1999考研数三试题及解析公众号：小乖考研免费分享_06.数学三历年真题_普通版本数学三_1987-2002考研数（三）真题及解析

1999 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 sinx π （1） 设 f (x)有一个原函数 ,则∫ xf′(x)dx=___________. π x 2 4 【答】 −1 π sinx 【详解】 由题设 f (x)有一个原函数 ,则 x ′ ⎛sinx⎞ xcosx−sinx f (x)= ⎜ ⎟ = , ⎝ x ⎠ x2 从而 π π π π ∫ xf′(x)dx= ∫ xdf (x)= xf (x) π−∫ f (x)dx π π π 2 2 2 2 π π ⎛ sinx⎞ sinx 4 = ⎜ cosx− ⎟π− π= −1. ⎝ x ⎠ x π 2 2 ∞ ⎛1⎞ n−1 （2） ∑n ⎜ ⎟ =__________. ⎝2⎠ i=1 【答】 4 【详解】 考虑幂级数 ∞ S(x)=∑nxn−1,−1< x<1, i=1 x ∞ x ∞ x 因为∫ S(x)dx=∑∫ nxn−1dx=∑xndx= , 0 0 1−x i=1 i=1 ′ ⎛ x ⎞ 1 所以S(x)= ⎜ ⎟ = ,−1< x<1, ⎝1−x⎠ (1−x)2 ∞ ⎛1⎞ n−1 ⎛1⎞ 故∑n ⎜ ⎟ = S ⎜ ⎟ =4. ⎝2⎠ ⎝2⎠ i=1⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ (3) 设A= 0 2 0 ，而n≥2为整数,则An −2An−1 = . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 0 1 ⎝ ⎠ 【答】 O 【详解】 因为 ⎛1 0 1⎞ ⎛1 0 1⎞ ⎛2 0 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A2 = 0 2 0 i 0 2 0 = 0 4 0 =2A. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 0 1 1 0 1 2 0 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 故有 An −2An−1 = An−2(A2 −2A)=O. （4） 在天平上重复称量一重维a的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布， N ( 0,0.22) ，若以X 表示n称量结果的算术平均值，则为使P { X −a <0.1 } ≥0.95,n的 n n 最小值应不小于自然数=_________. 【答】 16 1 n ⎛ 0.22 ⎞ 【详解】 由于X = ∑X ~ N⎜a, ⎟, n n i ⎝ n ⎠ i=1 于是 X −a ⎛ 0.22 ⎞ u = n ~ N⎜0, ⎟. 0.2 ⎝ n ⎠ n { } 又因为P u <1.96 ≥0.95, ⎧ ⎫ { } ⎪ ⎪X −a n ⎪ ⎪ ⎛ n ⎞ 故要求P X n −a <0.1 = P⎨ 0 n .2 < 2 ⎬=2Φ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ −1≥0.95, ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪⎩ n ⎪⎭ ⎛ n ⎞ 即Φ⎜ ⎟≥0.975. ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ n 于是令 ≥1.96,解得n=16. 2 （5） 设随机变量X (i, j =1,2,(cid:34),n;n≥2)独立同分布，E ( X ) =2,则行列式 ij ij ⎡X X (cid:34) X ⎤ 11 12 1n ⎢ ⎥ X X (cid:34) X Y = ⎢ 21 22 2n⎥ 的数学期望E(Y)=________. ⎢ (cid:35) (cid:35) (cid:35) ⎥ ⎢ ⎥ X X (cid:34) X ⎣ ⎦ n1 n1 nn【答】 0 【详解】根据行列式的定义，有 Y = ∑ (−1)r(j 1 j 2 (cid:34)j n ) X X (cid:34)X , 1j 2j nj 1 2 n j j(cid:34)j 1 2 n 由于随机变量X (i, j =1,2,(cid:34),n;n≥2)独立同分布，因此有 ij E(Y)= ∑ (−1)r(j 1 j 2 (cid:34)j n ) E ( X X (cid:34)X ) 1j 2j nj 1 2 n j j(cid:34)j 1 2 n = ∑ (−1)r(j 1 j 2 (cid:34)j n ) E ( X ) ⋅E ( X ) ⋅(cid:34)⋅E ( X ) 1j 2j nj 1 2 n j j(cid:34)j 1 2 n E(X ) E(X ) (cid:34) E(X ) 2 2 (cid:34) 2 11 12 1n E(X ) E(X ) (cid:34) E(X ) 2 2 (cid:34) 2 = 21 22 2n = =0. (cid:35) (cid:35) (cid:35) (cid:35) (cid:35) (cid:35) E(X ) E(X ) (cid:34) E(X ) 2 2 (cid:34) 2 n1 n2 nn 二、选择题 （1） 设 f(x)是连续奇函数, F(x)是 f(x)的原函数,则 (A) 当 f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数 (B) 当 f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数 (C) 当 f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数 (D) 当 f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数 【 】 【答】 应选(A) x 【详解】 f(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=∫ f(t)dt+C,于是 0 −x x F(−x)=∫ f(t)dt+Cu =−t∫ f(−u)d(−u)+C. 0 0 当 f(x)为奇函数,即 f(−u)=−f(u),从而有 −x x F(−x)=∫ f(t)dt+C = ∫ f(t)dt+C = F(x). 0 0 即F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项, 至于(B),(C),(D)可分别举反例如下: 1 f(x)= x2是偶函数,但其原函数F(x)= x3 +1不是奇函数,可排除(B); 31 1 f(x)=cosx2是周期函数,但其原函数F(x)= x+ sin2x不是周期函数,可排除(C); 2 4 1 f(x)= x在区间(−∞,+∞)内是单调增函数,但其原函数F(x)= x2在区间(−∞,+∞) 2 内非单调增加函数,可排除(D). （2）设 f(x,y)连续，且 f(x,y) = xy+∫∫ f(u,v)dudv, 其中D是由y =0,y = x2,x =1 D 所围区域，则 f(x,y)等于 (A)xy （B）2xy 1 (C)xy+ (D) xy+1 8 【 】 【答】 (C) 【详解1】 令∫∫ f(u,v)dudv= A (∗) D 则 f(x,y)= xy+ A,将 f(x,y)= xy+ A代入(*)式得 ∫∫[uv+ A]dudv= A D 即 ∫∫[xy+ A]dxdy = A D 1 x2 1 ∫ dx∫ xydy+ A∫ x2dx= A 0 0 0 1 1 1 + A= A,解得A= 12 3 8 1 故 f(x,y)= xy+ 8 【详解2】 等式 f(x,y)= xy+∫∫ f(u,v)dudv两边取在区域D上的二重积分得: D ∫∫ f(x,y)dxdy =∫∫xydxdy+∫∫xydxdyi∫∫ f(u,v)dudvA D D D D 1 x2 1 ∫∫ f(x,y)dxdy =∫ dx∫ xydxdy+∫ x2dxi∫∫ f(x,y)dxdy 0 0 0 D D 1 1 ∫∫ f(x,y)dxdy = + ∫∫ f(x,y)dxdy 12 3 D D 由上式解得 1 ∫∫ f(x,y)dxdy = 8 D则 1 f(x,y)= xy+ 8 （3）设向量β可由向量组α,α,(cid:34)α 线形表示，但不能有向量组(Ⅰ) α,α,(cid:34)α 线 1 2 m 1 2 m−1 性表示，记向量组（Ⅱ）：α,α,(cid:34)α ,β，则： 1 2 m−1 (A) α 不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 m （B）α 不能由(Ⅰ)线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 m (C) α 可由(Ⅰ)线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 m (D) α 可由(Ⅰ)线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示 m 【 】 【答】 (B) 【详解】 由题设,存在k ,k ,(cid:34)k ,使得 1 2 m β=kα+kα +(cid:34)k α , 1 1 2 2 m m 且 k ≠0.否则与β不能由向量组α,α,(cid:34)α 线性表示矛盾,从而有 m 1 2 m−1 k k 1 α =− 1α−(cid:34)− m−1α + β, m k 1 k m−1 k m m m 即 α 可由向量组α,α,(cid:34)α ,β线性表示. m 1 2 m−1 又根据β不能由向量组α,α,(cid:34)α 线性表示知, α 一定不能由α,α,(cid:34)α 线性表示, 1 2 m−1 m 1 2 m 否则将α 用α,α,(cid:34)α 线性表示后代入(*)式,即可推出矛盾. m 1 2 m−1 因此正确选项为(B) （4）设A,B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则 (A)λE−A=λE−B. (B)A与B有相同的特征值和特征向量. (C) A与B都相似于一个对角矩阵 (D)对于任意常数t,tE−A与E−B相似 【 】 【答】 (D) 【详解】(A)首先贝排除，因它意味着A= B; A与B相似，A与B有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，故 (B)不成立；A与B不一定可以对角化，更谈不上都相似于一个对角矩阵，排除（C） 剩下（D）为正确答案. 因为A与B相似，所以存在n阶可逆矩阵P,使得P−1AP = B,进而有 P−1(tE−A)P =tE−B可见tE−A与E−B相似. ⎡−1 0 1⎤ （5）设随机变量X ~ ⎢ 1 1 1 ⎥(i =1,2),且满足P{X X =0}=1,，则P{X = X }等 i ⎢ ⎥ 1 2 1 2 ⎣ 4 2 4⎦ 于 1 1 (A)0. (B) . (C) . (D)1. 4 2 【 】 【答】 (A) 【详解】首先，列出二维随机变量(X ,X )的联合分布律及其边缘分布中的部分数值. 1 2 －1 0 1 p⋅i X X 1 2 －1 a b c 1 4 0 d h 1 f 2 1 g e k 1 4 p⋅ j 1 1 1 1 4 2 4 由于P{X X =0}=1,故P{X X ≠0}=0. 1 2 1 2 因此a=c= g =k =0. 根据边缘分布的性质 1 1 1 1 1 b= ,h= ,d = , f = ,e= −(b+h)=0. 4 4 4 4 2 可见有 P{X = X }= P{X =−1,X =−1}+P{X =0,X =0}+P{X =1,X =1}=0. 1 2 1 2 1 2 1 2 因此正确选项为（A）。 三 、（本题满分6分）1 曲线 y = 的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，试求切线方 x 程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？ 1 1 − 3 1 【详解】 由y = ,得y'=− x 2,则切点P(a, )处的切线方程为 x 2 a 1 1 y− =− (x−a). a 2 a3 3 切线与x轴和y轴的交点分别为A(3a,0)和B(0, ). 2 a 于是,三角形AOB的面积为 1 3 9 S = i3ai = a . 2 2 a 4 当切点沿x轴方向趋于无穷远时,有 lim S =+∞. a→+∞ 当切点沿 y轴方向趋于无穷远时,有 lim S =0. a→0+ 四 、（本题满分7分） 计算二重积分∫∫ydxdy,其中 D 是由x = −2,y =0,y = 2以及曲线x = 2y− y2 所围成 D 的平面区域.【详解1】 如图所示,D={(x,y)|0≤ y≤2,−2≤ x≤− 2y− y2}, 则 2 − 2y−y2 2 2 ∫∫ ydxdy =∫ ydy∫ dx=2∫ ydy−∫ y 2y− y2dy 0 −2 0 0 D 2 =4−∫ y 1−(y−1)2dy 0 令 y−1=sint,则 π 2 ∫ y 1−(y−1)2dy =∫2 (1+sint)cos2tdt π 0 − 2 π π π = ∫2 cos2tdt+∫2 cos2tsintdt = . − π − π 2 2 2 于是 π ∫∫ ydxdy =4− . 2 D 【详解2】 区域D和D 如图所示,有 1 ∫∫ ydxdy = ∫∫ ydxdy,−∫∫ ydxdy, D D+D D 1 1 易知 0 2 ∫∫ ydxdy =∫ dx∫ ydy =4. −2 0 D+D 1 π 而在极坐标系下,有D ={(r,θ)| ≤θ≤π,0≤r ≤2sinθ}, 1 2 于是 π 2sinθ 8 π ∫∫ ydxdy =∫ dθ∫ rsinθirdr = ∫ sin4θdθ π π 0 3 D 2 2 12 8 π⎛1−cos2θ⎞ π = ∫ ⎜ ⎟ dθ= . π 3 ⎝ 2 ⎠ 2 2 故 π ∫∫ ydxdy =4− . 2 D ∫∫ ydxdy 【详解3】由心形公式 y = D S D 知 ∫∫ ydxdy = yiS ,其中y为D的心形y坐标, D D 由 D 的图形不难看出 y =1, S 为积分域 D 的面积,该面积应为正方形减去半 D π 圆,S =4− D 2 则 π ∫∫ ydxdy =4− . 2 D 五 、（本题满分6分） 设生产某种产品必须投入两种元素，x 和x 分别为两元素要投入量，Q为产出量；若生 1 2 产函数为Q = 2xαxβ，其中αβ为正常数，且α+β=1。假设两种元素的价格分别为 p 和 p ， 1 2 1 2 试问：当产量为12时，两元素各投入多少可以使得投入总费用最小. 【详解】 根据题设,在产出量满足12=2xαxβ的条件下,求总费用C = p x + p x 的最小值, 1 2 1 1 2 2 为此构造拉格朗日函数 F(x ,x ,λ)= p x + p x +λ(12−2xαxβ). 1 2 1 1 2 2 1 2 ⎧∂F = p −2λαxα−1xβ =0, (1) ⎪ ∂x 1 1 2 ⎪ 1 ⎪∂F 令 ⎨ = p −2λβx α xβ−1, (2) ∂x 2 1 2 ⎪ 2 ⎪∂F ⎪ =12−2xαx β=0, (3) ⎩∂λ 1 2 由第1,2个方程,得 p βx pα 2 = 1 ,x = 2 x , p αx 1 pβ 2 1 2 1将x 代入第3个方程,得 1 α β ⎛ pβ⎞ ⎛ pα⎞ x =6⎜ 1 ⎟ ,x =6⎜ 2 ⎟ . 2 pα 1 pβ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 α β ⎛ pβ⎞ ⎛ pα⎞ 因驻点唯一,且实际问题存在最小值,故当x =6⎜ 1 ⎟ ,x =6⎜ 2 ⎟ .时,投入费 2 pα 1 pβ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 用最小. 六、（本题满分6分） 设有微分方程y′−2y =ϕ(x),其中 ⎧2, x<1, ϕ(x)=⎨ ⎩0, x>1. 试求出(−∞,+∞)内的连续函数y = y(x)，使之在(−∞,1)和(1,+∞)内都满足所给方程，且满 足条件y(0)=0. 【详解】 当x<1，y′−2y =2,其通解为 y =e ∫2dx ⎡ ∫2e −∫2dx dx+C ⎤ =e2x ⎡∫2e−2xdx+C ⎤ =Ce2x −1, ⎢ ⎣ 1⎥ ⎦ ⎣ 1⎦ 1 由 y(0)=0.得C =1,所以 1 y =e2x −1(x<1). 当x>1时，y′−2y =0,其通解为 y =C e ∫2dx =C e2x, 2 2 由 limC e2x = lim ( e2x −1 ) =e2 −1, x→1+ 2 x→1− 得 C e2 =e2 −1，即C =1−e−2, 2 2 所以y = ( 1−e−2) e2x,(x>1). 于是若补充定义 y(1)=e2 −1,则得在(−∞,+∞)内的连续函数⎧e2x −1, x≤1, ⎪ y(x)=⎨ ( 1−e2) e2x, x>1. ⎪⎩ 满足题中要求的全部条件. 七、（本题满分6分） x 1 2 设函数 f (x)连续，且∫ tf (2x−t)dt = arctanx2.已知 f (1)=1,求∫ f (x)dx的值 0 2 1 【详解】 作变量代换u =2x−t,则t =2x−u,dt =−du,于是 x x 2x 2x ∫ tf (2x−t)dt =−∫ (2x−u) f (u)du =2x∫ f (u)du−∫ uf (u)du, 0 2x x x 因此原函数变换为 2x 2x 1 2x∫ f (u)du−∫ uf (u)du = arctanx2, x x 2 上式两边对x求导，得 2x 2 2∫ f (u)du+2x⎡ ⎣ 2f (2x)− f (x)⎤ ⎦ −⎡ ⎣ 2xf (2x)⋅2−xf (x)⎤ ⎦ = x 1+x4, 即 2x x 2∫ f (u)du = +xf (x). x 1+x4 2 1 3 令x=1得2∫ f (u)du = +1= , 1 2 2 2 3 于是∫ f (x)dx= . 1 4 八、 （本题满分7分） ⎛1⎞ 设函数 f (x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f (0)= f (1)=0, f ⎜ ⎟ =1. ⎝2⎠ 试证： ⎛1 ⎞ （1） 存在η∈ ⎜ ,1 ⎟，使 f (η)=η; ⎝2 ⎠ （2） 对于任意实数λ，必存在ξ∈(0,η)，使得 f′(ξ)−λ⎡ ⎣ f (ξ)−ξ⎤ ⎦ =1. ⎡1 ⎤ 【详解】 （1） 令ϕ(x)= f (x)−x,则ϕ(x)在闭区间 ,1 上连续，且 ⎢ ⎥ ⎣2 ⎦ ⎛1⎞ 1 ⎛1 ⎞ ϕ ⎜ ⎟ = >0,ϕ(1)=−1<0,故由闭区间上连续函数的介值定理知，存在η∈ ⎜ ,1 ⎟使得 ⎝2⎠ 2 ⎝2 ⎠ ϕ(η)= f (η)−η=0,即 f (η)=η. （2）设 F(x)=⎡ ⎣ f (x)−x⎤ ⎦ e−λx, 则 F(x) 在[0,η] 上连续，在 (0,η) 内可导，且 F(0)=0,F(η)=e−λη⎡ ⎣ f (η)−η⎤ ⎦ =0, 即F(x)在[0,η]上满足罗尔定理的条件，故存在ξ∈(0,η)，使得F′(ξ)=0, e－λx{ f′(ξ)−λ⎡ ⎣ f (ξ)−ξ⎤ ⎦ −1 } =0, 于是有 f′(ξ)−λ⎡ ⎣ f (ξ)−ξ⎤ ⎦ =1. 九、（本题满分9分） ⎡ a −1 c ⎤ ⎢ ⎥ 设矩阵A= 5 b 3 ,且 A =−1.又设A 伴随矩阵A∗有特征值λ,属于λ的特 ⎢ ⎥ 0 0 ⎢1−c 0 −a⎥ ⎣ ⎦ 征向量为α=(−1,−1,1)T ,求a、b、c、及λ的值. 0 【详解】 根据题设A∗α=λα 0 又AA∗α= A E = −E AA∗α= A=λAα, 0 也即 ⎡ a −1 c ⎤⎡−1⎤ ⎡−1⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ λ 5 b 3 −1 =− −1 , 0 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1−c 0 −a⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 由此可得 ⎧λ(−a+1+c)=1, 0 ⎪ ⎨λ(−5−b+c)=1, 0 ⎪ λ(−1+c−a)=−1, ⎩ 0 解此方程组，得λ =1,b=−3,a=c.又由 A =−1和a =c有 0 a −1 c 5 b 3 =a−3=−1, 1−c 0 −a故a=c=2,因此a=2,b=−3,c=2,λ =1. 0 十、（本题满分7分） 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵.已知矩阵B=λE+ ATA试证：当λ>0时， 矩阵B为正定矩阵. 【详解】 因为 BT = ( λE+ ATA )T =λE+ ATA= B, 可见B为n阶实对称矩阵. 又对于任意的实n维向量x，有 xTBx = ( λE+ ATA ) x =λxTx+ xTATAx =λxTx+(Ax)T (Ax), 当x ≠0,有xTx >0,(Ax)T (Ax)≥0. 因此，当λ>0时，对任意的x ≠0,有 xTBx=λxTx+(Ax)T (Ax)>0 即B维正定矩阵. 十一、（本题满分9分） 假设二维随机变量(X,Y)在矩形G = {(x,y)|0≤ x≤2,0≤ y≤1 } 上服从均匀分布.记 ⎧0, X ≤Y, ⎧0, X ≤2Y, U =⎨ V =⎨ ⎩1, X >Y, ⎩1, X >2Y, （1） 求U和V的联合分布; （2） 求U和V的的相关系数r. 【详解】 如图所示，因(X,Y)在矩形区域G上服从均匀分布，所以1 1 1 P{X ≤Y}= ,P{X >2Y}= , P{Y < X ≤2Y}= 4 2 4 （1）(U,V)有四个可能取值；(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).每一点处取值的概率为: 1 P{U =0,V =0}= P{X ≤Y,X ≤2Y}= P{X ≤Y}= ; 4 P{U =1,V =1}= P{X ≤Y,X >2Y}=0; 1 P{U =1,V =0}= P{X >Y,X ≤2Y}= P{Y < X ≤2Y}= ; 4 ⎛1 1⎞ 1 P{U =1,V =1}=1− ⎜ + ⎟ = . ⎝4 4⎠ 2 （3） 由以上可见，UV 和U、V的分布为 ⎡0 1⎤ ⎡0 1⎤ ⎡0 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ UV ~ 1 1 ;U ~ 1 3 ;V ~ 1 1 . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣2 2⎦ ⎣4 4⎦ ⎣2 2⎦ 于是 3 3 1 1 1 E(U)= ,D(U)= ;E(V)= ,D(V)= ,E(UV)= . 4 16 2 4 2 故有 1 Cov(U,V)= E(UV)−E(U)⋅E(V)= . 8 Cov(U,V) 1 因此r = = D(U)⋅D(V) 3. 十二、（本题满分7分） 1 设X ,X ,(cid:34),X 是来自正态总体X 的简单随机样本，Y = (X +(cid:34)+ X ), 1 2 9 1 6 1 6 1 1 9 2(Y −Y ) Y = (X + X + X ), S2 = ∑(X −Y )2 ,Z = 1 2 ,证明统计量Z 服从自由度为 2 3 7 8 9 2 i 2 S i=7 2的t分布. 【详解】 设X ~ N ( µ,σ2) σ2 σ2 则有E(Y )= E(Y )=µ,D(Y )= ,D(Y )= . 1 2 1 6 2 3 由于Y 和Y 相互独立，因此有 1 2 σ2 σ2 σ2 E(Y −Y )=0,D(Y −Y )= + = , 1 2 1 2 6 3 2⎛ σ2 ⎞ 所以Y −Y ~ N⎜0, ⎟ 1 2 ⎝ 2 ⎠ Y −Y 从而U = 1 2 ~ N(0,1), σ 2 2S2 又由正态总体样本的方差的性质，知V = ~χ2(2). σ2 U 2(Y −Y ) 又因为Y −Y 与S2独立，因此 = 1 2 = Z ~t(2). 1 2 V S 2