1988考研数学一、二、三真题公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_1987-2016考研数学（一）真题答案与解析

刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828@189.cn 1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学Ⅰ 一、（每小题 5，本题满分 15 分）  x3n （1）求幂级数 的收敛域. n3n n1 （2）已知 f xex2 ， f   x  1x，且x0.求x并写出它的定义域. （3）设S 为曲面x2  y2 z2 1的外侧，计算曲面积分I  x3dydz y3dzdxz3dxdy. S 二、填空题：（本题满分 12 分，每小题 3 分） 2tx  1 （1）若 f tlimt  1  ，则 ft x  x 2,1 x 0 （2）设 f x是周期为 2 的周期函数，它在区间1,1上定义为 f x  ， x3,0 x 1 则 f x的傅里叶级数在x 1处收敛于 . x31 （3）设 f x是连续函数，且 f tdt  x，则 f 7 . 0 （4）设 4 阶矩阵A,,, ，B,,, ，其中，,,,, 均为 4 维 2 3 4 2 3 4 2 3 4 列向量，且已知行列式 A 4， B 1，则行列式 AB  . 三、选择题（每小题 3 分，满分 15 分） 1 （1）若函数y  f x有 fx  ，则当x0时，该函数在x x 处的微分dy是（ ） 0 2 0 （A）与x等价的无穷小 （B）与x同阶的无穷小 （C）比x低阶的无穷小 （D）比x高阶的无穷小 （2）设 y  f(x)是方程y2y4y 0的一个解，若 f(x)0，且 f(x )0，则函 0 数 f(x)在点x 0 （A）取得极大值 （B）取得极小值 （C）某个邻域内单调增加 （D）某个邻域内单调减少 （3）设有空间区域 :x2y2z2R2,z0及 :x2y2z2R2，x0,y0,z0，则（ ） 1 2 （A） xdv  4 xdv （B） ydv 4 ydv     1 2 1 2 （C） zdv  4 zdv （D） xyzdv 4 xyzdv     1 2 1 2 1刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828@189.cn  （4）若a x1n 在x  1处收敛，则此级数在x 2处（ ） n n1 （A）条件收敛 （B） 绝对收敛 （C）发散 （D）收敛性不能确定 （5）n维向量组,,,3 s n线性无关的充分必要条件是（ ） 1 2 s （A）有一组不全为0的数k ,k ,,k ，使k k k 0 1 2 s 1 1 2 2 s s （B）,,,中任意两个向量都线性无关 1 2 s （C）,,,中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出 1 2 s （D）,,,中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 1 2 s 四、（本题满分 6 分）  x  y 2u 2u 设u  yf    xg   ，其中 f,g 具有二阶连续导数，求x  y .  y  x  x2 xy 五、（本题满分 8 分） 设函数 y  yx满足微分方程y3y2y 2ex，且图形在点0,1处的切线与曲线 y  x2  x1在该点的切线重合，求函数y  yx . 六、（本题满分 9 分） k 设位于点0,1的质点A对质点M 的引力大小为 （k 0为常数，r为质点A与M 之间 r2 的距离），质点M 沿曲线 y  2x x2 自B2,0运动到O0,0 .求在此运动过程中质点 A对质点M 的引力所做的功. 七、（本题满分 6 分） 2刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828@189.cn 1 0 0  1 0 0     已知AP  PB，其中B  0 0 0 ，P  2 1 0 ，求A及A5.         0 0 1 2 1 1     八、（本题满分 8 分） 2 0 0 2 0 0      已知矩阵A 0 0 1 与B  0 y 0 相似，         0 1 x 0 0 1     （1）求x与 y，（2）求一个满足P1AP  B的可逆矩阵P. 九、（本题满分 9 分） 设函数 f x在区间a,b上连续，且在a,b内有 fx0.证明：在a,b内存在唯 一的，使曲线 y  f x 与两直线 y  f  ， x a 所围平面图形面积 S 是曲线 1 y  f x与两直线y  f ，xb所围平面图形面积S 的3倍. 2 十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分） 19 （1）设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于 ， 27 则事件A在一次试验中出现的概率为 6 （2）在区间0,1中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 ”概率为 5 （3）设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知 x x 1 e  u 2 2 du ，  2 2.50.9938，则X 落在区间9.95,10.05内的概率为 十一、（本题满分 6 分） 1 设随机变量X 的概率密度函数为 f (x) ，求随机变量Y 1 3 X 的概率 X   1x2 密度函数 f (y). Y 3刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828@189.cn 数学Ⅱ 一、（本题满分 15 分，每小题 5 分） （1）【同数学Ⅰ第一（1）题】 （2）【同数学Ⅰ第一（2）题】 （3）【同数学Ⅰ第一（3）题】 二、填空题（本题满分 12 分，每小题 3 分） （1）【同数学Ⅰ第二（1）题】 （2）【同数学Ⅰ第二（2）题】 （3）【同数学Ⅰ第二（3）题】 （4）【同数学Ⅰ第二（4）题】 三、选择题（本题满分 15 分，每小题 3 分） （1）【同数学Ⅰ第三（1）题】 （2）【同数学Ⅰ第三（2）题】 （3）【同数学Ⅰ第三（3）题】 （4）【同数学Ⅰ第三（4）题】 （5）【同数学Ⅰ第三（5）题】 四、（本题满分 18 分，每小题 6 分） （1）【同数学Ⅰ第四题】 2 x x 4 2 x （2）计算 dx sin dy dx sin dy 1 x 2y 2 x 2y （3）求椭球面x2 2y2 3z2  21上某点M 处的切平面的方程，使平面过已知直线 x6 y3 2z1 l:   . 2 1 2 五、（本题满分 8 分）【同数学Ⅰ第五题】 六、（本题满分 9 分）【同数学Ⅰ第六题】 七、（本题满分 6 分）【同数学Ⅰ第七题】 八、（本题满分 8 分）【同数学Ⅰ第八题】 九、（本题满分 9 分）【同数学Ⅰ第九题】 4刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828@189.cn 数学Ⅲ 一、填空题（每小题 4 分，满分 20 分） exsinxcosx,x 0 （1）若 f x 是,上的连续函数，则a 2xa, x0 （2）【同数学Ⅰ第二（1）题】 （3）【同数学Ⅰ第二（3）题】 1 （4） lim( )tanx  x0 x 4 （5） e xdx  0 二、选择题（每小题 4 分，满分 20 分） 1 1 （1） f(x) x3  x2 6x1的图形在点0,1处切线与x轴交点的坐标是（ ） 3 2  1  1  （A）  ,0  （B）1,0 （C） ,0  （D）1,0  6  6  （2）若 f(x)与g(x)在,上皆可导，且 f(x) g(x)，则必有（ ） （A） f(x) g(x) （B） f(x) g(x) x x （C）lim f(x) lim g(x) （D） f(t)dt   g(t)dt xx xx 0 0 0 0 （3）【同数学Ⅰ第二（1）题】 3 （4）曲线y sin2 x,0 x 与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转体体积是（ ） 4 4 2 2 （A） （B）  （C） 2 （D）  3 3 3 3 （5）【同数学Ⅰ第三（5）题】 三、（本题满分 15 分，每小题 5 分） （1）【同数学Ⅰ第一（2）题】 （2）已知y 1 xexy，求y x0及y x0 1 1 （3）求微分方程y y  的通解（一般解）. x x  x2 1  四、（本题满分 12 分） 6 作函数y  的图形，并填写下表. x2 2x4 5刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828@189.cn 单调增区间 单调减区间 极值点 极值 凹区间 凸区间 拐 点 渐近线 五、（本题满分 8 分） 将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少 时，正方形与圆形的面积之和为最小？ 六、（本题满分 10 分）【同数学Ⅰ第五题（分值不同）】 七、（本题满分 7 分） x 设x  1，求 1|t|dt. 1 八、（本题满分 8 分） 设 f x在,上有连续导数，且m f x M . 1 a （1）求lim    f ta f ta  dt； a04a2 a 1 a （2）证明  f tdt f x  M m,a 0 . 2a a 6刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828@189.cn 数学Ⅳ 一、填空题（本题满分 12 分，每空 1 分） （一）已知函数 f x  x e  1 2 t2 dt， x   0 （1） fx （2） f x的单调性： （3） f x的奇偶性： （4） f x图形的拐点： （5） f x图形的凹凸性： （6） f x图形的水平渐近线： 1 1 1 0 1 1 0 1 （二）  1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1   0 0 1 0 （三）   0 1 0 0   1 0 0 0 （四）假设PA0.4，PAB0.7，那么 （1）若A与B互不相容，则PB （2）若A与B相互独立，则PB 二、判断题（本题满分 10 分，每小题答对得2 分，答错得-1 分，不答得 0 分， 全题最低 0 分） （1）若极限lim f x与lim f xgx都存在，则极限lim gx必存在.（ ） xx xx xx 0 0 0 （2）若x 是函数 f x的极值点，则必有 fx0 . （ ） 0 a a （3）等式 f xdx   f a xdx，对任何实数a都成立.（ ） 0 0 （4）若A和B都是n阶非零方阵，且AB 0，则A的秩必小于n.（ ） （5）若事件A，B，C满足等式AB  BC ，则A B.（ ） 三、计算下列各题（每小题 4 分，满分 16 分） 7刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828@189.cn xx 1 （1）求极限 lim x1 xlnx 2u （2）已知ueu  xy，求 . xy 3 dx （3）求定积分 0 x1 x  cosx （4）求二重积分6dy6 dx 0 y x 四、（本题满分 6 分，每小题 3 分）  n1! （1）讨论级数 的敛散性 nn1 n1    （2）已知级数a2 与b2都收敛，试证明级数a b 绝对收敛. n i n n n1 in n1 五、（本题满分 6 分） a 已知某商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 P 的函数： D Dp ， p2 S Spbp ，其中 a0 和 b0 是常数；价格 P 是时间 t 的函数且满足方程 dp k  dpsp  ，（k是常数），假设当t 0 时价格为1，试求： dt （1）需求量等于供给量时的均衡价格P ； e （2）价格函数Pt； （3）极限limPt t 六、（本题满分 8 分） 1 在曲线 y x2,x0上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成的面积为 ， 12 试求： （1）切点A的坐标； （2）过切点A的切线方程： （3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积. 8刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828@189.cn 七、（本题满分 8 分） x x 2x 3x 1 1 2 3 4  x 3x 6x x 3 已给线性方程组 1 2 3 4 ，问k 和k 各取何值时，方程组无解？有 3x x k x 15x 3 1 2  1 2 1 3 4 x 5x 10x 12x k  1 2 3 4 2 唯一解？无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解. 八、（本题满分 7 分） 已知向量组 a ,a ,,a s2 线性无关，设  a a ，  a a ，…， 1 2 s 1 1 2 2 2 3  a a ， a a ，讨论向量组,,,的线性相关性. s1 s1 s s s 1 1 2 s 九、（本题满分 6 分） 1 设A是三阶方阵，A是A的伴随矩阵，A的行列式 A  ，求行列式 3A1 2A 的值. 2 十、（本题满分 6 分） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率是0.8,0.1,0.1，一顾客 欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察4只，若无残次品， 则购买下该玻璃杯，否则退回.试求： （1）顾客买下该箱的概率； （2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率. 十一、（本题满分 6 分） 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随意抽 查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出X 的概率分布； （2）利用棣莫佛拉普拉斯定理.求出索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. （附：(2.5)0.994,(1.5)0.993） 十二、（本题满分 6 分） 假设随机变量X 在区间1,2上服从均匀分布.试求随机变量Y e2x的概率密度 f y . 9刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828@189.cn 数学Ⅴ 一、 【同数学Ⅳ第一题】 二、 【同数学Ⅳ第二题】 三、（每小题４分，满分 16 分）  （１）求极限lim  1x2 tan x x1 2 x 2u （２）已知uey，求 xy （３）【同数学Ⅳ第三（3）题】 （４）【同数学Ⅳ第三（4）题】 四、（本题满分6分） axb,x 1 确定常数a和b，使函数 f x   处处可导.  x2,x1 五、（本题满分 8 分）【同数学Ⅲ第五题】 六、（本题满分 8 分）【同数学Ⅳ第六题】 七、（本题满分 8 分）【同数学Ⅳ第七题】 八、（本题满分 6 分） 已知n阶方阵A满足矩阵方程A2 3A2E 0,E是单位矩阵.证明A可逆并求出其逆 矩阵A1 . 九、（本题满分 7 分）【同数学Ⅳ第八题】 十、（本题满分 7 分）【同数学Ⅳ第十题】 十一、（本题满分 7 分） 假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时从这批元件中任取一只，如是 废品，则扔掉重新任取一只：若仍是废品，则扔掉再取一只.试求在取到正品之前，已取出 的废品只数的分布，数学期望与方差. 十二、（本题满分 5 分）【同数学Ⅳ第十二题】 10