可得 AD AC2 CD2
60 =90 , Rt△ , , = + =
DE BC. 分 2 . 2 . .
∴ ⊥ …………………………… (10 ) 2 +2 1 =2 9(m)
"
%
&
N
'
# % $ "
第 题解图 N
12 # $
N
13. 解:【任务一】根据题意 得 AG CD CG
, = =1 m, =
AD BGC ° 第 题解图
=16 m,∠ =90 , 5
17大小卷 数学 ·八年级(上册)
HS
6. C 【解析】 ABC 是等边三角形 CAB 补全频数分布直方图如解图 分
∵ △ ,∴ ∠ = (2) ;……… (8 )
° AED ° ADE ° CAB M
60 ,∵ ∠ = 60 ,∴ ∠ = 180 -∠ -
AED ° ° ° ° DF DE EDF
∠ =180 -60 -60 =60 ,∵ ⊥ ,∴ ∠ =
° FDA EDF ADE ° ° °
90 ,∴ ∠ =∠ -∠ = 90 -60 = 30 ,
F CAB FDA ° ° ° F
∴ ∠ =∠ -∠ = 60 -30 = 30 ,∴ ∠ =
FDA AF AD .
∠ ,∴ = =4
7.
<
8. 【解析】 x2 ax x x3 a x2 " # $ % & 3
-2 (2 + )(- +6)= -2 +(12- ) +
第 题解图
ax x项的系数是 a a . 12
6 ,∵ -12,∴ 6 =-12,∴ =-2
由表可知 积分不低于 分的人数所占的百
9. 【解析】如解图 过点 D 作 DE BC 于点 E (3) , 80
10 , ⊥ ,
分比为 % % %
BD CD BE CE BD平分 ABC DA AB 35 +20 =55 ,
∵ = ,∴ = ,∵ ∠ , ⊥ ,
% 人
DE BC AD ED 在 ABD 和 EBD 中 ∵ 40×55 =22( ),
⊥ ,∴ = , Rt△ Rt△ ,
估计抽取的学生中获得模型的有 人.
AD ED BD BD ABD EBD ∴ 22 ……
∵ = , = ,∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),
分
AB BE AB CE BC BE CE AB . ……………………………………… (10 )
∴ = ,∴ = ,∴ = + =2 =10 13. 解: 可行. 分
" (1) …………………………… (1 )
理由如下
%
:
根据题意 得AB BC CD BC
# $
, ⊥ , ⊥ ,
&
ABO DCO °
第 题解图 ∴ ∠ =∠ =90 ,
9 在 ABO与 DCO中
△ △ ,
周 10. 或15 【解析】已知 DEF为直角三角形 分情况 ABO DCO
测 3 △ , ∵ ∠ =∠ ,
2 OB OC
小 讨论 如解图 当 DEF °时 即 CEF = ,
卷 : ①, ∠ = 90 , ∠ = AOB DOC
° BCE沿 BE 折叠 使点 C 落在点 F 处 ∠ =∠ ,
90 ,∵ △ , , ABO DCO
BEC BEF ° EBC EBF ° ∴ △ ≌△ (ASA),
∴ ∠ =∠ =45 ,∴ ∠ =∠ =45 , AB DC 分
期
CE BC DE CD CE 如解图 ∴ = ; ……………………………… (4 )
末 ∴ = =9,∴ = - =12-9=3; 正确. 分
检 当 DFE °时 在 BCD 中 CD (2) ………………………………… (5 )
②, ∠ =90 , Rt△ , =12, 理由如下
测
:
BC
=9,
由勾股定理
,
可得 BD
=
CD2
+
BC2
=
如解图 过点B作BD AC于点D
①, ⊥ ,
2 2 BCE沿 BE 折叠 使点 C 落在 ADB CDB °
12 +9 =15,∵ △ , ∴ ∠ =∠ =90 ,
点F处 BFE C ° CE EF BF BC AB BC
,∴ ∠ =∠ =90 , = , = = ∵ ⊥ ,
点B D F三点共线 即点 F 在 BD上 DF ABC °
9,∴ 、 、 , ,∴ ∴ ∠ =90 ,
BD BF 设CE x 则EF x DE ACB °
= - =15-9=6, = , = , =12- ∵ ∠ =45 ,
x 在 DEF 中 由勾股定理 可得 EF2 DF2 BAC ° ABC ACB °
, Rt△ , , + = ∴ ∠ =180 -∠ -∠ =45 ,
BAC ACB
DE2 即x2 2 x 2 解得 x 9 DE 15. ∴ ∠ =∠ ,
, +6 =(12- ) , = ,∴ = 在 ABD与 CBD中
2 2 △ △ ,
BAD BCD
综上所述 DE的长为 或15. ∵ ∠ =∠ ,
, 3
2 ADB CDB
∠ =∠ ,
" ' # " #
BD BD
= ,
ABD CBD 分
∴ △ ≌△ (AAS),……………… (8 )
'
BA BC
∴ = ;
"
$ % $
% & &
图 图 %
① ②
第 题解图
10
11. 解:原式 x2 y2 x2 # $
=( - )( -1)
x y x y x x . 分 第 题解图
=( + )( - )( +1)( -1) … (8 ) 13 ①
12. 解: % 分 测量方案 如解图 从 B 点向正西方向走到
(1)30 ,40; ………………………… (4 ) (3) : ②
18参考答案
C点 使用测量角度的仪器测得 DCB ACB AB BE AC CF 即AE AF AG AC AE GE
, ∠ =∠ , ∴ - = - , = ,∴ + = - +
CD交AB的延长线于点D 只需测得BD的长度 AF CF AE AF AF 正确 综上所述 其中结
, , + = + =2 ,④ ; ,
即可推算出AB的长度. 分 论正确的是 .
………………… (9 ) ①②④
理由如下 7. 【解析】 a b a b
: -2 ∵ | -4|+ +2=0,∴ -4=0, +2=
BC AD
∵ ⊥ , a b 3 ab 3 .
0,∴ =4, =-2,∴ = -8=-2
ABC DBC °
∴ ∠ =∠ =90 , 8. . 【解析】 共抽取了 个借阅记录 其中
0 35 ∵ 200 ,
在 ABC与 DBC中
△ △ , A B 类图书的借阅频数和为 A B 类图书的
、 80,∴ 、
ABC DBC
∵ ∠ =∠ , 借阅频率和为 . 又 C 类图书的借
80÷200=0 40, ∵
BC BC
= , 阅频率为 . D类图书的借阅频率为 .
0 25,∴ 1-0 40-
ACB DCB
∠ =∠ , . . .
0 25=0 35
ABC DBC
∴ △ ≌△ (ASA), 9. a2 a 【解析】荷花池区域 的边长为
AB DB. 答案不唯一 合理即可 分 (15 -18 +4) ①
∴ = ( , ) … (12 ) a a 米 荷花池区域的占地面积为
" 3 +2-2×2=(3 -2) ,
a 2 a a a a2
(3 -2) +(3 +2-2)[5 -(3 -2)-2×2]=9 -
a a2 a ( a2 a 平方米.
12 +4+6 -6 = 15 -18 +4)
10. 【解析】将墙面ADEF和地面ABCD展开如解
$ # 20
图 过点P作PG BF 于点 G 连结 PB 即 PB 为
, ⊥ , ,
所求的最短路径. 点 P 到地面距离是 米
% ∵ 5 ,
AG 米 又 PA 米 在 APG 中 由
第 题解图 ∴ =5 , ∵ =13 ,∴ Rt△ ,
13 ② 勾股定理 可得 PG2 AP2 AG2 2 2 2 周
期末小卷集训(四) , = - =13 -5 =12 , 测
PG 米 在 BPG 中 BG AG AB
∴ = 12 , Rt△ , = + = 小
1. D
米 由勾股定理 可得PG2 BG2 PB2 即 2 卷
2. C 【解析】此次调查属于抽样调查 选项不符合
16( ), , + = , 12 +
,A 2 PB2 PB 米.
16 = ,∴ =20
题意 样本容量是 选项不符合题意 样本是
; 100,B ; & % $ 期
抽取的 名学生对该课程满意程度的打分 选
100 ,C 末
项符合题意 总体是 名学生对该课程满意程
1
检
; 2 000
测
度的打分 选项说法不符合题意.
,D
3. A 【解析】在 ABC 和 ADE 中 AB AD B ' ( " #
△ △ ,∵ = ,∠ =
D BC DE ABC ADE AE AC . 第 题解图
∠ , = ,∴△ ≌△ (SAS),∴ = =8 10
4. C 【解析】 2 x ·3 x2 =6 x3 ≠5 x3 ,A 选项错误 ;(- m ) 7 ÷ 11. 证明: AB AC
∵ = ,
m4
=-
m3
≠
m3
,B
选项错误
;(-1-2
x
)(-1+2
x
)= 1- ABC ACB
∴ ∠ =∠ ,
4 x2 ,C 选项正确 ;(4+5 a )(4-5 a )= 4 2 -(5 a ) 2 =16- CD BE是 ABC两腰上的高
∵ 、 △ ,
25
a2
≠16+25
a2
,D
选项错误.
BDC CEB °
∴ ∠ =∠ =90 ,
5. C 【解析】根据题意 由勾股定理得 最外端 个
FBC ° ACB FCB ° ABC
, , 4
∴ ∠ =90 -∠ ,∠ =90 -∠ ,
正方形的面积 中间 个正方形的面积 最大正
= 2 = FBC FCB
∴ ∠ =∠ ,
方形的面积 所有正方形的面积和为 最大
FB FC
,∵ 18,∴
∴ = ,
正方形的面积为 .
18÷3=6 BCF是等腰三角形. 分
∴ △ ……………… (8 )
6. B 【解析】 AB AC D 是 BC 的中点 AD 是
∵ = , ,∴ 12. 解: m2 n2 m n 2 m2 n2 m n 2
BAC的平分线 DE AB DF AC DE DF (1) + ,( - ) ; + ,( + ) ; …
∠ ,∵ ⊥ , ⊥ ,∴ = , 分
正确 AGD B ° AGD DGB …………………………………………… (4 )
① ;∵ ∠ +∠ = 180 ,∠ +∠ =
° B DGB BD GD 又 BD CD
【解法提示】由图
①,②
可知
,
AB
=
m2
+
n2
,
FG
=
180 ,∴ ∠ =∠ ,∴ = , ∵ = ,
DE AB BE GE GD CD 在 DEG 和 m - n , 正方形EFGH 的面积为 ( m - n ) 2 ; 由图 ③ 可
⊥ ,∴ = , = , Rt△
DFC中 GD CD DE DF DEG 知 AB m2 n2 GH m n 正方形EFGH的面积
Rt△ ,∵ = , = ,∴ Rt△ ≌ , = + , = + ,
DFC 正确 由以上证明可得 CDF 为 m n 2.
Rt△ (HL),② ; ,∠ = ( + )
GDE BDE ADG ° CDF 错误 m n 2 m n 2 mn. 分
∠ =∠ ,∴ ∠ =90 -2∠ ,③ ; (2)( + ) =( - ) +4 …………… (5 )
GE CF BE GE GE CF BE 又 AB AC 证明如下
∵ = , = ,∴ = = , ∵ = , :
19大小卷 数学 ·八年级(上册)
HS
∵
在图
②
中
,
S
正方形ABCD =
m2
+
n2
,
S
正方形EFGH =(
m
- 专题 几何探究题
mn
n 2 S S S S 一阶 大题小练
) , △ ABG= △ BCH= △ CDE= △ DAF=
2
,
1. 解: BC CD
mn
∵ =8, =2,
m2 n2 m n 2 m n 2 mn
∴ + =( - ) +4× =( - ) +2 , BD BC CD
2 ∴ = - =6,
∵ 在图 ③ 中 , S 正方形EFGH=( m + n ) 2 , S 正方形ABCD= m2 + ∵ ∠ BAC =∠ DAE =90 ° ,
mn BAD DAC DAC CAE
n2 S S S S ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
, △ ABG= △ BCH= △ CDE= △ DAF= , 即 BAD CAE
2 ∠ =∠ ,
mn 在 BAD和 CAE中
m n 2 m2 n2 m2 n2 mn △ △ ,
∴ ( + ) = + +4× = + +2 , AB AC
2 ∵ = ,
m n 2 m n 2 mn mn m n 2 mn BAD CAE
∴ ( + ) =( - ) +2 +2 =( - ) +4 ; ∠ =∠ ,
分 AD AE
……………………………………… (8 ) = ,
a b 2 a b 2 ab BAD CAE
(3)∵ ( + ) =( - ) +4 =4, ∴ △ ≌△ (SAS),
a b CE BD B ACE
∴ + =±2, ∴ = =6,∠ =∠ ,
a b BCE ACB ACE ACB B °
∵ - =4, ∴ ∠ =∠ +∠ =∠ +∠ =90 ,
当a b 时 a b a b 在 CDE中 由勾股定理 可得
∴ + =2 , =3, =-1,2 + =5, ∴ Rt△ , ,
当a
+
b
=-2
时
,
a
=1,
b
=-3,2
a
+
b
=-1,
DE
=
CD2
+
CE2
= 40
.
综上所述 a b的值为 或 . 分 2. 解:如解图 连结PE
,2 + 5 -1 ……… (10 ) , ,
13. 证明: ACB ° AE DE BD DE PD PA
周 (1) ∵ ∠ =90 , ⊥ , ⊥ , ∵ = ,
D ACB E ° PDA A
测 ∴ ∠ =∠ =∠ =90 , ∴ ∠ =∠ ,
小 CBD BCD ° BCD ACE ° EF是BD的垂直平分线
∵ ∠ +∠ =90 ,∠ +∠ =90 , ∵ ,
卷 CBD ACE ED EB
∴ ∠ =∠ , ∴ = ,
在 BCD和 CAE中 EDB B
△ △ , ∴ ∠ =∠ ,
期 D E 在 ABC中 ACB °
末 ∵ ∠ =∠ , ∵ Rt△ ,∠ =90 ,
CBD ACE A B °
检 ∠ =∠ , ∴ ∠ +∠ =90 ,
测 BC CA PDA EDB °
= , ∴ ∠ +∠ =90 ,
BCD CAE 分 PDE ° PDA EDB °
∴ △ ≌△ (AAS); ……………… (4 ) ∴ ∠ =180 -∠ -∠ =90 ,
解:DE BD AE. 分 DE PD
(2) = + …………………… (5 ) ∴ ⊥ ,
理由如下 AC BC PA
: ∵ =10, =12, =3,
由 得 BCD CAE CP AC PA PD PA
(1) ,△ ≌△ , ∴ = - =7, = =3,
DC AE BD CE 设DE BE x 则CE x
∴ = , = , = = , =12- ,
DE CE DC BD AE 分 在 PEC中 由勾股定理 可得
∴ = + = + ; ……………… (7 ) Rt△ , ,
解: AC BC BD DE AE DE PE2 CP2 CE2 2 x 2
(3) ∵ = , ⊥ , ⊥ , = + =7 +(12- ) ,
AEC ACB BDC ° 在 PDE中 由勾股定理 可得
∴ ∠ =∠ =∠ =90 , Rt△ , ,
CBD BCD ° ACE BCD ° PE2 PD2 DE2 2 x2
∵ ∠ +∠ =90 ,∠ +∠ =90 , = + =3 + ,
CBD ACE 2 x 2 2 x2
∴ ∠ =∠ , ∴ 7 +(12- ) =3 +
在 BCD和 CAE中
△ △ , 解得x 23
= ,
BDC CEA
3
∵ ∠ =∠ ,
CBD ACE DE 23.
∠ =∠ , ∴ =
BC CA 3
= , $
BCD CAE
∴ △ ≌△ (AAS),
&
CE BD
∴ = =5, 1
在 BCD中 由勾股定理 可得
Rt△ , ,
" #
CD BC2 BD2 2 2 % '
= - = 13 -5 =12,
DE CD CE . 分 第 题解图
∴ = - =12-5=7 …………… (12 ) 2
20参考答案
3. 解:如解图 将 ABD绕点A逆时针旋转 ° 使得 CP .
, △ 90 , ∴ =7 2,
AB与AC重合 得到 ACD′ 连结D′E 在 ACP中 由勾股定理 可得
, △ , , ∴ Rt△ , ,
则 ∠ ACD′ =∠ B =45 ° ,∠ CAD′ =∠ BAD , AD′ = AD , AP = AC2 - CP2 = 9 2 -7 . 2 2 =5 . 4,
CD′ BD AP . t
= =3, ∴ =5 4=2 -9,
D′AE EAC CAD′ EAC BAD ° t .
∴ ∠ =∠ +∠ =∠ +∠ =90 - ∴ =7 2,
DAE ° 当DP CD时 此时t的值为 .
∠ =45 , ∴ = , 7 2;
DAE D′AE 由 可知点C到AB的距离为 .
∴ ∠ =∠ , ③ ② 7 2,
在 DAE和 D′AE中 当点P在AB边上运动时 CP .
△ △ , ∴ , ≥ 7 2,
AE AE 又 CD
∵ = , ∵ =6,
DAE D′AE CP . CD
∠ =∠ , ∴ ≥ 7 2>6= ,
AD AD′ 当点P在AB边上运动时 此时CP CD 不符合
= , ∴ , ≠ ,
DAE D′AE 题意.
∴ △ ≌△ (SAS),
DE D′E 综上所述 当t 或 . 时 PCD 是以 CD 为腰
∴ = , , =3 7 2 ,△
BCD′ ACB ACD′ ° 的等腰三角形.
∵ ∠ =∠ +∠ =90 ,
ECD′是直角三角形 "
∴ △ ,
在 ECD中 由勾股定理 可得 1
Rt△ , ,
D′E CE2 CD′2 2 2
= + = 3 +3 = 18,
DE .
∴ = 18 # % $ 周
" 测
第 题解图
4 小
% 二阶 综合训练 卷
# % & $ 1. 解: 如解图 C ° AB BC
(1) ①,∠ =90 , =10 cm, =6 cm, 期
第 题解图 由勾股定理 可得 末
3 ∴ ,
检
4. 解: ∵ D为BC的中点 , BC =12, AC = AB2 - BC2 = 10 2 -6 2 =8 cm, 测
动点P从点 C 出发 按 C A B C 的路径运
BD CD 1BC ∵ , → → →
∴ = = =6, 动 且速度为每秒
2 , 1 cm/s,
分情况讨论 当点 P 在 CA 边上运动 DCP 为 出发 时 CP 则AP
:① ,∠ ∴ 2 s , =2 cm, =6 cm,
直角时 PCD是等腰直角三角形 即CD CP C ° 在 PCB中 由勾股定理 可得
,△ , = , ∵ ∠ =90 , Rt△ , ,
根据题意
,
得CP
=2
t
,
PB
=
PC2
+
BC2
= 40(cm),
t
∵ 2 =6, ABP 的周长为 AP PB AB
∴ △ + + = 6+ 40 +10=
t
∴ =3;
(16+ 40) cm;
当点P在AB边上运动时 AP AC t
② , + =2 , "
AP t
∴ =2 -9,
如解图 连结CP 若DP CD 则有BD CD DP
, , = , = = ,
B BPD BCP CPD 1
∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ ,
又 B BPD BCP CPD °
∵ ∠ +∠ +∠ +∠ =180 , $ #
BPD CPD ° 即 BPC ° 第 题解图
∴ ∠ +∠ =90 , ∠ =90 , 1 ①
在 ABC中 由勾股定理 可得 当点P在边AC上时 CP BC
Rt△ , , (2) , = =6 cm,
t 时 BCP为等腰三角形
AB AC2 BC2 2 2 ∴ =6 s ,△ ;
= + = 9 +12 =15,
当点P在AB边上时 有三种情况
, :
S 1AC BC 1AB CP
∴ △ ABC= 2 · = 2 · , ① 若BP = CB =6 cm, 此时AP =4 cm, 点P运动的路
程为AC AP
即S 1 1 CP + =8+4=12 cm,
△ ABC= ×9×12= ×15· , t 时 BCP为等腰三角形
2 2 ∴ =12÷1=12 s ,△ ;
21大小卷 数学 ·八年级(上册)
HS
若CP BC 如解图 过点 C 作斜边 AB 2. 证明 DAE BAC
② = =6 cm, ②, (1) :∵ ∠ =∠ ,
的高CH DAE CAE BAC CAE
, ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
即 DAC EAB
S 1AB CH 1AC BC ∠ =∠ ,
∵ △ ABC= · = · , 在 ACD和 ABE中
2 2
△ △ ,
AC BC
AD AE
CH · 8×6 . ∵ = ,
∴ = AB = =4 8(cm),
10 DAC EAB
∠ =∠ ,
在 BCH中 由勾股定理 可得
Rt△ , , AC AB
= ,
BH BC2 CH2 . ACD ABE
= - =3 6(cm), ∴ △ ≌△ (SAS),
在 BCH和 PCH中
CD BE
Rt△ Rt△ , ∴ = ;
CB CP 解:如解图 连结BE
∵ = , (2) , ,
CH CH CD垂直平分AE
= , ∵ ,
BCH PCH DE AD
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL), ∴ = =3,
BH PH DAE °
∴ = , ∵ ∠ =60 ,
BP . ADE是等边三角形
∴ =7 2 cm, ∴ △ ,
点P运动的路程为AC AP AC AB BP AED ADE °
∴ + = + - =8+10- ∴ ∠ =∠ =60 ,
. . .
7 2=18-7 2=10 8(cm),
CDA 1 ADE 1 ° °
t . . 时 BCP为等腰三角形 ∴ ∠ = ∠ = ×60 =30 ,
∴ =10 8÷1=10 8 s ,△ ; 2 2
若BP CP时 则 PCB PBC 由 得 ACD ABE
③ = , ∠ =∠ , (1) ,△ ≌△ ,
周 ACP PCB ° PBC CAP ° CD BE CDA BEA °
∵ ∠ +∠ =90 ,∠ +∠ =90 , ∴ = =4,∠ =∠ =30 ,
测
ACP CAP PA PC BED BEA AED ° ° °
小 ∴ ∠ =∠ , = , ∵ ∠ =∠ +∠ =30 +60 =90 ,
卷 AP PB BE DE
∴ = =5 cm, ∴ ⊥ ,
点P运动的路程为AC AP BDE是直角三角形
∴ + =8+5=13 cm, ∴ △ ,
t 时 BCP为等腰三角形. 在 BDE中 由勾股定理 可得
期 ∴ =13÷1=13 s ,△ ∴ Rt△ , ,
末 综上所述 当t为 或 或 . 或 时
检 , 6 s 12 s 10 8 s 13 s ,
BD
=
BE2
+
ED2
=5
.
测
BCP为等腰三角形
&
△ ;
"
$
1
) %
# "
$ #
第 题解图
第 题解图 2
1 ②
当点P在AC上 点Q在AB上 则AP t 综合与实践
(3)① , , =8- ,
AQ =16-2 t , 1. 解:【任务一】在 BCD中 由勾股定理得
Rt△ ,
直线PQ把 ABC的周长分成相等的两部分
∵ △ , CD BC2 BD2 2 2 米
= - = 25 -15 =20( ),
t t 1 CE CD DE . . 米
∴ 8- +16-2 = ×(10+6+8), ∴ = + =20+1 6=21 6( ),
2 答 此时风筝的垂直高度CE为 . 米
t : 21 6 ;
∴ =4 s; 【任务二】如解图 风筝沿 CE 方向下降至点 F
当点P在AB上 点Q在AC上 则AP t ①, ,
② , , = -8,
则DF CD CF 米
AQ t = - =20-12=8 ( ),
=2 -16,
在 BDF中 由勾股定理 可得
直线PQ把 ABC的周长分成相等的两部分 Rt△ , ,
∵ △ ,
BF BD2 DF2 2 2 米
= + = 15 +8 =17( ),
t t 1
∴ -8+2 -16= ×(10+6+8), 米
2 ∴ 25-17=8( ),
t 此时点Q已到达终点C 答 小华手中的风筝牵引线应该往回收 米
∴ =12 s, , : 8 ;
综上所述 当t为 或 时 直线PQ把 ABC 【任务三】如解图 风筝沿 EC 方向上升至点 G
, 4 s 12 s , △ ②, ,
的周长分成相等的两部分. 小华沿射线AE方向前进至点B′
,
22参考答案
在 B′DG中 由勾股定理 可得 % 户 本次抽样调查的样本容
Rt△ , , ∴ 32÷16 =200( ),∴
B′D = B′G2 -( CD +4) 2 = 25 2 -24 2 =7( 米 ), 量为 200 .
【任务二】补全频数分布直方图如解图
米
∴ 15-7=8( ), ;
M
答 小华应该沿射线AE方向前进 米.
: 8
(
$ $
'
*!F
# % # % 第 题解图
" & " # & 2
【任务三】 % 户
图 图 200×63 =126( ),
① ② 答 这些家庭中用淘米水洗菜的家庭数为 户
第 题解图 : 126 ;
1 【任务四】在节水方式中 用淘米水洗菜的家庭占
2. 解:【任务一】 【解法提示】月用水量在 ,
200; “8≤ 比最多. 答案不唯一 有理即可
x 的家庭数为 户 占总家庭数的 % ( , )
<10” 32 , 16 ,
周
测
小
卷
期
末
检
测
23
