文档内容
2015年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有
一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）（2015•武汉）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．5 D．3
2．（3分）（2015•武汉）若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≤2
3．（3分）（2015•武汉）把a2﹣2a分解因式，正确的是（ ）
A．a（a﹣2） B．a（a+2） C．a（a2﹣2） D．a（2﹣a）
4．（3分）（2015•武汉）一组数据3，8，12，17，40的中位数为（ ）
A．3 B．8 C．12 D．17
5．（3分）（2015•武汉）下列计算正确的是（ ）
A．2a2﹣4a2=﹣2 B．3a+a=3a2 C．3a•a=3a2 D．4a6÷2a3=2a2
6．（3分）（2015•武汉）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，
相似比为 ，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）
7．（3分）（2015•武汉）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是
（ ）
A． B． C． D．
第1页（共26页）8．（3分）（2015•武汉）下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列
说法错误的是（ ）
A．4：00气温最低 B．6：00气温为24℃
C．14：00气温最高 D．气温是30℃的时刻为16：00
9．（3分）（2015•武汉）在反比例函数y= 图象上有两点A（x ，y ），B（ x ，y ），x ＜0＜
1 1 2 2 1
x ，y ＜y ，则m的取值范围是（ ）
2 1 2
A． B． C． D．
m＞ m＜ m≥ m≤
10．（3分）（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF
的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）
A．2﹣ B． +1 C． D． ﹣1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
11．（3分）（2015•武汉）计算：﹣10+（+6）= ．
12．（3分）（2015•武汉）中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为
．
13．（3分）（2015•武汉）一组数据2，3，6，8，11的平均数是 ．
第2页（共26页）14．（3分）（2015•武汉）如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间
的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千
克这种苹果可节省 元．
15．（3分）（2015•武汉）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，
则2*3= ．
16．（3分）（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，
点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．
17．（8分）（2015•武汉）已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．
18．（8分）（2015•武汉）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF
于点F，AC=DF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
第3页（共26页）19．（8分）（2015•武汉）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，
3，4．
（1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率；
（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：
①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；
②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．
20．（8分）（2015•武汉）如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线
交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．
21．（8分）（2015•武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．
22．（10分）（2015•武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
第4页（共26页）（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交
AD于点K．
①求 的值；
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另
两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
23．（10分）（2015•武汉）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的
平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S ，四边形EFQP的面积为S ，四边形
1 2
PQCB的面积为S ．
3
（1）求证：EF+PQ=BC；
（2）若S +S =S ，求 的值；
1 3 2
（3）若S +S =S ，直接写出 的值．
3 1 2
24．（12分）（2015•武汉）已知抛物线y= x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．
第5页（共26页）（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于
点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你
的探究）．
（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，
∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．
2015 年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有
一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）（2015•武汉）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．5 D．3
考点：实数大小比较．
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分析：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反
而小，据此判断即可．
解答：解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣3＜0＜3＜5，
所以在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是﹣3．
故选：A．
第6页（共26页）点评：此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数
＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）（2015•武汉）若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≤2
考点：二次根式有意义的条件．
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分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
解答：解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．（3分）（2015•武汉）把a2﹣2a分解因式，正确的是（ ）
A．a（a﹣2） B．a（a+2） C．a（a2﹣2） D．a（2﹣a）
考点：因式分解-提公因式法．
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专题：计算题．
分析：原式提取公因式得到结果，即可做出判断．
解答：解：原式=a（a﹣2），
故选A．
点评：此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
4．（3分）（2015•武汉）一组数据3，8，12，17，40的中位数为（ ）
A．3 B．8 C．12 D．17
考点：中位数．
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分析：首先把这组数据3，8，12，17，40从小到大排列，然后判断出中间的数是多少，即可判
断出这组数据的中位数为多少．
解答：解：把3，8，12，17，40从小到大排列，可得
3，8，12，17，40，
所以这组数据3，8，12，17，40的中位数为12．
故选：C．
点评：此题主要考查了中位数的含义和求法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
第7页（共26页）将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于
中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据
的平均数就是这组数据的中位数．
5．（3分）（2015•武汉）下列计算正确的是（ ）
A．2a2﹣4a2=﹣2 B．3a+a=3a2 C．3a•a=3a2 D．4a6÷2a3=2a2
考点：整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式．
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专题：计算题．
分析：A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断．
解答：解：A、原式=﹣2a2，错误；
B、原式=4a，错误；
C、原式=3a2，正确；
D、原式=2a3，错误．
故选C．
点评：此题考查了整式的除法，合并同类项，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本
题的关键．
6．（3分）（2015•武汉）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，
相似比为 ，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）
考点：位似变换；坐标与图形性质．
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分析：
根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是 ，根据已知数据可以求出点C
第8页（共26页）的坐标．
解答：
解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是 ，
∴ = ，又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选：A．
点评：本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相
似比的关系的应用．
7．（3分）（2015•武汉）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是
（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
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分析：根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
解答：解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较宽的矩形．
故选：B．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图
是矩形．
8．（3分）（2015•武汉）下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列
说法错误的是（ ）
第9页（共26页）A．4：00气温最低 B．6：00气温为24℃
C．14：00气温最高 D．气温是30℃的时刻为16：00
考点：折线统计图．
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分析：根据观察函数图象的横坐标，可得时间，根据观察函数图象的纵坐标，可得气温．
解答：解：A、由横坐标看出4：00气温最低是24℃，故A正确；
B、由纵坐标看出6：00气温为24℃，故B正确；
C、由横坐标看出14：00气温最高31℃；
D、由横坐标看出气温是30℃的时刻是12：00，16：00，故D错误；
故选：D．
点评：本题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题
的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况，如气温变化图．
9．（3分）（2015•武汉）在反比例函数y= 图象上有两点A（x ，y ），B（ x ，y ），x ＜0＜
1 1 2 2 1
x ，y ＜y ，则m的取值范围是（ ）
2 1 2
A． B． C． D．
m＞ m＜ m≥ m≤
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
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分析：首先根据当x ＜0＜x 时，有y ＜y 则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断1
1 2 1 2
﹣3m的取值范围．
解答：解：∵x ＜0＜x 时，y ＜y ，
1 2 1 2
∴反比例函数图象在第一，三象限，
∴1﹣3m＞0，
解得：m＜ ．
故选B．
第10页（共26页）点评：本题主要考查反比例函数的性质，关键是根据题意判断出图象所在象限．
10．（3分）（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF
的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）
A．2﹣ B． +1 C． D． ﹣1
考点：旋转的性质；四点共圆；线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定
理；相似三角形的判定与性质．
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分析：连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG=∠DCF，从而可得A、
D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M
在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问
题．
解答：解：连接AD、DG、BO、OM，如图．
∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，
∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC， = ，
∴△DAG∽△DCF，
∴∠DAG=∠DCF．
∴A、D、C、M四点共圆．
根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，
当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，
此时，BO= = = ，OM= AC=1，
则BM=BO﹣OM= ﹣1．
故选D．
第11页（共26页）点评：本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四
点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决
本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
11．（3分）（2015•武汉）计算：﹣10+（+6）= ﹣ 4 ．
考点：有理数的加法．
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专题：计算题．
分析：原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．
解答：解：原式=﹣（10﹣6）=﹣4．
故答案为：﹣4．
点评：此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）（2015•武汉）中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为
3.7×10 5 ．
考点：科学记数法—表示较大的数．
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分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10n（1≤|a|＜
10，n为整数）中n的值，由于370 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．
解答：解：370 000=3.7×105，
故答案为：3.7×105．
点评：本题主要考查了科学计数法：熟记规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0是解题的
关键．
13．（3分）（2015•武汉）一组数据2，3，6，8，11的平均数是 6 ．
第12页（共26页）考点：算术平均数．
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分析：首先求出2，3，6，8，11的和是多少；然后用2，3，6，8，11的和除以5，求出一组数据2，
3，6，8，11的平均数是多少即可．
解答：解：（2+3+6+8+11）÷5
=30÷5
=6
所以一组数据2，3，6，8，11的平均数是6．
故答案为：6．
点评：此题主要考查了算术平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：对
于n个数x ，x ，…，x ，则 = （x +x +…+x ）就叫做这n个数的算术平均数．
1 2 n 1 2 n
14．（3分）（2015•武汉）如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间
的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千
克这种苹果可节省 2 元．
考点：一次函数的应用．
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分析：根据函数图象，分别求出线段OA和射线AB的函数解析式，即可解答．
解答：解：由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y=10x，
1千克苹果的价钱为：y=10，
设射线AB的解析式为y=kx+b（x≥2），
把（2，20），（4，36）代入得： ，
解得： ，
∴y=8x+4，
当x=3时，y=8×3+4=28．
当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3=30（元），
第13页（共26页）30﹣28=2（元）．
则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．
点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是分别求出线段OA和射线AB的函数
解析式．
15．（3分）（2015•武汉）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，
则2*3= 1 0 ．
考点：解二元一次方程组．
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专题：新定义．
分析：已知等式利用新定义化简，求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
解答：
解：根据题中的新定义化简已知等式得： ，
解得：a=1，b=2，
则2*3=4a+3b=4+6=10，
故答案为：10．
点评：此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．（3分）（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，
点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
考点：轴对称-最短路线问题．
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分析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN
的最小值．
解答：解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，
∴在Rt△M′ON′中，
第14页（共26页）M′N′= = ．
故答案为 ．
点评：本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边
三角形是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．
17．（8分）（2015•武汉）已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．
考点：待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式．
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分析：（1）把x=1，y=4代入y=kx+3，求出k的值是多少，即可求出这个一次函数的解析式．
（2）首先把（1）中求出的k的值代入kx+3≤6，然后根据一元一次不等式的解法，求出关
于x的不等式kx+3≤6的解集即可．
解答：解：（1）∵一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4），
∴4=k+3，
∴k=1，
∴这个一次函数的解析式是：y=x+3．
（2）∵k=1，
∴x+3≤6，
∴x≤3，
即关于x的不等式kx+3≤6的解集是：x≤3．
点评：（1）此题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：①先设出函数的一般形式，如求
一次函数的解析式时，先设y=kx+b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代
入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系
数的值，进而写出函数解析式．
（2）此题还考查了一元一次不等式的解法，要熟练掌握，基本操作方法与解一元一次
方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数
第15页（共26页）为1．
18．（8分）（2015•武汉）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF
于点F，AC=DF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定．
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专题：证明题．
分析：（1）由SAS容易证明△ABC≌△DEF；
（2）由△ABC≌△DEF，得出对应角相等∠B=∠DEF，即可得出结论．
解答：证明：（1）∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，
∴∠ACB=∠DFE=90°，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定与
性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．（8分）（2015•武汉）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，
3，4．
（1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率；
（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：
①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；
②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．
第16页（共26页）考点：列表法与树状图法；概率公式．
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分析：（1）由一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4直接利
用概率公式求解即可求得答案；
（2）①首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的
小球一个标号是1，另一个标号是2的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；
②由树状图即可求得第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的情
况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：（1）∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，
∴随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率为： ；
（2）画树状图得：
则共有16种等可能的结果；
①∵两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的有2种情况，
∴两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率为： = ；
②∵第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的只有1种情况，
∴第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率为： ．
点评：此题考查了树状图法与列表法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
20．（8分）（2015•武汉）如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线
交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．
第17页（共26页）考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质；平移的性质．
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分析：（1）利用中心对称图形的性质得出C，D两点坐标；
（2）利用平行四边形的性质以及结合平移的性质得出即可；
（3）利用S 的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，进而求出即可．
ABCD
解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD关于O中心对称，
∵A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），
∴C（4，﹣2），D（1，2）；
（2）线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°；
（3）由（1）得：A到y轴距离为：4，D到y轴距离为：1，
A到x轴距离为：2，B到x轴距离为：2，
∴S 的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，
ABCD
∴S =5×4=20．
ABCD
点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及中心对称图形的性质，根据题意得出S 的
ABCD
可以转化为矩形面积是解题关键．
21．（8分）（2015•武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．
第18页（共26页）考点：切线的判定；解直角三角形．
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分析：（1）根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，从而证得AT是⊙O的切
线；
（2）作CD⊥AT于D，设OA=x，则AT=2x，根据勾股定理得出OT= x，TC=（ ﹣1）
x，由CD⊥AT，TA⊥AB得出CD∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出 = = ，
即 = = ，从而求得CD=（1﹣ ）x，AD=2x﹣2（1﹣ ）x= x，然
后解正切函数即可求得．
解答：解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB．
∴∠TAB=90°，
∴TA⊥AB，
∴AT是⊙O的切线；
（2）作CD⊥AT于D，
∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，
设OA=x，则AT=2x，
∴OT= x，
∴TC=（ ﹣1）x，
∵CD⊥AT，TA⊥AB
∴CD∥AB，
∴ = = ，即 = = ，
∴CD=（1﹣ ）x，TD=2（1﹣ ）x，
∴AD=2x﹣2（1﹣ ）x= x，
∴tan∠TAC= = = ．
点评：本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，平行线的判定和性质，解直角三角形等，作
出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
第19页（共26页）22．（10分）（2015•武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交
AD于点K．
①求 的值；
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另
两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；矩形的性质；正方形的性质．
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分析：
（1）①根据EF∥BC，可得 ，所以 ，据此求出 的值是多少即可．
②首先根据EH=x，求出AK=8﹣x，再根据 = ，求出EF的值；然后根据矩形的面积
公式，求出S与x的函数关系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．
（2）根据题意，设正方形的边长为a，分两种情况：①当正方形PQMN的两个顶点在
BC边上时；②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时；分类讨论，求出正方
形PQMN的边长各是多少即可．
解答：解：（1）①∵EF∥BC，
∴ ，
∴ = ，
即 的值是 ．
②∵EH=x，
∴KD=EH=x，AK=8﹣x，
第20页（共26页）∵ = ，
∴EF= ，
∴S=EH•EF= x（8﹣x）=﹣ +24，
∴当x=4时，S的最大值是24．
（2）设正方形的边长为a，
①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，
，
解得a= ．
②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=12÷2=6，
∴AB=AC= ，
∴AB或AC边上的高等于：
AD•BC÷AB
=8×12÷10
=
∴ ，
解得a= ．
综上，可得
正方形PQMN的边长是 或 ．
点评：（1）此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含
条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造
相似三角形．
（2）此题还考查了二次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：确
定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为
抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的
函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
第21页（共26页）（3）此题还考查了矩形、正方形、直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要
熟练掌握．
23．（10分）（2015•武汉）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的
平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S ，四边形EFQP的面积为S ，四边形
1 2
PQCB的面积为S ．
3
（1）求证：EF+PQ=BC；
（2）若S +S =S ，求 的值；
1 3 2
（3）若S +S =S ，直接写出 的值．
3 1 2
考点：相似形综合题．
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分析：
（1）由平行线得出比例式 ， ，证出AP=BE，得出 =1，即可得出
EF+PQ=BC；
（2）过点A作AH⊥BC于H，分别交PQ于M、N，设EF=a，PQ=b，AM=h，则BC=a+b，
由平行线得出△AEF∽△APQ，得出 = ，得出AN= ，MN=（ ﹣1）h，
由三角形的面积公式得出S = ah，S = （a+b）（ ﹣1）h，S = （b+a+b）h，得出 ah+
1 2 3
（a+b+b）h= （a+b）（ ﹣1）h，求出b=3a，即可得出结果；（3）由题意得出 （a+b+b）h﹣
ah= （a+b）（ ﹣1）h，得出b=（1+ ）a，即可得出结果．
解答：（1）证明：∵EF∥BC，PQ∥BC，
∴ ， ，
∵AE=BP，
∴AP=BE，
∴ = =1，
第22页（共26页）∴ =1，
∴EF+PQ=BC；
（2）解：过点A作AH⊥BC于H，分别交PQ于M、N，如图所示：
设EF=a，PQ=b，AM=h，
则BC=a+b，
∵EF∥PQ，
∴△AEF∽△APQ，
∴ = ，
∴AN= ，MN=（ ﹣1）h，
∴S = ah，S = （a+b）（ ﹣1）h，S = （b+a+b）h，
1 2 3
∵S +S =S ，
1 3 2
∴ ah+ （a+b+b）h= （a+b）（ ﹣1）h，
解得：b=3a，
∴ =3，
∴ =2；
（3）解：∵S ﹣S =S ，
3 1 2
∴ （a+b+b）h﹣ ah= （a+b）（ ﹣1）h，
解得：b=（1± ）a（负值舍去），
∴b=（1+ ）a，
∴ =1+ ，
∴ = ．
点评：本题是相似形综合题目，考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积
的计算以及解方程等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅
助线证明三角形相似和解方程才能得出结果．
第23页（共26页）24．（12分）（2015•武汉）已知抛物线y= x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于
点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你
的探究）．
（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，
∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．
考点：二次函数综合题．
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分析：（1）将点A的坐标代入抛物线解析式即可求得c的值，则可得抛物线解析式；
（2）过点C作CH⊥EF于点H，易证△EHC∽△FGC，再根据相似三角形的性质可得n的
值；
（3）首先表示出点P的坐标，再根据△OPM∽△QPB，然后由对应边的比值相等得出PQ
和BQ的长，从而可得△PBQ的周长．
解答：
解：（1）把A（﹣1，0）代入
得c=﹣ ，
∴抛物线解析式为
（2）如图1，过点C作CH⊥EF于点H，
第24页（共26页）∵∠CEF=∠CFG，FG⊥y轴于点G
∴△EHC∽△FGC
∵E（m，n）
∴F（m， ）
又∵C（0， ）
∴EH=n+ ，CH=﹣m，FG=﹣m，CG= m2
又∵ ，
则
∴n+ =2
∴n= （﹣2＜m＜0）
（3）由题意可知P（t，0），M（t， ）
∵PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，
∴△OPM∽△QPB．
∴ ．
其中OP=t，PM= ，PB=1﹣t，
∴PQ= ．
BQ=
第25页（共26页）∴PQ+BQ+PB= ．
∴△PBQ的周长为2．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，同时涉及了相似三角形的判定与性质，具有一定的
综合性与难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的运用．
参与本试卷答题和审题的老师有：放飞梦想；HJJ；sks；1286697702；2300680618；守拙；
1160374；王学峰；sdwdmahongye；CJX；wdzyzmsy@126.com；zcx；gbl210；774604808（排名不
分先后）
菁优网
2015年7月23日
第26页（共26页）
