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2015年湖北省黄石市中考数学试卷
一.仔细选一选（每小题3分，共30分每小题的四个选项中只有一个是正确的）
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．5 B． C．﹣5 D．
2．（3分）国家统计局数据显示，截至2014年末全国商品房待售面积约为62200万平方米，该
数据用科学记数法可表示为（ ）
A．6.22×104 B．6.22×107 C．6.22×108 D．6.22×109
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4m﹣m＝3 B．2m2•m3＝2m5
C．（﹣m3）2＝m9 D．﹣（m+2n）＝﹣m+2n
4 ． （ 3 分 ） 下 列 四 个 立 体 图 形 中 ， 左 视 图 为 矩 形 的 是 （ ）
A． B． C． D．
5．（3分①）某③班组织了一次读书①活④动，统计了10名同学②在③一周内的读书时间，③他④们一周内的读
书时间累计如表，则这10名同学一周内累计读书时间的中位数是（ ）
一周内累计的读书时间（小时） 5 8 10 14
人数（个） 1 4 3 2
A．8 B．7 C．9 D．10
6．（3分）在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）在长方形ABCD中AB＝16，如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥（AB
和AE重合），则此圆锥的底面半径为（ ）
第1页（共21页）A．4 B．16 C．4 D．8
8．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝（ ）
A．36° B．54° C．18° D．64°
9．（3分）当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1 B．a＞﹣2 C．a＞0 D．a＞﹣1且a≠0
10．（3分）如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB＝100，在半圆弧上有一
运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段
时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离
为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
二.认真填一填（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：3x2﹣27＝ ．
第2页（共21页）12．（3分）反比例函数y＝ 的图象有一支位于第一象限，则常数 a的取值范围是
．
13．（3分）九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方
图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达
到合格的同学占全班人数的百分比是 ．
14．（3分）如图，圆O的直径AB＝8，AC＝3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结
MB，则∠MBA的余弦值为 ．
15．（3分）一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如
表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：购买
三个及三个以上可一次性返还现金4元，则一次性购买盒子所需要最少费用为 元．
型号 A B
单个盒子容量（升） 2 3
单价（元） 5 6
16．（3分）现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为DE的中点，BR
分别交AC，CD于P，Q，易得BP：QP：QR＝3：1：2．
（1）若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE
于P，Q，R，则BP：PQ：QR：RS＝
（2）若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，
DE，EF于P，Q，R，S，则BP：PQ：QR：RS：ST＝ ．
第3页（共21页）三.解答题（9个小题，共72分）
17．（7分）计算：﹣ +|﹣ |+2sin45°+ 0+（ ）﹣1．
π
18．（7分）先化简，再求值： ÷（ ﹣1），其中x＝2﹣ ．
19．（7分）如图， O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交 O于D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；⊙ ⊙
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是 O的切线．
⊙
20．（8分）解方程组 ．
21．（8分）父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，
两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．
（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；
（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会
增大？请说明理由．
22．（8分）如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距
离为10 ，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶
端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）
（1）求AE的长；
（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这
面旗到达旗杆顶端需要多少秒？
第4页（共21页）23．（8分）大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一
家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每
件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；
售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为 60+x
（元/件）（x为整数，x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润
为w（元）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；
（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？
24．（9分）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到
△OC′D′．
（1）如图1，若∠AOB＝90°，OA＝OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明： AC′＝
BD′； AC′⊥BD′； ①
（2）如图②2，若△AOB为任意三角形且∠AOB＝ ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想
∠AEB＝ 是否成立？请说明理由． θ
θ
25．（10分）已知双曲线y＝ （x＞0），直线l ：y﹣ ＝k（x﹣ ）（k＜0）过定点F且与双曲
1
线交于A，B两点，设A（x ，y ），B（x ，y ）（x ＜x ），直线l ：y＝﹣x+ ．
1 1 2 2 1 2 2
（1）若k＝﹣1，求△OAB的面积S；
（2）若AB＝ ，求k的值；
（3）设N（0，2 ），P在双曲线上，M在直线l 上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求
2
第5页（共21页）PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x ，y ），B（x ，
1 1 2
y ）则A，B两点间的距离为AB＝ ）
2
第6页（共21页）2015年湖北省黄石市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.仔细选一选（每小题3分，共30分每小题的四个选项中只有一个是正确的）
1．【分析】乘积是1的两数互为倒数，所以﹣5的倒数是﹣ ．
【解答】解：﹣5与﹣ 的乘积是1，
所以﹣5的倒数是﹣ ．
故选：D．
【点评】本题主要考查倒数的概念：乘积是1的两数互为倒数．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将62200万用科学记数法表示为6.22×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】分别利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和幂的乘方、去括号法
则化简各式判断即可．
【解答】解：A、4m﹣m＝3m，故此选项错误；
B、2m2•m3＝2m5，正确；
C、（﹣m3）2＝m6，故此选项错误；
D、﹣（m+2n）＝﹣m﹣2n，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和幂的乘方、去
括号法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
4．【分析】根据左视图是分别从物体左面看，所得到的图形，即可解答．
【解答】解：长方体左视图为矩形；球左视图为圆；圆锥左视图为三角形；圆柱左视图为矩
形；
第7页（共21页）因此左视图为矩形的有 ．
故选：B． ①④
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现
在三视图中．
5．【分析】根据中位数的概念求解．
【解答】解：∵共有10名同学，
∴第5名和第6名同学的读书时间的平均数为中位数，
则中位数为： ＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，
如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个
数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原
图重合．
7．【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2 r＝ ，
π
解得r＝4．
故小圆锥的底面半径为4；
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥
的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
8．【分析】根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内
第8页（共21页）角和定理不难求得∠ABD的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝72°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠A＝36°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣36°＝54°．
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性
质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
9．【分析】当x＝1时，a+2＞0；当x＝2，2a+2＞0，解两个不等式，得到a的范围，最后综合得
到a的取值范围．
【解答】解：当x＝1时，a+2＞0
解得：a＞﹣2；
当x＝2，2a+2＞0，
解得：a＞﹣1，
∴a的取值范围为：a＞﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是熟记不等式的性质．
10．【分析】设运动员C的速度为v，则运动了t的路程为vt，设∠BOC＝ ，当点C从运动到M
时，当点C从M运动到A时，分别求出d与t之间的关系即可进行判α 断．
【解答】解：设运动员C的速度为v，则运动了t的路程为vt，
设∠BOC＝ ，
当点C从运α动到M时，
∵vt＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
α
在直角三角形中，∵d＝50sin ＝50sin ，
α
∴d与t之间的关系d＝50sin ，
当点C从M运动到A时，d与t之间的关系d＝50sin（180﹣ ），
第9页（共21页）故选：C．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，熟知圆的特点是解答此题的关键．
二.认真填一填（每小题3分，共18分）
11．【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用
平方差公式继续分解．
【解答】解：3x2﹣27，
＝3（x2﹣9），
＝3（x+3）（x﹣3）．
故答案为：3（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题
的关键，难点在于要进行二次分解因式．
12．【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一
象限内y随x的增大而减小可得2a﹣1＞0，再解不等式即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象有一支位于第一象限，
∴2a﹣1＞0，
解得：a＞ ．
故答案为：a ．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数 （k≠0），（1）k＞
0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
13．【分析】利用合格的人数即50﹣4＝46人，除以总人数即可求得．
【解答】解：该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ×100%＝92%．
故答案是：92%．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
14．【分析】如图，作辅助线；求出BC的长度；运用射影定理求出BM的长度，借助锐角三角
函数的定义求出∠MBA的余弦值，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AM；
第10页（共21页）∵AB＝8，AC＝3CB，
∴BC＝ AB＝2：
∵AB为 O的直径，
∴∠AM⊙B＝90°；
由射影定理得：
BM2＝AB•CB，
∴BM＝4，cos∠MBA＝ ＝ ，
故答案为 ．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、锐角三角函数的定义等知识点
及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用圆周角
定理及其推论、射影定理等知识点来分析、判断、解答．
15．【分析】设购买A种型号盒子x个，购买盒子所需要费用为y元，则购买B种盒子的个数
为 个，分两种情况讨论： 当0≤x＜3时； 当3≤x时，利用一次函数的性质即可
① ②
解答．
【解答】解：设购买A种型号盒子x个，购买盒子所需要费用为y元，
则购买B种盒子的个数为 个，
当0≤x＜3时，y＝5x+ ＝x+30，
①
∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝0时，y有最小值，最小值为30元；
当3≤x时，y＝5x+ ﹣4＝26+x，
②
第11页（共21页）∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y有最小值，最小值为29元；
综合 可得，购买盒子所需要最少费用为29元．
故答①案为②：29．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出函数解析式，利用
一次函数的性质解决最小值的问题，注意分类讨论思想的应用．
16．【分析】（1）首先证明△BCQ∽△BES，从而可求得CQ＝ ，DQ＝ EF，然后证明
△BAP∽△QDR得到BP：QR＝4：3从而可知：BP：PQ：QR＝4：1：3，然后由DQ∥SE，可
知：QR：RS＝DQ：SE＝3：2，从而可求得BP：PQ：QR：RS＝4：1：3：2；
（2）由AC∥DE∥GF，可知：△BPC∽△BER∽BTG，能够求得：AP：DR：FT＝5：4：3，然后
再证明△BAP∽△QDR∽△SFT．求得BP：QR：ST＝AP：DR：FT＝5：4：3，因为BP：QR：
RT＝5：4：5，所以可求得：BP：PQ：QR：RS：ST＝5：1：4：2：3．
【解答】解：（1）∵四个直角三角形是全等三角形，
∴AB＝EF＝CD，AB∥EF∥CD，BC＝CE，AC∥DE，
∴BP：PR＝BC：CE＝1，
∵CD∥EF，
∴△BCQ∽△BES．
又∵BC＝CE
∴CQ＝ ＝ ，
∴DQ＝
∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠DQR．
又∵∠BAP＝∠QDR，
∴△BAP∽△QDR．
∴BP：QR＝4：3．
∴BP：PQ：QR＝4：1：3，
∵DQ∥SE，
∴QR：RS＝DQ：SE＝3：2，
第12页（共21页）∴BP：PQ：QR：RS＝4：1：3：2．
故答案为：4：1：3：2；
（2）∵五个直角三角形是全等直角三角形
∴AB＝CD＝EF，AB∥CD∥EF，AC＝DE＝GF，AC∥DE∥GF，
BC＝CE＝EG，
∴BP＝PR＝RT，
∵AC∥DE∥GF，
∴△BPC∽△BER∽BTG，
∴PC＝ ＝ ，RE＝ ＝ FG，
∴AP＝ ，DR＝ ，FT＝
∴AP：DR：FT＝5：4：3．
∵AC∥DE∥GF，
∴∠BPA＝∠QRD＝∠STF．
又∵∠BAP＝∠QDR＝∠SFT，
∴△BAP∽△QDR∽△SFT．
∴BP：QR：ST＝AP：DR：FT＝5：4：3．
又∵BP：QR：RT＝5：4：5，
∴BP：PQ：QR：RS：ST＝5：（5﹣4）：4：（5﹣3）：3＝5：1：4：2：3．
故答案为：5：1：4：2：3．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，找出图中的相似三角形，求得相应
线段之间的比例关系是解题的关键．
三.解答题（9个小题，共72分）
17．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用
特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法
则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣2 + +2× +1+2＝3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
第13页（共21页）【解答】解：原式＝ ÷ ＝﹣ • ＝﹣x+2，
当x＝2﹣ 时，原式＝﹣2+ +2＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB＝90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求
得BC即可；
（2）要证明直线DE是 O的切线只要证明∠EDO＝90°即可．
【解答】证明：（1）解⊙：连接AD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
又∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴BD＝2 ，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2BD＝4 ；
（2）证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，则∠EDO＝∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90°
∴DE是 O的切线．
⊙
【点评】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连
接过切点的半径是圆中的常见辅助线．
20．【分析】由 得 ，把 代入 解答即可．
② ③ ③ ①
第14页（共21页）【解答】解： ，由 得 ，
② ③
把 代入 得： ，
③ ①
解得： ，
当x ＝0时，y ＝1；
1 1
当 时， ，
所以方程组的解是 ．
【点评】此题考查高次方程问题，关键是把高次方程化为一般方程再解答．
21．【分析】（1）首先分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画
树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，
然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆
都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前
两个汤圆都是花生的概率，比较大小，即可知爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会
增大．
【解答】解：（1）分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，
∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为： ＝ ；
（2）会增大，
理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：
第15页（共21页）∵共有20种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有6种情况，
∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为： ＝ ＞ ；
∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性会增大．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
22．【分析】（1）先求得∠ABE和AEB，利用等腰直角三角形即可求得AE；
（2）在RT△ADE中，利用sin∠EAD＝ ，求得ED的长，即可求得这面旗到达旗杆顶端
需要的时间．
【解答】解：（1）∵BG∥CD，
∴∠GBA＝∠BAC＝30°，
又∵∠GBE＝15°，
∴∠ABE＝45°，
∵∠EAD＝60°，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝10 ，
故AE的长为10 米．
（2）在RT△ADE中，sin∠EAD＝ ，
∴DE＝10 × ＝15，
又∵DF＝1，
∴FE＝14，
∴时间t＝ ＝28（秒）．
故旗子到达旗杆顶端需要28秒．
第16页（共21页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此类问题的解决关键是建立数学建模，把实际
问题转化成数学问题，利用数学知识解决．
23．【分析】（1）直接根据题意售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖
20件，进而得出等量关系；
（2）利用每件利润×销量＝总利润，进而利用配方法求出即可；
（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝ ；
（2）由题意可得：w＝ ，
化简得：w＝ ，
即w＝ ，
由题意可知x应取整数，故当x＝﹣2或x＝﹣3时，w＜6125，
x＝5时，W＝6250，
故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；
（3）由题意w≥6000，如图，令w＝6000，
将w＝6000代入﹣20≤x＜0时对应的抛物线方程，即6000＝﹣20（x+ ）2+6125，
解得：x ＝﹣5，
1
将w＝6000代入0≤x≤30时对应的抛物线方程，即6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，
解得x ＝0，x ＝10，
2 3
综上可得，﹣5≤x≤10，
第17页（共21页）故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，利用函数图
象得出x的取值范围是解题关键．
24．【分析】（1） 由旋转的性质得出OC＝OC′，OD＝OD′，∠AOC′＝∠BOD′，证出
OC′＝OD′，①由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；
由全等三角形的性质得出∠OAC′＝∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理
②得出∠BEA＝90°，即可得出结论；
（2）由旋转的性质得出OC＝OC′，OD＝OD′，∠AOC′＝∠BOD′，由平行线得出比
例式 ，得出 ，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′＝∠OBD′再
由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB＝ ．
【解答】（1）证明： ∵△OCD旋转到△OC′D′θ，
∴OC＝OC′，OD＝O①D′，∠AOC′＝∠BOD′，
∵OA＝OB，C、D为OA、OB的中点，
∴OC＝OD，
∴OC′＝OD′，
在△AOC′和△BOD′中， ，
∴△AOC′≌△BOD′（SAS），
∴AC′＝BD′；
延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：
②∵△AOC′≌△BOD′，
∴∠OAC′＝∠OBD′，
第18页（共21页）又∠AFO＝∠BFE，∠OAC′+∠AFO＝90°，
∴∠OBD′+∠BFE＝90°，
∴∠BEA＝90°，
∴AC′⊥BD′；
（2）解：∠AEB＝ 成立，理由如下：如图2所示：
∵△OCD旋转到△OθC′D′，
∴OC＝OC′，OD＝OD′，∠AOC′＝∠BOD′，
∵CD∥AB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∠AOC′＝∠BOD′，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴∠OAC′＝∠OBD′，
又∠AFO＝∠BFE，
∴∠AEB＝∠AOB＝ ．
θ
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟
练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
25．【分析】（1）将l 与y＝ 组成方程组，即可得到C点坐标，从而求出△OAB的面积；
1
第19页（共21页）（2）根据题意得： 整理得：kx2+ （1﹣k）x﹣1＝0（k＜0），根据根与
系数的关系得到2k2+5k+2＝0，从而求出k的值；
（3）设P（x， ），则M（﹣ + ， ），根据PM＝PF，求出点P的坐标．
【解答】解：（1）当k＝﹣1时，l ：y＝﹣x+2 ，
1
联立得， ，化简得x2﹣2 x+1＝0，
解得：x ＝ ﹣1，x ＝ +1，
1 2
设直线l 与y轴交于点C，则C（0，2 ）．
1
S△OAB ＝S△AOC ﹣S△BOC ＝ •2 •（x
2
﹣x
1
）＝2 ；
（2）根据题意得： 整理得：kx2+ （1﹣k）x﹣1＝0（k＜0），
∵△＝[ （1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）＝2（1+k2）＞0，
∴x 、x 是方程的两根，
1 2
∴ ，
∴AB2＝（x ﹣x ）2+（ ﹣ ）2
1 2
＝（x ﹣x ）2+（ ）2
1 2
＝（x ﹣x ）2[1+（ ）2]
1 2
＝ ，
∴AB＝﹣ ＝ ，即 ＝ ，
第20页（共21页）整理得，2k2+5k+2＝0，即（2k+1）（k+2）＝0，解得k＝﹣2或k＝﹣ ．
（3）F（ ， ），如图：
设P（x， ），则M（﹣ + ， ），
则PM＝x+ ﹣ ＝ ＝ ，
∵PF＝ ＝ ，
∴PM＝PF．
∴PM+PN＝PF+PN≥NF＝2，
当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y＝﹣x+2 ，
由（1）知P（ ﹣1， +1），
∴当P（ ﹣1， +1）时，PM+PN最小值是2．
【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及函数图象的交点与方程组的解的关系、三角
形的面积、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、两点间的距离公式的等知识，
综合性较强．
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