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2005年考研数学（三）真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）极限 = .
（2） 微分方程 满足初始条件 的特解为______.
（3）设二元函数 ，则 ________.
（4）设行向量组 ， ， ， 线性相关，且 ，则a=_____.
（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从 中任取一个数，记为Y, 则
=______.
（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为
X Y 0 1
0 0.4 a
1 b 0.1
已知随机事件 与 相互独立，则a= ， b= .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把
所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）当a取下列哪个值时，函数 恰好有两个不同的零点.
(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ]
（8）设 , , ,其中
，则
(A) . （B） .
(C) . (D) . [ ]
（9）设 若 发散， 收敛，则下列结论正确的是
(A) 收敛， 发散 . （B） 收敛， 发散.
(C) 收敛. (D) 收敛. [ ]
（10）设 ,下列命题中正确的是
(A) f(0)是极大值， 是极小值. （B） f(0)是极小值， 是极大值.
（C） f(0)是极大值， 也是极大值. (D) f(0)是极小值， 也是极小值.
[ ]
（11）以下四个命题中，正确的是
(A) 若 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.
1（B）若 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.
（C）若 在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.
(D) 若 在（0，1）内有界，则 在（0，1）内有界. [ ]
（12）设矩阵A= 满足 ，其中 是A的伴随矩阵， 为A的转置矩阵. 若
为三个相等的正数，则 为
(A) . (B) 3. (C) . (D) . [ ]
（13）设 是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ， 线性无
关的充分必要条件是
(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]
（14） 设一批零件的长度服从正态分布 ，其中 均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得
样本均值 ，样本标准差 ，则 的置信度为0.90的置信区间是
(A) (B)
(C) (D) [ ]
三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分8分）
求
（16）（本题满分8分）
设f(u)具有二阶连续导数，且 ，求
（17）（本题满分9分）
计算二重积分 ，其中 .
（18）（本题满分9分）
求幂级数 在区间(-1,1)内的和函数S(x).
（19）（本题满分8分）
设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0, , .证明：对任何a ,有
（20）（本题满分13分）
已知齐次线性方程组
2（i）
和
（ii）
同解，求a,b, c的值.
（21）（本题满分13分）
设 为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为 矩阵.
(I) 计算 ，其中 ；
（II）利用(I)的结果判断矩阵 是否为正定矩阵，并证明你的结论.
（22）（本题满分13分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求：（I） (X,Y)的边缘概率密度 ；
（II） 的概率密度
( III )
（23）（本题满分13分）
设 为 来 自 总 体 N(0, ) 的 简 单 随 机 样 本 ， 为 样 本 均 值 ， 记
求：（I） 的方差 ；
（II） 与 的协方差
（III）若 是 的无偏估计量，求常数c.
32005年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）极限 = 2 .
【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.
【详解】 =
（2） 微分方程 满足初始条件 的特解为 .
【分析】 直接积分即可.
【详解】 原方程可化为 ，积分得 ，
代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.
（3）设二元函数 ，则 .
【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可.
【详解】 ,
,
于是 .
（4）设行向量组 ， ， ， 线性相关，且 ，则a= .
【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.
【详解】 由题设，有
, 得 ，但题设 ，故
（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从 中任取一个数，记为Y, 则
= .
【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为
完备事件组或样本空间的划分.
【详解】 = +
+ +
=
（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为
X Y 0 1
0 0.4 a
1 b 0.1
已知随机事件 与 相互独立，则a= 0. 4 , b= 0. 1 .
4【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b
的取值.
【详解】 由题设，知 a+b=0.5
又事件 与 相互独立，于是有
，
即 a= , 由此可解得 a=0.4, b=0.1
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把
所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）当a取下列哪个值时，函数 恰好有两个不同的零点.
(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ]
【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值
为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.
【详解】 = ，知可能极值点为x=1,x=2，且
，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B).
（ 8 ） 设 , , , 其 中
，则
(A) . （B） .
(C) . (D) . [ A ]
【分析】 关键在于比较 、 与 在区域 上的大小.
【详解】 在区域 上，有 ，从而有
由于cosx在 上为单调减函数，于是
因此 ，故应选(A).
（9）设 若 发散， 收敛，则下列结论正确的是
(A) 收敛， 发散 . （B） 收敛， 发散.
(C) 收敛. (D) 收敛. [ D ]
【分析】 可通过反例用排除法找到正确答案.
5【详解】 取 ，则 发散， 收敛，
但 与 均发散，排除(A),(B)选项，且 发散，进一步排除(C), 故应选(D).
事实上，级数 的部分和数列极限存在.
（10）设 ,下列命题中正确的是
(B) f(0)是极大值， 是极小值. （B） f(0)是极小值， 是极大值.
（C） f(0)是极大值， 也是极大值. (D) f(0)是极小值， 也是极小值.
[ B ]
【分析】 先求出 ，再用取极值的充分条件判断即可.
【详解】 ，显然 ，
又 ，且 ，故f(0)是极小值， 是极大值，应
选(B).
（11）以下四个命题中，正确的是
(A) 若 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.
（B）若 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.
（C）若 在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.
(D) 若 在（0，1）内有界，则 在（0，1）内有界. [ C ]
【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可.
【详解】 设f(x)= , 则f(x)及 均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B); 又
在（0，1）内有界，但 在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C).
（12）设矩阵A= 满足 ，其中 是A的伴随矩阵， 为A的转置矩阵. 若
为三个相等的正数，则 为
(A) . (B) 3. (C) . (D) . [ A ]
【分析】 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：
.
【详解】 由 及 ，有 ，其中 为 的代数余子式，且
或
6而 ，于是 ，且 故正确选项为(A).
（13）设 是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ， 线性无
关的充分必要条件是
(A) . (B) . (C) . (D) . [ D ]
【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.
【详解】 方法一：令 ，则
， .
由于 线性无关，于是有
当 时，显然有 ，此时 ， 线性无关；反过来，若 ， 线性
无关，则必然有 (,否则， 与 = 线性相关)，故应选(B).
方法二： 由于 ，
可见 ， 线性无关的充要条件是 故应选(D).
（14） 设一批零件的长度服从正态分布 ，其中 均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得
样本均值 ，样本标准差 ，则 的置信度为0.90的置信区间是
(A) (B)
(C) (D) [ C ]
【分析】 总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：
【详解】 由正态总体抽样分布的性质知， ， 故 的置信度为0.90的置信区间是
，即 故应选(C).
三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
7（15）（本题满分8分）
求
【分析】 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.
【详解】
=
=
=
（16）（本题满分8分）
设f(u)具有二阶连续导数，且 ，求
【分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.
【详解】 由已知条件可得
，
，
，
，
所以
=
=
（17）（本题满分9分）
计算二重积分 ，其中 .
【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.
【详解】 记 ，
8，
于是 =
=
= + =
（18）（本题满分9分）
求幂级数 在区间(-1,1)内的和函数S(x).
【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，
从而达到求和的目的.
【详解】 设
，
， ，
则 ，
由于
= ，
,
因此 ，
又由于 ，故
所以
（19）（本题满分8分）
设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0, , .证明：对任何a ,有
9【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.
【详解】 方法一：设
，
则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且
，
由于 时， ，因此 ，即F(x)在[0，1]上单调递减.
注意到
，
而
= ，
故F(1)=0.
因此 时， ，由此可得对任何 ，有
方法二：
= ，
=
由于 时， ，因此
， ，
，
从而
（20）（本题满分13分）
已知齐次线性方程组
10（i）
和
（ii）
同解，求a,b, c的值.
【分析】 方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定a，这样先求出（i）的通
解，再代入方程组（ii）确定b,c即可.
【详解】 方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）与（ii）
同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.
对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换
，
从而a=2. 此时，方程组（i）的系数矩阵可化为
，
故 是方程组（i）的一个基础解系.
将 代入方程组（ii）可得
或
当 时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有
，
显然此时方程组（i）与（ii）同解.
当 时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有
，
显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同.
综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i）与（ii）同解.
（21）（本题满分13分）
设 为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为 矩阵.
(I) 计算 ，其中 ；
（II）利用(I)的结果判断矩阵 是否为正定矩阵，并证明你的结论.
【分析】 第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.
11【详解】 (I) 因 ，有
=
=
= .
（II）矩阵 是正定矩阵.
由(I)的结果可知，矩阵D合同于矩阵
又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.
因 矩 阵 M 为 对 称 矩 阵 ， 故 为 对 称 矩 阵 . 对 及 任 意 的
，有
故 为正定矩阵.
（22）（本题满分13分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求：（I） (X,Y)的边缘概率密度 ；
（II） 的概率密度
( III )
【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即
先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可.
【详解】 （I） 关于X的边缘概率密度
= =
=
关于Y的边缘概率密度
12= =
=
（II） 令 ，
1） 当 时， ；
2） 当 时，
= ;
3) 当 时，
即分布函数为：
故所求的概率密度为：
（III）
（23）（本题满分13分）
设 为 来 自 总 体 N(0, ) 的 简 单 随 机 样 本 ， 为 样 本 均 值 ， 记
求：（I） 的方差 ；
（II） 与 的协方差
（III）若 是 的无偏估计量，求常数c.
【分析】 先将 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求 与 的协方差
13，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计 ，利用
其数学期望等于 确定c即可.
【详解】 由题设，知 相互独立，且
，
（I）
=
=
（II）
=
=
=
=
=
（III）
=
= ，
故
14
