文档内容
2016 年湖北省黄石市中考数学试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每个小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的，请把正确选项所对应的字母在答题卷中相应的格子涂黑．注意可用多种
不同的方法来选取正确答案．
1． 的倒数是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．﹣
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．地球的平均半径约为6 371 000米，该数字用科学记数法可表示为（ ）
A．0.6371×107 B．6.371×106 C．6.371×107 D．6.371×103
4．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
5．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a6 B．a12÷a3=a4 C．a3+b3=（a+b）3 D．（a3）2=a6
6．黄石农科所在相同条件下经试验发现蚕豆种子的发芽率为97.1%，请估计黄石地区1000
斤蚕豆种子中不能发芽的大约有（ ）
A．971斤 B．129斤 C．97.1斤 D．29斤
7．某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球8．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
9．以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取
值范围是（ ）
A．b≥ B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2
10．如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y
与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）要注意认真看清题目的条件和要填
写的内容，尽量完整地填写答案．
11．因式分解：x2﹣36= ．
12．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是
．
13．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南
偏东30°方向航行 海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．14．如图所示，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能的
随机选择一条向左下或右下的路径（比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达
C处，其中A，B，C都是岔路口）．那么，蚂蚁从A出发到达E处的概率是 ．
15．如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA=AC=2，将正方形绕O点
顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是 ．
16．观察下列等式：
第1个等式：a = = ﹣1，
1
第2个等式：a = = ﹣ ，
2
第3个等式：a = =2﹣ ，
3
第4个等式：a = = ﹣2，
4
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a = ；
n
（2）a +a +a +…+a = ．
1 2 3 n
三、全面答一答（本题有9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如
果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．计算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0．18．先化简，再求值： ÷ • ，其中a=2016．
19．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．
（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
20．解方程组 ．
21．为了解某市初三学生的体育测试成绩和课外体育锻炼时间的情况，现从全市初三学生体
育测试成绩中随机抽取200名学生的体育测试成绩作为样本．体育成绩分为四个等次：优秀、
良好、及格、不及格．
体育锻炼时间 人数
4≤x≤6
2≤x＜4 43
0≤x＜2 15
（1）试求样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数；（2）统计样本中体育成绩“优秀”和“良好”学生课外体育锻炼时间表（如图表所示），请将
图表填写完整（记学生课外体育锻炼时间为x小时）；
（3）全市初三学生中有14400人的体育测试成绩为“优秀”和“良好”，请估计这些学生中
课外体育锻炼时间不少于4小时的学生人数．
22．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡
近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）
23．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示
到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y= ，
10：00之后来的游客较少可忽略不计．
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．
从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624
人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
24．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．
（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；
（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；
（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理
由．25．如图1所示，已知：点A（﹣2，﹣1）在双曲线C：y= 上，直线l ：y=﹣x+2，直线l 与l 关
1 2 1
于原点成中心对称，F（2，2），F（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为
1 2
B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l ，l 于M，N两点．
1 2
（1）求双曲线C及直线l 的解析式；
2
（2）求证：PF ﹣PF =MN=4；
2 1
（3）如图2所示，△PF F 的内切圆与F F ，PF ，PF 三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与
1 2 1 2 1 2
点B重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x ，y ），B（x ，y ），则A、B两点间的距离
1 1 2 2
公式为AB= ．）
2016 年湖北省黄石市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每个小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的，请把正确选项所对应的字母在答题卷中相应的格子涂黑．注意可用多种
不同的方法来选取正确答案．
1． 的倒数是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义分析求出答案．【解答】解：∵2× =1，
∴ 的倒数是：2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确把握定义是解题关键．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的
特点是解题的关键．
3．地球的平均半径约为6 371 000米，该数字用科学记数法可表示为（ ）
A．0.6371×107B．6.371×106C．6.371×107D．6.371×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6 371 000=6.371×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）A．50° B．100° C．120° D．130°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，
根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分
线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a6B．a12÷a3=a4C．a3+b3=（a+b）3D．（a3）2=a6
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项以及幂的乘方与积的乘方计算法则进行解答．
【解答】解：A、原式=a3+2=a5，故本选项错误；
B、原式=a12﹣3=a9，故本选项错误；
C、右边=a3+3a2b+3ab2+b3≠左边，故本选项错误；
D、原式=a3×2=a6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记计算法则
即可解答该题．
6．黄石农科所在相同条件下经试验发现蚕豆种子的发芽率为97.1%，请估计黄石地区1000
斤蚕豆种子中不能发芽的大约有（ ）
A．971斤 B．129斤 C．97.1斤 D．29斤
【分析】根据蚕豆种子的发芽率为97.1%，可以估计黄石地区1000斤蚕豆种子中不能发芽的
大约有多少，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，
黄石地区1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有：1000×（1﹣97.1%）=1000×0.029=29斤，
故选D．
【点评】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，注意求得是不能发芽的种子数．
7．某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形，根据该几何体的主视图和
左视图都是长方形，可得该几何体可能是圆柱体．
【解答】解：∵如图所示几何体的主视图和左视图，
∴该几何体可能是圆柱体．
故选C．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力，掌握常见几何体
的三视图是解题的关键．
8．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【分析】根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求
得ON的长．
【解答】解：由题意可得，
OA=13，∠ONA=90°，AB=24，
∴AN=12，
∴ON= ，故选A．
【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．
9．以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取
值范围是（ ）
A．b≥ B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2
【分析】由于二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，所以抛物线在x轴的
上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可
以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式
组，解不等式组即可求解．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，
∴抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，
当抛物线在x轴的上方时，
∵二次项系数a=1，
∴抛物线开口方向向上，
∴b2﹣1≥0，△=[2（b﹣2） 2﹣4（b2﹣1）≤0，
]
解得b≥ ；
当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限时，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x ，x ，
1 2
∴x +x =2（b﹣2）≥0，b2﹣1≥0，
1 2
∴△=[2（b﹣2） 2﹣4（b2﹣1）＞0，①
b﹣2＞0，② ]
b2﹣1＞0，③
由①得b＜ ，由②得b＞2，
∴此种情况不存在，
∴b≥ ，
故选A．【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于b
的不等式组解决问题．
10．如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y
与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故容器内水的体积y与容器内水深x间的函数是增
函数，根据球的特征进行判断分析即可．
【解答】解：根据球形容器形状可知，函数y的变化趋势呈现出，当0＜x＜R时，y增量越来越
大，当R＜x＜2R时，y增量越来越小，
曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故y关于x的函数图象是先凹后凸．
故选（A）
【点评】本题主要考查了函数图象的变化特征，解题的关键是利用数形结合的数学思想方法．
解得此类试题时注意，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么
坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）要注意认真看清题目的条件和要填
写的内容，尽量完整地填写答案．
11．因式分解：x2﹣36= （ x+ 6 ）（ x﹣ 6 ） ．
【分析】直接用平方差公式分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：x2﹣36=（x+6）（x﹣6）．
【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．12．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是
m ＞ ．
【分析】设x 、x 为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可
1 2
得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：设x 、x 为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，
1 2
由已知得： ，即
解得：m＞ ．
故答案为：m＞ ．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出
关于m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况
结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一元一次不等式组是关键．
13．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南
偏东30°方向航行 4 海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
【分析】根据等腰三角形的性质，可得答案．
【解答】解：一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东
30°方向航行 4海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的腰相等是解题关键．14．如图所示，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能的
随机选择一条向左下或右下的路径（比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达
C处，其中A，B，C都是岔路口）．那么，蚂蚁从A出发到达E处的概率是 ．
【分析】首先根据题意可得共有4种等可能的结果，蚂蚁从A出发到达E处的2种情况，然后
直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，蚂蚁从A出发到达E处的2种情况，
∴蚂蚁从A出发到达E处的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况
数之比．
15．如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA=AC=2，将正方形绕O点
顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是 2π+ 2 ．
【分析】如图，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD的面积．【解答】解：∵OA=AC=2，
∴AB=BC=CD=AD= ，OC=4，
S阴影= + =2π+2，
故答案为：2π+2．
【点评】此题考查了扇形的面积公式和旋转的性质以及勾股定理，能够把不规则图形的面积
转换为规则图形的面积是解答此题的关键．
16．观察下列等式：
第1个等式：a = = ﹣1，
1
第2个等式：a = = ﹣ ，
2
第3个等式：a = =2﹣ ，
3
第4个等式：a = = ﹣2，
4
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a = = ﹣ ； ；
n
（2）a +a +a +…+a = ﹣ 1 ．
1 2 3 n
【分析】（1）根据题意可知，a = = ﹣1，a = = ﹣ ，a = =2﹣ ，
1 2 3
a = = ﹣2，…由此得出第n个等式：a = = ﹣ ；
4 n
（2）将每一个等式化简即可求得答案．
【解答】解：（1）∵第1个等式：a = = ﹣1，
1
第2个等式：a = = ﹣ ，
2
第3个等式：a = =2﹣ ，
3
第4个等式：a = = ﹣2，
4∴第n个等式：a = = ﹣ ；
n
（2）a +a +a +…+a
1 2 3 n
=（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（2﹣ ）+（ ﹣2）+…+（ ﹣ ）
= ﹣1．
故答案为 = ﹣ ； ﹣1．
【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进
行推导得出答案．
三、全面答一答（本题有9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如
果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．计算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（﹣
1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0的值是多少即可．
【解答】解：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0
=1+2× ﹣ +1
=1+ ﹣ +1
=2
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实
数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律
在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；
②00≠1．
（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．
18．先化简，再求值： ÷ • ，其中a=2016．
【分析】先算除法，再算乘法，把分式化为最简形式，最后把a=2016代入进行计算即可．【解答】解：原式= • •
=（a﹣1）•
=a+1，
当a=2016时，原式=2017．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意把分式化为最简形式，再代
入求值．
19．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．
（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC
的长即可；
（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，
即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB=90°，
又∵BC=3，AB=5，
∴由勾股定理得AC=4；
（2）证明：∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DCA=∠CBA，又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC=90°，
∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．
【点评】此题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连
接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
20．解方程组 ．
【分析】首先联立方程组消去x求出y的值，然后再把y的值代入x﹣y=2中求出x的值即可．
【解答】解：将两式联立消去x得：
9（y+2）2﹣4y2=36，
即5y2+36y=0，
解得：y=0或﹣ ，
当y=0时，x=2，
y=﹣ 时，x=﹣ ；
原方程组的解为 或 ．
【点评】本题主要考查了高次方程的知识，解答本题的关键是进行降次解方程，此题难度不大．21．为了解某市初三学生的体育测试成绩和课外体育锻炼时间的情况，现从全市初三学生体
育测试成绩中随机抽取200名学生的体育测试成绩作为样本．体育成绩分为四个等次：优秀、
良好、及格、不及格．
体育锻炼时间 人数
4≤x≤6 6 2
2≤x＜4 43
0≤x＜2 15
（1）试求样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数；
（2）统计样本中体育成绩“优秀”和“良好”学生课外体育锻炼时间表（如图表所示），请将
图表填写完整（记学生课外体育锻炼时间为x小时）；
（3）全市初三学生中有14400人的体育测试成绩为“优秀”和“良好”，请估计这些学生中
课外体育锻炼时间不少于4小时的学生人数．
【分析】（1）直接利用扇形统计图得出体育成绩“良好”所占百分比，进而求出所对扇形圆
心角的度数；
（2）首先求出体育成绩“优秀”和“良好”的学生数，再利用表格中数据求出答案；
（3）直接利用“优秀”和“良好”学生所占比例得出学生中课外体育锻炼时间不少于4小
时的学生人数．
【解答】解：（1）由题意可得：
样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数为：（1﹣15%﹣14%﹣26%）
×360°=162°；
（2）∵体育成绩“优秀”和“良好”的学生有：200×（1﹣14%﹣26%）=120（人），
∴4≤x≤6范围内的人数为：120﹣43﹣15=62（人）；
故答案为：62；
（3）由题意可得： ×14400=7440（人），答：估计课外体育锻炼时间不少于4小时的学生人数为7440人．
【点评】此题主要考查了扇形统计图以及利用样本估计总体，正确利用扇形统计图和表格中
数据得出正确信息是解题关键．
22．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡
近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）
【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而
得到EF的长；
（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．
【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，
在Rt△ABF中，∵sin∠BAH= ，
∴BH=800•sin30°=400，
∴EF=BH=400m；
（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE= ，
∴CE=200•sin45°=100 ≈141.4，
∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．
答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水
平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成
i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．
23．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．
如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示
到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y= ，
10：00之后来的游客较少可忽略不计．
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．
从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624
人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
【分析】（1）构建待定系数法即可解决问题．
（2）先求出馆内人数等于684人时的时间，再求出直到馆内人数减少到624人时的时间，即
可解决问题．
【解答】解（1）由图象可知，300=a×302，解得a= ，
n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣ ，
∴y= ，（2）由题意﹣ （x﹣90）2+700=684，
解得x=78，
∴ =15，
∴15+30+（90﹣78）=57分钟
所以，馆外游客最多等待57分钟．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，
学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
24．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．
（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ ABC；
（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；
（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理
由．
【分析】（1）根据轴对称的性质可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根
据两边对应成比例，夹角相等两三角形相似证明；
（2）根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证
明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等
可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可；
（3）作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再根
据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根
据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出
∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可．
【解答】证明：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，
又∵∠BAC=2∠DAE，∴∠BAC=∠DAF，
∵AB=AC，
∴ = ，
∴△ADF∽△ABC；
（2）∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴EF=DE，AF=AD，
∵α=45°，
∴∠BAD=90°﹣∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
所以，DE2=BD2+CE2；
（3）DE2=BD2+CE2还能成立．
理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，
由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD，
∵α=45°，
∴∠BAD=90°﹣∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
所以，DE2=BD2+CE2．
【点评】本题是相似形综合题，主要利用了轴对称的性质，相似三角形的判定，同角的余角相
等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此类题目，小题间的思路相同是解题的关键．
25．如图1所示，已知：点A（﹣2，﹣1）在双曲线C：y= 上，直线l ：y=﹣x+2，直线l 与l 关
1 2 1
于原点成中心对称，F（2，2），F（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为
1 2
B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l ，l 于M，N两点．
1 2
（1）求双曲线C及直线l 的解析式；
2
（2）求证：PF ﹣PF =MN=4；
2 1
（3）如图2所示，△PF F 的内切圆与F F ，PF ，PF 三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与
1 2 1 2 1 2
点B重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x ，y ），B（x ，y ），则A、B两点间的距离
1 1 2 2
公式为AB= ．）【分析】（1）利用点A的坐标求出a的值，根据原点对称的性质找出直线l 上两点的坐标，求
2
出解析式；
（2）设P（x， ），利用两点距离公式分别求出PF 、PF 、PM、PN的长，相减得出结论；
1 2
（3）利用切线长定理得出 ，并由（2）的结论PF ﹣PF =4得出PF ﹣PF =QF ﹣
2 1 2 1 2
QF =4，再由两点间距离公式求出F F 的长，计算出OQ和OB的长，得出点Q与点B重合．
1 1 2
【解答】解：（1）解：把A（﹣2，﹣1）代入y= 中得：
a=（﹣2）×（﹣1）=2，
∴双曲线C：y= ，
∵直线l 与x轴、y轴的交点分别是（2，0）、（0，2），它们关于原点的对称点分别是（﹣2，0）、
1
（0，﹣2），
∴l 2：y=﹣x﹣2
（2）设P（x， ），
由F （2，2）得：PF 2=（x﹣2）2+（ ﹣2）2=x2﹣4x+ ﹣ +8，
1 1
∴PF 2=（x+ ﹣2）2，
1
∵x+ ﹣2= = ＞0，∴PF =x+ ﹣2，
1
∵PM∥x轴
∴PM=PE+ME=PE+EF=x+ ﹣2，
∴PM=PF ，
1
同理，PF 2=（x+2）2+（ +2）2=（x+ +2）2，
2
∴PF =x+ +2，PN=x+ +2
2
因此PF =PN，
2
∴PF ﹣PF =PN﹣PM=MN=4，
2 1
（3）△PF F 的内切圆与F F ，PF ，PF 三边分别相切于点Q，R，S，
1 2 1 2 1 2
∴ PF ﹣PF =QF ﹣QF =4
2 1 2 1
⇒
又∵QF +QF =F F =4 ，QF =2 ﹣2，
2 1 1 2 1
∴QO=2，
∵B（ ， ），
∴OB=2=OQ，
所以，点Q与点B重合．
【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及反比例函数的性质等知识，将代数与几何融合在
一起，注意函数中线段的长可以利用本题给出的两点距离公式解出，也可以利用勾股定理解
出；解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学
知识贯穿起来．
