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周测小卷
第十三章 三角形
周测1 三角形的概念及有关线段 的中点 S 1S S 1 ,∴ △ BDE= △ ABD, △ DCE=
2 2
1. C 【解析】 第三根木棒截取的长度
∵ 5-2< <5+2,
S S 1 S BF 是 BCE 的中线
即 3< 第三根木棒截取的长度 <7,∴ 第三根木棒截 = △ BDE+ △ DCE= 2 △ ABC,∵ △ ,
取的长度可以为 .
2. D 【解析】由题图 4 可知一个角是锐角 该三角 ∴ S △ BEF = 1 S △ BCE = 1 S △ ABC,∵ S △ ABC =21,∴ S △ BEF
,∴ 2 4
形的其他内角可以为大于等于 °的角 也可以是
90 , .
小于 °的角 该三角形可以为钝角三角形 直
90 ,∴ 、 4
角三角形或锐角三角形. 11. 解: 作BC边上的中线AD如解图所示
(1) ;……
3. D 【解析】观察图形可知 ABC 中 BC 边上的高 分
,△ …………………………………………… (3 )
就是过点A作BC的垂线 交BC的延长线于点D 如解图 过点 A 作 AE BC 交 BC 的延长线
, , (2) , ⊥ ,
故 选项符合题意. 于点E
D ,
4. C 【解析】由题图可得 该图形中有 AED AEB AD是 ABC的中线
, △ ,△ , ∵ △ ,
BEC DEC ABD ABC ACD BDC 一共
△ ,△ ,△ ,△ ,△ ,△ , S 1S 1 1 AE BC 1 1
有 个三角形. ∴ △ ABD= △ ABC= × · · = × ×4×4
2 2 2 2 2
8
5. B 【解析】 点O是 ABC的重心 CD经过点O =4
.
……………………………………… (8
分
)
∵ △ , ,
CD为 ABC的中线 AD BD. BCD 的周
∴ △ ,∴ = ∵ △
长比 ACD的周长多 即AD AC CD BD BC 周
△ 2, + + +2= +
CD AC BC AC . 测
+ ,∴ +2= =6,∴ =4 小
6. A 【解析】如解图 连接 AD 则 S S
, , △ ABC = △ ABD+ 卷
S ABC是等边三角形 AB AC BC
△ ADC,∵ △ ,∴ = = ,∵
DE AB DF AC 等边三角形的高为 1 BC 第 题解图 第
⊥ , ⊥ , 2,∴ × 11
2
12. 解: a b b c a b
十
(1)∵ ( + )( - )= 0, + ≠0, 三
1AB DE 1 AC DF 即 1 DE DF
2= · + · , ( + )= 1,∴ b c 章
2 2 2 ∴ - =0,
DE
+
DF
=2
.
∴
b
=
c
, 三
ABC是等腰三角形 分 角
∴ △ ; ……………… (4 )
形
a b c是 ABC的三边长
(2)∵ , , △ ,
a b c c b a a c b
∴ - < , - < , + > ,
a b c c b a a c b
∴ - - <0, - - <0, + - >0,
原式 a b c c b a a c b
第 题解图 ∴ =-( - - )+( - - )+( + - )
6
a b c c b a a c b
7. 三角形具有稳定性 =- + + + - - + + -
a b c. 分
8. ° 【解析】 AD平分 BAC EAD FAD =- - +3 …………………… (10 )
30 ∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ , 13. 证明: EH AE AH EF BE BF FG CF
DE AC DF AB EAD ADF ADE (1) ∵ < + , < + , < +
∵ ∥ , ∥ ,∴ ∠ =∠ ,∠ =
CG GH HD GD
FAD ADF ADE °. , < + ,
∠ ,∴ ∠ =∠ =30
EH EF FG GH AE AH BE BF CF CG HD
∴ + + + < + + + + + +
9. 或 【解析】当 为底边长时 则腰长为 9 满
GD
5 4 5 , ,
+ ,
2
足三角形三边关系 当 为腰长时 则底边长为 EH EF FG GH AB BC CD DA
; 5 , 4, ∴ + + + < + + + ,
满足三角形三边关系.综上所述 该等腰三角形的 即四边形 EFGH 的周长小于四边形 ABCD 的周
,
底边长为 或 . 长 分
5 4 ; ……………………………………… (6 )
如解图 连接AC BD 其交点即为 信号塔
10. 21 【解析】由题意可得 E是 AD (2) , , , 5G
, M的位置 理由如下 分
4 , : …………………… (7 )
S △ ADC,∴ S △ BCE
1
=
1大小卷·八年级(上) 数学
如果任选点M′ M′不在AC BD上 11. 解: 分
,( , ) (1) ①②③; ………………………… (3 )
AM′ CM′ AC DM′ BM′ BD 当选择方法 时
∵ + > , + > , (2) ① ,
AM′ CM′ DM′ BM′ AC BD 证明:如解图
∴ + + + > + , ,
AC AM CM BD DM BM EF AB
∵ = + , = + , ∵ ∥ ,
AM′ CM′ DM′ BM′ AM CM DM BM A B
∴ + + + > + + + , ∴ ∠1=∠ ,∠3=∠ ,
点M就是修建 信号塔的位置. °
∴ 5G ………… ∵ ∠1+∠2+∠3=180 ,
分 A B °
……………………………………… (12 ) ∴ ∠ +∠2+∠ =180 ,
三角形的内角和为 °. 分
∴ 180 …………… (10 )
第 题解图
第 题解图 11
13 当选择方法 时
② ,
周测2 三角形的内角与外角 证明: CE AB
∵ ∥ ,
1. C 【解析】 直角三角形的两个锐角互余 一个锐 ∴ ∠
A
=∠
FCE
,∠
ECB
=∠
B
,
∵ ,
FCE ECB ACB °
角是 ° 另一个锐角的度数为 ° ° °. ∵ ∠ +∠ +∠ =180 ,
35 ,∴ 90 -35 =55
2. A 【解析】 AE 平分 BAC BAC ° ∴ ∠
A
+∠
B
+∠
ACB
=180
°
,
∵ ∠ ,∠ = 30 ,∴
三角形的内角和为 °. 分
BAE ° AEC ° ABE AEC ∴ 180 …………… (10 )
∠ =15 ,∵ ∠ =135 ,∴ ∠ =∠ -
当选择方法 时
BAE °. ③ ,
∠ =120
证明: DE BC DF AC
3. B 【解析】 ° ABC ACB ∵ ∥ , ∥ ,
∵ ∠1=∠2=120 ,∴ ∠ =∠ =
A FDB B EDA FDE AED
° ° ° ABC ACB ° ° ∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ ,∠ = ∠
180 -120 =60 ,∴ ∠3=∠ +∠ =60 +60
周 C
°. =∠ ,
测 =120
FDB FDE EDA °
小 4. B 【解析】 A B C ° A ° ∵ ∠ +∠ +∠ =180 ,
∵ ∠ +∠ +∠ =180 ,∠ =33 ,∴
A C B °
卷 ∴ ∠ +∠ +∠ =180 ,
∠ B +∠ C =147 ° ,∵ ∠ B =2∠ C , 即 ∠ C = 1 ∠ B ,∴ 三角形的内角和为 °. 答案不唯一 选择一
∴ 180 ( ,
2
种方法证明即可 分
第 ) ……………………… (10 )
B 1 B ° B °.
十 ∠ + ∠ =147 ,∴ ∠ =98 12. 解: ACD 是 ABC 的外角 A °
三 2 (1) ∵ ∠ △ ,∠ = 60 ,
5. D 【解析】由题意得 BEF AEG ° BFE ABC °
章 ∠ =∠ =46 ,∠ ∠ =40 ,
HFC B ° BFE ° BEF ° ACD A ABC °
三 =∠ ,∠ =90 ,∴ ∠ =90 -∠ =44 , ∴ ∠ =∠ +∠ =100 ,
HFC BFE °. CE平分 ACD BE平分 ABC
角 ∴ ∠ =∠ =44 ∵ ∠ , ∠ ,
形 6. D 【解析】 AE是 ABC的高 AEB °.
∵ △ ,∴ ∠ =90 ∵ DCE 1 ACD ° CBE 1 ABC
∴ ∠ = ∠ = 50 ,∠ = ∠
AFD ° BFE ° DBC °. BD 2 2
∠ =48 ,∴ ∠ =48 ,∴ ∠ =42 ∵
°
是 ABC 的平分线 ABC ° BAE =20 ,
∠ ,∴ ∠ = 84 ,∴ ∠ = DCE是 BCE的外角
° ° ° ° EAC BAC BAE ° ∵ ∠ △ ,
180 -90 -84 =6 ,∴ ∠ =∠ -∠ =58
DCE E CBE
° °. ∴ ∠ =∠ +∠ ,
-6 =52
E DCE CBE ° ° °
7. ° 【解析】 A ° B C °. ∴ ∠ =∠ -∠ =50 -20 =30 ; ………
40 ∠ =180 -∠ -∠ =40 分
8. 锐角 【解析】由题可知拼成的三角形的三个角均 ……………………………………… (3 )
证明: BE CE 分别是 ABC 的内角和外角
为 ° 拼成的三角形是锐角三角形. (2) ∵ , △
60 ,∴ 的平分线
9. ° 【解析】 BAD ADC ABC ° ° ,
39 ∠ =∠ -∠ = 75 -36
°. DBE 1 ABC DCE 1 ACD
=39 ∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ ,
10. ° 【解析】由折叠的性质得 B DHB C 2 2
60 ,∠ =∠ ,∠ DCE DBE E
∵ ∠ =∠ +∠ ,
FHC A ° B C ° °
=∠ ,∵ ∠ =60 ,∴ ∠ +∠ =180 -60 =
E DCE DBE 1 ACD 1 ABC
° DHB FHC B C ° ∴ ∠ =∠ -∠ = ∠ - ∠ =
120 ,∴ ∠ +∠ = ∠ +∠ = 120 ,∴
2 2
DHF ° DHB FHC ° °
∠ = 180 -(∠ +∠ )= 180 -120 1 ACD ABC
°. (∠ -∠ ),
=60 2
2参考答案
又 ACD ABC A CBD CAB C EBD BAE E
∵ ∠ =∠ +∠ , ∵ ∠ =∠ +∠ ,∠ =∠ +∠ ,
E 1 ABC A ABC 1 A 1 1 CBD 1 CAB 1 C 1 CBD
∴ ∠ = (∠ +∠ -∠ )= ∠ = × ∴ ∠ = ∠ + ∠ , ∠ =
2 2 2 2 2 2 2
° °
60 =30 , 1 CAB E
∠ +∠ ,
E的大小与 ABC的度数无关 分
2
∴ ∠ ∠ ; … (7 )
1 C E
(3)
解:
∠
A
2 025= 2023 ……………… (10
分
)
∴
2
∠ =∠ ,
2
C °
∵ ∠ =100 ,
【解法提示】由 可得 A 1 A A
E °.
(2) ,∠ 1 = ∠ ,∠ 2 = ∴ ∠ =50
2
改编 解:设 ABC α ACB β 则 DBC A
3 ∠ = ,∠ = , ∠ =∠ +
1 A A 1 A 1 A A 1 A
2 ∠ 1,∴ ∠ 3= 2 ∠ 2= 2 2 ∠ 1,∠ 4= 2 ∠ 3 β ,∠ BCE = ∠ A + α , α + β = 180 ° -∠ A = 180 ° -52 °
°.
1 A 以此类推 A 1 A
=128
= 2 3 ∠ 1,…, ,∠ 2 025 = 2 2 024 ∠ 1,∵ ∵ BP , CP 分别是 △ ABC 的外角 ∠ DBC 和 ∠ ECB 的
平分线
∠
A
1= ∠
A
=30
°
,∴ ∠
A
2025= 2
1
20
5
23
.
PB
,
C PCB ∠ A + β ∠ A + α ∠ A +∠ A + α + β
∴ ∠ +∠ = + = =
专题 双角平分线模型 2 2 2
A °
∠ +64 ,
教材原题改编练 P ° PBC PCB ° A °
∴ ∠ =180 -(∠ +∠ )= 180 -∠ -64
教材原题 解: °.
∵ ∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠2+∠3 =64
A ° 针对训练
+∠4+∠ =180 ,
° A 1. 证明: A ABH H ECH D DCH
∴ 2∠2+2∠4=180 -∠ , ∵ ∠ +∠ =∠ +∠ ,∠ +∠ =
° H HBE
∴ 2(∠2+∠4)= 80 , ∠ +∠ ,
周
° A ABH D DCH H ECH
∴ ∠2+∠4=40 , ∴ ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 2 ∠ + ∠ 测
x° ° ° ° ° HBE.
∴ =180 -(∠2+∠4)= 180 -40 =140 , +∠ 小
即x的值为 . BH CH分别是 ABE和 ECD的平分线 卷
140 ∵ , ∠ ∠ ,
改编 解: A ° ABH HBE DCH ECH
1 ∵ ∠ =100 , ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ ,
ABC ACB ° A ° A D H. 第
∴ ∠ +∠ =180 -∠ =80 , ∴ ∠ +∠ =2∠
ABC的角平分线BD CE交于点O 2. 解: MBC与 NCB的平分线交于点E 十
∵ △ , , (1)∵ ∠ ∠ , 三
章
ABD DBC 1 ABC ACE ECB EBC ECB 1 MBC NCB 1 °
∴ ∠ = ∠ = ∠ ,∠ = ∠ = ∴ ∠ +∠ = (∠ +∠ )= (360
2 2 2
三
1 ACB ABC ACB 1 ° A ° 1 A 角
2 ∠ , -∠ -∠ )= 2 (180 +∠ )= 90 + 2 ∠ , 形
E ° ° 1 A ° 1 A
∴ ∠ ABD +∠ ACE = ∠ DBC +∠ ECB = 1 (∠ ABC + ∴ ∠ =180 -(90 + ∠ )= 90 - ∠ ;
2 2
2
如解图 延长BC至点G
ACB ° (2) , ,
∠ )= 40 ,
CE平分 NCB
ABD ACE的角平分线交于点P ∵ ∠ ,
∵ ∠ ,∠ ,
CF平分 ACG
∴ ∠ ,
PBD 1 ABD PCE 1 ACE
∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ , ACG FCG.
2 2 ∴ ∠ =2∠
BF平分 ABC
PBD PCE 1 ABD ACE ° ∵ ∠ ,
∴ ∠ +∠ = (∠ +∠ )= 20 , ABC FBC.
2 ∴ ∠ =2∠
P ° PBD PCE DBC ECB FCG FBC F
∴ ∠ =180 -(∠ +∠ )-(∠ +∠ ) ∵ ∠ =∠ +∠ ,
°. FCG FBC F
= 120 ∴ 2∠ =2∠ +2∠ ,
改编 解: AE平分 CAB BE平分 CBD 即 ACG ABC F
2 ∵ ∠ , ∠ , ∠ =∠ +2∠ ,
又 ACG ABC A
CAE BAE 1 CAB EBD EBC ∵ ∠ =∠ +∠ ,
∴ ∠ = ∠ = ∠ ,∠ = ∠ = A F.
2 ∴ ∠ =2∠
1 CBD FBE FBC CBE 1 ABC 1 MBC
∠ , ∵ ∠ =∠ +∠ = ∠ + ∠ =
2 2 2
° 15
( )
1 °
( ) 2
3大小卷·八年级(上) 数学
1 ABC MBC ° FBE F D MNC DMN 1 BNM 1 OMN
(∠ +∠ )= 90 ,∠ =2∠ , ∴ ∠ =∠ -∠ = ∠ - ∠ =
2 2 2
F °
∴ ∠ =45 , 1 BNM OMN 1 AOB.
A F °. (∠ -∠ )= ∠
∴ ∠ =2∠ =90 2 2
AOB °
∵ ∠ =90 ,
D °
∴ ∠ =45 ,
D的度数不随点M N的运动而发生变化
∴ ∠ , ;
由 知 D MNC DMN
(3) (2) :∠ =∠ -∠ ,
DMN 1 OMN MNC 1 BNM
第 题解图 ∵ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ ,
2 3 3
3. 解: ° 【解法提示】 OMN ° MD 平
(1)45 ; ∵ ∠ =68 , D 1 BNM 1 OMN 1 BNM
∴ ∠ = ∠ - ∠ = (∠ -
分 OMN DMN °. AOB ° 3 3 3
∠ ,∴ ∠ = 34 ∵ ∠ = 90 ,∴
BNM OMN AOB ° ° °. NC OMN 1 AOB.
∠ =∠ +∠ =68 +90 =158 ∵ ∠ )= ∠
平分 BNM MNC ° D MNC 3
∠ ,∴ ∠ = 79 ,∴ ∠ = ∠ - AOB °
DMN ° ° °. ∵ ∠ =90 ,
∠ =79 -34 =45 D °
不变化 理由如下 ∴ ∠ =30 ;
(2) , :
MD平分 OMN NC平分 BNM 1α. 【解法提示】由 可知 D 1 AOB.
∵ ∠ , ∠ , (4) (2) ∠ = ∠ ∵
2 2
DMN 1 OMN MNC 1 BNM.
∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ AOB α D 1α.
2 2 ∠ = ,∴ ∠ =
2
D DMN MNC
∵ ∠ +∠ =∠ ,
周
测
小
卷
第
十
四
章
全
等
三
角
形
第十四章 全等三角形
周测3 全等三角形的性质及判定(一) = AC =10,∴ AD = AB - BD =2, AE = AC - CE =6,∴ 四
边形ADFE的周长为AD DF FE AE
1. C 2. C
+ + + =2+7+7+6
.
3. C 【解析】 ABC EDF BC DF D
=22
∵ △ ≌△ ,∴ = =4,∵ 7. B D 答案不唯一 【解析】 点C是AE的
∠ =∠ ( ) ∵
是BC的中点 BD DC CF DF DC . ,∴ = =2,∴ = - =2 中 点 AC CE 在 ABC 和 CDE 中
4. B 【解析】 AED , ∴ = , △ △ ,
AED A
∵
EC
∠1 =
B
∠
ED
2,
在
∴ ∠
A
1
E
+
C
∠
和 B
=
ED
∠
中
2+ ì ï ï∠ B =∠ D ,
∠ ,∴ ∠ =∠ , △ △ , í A DCE ABC CDE .
ì A B ïï ∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (AAS)
ï ï∠ =∠ îAC CE
= ,
íAE BE AEC BED ïï = ,∴ △ ≌△ (ASA),∴ B 8. 全等三角形的对应边相等 【解析】在
△
OCF 和
î AEC BED
∠ =∠ ì ï ï OF = OG ,
选项正确.
ODG 中 í COF DOG OCF ODG
5. A 【解析】 AE BC E FDC 在 AEF和 △ , ïï ∠ =∠ ,∴ △ ≌△
∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ , △ îOC OD
= ,
ì AFE CFD
ï ï∠ =∠
(SAS),∴
CF
=
DG.
△
CDF 中
,
í
ïï ∠
E
=∠
FDC
, ∴ △
AEF
≌ △
CDF
9. 0 . 9 【解析】由题意可知 ,∠ C′AC =90 ° ,∠ C′FD =
îAE CD
=
(AAS),∴
S
△ AEF =
S
△ CDF,∴
S阴影
=
S四边形ABDE
=
S S S S S 1 四边形ABDF+
△
AEF= 四边形ABDF+
△
CDF=
△
ABC=
AC .
=6
ìBD CF ï ï = ,
6. C 【解析】在 BDF 和 CFE 中 í B C
△ △ ,ïï ∠ =∠ ,
îBF CE
= ,
BDF CFE DF EF BC
∴ △ ≌△ (SAS),∴ = =7,∵ =
BF CF BF CE CF BD AB
12, ∶ =1∶2,∴ = =4, = =8,∵
° ADC ° CAD C′AD ° CAD
90 ,∠ =90 ,∵ ∠ +∠ =90 ,∠ +
ACD ° ACD C′AF 在 ACD 和
∠ = 90 ,∴ ∠ = ∠ , △
ì ADC C′FA
ï ï∠ =∠ ,
C′AF中 í ACD C′AF ACD C′AF
△ ,ïï ∠ =∠ ,∴ △ ≌△
îAC C′A
= ,
C′ AD AD AB DB AB CE .
(AAS),∴ = ,∵ = - = - =3-21
. C′F . .
=0 9 (m),∴ =0 9 m
10. 【解析】如解图 延长BD交AC于点E. BD
16 , ∵
AD ADB ADE ° AD平分 BAC
⊥ ,∴ ∠ =∠ =90 ,∵ ∠ ,
AB
·
2
F
4参考答案
∴ ∠ BAD = ∠ EAD , 在 △ ABD 和 △ AED 中 , 周测4 全等三角形的性质及判定(二)
ì ADB ADE
ï ï∠ =∠ , 1. D 2. B
íAD AD ABD AED BD
ïï = , ∴ △ ≌△ (ASA),∴ 3. B 【解析】由题可得 AE AF DE DF 在 AED
î BAD EAD , = , = , △
∠ =∠ , ìAE AF
ED S S S S S S ï ï = ,
= ,∴ △ ABD= △ AED, △ BDC= △ DEC,∴ △ ABD+ △ BDC 和 AFD 中 íDE DF AED AFD
S S S S S . △ ,ïï = ,∴ △ ≌△ (SSS),
= △ AED+ △ DEC= △ ACD,∴ △ ABC=2 △ ACD=16 îAD AD
= ,
EAD FAD BAD ° CAD °
∴ ∠ =∠ ,∵ ∠ =55 ,∴ ∠ =55 ,
BAC BAD CAD °.
∴ ∠ =∠ +∠ =110
4. B 【解析】 ACB ° DE AC ADE
∵ ∠ =90 , ⊥ ,∴ ∠ =
BCA ° 在 ADE 和 BCA 中
第 题解图 ∠ = 90 , Rt △ Rt △ ,
10
{AE BA
11. 证明: BE CD = , ADE BCA DE CA
∵ = , AD BC ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),∴ = ,
BE BD CD BD = ,
∴ + = + , CD AC AD DE BC .
即ED CB ∴ = - = - =8-6=2
= , 5. A 【解析】小珍利用 判定三角形全等 全等
ì C E “SSS” ,
ï ï∠ =∠ , 三角形对应角相等 所以小珍的证法正确.
在 CBA和 EDF中 íBC DE ,
△ △ ,ïï = , ……… 6. C 【解析】 AB AD BC CD AC AC ABC
î ABC FDE ∵ = , = , = ,∴ △
∠ =∠ , ADC BAC DAC BCA
分 ≌△ (SSS), ∴ ∠ = ∠ , ∠ =
……………………………………… (5 ) DCA 又 OA OA OC OC AOB AOD
CBA EDF ∠ , ∵ = , = ,∴ △ ≌△
∴ △ ≌△ (ASA), BOC DOC 综上可得图中全
A F. 分 (SAS),△ ≌△ (SAS),
∴ ∠ =∠ …………………………… (8 ) 等三角形共有 对.
命题专家联合命制,上市 年,年年高分数“遇 3
13 7. AB CB 答案不唯一
见”中考题,已成为各地命题人首位排查对象。 = ( )
2025 8. 正确 【解析】由题可得 ACE ABF 周
年起,《黑白卷》读者可进入武老师快答 ,享有多轮 Rt△ ≌Rt△ ,∴
APP AE AF AED AFD ° 在 AED 和 测
预测服务,且难以被排查。 = ,∠ =∠ =90 , Rt△ Rt 小
12. 解: (1)△ BAE ,50 ° ;……………………… (5 分 ) AFD中 {AE = AF , AED AFD 卷
【解法提示】 在 △ BCD 和 △ BAE 中 , BD = BE , △ , AD = AD , ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),
DAF DAE 即 AD是 CAB 的平分线 故乐
∠ CBD = ∠ ABE , BC = BA , ∴ △ BCD ≌ △ BAE ∴ ∠ =∠ , ∠ , 第
BCD BAE 又 ADC °
乐说法正确.
十
(SAS),∴ ∠ =∠ , ∵ ∠ = 180 -
9. 【解析】由作图可知 A ACM D 是 AC 四
∠ BCD -∠ DEC ,∠ ABC = 180 ° -∠ BAE -∠ BEA , 14 ,∠ =∠ ,∵ 章
的中点 AD CD 在 ADN 和 CDM 中
DEC BEA ABC ° ADC ABC
∠ =∠ ,∠ =50 ,∴ ∠ =∠ , ∴ = , △ △ ,
=50 °. ì ï ï∠ A =∠ DCM , 全 等
CD AE CD AE 理由如下 分 íAD CD ADN CDM AN
(2) ⊥ , = , : ……… (7 ) ïï = , ∴ △ ≌△ (ASA),∴ 三
ABC DBE ° î ADN CDM 角
∵ ∠ =∠ =90 , ∠ =∠ ,
CM 又 BN AB AN BN . 形
DBA DBC DBA EBA
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ , = =11, ∵ =3,∴ = + =14
10. ° 【解析】如解图 连接AC 在 ACB 和 ACD
DBC EBA.
∴ ∠ =∠ 124 , , △ △
由题意可知 , BD = BE , AB = CB , ì ï ï AB = AD ,
中 íBC DC ACB ACD B
ì ï ï BD = BE , ,ïï = ,∴ △ ≌△ (SSS),∴ ∠ =
在 BCD和 BAE中 í DBC EBA îAC AC
△ △ ,
î
ïï ∠
BC BA
=∠ ,
D
=
ACB
,
ACD BAC DAC BAD
= , ∠ ,∠ =∠ ,∠ =∠ ,∵ ∠ =
° B ° BAC DAC ° ACB
BCD BAE
54 ,∠ =35 ,∴ ∠ =∠ =27 ,∴ ∠
∴ △ ≌△ (SAS),
CD AE BCD BAE. 分 ACD ° B BAC ° BCD
∴ = ,∠ =∠ …………… (9 ) =∠ =180 -∠ -∠ =118 ,∴ ∠ =
° ACB ACD °.
BCA BAC °
∵ ∠ +∠ =90 , 360 -∠ -∠ =124
BCD ACE BAC °
∴ ∠ +∠ +∠ =90 ,
BAE ACE BAC °
∴ ∠ +∠ +∠ =90 ,
即 ACE CAE °
∠ +∠ =90 ,
AEC ° ACE CAE °
∴ ∠ =180 -(∠ +∠ )= 90 ,
CD AE. 分 第 题解图
∴ ⊥ …………………………… (12 ) 10
5大小卷·八年级(上) 数学
11. 解:作出 ABC如解图所示. 分 . ° ADC BAD B . °.
△ …………… (8 ) 32 5 ,∴ ∠ =∠ +∠ =57 5
5. C 【解析】小华的作法 如解图 过点 P 分别作
: ①,
PE AO于点E PF BO于点F 是两把完全相
⊥ , ⊥ ,∵
同的长方形直尺 PE PF OP 平分 AOB.
,∴ = ,∴ ∠
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的
(
平分线上 小丽的作法 如解图 过点 P 分别作
) : ②,
第 题解图
11 PH AB 于 H PI BC 于 I PDE
⊥ , ⊥ ,∵ Rt△ ≌
12. 证明: BD AC EC AC
PFG PH PI PHE PIG ° EP
∵ ⊥ , ⊥ , Rt△ ,∴ = ,∠ =∠ = 90 ,∴
ADB ECA ° GP BP为 ABC的角平分线. 角的内部到角
∴ ∠ =∠ =90 ,
= ,∴ ∠ (
{AB EA
的两边距离相等的点在角的平分线上
在 ABD和 EAC中 = , )
Rt△ Rt△ , AD EC
= ,
ABD EAC 分
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),…………… (6 )
ABD EAC
∴ ∠ =∠ ,
BAD EAC BAD ABD °
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ =90 ,
BAE °
∴ ∠ =90 ,
AB AE. 分
∴ ⊥ ……………………………… (10 )
ìAB EB
ï ï = ,
13. 证明:在 ABD和 EBD中 íAD ED 第 题解图
(1) △ △ ,ï = , 5
ï
îBD BD 6. C 【解析】如解图 过点P作PF′ BC于点F′
= , , ⊥ ,∵
ABD EBD BD平分 ABC PE AB PE PF′ PF 的
周 ∴ △ ≌△ (SSS), ∠ , ⊥ ,∴ = =4,∴
ABD EBD 最小值为 .
测 ∴ ∠ =∠ , 4
小 BD平分 ABC 分
∴ ∠ ; ……………………… (5 )
卷
解:由 知 ABD EBD
(2) (1) △ ≌△ ,
A BED
∴ ∠ =∠ ,
第
ABC ° CDE °
十 ∵ ∠ =90 ,∠ =20 ,
四 A C ° BED C CDE C ° 第 题解图
章 ∴ ∠ +∠ =90 ,∠ =∠ +∠ =∠ +20 , 6
∴ ∠
C
+20
°
+∠
C
=90
°
,
7. 【解析】如解图 过点 D 作 DE AC 于点 E
全
1 , ⊥ ,∵
等 ∴ ∠ C =35 ° , AD平分 ∠ BAC ,∠ B =90 ° , DE ⊥ AC ,∴ DE = BD =1,
三 ∴ ∠ A =90 ° -∠ C =55 °. ………………… (12 分 ) 即点D到AC的距离为 .
角 1
形 周测5 角的平分线
1. B 【解析】 OM ON CM CN OC OC
∵ = , = , = ,∴
OCM OCN MOC NOC 即 OC
△ ≌△ (SSS),∴ ∠ =∠ ,
平分 AOB. 第 题解图
∠ 7
2. A 8. M 【解析】当点在 ABC 的角平分线上时 到角
∠ ,
3. A 【解析】 快递点在三条街道所围成的区域 的两边的距离相等.
∵
内 且到三条街道的距离相等 根据角平分线的 9. S S S 【解析】如解图 过点 P 作 PD AB 于
, ,∴ 1= 2= 3 , ⊥
性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 快递
, , 点D PE AC于点E PF BC于点F S 1 AB
点应建立在 ABC的三条角平分线的交点处. , ⊥ , ⊥ ,∴ 1=
△ 2
4. C 【解析】根据作图痕迹得 AD 为 BAC 的平分
∠ 1 1
线 C ° B ° BAC ° AD为
,∵ ∠ =90 ,∠ =25 ,∴ ∠ =65 ,∵
BAC 的平分线 BAD CAD 1 BAC
∠ ,∴ ∠ =∠ = ∠ =
2
PD S BC PF S AC PE. P 是
· , 2 = · , 3 = · ∵
2 2
ABC的三条角平分线的交点 PD PE PF 又
△ ,∴ = = ,
ABC为等边三角形 AB AC BC S S
∵ △ ,∴ = = ,∴ 1=
D
H
E
G I F
2
6参考答案
S . OED BDE EOD OCD CDB
= 3 ∴ ∠ = ∠ - ∠ , ∠ = ∠
COD
-∠ ,
由 知 EG EH EG OB EH CD
(1) , = , ⊥ , ⊥ ,
DE平分 CDB
∴ ∠ ,
BDE 1 CDB.
∴ ∠ = ∠
2
第 题解图 OE平分 AOB
9 ∵ ∠ ,
10. 【解析】如解图 过点D作DE AB DF AC EOD 1 AOB 分
15 , ⊥ , ⊥ , ∴ ∠ = ∠ , …………………… (6 )
垂足分别为 E F. AD 平分 BAC DE AB DF 2
, ∵ ∠ , ⊥ ,
OED BDE EOD 1 CDB 1 AOB
AC DE DF S 1 AB DE 1 DE ∴ ∠ =∠ -∠ = ∠ - ∠
⊥ ,∴ = ,∵ △ ABD= · = ×6 2 2
2 2
1 CDB AOB 1 OCD
= (∠ -∠ )= ∠ ,
=9,∴ DE =3,∴ DF =3,∴ S △ ACD= 2 1 AC · DF = 2 1 2 OCD OED ° 2
∴ ∠ =2∠ =60 ,
S S S .
×4×3=6,∴ △ ABC= △ ABD+ △ ACD=15 ∴ ∠ ACD =180 ° -∠ OCD =120 °.
又 CE平分 ACD
∵ ∠ ,
DCE 1 ACD °. 分
∴ ∠ = ∠ =60 …………… (12 )
2
第 题解图
10
11. 解:画出鹅卵石路AD如解图所示. 分
…… (8 )
第 题解图 周
13
测
专题 一线三等角问题 小
卷
一阶 识别模型
第 题解图
11
1. 解: BD MN CE MN
12. 证明: 点D是BC的中点 ∵ ⊥ , ⊥ , 第
∵ , ADB CEA ° 十
BD CD ∴ ∠ =∠ =90 , 四
∴ = , ABD BAD °
DE AB DF AC ∴ ∠ +∠ =90 , 章
∵ ⊥ , ⊥ , BAC °
BED CFD °
∵ ∠ =90 ,
全
∴ ∠ =∠ =90 , BAD CAE °
∴ ∠ +∠ =90 , 等
ì BED CFD
ï ï∠ =∠ , ABD CAE 三
∴ ∠ =∠ ,
在 BDE和 CDF中 í 角
△ △ ,
î
ïï ∠
BD
1=
C
∠
D
2, ì ï ï∠ ADB =∠ CEA , 形
= , 在 ABD和 CAE中 í ABD CAE
BDE CDF
△ △ ,ïï ∠ =∠ ,
∴ △ ≌△ (AAS), îAB CA
= ,
DE DF
∴ = , ABD CAE .
∴ △ ≌△ (AAS)
∴
AD平分
∠
BAC.
……………………… (10
分
) 2. 解:AD DE CD 理由如下
+ = , :
13. 证明:如解图所示 过点E分别作EF OA于
ACB °
(1) , ⊥ ∵ ∠ =90 ,
点F EG OB于点G EH CD于点H
ACD BCE °
, ⊥ , ⊥ , ∴ ∠ +∠ =90 ,
由题意可知OE平分 AOB CE平分 ACD AD CD BE CD
∠ , ∠ , ∵ ⊥ , ⊥ ,
EF EG EF EH CDA BEC °
∴ = , = , ∴ ∠ =∠ =90 ,
EF EG EH BCE B °
∴ = = , ∴ ∠ +∠ =90 ,
即点E到三边OA OB CD所在直线的距离相等 ACD B
, , ; ∴ ∠ =∠ ,
分 ì ADC CEB
……………………………………… (4 ) ï ï∠ =∠ ,
解: BDE 是 ODE 的外角 CDB 是 在 ACD和 CBE中 í ACD B
(2) ∵ ∠ △ ,∠ △ △ ,ïï ∠ =∠ ,
OCD的外角 îAC CB
△ , = ,
7大小卷·八年级(上) 数学
ACD CBE ì BMC EMF
∴ △ ≌△ (AAS), ï ï∠ =∠ ,
AD CE 在 BCM和 EFM中 í BCM EFM
∴ = , △ △ ,ïï ∠ =∠ ,
CE DE AD DE CD. îBC EF
∴ + = + = = ,
3.解:BC BD BE 理由如下 BCM EFM BM EM.
= + , : ∴ △ ≌△ (AAS),∴ =
DEF B BED DEF CEF °
∵ ∠ = ∠ ,∠ +∠ +∠ = 180 ,
BED BDE B °
∠ +∠ +∠ =180 ,
CEF BDE
∴ ∠ =∠ ,
ì BDE CEF
ï ï∠ =∠ ,
在 BDE和 CEF中 í B C 第 题解图
△ △ ,ïï ∠ =∠ , 5
îBE CF 6. 证明: BAE ABE BAC BAE
= , (1) ∵ ∠1=∠ +∠ ,∠ =∠ +
BDE CEF CAF 且 BAC
∴ △ ≌△ (AAS), ∠ , ∠1=∠2=∠ ,
BD CE. ABE CAF AEB CFA
∴ = ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ ,
BC CE BE ì AEB CFA
∵ = + , ï ï∠ =∠ ,
BC BD BE. 在 ABE和 CAF中 í ABE CAF
∴ = + △ △ ,ïï ∠ =∠ ,
4. 解:由题意知 DBA EBC ° α DBA îAB CA
,∠ +∠ =180 - ,∠ + = ,
D ° α ABE CAF
∠ =180 - , ∴ △ ≌△ (AAS),
EBC D BE AF
∴ ∠ =∠ , ∴ = ;
ì DAB BCE 解:由 得 ABE CAF
ï ï∠ =∠ , (2) (1) ,△ ≌△ ,
在 BDA和 EBC中 í D EBC S S
△ △ ,ïï ∠ =∠ , ∴ △ ABE= △ CAF,
îDB BE S S S
= , ∴ △ CAF+ △ BDE= △ ABD,
BDA EBC CD BD S
周 ∴ △ ≌△ (AAS), ∵ =2 , △ ABC=21,
测 DA BC AB CE
∴ = , = , S 1S
小 AD CE BC AB AC ∴ △ ABD= △ ABC=7,
卷 ∴ + = + = , 3
S S .
∵ AC =10, CE =7, ∴ △ CAF+ △ BDE=7
7. 证明: AE AB
AD AC CE .
第 ∴ = - =3 (1) ∵ ⊥ ,
DAE °.
十 二阶 综合训练 ∴ ∠ =90
五 {AD BC
章 5. 证明:如解图 , 过点 E 作 EF ⊥ AC 交 AC 的延长线 在 ADE和 BCD中 = ,
Rt△ Rt△ , DE CD
于点F. = ,
轴 ADE BCD
对 ∵ ∠ ACB =∠ DAE =90 ° , ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),
AE BD
称 ADC DAC ° DAC FAE ° ∴ = ;
∴ ∠ +∠ =90 ,∠ +∠ =90 ,
解: AE AB
ADC EAF. (2) ∵ ⊥ ,
∴ ∠ =∠
DAE °.
ì ï ï∠ ACD =∠ EFA , ∴ ∠ =90 {AD BC
在 DAC和 AEF中 í ADC EAF 在 ADE和 BCD中 = ,
△ △ ,ïï ∠ =∠ ,
Rt△ Rt△ , DE CD
îAD EA = ,
= ,
ADE BCD
DAC AEF ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),
∴ △ ≌△ (AAS),
BD AE .
AC EF. ∴ = =1
∴ =
AB
AC BC ∵ =2,
∵ = ,
AD AB BD .
EF BC. ∴ = + =3
∴ =
第十五章 轴对称
周测6 轴对称与画轴对称图形 补 原命题与逆命题均为真命题.
”,
1. B 2. B
4. B
3. D 【解析】逆命题为 两直线平行 同旁内角互
:“ ,
【解析】 通过作图痕迹无法确定BD CD
A. = ;
作图痕迹表示 BC 的垂直
B.
8参考答案
平分线交BC于点D 能确定BD CD 作图痕迹 12. 解: 如解图 A B C 即为所求作
, = ;C. (1) ,△ 1 1 1 ; ………
表示AD平分 BAC 不能确定BD CD 作图痕 分
∠ , = ;D. …………………………………………… (5 )
迹表示AC的垂直平分线交 BC 于点 D 不能确定
, 由解图可得 S 1 .
BD CD. (2) , 四边形AACC= ×(4+8)×3=18
= 1 1 2
5. C 【解析】 AB BD ABP ° BAP 分
∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 ,∵ ∠ = ……………………………………… (10 )
° APB ° ° ° AP与PC关于PE
55 ,∴ ∠ =90 -55 =35 ,∵
对称 APE CPE PE BD EPB
,∴ ∠ =∠ ,∵ ⊥ ,∴ ∠ =
EPD ° CPD APB °.
∠ =90 ,∴ ∠ =∠ =35
6. A 【解析】 BC 的垂直平分线分别交 AC BC 于
∵ ,
点D E CE BC CE BD CD ABC
, , =4,∴ =2 =8, = ,∵ △
的周长为 AB AC AB AC
20,∴ 8+ + =20,∴ + =12,∴ 第 题解图
ABD的周长为AB AD BD AB AD CD AB AC 12
△ + + = + + = +
13. 证明:如解图 连接BD.
. (1) ,
=12
BE BF分别垂直平分AD DC
7. ° 【解析】 ABC 与 A′B′C′关于直线 l 对 ∵ , , ,
35 ∵ △ △
AB BD BC BD
称 C′ C °. ∴ = , = ,
,∴ ∠ =∠ =35
8. 【解析】如解图所示 共有 条对称轴. ∴
AB
=
BC
,
4 , 4
点B在AC的垂直平分线上 分
∴ ;………… (5 )
解: EBF ABE CBF.
(2) ∠ =∠ +∠
理由如下 BE垂直平分AD
:∵ ,
AE DE AEB DEB °.
∴ = ,∠ =∠ =90
第 题解图 ìAE DE
8 ï ï = ,
周
9. 【解析】 平面直角坐标系是以正方形 在 ABE和 DBE中 í AEB DEB
(2,-2) ∵ △ △ ,ïï ∠ =∠ , 测
ABCD的中心为原点建立 点A与点B关于x轴 îBE BE 小
,∴ = ,
对称 点 A 的坐标为 点 B 的坐标为 ABE DBE 卷
,∵ (2,2),∴ ∴ △ ≌△ (SAS),
. ABE DBE
(2,-2) ∴ ∠ =∠ ,
10. 【解析】如解图 当点 P 与 EF 和 AB 的交点 同理可得 CBF DBF 第
9 , ,△ ≌△ (SAS), 十
重合时 ,∵ EF垂直平分 AC ,∴ AP = CP ,∴ BP + CP ∴ ∠ CBF =∠ DBF , 五
BP AP AB 此时BP CP的值最小 BCP周 EBF DBE DBF ABE CBF. 章
= + = , + ,∴ △ ∴ ∠ =∠ +∠ =∠ +∠ …
长的最小值 = BC + BP + CP = BC + AB ,∵ BC =3, AB ……………………………………… (12 分 ) 轴
BCP周长的最小值为 . 对
=6,∴ △ 9 称
第 题解图
13
周测7 等腰三角形
第 题解图
10 1. D 【解析】如解图 AB AC B C A
11. 解:如解图 线段MN即为所求作，按照线段MN ,∵ = ,∴ ∠ =∠ ,∵ ∠
, ° °
° C B 180 -50 °.
开渠路线最短. 分 =50 ,∴ ∠ =∠ = =65
…………………………………… (8 )
2
第 题解图 第 题解图
11 1
9大小卷·八年级(上) 数学
2. A 【解析】在 ABC 中 ABC ° AC 故顶角为 °.
Rt△ ,∵ ∠ =30 , =2 100
BC 树原来的高度为 AC BC
m,∴ = 4 m,∴ + = 6
.
(m)
3. B 【解析】 ABC 是等边三角形 ABC
∵ △ ,∴ ∠ =
° DBC ° ABD ABC DBC
60 ,∵ ∠ = 40 ,∴ ∠ = ∠ -∠
°.
=20 第 题解图
4. D 【解析】如解图所示 以A点为顶点作AC AB
9
, = , 10. 【解析】如解图 作点B关于x轴的对称点B′
满足的点有C C C 以 B 点为顶点作 BC AB 2 , ,
1, 2, 3; = , 连接B′C 交x轴于点A′ 过点C作CH x轴 过
满足的点有C C C 以AB为底边 AB的垂直平 , , ⊥ ,
4, 5, 6; , 点B′作B′H y 轴 交 CH 于点 H. B
分线不经过格点 满足要求的点有 个. ⊥ , ∵ (0,2),∴
,∴ 6 B′ . C CH B′H . B′HC
(0,-2) ∵ (5,3),∴ = =5 ∵ ∠
° CB′H ° BB′A′ ° B′
=90 ,∴ ∠ =45 ,∴ ∠ =45 ,∵ ∠
OA′ ° OB′A′ OA′B′ ° OB′ OA′
=90 ,∴ ∠ =∠ =45 ,∴ =
点A′的坐标为 . 当 A 与 A′重合时
=2,∴ (2,0) ,
ABC的周长最小 m的值为 .
△ ,∴ 2
第 题解图
4
5. C 【解析】 在 ABC 中 AB AC D 为 BC 边的
∵ △ , = ,
中点 AD 平分 BAC B ° ACB
,∴ ∠ ,∵ ∠ =40 ,∴ ∠ =
° BAC ° B ACB ° CE 平
40 ,∴ ∠ =180 -∠ -∠ =100 ,∵
分 ACB AD 平分 BAC ACF 1 ACB 第 题解图
周 ∠ , ∠ ,∴ ∠ = ∠ = 10
2
测 11. 解: 在 ABC中 AB AC BAC °
小 ° CAF 1 BAC ° AFC ° ∵ △ , = ,∠ =120 ,
卷 20 ,∠ = ∠ = 50 ,∴ ∠ = 180 -
2 B C 1 ° BAC 1 ° °
∴ ∠ =∠ = (180 -∠ )= ×60 =30 ,
ACF CAF °. 2 2
∠ -∠ =110
第 6. D 【解析】 BD 平分 ABC ABD CBD
又
∵
AB的垂直平分线交BC于点D
,
∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ ,
十 DA DB
DE AB ABD BDE CBD BDE ∴ = ,
五 ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ ,
BAD B °. 分
章 ∴ BE = DE ,∴ 点E在BD的垂直平分线上 , 故 ① 正 ∴ ∠ =∠ =30 …………………… (8 )
轴
确
;∵
E为BC 边的中点
,∴
BE
=
EC
=
DE
,∵ ∠
C
=
12.
(1)
证明:
∵ △
ABD和
△
BCE是等边三角形
,
对 ° CDE是等边三角形 故 正确 BE EC AB DB BC BE ABD CBE °
称 60 ,∴ △ , ② ;∵ = ∴ = , = ,∠ =∠ =60 ,
DE BC BE EC DE 故 正确. ABD DBE CBE DBE
= ,∴ = + =2 , ③ ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
7. 等腰三角形 三线合一 性质 即 ABE DBC
“ ” ∠ =∠ ,
8. 2 【解析】 ∵ △ ABC是等边三角形 ,∴ ∠ B =∠ C = ì ï ï AB = DB ,
在 ABE和 DBC中 í ABE DBC
° DE BC BDE ° BE 1BD . △ △ ,ï ï ∠ =∠ ,
60 ,∵ ⊥ ,∴ ∠ =30 ,∴ = =2 îBE BC
2 = ,
9. ° 【解析】分情况讨论 如解图 若等腰三 ABE DBC 分
100 :① ①, ∴ △ ≌△ (SAS); ……………… (4 )
角形ABC 的顶角 BAC 为钝角 BCD ° 解: AFB CFB 证明如下
∠ ,∠ =50 ,∴ (2) ∠ =∠ , :
B ° BCD ° BAC ° B 如解图 过点B分别作BM AE于点M BN CD
∠ =90 -∠ =40 ,∴ ∠ =180 -2∠ = , ⊥ , ⊥
° 如解图 若等腰三角形 ABC 的顶角 于点N
100 ;② ②, ,
BAC为锐角 BCD ° B ° BCD 由 得 ABE DBC
∠ ,∠ =50 ,∴ ∠ =90 -∠ = (1) △ ≌△ ,
° ACB B ° 此时 ACB BCD S S AE DC
40 ,∴ ∠ =∠ =40 ,∵ ∠ <∠ , ∴ △ ABE= △ DBC, = ,
该情况不存在 若等腰三角形 ABC 的顶角为
∴ ;③
1 AE BM 1DC BN
直角 此时 ABC为等腰直角三角形 腰上的高与 ∴ · = · ,
, △ , 2 2
底边的夹角为 °与题意不符 该情况不存在. BM BN
45 ,∴ ∴ = ,
10参考答案
BM AE BN DC ADE C DAC
∵ ⊥ , ⊥ , ∴ ∠ =∠ +∠ ,
点B在 AFC的平分线上 BAE E C
∴ ∠ , ∵ ∠ =∠ =∠ ,
FB平分 AFC ADE BAD BAE
∴ ∠ , ∴ ∠ =∠ +∠ ,
AFB CFB. 分 ADE DAE
∴ ∠ =∠ ……………………… (10 ) ∴ ∠ =∠ ,
EA ED AC
∴ = = ,
AB BD BE AB
∵ =5, =3, = ,
AC DE BE BD AB BD . 任选一种
∴ = = + = + =5+3=8 (
思路解答即可 分
) ………………………… (12 )
第 题解图 专题 最短路径问题
12
13. 解:选小明的解题思路
: 一阶 画图找点
如题图 AD是 BAC的平分线
②,∵ ∠ , 1. 解:点P位置如解图所示. 【作法提示】连接MN
BAD EAD
∴ ∠ =∠ , 交AB于点P 点P即为所求.
,
在 ABD和 AED中
△ △ ,
ìAB AE
ï ï = ,
í BAD EAD
ï∠ =∠ ,
ï
îAD AD
= ,
ABD AED 分
∴ △ ≌△ (SAS), ……………… (4 ) 第 题解图
BD ED B AED 1
∴ = ,∠ =∠ ,
2. 解:点M位置如解图所示. 【作法提示】 如解图
CED EDC C ° CED AED ①
∵ ∠ +∠ +∠ = 180 ,∠ +∠
作点P关于AB对称的点P′ 连接P′Q交AB于
° ①, ,
=180 , 点M 连接PM 易得 PM P′M PM MQ P′M 周
EDC C AED , , = ,∴ + = + 测
∴ ∠ +∠ =∠ , MQ P′Q 两点之间 线段最短 此时 MP MQ 小
EDC C B = ( , ),∴ +
∴ ∠ +∠ =∠ , 最短 点M即为所求 如解图 作点Q关于AB 卷
B C , ;② ②,
∵ ∠ =2∠ , 对称的点Q′ 连接Q′P交AB于点 M 连接 QM 易
EDC C , , ,
∴ ∠ =∠ , 得QM Q′M PM MQ PM MQ′ PQ′ 两点之 第
DE CE = ,∴ + = + = ( 十
∴ = , 间 线段最短 此时MP MQ最短 点M即为所
五
AB BD AE AB BD ED , ),∴ + ,
∵ =5, =3, = , = , 求. 任选一种即可 章
AC AE CE AE ED AB BD . ( )
∴ = + = + = + =5+3=8 …… 轴
分
对
……………………………………… (12 )
称
选择小凡的解题思路
:
如题图 BE AB
③,∵ = ,
E BAE
∴ ∠ =∠ ,
ABE ABC ° ABE E BAE
∵ ∠ +∠ = 180 ,∠ +∠ +∠ 第 题解图
2
°
=180 , 3. 解:点E 点P 位置如解图所示. 作法不唯一
, ( )
ABC E BAE
∴ ∠ =∠ +∠ , 【作法提示】如解图 作点 B 关于直线 l 的对称点
,
ABC E
∴ ∠ =2∠ , B′ 过点B′作B′E 直线 m于点 E 与直线 l 交于
, ⊥ ,
ABC C
∵ ∠ =2∠ , 点P 此时BP EP B′P EP B′E的值最小.
, + = + =
E C
∴ ∠ =∠ ,
AE AC
∴ = ,
AD是 BAC的平分线
∵ ∠ ,
BAD DAC
∴ ∠ =∠ ,
ADC ADE ° ADC C DAC
∵ ∠ +∠ = 180 ,∠ +∠ +∠
° 第 题解图
=180 , 3
11大小卷·八年级(上) 数学
4. 解:点E 点P 位置如解图所示. 【作法提示】如 要求AQ PQ的最小值 只要求出 AQ QP′的最
, ∴ + , +
解图 分别作点 B 关于直线 l m 的对称点 B′ B″
小值 即AP′的最小值
, ,
, , , ,
当AP′ BC时 AP′的值最小
连接BB′ BB″ 连接B′B″ 分别与直线 l m 交于点 ∴ ⊥ , ,
, , , , 即点Q 与点 D 重合 点 P′与点 B 重合 最小值为
P E 连接BE BP 此时BE BP EP B″E B′P EP , ,
, , , , + + = + + AB的长
,
B′B″的值最小. 在 ABC中 B ° ACB ° AC
= ∵ △ ,∠ =90 ,∠ =30 , =8,
AB
∴ =4,
AQ QP的最小值为 .
∴ + 4
第 题解图
1
第 题解图
4
5. 解:点E 点P 位置如解图所示. 【作法提示】如 P″ 连接P′P″交AB于点E 交BC于点F
, , , ,
解图 分别作点 A B 关于直线 m l 的对称点 A′ 点 P 和点P′天于 AB 对称 BP
, , , , ∵ , =8,
B′ 连接A′B′ 分别与直线 m l 交于点 E P 连接
, , , , ,
点 P 和点 P″关于 BC 对称 BP
AE BP 此时AE EP PB A′E EP PB′ A′B′的值 ∵ , =8,
, , + + = + + =
PF P″F BP″ BP BP′
最小. ∴ = , = = =8,
两点之间线段最短
∵ ,
PEF周长最小值为P′P″的长.
∴ △
点P和点P′关于 AB 对称 点 P 和点 P″关于 BC
∵ ,
对称 ABC °
,∠ =30 ,
周
测
小 第 题解图 . 5 8
卷
6. 解:点M N的位置如解图所示. 作法不唯一
, ( )
【作法提示】如解图 过点A作AC垂直于直线l 且
, ,
第
使AC的长等于直线l m间的距离 连接 BC 与直
十 , ; ,
五 线m相交于点 N 过点 N 作 NM 直线 l 于点 M
, ⊥ ,
章
连接AM 则此时AM MN BN最小.
, + +
轴 第 题解图
对
3. 解: 如解图所示 P
2
Q即为所求 【作法提示】先
称 (1) , , ;
将A点向右进行平移到 C 点 平移距离为 MN 的
,
长度 AP长度就可以转化为CQ MN是定长 要
, , ∵ ,
使线段和最短 只要 CQ BQ 最短就可以 连接
, + ,
第 题解图 BC 与直线l的交点即为所求Q点 再将Q点向左
6
, ,
二阶 综合训练 平移 平移距离为MN的长度 得到点P.
, ,
1. 解:如解图 过点 P 作关于 CD 的对称点 P′ 连接
, ,
AP′ QP′
, ,
CP CP′
∴ =
CD平分 ACB PCD P′CQ
∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ ,
ìCP CP′ 第 题解图
ï ï = , 3 ①
在 CPQ和 CP′Q中 í PCQ P′CQ 如解图 将点 A 向左平移点到 A′ 平移距离
△ △ ,ïï ∠ =∠ , (2) ②, ,
îCQ CQ 为EF的长度 作点 P 关于直线 CD 的对称点 P′
= , , ,
CPQ CP′Q 连接A′P′ A′P′与CD交于点F 将点F沿CD方向
∴ △ ≌△ (SAS), , ,
QP QP′ 向右平移 即为点E的位置
∴ = , 20 m ,
2. 解：如解图 分别作点 P 关于 AB BC 的对称点P′
, , ,
P′E PE BP′
∴ = , =8,
P′BP″ ° BP′P″ P′P″B °
∴ ∠ =60 ,∴ ∠ =∠ =60 ,
P′BP″是等边三角形 P′P″ BP′ BP
∴ △ ,∴ = = =8,
PEF的周长最小值为 ∴ △
12参考答案
A′F AE FP FP′ FCP′ °
∴ = , = , ∵∠ =90 ,
此时E F两点即可满足AE PF距离最短
∴ , + , CFP′ °
∴ ∠ =45 ,
在长方形 ABCD 中 AA′ EF AB AD
∵ , = =20, =80,
FCP′是等腰直角三角形
∴ △ ,
=40,
A′B CF CP′ 则此时出入口的左端F到卫生
∴ =80-20=60, ∴ = =20,
P为BC的中点 且P′点是点 P 关于直线 CD
∵ , 间C的距离为 .
20 m
的对称点
,
BP′
∴ =20+20+20=60,
又 B °
∵∠ =90 ,
A′BP′是等腰直角三角形
∴ △ ,
P′ °
∴ ∠ =45 ,
周
测
小
卷
期
中
检
测
第 题解图
3 ②
期中检测
选填及简单解答题题组
CBD C成立 小齐的作法正确 由小梦
∴ ∠ =∠ ,∴ ;
1. C 的作法可知 CBD C 小梦的作法正确
,∠ =∠ ,∴ ,
2. C 【解析】由题图可得 是轴对称图形的是 综上所述 选项符合题意.
, ①③
,B
故个数为 个. 8. D 【解析】 BD BC AD BD D DBC
④, 3 ∵ ⊥ , ⊥ ,∴ ∠ =∠ =
3. B 【解析】 不能构成三角形 故选项 错
1+2=3, , A ° ABC 为等边三角形 ABC ° AB 90 ,∵ △ ,∴ ∠ =60 , =
误 能构成三角形 故选项 正确
;3+4>5, , B ;5+6< AC
=
BC
,∴ ∠
DBA
=30
°
,∴
AB
=2
AD
=6,∴
C
△ ABC
不能构成三角形 故选项 错误 不能
12, , C ;3+5=8, .
=18
构成三角形 故选项 错误.
, D 9. B 【解析】根据题意可知 AH BH DH BE EF
, = = , = =
4. C 【解析】根据题意可知 AB AC D 是 BC 的中
, = , GH HI CF CJ AHB AHD BEF GHI
= , = ,∠ =∠ =∠ =∠ =
点 根据 三线合一 得 AD 平分 BAC BAC
, “ ”, ∠ ,∴ ∠ FCJ ° ABH ADH BEF
∠ =90 ,∴ △ ≌△ (SAS),△ ≌
BAD ° °.
=2∠ =2×18 =36
GHI 故 正确.
5. C 【解析】 ABC DEF C F 在 △ (SAS), ①③
∵ △ ≌△ ,∴ ∠ =∠ , 10. A 【解析】如解图 过点D作DG AB于点G.
DEF中 由三角形内角和得 F ° D
, ⊥ ∵
△ , ,∠ =180 -∠ -
BD平分 ABC ABD CBD 1 ABC
E ° ° ° ° C F ° 即x ∠ ,∴ ∠ =∠ = ∠ =
∠ =180 -27 -115 =38 ,∴ ∠ =∠ =38 , 2
. ° 又 DG BE DF BC DF DG a. DE
=38 60 , ∵ ⊥ , ⊥ ,∴ = = ∵
6. D 【解析】 AC 垂直平分 BD AB AD BC BC EDB CBD ° EDB DBE
∵ ,∴ = , = ∥ ,∴ ∠ =∠ =60 ,∴ ∠ =∠
DC AD BC 四边形ABCD的周长 AB
,∵ =3, =2,∴ = + ° BDE为等边三角形 BE BD b
=60 ,∴ △ ,∴ = = ,∴
AD BC DC 故 选项符合题意.
+ + =3+3+2+2=10, D
7. B 【解析】由小可的作法可知 , BD平分 ∠ ABC , 此
S
△ BDE= 2
1BE
·
DG
= 2
1ab.
时 CBD 1 ABC ° CBD C成立
∠ = ∠ =40 ,∴ ∠ =∠ ,∴
2
小可的作法正确 由小雨的作法可知 ABD
; ,∠ =
A 此时 A ° ABC ACB °
∠ , ∠ = 180 -∠ -∠ = 60 ,∴
第 题解图
ABD ° CBD ABC ABD ° 10
∠ =60 ,∴ ∠ =∠ -∠ = 20 ,∴
CBD C 小雨的作法错误 由小齐的作法 11.
∠ ≠∠ ,∴ ; (3,-1)
可知 点D在BC的垂直平分线上 此时 BD CD 12. 【解析】 点E是AC的中点 S S
, , = , 11 ∵ ,∴ △ ABE= △ CBE,
3
1大小卷·八年级(上) 数学
S S S S S S 即 BCE ACD °
△ ADE= △ CDE,∴ △ ABE + △ ADE = △ CBE + △ CDE, ∴ ∠ =∠ =120 ,
S
△
ABD= S
△
CBD=11 . ì ï ï BC = AC ,
13. 有一个内角等于 °的三角形是等边三角形 不 在 BCE和 ACD中 í BCE ACD
60 , △ △ ,ïï ∠ =∠ ,
成立 îCE CD
= ,
14. 【解析】在等腰直角 ABC 中 A ° 则 BCE ACD BE AD. 分
2 △ ,∠ =90 , ∴ △ ≌△ (SAS),∴ = … (9 )
° 或选 . 分
B C ° 它的 m 倍和谐值 等于90 ② …………………………………… (1 )
∠ =∠ =45 ,∴ “ ” ° 证明: ABC和 ECD都是等边三角形
45 ∵ △ △ ,
. BC AC CD CE ACB DCE °
=2 ∴ = , = ,∠ =∠ =60 ,
15. ° 【解析】如解图 在 ABD 和 FAC 中 ACE °
90 , △ △ , ∴ ∠ =60 ,
ìAD FC BCE ACD °
ï ï = , ∴ ∠ =∠ =120 ,
í DAB CFA ABD FAC ìBC AC
ïï ∠ =∠ ,∴ △ ≌ △ ( SAS), ï ï = ,
îAB FA 在 BCE和 ACD中 í BCE ACD
= , △ △ ,ïï ∠ =∠ ,
ADB C C FAC ° ADB îCE CD
∴ ∠ =∠ ,∵ ∠ +∠ =90 ,∴ ∠ + = ,
FAC ° AED ° AEB ° BCE ACD EBC DAC.
∠ =90 ,∴ ∠ =90 ,∴ ∠ =90 ,∴ ∴ △ ≌△ (SAS),∴ ∠ =∠ …
EAB B ° 即 A B °. 分
∠ +∠ =90 , ∠ +∠ =90 ……………………………………… (9 )
或选 . 分
③ ………………………………… (1 )
证明: ABC和 ECD都是等边三角形
∵ △ △ ,
BC AC CD CE ACB DCE °
∴ = , = ,∠ =∠ =60 ,
ACE °
∴ ∠ =60 ,
BCE ACD °
∴ ∠ =∠ =120 ,
第 题解图
15 ì ï ï BC = AC ,
16. 解:点P的位置如解图所示. 分
在 BCE和 ACD中 í BCE ACD
…………… (7 )
△ △ ,ïï ∠ =∠ ,
周 îCE CD
测 = ,
BCE ACD EBC DAC
小 ∴ △ ≌△ (SAS),∴ ∠ =∠ ,
卷 ACB EDC ° AC ED
∵ ∠ =∠ =60 ,∴ ∥ ,
DAC ADE EBC ADE. 分
∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ … (9 )
任选其一证明即可
期 ( )
中 20. 解: 如解图 A′B′C′即为所求作
第 题解图 (1) ,△ ; …………
检 16
分
测 17. 证明: ACD ECB …………………………………………… (4 )
∵ ∠ =∠ ,
ACD BCD ECB BCD
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
ACB ECD.
∴ ∠ =∠
ìAC EC
ï ï = ,
在 ABC和 EDC中 í ACB ECD
△ △ ,ïï ∠ =∠ ,
îBC DC
= ,
ABC EDC
∴ △ ≌△ (SAS),
AB ED. 分
∴ = ……………………………… (8 )
中档解答题题组
第 题解图
20
18. 证明: DC AD A ° 由解图可知 BB′
∵ = ,∠ =30 , (2) , =8,
DCA A °
∴ ∠ =∠ =30 , S 1 . 分
BDC DCA A ° ∴ △ BCB′= ×8×1=4 ………………… (10 )
∴ ∠ =∠ +∠ =60 , 2
又 BD DC 21. 解: MDC ABM DM 分
∵ = , (1) ; ; ; ………………… (4 )
BDC是等边三角形. 分 AM DM
∴ △ ……………… (8 ) (2)∵ ⊥ ,
19. 解:选 . 分 AMB DMC °
① ………………………………… (1 ) ∴ ∠ =∠ =90 ,
证明: ABC和 ECD都是等边三角形 MAB ° ABM.
∵ △ △ , ∴ ∠ =90 -∠
BC AC CD CE ACB DCE ° 又 MDC ° ABM
∴ = , = ,∠ =∠ =60 , ∵ ∠ =90 -∠ ,
ACE ° MAB MDC.
∴ ∠ =60 , ∴ ∠ =∠
14参考答案
ì AMB DMC 作点P如解图 作法不唯一 【作法提示】
ï ï∠ =∠ , (3) ③;( )
在 ABM和 DCM中 í MAB MDC
△ △ ,ïï ∠ =∠ , 如解图
③,
作点 A 关于 x 轴对称的点 A′
,
连接 A′B
îAB DC
= , 交x轴于点P 此时PA PB的值最小.
ABM DCM , +
∴ △ ≌△ (AAS),
CM BM AM DM
∴ = =5 m, = =7 m,
AC AM CM .
∴ = - =2 m
答 梯子下滑的高度AC为 . 分
: 2 m ……… (11 )
22. 解: BD PC BD PC BP PC 分
(1) , , + , + ; ……… (5 )
【解法提示】由三角形的两边之和大于第三边 得
,
AB AD BD PD CD PC 将不等式两边相加得
+ > , + > , :
AB AD PD CD BD PC 即AB AC BP PC.
+ + + > + , + > +
AD BD CD 1 AB BC AC .理由如下
(2) + + > ( + + ) :
2
在 ABD中 AD BD AB
△ , + > ,
例题解图
在 BCD中 BD CD BC ③
△ , + > ,
在 ACD中 AD CD AC
△ , + > , 作出 A BC 如解图
AD BD BD CD AD CD AB BC AC (4)① △ 3 3 ④,
∴ + + + + + > + + , 设点Q 的坐标为 a b
1 ( , ),
AD BD CD 1 AB BC AC . 分
∴ + + > ( + + ) …… (12 ) 由题意得 a x y b
2 , = , + =1×2,
专题 网格作图题 a x b y
∴ = , =2- ,
一阶 一题多设问 点Q 的坐标为 x y
∴ 1 ( ,2- );
例 解: 作出 ABC 关于 y 轴对称的 A B C 如 如解图 AA S 周
(1) △ △ 1 1 1 ② ④,∵ 3=8, △ AAM=4,
解图 A B C 3 测
①, 1(3,5), 1(2,1), 1(1,3);
∴
点M到AA
3
的距离为
1, 小
卷
M的坐标为 或 .
∴ (-4,1) (-2,1)
期
中
检
测
例题解图
①
作出 A B C 如解图 所示 A B
(2) △ 2 2 2 ② , 2(3,2), 2(2,
C 例题解图
-2), 2(1,0); ④
二阶 综合训练
1. 解: 作出 A′B′C′如解图所示
(1) △ ;
作出 A″B″C″如解图所示 其中 A″
(2) △ , (-1,2),
B″ C″
(-4,0), (-3,3);
点P a b 向下平移 个单位后的点的坐
(3) ( -2, +1) 2
标为 a b 再关于y轴对称后的点的坐标为
( -2, -1),
a b 即P′ a b
(- +2, -1), (- +2, -1),
例题解图 P′ a b
② ∵ ( -6,2 -4),
15大小卷·八年级(上) 数学
{ a a {a ACD BCE
- +2= -6,解得 =4, ∴ △ ≌△ (SAS),
∴ b b b . ADC BEC
-1=2 -4, =3 ∴ ∠ =∠ ,
ADC °
∵ ∠ =30 ,
BEC ADC °
∴ ∠ =∠ =30 ,
AC BC ACB °
∵ = ,∠ =90 ,
ABC为等腰直角三角形
∴ △ ,
ABC °
∴ ∠ =45 ,
BCE ABC BEC °.
∴ ∠ =∠ -∠ =15
3. 解: ABD和 ACE都是等边三角形
∵ △ △ ,
AB AD AE AC DAB EAC ACD °
∴ = , = ,∠ =∠ =∠ =60 ,
BAD DAE CAE DAE
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
即 BAE DAC.
∠ =∠
第 题解图
1 ì ï ï AB = AD ,
2. 解: 作出平面直角坐标系如解图 在 ABE和 ADC中 í BAE DAC
(1)① ; △ △ ,ïï ∠ =∠ ,
îAE AC
= ,
②(4,2);
作出 DEF如解图所示 ABE ADC
∴ △ ≌△ (SAS),
(2) △ ,
AEB ACD.
∴ ∠ =∠
S 1 1 1 3
∴ △ ABC=3×3- ×1×3- ×1×3- ×2×2=9- - 又 EAC ACD °
2 2 2 2 ∵ ∠ =∠ =60 ,
AEB EAC
3 ∴ ∠ =∠ ,
-2=4; AC BE.
2 ∴ ∥
如解图 点 P 即为所求. 作法不唯一 【作法 4. 解: ABD和 ACE都是等腰直角三角形
(3) , ( ) ∵ △ △ ,
周 提示】作点A关于 y轴的对称点 A′ 连接 A′B 与 y AB AD AE AC
, ∴ = , = ,
测
轴交于点P. BAD CAE °
小 ∵ ∠ =∠ =90 ,
卷 BAD DAE CAE DAE
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
即 BAE DAC.
∠ =∠
ìAB AD
期 ï ï = ,
中 在 ABE和 ADC中 í BAE DAC
检 △ △ ,ïï ∠ =∠ ,
îAE AC
测 = ,
ABE ADC
∴ △ ≌△ (SAS),
ABE ADC.
∴ ∠ =∠
AFB DFG
∵ ∠ =∠ ,
° ABE AFB ° ADC DFG
∴ 180 -∠ -∠ =180 -∠ -∠ ,
第 题解图 DGF BAF °
2 ∴ ∠ =∠ =90 ,
BE CD.
专题 手拉手问题 ∴ ⊥
二阶 综合训练
一阶 大题小练 1. 解: BD CE ° 【解法提示】 ABC 和
(1) = ,40 ; ∵ △
1. 证明: DBE ABC ADE为等腰三角形 AB AC AD AE BAC
∵ ∠ =∠ , △ , = , = ,∠ =
DBE ABD ABC ABD DAE BAC CAD DAE CAD
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ , ∠ ,∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ,∴
ABE CBD BAD CAE ABD ACE BD
∴ ∠ =∠ , ∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (SAS),∴ =
AB CB DB EB CE ABD ACE. AGD BGC BGC
∵ = , = , ,∠ = ∠ ∵ ∠ = ∠ ,∠ =
ABE CBD . BAC ABD AGD BFC ACE BAC
∴ △ ≌△ (SAS) ∠ +∠ ,∠ =∠ +∠ ,∴ ∠ +
2. 解: ACB DCE ° ABD BFC ACE BFC BAC.
∵ ∠ =∠ =90 , ∠ = ∠ +∠ ,∴ ∠ = ∠ ∵
ACB BCD DCE BCD BAC ° BFC °.
∴ ∠ -∠ =∠ -∠ , ∠ =40 ,∴ ∠ =40
即 ACD BCE BE CE AF.理由如下
∠ =∠ , (2) = +2 :
AC BC DC EC ABC 和 ADE 均为等腰直角三角形 AF
∵ = , = , ∵ △ △ ,
16参考答案
DE CBD BCG °
⊥ , ∴ ∠ +∠ =90 ,
AB AC AD AE AF DF EF BGF °
∴ = , = , = = , ∴ ∠ =90 ,
BAC DAE ° CF BD.
∵ ∠ =∠ =90 , ∴ ⊥
BAC DAC DAE DAC
∴ ∠ -∠ =∠ -∠ ,
BAD CAE
∴ ∠ =∠ ,
BAD CAE
∴ △ ≌△ (SAS),
BD CE
∴ = ,
BE BD DF EF CE AF.
∴ = + + = +2 第 题解图
2
2. 解: CF 1 BD CF BD 【解法提示】
(1) = , ⊥ ; ∵ 综合与实践
2
△
ACB和
△
DCE 均为等腰直角三角形
,∠
ACB
= 1. 解:任务一:画出风筝完整的骨架ABCD如解图
①;
° 点 D E 分别在边 AC BC 上 AC BC
90 , , , ,∴ = , 任务二: 【解法提示】如解图 由任
①②③④; ②,
DCE ° CE CD 在 CAE 和 CBD 中
∠ = 90 , = , △ △ , 务一可知 结论 AB AD ABC ADC
, ① = ;②△ ≌△ ;③
ìCE CD
ï ï = , OB OD BAC DAC均正确 OA与 OC 不一
= ;④∠ =∠ ;
í ACE BCD CAE CBD
î
ïï ∠
AC BC
=∠ , ∴ △ ≌ △ ( SAS), 定相等
,
故结论
⑤
不符合题意.
= , 任务三:如解图 由题可知 AC BD
CAE CBD AE BD ACB ° F是AE ②, , = 60 cm, =
∴ ∠ =∠ , = ,∵ ∠ =90 ,
30 cm,
边的中点 CF AF 1 AE CF 1 BD CAF
,∴ = = ,∴ = ,∠ S 1BD AO 1 BD CO 1 BD AO
2 2 ∴ 四边形ABCD= · + · = ·(
ACF ACF CBD ACF BCF 2 2 2
=∠ ,∴ ∠ =∠ ,∵ ∠ +∠ =
° CBD BCF ° CF BD. CO 1BD AC 1 2
90 ,∴ ∠ +∠ =90 ,∴ ⊥ + ) = · = ×30×60=900(cm),
2 2
(2) CF与BD的数量关系是 CF = 1 BD , 位置关系 ∴ S 绢布=2 S 四边形ABCD=1 800(cm 2 ) . 周 测
2
是CF BD 理由如下 小
⊥ , :
卷
如解图 延长CF到点H使FH CF 连接AH 延长
, = , ,
FC交BD于点G
,
F是AE边的中点 EF AF 期
∵ ,∴ = , 中
ì ï ï EF = AF , 检
在 CEF和 HAF中 í CFE HFA 测
△ △ ,ïï ∠ =∠ ,
îCF HF
= , 第 题解图
1
CEF HAF
∴ △ ≌△ (SAS), 2. 解:任务一:小颖 【解法提示】小丽所设计的方
CE HA CEF HAF ;
∴ = ,∠ =∠ , 案中 只有 COB AOB 与 BO BO 两个条件
CE AH , ∠ =∠ = ,
∴ ∥ , 无法证明两个三角形全等.
ACE CAH °
∴ ∠ +∠ =180 , 任务二:由任务一可知 小颖的方案可行 理由
ACB和 DCE均为等腰直角三角形 , ,
∵ △ △ , 如下
AC BC CE CD ACB DCE ° :
∴ = , = ,∠ =∠ =90 ,
ìOA OD
CD AH ACE BCD ° ï ï = ,
∴ = ,∠ +∠ =180 , 在 AOB和 DOC中 í AOB DOC
∴ ∠
CAH
=∠
BCD
,
△ △ ,
î
ïï ∠
OB OC
=∠ ,
ìAH CD = ,
ï ï = ,
AOB DOC
在 HAC和 DCB中 í CAH BCD ∴ △ ≌△ (SAS),
△ △ ,ïï ∠ =∠ ,
AB DC
îAC CB ∴ = ,
= ,
测出CD的距离即为水池两端A B之间的距离
HAC DCB ∴ , ;
∴ △ ≌△ (SAS),
任务三:选取点 O 时 使得 OB AB 其他条件不
HC DB ACH CBD , ⊥ ,
∴ = ,∠ =∠ ,
变 理由如下
, :
CF 1CH 1BD
∴ = = , OB AB
2 2 ∵ ⊥ ,
ACH BCG ° ACB ° ABO CBO °
∵ ∠ +∠ =180 -∠ =90 , ∴ ∠ =∠ =90 ,
17大小卷·八年级(上) 数学
ì ABO CBO AB CB
ï ï∠ =∠ , ∴ = ,
在 ABO和 CBO中 íBO BO 测出BC的距离即为水池两端A B之间的距离.
△ △ ,ïï = , ∴ ,
î BOA BOC 答案不唯一
∠ =∠ , ( )
ABO CBO
∴ △ ≌△ (ASA),
周
测
小
卷
第
十
六 章
整
式
的
乘
法
第十六章 整式的乘法
周测8 幂的运算
4 . 3 9
= ×3×3 4 ×10
3
1. C 【解析】原式 a2+3 a5.
= =
4 . 9
2. D 【解析】利用幂的乘方法则进行计算 可得 = ×3×39 304×10
, 3
2 3 6 . 9 . 11.
(2 ) =2 =64 ≈157×10 =1 57×10
3. D 【解析】逐项分析如下表 火星的体积约为 . 11 3. 分
: ∴ 1 57×10 km …… (8 )
14. 解:关卡一: a b c
选项 逐项分析 正误 ∵ 3 =2,3 =18,3 =4,
a b c a b c
+- 2
a3 与a2 不属于同类项 不能合并 ∴ 3 =3 ·3 ÷3 =2×18÷4=9=3 ,
A , ✕ a b c 分
∴ + - =2;……………………………… (4 )
B (
a2
)
3
=
a6
≠
a5
✕
关卡二:
∵
an
=6,
b2 n
=8,
C (- ab3 ) 3 =- a3b9 ≠ a3b9 ✕ ∴ ( ab ) 2 n -( a2b4 ) n = a2 nb2 n - a2 nb4 n
2 2 2
ab 2 a2b2 =6 ×8-6 ×8
D ( ) = √
.
4. A 5. D
=-2 016
闯关心得略. 分
…………………………… (8 )
6. B 【解析】 x y x y x y
∵ 3 +5 -4=0,∴ 3 +5 =4,∴ 8 ·32 15. 解: 300 3×100 3 100 100 200 2×100
(1)∵ 2 =2 =(2 ) =8 ,3 =3 =
3 x 5 y 3 x +5 y 4 .
=2 ·2 =2 =2 =16 2 100 100 (3 ) =9 ,
7. a7 【解析】原式 = a5 ·(- a ) 2 = a5 · a2 = a7. 又
∵ 8<9,
8. . 5 【解析】该作品的质量为 . 2 .
1 08×10 1 2×10 ×0 9 100 100
∴ 8 <9 ,
×10 3 =1 . 08×10 5 (kg) . 即 300 200 分
2 <3 ;……………………………… (5 )
9. 5 【解析】原式 2 2 025 5 2 025 5 (2)∵ 3 55 =3 5×11 =(3 5 ) 11 =243 11 ,4 44 =4 4×11 =(4 4 ) 11 - =(- ) ×(- ) ×(- )
2 5 2 2 11 33 3×11 3 11 11
=256 ,5 =5 =(5 ) =125 ,
=[(- 2 )×(- 5 )] 2 025 ×(- 5 )= 1×(- 5 )= - 5. 又 ∵ 256>243>125,
5 2 2 2 2 11 11 11
10. 【解析】 m n 是正整数 且 am - n am +2 n ∴ 256 >243 >125 ,
72 ∵ , , =3, = 即 44 55 33. 分
am - n 2 a2 m -2 n a3 m a2 m -2 n am +2 n 4 >3 >5 ………………………… (10 )
8,∴ ( ) = =9,∴ = · =9×8
周测9 整式乘法
.
=72
11. 解: 原式 a2 a8 a2 1. C 【解析】a5 a2 a5-2 a3.
(1) = · ·4 ÷ = =
a12 分 2. D 【解析】 ab a b a2b a2b ab2 a2b
=4 ;……………………… (4 ) 4 ( +2 )-4 =4 +8 -4
原式 a 3 a 6 m ab2.
(2) =( +2) ·( +2) =8
a 3+6 m. 分 3. D 【解析】逐项分析如下表
=( +2) …………………… (4 ) :
12. 解:原式
=
m6
-16
m8
+
m8
选项 逐项分析 正误
m6 m8
= -15 , a3 a5 a8 a8
将m 代入得 原式 6 8 A 2 ·3 =6 ≠5 ✕
=-1 , =(-1) -15×(-1) =
. 分 B 2
ab2
·
a2b
=2
a3b3
≠2
ab3
✕
-14 ……………………………………… (6 )
a6b4 a2b3 a4b a3b
13. 解:V 4 r3 C 4 ÷ =4 ≠4 ✕
= π
3 a5b2 a2b a3b
D ÷(- )= - √
≈ 4 ×3×(3 . 4×10 3 ) 3 4. B 【解析】 m2 m m2 m
3 ∵ 2 -5 -8=0,∴ 2 -5 =8,∴
m m m2 m .
4 . 3 3 3 (2 -5)+6=2 -5 +6=8+6=14
= ×3×3 4 ×(10 ) 5. C 【解析】 x a x2 x x3 x2 x ax2
3 (4 + )( -5 +2)= 4 -20 +8 +
18参考答案
ax a x3 a x2 a x a 多项式 xy y2 平方米
-5 +2 =4 +( -20) +(8-5 ) +2 ,∵ =(20 -4 ) ,
x a x2 x 的计算结果不含x项 a 答 该水渠横断面的面积为 xy y2 平方米
(4 + )( -5 +2) ,∴ 8-5 = : (20 -4 ) ;
分
a 8. ……………………………………… (4 )
0,∴ = 分钟 秒
5 (2)∵ 10 =600 ,
6. D 【解析】卧室的面积是 b a a a a b
3 (5 -2 - )+2 (5 - 分钟内流经该水渠的水的体积为 xy
∴ 10 (20 -
3
b
)= 10
ab
(
平方米
),
厨房
、
卫生间
、
客厅
、
餐厅的
y2 . xy y2
4 )×1 2×600=14 400 -2 880 ,
面积之和是 a b ab ab 平方米 地砖
5 ·5 -10 =15 ( ),∵ 又 x . y .
∵ =0 5, =0 4,
的价格为每平方米x元 木地板的价格为每平方米
, 原式 . . . 2
∴ =14 400×0 5×0 4-2 880×0 4
x元 所需要花费的钱为 ab x ab x
2 ,∴ 10 ·2 +15 · = . 立方米 .
=2 419 2( )
abx abx abx 元 .
20 +15 =35 ( ) 答 分钟内流经该水渠的水的体积是 .
7.
:10 2 419 2
1 立方米. 分
8. x3 【解析】原式 x4 x x x4 x x
………………………………… (10 )
-4 =(3 -12 )÷3 =3 ÷3 -12 周测10 乘法公式
x x3 .
÷3 = -4
9. 2 【解析】原式 3 a 2 b a 3 b 2 3 2 1. B 【解析】 ( a -1) 2 = a2 -2 a +1 .
=5 ÷5 =(5 ) ÷(5 ) =2 ÷6 = 2. A 【解析】根据平方差公式 得 a b a b
9 , ( -2 )( +2 )=
8÷36=
2.
a2
-4
b2
=6-8=-2
.
9 3. B 【解析】由题图可知 阴影部分的面积为 b2
10. x x2 x x3 3 【解析】根据规律 则 , +
( +6)( -6 +36)= +6 , a b 2 a2 b a b 即 a b 2 a2 ab b2.
第 个等式为 x x2 x x3 3. ( - ) = -2 ( - ), ( - ) = -2 +
6 ( +6)( -6 +36)= +6 4. D 【解析】原式 a2 b2 a2 b2 a4 b4.
11. 解: 原式 a4 a6 a2 =( - )( + )= -
(1) =2 - ÷ 5. A 【解析】由题意可知 购买月季花的费用为
a4 a4 ,
=2 - a a a2 购买兰花的费用为 a
a4 分 (2 +1)(2 -1)= 4 -1, ( -
= ;………………………… (4 ) a a2 a2 a2 a2 周
(2)
原式
=-3
a3b4
+5
a3b4 2)(
所需
+2
购
)=
买费
-
用
4,
更
∵
多
4
的
-
是
1-
月
(
季花
-4
.
)= 3 +3>0,
测
a3b4. 分 ∴ 小
=2 ………………………… (4 ) 6. C 【解析】设AB a AD b 由题意得 a b 卷
12. 解:原式 a2 ab ab b2 a2 ab ab b2 = , = , ,8 +8 =72,
=2 +4 + +2 -( - + - ) a2 b2 即 a b a2 b2 ab
a2 ab b2 a2 ab ab b2 2 +2 = 36, + = 9, + = 18,∴ =
=2 +5 +2 - + - +
a2 ab b2 分 ( a + b ) 2 -( a2 + b2 ) 81-18 . 即长方形 ABCD 第
= +5 +3 , ………………… (4 ) = =31 5, 十
当a b 时 原式 2 2 2 2 六
=3,
.
=1 , =3 +5×3×1+3×1 =9+
分
的面积为
31
.
5 m
2.
章
13.
1
解
5+
:
3=2
二
7
括
…
号
…
前
…
是
…
负
…
号
…
去
…
括
…
号
…
时
…
未
…
变
…
号
(6 ) 7.
6
或
-6
【解析】根据题意可得 x2
+
kxy
+9
y2
=(
x
±
整
(1) ; , ; 分 … 3 y ) 2 , 所以k =2×(±3)= ±6 . 式
( … 2) … 原 … 式 … = … 6 x … 2 + … 2 x … y + … 9 x … y + … 3 y … 2 - … (6 … x3y … + … 6 x … 2y2 ) ( ÷ 3 2 x2 ) 8. 1 【解析】原式 =2 025 2 -(2 025-1)(2 025+1)= 的 乘
x2 xy y2 xy y2 2 025 2 -(2 025 2 -1)= 2 025 2 -2 025 2 +1=1 . 法
=6 +11 +3 -(3 +3 )
=6 x
x
2
2
+11
xy
x
.
y +3 y2 -3 xy -3 y2
分
9.
22
【解析】
∵
x
-
1
x =3,∴ (
x
-
1
x )
2
=9,
即x2
-2+x
1
2
=6 +8 ……………………… (8 )
14. 解:设A为x
,
则B为
(
x
-1),
则 C 为
(
x
+1),
D为
=9,∴
x2
+x
1
2
=11,∴
x2
+x
1
2
+11=22
.
x E为 x
( -7), ( +7), 10. 【解析】当n为正奇数时 展开式中有偶数个
C E B D x x x x 64 ,
∴ · - · =( +1)( +7)-( -1)( -7)
展开项 并且前一半项的系数和为所有项系数和
x ,
= 16 , 的一半 故 a b n n为正奇数 的展开式中所有
x 且x为整数 , ( + ) ( )
∵ >0 ,
项的系数和为 时 则前 项的系数和为 .
C E与B D的差一定是 的倍数. 128 , 4 64
∴ · · 16 ………
分 11. 解:原式 =-(5 x -4 y ) 2
……………………………………… (8 )
15. 解: 由题意可知 该水渠横断面的面积为 =-(25
x2
-40
xy
+16
y2
)
(1) ,
x2 xy y2. 分
=-25 +40 -16 …………… (4 )
1 y x x y
·4 ·(5 +5 -2 ) 12. 解:原式 x2 y2 y2 y xy x2
2 = - + -8 +16+ -
y x y xy y . 分
=2 (10 -2 ) = -8 +16 …………………… (3 )
19大小卷·八年级(上) 数学
a2 a
当x 1 y 时 原式 . =3 - -14,
= , =2 , =1-16+16=1 …………
2 当a 1时 原式 1 2 1 55.
分 = , =3×( ) - -14=-
……………………………………… (6 ) 2 2 2 4
13. 解: 原式 a b c a b c 6. 解:原式 x2 y2 x2 xy xy
(1) =[ +( + )][ -( + )] =4 -9 -2 +2 -2
a2 b c 2 x2 y2
= -( + ) =2 -9
a2 b2 bc c2 分 将x y 代入得 原式 2 2
= - -2 - ; …………… (6 ) =2, =3 , =2×2 -9×3 =8-81=
(2) 原式 =[(2 a + b )-2] 2 -73 .
=(2 a + b ) 2 -4(2 a + b )+4 7. 解:原式 = m2 -4 m +4+(8 m3 +3 m3 )÷ m
=4
a2
+4
ab
+
b2
-8
a
-4
b
+4
.
……… (6
分
) =
m2
-4
m
+4+11
m2
14. (1) 解: 68=18 2 -16 2 ; …………………… (4 分 ) =12 m2 -4 m +4,
证明:设两个连续的偶数分别为 k k 则 由 m 解得m
(2) 2 ,2 +2, 3-5 <-7, >2,
由题意得 m为满足 m 的最小整数
: ∵ 3-5 <-7 ,
(2 k +2) 2 -(2 k ) 2 =(2 k +2+2 k )(2 k +2-2 k )= 2(4 k + ∴ m =3,
k 当m 时 原式 2 .
2)= 4(2 +1), =3 , =12×3 -4×3+4=100
神秘数 是 的倍数 8. 解:原式 x2 xy y2 x2 y2
= -2 + - +9
∴ “ ” 4 ,
神秘数 能被 整除. 分
=10
y2
-2
xy
,
∴ “ ” 4 ……………… (8 )
15. 解: (1) a2 - b2 ,( a + b )( a - b ); …………… (2 分 ) 解方程组
{
2
x
+
y
=10,
x y
图 和图 中阴影部分的面积相等 2 - =2,
(2)∵ ① ② ,
{x
∴ 能验证的公式为 ( a + b )( a - b )= a2 - b2 ;……… 解得 =3,
y
分 =4,
……………………………………… (5 )
原式 2 .
∴ =10×4 -2×3×4=160-24=136
原式 1 1 1 1
周 (3) =(1- 2 )(1+ 2 )(1+ 4 )×…×(1+ 64 ) 9. 解:原式 =[( a + b )-( a - b )] 2
2 2 2 2
测 a b a b 2
=( + - + )
小 1
卷 + 2 128 =(2 b ) 2
b2
1 1 =4 ,
=1- +
128 128
第 2 2 a b 1 2
∵ | -1|+( - ) =0,
十 . 分 3
=1 …………………………… (10 )
六
专题 整式的化简及求值 a b 1
章 ∴ =1, = ,
3
整
1. 解:原式 1x6y2 x2y2 x4 原式 1 2 4.
式 = + ·(-3 ) ∴ =4×( ) =
4 3 9
的
10. 解:原式 y2 y y y2 y
乘 1x6y2 x6y2 =2(2 - -2 +1)-2( +2 +1)+6
法 =
4
-3
=4
y2
-2
y
-4
y
+2-2
y2
-4
y
-2+6
y2 y
11x6y2. =2 -10 +6,
=-
4
y2 y
∵ -5 +4=0,
2. 解:原式 a b b a a a b
=( +2 )·(3 - )+ ( - ) y2 y
∴ -5 =-4,
=3 ab - a2 +6 b2 -2 ab + a2 - ab
∴
原式
=2(
y2
-5
y
)+6=2×(-4)+6=-2
.
=6
b2. 11. 解:原式
=
a2
-2
ab
+
b2
-(
a
+
b
)(
a
-
b
)-(2
b2
-1)
3. 解:原式
=(
a2
+4
ab
+4
b2
-
a2
+2
ab
)÷2
b
=
a2
-2
ab
+
b2
-
a2
+
b2
-2
b2
+1
ab b2 b ab
=(6 +4 )÷2 =-2 +1,
a b. 当a b 时 原式
=3 +2 =3, =-2 , =-2×3×(-2)+1=13,
4. 解:原式 a8 a3 a3 当a b 时 原式
= ·27 · =-3, =2 , =-2×(-3)×2+1=13,
a14 他的计算结果是正确的.
=27 , ∴
当a 时 原式 14 . 12. 解:选择A B C
=-1 , =27×(-1) =27 · + ,
5. 解:原式 a2 a2 a a x x x 2
=2( -1)+( -4 +3 -12) (2 -1)·( +4)+(1+2 )
a2 a2 a x2 x x x x2
=2 -2+ - -12 =2 +8 - -4+1+4 +4
20参考答案
x2 x x x2 x
=6 +11 -3, =(3 +2 )·( +4)
当x 时 原式 2 . x2 x x3 x2
=-1 , =6×(-1) +11×(-1)-3=-8 =3 +12 +2 +8
x3 x2 x
选择1 C A B =2 +11 +12 ,
2 ( + )· , 当x =-1 时 , 原式 =2×(-1) 3 +11×(-1) 2 +12×
.
1 x 2 x x (-1)= -3
[(1+2 ) +(2 -1)]·( +4)
2 任选其中一个作答即可
( )
1 x x2 x x
= (1+4 +4 +2 -1)·( +4)
2
周
测
小
卷
第
十
八
章
分
式
第十七章 因式分解
周测11 因式分解 a b m n 分
=( - )(2 +3 ); ……… (4 )
1. B 原式 x x2 y2
(2) =3 ( -4 )
2. D 【解析】 x2 y2 y2 x2 y2 x y x y x x y x y . 分
4 + -2 =4 - =(2 + )(2 - ), =3 ( +2 )( -2 ) ………… (4 )
∴ 单项式可以是 -2 y2. 12. 证明:原式 =5 2 020 ×(5 2 -4×5+2)= 7×5 2 020 ,
3. B 【解析】 9 a2 -6 ab + b2 =(3 a ) 2 -2×3 ab + b2 =(3 a - 2 022 2 021 2 020 能被 整除. 分
∴ 5 -4×5 +2×5 7 … (6 )
b
)
2.
13. 解: a2 b2 ab a2 b2 ab 2
4. A 【解析】将 a2b ab2 ab因式分解可得 ab (1) + -9-2 =( + -2 )-3
-4 -6 +2 -2 a b 2 2 a b a b 分
a b 被遮盖住的式子为 b . =( - ) -3 =( - +3)( - -3); …… (3 )
(2 +3 -1),∴ 3 -1 ab bc ac a2 ab a2 ac bc a a b
5. B 【解析】原式 ab a2 ab b2 ab a b 2 将a (2) - + - =( - )+( - )= - ( - )+
= ( -2 + )= ( - ) , c a b
b ab 代入 得原式 2 . ( - )
- =4, =-3 , =-3×4 =-48 a b c a
6. B 【解析】 a2 b2 ac bc a b a b =( - )( - );
∵ - - + =0,∴ ( + )( - )- a b b c
c a b a b c a b a b c 或a ∵ - =-5, - =3,
( - )= 0,∴ ( + - )( - )= 0,∴ + - =0 c a
b ABC的三边长a b c都大于 且两边 ∴ - =2,
- =0,∵ △ , , 0, 原式 a b c a . 分
之和大于第三边 a b c a b 即 a b ∴ =( - )( - )= -5×2=-10 …… (8 )
,∴ + - >0,∴ - =0, = , 14. 解:由题意得 放置冰块部分的面积
ABC是等腰三角形. ,
∴△ a b 2 a b 2
7. 【解析】原式 =(2 + ) -(2 - )
4 049 =(2 025+2 024)×(2 025- a b a b a b a b
. =(2 + +2 - )(2 + -2 + )
2 024)= 4 049×1=4 049 a b
8. x2 x x x .
=4 ·2
+6 +8=( +4)( +2) ab. 分
9.
>
【解析】A
-
B
=
m2
+
mn
-(3
mn
-
n2
)=
m2
+
mn
-3
mn
15. 解
=8
:
…
a
……
b
……
a
…
b
…………………… (8
分
)
(1)( +2 )(2 + );………………… (3 )
n2 m2 mn n2 m n 2 m n m n 2 + = -2 + =( - ) ,∵ ≠ ,∴ ( - ) > 由题意得 a2 b2 a b
即A B A B. (2) ,2 +2 =64,6 +6 =36,
0, - >0,∴ > 化简得 a2 b2 a b 分
10. 【解析】由题意得 Q I2R t I2R t I2R t I2t , + =32, + =6, …………… (5 )
108 , = 1 + 2 + 3 = a b 2 a2 ab b2 ab
R R R 将I . R . R . ∵ ( + ) = +2 + =32+2 =36,
( 1+ 2+ 3), =0 6 A, 1=32 7 Ω, 2=42 4 ab
R . t 代入 得Q . 2 .
∴ =2,
Ω, 3=24 9 Ω, =3 s , =0 6 ×3×(32 7
∴ 5
ab
=10,
. . . .
+42 4+24 9)= 0 36×3×100=108(J) 图中空白部分的面积为 2. 分
11. 解: 原式 m a b n a b
∴ 10 cm …… (10 )
(1) =2 ( - )+3 ( - )
第十八章 分式
x x
周测12 分式及其基本性质 . 选项 -1 -1 1
-1 C,x2 = x x = x
-1 ( +1)( -1) +1
1. D 【解析】分式有意义的条件即分母不为 所以
0,
x 解得x . 分子分母没有公因式.故选项 是最简分式.
-2≠0, ≠2 D, D
xy y x x
2. D 【解析】选项 . 选项 -2 -2
A,x2 = x B,
2-
x=-x
-2
=
3. C 【解析】根据分式的性质
x
-2 2-
x x
-2
, x=- x=-x
3- 3- -3
.选项
21大小卷·八年级(上) 数学
x 13. 解:小丽的解法不正确 分
2- . , ………………… (3 )
=x 错误原因 分式的通分是把几个异分母的分式分
-3 :
a2 a2 a a 别化为与原来分式相等的同分母分式 小丽的做
4. D 【解析】2 -72 2( -36) 2( +6)( -6) ,
a = a = a = 法是分别给两个分式乘最简公分母 不是通分.
+6 +6 +6 ,
a a 原式
2( -6),∵ = 1 006,∴ = 2×(1 006-6)=
.
2 000 14. 解: 分
(1)-3,2; …………………………… (4 )
5. C 【解析】根据题意 得今年种植大豆 m p 亩 x a
, ( + ) , 【解法提示】对于分式3 + a b为常数 当x
总产量为 n q 千克 今年大豆每亩的平均产 x b ( , ), =2
(3 - ) ,∴ -
n q 时无意义 即x b b b 当 x
量为3 - 千克. , - =0,∴ 2- =0,∴ =2, =1
m p x a
+ 时 分式3 + x a a a
6. B 【解析】种植 x 棵大豆的 y 亩土地的单位面积
, x
-2
=0,∴ 3 + =0,∴ 3×1+ =0,∴ =
x -3;
的种植数量为 种植面积增加到 k2y 亩 种植大 x
y , , 由 知分式为3 -3
(2) (1) x ,
豆数量变为k2x棵 则此时单位面积的种植数量为 -2
,
1
k2x x
. 此时单位面积的种植数量和以前相比
×3-3
k2y= y ∴
∴
当x
=
1时
,
分式的值为2
=
3-6
=1,
2 1 1-4
不变. -2
2
a x
7. 【解析】 和 为分式 共 个分式. 当x 1时 分式的值为 . 分
2 y m , 2 ∴ = , 1 …………… (8 )
4 2
15. 解: 分
8. 【解 析】 分 式 |
x
|-4 的 值 为 零
(1)④,①②③;……………………… (2 )
- 4 ∵ x , ∴ x
2 -8 原式 6 +1
{ x (2) = 2 x -1
| |-4=0,解得x 故当 x 时 分式的值
周 x =-4, =-4 , 3(2 x -1)+4
测 2 -8≠0, = x
为零. 2 -1
小
卷 mn m mn m2n 4
9. m2 mn 【解析】 2 · 2 =3+ x ,
2 -2 ∵ m n= m m n = m2 mn, 2 -1
- 2 ( - ) 2 -2 . x .
第 ∴
A代表的整式是
2
m2
-2
mn.
∵
0
.
6
x
+0
.
1的值是正整数
,
十 x x x 0 2 -0 1
10. 【解析】 2 -6 2( -3) 2 2 -6
八 章 12 x2 -6 x +9 = ( x -3) 2 =x -3 ,∵ x2 -6 x +9 ∴ x 4 的值是整数 , >-3,
2 -1
分 的值为整数 ,∴ x 2 的值为整数 ,∵ x 为整数 , 又 ∵ 的分母为整数 ,
式 -3
x 的值可以为 当 x 时 x x 或 x 或 x 或 x
∴ -3 2,1,-1,-2, -3=2 , = ∴ 2 -1=-4 2 -1=-2 2 -1=1 2 -1=2
当x 时 x 当x 时 x 当x 或 x
5; -3=1 , =4; -3=-1 , =2; -3 2 -1=4,
时 x 符合条件的 x的值之和为
=-2 , =1,∴ 5+4+ x的值为 3或 1或 或3 或5 .
∴ - - 1 …………
. 2 2 2 2
2+1=12 分
x 2 ……………………………………… (10 )
11. 解: 原式 (3 -1)
(1) = x 周测13 分式的运算
2(3 -1)
3
x
-1 分 1. D 【解析】
y2 x2 xy
.
= ; …………………… (4 ) x· y =
2 6 6
a b a b a a
原式 ( +2 )( -2 ) 2. A 【解析】原式 4- +1 5- .
(2) = a b = a =a =-1
-( -2 ) -5 -5
a b. 分 3. A
=- -2 ……………………… (4 )
12. 解:
∵
m
+3
n
-9=0, 4. C 【解析】 □
b
□
a2
-
b2
(
a
+
b
)□
m n a b÷a2 b2 =a b· b = b ,∵
∴ +3 =9, - - -
m n m n 运算的结果为整式 选项符合题意.
3 +9 3( +3 ) 3 3 1. ,∴ C
∴ m2 +6 mn +9 n2 = ( m +3 n ) 2 =m +3 n= 9 = 3 … 5. D 【解析】原式 4 x x 4 观
分 = x x ∗x =x ,∴
……………………………………… (6 ) ( -2)( +2) -2 +2
分
…………………………………………… (8 )
4 x
2 -1
4 x
2 -1
22参考答案
x x x
察两边等式可知 4 4 将x 代入 得原式 2 1. 分
x x ÷x = x x =4 , = = … (8 )
( -2)( +2) -2 ( -2)( +2) 4×(4+3) 14
x 13. 解: 由题意得 甲采购员两次购买饲料的平均
-2 4 . (1) ,
× x =x mn
+2 单价 800×2 2 元/千克 乙采购员两次
a a Q = =m n( ),
6. A 【解析】由题意得 Q 10 Q 则 1 800 800 +
, 1=m2 n2 , 2=n2 , Q = m + n
- 2
m n m n
a a a n2 n2
购买饲料的平均单价 1 000 +1 000 +
10 10 10 .
= =
m2 n2 ÷n2 =m2 n2 ·a =m2 n2 2 000 2
- - -
元/千克 分
a a
7. 1 【解析】原式 2 +3
( );……………………………… (4 )
a = a a - a a 乙采购员购买的平均饲料单价更高. 理由
+3 ( +3)( -3) ( +3)( -3) (2)
a a a 如下
2 - -3 -3 1 . :
= ( a +3)( a -3) = ( a +3)( a -3) =a +3 2 mn m + n 4 mn ( m + n ) 2 4 mn -( m + n ) 2
8. y x 2 【解析】 A 3 ( y - x ) 6 A3 ∵ m + n- 2 = 2( m + n ) - 2( m + n ) = 2( m + n )
( - ) ∵ ( x ) = x3 ,∴ x3 = m n 2 mn m n
( - ) 2 + 即乙采购员购买的
( y - x ) 6 A3 y x 6 y x 2 3 A y x 2. = - 2( m + n ) <0,∴ m + n< 2 ,
x3 ,∴ =( - ) =[( - ) ] ,∴ =( - ) 平均饲料单价更高. 分
…………………… (10 )
fu u f
9. 【解析】 1 1 1 1 1 1 14. 解: 1 1 分
u f ∵ f = u + v ,∴ v = f - u = fu-fu (1) n -n ; ………………………… (4 )
- +1
u f fu 由题意得 倒n次水后倒出的水的总量为
- v . (2) ,
= fu ,∴ =u f
-
1 1 1 1 1 1 1
a b (1× )+( × )+( × )+…+( n ×n )
10. 3 【解析】 1 1 + 即a b ab 2 2 3 3 4 +1
∵ a + b =3,∴ ab =3, + =3 ,
5 1 1 1 1 1 1 1
a b a b ab ab =(1- )+( - )+( - )+…+( n -n ) 周
+ + 3 3 2 2 3 3 4 +1
∴ a ab b = a b ab = ab ab = ab ab 测
2 - +2 2( + )- 2×3 - 6 -
1 1 1 1 1 1 1
=1- + - + - +…+n -n 小
3. 2 2 3 3 4 +1 卷
=
5
1
z2 xy xy =1-n
11. 解: 原式 +1
(1) =x2y2 ·z2 ·z2
n
第
十
xy =n ,
1 +1 八
=xy·z2 章
当n 时 倒出的水的总量为100
∴ =100 , L,
1 分 101 分
= z2 ; ……………………… (5 ) 式
100 1
a a 2 a 2 1- = (L),
原式 8 ( -4) -( +4) 101 101
(2) = a2 ÷ a a
16- ( -4)( +4) 第 次后 容器内还剩 1 的水.
a a a a a ∴ 100 , L …………
8 [( -4)+( +4)][( -4)-( +4)] 101
= a2 ÷ a2 分
-( -16) -16 ……………………………………… (12 )
a a
8 -16 周测14 整数指数幂与分式方程
= a2 ÷a2
-( -16) -16
1. B
a a2
8 -16
=
-(
a2
-16)
·
-16
a
2. D 【解析】方程 1 2
x
的最简公分母为
x -x =-2
-2 +4
1. 分
= …………………………… (5 ) x x 方程两边需同乘以 x x .
2 ( -2)( +4),∴ ( -2)( +4)
12. 解:原式 ( x -3) 2 2( x +1) 2 x 3. D 【解析】方程两边同乘以 (2 x +1)(4 x -2), 得
=x x · x x -x x
( -3) ( +3)( -3) ( +3) x x 解得x 5 检验 把x 5代入
x x 4 -2=3(2 +1), =- , : =-
2( +1) 2 2 2
=x x -x x
( +3) ( +3) x x 得 x x x 5
(2 +1)(4 -2), (2 +1)(4 -2)≠0,∴ =-
2 2
=x x , 是原分式方程的解.
( +3)
23大小卷·八年级(上) 数学
分式方程的解为非负数 且x
4. B 【解析】 1 -1 1 0 -1 1 ∵ , ≠1,
∵ ( ) =2,( ) =1,2 = ,∴ a a
2 2 2 1- 且1-
∴ ≥0 ≠1,
1 -1 1 0 -1 1. 3 3
( ) >( ) >2 >-
解得a 且a . 分
2 2 2
≤1 ≠-2 …………………… (6 )
5. D
13. 解:设小明平均每天阅读 x 页 则小颖平均每天
,
6. A 【解析】分式方程去分母 得 ax x 移
, =6+4 -8, 阅读 % x页
(1+10 ) ,
项 合并同类项得 a x 解得x -2 .当a
、 ( -4) =-2, =a - 根据题意 得440 440
-4 , x - % x=2,
(1+10 )
即a 时 分式方程无解 分式方程无解
4=0, =4 , ;∵ , 解得x .
=20
x x x 把 x 代入 x -2 经检验 x 是原方程的解 且符合题意
∴ 4 -8=0,2 -4=0,∴ =2, =2 =a , =20 , ,
-4 此时 % x . .
得a 综上所述a 或a . (1+10 ) =1 1×20=22
=3, =4 =3 答 小颖平均每天阅读 页 小明平均每天阅读
: 22 ,
7. 【解析】原式 1 . 页. 分
9 = =1×9=9 20 …………………………………… (8 )
1 2
( )
3 14. 解: 1 1 1 1 分
8.
1×10
-9
(1)x
-6
-x
-8
=x
-10
-x
-12
; ………… (3 )
9. 【解析】 分式 2 与分式 4 的值互为相反 1 1 1 1 其中 n 为
-1 ∵ x x (2)x n -x n =x n-x n (
3+ -2 +4 -2 +2 -2 -2 -2
正整数 x n 分
数 2 4 解得 x 检验 当 x 时 ), =2 -1; ……………………… (6 )
,∴ x + x=0, =-1, : =-1 , 中 的 分 式 方 程 可 变 形 为
3+ ( 3 ) ( 2 )
x x x的值为 . x n x n x n x n
(3+ )≠0,∴ -1 -2 +2-( -2 +4) -2 -2-( -2 )
10. 【解析】设A款哪吒玩偶的进货单价是x元 x n x n = x n x n ,
10 , ( -2 +4)( -2 +2) ( -2 )( -2 -2)
周 则B 款的进货单价是 x 元 500 750 解得 -2 -2
( +5) , x =x , ∴ x n x n = x n x n ,
测 +5 ( -2 +4)( -2 +2) ( -2 )( -2 -2)
小 x =10, 经检验 , x =10 是该分式方程的解 , 且符合 ∴ ( x -2 n )( x -2 n -2)=( x -2 n +4)( x -2 n +2),
卷 题意 A款玩偶的单价是 元. 解得x n .
,∴ 10 =2 -1
11. 解: 方程两边同乘最简公分母 x 经检验 x n 是原分式方程的解.
(1) 2(2 -1), , =2 -1 …………
第 得 x 分
6-2(2 -1)= 4, ……………………………………… (10 )
十 去括号 得 x
八 , 6-4 +2=4, 专题 分式的化简及求值
章 移项 合并同类项 得 x
、 , -4 =-4,
系数化为 得x x x x x
分 式 检验 : 当x 1 = , 1 时 , = 2 1 ( , 2 x -1)≠0, 1. 解:原式 = ( - ( 1 x ) - ( 1) + 2 1) · 1 1 - + x·x - + 1 1
x 是原分式方程的解 分 x
∴ =1 ; …………… (3 ) 1-
= x,
方程两边同乘以最简公分母 x x 得 1+
(2) ( +2)( -2),
x x 当x 时 原式 1.
-2+3( +2)= 6, =2 , =-
去括号 得x x 3
, -2+3 +6=6,
a a b a2 b2 a a b
2. 解:原式 3 2 - 4 - 3 -2 +
解方程 得x 1 =( a b- a b)· a b = a b ·
, = , 2 - 2 - + 2 -
2
a2 b2 a b a b a b
4 - + (2 + )(2 - ) a b
检验 当x 1时 x x a b = a b· a b =2 + ,
: = ,( +2)( -2)≠0, + 2 - +
2
当a b 时 原式 .
x 1是原分式方程的解. 分 =2, =1 , =2×2+1=5
∴ = …………… (3 ) x x x x2 x
2 3. 解:原式 ( +3) 8 +6 +9
12. 解:去分母 得 x a x =[ x -x ]· x
, 2 +3+( -3)= 1- , +3 +3 -5
去括号 得 x a x x2 x x 2
, 2 +3+ -3=1- , -5 ( +3)
= x · x
移项 得 x x a +3 -5
, 2 + =1-3- +3,
x x
合并同类项 得 x a = ( +3)
, 3 =1- ,
a
x2 x
系数化为 得x 1- = +3 ,
1, = , x2 x
3 ∵ 2 +6 -8=0,
24参考答案
x2 x x a
∴ 2 +6 =8, 2. 解:
x =3-x ,
∴
x2
+3
x
=4,
-2 -2
原式 . 去分母 得x x a
∴ =4 , =3 -6- ,
a
4. 解:原式 =a2 + a 2 + a 1 +1 ÷( 2 a a + + 1 2 -a + 2 1 ) 解得x = 6 2 + ,
原分式方程无解
a a ∵ ,
+1 2 +2-2
=a2 +2 a +1 ÷ a +1 ∴ x -2=0, 即x =2,
a
a a 6+
+1 +1 ∴ =2,
= a 2 · a 2
( +1) 2
解得a .
=-2
1 x
= a, 3. 解:解分式方程 8
2 x -x2 x=1,
-2 -2
∵
a
=(3-π)
0
+4=1+4=5,∴
原式
=
1. 方程两边同乘x
(
x
-2),
得x2
-8=
x
(
x
-2),
10
即x2 x2 x
a2 ab b2 a b -8= -2 ,
5. 解:原式 +2 + +
= ab ÷ ab 解得x
=4,
检验 当x 时 x x
a2 ab b2 ab : =4 , ( -2)≠0,
+2 +
= ab ·a b x 是原分式方程的解
+ ∴ =4 ,
( a + b ) 2 ab ∵ 两个方程的解相同 ,
= ab ·a b x a a
+ 将x 代入 + 5 得4+ 5
a b ∴ =4 x - x =1, - =1,
= + , -2 2 4
{a b 解得a 1
a b满足方程组 +2 =0, = ,
∵ , b 2 周
+1=0,
{a a的值为1 . 测
解得 =2, ∴ 小
2
b
=-1, 4. 解:解不等式 x x 得x 卷
4 +3>3 -2, >-5,
当a b 时 原式 .
=2, =-1 , =2-1=1 不等式的最小整数解为x
∴ =-4,
6. 解:原式 ( a +2) 2 ( a +1)( a +2)- a2 k k 第
= ( a +2)( a -2) · a +2 把x =-4 代入 x = 4 x, 得 = 4 , 十
+2 3 -4+2 -12 八
a a2 a a a2
+2 +2 + +2- 解得k 2. 章
=a · a =
-2 +2
3
分
a a 5. 解:方程两边同乘 x 得 x x k
+2 3 +2 (6 -4), 2 =2(6 -4)+ , 式
=a ·a
-2 +2 k
解得x 8-
a = ,
3 +2 10
= a , 分式方程的解为非负数
-2
∵ ,
a a a x x
∵ ( +2)( -2)≠0,∴ ≠±2, ∴ ≥0,6 -4≠0,
a a取整数 a 或a k k
∵ -3< ≤1, ,∴ =±1 =0, 8- 且8- 2 即k 且k 4 .
∴ ≥0 ≠ , ≤8, ≠
当a 时 原式 3×1+2 . 答案不唯一 符 10 10 3 3
∴ =1 , = =-5 ( , 6. 解:解不等式 x x 得 x
1-2 2 +8>3( +2) , <2,
合条件即可 a
) 解不等式 x a 得 x -6
3 ≥ -6 , ≥ ,
专题 含参分式方程 3
关于x的不等式组至少有三个整数解
∵ ,
k x
1. 解:将x 代入 2
a
-6 a
=3 x k+x =2, ∴ ≤-1,∴ ≤3,
2 - +1
3
k k y a a
6 1 由 -4 得y +2
∴ k+ =2,∴ k= , y =3+ y, = ,
6- 3+1 6- 2 -2 2- 2
y a
方程两边同乘 k 得k 1 k 解得k . 关于y的分式方程 -4的解为非负数
(6- ), = (6- ), =2 ∵ y =3+ y ,
2 -2 2-
25大小卷·八年级(上) 数学
a a a 且a
+2 且 +2 ∴ -2≤ ≤3 ≠2,
∴ ≥0 ≠2, 满足条件的整数a有 .
2 2 ∴ :-2,-1,0,1,3
周
测
小
卷
期
末
检
测
期末检测
选填及简单解答题题组(一)
1 ° ° ° BD 平分 ABC
= ×(180 -36 )= 72 ,∵ ∠ ,
2
1. B 2. B
3. C 【解析】 . 用科学记数法表示为 ∴ ∠
ABD
=∠
DBC
=
1
∠
ABC
=36
°
,∴ ∠
ABD
=
0 000 000 028 2
. -8.
2 8×10 A 即 ABD 为等腰三角形 点E为AB 的
∠ , △ ,∵
m 2 m2
4. B 【解析】 由题意 得 (2 ) 4 中点 AED ° ADE ° A °.
, m n = m n = 2 ,∴ ∠ =90 ,∴ ∠ =90 -∠ =54
2 +2 2( + )
m2
分式
m2
的值扩大为原来的 倍.
14.
6
【解析】根据三角形的三边关系
,
得
12-7<
a
<
(m n),∴ m n 2
+ + 即 a a为整数 a的最小值为 .
12+7, 5< <19,∵ ,∴ 6
5. A 【解析】方程两边同乘 x x 得 x
( -1)( +1) ,2( -1) 15. 【解析】如解图 作OM AD于点M 作ON
40 , ⊥ , ⊥
x x x x 解得x 经检验 x
- ( +1)= -( -1)( +1), =3, , =3 BC于点N 由题意得AB CD ON O是
是分式方程的解. , = , =20 cm,∵
凳腿 AB CD 的中点 OA OB OC OD 在
6. B 【解析】 AB AC 点 D是 BC 的中点 AD , ,∴ = = = ,
∵ = , ,∴ ⊥
ìAO BO
BC ADB ° CBE ° AOE ï ï = ,
,∴ ∠ = 90 ,∵ ∠ = 20 ,∴ ∠ =
ADO 和 BCO 中 í AOD BOC ADO
180
°
-90
°
-20
°
=70
°. △ △ ,ïï ∠ =∠ ,∴ △
îDO CO
7. D 【解析】由题意知 OC AC OAC ° OC = ,
, ⊥ ,∵ ∠ =30 ,
BCO A CBO AD CB 又
. AO OC 又 点 O 是 AB 的中 ≌△ (SAS),∴ ∠ =∠ ,∴ ∥ ,
=0 5 m,∴ =2 =1 m, ∵
OM AD ON BC 点M O N在同一条直线
点 AB AO . ∵ ⊥ , ⊥ ,∴ , ,
,∴ =2 =2 m
上 OM ON 凳面 AD到地面的距离
8. A 【解析】 a b ab a2 b2 a b 2 ab ,∴ = =20 cm,∴
∵ - =8, =5,∴ + =( - ) +2
为 .
2 a2 b2 ab . 40 cm
=8 +2×5=74,∴ + +3 =74+3×5=89
9. A 【解析】 D 是 EF 的中点 DF DE
∵ ,∴ = =3,∵
AFC E ° CFD E ° 在 CDF
∠ =∠ =90 ,∴ ∠ =∠ =90 , △
ì CFD BED
ï ï∠ =∠ ,
和 BDE 中 íDF DE CDF BDE
△ ,ïï = , ∴ △ ≌△
第 题解图
î CDF BDE 15
∠ =∠ ,
AF CF BE AD AF DF 16. 解: 原式
(ASA),∴ = = =6,∴ = + =9,∴ (1) =2-2+ 2+1-1
S S S 1AD CF 1 AD BE 1 分
△ ABC= △ ACD+ △ ABD= · + · = ×9 = 2; ……………………… (3 )
2 2 2 原式 x2 x2 x
(2) = -4-( -2 +1)
1 .
×6+ ×9×6=54 x2 x2 x
= -4- +2 -1
2
x . 分
10. C 【解析】若a b 则b 2 a S a b =2 -5 ………………………… (4 )
∶ =3∶2, = , 2=( - )· x2 x x
3 17. 解:原式 -1- +1 +2
= x 2 ÷x
b a ab a2 b2 1 a2 S a2 b2 b a b ( -1) -1
(2 - )= 3 - -2 =
9
, 1= - - ( - )+ x2
-
x x
-1
= x 2 ·x
S ab b2 4a2 S S . ( -1) +2
2=2 -2 =
9
,∴ 1∶ 2=4∶1
x x x
( -1) -1
11. 三角形的稳定性 = x 2 ·x
( -1) +2
12. 【解析】 点A与点 B 关于 y 轴对称 a
21 ∵ ,∴ +1 x
分
b 解得 a b 则 ab =x , ………………………… (5 )
=-(-4),5= -2, =3, =7, =3×7 +2
.
=21
x 2 0 1 1 6
13. ° 【解析】 AB AC A ° ABC C ∵ =(- ) +|- |=1+ = ,
54 ∵ = ,∠ =36 ,∴ ∠ =∠ 3 5 5 5
26参考答案
ABC的中线 AD BC AD BC
6 △ ,∴ ⊥ ,∵ =8, =12,∴
BC AD
原式 5 3. 分
S 1BC AD 1 AB CN CN ·
∴ = 6 = 8 ……………………… (8 ) △ ABC= · = · ,∴ = AB =
2 2
+2
5
12×8 48 即CF EF的最小值是48.
选填及简单解答题题组(二) = , +
10 5 5
x
1. B 【解析】由题可知 分式 有意义 则分母不
, x ,
-2
能为零 x 解得x .
,∴ -2≠0, ≠2
2. D
3. C 【解析】根据两点关于 x 轴对称 横坐标不变
, ,
第 题解图
纵坐标互为相反数 点P 关于 x 轴对称点 10
,∴ (3,2)
的坐标是 .
11.
8(
x
+1)(
x
-1)
【解析】
8
x2
-8=8(
x2
-1)= 8(
x
+
(3,-2)
4. B 【解析】逐项分析如下表 1)(
x
-1)
.
:
12. AC BC或CD CE或AD BE 答案不唯一
选项 逐项分析 正误 = = = ( )
13. -7
1×10
A
a3
·
a4
=
a7
≠
a12
✕ 14. 【解析】设A款吉祥物的单价为x元 则B款
80 ,
a2 3 a6
B ( ) = √ 吉祥物的单价为 x 元 根据题意得800
( -20) , x =
a 3 a3 a3
C (2 ) =8 ≠6 ✕
600 解得 x 经检验 x 是所列方程的
a6 a2 a4 a3 x , =80, , =80
D ÷ = ≠ ✕ -20
5. C 【解析】 ∵ | a -5|+( b -2) 2 =0,∴ a -5=0, b -2= 解 , 且符合题意 ,∴ A款吉祥物的单价为 80 元.
解得a b c 即 c c的 15. °或 ° 【解析】 AB AC C B 周
0, =5, =2,∴ 5-2< <5+2, 3< <7,∴ 108 72 ∵ = ,∴ ∠ =∠ = 测
长度可以为 5 . 36 ° , 若 △ ADE 是等腰三角形 , 则分三种情况讨 小
6. D 【解析】由作图步骤可知FD是线段AB的垂直 论 当 AD AE 时 AED ADE °. 卷
:① = ,∠ = ∠ = 36 ∵
平分线 EA EB EAD B ° AEC AED C CDE C 此情况不符合题
,∴ = ,∴ ∠ =∠ =32 ,∴ ∠ ∠ =∠ +∠ >∠ ,∴
EAD B °. 期
=∠ +∠ =64 意 ;② 当DA = DE时 ,∠ DAE =∠ DEA = 1 ×(180 ° - 末
7. D 【解析】由题图 可得 剪掉一个小正方形后 2 检
① , ,
剩余部分的面积为 a2 b2 由题图 可得 长方形 ADE 1 ° ° °. BAC ° 测
: - , ② , ∠ )= ×(180 -36 )= 72 ∵ ∠ =180
的面积为 a b a b 可验证的乘法公式为 a2 2
( + )( - ),∴ ° ° ° BAD BAC DAE
b2 a b a b . -36 -36 = 108 ,∴ ∠ = ∠ -∠ =
- =( + )( - ) ° ° ° BDA ° ° ° °
8. C 【解析】解分式方程得 x m 方程有解且 108 -72 =36 ,∴ ∠ =180 -36 -36 =108 ;
= -5,∵ 当EA ED 时 DAE ADE ° BAD
解为正数 x 且m 即m 且m ③ = ,∠ =∠ =36 ,∴ ∠
,∴ -4≠0 -5>0, -5-4≠0 ° DAE ° ° ° BDA °
解得m 且m . =108 -∠ =108 -36 =72 ,∴ ∠ =180
-5>0, >5 ≠9 BAD B ° ° ° °.综上所述 当
9. C 【解析】由题可知 ABF ° ABC ° -∠ -∠ =180 -72 -36 =72 ,
∠ =122 ,∴ ∠ =180 ADE是等腰三角形时 BDA 的度数是 °
△ ,∠ 108
ABF ° BAE ° ACB °
-∠ = 58 ,∵ ∠ = 59 ,∴ ∠ = 180 - 或 °.
72
ABC BAE ° CF CG 点 B D 分别为
∠ -∠ =63 ,∵ = , , 16. 解: 方程两边乘以 x 得 x x
(1) -1, 2-( +2)= 3( -
CF CG的中点 BC DC.在 ABC 和 ADC 中
, ,∴ = △ △ ,
1),
ìAB AD
ï ï = , 去括号 移项 得 x x
, , - -3 =-3-2+2,
íBC DC ABC ADC ACD
ïï = ,∴ △ ≌△ (SSS),∴ ∠ = 合并同类项
,
得
-4
x
=-3,
îAC AC
= ,
系数化为 得x 3
ACB °. 1, = ,
∠ =63
4
10. D 【解析】如解图 作E关于AD的对称点N 连
, , 经检验 x 3是原分式方程的解 分
接FN 当点C F N三点共线 且 CN AB 时 CN , = ;……… (3 )
, 、 、 , ⊥ , 4
最小 即 CF EF 最小 AB AC AD 是 方程两边乘以 x x 得 x x x
, + ,∵ = = 10, (2) ( +2)( -2), ( +2)-( +
27大小卷·八年级(上) 数学
x 21. 证明: DEC BEA
2)( -2)= 8, (1) ∵ ∠ =∠ ,
去括号 移项 得x2 x2 x DEC AED BEA AED
, , - +2 =8-4, ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
合并同类项 得 x 即 AEC BED
, 2 =4, ∠ =∠ ,
系数化为 得x
ìAE BE
1, =2, ï ï = ,
经检验 x 是原分式方程的增根
, =2 , 在 AEC和 BED中 í AEC BED
△ △ ,ï∠ =∠ ,
故原分式方程无解. 分 ï
…………………… (4 ) îEC ED
= ,
x x x
17. 解:原式 +1+1 ( +2)( -2) AEC BED 分
= x ÷ x ∴ △ ≌△ (SAS); ……………… (5 )
+1 +1 解:由 可知 BDE C
x x (2) (1) ,∠ =∠ ,
+2 +1
=x +1 · ( x +2)( x -2) ∵ EC = ED ,∠ DEC =40 ° ,
1 分 C EDC 1 ° DEC 1 °
=x , ………………………… (6 ) ∴ ∠ =∠ = ×(180 -∠ )= ×(180 -
-2 2 2
x 由分式可知x ° °
∵ -5< ≤1, ≠-2,-1,2, 40 )= 70 ,
BDE °. 分
当x 时 原式 1 1 答案不唯一 . ∴ ∠ =70 ………………………… (10 )
∴ =-3 , =
-3-2
=-
5
( )
22. 解: (1)9,9,( a +3),9; ………………… (4 分 )
分
……………………………………… (8 ) m2 m
(2) +16
中档解答题题组(一) m2 m
= +16 +64-64
18. 证明: AB AC m 2
∵ = ,
=( +8) -64,
ABC ACB m 2
∴ ∠ =∠ , ∵ ( +8) ≥ 0,
CD BE是 ABC两腰上的高 m 2
∵ , △ , ∴ ( +8) -64≥-64,
BDC CEB ° 多项式m2 m的最小值为 分
周 ∴ ∠ =∠ =90 , ∴ +16 -64; …… (8 )
测
∴ ∠
FBC
=90
°
-∠
ACB
,∠
FCB
=90
°
-∠
ABC
, (3)
存在.
-4
m2
+60
m
+2
小 FBC FCB
卷 ∴ ∠ =∠ , =-(4
m2
-60
m
)+2
FB FC
∴ = , m2 m 2 2
=-(4 -60 +15 )+15 +2
BCF是等腰三角形. 分
期
19.
∴
解
△
:设商场第一次购进 x 台
…
空
…
气
…
循
…
环
…
扇
…
则
(8
第二
) =-(2 m -15) 2 +227,
末 , m 2
检 次购进 x台空气循环扇 ∵ (2 -15) ≥ 0,
测 2 , m 2
∴ -(2 -15) ≤0,
根据题意 , 得8 0 x 00 +10= 17 6 x 00 , ∴ -(2 m -15) 2 +227≤227,
2
解得x 多项式 m2 m 存在最大值 最大值为
=80, ∴ -4 +60 +2 ,
经检验 x 是分式方程的解 且符合题意 . 分
, =80 , , 227 …………………………………… (12 )
答 商场第一次购进 台空气循环扇. 中档解答题题组(二)
: 80 ………
分
……………………………………… (10 ) 18. 证明: BE CF
20. 解: 画出点P的位置如解图所示 分 ∵ = ,
(1) ; … (7 )
BE EC CF EC
∴ + = + ,
【作法提示】 分别以点A和点B为圆心 大于1
① , BC EF
2 ∴ = ,
AB的长为半径画弧 两弧相交于两点 过这两 AB DE
, ;② ∵ ∥ ,
点作直线l l与BC的交点即为点P. B DEF
, ∴ ∠ =∠ ,
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点 在 ABC和 DEF中
(2) △ △ ,
的距离相等. 分 ìAB DE
…………………………… (10 ) ï ï =
í B DEF
ï∠ =∠ ,
ï
îBC EF
=
ABC DEF . 分
∴ △ ≌△ (SAS) ……………… (8 )
第 题解图 19. 解: 作图如解图 所示 顶点坐标分别为
20 (1) ① ,
28参考答案
A′ B′ C′ 分 检验 当x 时 . x
(2,3), (4,-1), (-3,2); ……… (5 ) : =32 ,1 2 ≠0,
x 是分式方程的解 且符合实际.
∴ =32 ,
答 电压表的单价是 元 分
: 32 ; …………… (6 )
由 知 电压表的单价为 元 电流表的单
(2) (1) , 32 ,
价为 . . 元
32×1 2=38 4( ),
设学校购买电流表 a 台 则购买电压表
, (100-
a 台
) ,
由题意 得 . a . % a
, 32×0 8×(100- )+38 4×(1+20 )
≤3 800,
a 3 875
∴ ≤ ,
第 题解图 64
19 ① a为正整数
∵ ,
点M如解图 所示. 作法不唯一
(2) ② ( ) ……… a最大为 .
∴ 60
分
……………………………………… (10 ) 答 学校最多可以购买电流表 台.
: 60 …………
分
……………………………………… (10 )
22. 解: 设 x m x n
(1) 30- = , -20= ,
则 x x mn
(30- )( -20)= =-10,
m n x x
+ =(30- )+( -20)= 10,
x 2 x 2 m2 n2 m n 2 mn
∴ (30- ) +( -20) = + =( + ) -2 =
2 分
10 -2×(-10)= 120; …………………… (6 )
根据题意可知 QD ED AD AE x DH
(2) , = = - = -1, =
DG DC CG x
= - = -2, 周
长方形EFGD的面积是
∵ 5, 测
第 题解图 x x 小
19 ② ∴ ( -1)( -2)= 5,
卷
20. 解: 两直线平行 同位角相等 CAE 等角对 设x p x q
(1) , ;∠ ; -1= , -2= ,
等边 分 则p q x x pq
; …………………………………… (3 ) - =( -1)-( -2)= 1, =5,
F是AC的中点 p2 q2 p q 2 pq 2 期
(2)∵ , ∴ + =( - ) +2 =1 +2×5=11, 末
四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形 四
∴ AF = CF , ∵ , 检
边形EFGD和四边形PQDH是长方形 测
ì EAF GCF
ï ï∠ =∠ , ,
在 △ AFE和 △ CFG中 ,
î
í ïï A
∠
F
A
=
F
C
E
F
=
,
∠ CFG ,
∴
QD
阴
=
影
( x
部
-1
分
) 2
的
+(
面
x -
积
1
为
)( x
E
-
D
2
2
)
+
+
E
(
D
x
·
-2
D
)
G
2
+
+
D
(
G
x -
2 +
2
D
)
H
( x
·
-
AFE CFG 1)=
p2
+
pq
+
q2
+
pq
=
p2
+
q2
+2
pq
=11+2×5=21
.
…
∴ △ ≌△ (ASA),
分
CG AE
……………………………………… (12 )
∴ = =8,
GC BG 专题 分式方程的实际应用
∵ =2 ,
BG
∴ =4,
1. 解: 80 88
BC BG CG
∴ = + =4+8=12, (1) x , . x;
1 2
由 可知 AC AB
(1) , = =10,
根据题意 得80 88 1
ABC的周长为AB AC BC . (2) , x = . x+ ,
∴ △ + + =10+10+12=32 1 2 9
分 解得x
……………………………………… (10 ) =60,
21. 解: 设电压表的单价是 x元 则电流表的单价 经检验 x 是原分式方程的解 且符合实际
(1) , , =60 , ,
是 % x元 . x . .
(1+20 ) , ∴ 1 2 =1 2×60=72(km/h)
答 大巴车在路线一上行驶时的平均速度是
由题意 得 3 840 1 600 : 60
, % x+ x =150, 在路线二上行驶时的平均速度是 .
(1+20 ) km/h, 72 km/h
去分母 得 . . x 2. 解:设随 名士兵行军 需要配置民夫x人
, 3 840+1 600×1 2=150×1 2 , 10 , ,
移项 合并同类项 得 x
、 , 180 =5 760, 根据题意 得 20 000 50 000
解得x , 2× x = x,
=32, 4( +10) 40+6
29大小卷·八年级(上) 数学
解得x
=10, 7 200,
经检验 x 是原分式方程的解 且符合题意. 解得m
, =10 , <44,
答 若随 名士兵行军 需要配置民夫 人. 设销售两种产品可获得的利润为w元
: 10 , 10 ,
3. 解: 设 班单独完成此项劳动任务需要x小时
根据题意 得w m m m
(1) 1 , , =30 +20(50- )= 10 +1 000,
根据题意 得1 1 1
, x +2( x + )= 1, ∵ 10>0,
4 w随m的增大而增大
解得x ∴ ,
=6, m 且m为正整数
经检验 x 是原分式方程的解 且符合题意. ∵ <44, ,
, =6 ,
m的最大值是
答 班单独完成此项劳动任务需要 小时
∴ 43,
:1 6 ;
(2)
设两班从一开始就合作
,
需要y小时完成此项 当 m
=43
时
,
w 取最大值
,
任务 此时 m .
, ,50- =50-43=7
答 该店购进西秦刺绣 件 马勺脸谱 件时 获
根据题意 得1 1 1 : 43 , 7 ,
, + = y ,
6 4 得的销售利润最大.
解得y .
=2 4,
专题 几何综合题
经检验 y . 是原分式方程的解 且符合题意.
, =2 4 ,
答 两班从一开始就合作 需要 . 小时完成此项 典例精讲
: , 2 4
劳动任务.
例 证明: DB AC
(1) ∵ ⊥ ,
4. 解: 设运大白菜的每辆车的平均载重量是 x
(1) ABE DBC °
∴ ∠ =∠ =90 ,
吨 则运平包菜的每辆车的平均载重量是 .
, 1 ì ï ï AB = DB ,
x吨
2 , 在 ABE和 DBC中 í ABE DBC
△ △ ,ïï ∠ =∠ ,
根据题意 得100 90 îBE BC
, x + . x=14, = ,
1 2 ABE DBC
周 解得x . ∴ △ ≌△ (SAS);
测 =12 5, 证明:由 知 ABE DBC
经检验 x . 是原分式方程的解 且符合题意 (2) (1) ,△ ≌△ ,
小 , =12 5 , , AEB C
卷 . x . . . ∴ ∠ =∠ ,
∴ 1 2 =1 2×12 5=15 AEB DEF
答 运大白菜和平包菜的每辆车的平均载重量分 ∵ ∠ =∠ ,
: C DEF
别是 . 吨和 吨 ∴ ∠ =∠ ,
期 12 5 15 ; BDC C °
末 设第一天每吨大白菜的销售价格是y元 则第 ∵ ∠ +∠ =90 ,
检 (2) , BDC DEF °
二天每吨大白菜的销售价格是 % y 元 即 ∴ ∠ +∠ =90 ,
测 (1-20 ) , DFA CFA °.
. y元 ∴ ∠ =∠ =90
0 8 , AF为 ACD的角平分线
∵ △ ,
根据题意 得120 000 64 000 DAF CAF
, y + . y =100, ∴ ∠ =∠ ,
0 8
解得y
=2 000,
ì ï ï∠ DAF =∠ CAF ,
经检验 , y =2 000 是原分式方程的解 , 且符合题意.
在
△
AFD和
△
AFC中
,
í
ïï
AF
=
AF
,
答 第一天大白菜每吨的销售价格是 元.
î
∠
DFA
=∠
CFA
,
: 2 000
5. 解: 设马勺脸谱的单价是 x 元 则西秦刺绣的 AFD AFC
∴ △ ≌△ (ASA),
(1) ,
单价是 x 元 AD AC
( +60) , ∴ = ,
即 ACD为等腰三角形
根据题意 得1 920 1 440 △ ;
, x -x =8, 证明:如解图 过点 B 分别作 BG AF 于点 G
+60 (3) , ⊥ ,
解得x 负值已舍去 BH CD于点H.
=120( ), ⊥
经检验 x 是原分式方程的解 且符合题意
, =120 , , S 1AE BG S 1CD BH
x . ∴ △ ABE= · , △ DBC= · ,
∴ +60=120+60=180 2 2
答 西秦刺绣的单价是 元 马勺脸谱的单价是 由 知 ABE DBC
: 180 , (1) △ ≌△ ,
元 S S AE CD
120 ; ∴ △ ABE= △ DBC, = ,
设该店购进 m件西秦刺绣 则购进 m 件 BG BH
(2) , (50- ) ∴ = ,
马勺脸谱 {BF BF
, 在 BGF和 BHF中 = ,
根据题意 得 m m Rt△ Rt△ , BG BH
, (180-30) +(120-20)(50- )< = ,
30参考答案
BGF BHF 中结论仍然成立 AE CD 且 AE CD 理
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL), (2)(1) , = ⊥ ,
BFG BFH 即 BFC AFB 由如下
∴ ∠ =∠ , ∠ =∠ ; :
如解图 延长CD交AE于点G 交AB于点H
②, , ,
同理 可证 ABE CBD
(1) △ ≌△ (SAS),
CD AE BAE BCD
∴ = ,∠ =∠ ,
AHG CHB
∵ ∠ =∠ ,
AGH ABC °
例题解图 ∴ ∠ =∠ =90 ,
AE CG 即AE CD
解: MB NB.理由如下 ∴ ⊥ , ⊥ ,
(4) ① = : AE CD且AE CD.
由 知 ABE DBC ∴ = ⊥
(1) ,△ ≌△ ,
AE DC MAB NDB AB DB
∴ = ,∠ =∠ , = ,
M N分别为AE CD的中点
∵ , , ,
AM DN
∴ = ,
ìAM DN
ï ï = ,
在 AMB和 DNB中 í MAB NDB
△ △ ,ïï ∠ =∠ ,
第 题解图
îAB DB 1
= ,
2. 证明: AB AC AD AE
AMB DNB (1) ∵ = , = ,
∴ △ ≌△ (SAS),
B C ADE AED
MB NB ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ ,
∴ = ;
ADE B BAD AED C CAE
成立.证明如下 ∵ ∠ =∠ +∠ ,∠ =∠ +∠ ,
② :
BAD CAE
由 知 ABE DBC ∴ ∠ =∠ ,
(1) ,△ ≌△ ,
ì BAD CAE
MAB NDB AB DB ï ï∠ =∠ ,
∴ ∠ =∠ , = ,
在 ABD和 ACE中 íAB AC
∵
MB
⊥
NB
,
△ △ ,ïï = ,
î B C 周
MBD DBN ° ∠ =∠ ,
∴ ∠ +∠ =90 , ABD ACE 测
又 BD AC ∴ △ ≌△ (ASA), 小
∵ ⊥ , BD CE
ABM MBD ° ∴ = ; 卷
∴ ∠ +∠ =90 , 证明: AB AC BAC °
ABM DBN (2) ∵ = ,∠ =90 ,
∴ ∠ =∠ , B ACB °
ì ï ï∠ MAB =∠ NDB , ∴ ∠ DF = A ∠ D DF =4 D 5 A , 期
在 AMB和 DNB中 íAB DB ∵ ⊥ , = , 末
△ △ ,ïï = , DAF DFA ° 检
î ABM DBN ∴ ∠ =∠ =45 , 测
∠ =∠ , AD AE
AMB DNB ∵ = ,
∴ △ ≌△ (ASA), AED ADE
MB NB. ∴ ∠ =∠ ,
∴ = AED ACB CAF ° CAF
针对训练 ∵ ∠ =∠ +∠ =45 +∠ ,
DAC DAF CAF ° CAF
∠ =∠ +∠ =45 +∠ ,
1. 解: AE CD且AE CD 理由如下
(1) = ⊥ , : AED DAC
∴ ∠ =∠ ,
如解图 延长CD交AE于点F
①, , ADE DAC
∴ ∠ =∠ ,
BDE为等腰直角三角形
AC DC
∵ △ ,
∴ = ,
∴
BD
=
BE
,∠
ABE
=∠
ABC
=90
°
,
即 ACD为等腰三角形
△ ;
ì ï ï AB = CB , (3) 解: ∵ AC = DC , AC = AB ,
在 EAB和 DCB中 í ABE CBD AB AC CD
△ △ ,ïï ∠ =∠ , ∴ = = =8,
îBE BD 由 知 AFD ACB °
= , (2) ,∠ =∠ =45 ,
EAB DCB 又 DEF AEC
∴ △ ≌△ (SAS), ∵ ∠ =∠ ,
AE CD BCD BAE CDF FAC
∴ = ,∠ =∠ , ∴ ∠ =∠ ,
DAF ADF AFD ° CDB CBD 由 知 BAD CAE
∵ ∠ +∠ +∠ =180 ,∠ +∠ + (1) ,∠ =∠ ,
DCB ° CDB ADF BAD CDF
∠ =180 ,∠ =∠ , ∴ ∠ =∠ ,
AFD CBD ° ìAB DC
∴ ∠ =∠ =90 , ï ï = ,
CF AE 在 ABD和 DCF中 í BAD CDF
∴ ⊥ , △ △ ,ïï ∠ =∠ ,
AE CD且AE CD îAD DF
∴ = ⊥ ; = ,
31大小卷·八年级(上) 数学
ABD DCF AH AD
∴ △ ≌△ (SAS), = ,
S S ADC °
∴ △ ABD= △ DCF, ∵ ∠ =120 ,
S S S S S S ADH °
∴ 四边形ADFC= △ ADC+ △ DCF= △ ADC+ △ ABD= △ ABC= ∴ ∠ =60 ,
AH AD
1 AB AC 1 . ∵ = ,
· = ×8×8=32 ADH是等边三角形
2 2 ∴ △ ,
综合与实践 DAH °.
∴ ∠ =60
ABC是等边三角形
1. 解:任务 :设甲葡萄的进价为 x 元/千克 则乙葡 ∵ △ ,
1 , AB AC BAC °
萄的进价为 x 元/千克. ∴ = ,∠ =60 ,
( -4) BAC CAD DAH CAD
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
由题意得 1 800 1 200 BAD CAH
: x = x , ∴ ∠ =∠ ,
-4
ìAB AC
解得x ï ï = ,
=12,
在 BAD和 CAH中 í BAD CAH
经检验
,
x
=12
是原分式方程的解
,
且符合题意. △ △ ,ïï ∠ =∠ ,
îAD AH
则x = ,
-4=12-4=8,
BAD CAH
答 甲葡萄的进价为 元/千克 乙葡萄的进价为 ∴ △ ≌△ (SAS),
: 12 ,
BDA H °.
元/千克 ∴ ∠ =∠ =60
8 ;
ADC °
任务 :设乙葡萄的利润为a元/千克 则甲葡萄的 ∵ ∠ =120 ,
2 ,
BDC ADC BDA ° BDA
利润为 . a元/千克. ∴ ∠ =∠ -∠ =60 =∠ ,
1 25 DB平分 ADC
∴ ∠ ;
由题意得 120 120
: a - . a=3,
1 25
解得a
=8,
经检验 a 是原分式方程的解 且符合题意.
, =8 ,
周 则 . a .
1 25 =1 25×8=10,
测 答 甲葡萄的利润为 元/千克 乙葡萄的利润为
: 10 ,
小
元/千克
卷 8 ; 第 题解图
任务 :设购进甲葡萄m千克 购进乙葡萄n千克 2
3 , ,
解:如解图 在CB上截取CH CE 连接EH
由题意得 m n (3) ②, = , ,
期 ,12 +8 =9 600, ABC为等边三角形
末 n 2 400-3 m ∵ △ ,
检 ∴ = , ∴ ∠ ECH =60 °.
2
测
若要使利润不低于 元 则 m n
ECH为等边三角形
9 000 , 10 +8 ≥ 9 000, ∴ △ ,
m
EC EH CH CEH °.
即 m 2 400-3 ∴ = = ,∠ =60
10 +8× ≥ 9 000, DEF为等边三角形
2 ∵ △ ,
解得m EF ED FED °.
≤300, ∴ = ,∠ =60
m的最大值为 . CEH FED °
∴ 300 ∴ ∠ =∠ =60 ,
答 若要使总利润不低于 元 则最多能购进 CEH CED FED CED
: 9 000 , ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
甲葡萄 千克. 即 HED CEF
300 ∠ =∠ ,
2. (1) 解:AD = CE.理由如下 : ì ï ï EC = EH ,
ABC和 BDE都是等边三角形 在 CEF和 HED中 í CEF HED
∵ △ △ , △ △ ,ïï ∠ =∠ ,
BD BE AB BC DBE ABC ° îEF ED
∴ = , = ,∠ =∠ =60 , = ,
ABD ABE CBE ABE CEF HED
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ , ∴ △ ≌△ (SAS),
ABD CBE CF HD.
∴ ∠ =∠ , ∴ =
ìBD BE 又 HD CH CD CE CD 米
ï ï = , ∵ = + = + =18 ,
在 ABD和 CBE中 í ABD CBE CF 米
△ △ ,ïï ∠ =∠ , ∴ =18 ,
îAB CB 三条绿化带总长为CF CE CD 米
= , ∴ + + =36 ,
ABD CBE 又 每米绿化带费用约为 元
∴ △ ≌△ (SAS), ∵ 50 ,
AD CE 三条绿化带总费用约为 元 .
∴ = ; ∴ 50×36=1 800( )
证明:如解图 延长CD至点H 连接AH 使
(2) ①, , ,
32
