文档内容
Born to win
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 已知 ,则 _______.
(2) 设 是连续函数,且 ,则 _______.
(3) 设平面曲线 为下半圆周 则曲线积分 _______.
(4) 向量场 在点 处的散度 _______.
(5) 设矩阵 , ,则逆矩阵 =_______.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 当 时,曲线 ( )
(A) 有且仅有水平渐近线
(B) 有且仅有铅直渐近线
(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线
(D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线
(2) 已知曲面 上点 处的切平面平行于平面 ,则点 的
坐标是 ( )
(A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2)
(C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)
(3) 设线性无关的函数 、 、 都是二阶非齐次线性方程
的解, 、 是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (
)
(A) (B)
(C) (D)
(4) 设函数 而 其中Born to win
…,则 等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
(5) 设 是 阶矩阵,且 的行列式 ,则 中 ( )
(A) 必有一列元素全为0
(B) 必有两列元素对应成比例
(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合
(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1) 设 ,其中函数 二阶可导, 具有连续的二阶偏导数,
求 .
(2) 设曲线积分 与路径无关,其中 具有连续的导数,且 ,
计算 的值.
(3) 计算三重积分 ,其中 是由曲面 与 所围
成的区域.
四、(本题满分6分.)
将函数 展为 的幂级数.
五、(本题满分7分.)
设 ,其中 为连续函数,求 .
六、(本题满分7分.)
证明方程 在区间(0, )内有且仅有两个不同实根.
七、(本题满分6分.)
问 为何值时,线性方程组
有解,并求出解的一般形式.Born to win
八、(本题满分8分.)
假设 为 阶可逆矩阵 的一个特征值,证明：
(1) 为 的特征值；
(2) 为 的伴随矩阵 的特征值.
九、(本题满分9分.)
设半径为 的球面 的球心在定球面 上,问当 为何值时,球
面 在定球面内部的那部分的面积最大？
十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)
(1) 已知随机事件 的概率 =0.5,随机事件 的概率 =0.6及条件概率
=0.8,则和事件 的概率 =_______.
(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,
则它是甲射中的概率为_______.
(3) 若随机变量 在(1,6)上服从均匀分布,则方程 有实根的概率是______.
十一、(本题满分6分.)
设随机变量 与 独立,且 服从均值为1、标准差(均方差)为 的正态分布,而
服从标准正态分布.试求随机变量 的概率密度函数.Born to win
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】原式= .
(2)【答案】
【解析】由定积分的性质可知, 和变量没有关系,且 是连续函数,故
为一常数,为简化计算和防止混淆,令 ,则有恒等式 ,
两边0到1积分得
,
即 ,
解之得 ,因此 .
(3)【答案】
【解析】方法一： 的方程又可写成 ,被积分函数在 上取值,于是
原积分= (半径为1的的半圆周长).
方法二：写出 的参数方程,
,
则 .
(4)【答案】
【解析】直接用散度公式
.Born to win
(5)【答案】
【解析】由于
,
为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.
方法一：如果对 作初等行变换,则由 可以直接
得出 .
本题中,第一行乘以 加到第二行上;再第二行乘以 ,有
,
从而知 .
方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律： ,则求 的伴随矩阵
.
如果 ,这样
.Born to win
再利用分块矩阵求逆的法则： ,
本题亦可很容易求出 .
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(A)
【解析】函数 只有间断点 .
,其中 是有界函数,而当 时, 为无穷小,而无穷
小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,
所以 ,故函数没有铅直渐近线.
,
所以 为函数的水平渐近线,所以答案为(A).
【相关知识点】铅直渐近线：如函数 在其间断点 处有 ,则
是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当 ,则 为函数的水平渐近线.
(2)【答案】(C)
【解析】题设为求曲面 (其中 )上点 使
在该点处的法向量 与平面 的法向量 平行.
在 处的法向量
,
若 则 为常数,即 .即 .Born to win
又点 ,所以 ,故求得 .
因此应选(C).
(3)【答案】(D)
【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知, 为方程对应齐
次方程的特解,所以方程 的通解为
,
即 ,故应选D.
(4)【答案】(B)
【解析】 是函数 先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数
的和函数,由于 是奇函数,于是 .
当 时, 连续,由傅式级数的收敛性定理, .因此,
.应选(B).
(5)【答案】(C)
【解析】本题考查 的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.
因为对矩阵 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了
的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.
以3阶矩阵为例,若 ,
条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有 ,所以
(A)、
(B)不满足题意,不可选.
若 ,则 ,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.
这样用排除法可知应选(C).
三、(本题满分15分,每小题5分.)Born to win
(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求 ,也可以先求 .
方法一：先求 ,由复合函数求导法,
,
再对 求偏导,得
.
方法二：先求 ,
,
再对 求偏导数,得
.
【相关知识点】复合函数求导法则：若 和 在点 处偏导数存在,函
数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数 在点
处的偏导数存在,且
.
(2)【解析】方法一：先求出 ,再求曲线积分.Born to win
设 有连续偏导数,在所给的单连通区域 上, 与路径无
关,则在 上有 ,所以 即 .由 =0,得
,即 ,因此
.
或取特殊路径如图：
.
方法二：不必求出 ,选取特殊的路径,取积分路径如图,则
.
(3)【解析】利用三重积分的性质,
关于 平面对称, 对 为奇函数,所以 ,即 .
是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为 轴、半顶角为 的锥面所
围成.故可选用球坐标变换,则 ,
所以
.
四、(本题满分6分.)
【解析】直接展开 相对比较麻烦,可 容易展开,Born to win
.
由 ,令 得
即
所以
,
当 时,式 均收敛,而左端 在 处无定义.
因此 .
五、(本题满分7分.)
【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律,
,
所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得
,
再求导,得
,即 .
这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为 ,
此特征方程的根为 ,而右边的 可看作 , 为特征根,因此非
齐次方程有特解 .Born to win
代入方程并比较系数,得 ,故 ,所以
,
又因为 ,所以 ,即 .
六、(本题满分7分.)
【解析】方法一：判定方程 等价于判定函数 与 的交点个数.
令 ,
其中 是定积分,为常数,且被积函数 在 非负,故
,为简化计算,令 ,即 ,
则其导数 ,令 解得唯一驻点 ,
即 ,
所以 是最大点,最大值为 .
又因为 ,由连续函数的介值定理知在 与
各有且仅有一个零点(不相同),故方程 在 有且仅有两个
不同实根.
方法二： ,
因为当 时, ,所以
,
其它同方法一.
七、(本题满分6分.)
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.
第一行分别乘以有 、 加到第二行和第三行上,再第二行乘以 加到第三行
上, 有Born to win
.
由于方程组有解的充要条件是 ,故仅当 ,即 时,方程组有解.此
时秩 ,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解.
由同解方程组 令 解得原方程组的通解
(其中 为任意常数).
【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：
设 是 矩阵,线性方程组 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵 的秩,即是 (或者说, 可由 的列向量 线表出,
亦等同于 与 是等价向量组)
设 是 矩阵,线性方程组 ,则
（1） 有唯一解
（2） 有无穷多解
（3） 无解
不能由 的列向量 线表出.
八、(本题满分8分.)
【解析】(1)由 为 的特征值可知,存在非零向量 使 ,两端左乘 ,得
.因为 ,故 ,于是有 .按特征值定义知 是 的特征
值.
(2)由于逆矩阵的定义 ,据第(1)问有 ,按特征值定
义,即 为伴随矩阵 的特征值.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 是 阶矩阵,若存在数 及非零的 维列
向量 使得 成立,则称 是矩阵 的特征值,称非零向量 是矩阵 的特征向
量.Born to win
九、(本题满分9分.)
【解析】由球的对称性,不妨设球面 的球心是 ,
于是 的方程是 .
先求 与球面 的交线 ：
.
代入上式得 的方程 .
它在平面 上的投影曲线
相应的在平面 上围成区域设为 ,则球面 在定球面内部的那部分面积
.
将 的方程两边分别对 求偏导得
,
所以
.
利用极坐标变换 有Born to win
代入 ,化简得 .
这是一个关于 的函数,求 在 的最大值点, 两边对 求导,并令
,得 ,得 .
且 ,
故 时 取极大值,也是最大值.
因此,当 时球面 在定球面内部的那部分面积最大.
十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)
(1)【解析】
方法一： .
方法二： .
(2)【解析】设事件 =“甲射中”, =“乙射中”,依题意, , ,
与 相互独立, .
因此,有 .
.
(3)【解析】设事件 =“方程有实根”,而方程 有实根的充要条件是其判别
式 ,即 .
随机变量 在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为
由分布函数的定义 ,Born to win
而
所以由概率的可加性,有 .
【相关知识点】广义加法公式： .
条件概率： ,所以 .
十一、(本题满分6分.)
【解析】 , ,由独立的正态变量 与 的线性组合仍服从正态分布,
且
,
得 .
代入正态分布的概率密度公式,有 的概率密度函数为 .
【相关知识点】对于随机变量 与 均服从正态分布,则 与 的线性组合亦服从正态分布.
若 与 相互独立,由数学期望和方差的性质,有
,
,
其中 为常数.
