1987考研数学一、二、三答案公众号：小乖考研免费分享_06.数学三历年真题_普通版本数学三_1987-2002考研数（三）真题及解析

1987年数学试题参考解答 1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数 学 试 题 参 考解 答 数 学（试卷Ⅰ） 一、填空题（每小题3分，满分15分. 只写答案不写解题过程） x1 x1 y2 z1 (1) 与两直线  及   都平行，且过原点的平面方程是 y 1t 1 2 1  z 2t x y50 (2) 当x 1/ln2；时，函数y  x2x取得极小值. (3) 由y lnx与两直线y (e1)x及y 0围成图形的面积= 3 / 2 (4) 设 L 为取正向的圆周x2y2 9，则曲线积分 (2xy2y)dx(x2 4x)dy的值是 L 18 . (5) 已知三维线性空间的一组基底  (1,1,0),  (1,0,1),  (0,1,1)，则向量 1 2 3 ＝(2, 0, 0)在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 ) 二、（本题满分8分） 1 x t2 求正的常数a与b，使式lim  dt 1成立. x0bxsinx 0 at2 解：假若b1，则根据洛必达法则有 1 x t2 1 x2 lim  dt lim(  )01，与题设矛盾，于是b1. x0bxsinx 0 at2 x0 bcosx ax2 1 x t2 1 x2 1 x2 2 此时lim  dt lim(  )lim(  ) ， x0bxsinx 0 at2 x0 1cosx ax2 x0 1 x2 ax2 a 2 2 即1 ，因此a4. a 三、（本题满分7分） u v (1) 设函数 f,g连续可微，u  f(x,xy),v g(xxy)，求 , . x x u x (xy) v (xxy) 解：  f  f  f y f； g (1 y)g. x 1 x 2 x 1 2 x x 1987年 • 第1页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 3 0 1 (2) 设矩阵A和B满足AB A2B，其中A  1 1 0 ，求矩阵B.    0 1 4  解：因AB A2B，故AB2B A，即(A2E)B A，  5 2 2 故B(A2E)1A  4 3 2  .     2 2 3   四、（本题满分8分） 求微分方程y6y(9a2)y1的通解.其中常数a0. 解：由特征方程r32r2(9a2)r0，知其特征根根为r 0,r 3ai. 1 2,3 故对应齐次方程的通解为  yC C e3xcosxCe3xsinx，其中C,C ,C 为任意常数. 1 2 3 1 2 3 1 设原方程的特解为y*(x) Ax，代入原方程可得A . 9a2 因此，原方程的通解为y(x)  yy* C C e3xcosxCe3xsinx 1 x. 1 2 3 9a2 五、选择题（每小题3分，满分12分）  k n (1) 设常数k 0，则级数(1)n （C） n2 n1 (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛与发散与k 的值有关. s (2) 设 f(x)为已知连续函数，I tt f(tx)dx，s0,t 0，则I 的值 （D） 0 (A) 依赖于s和t (B) 依赖于s、t、x (C) 依赖于t和x, 不依赖于s (D) 依赖于s, 不依赖于t f(x) f(a) (3) 设lim 1，则在点xa处 (B) xa (xa)2 (A) f(x)导数存在, f(a)0 (B) f(x)取得极大值 (C) f(x)取得极小值 (D) f(x)的导数不存在. (4) 设A为n阶方阵, 且 A a 0, 而A*是A的伴随矩阵，则 A* = (C) (A) a (B) 1/a (C) an1 (D) an 六、（本题满分10分）  1 求幂级数 xn1的收敛域，并求其和函数. n2n n1 1 u xn1 n2n x 解：记u  xn1，有lim n1 lim   ， n n2n n u n (n1)2n1 xn 2 n 1987年 • 第2页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 x 令 1，知原级数在开区间(2,2)内每一点都收敛. 2  1  1 又当x2时，原级数= (2)n1 2(1)n1 ，故由莱布尼兹判别法知其收敛； n2n n n1 n1  1  1 而当x2时，原级数= 2n1 2(1)n1 ，显然发散，故幂级数的收敛域为[2,2). n2n n n1 n1  1  1 x  1 x 又记S(x) xn1  x ( )n  xS (x)，其中S (x) ( )n， n2n n 2 1 1 n 2 n1 n1 n1  x 1 x dx 2 有S(x)( )n1  ，于是S (x) 2ln( )， 1 2 1x/2 1 0 1x/2 2x n1 2 因此幂级数的和函数为S(x)2xln ，x[2,2). 2x 七、（本题满分10分） 计算曲面积分I  x(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy， S 其中s是曲线  z  y1 (1 y3) 绕Y轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与Y轴 x0 正向的夹角恒大于/2． 解：S 的方程为yx2z21，记S ：y3,(x2z2)，知S S 为封闭曲面，设其 1 1 方向取外侧，所围区域为，则由高斯公式，有 I  x(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy  x(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy SS S 1 1 3  1dv0 2(1y2)dydz0= dy dzdx 2(132)dzdx  S 1 1 D y D zx 3  (y1)dy16234. 1 八、（本题满分10分） 设函数 f(x)在闭区间[0,1]上可微，对于[0,1]上的每个x，函数的值都在开区间(0,1) 内，且 f (x) 1.证明 在(0,1)内有且仅有一个x，使 f(x) x． 证：令h(t) f(t)t，知h(t)在闭区间[0,1]上连续，又由题设知0 f(x)1，于是 有h(0) f(0)00,h(1) f(1)10. 故由零点定理，在(0,1)内有x，使 f(x) x. 假若 f(x)在开区间(0,1)内有两个不同的点x 和x ，使得 f(x ) x ， f(x ) x ， 1 2 1 1 2 2 不妨设x  x ，则易见 f(x)在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，故由拉格朗日定理知， 1 2 1987年 • 第3页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 f(x ) f(x ) (0,1)，使得 f() 2 1 ，即 f()1.此与 f (x) 1矛盾！故在(0,1)内使 x x 2 1 f(x) x的x只能有一个. 九、（本题满分8分）  x x x x 0 1 2 3 4   x 2x 2x 1 问a,b为何值时，线性方程组 2 3 4 有唯一解？无解？有无穷多解？  x (a3)x 2x b  2 3 4 3x 2x x ax 1  1 2 3 4 并求出无穷多解时的通解. 解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得 1 1 1 1 0  1 1 1 1 0      0 1 2 2 1 0 1 2 2 1  A(A b)      0 1 a3 2 b  0 0 a1 0 b1     3 2 1 a 1 0 0 0 a1 0  ○1 当a 1时，系数行列式 A (a1)2 0，故由克拉姆法则，原方程组有唯一解； ○2 当a 1，且b  1时，r(  A)3,r(A)2，r(  A)r(A)，故原方程组无解； ○3 当a 1，且b  1时，r(  A)r(A)24，故原方程组有无穷的解. 此时显然有 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1     0 1 2 2 1 0 1 2 2 1      A(A b)  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  可见其通解为：x(1,1,0,0)T c(1,2,1,0)T c (1,2,0,1)T，其中c ,c 为任意常数. 1 2 1 2 十、填空题（每小题2分，满分6分） (1) 在一次试验中事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率 为 1(1 p)n ；而事件A至多发生一次的概率为 [1(n1)p](1 p)n1 . (2) 三个箱子，第一个箱子有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个白球3个黑球，第三 个箱子中有3个黑球5五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个 球为白球的概率为 53/120 ，已知取出的是白球，此球属于第二箱的概率是 20/53 . 1987年 • 第4页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 1 (3) 已知连续随机变量X的密度为 f(x) ex22x1，则X的数学期望为 1 ；X的  方差为 1/2 . 十一、（本题满分6分） 设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为 1 0 x1 ey y 0 f X (x)   0 其 它 ；f Y (y)   0 y0 ，求随机变量Z=2X+Y 的概率密度函数 f z (z). ey 0 x1,y 0 解：由题设，(X,Y)的联合密度为 f(x,y) f (x)f (y) ， X Y 0 其 它 故Z 的分布函数F (z)P(Z z)P(2X Y z)  f(x,y)dxdy， z 2xyz ○1 当z0时，F (z)  0dxdy0，此时 f (z)00； z z 2xyz z zy z z 1 z ○2 当0 z2时，F (z) dy 2 eydx  eydy  yeydy，此时 z 0 0 2 0 2 0 1 z 1 f (z)F(z)  eydy (1ez)； z z 2 0 2 1 z2x 1 1 ○3 当z2时，F (z) dx eydy (1e2xz)dx1 (e21)ez，此时 z 0 0 0 2 1 f (z)F(z) (e21)ez z z 2 0 z0  综上所述，Z=2X+Y 的概率密度函数为 f (z) 1(1ez) 0 z2 z 2  1ez(e2 1) z 2  2 1987年 • 第5页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 数 学（试卷Ⅱ） 一、（本题满分15分）【 同数学Ⅰ、第一题 】 二、（本题满分14分） 2 (1)（6分）计算定积分 (|x|x)e|x|dx. 2 2 2 解：因xe|x|是奇函数，|x|e|x|是偶函数，故 原式=2 |x|e|x|dx2 xexdx26e2. 0 0 (2)（8分）【 同数学Ⅰ、第二题 】 三、（本题满分7分） 2z 设函数z f(u,x,y),uxey，其中 f 有二阶连续偏导数，求 . xy z u 2z 解：  f  f fey  f， (fxey  f)ey ey f fxey  f. x 1 x 2 1 xy 11 13 1 21 23 四、（本题满分8分）【 同数学Ⅰ、第四题 】 五、（本题满分12分）【 同数学Ⅰ、第五题 】 六、（本题满分10分）【 同数学Ⅰ、第六题 】 七、（本题满分10分）【 同数学Ⅰ、第七题 】 八、（本题满分10分）【 同数学Ⅰ、第八题 】 九、（本题满分8分）【 同数学Ⅰ、第九题 】 十、（本题满分6分） 设,为n阶方阵A的特征值，，而x , x 分别为对应的特征向量，试证明： 1 2 1 2 1 2 x x 不是A的特征向量. 1 2 证：假若x x 是A的特征向量，设其对应的特征值为，则有A(x x )(x x )， 1 2 3 1 2 3 1 2 即Ax Ax x x . 又由题设条件知Ax x ，Ax x ，故有 1 2 3 1 3 2 1 1 1 2 2 2 ()x ()x 0.因x , x 是属于不同特征值的特征向量，所以x , x 线性无关， 1 3 1 2 3 2 1 2 1 2 从而 ，且 ，此与矛盾！因此x x 不是A的特征向量. 1 3 1 3 1 2 1 2 1987年 • 第6页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 数 学（试卷Ⅲ） 一、填空题（每小题2分，满分10分. 把答案填在题中横线上） a a2 (1) 设y  ln(1ax), 其中a为非零常数，则y , y  . 1ax (1ax)2 1 2 (2) 曲线 y arctgx 在横坐标为 1 点处的切线方程是 y  x ； 法线方程是 2 4 y  2x(8)/4. (3) 积分中值定理的条件是 f(x)在闭区间[a,b]上连续 ，结论是 b [a,b],使得 f(x)dx f()(ba) a n2 (4) lin( )n  e3 . n n1 b 1 1 (5)  f(x)dx f(x)c； f (2x)dx＝ f(2b) f(2a). a 2 2 二、（本题满分6分） 1 1 求极限 lim(  ) x0 x ex 1 1 1 ex 1x ex 1x ex 1 x 1 解：lim(  )lim lim lim lim  . x0 x ex 1 x0 x(ex 1) x0 x2 x0 2x x0 2x 2 三、（本题满分7分） x5(tsint) dy d2y 设 ，求 , . y 5(1cost) dx dx2 dy dx dy （5 0+sint) sint dy sint 解：因 5sint, 55cost，   ，故  ， dt dt dx 5(1cost） 1cost dx 1cost d2y d sint dt 1 且  ( )  dx2 dt 1cost dx 5(1cost)2 四、（本题满分8分） 1 计算定积分  xarcsinxdx. 0 1 1 1 1 x2  1 1 x2 解： xarcsinxdx x2arcsinx 1   dx   dx， 0 2 0 2 0 1x2 4 2 0 1x2 1987年 • 第7页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 1 x2 sin2t  1  1   令xsint，有 dx2 costdt  ，因此 xarcsinxdx    . 0 1x2 0 cost 4 0 4 2 4 8 五、（本题满分8分） 设D是曲线y sinx1与三条直线x0,x,y 0围成的曲边梯形.求D绕x轴旋 转一周所生成的旋转体的体积.  32 解：V  (sinx1)2dx4 . 0 2 六、证明题（本题满分10分） (1)（5分）若f(x)在(a,b)内可导，且导数 f (x)恒大于零，则f(x)在(a,b)内单调增加. 证：x,x (a,b)，不妨设x  x ，则f(x)在[x ,x ]上连续，在(x,x )内可导， 1 2 1 2 1 2 1 2 故由拉格朗日中值定理，(x,x )(a,b)，使得 f(x ) f(x) f()(x x). 1 2 2 1 2 1 由于 f (x)在(a,b)内恒大于零，所以 f()0，又x x 0，因此 f(x ) f(x )0， 2 1 2 1 即 f(x ) f(x)，表明f(x)在(a,b)内单调增加. 2 1 (2)（5分）若g(x)在xc处二阶导数存在，且g(c) 0,g(c)0，则g(c)为g(x) 的一个极大值. g(x)g(c) g(x) 证：因g(c)lim 0，而g(c) 0，故lim 0.由极限的保号性， xc xc xc xc g(x) 0，当x(c,c)时，有 0，即g(x)0，从而g(x)在(c,c)单增； xc g(x) 当x(c,c)时，有 0，即g(x)0，从而g(x)在(c,c)单减. xc 又由g(c) 0知，xc是g(x)的驻点，因此g(c)为g(x)的一个极大值. 七、（本题满分10分） dx 计算不定积分  ( 其中a,b为不全为零的非负数 ) a2sin2 xb2cos2 x 1 1 解：① 当a0时，原式= sec2 xdx tanxc； b2 b2 1 1 ② 当b0时， 原式= csc2 xdx cotxc； a2 a2 a d( tanx) sec2 xdx 1 b 1 a ③ 当ab0时，原式=    arctan( tanx)c. a2tan2 xb2 ab a ab b ( tanx)21 b 1987年 • 第8页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 八、（本题满分15分） dy (1)（7分）求微分方程x  xy，满足条件y| 0的解． dx x 2 dy 1  1 dx  1 dx 1 1 解：原方程即  y1，故其通解为ye x (e x dxc) ( x2 c). dx x x 2 x 1 因y| 0，所以c1.于是所求初值问题的解为y   . x 2 2 x (2)（8分）求微分方程 y2y y  xex 的通解. 解：由特征方程r2 2r10，知其特征根根为r 1. 1,2 故对应齐次方程的通解为  y(C C x)ex，其中C ,C 为任意常数. 1 2 1 2 1 1 设原方程的特解为y*(x)ex(axb)，代入原方程可得a  ，b . 4 4 因此，原方程的通解为y(x)  yy* (C C x)e2x  1 (x1)ex. 1 2 4 九、选择题（每小题4分，满分16分） (1). f(x) xsinxecosx, -  x 是 （D） （A）有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D）偶函数 (2). 函数 f(x)xsinx (D) （A）当x时为无穷大 （B）当x时有极限 （C）在(,)内有界 （D）在(,)内无界 f(ax) f(ax) (3) 设 f(x)在xa处可导，则lim 等于 (B) x0 x （A） f (a) （B）2f (a) （C）0 （D） f (2a) (4) 【 同数学Ⅰ、第五（2）题 】 十、（本题满分10分） 在第一象限内，求曲线yx21上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成 的面积为最小，并求此最小面积. 解：设切点的横坐标为a，则切线方程为y(1a2)2a(xa)，即y2axa21 故所围面积s 1 (a21) a21  1 (x21)dx a3  a  1  2 . 令s0得驻点a  3 . 2 2a 0 4 2 4a 3 3 3 2 4 2 由于s 0，故所求点的坐标为( , )，其最小值为s  3 . a 3/3 3 3 a 3/3 9 3 1987年 • 第9页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 数 学（试卷Ⅳ） 一、判断题（每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分） 1 (1) limex  （  ） x0  (2)  x4sinxdx0 （ √ ）     (3) 若级数a 与b 均发散，则级数(a b )必发散 （  ） n n n n n1 n1 n1 (4) 假设D是矩阵A的r阶子式，且含D的一切r1阶子式都等于0， 那么矩阵A的一切r1阶子式都等于0 （ √ ） (5) 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0 （ √ ） 二、选择题（每小题2分，满分10分.） (1) 下列函数在其定义域内连续的是 (A) sinx x0 （A） f(x)lnxsinx （B） f(x) cosx x0  1 x1 x0  x  0 （C）  （D） f(x)   x f(x) 0 x0   x1 x0  0 x 0 (2) 若函数f(x)在区间(a,b)内可导，x ,x 是区间内任意两点，且x  x ，则至少存一点， 1 2 1 2 使得 （C） (A) f(b) f(a) f()(ba), ab. (B) f(b) f(x) f()(bx), x b. 1 1 1 (C) f(x ) f(x) f()(x x), x x . 2 1 2 1 1 2 (D) f(x ) f(a) f()(x a), ax . 2 2 2 (3) 下列广义积分收敛的是 （C） lnx  dx  dx  dx （A） dx （B） （C） （D） e x e xlnx e x(ln x)2 e x lnx (4) 设A是n阶方阵，其秩r < n ， 那么在A的n个行向量中 (A) (A) 必有r个行向量线性无关 (B) 任意r个行向量线性无关 1987年 • 第10页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 (C) 任意r个行向量都构成极大线性无关向量组 (D) 任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表示 (5) 若二事件A和B同时出现的概率P( A B ) = 0 , 则 (C) (A) A和B互不相容（互斥） (B) AB是不可能事件 (C) AB未必是不可能事件 (D) P(A)=0 或 P(B)=0 三、计算下列各题（每小题4分，满分16分） 1 (1) 求极限 lim(1xex)x. x0 1 ln(1xex) ln(1xex) 解：因 (1xex)x e x ， 而 xex （当x0）， x ln(1xex) xex 1 故 lim lim limex 1， 从而 lim(1xex)x e. x0 x x0 x x0 x0 1 x2 1 (2) 已知y ln ， 求y. 1 x2 1 2x 2x 2 1x2 2 1x2 2 解：yln( 1x2 1)ln( 1x2 1)，y ln  . 1x2 1 1x2 1 x 1x2 x y (3) 已知 z arctg ，求dz. xy x y (x y)(dxdy)(x y)(dxdy) d( ) x y (x y)2 ydxxdy 解：dz    x y x y x2  y2 1( )2 1( )2 x y x y (4) 求不定积分e 2x1dx. 解：令 2x1t，有 e 2x1dxettdt tet etdt tet et c( 2x11)e 2x1c 四、（本题满分10分） 考虑函数y sinx (0 x /2)，问： (1) t 取何值时，图中阴影部分的面积s 与s 之和s  s s 最小？ 1 2 1 2 (2 ) t取何值时，s  s s 最大？ 1 2 t 解：因s tsint sinxdxtsintcost1， 1 0 1987年 • 第11页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答    s 2sinxdx( t)sint costtsint sint， 2 t 2 2   故ss s 2tsint2cost sint1,(0t  ). 1 2 2 2      令s0，得s在(0, )内的驻点t  . 而s( ) 21，s( ) 1，s(0)1， 2 4 4 2 2  因此 t  时，s最小；t 0时，s最大. 4 五、（本题满分6分） 1 将函数 f(x) 展成x的级数，并指出收敛区间. x2 3x2 1 1 1 1 1 1 解：因 f(x)      ， (x2)(x1) 1x 2x 1x 2 x 1 2 1  1  x  1 而 xn ，x(1,1)， 且 ( )n  xn ，x(2,2)， 1x x 2 2n n0 1 n0 n0 2  1  1  1 故 f(x)xn   xn (1 )xn，其收敛区间为(1,1). 2 2n 2n1 n1 n0 n0 六、（本题满分5分） 计算二重积分 ex2dxdy，其中D是第一象限中由直线yx和y  x3围成的封闭区域. D 解：联立yx和y  x3，可解得两曲线交点的横坐标 x0和x1，于是  ex2 dxdy 1 dx x ex2 dy 1 (xx3)ex2 dx e 1 D 0 x3 0 2 七、（本题满分6分） 已知某商品的需求量x对价格P的弹性为 3p3，而市场对商品的最大需求量为1 （万件），求需求函数. p dx dx 解：由弹性的定义，有 3p3，即 3p2dp， x dp x 于是有 x cep3 ，c为待定常数. 由题意 p0时，x1，故c1，因此xep3 . 1987年 • 第12页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 八、（本题满分8分） 2x  x 4x 3x  4 1 2 3 4 x   3  1  1  x  x  x  3       解线性方程组  1 3 4 【  x 2 8 k 2  ，k为任意常数】  3x 1  x 2  x 3  1   x 3     0     1    7x 1  7x 3 3x 4 3 x 4   6   0  解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，有 2 1 4 3 4 1 0 1 0 3      1 0 1 1 3 0 1 2 0 8      3 1 1 0 1  0 0 0 1 6      7 0 7 3 3  0 0 0 0 0  故原方程组与下方程组同解： x 3x 1 3  x 82x ，令x 0，可得原方程组的特解(3,8,0,6)T. 2 3 3  x 6  4 又显然原方程组的导出组与下方程组同解： x x 1 3  x 2x ，令x 1，可得导出组的基础解系(1,2,1,0)T . 2 3 3  x 0  4 因此原方程组的通解为：(x,x ,x ,x )(3,8,0,6)T k(1,2,1,0)T，其中k 为任意常数. 1 2 3 4 九、（本题满分7分）  4 2 3 设矩阵A和B满足AB A2B，求矩阵B，其中A  1 1 0 .    1 2 3  解：因AB A2B，故AB2B A，即(A2E)B A，  3 8 6 故B(A2E)1A  2 9 6      2 12 9   十、（本题满分6分） 3 1 2 求矩阵A  的实特征值及对应的特征向量. 0 1 4    1 0 1  1987年 • 第13页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 解：令 EA 0，即(1)(245)0,可见矩阵A只有一个实特征值1. 易见，线性方程组(EA)X 0的基础解系为(0,2,1)T ，故A对应于实特征值1的特 征向量为k(0,2,1)T ，（其中k 为非零任意常数）. 十一、（每小题4分，满分8分） (1) 已知随机变量 X 的概率分布为P(X 1)0.2,P(X 2)0.3,P(X 3)0.5，试写 出X 的分布函数F(x). 0, x 1 解：X 的分布函数为F(x)  0.2, 1 x  2 .  0.5, 2 x 3   1, x 3  y2 (2) 已知随机变量 Y 的概率密度为 f(y)    y e  2a2 y 0 , 求随机变量Z  1 的数学 a2 y 0 Y   0 期望EZ. y2 y2 解：EZ E( 1 ) 1 f(y)dy 1  y e  2a2dy 2  1 e  2a2dy 2 . Y  y 0 y a2 0 2a2 2a 十二、（本题满分8分） 设有两箱同种零件.第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装有 30 件，其中 18件一等品.现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件 均不放回），试求: (1) 先取出的零件是一等品的概率 p； (2) 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q. 解：设B {取出的零件为第i箱中的}，A {第 j次取出的是一等品}，i, j 1,2， i j 显然B,B 为正概完备事件组，故全概公式得 1 2 1 10 1 18 2 (1) pP(A)P(B)P(A B)P(B )P(A B )     ； 1 1 1 1 2 1 2 2 50 2 30 5 1 109 1 1817 276 (2) P(AA )P(B)P(AA B)P(B )P(AA B )     ， 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 5049 2 3029 1421 P(AA ) 690 于是，由贝叶斯公式得q  qP(A A) 1 2  0.48557. 2 1 P(A) 1421 1 1987年 • 第14页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 数 学（试卷Ⅴ） 一、判断题（每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分） (1) 【 同数学Ⅳ 第一（1）题 】 (2) 【 同数学Ⅳ 第一（2）题 】 (3) 若函数 f(x)在区间(a,b)严格单增，则对区间(a,b)内任何一点x有 f(x)0. （  ） (4) 若A为n阶方阵，k 为常数，而 A 和 kA 为A和kA的行列式，则 kA k A . （  ） (5) 【 同数学Ⅳ 第一（5）题 】 二、选择题（每小题2分，满分10分） (1) 【 同数学Ⅳ 第二（1）题 】 (2) 【 同数学Ⅳ 第二（2）题 】 (3) 【 同数学Ⅳ 第二（3）题 】 (4) 【 同数学Ⅳ 第二（4）题 】 (5) 对于任二事件A和B，有P(AB) (C) (A) P(A)P(B) (B) P(A)P(B)P(AB) (C) P(A)P(AB) (D) P(A)P(B)P(AB) 三、计算下列各题（每小题4分，满分20分） 1 ln(1 ) (1) 求极限 lim x . x arctgx 1 1 ln(1 ) lim ln(1 ) 解： lim x  x x  0 0 x arctgx lim arctgx /2 x (2) 【 同数学Ⅳ 第三（2）题 】 (3) 【 同数学Ⅳ 第三（3）题 】 1 (4) 计算定积分 e 2x1dx 1 2 1 1 1 解：令 2x1t，有 e 2x1dx ettdt tet 1  etdt eet 1 1 1 0 0 0 0 2 xdx (5) 求不定积分 . x4 2x2 5 1987年 • 第15页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 xdx 1 d(x2 1) 1 x2 1 解：    arctan c. x4 2x2 5 2 (x2 1)2 22 4 2 四、（本题满分10分） 考虑函数yx2，0 x 1，问： (1) t取何值时，图中阴影部分的面积(与数学Ⅳ第四题类似)s 与s 之和s  s s 最小？ 1 2 1 2 (2 ) t取何值时，s  s s 最大？ 1 2 t 1 4 1 解：ss s t3 x2dx x2dx(1t)t2  t3t2 ，(0t 1) 1 2 0 t 3 3 1 1 1 1 2 令s0，得(0,1)内的驻点t  . 而s( ) ，s(0) ，s(1) ， 2 2 4 3 3 1 因此 t  时，s最小；t 1时，s最大. 2 五、（本题满分5分）【 同数学Ⅳ 第六题 】 六、（本题满分8分） 1 100 设某产品的总成本函数为C(x)4003x x2，而需求函数为 p  ，其中x为 2 x 产量（假定等于需求量）, p为价格. 试求： （1）边际成本； （2）边际收益； （3）边际利润； （4）收益的价格弹性. 解：（1）边际成本：MC C(x)3x； 50 （2）收益函数：R(x) px100 x，边际收益MRR(x) ； x 1 （3）利润函数：L(x)R(x)C(x)100 x4003x x2， 2 50 边际利润：MLL(x) 3x； x (100)2 （4）收益的价格函数：R(x)100 x  ， p p dR (100)2 p2 收益的价格弹性：   1. R dp p2 (100)2 七、（本题满分8分）【 同数学Ⅳ 第八题 】 八、（本题满分7分）【 同数学Ⅳ 第九题 】 九、（本题满分6分）【 同数学Ⅳ 第十题 】 1987年 • 第16页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 十、（本题满分8分） 已知随机变量X的概率分布为P(X 1)0.2,P(X 2)0.3,P(X 3)0.5， 试写出X 的分布函数F(x)，并求X 的数学期望与方差. 0, x 1 解：X 的分布函数为F(x)  0.2, 1 x  2 ，  0.5, 2 x 3   1, x 3 EX 10.220.330.52.3；EX2 120.2220.3320.55.9 DX EX2(EX)2 5.92.32 0.61 十一、（本题满分8分）【 同数学Ⅳ 第十二题 】 1987年 • 第17页