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2001 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)设 ( 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通
解,则该方程为_____________.
(2)设 ,则div(gradr) =_____________.
(3)交换二次积分的积分次序: ＝_____________.
(4)设矩阵 满足 ,其中 为单位矩阵,则 =_____________.
(5)设随机变量 的方差是 ,则根据切比雪夫不等式有估计
_____________. y
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)设函数 在定义域内可导, 的图形如右图
所示,
O x
则 的图形为
(2)设 在点 附近有定义,且 ,则
(A) .
(B) 曲面 在 处的法向量为{3,1,1}.
(C) 曲线 在 处的切向量为{1,0,3}.(D) 曲线 在 处的切向量为{3,0,1}.
(3)设 ,则 在 =0处可导的充要条件为
(A) 存在. (B) 存在.
(C) 存在. (D) 存在.
(4)设 则 与
(A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.
(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.
(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系
数等于
(A)-1. (B) 0. (C) . (D) 1.
三、(本题满分6分)
求 .
四、(本题满分6分)
设函数 在点 处可微,且 , , ,
.求 .
五、(本题满分8分)
设 = 将 展开成 的幂级数,并求级数 的和.六、(本题满分7分)
计算 ,其中 是平面 与柱面
的交线,从 轴正向看去, 为逆时针方向.
七、(本题满分7分)
设 在 内具有二阶连续导数且 ,试证:
(1)对于 内的任一 ,存在惟一的 ,使 = + 成立;
(2) .
八、(本题满分8分)
设有一高度为 ( 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 (设长
度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为
130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
九、(本题满分6分)
设 为线性方程组 的一个基础解系, , ,
,其中 为实常数.试问 满足什么条件时, 也为 的一个
基础解系.
十、(本题满分8分)
已知3阶矩阵 与三维向量 ,使得向量组 线性无关,且满足 .
(1)记 =（ ）,求3阶矩阵 ,使 ;
(2)计算行列式 .
十一、(本题满分7分)
设某班车起点站上客人数 服从参数为 ( )的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为
( ),且中途下车与否相互独立.以 表示在中途下车的人数,求:
(1)在发车时有 个乘客的条件下,中途有 人下车的概率;
(2)二维随机变量 的概率分布.十二、(本题满分7分)
设总体 服从正态分布 ( ),从该总体中抽取简单随机样本 , , (
),其样本均值为 ,求统计量 的数学期望 .
2001 年考研数学一试题答案与解析
一、填空题
(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是 ,从而得知特征方程为
.
由此,所求微分方程为 .
(2)【分析】 先求gradr.
gradr= .
再求 divgradr=
= .
于是 divgradr| = .
(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 时
.由此看出二次积分 是二重积分的一个累次
积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为.
由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 :
.
见图.现可交换积分次序
原式= .
(4)【分析】 矩阵 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用
定义法.
因为 ,
故 ,即 .
按定义知 .
(5)【分析】 根据切比雪夫不等式
,
于是 .
二、选择题
(1)【分析】 当 时, 单调增 ,(A),(C)不对;
当 时, :增——减——增 :正——负——正,(B)不对,(D)对.
应选(D).
(2)【分析】 我们逐一分析.
关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由 在(0,0)存在两个偏导数 在(0,0)处可
微.因此(A)不一定成立.
关于(B)只能假设 在(0,0)存在偏导数 ,不保证曲面 在存在切平面.若存在时,法向量n= {3,1,-1}与{3,1,1}不
共线,因而(B)不成立.
关于(C),该曲线的参数方程为 它在点 处的切向量为
.
因此,(C)成立.
(3)【分析】 当 时, .
关于(A): ,
由此可知 .
若 在 可导 (A)成立,反之若(A)成立 .如 满
足(A),但 不 .
关于(D):若 在 可导,
.
(D)成立.反之(D)成立 在 连续, 在 可
导.如 满足(D),但 在 处不连续,因而 也不 .
再看(C):
(当它们都 时).
注意,易求得 .因而,若 (C)成立.反之若(C)成立 (即
).因为只要 有界,任有(C)成立,如 满足(C),但 不 .
因此,只能选(B).(4)【分析】 由 ,知矩阵 的特征值是4,0,0,0.又因 是实对称矩阵,
必能相似对角化,所以 与对角矩阵 相似.
作为实对称矩阵,当 时,知 与 有相同的特征值,从而二次型 与 有相同的
正负惯性指数,因此 与 合同.
所以本题应当选(A).
注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如
与 ,
它们的特征值不同,故 与 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以 与 合
同.
(5)【分析】 解本题的关键是明确 和 的关系: ,即 ,在此基础上利用性质:
相关系数 的绝对值等于1的充要条件是随机变量 与 之间存在线性关系,即 (其
中 是常数),且当 时, ;当 时, ,由此便知 ,应选(A).
事实上, , ,由此由相关系数的定
义式有 .
三、【解】原式=
=
= .
四、【解】先求 .
求 ,归结为求 .由复合函数求导法
,.
注意 , .
因此 , .
五、【分析与求解】关键是将 展成幂级数,然后约去因子 ,再乘上 并化简即可.
直接将 展开办不到,但 易展开,即
, ①
积分得 , .②
因为右端积分在 时均收敛,又 在 连续,所以展开式在收敛区间端点
成立.
现将②式两边同乘以 得
=
=
, ,
上式右端当 时取值为1,于是
.上式中令 .
六、【解】用斯托克斯公式来计算.记 为平面 上 所
为围部分.由 的定向,按右手法则 取上侧, 的单位法向量
.
于是由斯托克斯公式得
=
= .
于是 .
按第一类曲面积分化为二重积分得
,
其中 围 在 平面上的投影区域 (图）.由 关于 轴的对称性及被积函数的奇
偶性得
.
七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理, , ,使
( 与 有关);又由 连续而 , 在 不变号, 在 严格单调,唯一.
(2)对 使用 的定义.由题(1)中的式子先解出 ,则有
.
再改写成 .
,
解出 ,令 取极限得
.
八、【解】(1)设 时刻雪堆的体积为 ,侧面积为 . 时刻雪堆形状如图所示
先求 与 .
侧面方程是 .
.
.
作极坐标变换: ,则
.用先二后一的积分顺序求三重积分 ,
其中 ,即 .
.
(2)按题意列出微分方程与初始条件.
体积减少的速度是 ,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即
将 与 的表达式代入得 ,即
. ①
. ②
(3)解①得 . 由②得 ,即 .
令 ,得 .因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.
九、【解】由于 是 线性组合,又 是 的解,所以根据齐
次线性方程组解的性质知 均为 的解.
从 是 的基础解系,知 .
下面来分析 线性无关的条件.设 ,即
.
由于 线性无关,因此有
(*)因为系数行列式
,
所以当 时,方程组(*)只有零解 .
从而 线性无关.
十、【解】(1)由于 ,即
,
所以 .
(2)由(1)知 ,那么 ,从而
.
十一、【解】 (1) .
(2) =
=
十二、【解】 易见随机变量 , , 相互独立都服从正态分布.因此可以将它们看作是取自总体 的一个容量为 的简单随机样本.其样
本均值为 ,
样本方差为 .
因样本方差是总体方差的无偏估计,故 ,即 .
