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2016年湖北省襄阳市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答．
1．（3分）（2016•湖北襄阳）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）（2016•湖北襄阳）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C
的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
3．（3分）（2016•湖北襄阳）﹣8的立方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣
4．（3分）（2016•湖北襄阳）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．球体B．圆锥 C．棱柱 D．圆柱
5．（3分）（2016•湖北襄阳）不等式组 的整数解的个数为（ ）
A．0个 B．2个 C．3个 D．无数个
6．（3分）（2016•湖北襄阳）一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位
数、众数、方差分别是（ ）
A．3，3，0.4B．2，3，2 C．3，2，0.4D．3，3，2
7．（3分）（2016•湖北襄阳）如图，在 ▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A
为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆
第1页（共31页）心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中
不能由条件推理得出的是（ ）
A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH
8．（3分）（2016•湖北襄阳）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆
相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（ ）
A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合
C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
9．（3分）（2016•湖北襄阳）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为
（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2016•湖北襄阳）一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一平面直角坐标
系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（ ）
第2页（共31页）A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的相应位置上．
11．（3分）（2016•湖北襄阳）分解因式：2a2﹣2=______．
12．（3分）（2016•湖北襄阳）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个相等的实数
根，则m的值为______．
13．（3分）（2016•湖北襄阳）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个
白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复
摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球______个．
14．（3分）（2016•湖北襄阳）王经理到襄阳出差带回襄阳特产﹣﹣孔明菜若干袋，分给
朋友们品尝，如果每人分5袋，还余3袋；如果每人分6袋，还差3袋，则王经理带回孔
明菜______袋．
15．（3分）（2016•湖北襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分
点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为______．
16．（3分）（2016•湖北襄阳）如图，正方形ABCD的边长为2 ，对角线AC、BD相交
于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的
长为______．
第3页（共31页）三、解答题：本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并
且写在答题卡上每题对应的答题区域内．
17．（6分）（2016•湖北襄阳）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+1）（3x﹣
2），其中x= ．
18．（6分）（2016•湖北襄阳）襄阳市文化底蕴深厚，旅游资源丰富，古隆中、习家池、
鹿门寺三个景区是人们节假日玩的热点景区，张老师对八（1）班学生“五•一”小长假随
父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查，调查分四个类别：A、游三个景区；B、游两
个景区；C、游一个景区；D、不到这三个景区游玩．现根据调查结果绘制了不完整的条形
统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）八（1）班共有学生______人，在扇形统计图中，表示“B类别”的扇形的圆心角的
度数为______；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若张华、李刚两名同学，各自从三个景区中随机选一个作为5月1日游玩的景区，则
他们同时选中古隆中的概率为______．
第4页（共31页）19．（6分）（2016•湖北襄阳）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=2 ，∠DAC=30°，求AC的长．
20．（6分）（2016•湖北襄阳）如图，直线y=ax+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交
于A（1，4），B（4，n）两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）m=______，n=______；若M（x ，y ），N（x ，y ）是反比例函数图象上两点，且
1 1 2 2
0＜x ＜x ，则y ______y （填“＜”或“=”或“＞”）；
1 2 1 2
（2）若线段CD上的点P到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标．
第5页（共31页）21．（7分）（2016•湖北襄阳）“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队
计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的 ，这时乙队加入，两队还需
同时施工15天，才能完成该项工程．
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项
工程？
22．（8分）（2016•湖北襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点
E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．
（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；
（2）求CD的长．
第6页（共31页）23．（10分）（2016•湖北襄阳）襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了
一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价
x（元/件）的函数解析式为：y= ．
（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于
售价x（元/件）的函数解析式；
（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利
润是多少？
（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值
范围．
24．（10分）（2016•湖北襄阳）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点
E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的长．
第7页（共31页）25．（13分）（2016•湖北襄阳）如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y=﹣ x+3
与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C
三点．
（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x
轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；
（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出
发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）
为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？
第8页（共31页）第9页（共31页）2016 年湖北省襄阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答．
1．（3分）（2016•湖北襄阳）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：A．
2．（3分）（2016•湖北襄阳）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C
的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】由AD∥BC，∠B=30°利用平行线的性质即可得出∠EAD的度数，再根据角平分
线的定义即可求出∠EAC的度数，最后由三角形的外角的性质即可得出
∠EAC=∠B+∠C，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵AD∥BC，∠B=30°，
∴∠EAD=∠B=30°．
又∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAC=2∠EAD=60°．
∵∠EAC=∠B+∠C，
∴∠C=∠EAC﹣∠B=30°．
故选C．
3．（3分）（2016•湖北襄阳）﹣8的立方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣
【分析】直接利用立方根的定义分析求出答案．
【解答】解：﹣8的立方根是： =﹣2．
故选：B．
4．（3分）（2016•湖北襄阳）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．球体B．圆锥 C．棱柱 D．圆柱
第10页（共31页）【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为圆可得为圆柱体．
故选D．
5．（3分）（2016•湖北襄阳）不等式组 的整数解的个数为（ ）
A．0个 B．2个 C．3个 D．无数个
【分析】先根据一元一次不等式组的解法求出x的取值范围，然后找出整数解的个数．
【解答】解：解不等式2x﹣1≤1得：x≤1，
解不等式﹣ x＜1得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
整数解为：﹣1，0，1，共3个．
故选C．
6．（3分）（2016•湖北襄阳）一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位
数、众数、方差分别是（ ）
A．3，3，0.4B．2，3，2 C．3，2，0.4D．3，3，2
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再根据众数、中位数的定义和方差公式分别进
行解答即可．
【解答】解：根据题意， =3，解得：x=3，
∴这组数据从小到大排列为：2，3，3，3，4；
则这组数据的中位数为3，
这组数据3出现的次数最多，出现了3次，故众数为3；
其方差是： ×[（2﹣3）2+3×（3﹣3）2+（4﹣3）2]=0.4，
故选A．
7．（3分）（2016•湖北襄阳）如图，在 ▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A
为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，
大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能
由条件推理得出的是（ ）
A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH
【分析】根据作图过程可得得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性
第11页（共31页）质可证明∠DAH=∠DHA，进而得到AD=DH，
【解答】解：根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAH=∠BAH，
∵CD∥AB，
∴∠DHA=∠BAH，
∴∠DAH=∠DHA，
∴AD=DH，
∴BC=DH，
故选D．
8．（3分）（2016•湖北襄阳）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆
相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（ ）
A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合
C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
【分析】根据I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，由角平分线的定
义得到∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI根据三角形外角的性质得到∠BDI=∠DIB，根据等
腰三角形的性质得到BD=DI．
【解答】解：∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD=∠CAD，故C正确，不符合题意；
∠ABI=∠CBI，∴ = ，
∴BD=CD，故A正确，不符合题意；
∵∠DAC=∠DBC，
∴∠BAD=∠DBC，
∵∠IBD=∠IBC+∠DBC，∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠BDI=∠DIB，
∴BD=DI，故B正确，不符合题意；
故选D．
第12页（共31页）9．（3分）（2016•湖北襄阳）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为
（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理得出DC，AC的长，再利用锐
角三角函数关系求出答案．
【解答】解：如图所示：连接DC，
由网格可得出∠CDA=90°，
则DC= ，AC= ，
故sinA= = = ．
故选：B．
10．（3分）（2016•湖北襄阳）一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一平面直角坐标
系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数的图象的性质先确定出a、b的取值范围，然后根据反比例函数的性
质确定出c的取值范围，最后根据二次函数的性质即可做出判断．
【解答】解：∵一次函数y=ax+b经过一、二、四象限，
第13页（共31页）∴a＜0，b＞0，
∵反比例函数y= 的图象在一、三象限，
∴c＞0，
∵a＜0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向下，
∵b＞0，
∴ ＞0，
∵c＞0，
∴与y轴的正半轴相交，
故选C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的相应位置上．
11．（3分）（2016•湖北襄阳）分解因式：2a2﹣2= 2 （ a + 1 ）（ a﹣ 1 ） ．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2a2﹣2，
=2（a2﹣1），
=2（a+1）（a﹣1）．
12．（3分）（2016•湖北襄阳）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个相等的实数
根，则m的值为 2 ．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个相等的实数根，可知其判别式
为0，据此列出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即：22﹣4（m﹣1）=0，
解得：m=2，
故答案为2．
13．（3分）（2016•湖北襄阳）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个
白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复
摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 8 个．
【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可以求得总的
球数，从而可以得到红球的个数．
【解答】解：由题意可得，
摸到黑球和白球的频率之和为：1﹣0.4=0.6，
∴总的球数为：（8+4）÷0.6=20，
∴红球有：20﹣（8+4）=8（个），
故答案为：8．
14．（3分）（2016•湖北襄阳）王经理到襄阳出差带回襄阳特产﹣﹣孔明菜若干袋，分给
朋友们品尝，如果每人分5袋，还余3袋；如果每人分6袋，还差3袋，则王经理带回孔
明菜 3 3 袋．
第14页（共31页）【分析】可设有x个朋友，根据“如果每人分5袋，还余3袋；如果每人分6袋，还差3
袋”可列出一元一次方程，求解即可．
【解答】解：设有x个朋友，则
5x+3=6x﹣3
解得x=6
∴5x+3=33（袋）
故答案为：33
15．（3分）（2016•湖北襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分
点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为 π ．
【分析】首先证明OC∥BD，得到S
△BDC
=S
△BDO
，所以S阴=S扇形OBD ，由此即可计算．
【解答】解：如图连接OC、OD、BD．
∵点C、D是半圆O的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OC=OD=OB，
∴△COD、△OBD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODB=60°，OD=CD=2，
∴OC∥BD，
∴S =S ，
△BDC △BDO
∴S阴=S扇形OBD = = ．
16．（3分）（2016•湖北襄阳）如图，正方形ABCD的边长为2 ，对角线AC、BD相交
于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的
长为 ．
第15页（共31页）【分析】先根据ASA判定△AFO≌△BEO，并根据勾股定理求得BE的长，再判定
△BFM∽△BEO，最后根据对应边成比例，列出比例式求解即可．
【解答】解：∵正方形ABCD
∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°
∵AM⊥BE，∠AFO=∠BFM
∴∠FAO=∠EBO
在△AFO和△BEO中
∴△AFO≌△BEO（ASA）
∴FO=EO
∵正方形ABCD的边长为2 ，E是OC的中点
∴FO=EO=1=BF，BO=2
∴直角三角形BOE中，BE= =
由∠FBM=∠EBO，∠FMB=∠EOB，可得△BFM∽△BEO
∴ ，即
∴FM=
故答案为：
三、解答题：本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并
且写在答题卡上每题对应的答题区域内．
17．（6分）（2016•湖北襄阳）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+1）（3x﹣
第16页（共31页）2），其中x= ．
【分析】首先利用整式乘法运算法则化简，进而去括号合并同类项，再将已知代入求出答
案．
【解答】解：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+1）（3x﹣2），
=4x2﹣1﹣（3x2+3x﹣2x﹣2）
=4x2﹣1﹣3x2﹣x+2
=x2﹣x+1
把x= 代入得：
原式=（ ﹣1）2﹣（ ﹣1）+1
=3﹣2 ﹣ +2
=5﹣3 ．
18．（6分）（2016•湖北襄阳）襄阳市文化底蕴深厚，旅游资源丰富，古隆中、习家池、
鹿门寺三个景区是人们节假日玩的热点景区，张老师对八（1）班学生“五•一”小长假随
父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查，调查分四个类别：A、游三个景区；B、游两
个景区；C、游一个景区；D、不到这三个景区游玩．现根据调查结果绘制了不完整的条形
统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）八（1）班共有学生 5 0 人，在扇形统计图中，表示“B类别”的扇形的圆心角的
度数为 72 ° ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若张华、李刚两名同学，各自从三个景区中随机选一个作为5月1日游玩的景区，则
他们同时选中古隆中的概率为 ．
【分析】（1）由A类5人，占10%，可求得总人数，继而求得B类别占的百分数，则可
求得“B类别”的扇形的圆心角的度数；
（2）首先求得D类别的人数，则可将条形统计图补充完整；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们同时选中古隆
中的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵A类5人，占10%，
∴八（1）班共有学生有：5÷10%=50（人）；
第17页（共31页）∴在扇形统计图中，表示“B类别”的扇形的圆心角的度数为： ×360°=72°；
故答案为：50，72°；
（2）D类：50﹣5﹣10﹣15=20（人），如图：
（3）分别用1，2，3表示古隆中、习家池、鹿门寺，画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，他们同时选中古隆中的只有1种情况，
∴他们同时选中古隆中的概率为： ．
故答案为： ．
19．（6分）（2016•湖北襄阳）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=2 ，∠DAC=30°，求AC的长．
【分析】（1）先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．
（2）先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定
理列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在RT△DEB和RT△DFC中，
第18页（共31页），
∴△DEB≌△DFC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
（2）∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2 ，∠DAC=30°，
∴AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，
∵AC2=AD2+CD2，
∴4a2=a2+（2 ）2，
∵a＞0，
∴a=2，
∴AC=2a=4．
20．（6分）（2016•湖北襄阳）如图，直线y=ax+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交
于A（1，4），B（4，n）两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）m= 4 ，n= 1 ；若M（x ，y ），N（x ，y ）是反比例函数图象上两点，且0
1 1 2 2
＜x ＜x ，则y ＞ y （填“＜”或“=”或“＞”）；
1 2 1 2
（2）若线段CD上的点P到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出m的值，再由
点B也在反比例函数图象上即可得出n的值，由反比例函数系数m的值结合反比例函数的
性质即可得出反比例函数的增减性，由此即可得出结论；
（2）设过C、D点的直线解析式为y=kx+b，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直
线CD的解析式，设出点P的坐标为（t，﹣t+5），由点P到x轴、y轴的距离相等即可得
出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出t的值，从而得出点P的坐标．
第19页（共31页）【解答】解：（1）∵反比例函数y= （x＞0）的图象过点A（1，4），
∴m=1×4=4．
∵点B（4，n）在反比例函数y= 的图象上，
∴m=4n=4，解得：n=1．
∵在反比例函数y= （x＞0）中，m=4＞0，
∴反比例函数y= 的图象单调递减，
∵0＜x ＜x ，
1 2
∴y ＞y ．
1 2
故答案为：4；1；＞．
（2）设过C、D点的直线解析式为y=kx+b，
∵直线CD过点A（1，4）、B（4，1）两点，
∴ ，解得： ，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+5．
设点P的坐标为（t，﹣t+5），
∴|t|=|﹣t+5|，
解得：t= ．
∴点P的坐标为（ ， ）．
21．（7分）（2016•湖北襄阳）“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队
计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的 ，这时乙队加入，两队还需
同时施工15天，才能完成该项工程．
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项
工程？
【分析】（1）直接利用队单独施工30天完成该项工程的 ，这时乙队加入，两队还需同
时施工15天，进而利用总工作量为1得出等式求出答案；
（2）直接利用甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，
∵甲队单独施工30天完成该项工程的 ，
∴甲队单独施工90天完成该项工程，
根据题意可得：
+15（ + ）=1，
第20页（共31页）解得：x=30，
检验得：x=30是原方程的根，
答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；
（2）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：
×36+y× ≥1，
解得：y≥18，
答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．
22．（8分）（2016•湖北襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点
E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．
（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；
（2）求CD的长．
【分析】（1）①欲证明直线AB是⊙O的切线，只要证明OC⊥AB即可．
②首先证明OC∥DF，再证明∠FDC=∠OCD，∠EDC=∠OCD即可．
（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M，在RT△CDM中，求出DM、CM即可解决问
题．
【解答】（1）①证明：连接OC．
∵OA=OB，AC=CB，
∴OC⊥AB，
∵点C在⊙O上，
∴AB是⊙O切线．
②证明：∵OA=OB，AC=CB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC，
∴∠BOC=∠OFD，
∴OC∥DF，
∴∠CDF=∠OCD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC=∠CDF．
（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．
∵ON⊥DF，
∴DN=NF=3，
在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，
第21页（共31页）∴ON= =4，
∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，
∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，
∴四边形OCMN是矩形，
∴ON=CM=4，MN=OC=5，
在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，
∴CD= = =4 ．
23．（10分）（2016•湖北襄阳）襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了
一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价
x（元/件）的函数解析式为：y= ．
（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于
售价x（元/件）的函数解析式；
（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利
润是多少？
（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值
范围．
【分析】（1）根据：年利润=（售价﹣成本）×年销售量，结合x的取值范围可列函数关
系式；
（2）将（1）中两个二次函数配方后依据二次函数的性质可得其最值情况，比较后可得答
案；
（3）根据题意知W≥750，可列关于x的不等式，求解可得x的范围．
【解答】解：（1）当40≤x＜60时，W=（x﹣30）（﹣2x+140）=﹣2x2+200x﹣4200，
当60≤x≤70时，W=（x﹣30）（﹣x+80）=﹣x2+110x﹣2400；
（2）当40≤x＜60时，W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2（x﹣50）2+800，
∴当x=50时，W取得最大值，最大值为800万元；
当60≤x≤70时，W=﹣x2+110x﹣2400=﹣（x﹣55）2+625，
∴当x＞55时，W随x的增大而减小，
∴当x=60时，W取得最大值，最大值为：﹣（60﹣55）2+625=600，
∵800＞600，
∴当x=50时，W取得最大值800，
答：该产品的售价x为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800
万元；
第22页（共31页）（3）当40≤x＜60时，由W≥750得：﹣2（x﹣50）2+800≥750，
解得：45≤x≤55，
当60≤x≤70时，W的最大值为600＜750，
∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的售价x（元/件）的取值范围为
45≤x≤55．
24．（10分）（2016•湖北襄阳）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点
E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的长．
【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，
接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF= GF，接下来，证明
△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数
量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依
据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得
GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）EG2= GF•AF．
理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．
第23页（共31页）∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF= GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴ ，即DF2=FO•AF．
∵FO= GF，DF=EG，
∴EG2= GF•AF．
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵EG2= GF•AF，AG=6，EG=2 ，
∴20= FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．
解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．
∵DF=GE=2 ，AF=10，
∴AD= =4 ．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴ ，即 = ．
∴GH= ．
∴BE=AD﹣GH=4 ﹣ = ．
第24页（共31页）25．（13分）（2016•湖北襄阳）如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y=﹣ x+3
与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C
三点．
（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x
轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；
（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出
发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）
为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？
【分析】（1）分别令y=0和x=0代入y=﹣ x+3即可求出B和C的坐标，然后设抛物线的
交点式为y=a（x+2）（x﹣4），最后把C的坐标代入抛物线解析式即可求出a的值和顶点
D的坐标；
（2）若四边形DEFP为平行四边形时，则DP∥BC，设直线DP的解析式为y=mx+n，则
m=﹣ ，求出直线DP的解析式后，联立抛物线解析式和直线DP的解析式即可求出P的
坐标；
（3）由题意可知，0≤t≤6，若△QMN为等腰直角三角形，则共有三种情况，
①∠NMQ=90°；②∠MNQ=90°；③∠NQM=90°．
【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣ x+3
∴y=3，
∴C（0，3），
令y=0代入y=﹣ x+3
∴x=4，
∴B（4，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入y=a（x+2）（x﹣4），
∴a=﹣ ，
∴抛物线的解析式为：y= （x+2）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3，
∴顶点D的坐标为（1， ）；
第25页（共31页）（2）当DP∥BC时，
此时四边形DEFP是平行四边形，
设直线DP的解析式为y=mx+n，
∵直线BC的解析式为：y=﹣ x+3，
∴m=﹣ ，
∴y=﹣ x+n，
把D（1， ）代入y=﹣ x+n，
∴n= ，
∴直线DP的解析式为y=﹣ x+ ，
∴联立 ，
解得：x=3或x=1（舍去），
∴把x=3代入y=﹣ x+ ，
y= ，
∴P的坐标为（3， ）；
（3）由题意可知：0≤t≤6，
设直线AC的解析式为：y=m x+n ，
1 1
把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y=m x+n ，
1 1
得： ，
∴解得 ，
∴直线AC的解析式为：y= x+3，
由题意知：QB=t，
如图1，当∠NMQ=90°，
∴OQ=4﹣t，
第26页（共31页）令x=4﹣t代入y=﹣ x+3，
∴y= t，
∴M（4﹣t， t），
∵MN∥x轴，
∴N的纵坐标为 t，
把y= t代入y= x+3，
∴x= t﹣2，
∴N（ t﹣2， t），
∴MN=（4﹣t）﹣（ ﹣2）=6﹣ t，
∵MQ∥OC，
∴△BQM∽△BOC，
∴ ，
∴MQ= t，
当MN=MQ时，
∴6﹣ t= t，
∴t= ，
此时QB= ，符合题意，
如图2，当∠QNM=90°时，
∵QB=t，
∴点Q的坐标为（4﹣t，0）
∴令x=4﹣t代入y= x+3，
∴y=9﹣ t，
∴N（4﹣t，9﹣ t），
∵MN∥x轴，
∴点M的纵坐标为9﹣ t，
第27页（共31页）∴令y=9﹣ t代入y=﹣ x+3，
∴x=2t﹣8，
∴M（2t﹣8，9﹣ t），
∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12，
∵NQ∥OC，
∴△AQN∽△AOC，
∴ = ，
∴NQ=9﹣ t，
当NQ=MN时，
∴9﹣ t=3t﹣12，
∴t= ，
∴此时QB= ，符合题意
如图3，当∠NQM=90°，
过点Q作QE⊥MN于点E，
过点M作MF⊥x轴于点F，
设QE=a，
令y=a代入y=﹣ x+3，
∴x=4﹣ ，
∴M（4﹣ a，a），
令y=a代入y= x+3，
∴x= ﹣2，
∴N（ ﹣2，0），
∴MN=（4﹣ a）﹣（ a﹣2）=6﹣2a，
当MN=2QE时，
∴6﹣2a=2a，
∴a= ，
∴MF=QE= ，
第28页（共31页）∵MF∥OC，
∴△BMF∽△BCO，
∴ = ，
∴BF=2，
∴QB=QF+BF= +2= ，
∴t= ，此情况符合题意，
综上所述，当△QMN为等腰直角三角形时，此时t= 或 或 ．
第29页（共31页）第30页（共31页）参与本试卷答题和审题的老师有：zhangCF；曹先生；gbl210；HJJ；caicl；三界无我；王
学峰；fangcao；HLing；lanchong；733599；zgm666；szl；弯弯的小河；sd2011；zcx；梁
宝华；神龙杉（排名不分先后）
菁优网
2016年9月19日
第31页（共31页）
