2004考研数学一真题及答案解析公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_1987-2016考研数学（一）真题答案与解析

无忧教育加油站 2004年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为__________ . (2)已知 ,且 ,则 =__________ . f(ex) xex f(1)0 f(x) (3)设 L 为正向圆周 x2  y2  2 在第一象限中的部分,则曲线积分 xdy2ydx 的值 L 为__________. d2y dy (4)欧拉方程x2 4x 2y 0(x 0)的通解为__________ . dx2 dx 2 1 0   (5)设矩阵A 1 2 0 ,矩阵B满足ABA* 2BA*E,其中A*为A的伴随矩阵,E   0 0 1   是单位矩阵,则 =__________ . B (6)设随机变量 服从参数为 的指数分布,则 = __________ . X  P{X  DX} 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把 x 0时的无穷小量   x cost2dt,  x2 tan tdt,  x sint3dt ,使排在后面的 0 0 0 是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A),, (B),, (C),, (D),, (8)设函数 f(x)连续,且 f (0) 0,则存在0,使得 (A) f(x)在(0,)内单调增加 (B) f(x)在(,0)内单调减少 (C)对任意的x(0,)有 f(x) f(0) (D)对任意的x(,0)有 f(x) f(0) 1无忧教育加油站  (9)设a 为正项级数,下列结论中正确的是 n n1  (A)若limna =0,则级数a 收敛 n n n n1  (B)若存在非零常数,使得limna ,则级数a 发散 n n n n1  (C)若级数a 收敛,则limn2a 0 n n n n1  (D)若级数a 发散, 则存在非零常数,使得limna  n n n n1 t t (10)设 f(x)为连续函数,F(t)   dy f(x)dx,则F(2)等于 1 y (A)2f(2) (B) f(2) (C)f(2) (D) 0 (11)设A是 3 阶方阵,将A的第 1 列与第 2 列交换得B,再把B的第 2 列加到第 3 列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为 0 1 0 0 1 0     (A) 1 0 0 (B) 1 0 1     1 0 1 0 0 1     0 1 0 0 1 1     (C) 1 0 0 (D) 1 0 0     0 1 1 0 0 1     (12)设A,B为满足ABO的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (13) 设 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 对 给 定 的 , 数 满 足 X N(0,1), (01) u  ,若 ,则 等于 P{X u } P{X  x} x  2无忧教育加油站 u u (A) (B)   1 2 2 u (C) 1 (D) u 1 2 1 n (14)设随机变量 X 1 ,X 2 ,  ,X n (n 1)独立同分布,且其方差为2 0. 令Y  n X i , i1 则 2 (A)Cov(X ,Y) (B)Cov(X ,Y)2 1 n 1 n2 n1 (C)D(X Y)  2 (D)D(X Y)  2 1 n 1 n 三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) (15)(本题满分12分) 4 设eabe2,证明ln2bln2a (ba). e2 3无忧教育加油站 (16)(本题满分11分) 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速 伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700km/h 经测试,减速伞打 开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点 k 6.0106). 算起,飞机滑行的最长距离是多少? (注:kg表示千克,km/h表示千米/小时) 4无忧教育加油站 (17)(本题满分12分) I 2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy, 计算曲面积分 其中是曲面z 1x2  y2(z 0)的  上侧. 5无忧教育加油站 (18)(本题满分11分) 设有方程 ,其中 为正整数.证明此方程存在惟一正实根 ,并证明当 xn nx10 n x n  1时,级数x收敛. n n1 6无忧教育加油站 (19)(本题满分12分) 设 是由 确定的函数,求 的极值点和 z  z(x,y) x2 6xy10y2 2yzz2 180 z  z(x,y) 极值. 7无忧教育加油站 (20)(本题满分9分)  (1a)x x  x 0, 1 2  n  设有齐次线性方程组   2x 1 (2a)x 2   2x n 0, (n2) ,   nx nx  (na)x 0,  1 2  n 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. 8无忧教育加油站 (21)(本题满分9分)  1 2 3   设矩阵A 1 4 3 的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似    1 a 5    对角化. 9无忧教育加油站 10无忧教育加油站 (22)(本题满分9分) 1 1 1 设A,B为随机事件,且P(A) ,P(B| A) ,P(A|B) ,令 4 3 2 1, A发生, 1, B发生, X   Y   0,A不发生; 0,B不发生. 求:(1)二维随机变量 的概率分布. (2) 和 的相关系数 (X,Y) X Y  . XY 11无忧教育加油站 (23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为  1 1 ,x 1, F(x,)   x x 1,   0, 其中未知参数 为来自总体 的简单随机样本, 1,X 1 ,X 2 ,  ,X n X 求:(1)的矩估计量. (2)的最大似然估计量 12无忧教育加油站 2004年数学一试题分析、详解和评注 一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线y=lnx上与直线 垂直的切线方程为 . 【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。 【详解】 由 ，得x=1, 可见切点为 ，于是所求的切线方程为 ， 即 . 【评注】 本题也可先设切点为 ，曲线y=lnx过此切点的导数为 ，得 ，由此可 知所求切线方程为 ， 即 . 本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知 ，且f(1)=0, 则f(x)= . 【分析】 先求出 的表达式，再积分即可。 【详解】 令 ，则 ，于是有 ， 即 积分得 . 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= . 【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。 完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题. （3）设 为正向圆周 在第一象限中的部分，则曲线积分 的值为 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正向圆周 在第一象限中的部分，可表示为 于是 = 【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为 定积分计算即可. 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11，《考研数学大串讲》P122例5、例7 . （4）欧拉方程 的通解为 . 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 化为常系数线性齐次微分方程即可。 【详解】 令 ，则 ， 13无忧教育加油站 ， 代入原方程，整理得 ， 解此方程，得通解为 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 ，则欧拉方程 ， 可化为 完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.，《考研数学大 串讲》P75例12. （5）设矩阵 ，矩阵B满足 ，其中 为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 . 【分析】 可先用公式 进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A，得 ， 而 ，于是有 ， 即 ， 再两边取行列式，有 ， 而 ，故所求行列式为 【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵 ，一般均应先利用公式 进行化简。 完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2，P118例9 （6）设随机变量X服从参数为 的指数分布，则 = . 【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。 【详解】 由题设，知 ，于是 = = 【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。 14无忧教育加油站 完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题. 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选 项前的字母填在题后的括号内） （7）把 时的无穷小量 ，使排在后面的是前一 个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ B ] 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可. 【详解】 ，可排除(C),(D)选项， 又 = ，可见 是比 低阶的无穷小量，故应选(B). 【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将 分别与 进行比较，再确定相互的高低次序. 完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题. （8）设函数f(x)连续，且 则存在 ，使得 (A) f(x)在（0， 内单调增加. （B）f(x)在 内单调减少. (C) 对任意的 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的 有f(x)>f(0) . [ C ] 【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的 定义及极限的保号性进行分析即可。 【详解】 由导数的定义，知 ， 根据保号性，知存在 ，当 时，有 即当 时，f(x)f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。 完全类似例题见《数学一临考演习》P28第10题. （9）设 为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若 =0，则级数 收敛. （B） 若存在非零常数 ，使得 ，则级数 发散. (C) 若级数 收敛，则 . 15无忧教育加油站 (D) 若级数 发散, 则存在非零常数 ，使得 . [ B ] 【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项. 【详解】 取 ，则 =0，但 发散，排除(A)，(D)； 又取 ，则级数 收敛，但 ，排除(C), 故应选(B). 【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式， ，而级数 发散，因此级数 也发散，故应选(B). 完全类似的例题见《数学复习指南》P213例8.13. （10）设f(x)为连续函数， ，则 等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ] 【分析】 先求导，再代入t=2求 即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t. 【详解】 交换积分次序，得 = 于是， ，从而有 ，故应选(B). 【评注】 在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: 否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。 完全类似例题见《数学最后冲刺》P184例12，先交换积分次序再求导. （11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的 可逆矩阵Q为 (A) . (B) . (C) . (D) . [ D ] 【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而 Q即为此两个初等矩阵的乘积。 【详解】由题设，有 ， ， 于是， 可见，应选(D). 【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P196例2.2 16无忧教育加油站 （12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. [ A ] 【分析】A,B的行列向量组是否线性相关，可从A,B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分 析讨论. 【详解1】 设A为 矩阵，B 为 矩阵，则由AB=O知， . 又A,B为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)e时， 所以 单调减少，从而 ，即 ， 故 . 【证法2】 设 ，则 ， , 18无忧教育加油站 所以当x>e时， 故 单调减少，从而当 时， ， 即当 时， 单调增加. 因此当 时， ， 即 ， 故 . 【评注】 本题也可设辅助函数为 或 ，再用单调性进行证明即可。 完全类似的例题见《数学复习指南》P347例13.31及P344的[解题提示], 《考研数学大串讲》P65例13. （16）（本题满分11分） 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速 减速并停下. 现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与 飞机的速度成正比（比例系数为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？ 注kg表示千克，km/h表示千米/小时. 【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。 【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度 . 从飞机接触跑道开始记时， 设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t). 根据牛顿第二定律，得 . 又 ， 由以上两式得 ， 积分得 由于 ，故得 ，从而 当 时， 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】 根据牛顿第二定律，得 , 所以 19无忧教育加油站 两端积分得通解 ，代入初始条件 解得 ， 故 飞机滑行的最长距离为 或 由 ， 知 ， 故 最 长 距 离 为 当 时 ， 【详解3】 根据牛顿第二定律，得 , ， 其特征方程为 ，解之得 ， 故 由 ， 得 于是 当 时， 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为 或 的极限值，这种条件应引起注意. 完全类似的例题见《数学最后冲刺》P98-99例10-11. （17）（本题满分12分） 计算曲面积分 其中 是曲面 的上侧. 【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影 法求解即可. 【详解】 取 为xoy平面上被圆 所围部分的下侧，记 为由 与 围成的空间闭区 域，则 20无忧教育加油站 由高斯公式知 = = 而 ， 故 【评注】 本题选择 时应注意其侧与 围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在 上直 接投影积分时，应注意符号( 取下侧，与z轴正向相反，所以取负号). 完全类似的例题见《数学复习指南》P325例12.21，《数学题型集粹与练习题集》P148例10.17（2）, 《数学一 临考演习》P38第19题. （18）（本题满分11分） 设有方程 ，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 ，并证明当 时，级数 收敛. 【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。 【证】 记 由 ， ，及连续函数的介 值定理知，方程 存在正实数根 当x>0时， ，可见 在 上单调增加, 故方程 存在惟一正实 数根 由 与 知 ，故当 时， . 而正项级数 收敛，所以当 时，级数 收敛. 【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念 21无忧教育加油站 清楚，应该可以轻松求证。 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P91例6.15(有关根的存在性与惟一性证明), 收敛性证明用比 较法很简单. （19）（本题满分12分） 设z=z(x,y)是由 确定的函数，求 的极值点和极值. 【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二 阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【详解】 因为 ，所以 ， . 令 得 故 将上式代入 ，可得 或 由于 ， ， 所以 ， ， ， 故 ，又 ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 类似地，由 ， ， ， 可知 ，又 ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9, -3)= -3. 【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。 完全类似的例题见《数学复习指南》P277例10.31. 22无忧教育加油站 （20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. 【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换 化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式 的值必为零，由此对参数a的可能取值进行讨论即可。 【详解1】 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有 当a=0时， r(A)=1