文档内容
2016年湖北省咸宁市中考数学试卷
一、精心选一选选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分再给出的四个选项中只有一项
释符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．冰箱冷藏室的温度零上5℃，记作+5℃，保鲜室的温度零下7℃，记作（ ）
A．7℃ B．﹣7℃C．2℃ D．﹣12℃
2．如图，直线l ∥l ，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为（ ）
1 2
A．50° B．45° C．40° D．30°
3．近几年来，我市加大教育信息化投入，投资201000000元，初步完成咸宁市教育公共云服
务平台基础工程，教学点数字教育资源全覆盖，将201000000用科学记数法表示为（ ）
A．20.1×107 B．2.01×108 C．2.01×109 D．0.201×1010
4．下面四个几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． ﹣ = B． =﹣3C．a•a2=a2 D．（2a3）2=4a6
6．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，5，x，6，7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据
的众数和中位数分别是（ ）
A．4，5 B．4，4 C．5，4 D．5，5
7．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：
① = ；② = ；③ = ；④ =
其中正确的个数有（ ）
第1页（共28页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4 ，点P是对角
线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（1， ） C．（ ， ） D．（ ， ）
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填在答案卷相应题号的横
线上）
9．代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10．关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b
的值：b=______．
11．a，b互为倒数，代数式 ÷（ + ）的值为______．
12．一个布袋内只装有一个红球和2个黄球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球
后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黄球的概率是______．
13．端午节那天，“味美早餐店”的粽子打9折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了54元钱，
比平时多买了3个，求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖x元，列方程为______．
14．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、
CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为______．
第2页（共28页）15．用m根火柴棒恰好可拼成如图1所示的a个等边三角形或如图2所示的b个正六边形，
则 =______．
16．如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是 上的一动点（不与A、B重合），点
F是 上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论：
① = ；
②△OGH是等腰三角形；
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；
④△GBH周长的最小值为4+ ．
其中正确的是______（把你认为正确结论的序号都填上）．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）解答题
第3页（共28页）17．（1）计算：|﹣2|﹣20160+（ ）﹣2
（2）解不等式组： ．
18．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符
号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整
的已知和求证．
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，______
求证：______．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
19．某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量
的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司的
随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，（每组数据包括在右端
点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是______．
第4页（共28页）（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数．
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用
水全部享受基本价格？
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点A
（m，2），将直线y=2x向下平移后与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点P，且
△POA的面积为2．
（1）求k的值．
（2）求平移后的直线的函数解析式．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆
心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
第5页（共28页）22．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销
售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该
款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
23．阅读理解：
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边
形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 的值叫做这个平
行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度，则这个平行四边形的变形度是
______．
猜想证明：
（2）设矩形的面积为S ，其变形后的平行四边形面积为S ，试猜想S ，S ， 之间的数量
1 2 1 2
关系，并说明理由；
拓展探究：
第6页（共28页）（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2=AE•AD，这个矩形发生变形后为
平行四边形A B C D ，E 为E的对应点，连接B E ，B D ，若矩形ABCD的面积为4 （m＞
1 1 1 1 1 1 1 1 1
0），平行四边形A B C D 的面积为2 （m＞0），试求∠A E B +∠A D B 的度数．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
24．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），取一点B（b，0），连接AB，做线
段AB的垂直平分线l ，过点B作x轴的垂线l ，记l ，l 的交点为P．
1 2 1 2
（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些
点P竟然在一条曲线L上！
①设点P的坐标为（x，y），试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；
②设点P到x轴，y轴的距离分别是d ，d ，求d +d 的范围，当d +d =8时，求点P的坐标；
1 2 1 2 1 2
③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直
线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围．
第7页（共28页）2016 年湖北省咸宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分再给出的四个选项中只有一项
释符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．冰箱冷藏室的温度零上5℃，记作+5℃，保鲜室的温度零下7℃，记作（ ）
A．7℃ B．﹣7℃C．2℃ D．﹣12℃
【考点】正数和负数．
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：∵冰箱冷藏室的温度零上5℃，记作+5℃，
∴保鲜室的温度零下7℃，记作﹣7℃．
故选：B．
2．如图，直线l ∥l ，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为（ ）
1 2
A．50° B．45° C．40° D．30°
【考点】平行线的性质．
【分析】先依据平行线的性质可求得∠ABC的度数，然后在直角三角形CBD中可求得∠BCD
的度数．
【解答】解：∵l ∥l ，
1 2
∴∠1=∠ABC=50°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°．
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°．
∴∠BCD=40°．
故选：C．
第8页（共28页）3．近几年来，我市加大教育信息化投入，投资201000000元，初步完成咸宁市教育公共云服
务平台基础工程，教学点数字教育资源全覆盖，将201000000用科学记数法表示为（ ）
A．20.1×107B．2.01×108C．2.01×109D．0.201×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将201000000用科学记数法表示为2.01×108．
故选B．
4．下面四个几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图；中心对称图形．
【分析】首先得出各几何体的主视图的形状，进而结合中心对称图形的定义得出答案．
【解答】解：A、立方体的主视图是正方形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、球体的主视图是圆，是中心对称图形，故此选项错误；
C、圆锥的主视图是等腰三角形，不是中心对称图形，故此选项正确；
D、圆柱的主视图是矩形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
5．下列运算正确的是（ ）
A． ﹣ = B． =﹣3 C．a•a2=a2 D．（2a3）2=4a6
【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；二次根式的性质与化简．
【分析】直接利用二次根式加减运算法则以及积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则、同底
数幂的乘法运算法则、二次根式的性质分别化简判断即可．
【解答】解：A、 ﹣ 无法计算，故此选项错误；
B、 =3，故此选项错误；
C、a•a2=a3，故此选项错误；
D、（2a3）2=4a6，正确．
故选：D．
6．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，5，x，6，7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据
的众数和中位数分别是（ ）
A．4，5 B．4，4 C．5，4 D．5，5
【考点】众数；算术平均数；中位数．
第9页（共28页）【分析】根据众数、算术平均数、中位数的概念，结合题意进行求解．
【解答】解：∵这组数据的平均数是5，
∴ =5，
解得：x=4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5，6，7，
则众数为：4，
中位数为：5．
故选A．
7．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：
① = ；② = ；③ = ；④ =
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心．
【分析】BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，即DE是△ABC的中位线，则
DE∥BC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质即可判断．
【解答】解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC，即 = ，
DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
= = = ，
故①正确，②错误，③正确；
设△ABC的BC边上的高AF，则S = BC•AF，S = S = BC•AF，
△ABC △ACD △ABC
第10页（共28页）∵△ODE中，DE= BC，DE边上的高是 × AF= AF，
∴S = × BC× AF= BC•AF，
△ODE
∴ = = ，故④错误．
故正确的是①③．
故选B．
8．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4 ，点P是对角
线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（1， ）C．（ ， ）D．（ ， ）
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．
【分析】如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点，
再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．
【解答】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
∵四边形OABC是菱形，
第11页（共28页）∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2 ，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD=PA+PD=DA，
∴此时PC+PD最短，
在RT△AOG中，AG= = = ，
∴AC=2 ，
∵OA•BK= •AC•OB，
∴BK=4，AK= =3，
∴点B坐标（8，4），
∴直线OB解析式为y= x，直线AD解析式为y=﹣ x+1，
由 解得 ，
∴点P坐标（ ， ）．
故选D．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填在答案卷相应题号的横
线上）
9．代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≥ 1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
10．关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b
的值：b= 3 ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据题意可知判别式△=b2﹣8＞0，从而求得b的取值范围，然后即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，
第12页（共28页）∴△=b2﹣8＞0，
∴b＞2 或b＜﹣2 ，
∴b为3，4，5等等，
∴b为3（答案不唯一）．
故答案为3．
11．a，b互为倒数，代数式 ÷（ + ）的值为 1 ．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，根据a，b互为倒数得出a•b=1，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：原式= ÷
=（a+b）•
=ab，
∵a，b互为倒数，
∴a•b=1，
∴原式=1．
故答案为：1．
12．一个布袋内只装有一个红球和2个黄球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球
后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黄球的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都
是黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是黄球的有4种情况，
∴两次摸出的球都是黄球的概率是 ，
故答案为： ．
第13页（共28页）13．端午节那天，“味美早餐店”的粽子打9折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了54元钱，
比平时多买了3个，求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖x元，列方程为 +3=
．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据端午节那天，“味美早餐店”的粽子打9折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了
54元钱，比平时多买了3个，设平时每个粽子卖x元，可以列出相应的分式方程．
【解答】解：由题意可得，
+3= ，
故答案为： +3= ．
14．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、
CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为 122 ° ．
【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角
形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求
∠BEC的度数．
【解答】解：在⊙O中，∵∠CBD=32°，
∵∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=÷2=58°，
∴∠BEC=180°﹣58°=122°．
故答案为：122°．
第14页（共28页）15．用m根火柴棒恰好可拼成如图1所示的a个等边三角形或如图2所示的b个正六边形，
则 = ．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】根据题意和图形可以得到a与m的关系式和b与m的关系式，从而可以得到b与a
的比值．
【解答】解：由题意可得，
3+（a﹣1）×2=m，6+（b﹣1）×5=m，
∴3+（a﹣1）×2=6+（b﹣1）×5，
化简，得 ，
故答案为： ．
16．如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是 上的一动点（不与A、B重合），点
F是 上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论：
① = ；
②△OGH是等腰三角形；
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；
④△GBH周长的最小值为4+ ．
其中正确的是 ①② （把你认为正确结论的序号都填上）．
【考点】圆的综合题．
【分析】①根据ASA可证△BOE≌△COF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，根据等弦对
等弧得到 = ，可以判断①；
②根据SAS可证△BOG≌△COH，根据全等三角形的性质得到∠GOH=90°，OG=OH，根据
等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形，可以判断②；
③通过证明△HOM≌△GON，可得四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，可
以判断③；
第15页（共28页）④根据△BOG≌△COH可知BG=CH，则BG+BH=BC=4，设BG=x，则BH=4﹣x，根据勾股定
理得到GH= = ，可以求得其最小值，可以判断④．
【解答】解：①如图所示，
∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE与△COF中，
，
∴△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴ = ，①正确；
②∵BE=CF，
∴△BOG≌△COH；
∵∠BOG=∠COH，∠COH+∠OBF=90°，
∴∠GOH=90°，OG=OH，
∴△OGH是等腰直角三角形，②正确．
③如图所示，
∵△HOM≌△GON，
∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误；
④∵△BOG≌△COH，
∴BG=CH，
∴BG+BH=BC=4，
设BG=x，则BH=4﹣x，
则GH= = ，
∴其最小值为2 ，D错误．
故答案为：①②．
第16页（共28页）三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）解答题
17．（1）计算：|﹣2|﹣20160+（ ）﹣2
（2）解不等式组： ．
【考点】解一元一次不等式组；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】（1）根据绝对值的性质、零指数幂、负整指数幂的运算法则分别计算可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式=2﹣1+4=5；
（2）解不等式组 ，
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＜5，
∴该不等式组的解集为：3＜x＜5．
18．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符
号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整
的已知和求证．
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上， PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB
求证： PD=PE ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO≌△PEO，由全等
三角形的性质可得结论．
【解答】解：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：PD=PE．
故答案为：PD=PE．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在△PDO和△PEO中，
第17页（共28页），
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD=PE．
19．某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量
的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司的
随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，（每组数据包括在右端
点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是 10 0 ．
（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数．
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用
水全部享受基本价格？
【考点】频数（率）分布直方图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据10～15吨部分的用户数和百分比进行计算；（2）先根据频数分布直方图中的
数据，求得“15吨～20吨”部分的用户数，再画图，最后根据该部分的用户数计算圆心角的
度数；（3）根据用水25吨以内的用户数的占比，求得该地区6万用户中用水全部享受基本价
格的户数．
【解答】解：（1）∵10÷10%=100（户）
∴样本容量是100；
（2）用水15～20吨的户数：100﹣10﹣36﹣24﹣8=22（户）
∴补充图如下：
第18页（共28页）“15吨～20吨”部分的圆心角的度数=360°× =79.2°
答：扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数为79.2°．
（3）6× =4.08（万户）
答：该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点A
（m，2），将直线y=2x向下平移后与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点P，且
△POA的面积为2．
（1）求k的值．
（2）求平移后的直线的函数解析式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由点A的纵坐标求得m，即点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数中即可；
（2）先求出PM，再求出BN然后用锐角三角函数求出OB，即可．
【解答】解：（1）∵点A（m，2）在直线y=2x，
∴2=2m，
∴m=1，
∴点A（1，2），
∵点A（1，2）在反比例函数y= 上，
∴k=2，
（2）如图，
第19页（共28页）设平移后的直线与y轴相交于B，过点P作PM⊥OA，BN⊥OA，AC⊥y轴
由（1）知，A（1，2），
∴OA= ，sin∠BON=sin∠AOC= = ，
∵S = OA×PM= × PM=2，
△POA
∴PM= ，
∵PM⊥OA，BN⊥OA，
∴PM∥BN，
∵PB∥OA，
∴四边形BPMN是平行四边形，
∴BN=PM= ，
∵sin∠BON= = = ，
∴OB=4，
∵PB∥AO，
∴B（0，﹣4），
∴平移后的直线PB的函数解析式y=2x﹣4
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆
心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得
到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积
即可确定出阴影部分面积．
【解答】解：（1）BC与⊙O相切．
第20页（共28页）证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD= OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S = = ，
扇形AOB
则阴影部分的面积为S ﹣S = ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ．
△ODB 扇形DOF
故阴影部分的面积为2 ﹣ ．
22．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销
售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该
款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．
第21页（共28页）（2））设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
（3）列出不等式先求出售价的范围，再确定销售数量即可解决问题．
【解答】解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．
（2）设每星期利润为W元，
W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．
∴x=55时，W最大值=6750．
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．
（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，
当x=52时，销售300+30×8=540，
当x=58时，销售300+30×2=360，
∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．
23．阅读理解：
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边
形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 的值叫做这个平
行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度，则这个平行四边形的变形度是
．
猜想证明：
（2）设矩形的面积为S ，其变形后的平行四边形面积为S ，试猜想S ，S ， 之间的数量
1 2 1 2
关系，并说明理由；
拓展探究：
（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2=AE•AD，这个矩形发生变形后为
平行四边形A B C D ，E 为E的对应点，连接B E ，B D ，若矩形ABCD的面积为4 （m＞
1 1 1 1 1 1 1 1 1
0），平行四边形A B C D 的面积为2 （m＞0），试求∠A E B +∠A D B 的度数．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到α=60°，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，根据平行四边形和矩
形的面积公式即可得到结论；
第22页（共28页）（3）由已知条件得到△B A E ∽△D A B ，由相似三角形的性质得到∠A B E =∠A D B ，根
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
据平行线的性质得到∠A E B =∠C B E ，求得
1 1 1 1 1 1
∠A E B +∠A D B =∠C E B +∠A B E =∠A B C ，证得∠A B C =30°，于是得到结论．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【解答】解：（1）∵平行四边形有一个内角是120度，
∴α=60°，
∴ = = ；
故答案为： ；
（2） = ，
理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴S =ab，S =ah，
1 2
sinα= ，
∴ = = ，∵ = ，∴ = ；
（3）∵AB2=AE•AD，
∴A B 2=A E •A D ，即 = ，
1 1 1 1 1 1
∵∠B A E =∠D A B ，
1 1 1 1 1 1
∴△B A E ∽△D A B ，
1 1 1 1 1 1
∴∠A B E =∠A D B ，
1 1 1 1 1 1
∵A D ∥B C ，
1 1 1 1
∴∠A E B =∠C B E ，
1 1 1 1 1 1
∴∠A E B +∠A D B =∠C E B +∠A B E =∠A B C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
由（2）知 = 可知 = =2，
∴sin∠A B C = ，
1 1 1
∴∠A B C =30°，
1 1 1
∴∠A E B +∠A D B =30°．
1 1 1 1 1 1
第23页（共28页）24．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），取一点B（b，0），连接AB，做线
段AB的垂直平分线l ，过点B作x轴的垂线l ，记l ，l 的交点为P．
1 2 1 2
（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些
点P竟然在一条曲线L上！
①设点P的坐标为（x，y），试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；
②设点P到x轴，y轴的距离分别是d ，d ，求d +d 的范围，当d +d =8时，求点P的坐标；
1 2 1 2 1 2
③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直
线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线，过点B作出x轴的垂线即可．
（2）①分x＞O或x＜0两种情形利用勾股定理求出x与y的关系即可解决问题．
②由题意得d +d = x2+ +|x|，列出方程即可解决问题．
1 2
③求出直线y=2与抛物线y= x2+ 的两个交点为（﹣ ，2）和（ ，2），利用这两个特殊点，
求出k的值即可解决问题．
【解答】解；（1）线段AB的垂直平分线l ，过点B作x轴的垂线l ，直线l l 的交点为P，如
1 2 1与 2
图所示，
第24页（共28页）（2）①当x＞0时，如图2中，连接AP，作PE⊥y轴于E，
∵l 垂直平分AB，
1
∴PA=PB=y，
在RT△APE中，∵EP=BO=x，AE=OE﹣OA=y﹣1，PA=y，
∴y2=x2+（y﹣1）2，
∴y= x2+ ，
当x＜0时，点P（x，y）同样满足y= x2+ ，
∴曲线l就是二次函数y= x2+ 即曲线l是抛物线．
②∵d = x2+ ，d =|x|，
1 2
∴d +d = x2+ +|x|，
1 2
当x=0时，d +d 有最小值 ，
1 2
第25页（共28页）∴d +d ≥ ，
1 2
∵d +d =8，则 x2+ +|x|=8，
1 2
当x≥0时，原方程化为 x2+ +x﹣8=0，解得x=3或（﹣5舍弃），
当x＜0时，原方程化为 x2+ ﹣x﹣8=0，解得x=﹣3或（5舍弃），
∵x=±3时，y=5，
∴点P坐标（3，5）或（﹣3，5）．
③如图3中，
把y=2代入y= x2+ ，解得x= ，
∴直线y=2与抛物线y= x2+ 的两个交点为（﹣ ，2）和（ ，2）．
当直线y=kx+3经过点（﹣ ，2）时，2=﹣ k+3
∴k= ，
当直线y=kx+3经过点（ ，2）时，2= k+3，
∴k=﹣ ，
∴直线y=kx+3与这条“W”形状的曲线有四个交点时，k的取值范围是：﹣ ＜k＜ ．
第26页（共28页）第27页（共28页）2016年9月20日
第28页（共28页）
