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2015 年湖北省鄂州市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2015•鄂州）﹣ 的倒数是（ ）
A． B． 3 C． ﹣3 D． ﹣
2．（3分）（2015•鄂州）某小区居民王先生改进用水设施，在5年内帮助他居住小
区的居民累计节水39400吨，将39400用科学记数法表示（结果保留2个有效数
字）应为（ ）
A． 3.9×104 B． 3.94×104 C． 39.4×103 D． 4.0×104
3．（3分）（2015•鄂州）下列运算正确的是（ ）
A． a4•a2=a8 B． （a2）4=a6 C． （ab）2=ab2 D． 2a3÷a=2a2
4．（3分）（2015•鄂州）为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进
行调查，下表是这10户居民2015年4月份用电量的调查结果：
居民（户） 1 2 3 4
月用电量（度/户） 30 42 50 51
那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（ ）
A． 中位数是50 B． 众数是51 C． 方差是42 D． 极差是21
5．（3分）（2015•鄂州）如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，
则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2015•鄂州）如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，
EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（ ）度．A． 70 B． 65 C． 60 D． 55
7．（3分）（2015•鄂州）如图，直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反
比例函数y= 的图象在
第一象限交于点A，连接OA．若S ：S =1：2，则k的值为（ ）
AOB BOC
△ △
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6
8．（3分）（2015•鄂州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，
连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2015•鄂州）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程
中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间（t 小时）之间的函数
关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t= 或 ．
其中正确的结论有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
10．（3分）（2015•鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A B C D 、D E E B 、
1 1 1 1 1 1 2 2
A B C D 、D E E B 、A B C D …按如图所示的方式放置，其中点B 在y轴上，点
2 2 2 2 2 3 4 3 3 3 3 3 1
C 、E 、E 、C 、E 、E 、C …在x轴上，已知正方形A B C D 的边长为1，
1 1 2 2 3 4 3 1 1 1 1
∠B C O=60°，B C ∥B C ∥B C …则正方形A B C D 的边长是（ ）
1 1 1 1 2 2 3 3 2015 2015 2015 2015
A． （ ）2014 B． （ ）2015 C． （ ）2015 D． （ ）2014
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•鄂州）若使二次根式 有意义，则x的取值范围是
．12．（3分）（2015•鄂州）分解因式：a3b﹣4ab= ．
13．（3分）（2015•鄂州）下列命题中正确的个数有 个．
①如果单项式3a4byc与2axb3cz是同类项，那么x=4，y=3，z=1；
②在反比例函数y= 中，y随x的增大而减小；
③要了解一批炮弹的杀伤半径，适合用普查方式；
④从﹣3，﹣2，2，3四个数中任意取两个数分别作为k，b的值，则直线y=kx+b经
过第一、二、三象限的概率是 ．
14．（3分）（2015•鄂州）圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高
为 ．
15．（3分）（2015•鄂州）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且
PA=1，AB是⊙O的弦，AB= ，连接PB，则PB= ．
16．（3分）（2015•鄂州）如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点
OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为
．
三、解答题（17-20每题8分，21-22每题9分，23题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）（2015•鄂州）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a= ﹣1．18．（8分）（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接
BE，CE．
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BEC的度数．
19．（8分）（2015•鄂州）八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的
数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立
定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况
及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图．
请你根据上面提供的信息回答下列问题：
（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 度，该班共有学生
人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 ．（2）老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，
请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率．
20．（8分）（2015•鄂州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等
实根x ，x ．
1 2
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x ，x 满足|x |+|x |=x •x ，求k的值．
1 2 1 2 1 2
21．（9分）（2015•鄂州）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．
已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为
30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为
45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．
（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）
（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据： ≈1.4， ≈1.7）
22．（9分）（2015•鄂州）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半
径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
23．（10分）（2015•鄂州）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，
价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千
克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且
当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
24．（12分）（2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+2与x轴交
于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣ 且经过A、C两点，
与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的
最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N
为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理
由．2015 年湖北省鄂州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2015•鄂州）﹣ 的倒数是（ ）
A． B． 3 C． ﹣3 D． ﹣
考点： 倒数．
分析： 一个数的倒数就是把这个数的分子、分母颠倒位置即可得到．
解答： 解：﹣ 的倒数是﹣ =﹣3．
故选C．
点评： 此题考查倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）（2015•鄂州）某小区居民王先生改进用水设施，在5年内帮助他居住小
区的居民累计节水39400吨，将39400用科学记数法表示（结果保留2个有效数
字）应为（ ）
A． 3.9×104 B． 3.94×104 C． 39.4×103 D． 4.0×104
考点： 科学记数法与有效数字．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值是易错点，由于39400有5位，所以可以确定n=5﹣1=4，由于结果保留2个
有效数字，所以a=3.9．
解答： 解：39 400≈3.9×104．
故选A．
点评： 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3．（3分）（2015•鄂州）下列运算正确的是（ ）
A． a4•a2=a8 B． （a2）4=a6 C． （ab）2=ab2 D． 2a3÷a=2a2考点： 整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析： 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、整式的除法，即可解答．
解答： 解：A、a4•a2=a6，故错误；
B、（a2）4=a8，故错误；
C、（ab）2=a2b2，故错误；
D、正确；
故选：D．
点评： 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、整式的除法，解决本题
的关键是熟记相关法则．
4．（3分）（2015•鄂州）为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进
行调查，下表是这10户居民2015年4月份用电量的调查结果：
居民（户） 1 2 3 4
月用电量（度/户） 30 42 50 51
那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（ ）
A． 中位数是50 B． 众数是51 C． 方差是42 D． 极差是21
考点： 方差；中位数；众数；极差．
专题： 计算题．
分析： 根据表格中的数据，求出平均数，中位数，众数，极差与方差，即可做出判
断．
解答： 解：10户居民2015年4月份用电量为30，42，42，50，50，50，51，51，51，
51，
平均数为 （30+42+42+50+50+50+51+51+51+51）=46.8，
中位数为50；众数为51，极差为51﹣30=21，方差为 （[ 30﹣46.8）2+2（42﹣46.8）
2+3（50﹣46.8）2+4（51﹣46.8）2 =42.96．
故选C．
]点评： 此题考查了方差，中位数，众数，以及极差，熟练掌握各自的求法是解本题
的关键．
5．（3分）（2015•鄂州）如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，
则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视
图中．
解答： 解：从上面看易得左侧有2个正方形，右侧有一个正方形．
故选A．
点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．（3分）（2015•鄂州）如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，
EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（ ）度．
A． 70 B． 65 C． 60 D． 55
考点： 平行线的性质．分析： 先由垂直的定义，求出∠PEF=90°，然后由∠BEP=50°，进而可求
∠BEF=140°，然后根据两直线平行同旁内角互补，求出∠EFD的度数，然后根据角
平分线的定义可求∠EFP的度数，然后根据三角形内角和定理即可求出∠EPF的
度数．
解答： 解：如图所示，
∵EP⊥EF，
∴∠PEF=90°，
∵∠BEP=50°，
∴∠BEF=∠BEP+∠PEF=140°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴∠EFD=40°，
∵FP平分∠EFD，
∴ =20°，
∵∠PEF+∠EFP+∠EPF=180°，∴∠EPF=70°．
故选：A．
点评： 此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；
两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
7．（3分）（2015•鄂州）如图，直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反
比例函数y= 的图象在
第一象限交于点A，连接OA．若S ：S =1：2，则k的值为（ ）
AOB BOC
△ △
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 先由直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，求出C（0，﹣2），B
（2，0），那么S = OB•OC= ×2×2=2，根据S ：S =1：2，得出S =
BOC AOB BOC AOB
△ △ △ △
S =1，求出y =1，再把y=1代入y=x﹣2，解得x的值，得到A点坐标，然后将A
BOC A
△
点坐标代入y= ，即可求出k的值．
解答： 解：∵直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，
∴C（0，﹣2），B（2，0），
∴S = OB•OC= ×2×2=2，
BOC
△
∵S ：S =1：2，
AOB BOC
△ △∴S = S =1，
AOB BOC
△ △
∴ ×2×y =1，
A
∴y =1，
A
把y=1代入y=x﹣2，
得1=x﹣2，解得x=3，
∴A（3，1）．
∵反比例函数y= 的图象过点A，
∴k=3×1=3．
故选B．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数
图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求反比例函数解析式，求出A
点坐标是解题的关键．
8．（3分）（2015•鄂州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，
连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=（ ）
A． B． C． D．
考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 过E作EH⊥CF于H，由折叠的性质得BE=EF，∠BEA=∠FEA，由点E是
BC的中点，得到CE=BE，得到△EFC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得
到∠FEH=∠CEH，推出△ABE∽△EHC，求得EH= ，结果可求sin∠ECF= = ．
解答： 解：过E作EH⊥CF于H，
由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA，
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴EF=CE，
∴∠FEH=∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH=90°，
在矩形ABCD中，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CEH，∠B=∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴ ，
∵AE= =10，
∴EH= ，∴sin∠ECF= = ，
故选D．
点评： 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相
等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．
9．（3分）（2015•鄂州）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程
中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间（t 小时）之间的函数
关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t= 或 ．
其中正确的结论有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 一次函数的应用．
分析： 观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离
y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的
差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．解答： 解：
由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在
甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y =kt，
甲
把（5，300）代入可求得k=60，
∴y =60t，
甲
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y =mt+n，
乙
把（1，0）和（4，300）代入可得 ，解得 ，
∴y =100t﹣100，
乙
令y =y 可得：60t=100t﹣100，解得t=2.5，
甲 乙
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③不正确；
令|y ﹣y |=50，可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，
甲 乙
当100﹣40t=50时，可解得t= ，
当100﹣40t=﹣50时，可解得t= ，
∴④正确；
综上可知正确的有①②④共三个，
故选C．
点评： 本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，
特别注意t是甲车所用的时间．
10．（3分）（2015•鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A B C D 、D E E B 、
1 1 1 1 1 1 2 2
A B C D 、D E E B 、A B C D …按如图所示的方式放置，其中点B 在y轴上，点
2 2 2 2 2 3 4 3 3 3 3 3 1C 、E 、E 、C 、E 、E 、C …在x轴上，已知正方形A B C D 的边长为1，
1 1 2 2 3 4 3 1 1 1 1
∠B C O=60°，B C ∥B C ∥B C …则正方形A B C D 的边长是（ ）
1 1 1 1 2 2 3 3 2015 2015 2015 2015
A． （ ）2014 B． （ ）2015 C． （ ）2015 D． （ ）2014
考点： 正方形的性质．
专题： 规律型．
分析： 利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出
变化规律即可得出答案．
解答： 解：如图所示：∵正方形A B C D 的边长为1，∠B C O=60°，
1 1 1 1 1 1
B C ∥B C ∥B C …
1 1 2 2 3 3
∴D E =B E ，D E =B E ，∠D C E =∠C B E =∠C B E =30°，
1 1 2 2 2 3 3 4 1 1 1 2 2 2 3 3 4
∴D E =C D sin30°= ，则B C = = =（ ）1，
1 1 1 1 2 2
同理可得：B C = =（ ）2，
3 3
故正方形A B C D 的边长是：（ ）n﹣1．
n n n n则正方形A B C D 的边长是：（ ）2014．
2015 2015 2015 2015
故选：D．
点评： 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边
长变化规律是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•鄂州）若使二次根式 有意义，则x的取值范围是 x≥ 2
．
考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即
可．
解答： 解：∵二次根式 有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
点评： 本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
12．（3分）（2015•鄂州）分解因式：a3b﹣4ab= a b （ a+ 2 ）（ a﹣ 2 ） ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 计算题．
分析： 原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
解答： 解：原式=ab（a2﹣4）=ab（a+2）（a﹣2），
故答案为：ab（a+2）（a﹣2）
点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
是解本题的关键．13．（3分）（2015•鄂州）下列命题中正确的个数有 2 个．
①如果单项式3a4byc与2axb3cz是同类项，那么x=4，y=3，z=1；
②在反比例函数y= 中，y随x的增大而减小；
③要了解一批炮弹的杀伤半径，适合用普查方式；
④从﹣3，﹣2，2，3四个数中任意取两个数分别作为k，b的值，则直线y=kx+b经
过第一、二、三象限的概率是 ．
考点： 命题与定理．
分析： ①根据同类项的定义列方程求解即可；②依据反比例函数的性质解答即
可；③具有破坏性的调查不适合普查；④首先根据题意画出树状图，然后由树状
图求得所有等可能的结果与一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的情
况，再利用概率公式即可求得答案
解答： 解：①由同类项的定义可知：x=4，y=3，z=1，故①正确；
②k=3＞0函数图象在“每个分支上”y随x的增大而减小，故②错误；
③具有破坏性的调查不适合普查，故③错误；
④画树状图得：
共12中情况，当k＞0，b＞0时，一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，
故符合条件的有2个．
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的概率是： ．
故填：2．
点评： 本题考查了同类项的定义、反比例函数的性质、概率的计算以及调查方式
的选择，需要同学熟练掌握相关知识．14．（3分）（2015•鄂州）圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高
为 ．
考点： 圆锥的计算．
分析： 让周长除以2π即为圆锥的底面半径；根据圆锥的侧面积= ×侧面展开图
的弧长×母线长可得圆锥的母线长，利用勾股定理可得圆锥的高．
解答： 解：∵圆锥的底面周长为6π，
∴圆锥的底面半径为6π÷2π=3，
∵圆锥的侧面积= ×侧面展开图的弧长×母线长，
∴母线长=2×12π÷（6π）=4，
∴这个圆锥的高是 = ，
故答案为： ．
点评： 考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧
长；圆锥的侧面积= ×侧面展开图的弧长×母线长．
15．（3分）（2015•鄂州）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且
PA=1，AB是⊙O的弦，AB= ，连接PB，则PB= 1 或 ．
考点： 切线的性质．
专题： 分类讨论．
分析： 本题应分两种情况进行讨论：
（1）如图1，可以根据已知条件证明△POA≌△POB，然后即可求出PB；（2）如图2，此时可以根据已知条件证明PABO是平行四边形，然后利用平行四边
形的性质和勾股定理即可求出PB．
解答： 解：连接OA，
（1）如图1，连接OA，
∵PA=AO=1，OA=OB，PA是⊙的切线，
∴∠AOP=45°∵OA=OB，
∴∠BOP=∠AOP=45°，
在△POA与△POB中， ，
∴△POA≌△POB，
∴PB=PA=1；
（2）如图2，连接OA，与PB交于C，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
而PA=AO=，1
∴OP= ；
∵AB= ，
而OA=OB=1，
∴AO⊥BO，
∴四边形PABO是平行四边形，∴PB，AO互相平分；
设AO交PB与点C，
即OC= ，
∴BC= ，
∴PB= ．
故答案为：1或 ．
点评： 本题考查了切线的性质、勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边
形的性质与判定等知识，综合性比较强，注意分类讨论，不要漏解．
16．（3分）（2015•鄂州）如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点
OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为
36 ﹣54 ．考点： 轴对称-最短路线问题．
分析： 设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD
上时，△PMN的周长最小，此时△COD是等边三角形，求得三角形PMN和
△COD的面积，根据四边形PMON的面积为： （ S +S ）求得即可．
COD PMN
△ △
解答： 解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于
点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，
∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=6．
∵∠POC=∠POD，
∴OP⊥CD，∴OQ=6× =3 ，
∴PQ=6﹣3 ，
设MQ=x，则PM=CM=3﹣x，
∴（3﹣x）2﹣x2=（6﹣3 ）2，解得x=6 ﹣9，
∴S = MN×PQ=MQ•PQ=（6 ﹣9）•（6﹣3 ）=63 ﹣108，
PMN
△
∵S = ×3 ×6=9 ，
COD
△
∴四边形PMON的面积为： （ S +S ）= ×（72 ﹣108）=36 ﹣54．
COD PMN
△ △
故答案为36 ﹣54．
点评： 此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答
此题的关键．
三、解答题（17-20每题8分，21-22每题9分，23题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）（2015•鄂州）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a= ﹣1．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．解答： 解：原式=[ + • = • = ，
]
当a= ﹣1时，原式= = ．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接
BE，CE．
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BEC的度数．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，根据正三
角形的性质，可得AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，根据全等三角形的判定与性
质，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，∠ABE=∠AEB，根据三角形的内角和定理，可得
∠AEB，根据角的和差，可得答案．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°
∵三角形ADE为正三角形∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
在△BAE和△CDE中 ，
∴△BAE≌△CDE
∴BE=CE；
（2）∵AB=AD，AD=AE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAE=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°，
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．
点评： 本题考查了正方形的性质，（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，
全等三角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．
19．（8分）（2015•鄂州）八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的
数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立
定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况
及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图．请你根据上面提供的信息回答下列问题：
（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 3 6 度，该班共有学生 4 0 人，训练
后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 5 ．
（2）老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，
请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率．
考点： 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
分析： （1）跳绳部分的圆心角的度数用周角乘以跳绳部分所占的百分比即可；总
人数用用篮球的总人数除以其所占的百分比即可求得总人数；
（2）列树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
解答： 解：（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为360°×（1﹣50%﹣20%﹣10%﹣
10%）=36度；
该班共有学生（2+5+7+4+1+1）÷50%=40人；
训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 =5，
故答案为：36，40，5．
（2）三名男生分别用A ，A ，A 表示，一名女生用B表示．根据题意，可画树形图
1 2 3
如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，选中两名学生恰好是两名男生（记为事件
M）的结果有6种，∴P（M）= = ．
点评： 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法
适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验
注意概率=所求情况数与总情况数之比
20．（8分）（2015•鄂州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等
实根x ，x ．
1 2
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x ，x 满足|x |+|x |=x •x ，求k的值．
1 2 1 2 1 2
考点： 根的判别式；根与系数的关系．
分析： （1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=（2k+1）2﹣4（k2+1）
=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，求出k的取值范围；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的
取值范围解方程即可．
解答： 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，
解得：k＞ ；
（2）∵k＞ ，
∴x +x =﹣（2k+1）＜0，
1 2
又∵x •x =k2+1＞0，
1 2
∴x ＜0，x ＜0，
1 2
∴|x |+|x |=﹣x ﹣x =﹣（x +x ）=2k+1，
1 2 1 2 1 2∵|x |+|x |=x •x ，
1 2 1 2
∴2k+1=k2+1，
∴k =0，k =2，
1 2
又∵k＞ ，
∴k=2．
点评： 本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键
是利用根的判别式△=b2﹣4ac＞0求出k的取值范围，此题难度不大．
21．（9分）（2015•鄂州）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．
已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为
30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为
45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．
（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）
（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据： ≈1.4， ≈1.7）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： （1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N．设CN=x，分别
表示出EM、AM的长度，然后在Rt AEM中，根据tan∠EAM= ，代入求解即可；
△
（2）根据（1）求得的结果，可得EF=DF+CD，代入求解．解答： 解：（1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N，
设CN=x，
在Rt ECN中，
∵∠EC △ N=45°，
∴EN=CN=x，
∴EM=x+0.7﹣1.7=x﹣1，
∵BD=5，
∴AM=BF=5+x，
在Rt AEM中，
△
∵∠EAM=30°
∴ = ，
∴x﹣1= （x+5），
解得：x=4+3 ，
即DF=（4+3 ）（米）；
（2）由（1）得：
EF=x+0.7=4+ +0.7
=4+3×1.7+0.7
=9.8≈10（米）．点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角
三角形，利用三角函数的知识求解．
22．（9分）（2015•鄂州）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半
径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可
证得AE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质
得到 = ，即可解得R=3，从而求得⊙O的半径为3；
（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得
到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2．解答： （1）证明：连接OM．
∵AC=AB，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，CE=BE= BC=4，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥OM，
∴AE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，
∵OM∥BE，
∴△OMA∽△BEA，
∴ = 即 = ，
解得R=3，
∴⊙O的半径为3；（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，
∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，
∴四边形OMEH是矩形，
∴HE=OM=3，
∴BH=1，
∴BG=2BH=2．
点评： 本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三
角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．
23．（10分）（2015•鄂州）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，
价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千
克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且
当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
考点： 二次函数的应用．
专题： 应用题．分析： （1）根据y与x成一次函数解析式，设为y=kx+b，把x与y的两对值代入
求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；
（2）根据利润=单价×销售量列出W关于x的二次函数解析式即可；
（3）利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可．
解答： 解：（1）设y=kx+b，根据题意得 ，
解得：x=﹣ ，
∴y=﹣2x+200（30≤x≤60）；
（2）W=（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2（x﹣65）2+2000；
（3）W=﹣2（x﹣65）2+2000，
∵30≤x≤60，
∴x=60时，w有最大值为1950元，
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元．
点评： 此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函
数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
24．（12分）（2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+2与x轴交
于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣ 且经过A、C两点，
与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的
最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N
为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理
由．考点： 二次函数综合题．
分析： （1）①先求的直线y= x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性
可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的
坐标代入即可求得a的值；
（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=
m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S = ×PQ×4，然后利用配方法
PAC
△
可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；
（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①
当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当
M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似
三角形的对应关系．
解答： 解：（1）①y= 当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，
∴C（0，2），A（﹣4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣ 对称，
∴点B的坐标为1，0）．
②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2=﹣4a
∴a=
∴y= x2 x+2．
（2）设P（m， m2 m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴Q（m， m+2），
∴PQ= m2 m+2﹣（ m+2）
= m2﹣2m，
∵S = ×PQ×4，
PAC
△
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，
∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，
此时P（﹣2，3）．
（3）在Rt AOC中，tan∠CAO= 在Rt BOC中，tan∠BCO= ，
△ △∴∠CAO=∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠CAO+∠OBC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACO∽△CBO，
如下图：
①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；
②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；
③当点M在第四象限时，设M（n， n2 n+2），则N（n，0）
∴MN= n2+ n﹣2，AN=n+4
当 时，MN= AN，即 n2+ n﹣2= （n+4）
整理得：n2+2n﹣8=0
解得：n =﹣4（舍），n =2
1 2∴M（2，﹣3）；
当 时，MN=2AN，即 n2+ n﹣2=2（n+4），
整理得：n2﹣n﹣20=0
解得：n =﹣4（舍），n =5，
1 2
∴M（5，﹣18）．
综上所述：存在M（0，2），M（﹣3，2），M（2，﹣3），M（5，﹣18），使得以点A、
1 2 3 4
M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
点评： 本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本
题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．
