文档内容
2016年江苏省镇江市中考数学试卷
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）
1．﹣3的相反数是______．
2．计算：（﹣2）3=______．
3．分解因式：x2﹣9=______．
4．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是______．
5．正五边形每个外角的度数是______．
6．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，∠1=20°，则∠2=______°．
7．关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m=______．
8．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小
组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算
得摸到红球的频率是20%，则袋中有______个红球．
9．圆锥底面圆的半径为4，母线长为5，它的侧面积等于______（结果保留π）
10．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大
小关系是b______c（用“＞”或“＜”号填空）
11．如图1，⊙O的直径AB=4厘米，点C在⊙O上，设∠ABC的度数为x（单位：度，0＜x＜
90），优弧 的弧长与劣弧 的弧长的差设为y（单位：厘米），图2表示y与x的函数关系，
则α=______度．
12．有一张等腰三角形纸片，AB=AC=5，BC=3，小明将它沿虚线PQ剪开，得到△AQP和四
边形BCPQ两张纸片（如图所示），且满足∠BQP=∠B，则下列五个数据 ，3， ，2， 中
可以作为线段AQ长的有______个．
第1页（共28页）二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分）
13．2100000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.21×108B．2.1×106 C．2.1×107 D．21×105
14．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
15．一组数据6，3，9，4，3，5，12的中位数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
16．已知点P（m，n）是一次函数y=x﹣1的图象位于第一象限部分上的点，其中实数m、n满
足（m+2）2﹣4m+n（n+2m）=8，则点P的坐标为（ ）
A．（ ，﹣ ）B．（ ， ）C．（2，1）D．（ ， ）
17．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是正方形OABC的一个顶点，已知点B坐标为
（1，7），过点P（a，0）（a＞0）作PE⊥x轴，与边OA交于点E（异于点O、A），将四边形ABCE
沿CE翻折，点A′、B′分别是点A、B的对应点，若点A′恰好落在直线PE上，则a的值等于（
）
第2页（共28页）A． B． C．2D．3
三、解答题（本大题共有11小题，共计81分）
18．（1）计算：tan45°﹣（ ）0+|﹣5|
（2）化简： ．
19．（1）解方程：
（2）解不等式：2（x﹣6）+4≤3x﹣5，并将它的解集在数轴上表示出来．
20．甲、乙、丙三名同学站成一排拍合影照留念．
（1）请按从左向右的顺序列出所有可能站位的结果；
（2）求出甲同学站在中间位置的概率．
21．现如今，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数，已成为一种时尚，“健身达人”小张
为了了解他的微信朋友圈里大家的运动情况，随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月9
日那天每天行走的步数情况分为五个类别：A（0﹣4000步）（说明：“0﹣4000”表示大于等于
0，小于等于4000，下同），B，C，D，E，并将统计结果绘制了如图1的图2两幅不完整的统计
图．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）将图1的条形统计图补充完整；
（2）已知小张的微信朋友圈里共500人，请根据本次抽查的结果，估计在他的微信朋友圈里6
月9日那天行走不超过8000步的人数．
22．如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC=35°，则∠CAO=______°．
第3页（共28页）23．公交总站（A点）与B、C两个站点的位置如图所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求
B站点离公交总站的距离即AB的长（结果保留根号）．
24．校田园科技社团计划购进A、B两种花卉，两次购买每种花卉的数量以及每次的总费用如
下表所示：
花卉数量（单位：株）
总费用（单位：元）
A B
第一次购买 10 25 225
第二次购买 20 15 275
（1）你从表格中获取了什么信息？______（请用自己的语言描述，写出一条即可）；
（2）A、B两种花卉每株的价格各是多少元？
25．如图1，一次函数y=kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图
象交于点B（4，b）．
（1）b=______；k=______；
（2）点C是线段AB上的动点（于点A、B不重合），过点C且平行于y轴的直线l交这个反比
例函数的图象于点D，求△OCD面积的最大值；
（3）将（2）中面积取得最大值的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离，得到△O′C′D′，若点
O的对应点O′落在该反比例函数图象上（如图2），则点D′的坐标是______．
26．如果三角形三边的长a、b、c满足 =b，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角
形”，如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．
第4页（共28页）（1）如图1，已知两条线段的长分别为a、c（a＜c）．用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长
分别为a、c的“匀称三角形”（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交
AB延长线于点E，交AC于点F，若 ，判断△AEF是否为“匀称三角形”？请说明理
由．
27．如图1，在菱形ABCD中，AB=6 ，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长
度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为（t 秒），将线段CE绕点C顺时针旋转
一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．
（1）求证：BE=DF；
（2）当t=______秒时，DF的长度有最小值，最小值等于______；
（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？
（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E
的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关
于时间t的函数表达式．
28．如图1，二次函数y =（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
1
其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．
（1）写出点D的坐标______．
（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y =ax2+bx+c
2
（a ≠0）的图象过点A．
①试说明二次函数y =ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；
2
②点R在二次函数y =（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为______
1
时，二次函数y =ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；
2
③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y =（x﹣2）（x﹣
1
4）、y =ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H作x轴的垂
2
线，垂足为点N，交二次函数y =（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m
1
的值．
第5页（共28页）第6页（共28页）2016 年江苏省镇江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）
1．﹣3的相反数是 3 ．
【考点】相反数．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣（﹣3）=3，
故﹣3的相反数是3．
故答案为：3．
2．计算：（﹣2）3= ﹣ 8 ．
【考点】有理数的乘方．
【分析】（﹣2）3表示3个﹣2相乘．
【解答】解：（﹣2）3=﹣8．
3．分解因式：x2﹣9= （ x + 3 ）（ x﹣ 3 ） ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
4．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 x≥ ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出2x﹣1≥0，进而得出答案．
【解答】解：若代数式 有意义，
则2x﹣1≥0，
解得：x≥ ，
则实数x的取值范围是：x≥ ．
故答案为：x≥ ．
5．正五边形每个外角的度数是 72 ° ．
【考点】多边形内角与外角．
第7页（共28页）【分析】利用正五边形的外角和等于360度，除以边数即可求出答案．
【解答】解：360°÷5=72°．
故答案为：72°．
6．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，∠1=20°，则∠2= 7 0 °．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平角等于180°列式计算得到∠3，根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠2．
【解答】解：∵∠1=20°，
∴∠3=90°﹣∠1=70°，
∵直线a∥b，
∴∠2=∠3=70°，
故答案是：70．
7．关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m= ．
【考点】根的判别式．
【分析】直接利用根的判别式得出b2﹣4ac=9﹣8m=0，即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac=9﹣8m=0，
解得：m= ．
故答案为： ．
8．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小
组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算
得摸到红球的频率是20%，则袋中有 6 个红球．
【考点】利用频率估计概率．
第8页（共28页）【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从
比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：设袋中有x个红球．
由题意可得： =20%，
解得：x=6，
故答案为：6．
9．圆锥底面圆的半径为4，母线长为5，它的侧面积等于 20 π （结果保留π）
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的底面半径为4，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×4×5=20π，
故答案为：20π．
10．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大
小关系是b ＜ c（用“＞”或“＜”号填空）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2ax+3的图象的对称轴为x=a，二次项系数1＞0，
∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
∵a+1＜a+2，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，
∴b＜c，
故答案为：＜．
11．如图1，⊙O的直径AB=4厘米，点C在⊙O上，设∠ABC的度数为x（单位：度，0＜x＜
90），优弧 的弧长与劣弧 的弧长的差设为y（单位：厘米），图2表示y与x的函数关系，
则α= 22. 5 度．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】直接利用弧长公式表示出y与x之间的关系，进而代入（a，3π）求出答案．
【解答】解：设∠ABC的度数为x，根据题意可得：
y= ﹣
第9页（共28页）将（a，3π）代入得：
3π= ，
解得：α=22.5°．
故答案为：22.5．
12．有一张等腰三角形纸片，AB=AC=5，BC=3，小明将它沿虚线PQ剪开，得到△AQP和四
边形BCPQ两张纸片（如图所示），且满足∠BQP=∠B，则下列五个数据 ，3， ，2， 中
可以作为线段AQ长的有 3 个．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】作CD∥PQ，交AB于D，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出
∠B=∠ACB=∠CDB，证出CD=BC=3，△BCD∽△BAC，得出对应边成比例求出BD= ，得
出AD=AB﹣BD= ，由平行线证出△APQ∽△ACD，得出对应边成比例求出AP= AQ，
再分别代入AQ的长求出AP的长，即可得出结论．
【解答】解：作CD∥PQ，交AB于D，如图所示：
则∠CDB=∠BQP，
∵AB=AC=5，
∴∠B=∠ACB，
∵∠BQP=∠B，
∴∠B=∠ACB=∠CDB，
∴CD=BC=3，△BCD∽△BAC，
∴ ，即 ，
解得：BD= ，
第10页（共28页）∴AD=AB﹣BD= ，
∵CD∥PQ，
∴△APQ∽△ACD，
∴ ，即 ，
解得：AP= AQ，
当AQ= 时，AP= × = ＞5，不合题意，舍去；
当AQ=3时，AP= ×3= ＜5，符合题意；
当AQ= 时，点P与C重合，不合题意，舍去；
当AQ=2时，AP= ×2= ＜5，符合题意；
当AQ= 时，AP= × = ＜5，符合题意；
综上所述：可以作为线段AQ长的有3个；
故答案为：3．
二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分）
13．2100000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.21×108B．2.1×106 C．2.1×107 D．21×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】分析：用科学记数法表示一个数，是把一个数写成a×10n形式，其中a为整数，1≤|a|
＜10，n为整数．
第11页（共28页）【解答】解：2100000=2.1×106
故选：B
14．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找出简单几何体的俯视图，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：俯视几何体时，发现：左三、中二、右二，
观察四个选项发现，只有A符合该几何体的俯视图，
故选A．
15．一组数据6，3，9，4，3，5，12的中位数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】中位数．
【分析】分析：把一组数据从小到大排列最中间的数或中间两数的平均数即为这组数据的中
位数．
【解答】解：把这组数据按从小到大排列，得
3，3，4，5，6，9，12，共7个数，中间的数是5，所以这组数据的中位数是5．
故选：C
16．已知点P（m，n）是一次函数y=x﹣1的图象位于第一象限部分上的点，其中实数m、n满
足（m+2）2﹣4m+n（n+2m）=8，则点P的坐标为（ ）
A．（ ，﹣ ）B．（ ， ）C．（2，1）D．（ ， ）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据题意可以求得m、n的值，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵（m+2）2﹣4m+n（n+2m）=8，
化简，得（m+n）2=4，
∵点P（m，n）是一次函数y=x﹣1的图象位于第一象限部分上的点，
∴n=m﹣1，
∴ ，
第12页（共28页）解得， 或
∵点P（m，n）是一次函数y=x﹣1的图象位于第一象限部分上的点，
∴m＞0，n＞0，
故点P的坐标为（1.5，0.5），
故选D．
17．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是正方形OABC的一个顶点，已知点B坐标为
（1，7），过点P（a，0）（a＞0）作PE⊥x轴，与边OA交于点E（异于点O、A），将四边形ABCE
沿CE翻折，点A′、B′分别是点A、B的对应点，若点A′恰好落在直线PE上，则a的值等于（
）
A． B． C．2D．3
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；正方形的性质．
【分析】作辅助线，利用待定系数法求直线OB和AC的解析式，表示出点C的坐标，根据勾股
定理列方程求出点C的坐标，根据图形点C的位置取值；先由点B的坐标求出对角线OB的
长，在Rt△OBC中，利用特殊的三角函数值求出正方形的边长为5，求出FG的长，写出点P
的坐标，确定其a的值．
【解答】解：当点A′恰好落在直线PE上，如图所示，
连接OB、AC，交于点D，过点C作CF∥A′B′，交PE于点F，交y轴于点G，则CF⊥y轴，
∵四边形OABC是正方形，
∴OD=BD，OB⊥AC，
∵O（0，0），B（1，7），
∴D（ ， ），
由勾股定理得：OB= = =5 ，
设直线OB的解析式为：y=kx，
把B（1，7）代入得：k=7，
∴直线OB的解析式为：y=7x，
第13页（共28页）∴设直线AC的解析式为：y=﹣ x+c，
把D（ ， ）代入得： =﹣ × +c，c= ，
∴直线AC的解析式为：y=﹣ x+ ，
设C（x，﹣ x+ ），
在Rt△OBC中，cos∠BOC= ，
∴OC=cos45°•OB= ×5 =5，
∴正方形OABC的边长为5，
由翻折得：A′B′=AB=5，
在Rt△OCG中，OC2=OG2+CG2，
∴52=x2+（﹣ x+ ）2，
解得：x =﹣3，x =4（舍），
1 2
∴CG=3，
∵CF=A′B′=5，
∴FG=CF﹣CG=5﹣3=2，
∴P（2，0），即a=2，
故选C．
三、解答题（本大题共有11小题，共计81分）
18．（1）计算：tan45°﹣（ ）0+|﹣5|
第14页（共28页）（2）化简： ．
【考点】分式的加减法；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）先计算三角函数值、零指数幂、绝对值，再计算加减即可；
（2）先将减式因式分解后约分，再计算同分母的分式减法即可得．
【解答】解：（1）原式=1﹣1+5=5；
（2）原式= ﹣
= ﹣
=
=1．
19．（1）解方程：
（2）解不等式：2（x﹣6）+4≤3x﹣5，并将它的解集在数轴上表示出来．
【考点】解分式方程；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【分析】（1）首先找出最简公分母，再去分母进而解方程得出答案；
（2）首先去括号，进而解不等式得出答案．
【解答】解：（1）去分母得：x=3（x﹣3），
解得：x= ，
检验：x= 时，x（x﹣3）≠0，则x= 是原方程的根；
（2）2（x﹣6）+4≤3x﹣5
2x﹣12+4≤3x﹣5，
解得：x≥﹣3，
如图所示：
．
20．甲、乙、丙三名同学站成一排拍合影照留念．
第15页（共28页）（1）请按从左向右的顺序列出所有可能站位的结果；
（2）求出甲同学站在中间位置的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）利用列举法写出所有6种等可能的结果；
（2）再找出甲站中间的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）三位好朋友合照的站法从左到右有：（甲乙丙），（甲丙乙），（乙甲丙），（乙丙
甲），（丙甲乙），（丙乙甲），共有6种等可能的结果；
（2）其中甲站中间的结果有2种，记为事件A，
所以P（A）= = ．
21．现如今，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数，已成为一种时尚，“健身达人”小张
为了了解他的微信朋友圈里大家的运动情况，随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月9
日那天每天行走的步数情况分为五个类别：A（0﹣4000步）（说明：“0﹣4000”表示大于等于
0，小于等于4000，下同），B，C，D，E，并将统计结果绘制了如图1的图2两幅不完整的统计
图．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）将图1的条形统计图补充完整；
（2）已知小张的微信朋友圈里共500人，请根据本次抽查的结果，估计在他的微信朋友圈里6
月9日那天行走不超过8000步的人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）首先根据B类的人数占15%，求出总人数以及D类的人数，然后将图1的条形统
计图补充完整即可．
（2）用小张的微信朋友圈里的人数乘A、B两类的人数占的分率，估计在他的微信朋友圈里6
月9日那天行走不超过8000步的人数是多少即可．
【解答】解：（1）D类的人数有：
9÷15%﹣（3+9+24+6）
=60﹣42
=18（人）
第16页（共28页）．
（2）500×
=500×
=100（人）
∴在他的微信朋友圈里6月9日那天行走不超过8000步的有100人．
22．如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC=35°，则∠CAO= 2 0 °．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】（1）证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是Rt△，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）证明：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC=∠BAD=35°，
∵∠C=90°，
第17页（共28页）∴∠BAC=55°，
∴∠CAO=∠CAB﹣∠BAD=20°．
故答案为：20．
23．公交总站（A点）与B、C两个站点的位置如图所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求
B站点离公交总站的距离即AB的长（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】过C作CD垂直于AB，交BA延长线于点D，由∠B与∠ACB的度数，利用外角性质
求出∠CAD的度数，在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出CD与AD的长，在直角三角
形BCD中，利用勾股定理求出BD的长，由BD﹣AD求出AB的长即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
∵∠B=30°，∠ACB=15°，
∴∠CAD=45°，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=45°，AC=6，
∴CD=AD=3 km，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=30°，CD=3 km，
∴BD=3 km，
则AB=（3 ﹣3 ）km．
24．校田园科技社团计划购进A、B两种花卉，两次购买每种花卉的数量以及每次的总费用如
下表所示：
花卉数量（单位：株）
总费用（单位：元）
A B
第一次购买 10 25 225
第二次购买 20 15 275
（1）你从表格中获取了什么信息？ 购买 A 种花卉 1 0 株和 B 种花卉 2 5 株共花费 22 5 元
（请用自己的语言描述，写出一条即可）；
（2）A、B两种花卉每株的价格各是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）答案不唯一，根据表格可得购买A种花卉10株和B种花卉25株共花费225元；
第18页（共28页）（2）设A种花卉每株x元，B种花卉每株y元，根据题意可得A种花卉10株的花费+B种花卉
25株的花费=225元，A种花卉20株的花费+B种花卉15株的花费=275元，根据等量关系列
出方程组，再解即可．
【解答】解：（1）购买A种花卉10株和B种花卉25株共花费225元，
故答案为：购买A种花卉10株和B种花卉25株共花费225元；
（2）设A种花卉每株x元，B种花卉每株y元，由题意得：
，
解得： ，
答：A种花卉每株10元，B种花卉每株5元．
25．如图1，一次函数y=kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图
象交于点B（4，b）．
（1）b= 1 ；k= 1 ；
（2）点C是线段AB上的动点（于点A、B不重合），过点C且平行于y轴的直线l交这个反比
例函数的图象于点D，求△OCD面积的最大值；
（3）将（2）中面积取得最大值的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离，得到△O′C′D′，若点
O的对应点O′落在该反比例函数图象上（如图2），则点D′的坐标是 （ ， ） ．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）由点B的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出b值，进而得出
点B的坐标，再将点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出k值；
（2）设C（m，m﹣3）（0＜m＜4），则D（m， ），根据三角形的面积即可得出S 关于m的
△OCD
函数关系式，通过配方即可得出△OCD面积的最大值；
第19页（共28页）（3）由（1）（2）可知一次函数的解析式以及点C、D的坐标，设点C（′ a，a﹣3），根据平移的性
质找出点O′、D′的坐标，由点O′在反比例函数图象上即可得出关于a的方程，解方程求出a
的值，将其代入点D′的坐标中即可得出结论．
【解答】解：（1）把B（4，b）代入y= （x＞0）中得：b= =1，
∴B（4，1），
把B（4，1）代入y=kx﹣3得：1=4k﹣3，解得：k=1，
故答案为：1，1；
（2）设C（m，m﹣3）（0＜m＜4），则D（m， ），
∴S = m（ ﹣m+3）=﹣ m2+ m+2=﹣ + ，
△OCD
∵0＜m＜4，﹣ ＜0，
∴当m= 时，△OCD面积取最大值，最大值为 ；
（3）由（1）知一次函数的解析式为y=x﹣3，
由（2）知C（ ，﹣ ）、D（ ， ）．
设C′（a，a﹣3），则O′（a﹣ ，a﹣ ），D′（a，a+ ），
∵点O′在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
∴a﹣ = ，解得：a= 或a=﹣ （舍去），
经检验a= 是方程a﹣ = 的解．
∴点D′的坐标是（ ， ）．
第20页（共28页）26．如果三角形三边的长a、b、c满足 =b，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角
形”，如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．
（1）如图1，已知两条线段的长分别为a、c（a＜c）．用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长
分别为a、c的“匀称三角形”（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交
AB延长线于点E，交AC于点F，若 ，判断△AEF是否为“匀称三角形”？请说明理
由．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）根据题意可以画出相应的图形，本题得以解决；
（2）根据“匀称三角形”的定义，由题目中信息的，利用切线的性质，等腰三角形的性质，三
角形的全等以及勾股定理可以判断△AEF是否为“匀称三角形”．
【解答】解：（1）所求图形，如右图1所示，
（2）△AEF是“匀称三角形”，
理由：连接AD、OD，如右图2所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴点D时BC的中点，
∵点O为AB的中点，
∴OD∥AC，
∵DF切⊙O于点D，
第21页（共28页）∴OD⊥DF，
∴EF⊥AF，
过点B作BG⊥EF于点G，
∵∠BGD=∠CFD=90°，∠BDG=∠CDF，BD=CD，
∴△BGD≌△CFD（ASA），
∴BG=CF，
∵ ，
∴ ，
∵BG∥AF，
∴ ，
在Rt△AEF中，设AE=5k，AF=3k，由勾股定理得，EF=4k，
∴ ，
∴△AEF是“匀称三角形”．
第22页（共28页）27．如图1，在菱形ABCD中，AB=6 ，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长
度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为（t 秒），将线段CE绕点C顺时针旋转
一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．
（1）求证：BE=DF；
（2）当t= 6 +6 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于 1 2 ；
（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？
（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E
的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关
于时间t的函数表达式．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，结合DC=BC、CE=CF证△DCF≌△BCE即
可得；
（2）当点E运动至点E′时，由DF=BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；
（3）①∠EQP=90°时，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，根据
AB=CD=6 ，tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE；
②∠EPQ=90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE=6 ；
（4）连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，证△DCE≌△GCF
可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得
MN=CD=6 ；再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD=6 ，根据
tan∠ABC=tan∠CGN=2可得GM=6 +12，由GF=DE=t得FM=t﹣6 ﹣12，
利用tan∠FMH=tan∠ABC=2即可得FH．
【解答】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，
∴∠DCF=∠BCE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=BC，
在△DCF和△BCE中，
∵ ，
∴△DCF≌△BCE（SAS），
第23页（共28页）∴DF=BE；
（2）如图1，
当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，
在Rt△ABE′中，AB=6 ，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，
∴设AE′=x，则BE′=2x，
∴AB= x=6 ，
则AE′=6
∴DE′=6 +6，DF=BE′=12，
故答案为：6 +6，12；
（3）∵CE=CF，
∴∠CEQ＜90°，
①当∠EQP=90°时，如图2①，
∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，
∴∠CBD=∠CEF，
∵∠BPC=∠EPQ，
∴∠BCP=∠EQP=90°，
∵AB=CD=6 ，tan∠ABC=tan∠ADC=2，
∴DE=6，
∴t=6秒；
②当∠EPQ=90°时，如图2②，
第24页（共28页）∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，
∴EC与AC重合，
∴DE=6 ，
∴t=6 秒；
（4）y= t﹣12﹣ ，
如图3，连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，
由（1）知∠1=∠2，
又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，
∴∠DCE=∠GCF，
在△DCE和△GCF中，
∵ ，
∴△DCE≌△GCF（SAS），
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠4，
∴GF∥CD，
又∵AH∥BN，
∴四边形CDMN是平行四边形，
∴MN=CD=6 ，
∵∠BCD=∠DCG，
第25页（共28页）∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，
∴CN=CG=CD=6 ，
∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，
∴GN=12，
∴GM=6 +12，
∵GF=DE=t，
∴FM=t﹣6 ﹣12，
∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，
∴FH= （t﹣6 ﹣12），
即y= t﹣12﹣ ．
28．如图1，二次函数y =（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
1
其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．
（1）写出点D的坐标 （ 3 ，﹣ 1 ） ．
（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y =ax2+bx+c
2
（a≠0）的图象过点A．
①试说明二次函数y =ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；
2
②点R在二次函数y =（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为 （ 3﹣
1
， 1 ）、（ 3+ ， 1 ）或（ 3 ，﹣ 1 ） 时，二次函数y =ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点
2
到x轴的距离等于2d；
③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y =（x﹣2）（x﹣
1
4）、y =ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H作x轴的垂
2
线，垂足为点N，交二次函数y =（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m
1
的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用配方法将二次函数y =（x﹣2）（x﹣4）变形为顶点式，由此即可得出结论；
1
第26页（共28页）（2）①由点P在对称轴l上，可得出二次函数y =ax2+bx+c的图象的对称轴为直线l，再结合点
2
A、B关于对称轴l对称，二次函数y =ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A，即可得出二次函数
2
y =ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；
2
②由二次函数y =ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，即可得出
2
d=1，再令二次函数y =（x﹣2）（x﹣4）中y =±1求出x值，即可得出结论；
1 1
③设N（n，0），则H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），由此即可得出 =
，根据相似三角形的性质即可得出 ，再根据对称性可得出 ，设
KG=（t t＞0），则G的坐标为（3﹣t，m），E的坐标为（3﹣2t，m），由此即可得出关于m、t的二
元一次方程组，解方程组即可求出m值．
【解答】解：（1）∵y =（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，
1
∴顶点D的坐标为（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
（2）①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，
∴点P的坐标为（3，2），
∴二次函数y =（x﹣2）（x﹣4）与y =ax2+bx+c的图象的对称轴均为x=3，
1 2
∵点A、B关于直线x=3对称，
∴二次函数y =ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B．
2
②∵二次函数y =ax2+bx+c的顶点坐标P（3，2），且图象上有且只有三个点到x轴的距离等于
2
2d，
∴2d=2，解得：d=1．
令y =（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8中y =±1，即x2﹣6x+8=±1，
1 1
解得：x =3﹣ ，x =3+ ，x =3，
1 2 3
∴点R的坐标为（3﹣ ，1）、（3+ ，1）或（3，﹣1）．
故答案为：（3﹣ ，1）、（3+ ，1）或（3，﹣1）．
③设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，直线l也是二次函数y =ax2+bx+c（a≠0）的图
2
象的对称轴．
∵二次函数y =ax2+bx+c过点A、B，且顶点坐标为P（3，2），
2
∴二次函数y =﹣2（x﹣2）（x﹣4）．
2
设N（n，0），则H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），
∴HN=2（n﹣2）（n﹣4），QN=（n﹣2）（n﹣4），
∴ =2，即 = ．
∵△GHN∽△EHQ，
∴ ．
第27页（共28页）∵G、H关于直线l对称，
∴KG=KH= HG，
∴ ．
设KG=t（t＞0），则G的坐标为（3﹣t，m），E的坐标为（3﹣2t，m），
由题意得： ，
解得： 或 （舍去）．
故当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．
第28页（共28页）
