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2014 年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•随州）2的相反数是（ ）
A． B．﹣2 C．2 D．
2．（3分）（2014•随州）如图所示的物体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2014•随州）2013年，我市以保障和改善民生为重点的“十件实事”全面完成，财
政保障民生支出达74亿元，占公共财政预算支出的75%，数据74亿元用科学记数法表示为
（ ）
A．74×108元 B．7.4×108元 C．7.4×109元 D．0.74×1010元
4．（3分）（2014•随州）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE ：S△COB =（
）
A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2
5．（3分）（2014•随州）计算（﹣ xy2）3，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
x2y4 ﹣ x3y6 x3y6 ﹣ x3y5
6．（3分）（2014•随州）在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组
数据的众数、中位数、方差依次是（ ）A．18，18，1 B．18，17.5，3 C．18，18，3 D．18，17.5，1
7．（3分）（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点
测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米 B．50 米 C． D．50米
米
8．（3分）（2014•随州）关于反比例函数y= 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
9．（3分）（2014•随州）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时
针旋转60°，得到
△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（ ）
A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDC
C．△BDE是等边三角形 D．△ADE的周长是9
10．（3分）（2014•随州）某通讯公司提供了两种移动电话收费方式：方式1，收月基本费20元，
再以每分钟0.1元的价格按通话时间计费；方式2，收月基本费20元，送80分钟通话时间，超
过80分钟的部分，以每分钟0.15元的价格计费．
下列结论：
①如图描述的是方式1的收费方法；②若月通话时间少于240分钟，选择方式2省钱；
③若月通讯费为50元，则方式1比方式2的通话时间多；
④若方式1比方式2的通讯费多10元，则方式1比方式2的通话时间多100分钟．
其中正确的是（ ）
A．只有①② B．只有③④ C．只有①②③ D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2014•随州）计算：|﹣3|+ +（ ﹣1）0= ．
12．（3分）（2014•随州）不等式组 的解集是 ．
13．（3分）（2014•随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°
角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 度．
14．（3分）（2014•随州）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化
面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 ．
15．（3分）（2014•随州）圆锥的底面半径是2cm，母线长6cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形
圆心角度数为 度．
16．（3分）（2014•随州）如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的
顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下
列判断：①当x=1时，点P是正方形ABCD的中心；
②当x= 时，EF+GH＞AC；
③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是 ；
④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确的是 （写出所有正确判断的序号）．
三、解答题（共72分）
17．（6分）（2014•随州）先简化，再求值：（ ﹣ ）+ ，其中a= +1．
18．（7分）（2014•随州）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分
别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）填空：当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．19．（7分）（2014•随州）近几年我市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会效果．某校随
机调查了九年级m名学生的升学意向，并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表：
升学意向 人数 百分比
省级示范高中 15 25%
市级示范高中 15 25%
一般高中 9 n
职业高中
其他 3 5%
m 100%
请你根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）表中m的值为 ，n的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校九年级有学生500名，估计该校大约有多少名毕业生的升学意向是职业高中？
20．（7分）（2014•随州）某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标．经测算：
若由两个工程队合做，12天恰好完成；若两个队合做9天后，剩下的由甲队单独完成，还需5
天时间，现需从这两个工程队中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选
择哪个队？为什么？
21．（7分）（2014•随州）四张扑克牌的牌面如图1，将扑克牌洗匀后，如图2背面朝上放置在
桌面上，小明和小亮设计了A、B两种游戏方案：
方案A：随机抽一张扑克牌，牌面数字为5时小明获胜；否则小亮获胜．
方案B：随机同时抽取两张扑克牌，两张牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小亮获胜．请你帮小亮选择其中一种方案，使他获胜的可能性较大，并说明理由．
22．（8分）（2014•随州）如图，⊙O中，点C为 的中点，∠ACB=120°，OC的延长线与AD交
于点D，且∠D=∠B．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若点C到弦AB的距离为2，求弦AB的长．
23．（8分）（2014•随州）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价
为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万
元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与
x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出
多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）
24．（10分）（2014•随州）已知两条平行线l 、l 之间的距离为6，截线CD分别交l 、l 于C、D
1 2 1 2
两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P不与点C、D重合），直角的两边分别交l 、l 与
1 2
A、B两点．（1）操作发现
如图1，过点P作直线l ∥l ，作PE⊥l ，点E是垂足，过点B作BF⊥l ，点F是垂足．此时，小
3 1 1 3
明认为△PEA∽△PFB，你同意吗？为什么？
（2）猜想论证
将直角∠APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE
满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你
的猜想．
（3）延伸探究
在（2）的条件下，当截线CD与直线l 所夹的钝角为150°时，设CP=x，试探究：是否存在实数
1
x，使△PAB的边AB的长为4 ？请说明理由．
25．（12分）（2014•随州）平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点C的坐标为（﹣3，4），
点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax2+bx+c经过C、O、A三点．
（1）直接写出这条抛物线的解析式；（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设△EBO的面积为S ，菱形ABCD的面积为
1
S ，当S ≤ S 时，求点E的纵坐标n的取值范围；
2 1 2
（3）如图2，D（0，﹣ ）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以 个单位/秒的速度
沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O﹣A﹣B方向运动，
设点P运动时间为t秒（0＜t＜6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO
相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．2014 年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•随州）2的相反数是（ ）
A． B．﹣2 C．2 D．
考点：相反数
分析：根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
解答：解：2的相反数是﹣2．
故选B．
点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正
数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义
与倒数的意义混淆．
2．（3分）（2014•随州）如图所示的物体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图
分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解答：解：从上面向下看，易得到横排有3个正方形．
故选D．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面向下看得到的视图．
3．（3分）（2014•随州）2013年，我市以保障和改善民生为重点的“十件实事”全面完成，财
政保障民生支出达74亿元，占公共财政预算支出的75%，数据74亿元用科学记数法表示为
（ ）
A．74×108元 B．7.4×108元 C．7.4×109元 D．0.74×1010元
考点：科学记数法—表示较大的数
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：74亿=74 0000 0000=7.4×109，
故选：C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2014•随州）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE ：S△COB =（
）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2
考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理
分析：
根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE= BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似
三角形的性质求出即可．
解答：解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE= BC，DE∥BC，
∴ = ，△DOE∞△COB，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
故选A．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面
积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
5．（3分）（2014•随州）计算（﹣ xy2）3，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
x2y4 ﹣ x3y6 x3y6 ﹣ x3y5
考点：幂的乘方与积的乘方
分析：根据积的乘方的性质进行计算，然后再选取答案．
解答：
解：原式=﹣（ ）3x3y6=﹣ x3y6．
故选B．
点评：本题考查了积的乘方的性质：等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
6．（3分）（2014•随州）在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组
数据的众数、中位数、方差依次是（ ）
A．18，18，1 B．18，17.5，3 C．18，18，3 D．18，17.5，1
考点：方差；折线统计图；中位数；众数
分析：根据众数、中位数的定义和方差公式分别进行解答即可．解答：解：这组数据18出现的次数最多，出现了3次，则这组数据的众数是18；
把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（18+18）÷2=18，则中位数是18；
这组数据的平均数是：（17×2+18×3+20）÷6=18，
则方差是： [2×（17﹣18）2+3×（18﹣18）2+（20﹣18）2 =1；
故选A．
]
点评：本题考查了众数、中位数和方差，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一
组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均
数）；一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2= [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）
1 2 n 1 2
2+…+（x ﹣ ）2 ．
n
]
7．（3分）（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点
测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米 B．50 米 C． D．50米
米
考点：解直角三角形的应用
分析：过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边
可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得
答案．
解答：解：过B作BM⊥AD，
∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=CB=100米，
∵BM⊥AD，
∴∠BMC=90°，
∴∠CBM=30°，
∴CM= BC=50米，
∴BD= =50 米，
故选：B．
点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：
30°角所对直角边等于斜边的一半．
8．（3分）（2014•随州）关于反比例函数y= 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小考点：反比例函数的性质
分析：根据反比例函数的性质，k=2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减
小．
解答：
解：A、把点（1，1）代入反比例函数y= 得2≠1不成立，故选项错误；
B、∵k=2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故选项错误；
C、图象的两个分支关于y=﹣x对称，故错误．
D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项正确．
故选D．
点评：
本题考查了反比例函数y= （k≠0）的性质：
①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x
的增大而增大．
9．（3分）（2014•随州）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时
针旋转60°，得到
△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（ ）
A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDC
C．△BDE是等边三角形 D．△ADE的周长是9
考点：旋转的性质；等边三角形的性质
分析：首先由旋转的性质可知∠AED=∠ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC是等边
三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出
AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故
DE=BD=4，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．
解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠AEB=∠C=60°，
∴AE∥BC，故选项A正确；
：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=5，
∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，
∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，
∴AE+AD=AD+CD=AC=5，
∵∠EBD=60°，BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，故选项C正确；
∴DE=BD=4，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；
而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC，
∴结论错误的是B，
故选B．
点评：本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．
10．（3分）（2014•随州）某通讯公司提供了两种移动电话收费方式：方式1，收月基本费20元，
再以每分钟0.1元的价格按通话时间计费；方式2，收月基本费20元，送80分钟通话时间，超
过80分钟的部分，以每分钟0.15元的价格计费．
下列结论：
①如图描述的是方式1的收费方法；
②若月通话时间少于240分钟，选择方式2省钱；
③若月通讯费为50元，则方式1比方式2的通话时间多；
④若方式1比方式2的通讯费多10元，则方式1比方式2的通话时间多100分钟．
其中正确的是（ ）
A．只有①② B．只有③④ C．只有①②③ D．①②③④
考点：一次函数的应用
分析：根据收费标准，可得相应的函数解析式，根据函数解析式的比较，可得答案．
解答：解：根据题意得：方式一的函数解析式为y=0.1x+20，方式二的函数解析式为
y=0.15x+8，
①当x=80时，方式一的收费是28元，故①说法正确；
②0.1x+20＞0.15x+8，解得x＜240，故②的说法正确；
③当y=50元时，方式一0.1x+20=50，解得x=300分钟，方式二0.15x+8=50，解得x=280
分钟，故③说法正确；
④0.1x+20﹣0.15x﹣8=10，解得x=40，故④说法错误；
故选：C．
点评：本题考查了一次函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2014•随州）计算：|﹣3|+ +（ ﹣1）0= 2 ．
考点：实数的运算；零指数幂
专题：计算题．
分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用立方根定义化简，最后一项利用
零指数幂法则计算即可得到结果．
解答：解：原式=3﹣2+1
=2．
故答案为：2．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（3分）（2014•随州）不等式组 的解集是 ﹣ 1 ＜ x≤ 2 ．
考点：解一元一次不等式组
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：
解： ，
由①得x≤1，
由②得x＞﹣1，
故此不等式的解集为：﹣1＜x≤2．
故答案为：﹣1＜x≤2．
点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）（2014•随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°
角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 7 5 度．
考点：三角形内角和定理；平行线的性质
专题：计算题；压轴题．
分析：根据三角形三内角之和等于180°求解．
解答：解：如图．
∵∠3=60°，∠4=45°，
∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．
故答案为：75．
点评：考查三角形内角之和等于180°．
14．（3分）（2014•随州）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化
面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20%
．
考点：一元二次方程的应用
专题：增长率问题．分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，
即可得出答案．
解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）2=2880
解得：x =20%，x =﹣220%（舍去）
1 2
故答案为：20%．
点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出
方程是本题的关键．
15．（3分）（2014•随州）圆锥的底面半径是2cm，母线长6cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形
圆心角度数为 12 0 度．
考点：圆锥的计算
分析：根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．
解答：解：∵圆锥的底面半径是2cm，
∴圆锥的底面周长为4π，
设圆心角为n°，根据题意得： =4π，
解得n=120．
故答案为：120．
点评：考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等
关系，列方程求解．
16．（3分）（2014•随州）如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的
顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下
列判断：
①当x=1时，点P是正方形ABCD的中心；
②当x= 时，EF+GH＞AC；
③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是 ；
④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确的是 ①④ （写出所有正确判断的序号）．
考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质
分析：（1）由正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点
P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以当AE=1时，重合点P是BD的中
点，即点P是正方形ABCD的中心；（2）由△BEF∽△BAC，得出EF= AC，同理得出GH= AC，从而得出结论．
（3）由六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．
得出函数关系式，进而求出最大值．
（4）六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+
（EF+GH）求解．
解答：解：（1）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一
点P，
∴△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，
∴当AE=1时，重合点P是BD的中点，
∴点P是正方形ABCD的中心；
故①结论正确，
（2）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点
P，
∴△BEF∽△BAC，
∵x= ，
∴BE=2﹣ = ，
∴ = ，即 = ，
∴EF= AC，
同理，GH= AC，
∴EF+GH=AC，
故②结论错误，
（3）六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．
∵AE=x，
∴六边形AEFCHG面积=22﹣ BE•BF﹣ GD•HD=4﹣ ×（2﹣x）•（2﹣x）﹣ x•x=﹣
x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，
∴六边形AEFCHG面积的最大值是3，
故③结论错误，
（4）当0＜x＜2时，
∵EF+GH=AC，
六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）
=2+2+2 =4+2
故六边形AEFCHG周长的值不变，
故④结论正确．
故答案为：①④．
点评：考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，本题关键是得到EF+GH=AC，综合性较
强，有一定的难度．
三、解答题（共72分）
17．（6分）（2014•随州）先简化，再求值：（ ﹣ ）+ ，其中a= +1．
考点：分式的化简求值
专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
解答：
解：原式= •（a+1）（a﹣1）
=a2﹣3a，
当a= +1时，原式=3+2 ﹣3 ﹣3=﹣ ．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（7分）（2014•随州）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分
别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）填空：当AB：AD= 1 ： 2 时，四边形MENF是正方形．
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定
分析：（1）根据矩形性质得出AB=DC，∠A=∠D=90°，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）求出四边形MENF是平行四边形，求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判
定推出即可．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵M为AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中
∴△ABM≌△DCM（SAS）．
（2）解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，
∴AB=AM=DM=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，
∴∠BMC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠MBC=∠MCB=45°，
∴BM=CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME=MF，∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，故答案为：1：2．
点评：本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的性质
和判定，三角形的中位线的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较
好，难度适中．
19．（7分）（2014•随州）近几年我市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会效果．某校随
机调查了九年级m名学生的升学意向，并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表：
升学意向 人数 百分比
省级示范高中 15 25%
市级示范高中 15 25%
一般高中 9 n
职业高中
其他 3 5%
m 100%
请你根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）表中m的值为 6 0 ，n的值为 15% ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校九年级有学生500名，估计该校大约有多少名毕业生的升学意向是职业高中？
考点：条形统计图；用样本估计总体；统计表
专题：计算题．
分析：（1）由省级示范高中人数除以占的百分比得到总学生数，确定出m的值；进而确定出
职业高中学生数，求出占的百分比，确定出n的值；
（2）补全条形统计图，如图所示；
（3）由职业高中的百分比乘以500即可得到结果．
解答：解：（1）根据题意得：15÷25%=60（人），即m=60，
职业高中人数为60﹣（15+15+9+3）=18（人），占的百分比为18÷60×100%=30%，
则n=1﹣（25%+25%+30%+5%）=15%；
故答案为：60；15%；
（2）补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：500×30%=150（名），
则估计该校大约有150名毕业生的升学意向是职业高中．
点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关
键．
20．（7分）（2014•随州）某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标．经测算：
若由两个工程队合做，12天恰好完成；若两个队合做9天后，剩下的由甲队单独完成，还需5
天时间，现需从这两个工程队中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选
择哪个队？为什么？
考点：分式方程的应用
专题：应用题．
分析：
设甲队单独完成工程需x天，则甲队的工作效率为 ，等量关系：甲乙9天的工作量
+甲5天的工作量=1，可得方程，解出即可．
解答：解：设甲队单独完成工程需x天，
由题意，得： ×9+ ×5=1，
解得：x=20，
经检验得：x=20是方程的解，
∵ ﹣ = ，
∴乙单独完成工程需30天，
∵20＜30，
∴从缩短工期角度考虑，应该选择甲队．
点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系：甲乙9天的
工作量+甲5天的工作量=1．
21．（7分）（2014•随州）四张扑克牌的牌面如图1，将扑克牌洗匀后，如图2背面朝上放置在
桌面上，小明和小亮设计了A、B两种游戏方案：
方案A：随机抽一张扑克牌，牌面数字为5时小明获胜；否则小亮获胜．
方案B：随机同时抽取两张扑克牌，两张牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小亮获胜．
请你帮小亮选择其中一种方案，使他获胜的可能性较大，并说明理由．考点：列表法与树状图法
分析：由四张扑克牌的牌面是5的有2种情况，不是5的也有2种情况，可求得方案A中，小
亮获胜的概率；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小亮获胜的情况，
再利用概率公式即可求得答案；比较其大小，即可求得答案．
解答：解：小亮选择A方案，使他获胜的可能性较大．
方案A：∵四张扑克牌的牌面是5的有2种情况，不是5的也有2种情况，
∴P（小亮获胜）= = ；
方案B：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两张牌面数字之和为偶数的有4种情况，不是偶数的有8
种情况，
∴P（小亮获胜）= = ；
∴小亮选择A方案，使他获胜的可能性较大．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）（2014•随州）如图，⊙O中，点C为 的中点，∠ACB=120°，OC的延长线与AD交
于点D，且∠D=∠B．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若点C到弦AB的距离为2，求弦AB的长．
考点：切线的判定；解直角三角形
分析：（1）连接OA，由 = ，得CA=CB，根据题意可得出∠O=60°，从而得出∠OAD=90°，
则AD与⊙O相切；
（2）设OC交AB于点E，由题意得OC⊥AB，求得CE=2，Rt△BCE中，由三角函数得
BE=2 ，即可得出AB的长．
解答：（1）证明：如图，连接OA，
∵ = ，
∴CA=CB，
又∵∠ACB=120°，
∴∠B=30°，
∴∠O=2∠B=60°，
∵∠D=∠B=30°，
∴∠OAD=180°﹣（∠O+∠D）=90°，∴AD与⊙O相切；
（2）解：设OC交AB于点E，由题意得OC⊥AB，
∴CE=2，
在Rt△BCE中，BE= =2× =2 ．
∴AB=2BE=4 ．
点评：本题考查了切线的判定和解直角三角形，是中学阶段的中点，要熟练掌握．
23．（8分）（2014•随州）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价
为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万
元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与
x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出
多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）
考点：一元二次方程的应用；分段函数
分析：（1）根据分段函数可以表示出当0＜x≤5，5＜x≤30时由销售数量与进价的关系就可以
得出结论；
（2）由销售利润=销售价﹣进价，由（1）的解析式建立方程就可以求出结论．
解答：解：（1）由题意，得
当0＜x≤5时
y=30．
当5＜x≤30时，
y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．
∴y= ；
（2）当0＜x≤5时，
（32﹣30）×5=10＜25，不符合题意，
当5＜x≤30时，
[32﹣（﹣0.1x+30.5） x=25，
解得：x =﹣25（舍去），x =10．
1 2
答：该月需售出10辆]汽车．
点评：本题考查了分段函数的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出分段函数的解
析式是关键．
24．（10分）（2014•随州）已知两条平行线l 、l 之间的距离为6，截线CD分别交l 、l 于C、D
1 2 1 2
两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P不与点C、D重合），直角的两边分别交l 、l 与
1 2
A、B两点．
（1）操作发现如图1，过点P作直线l ∥l ，作PE⊥l ，点E是垂足，过点B作BF⊥l ，点F是垂足．此时，小
3 1 1 3
明认为△PEA∽△PFB，你同意吗？为什么？
（2）猜想论证
将直角∠APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE
满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你
的猜想．
（3）延伸探究
在（2）的条件下，当截线CD与直线l 所夹的钝角为150°时，设CP=x，试探究：是否存在实数
1
x，使△PAB的边AB的长为4 ？请说明理由．
考点：几何变换综合题
分析：（1）根据题意得到：∠EPA+∠APF=90°，∠FPB+∠APF=90°，从而得到∠EPA=∠FPB，
然后根据∠PEA=∠PFB=90°证得△PEA∽△PFB；
（2）根据∠APB=90°得到要使△PAB为等腰三角形，只能是PA=PB，然后根据当
AE=BF时，PA=PB，从而得到△PEA≌△PFB，利用全等三角形的性质证得结论即可；
（3）在Rt△PEC中，CP=x，∠PCE=30°从而得到PE= x，然后利用PE+BF=6，BF=AE
得到AE=6﹣ x，然后利用勾股定理得到PE2+AE2=PA2，代入整理后得到一元二次方
程x2﹣12x﹣8=0，求得x的值后大于12，从而得到矛盾说明不存在满足条件的x．
解答：解：（1）如图（1），由题意，得：∠EPA+∠APF=90°，∠FPB+∠APF=90°，
∴∠EPA=∠FPB，
又∵∠PEA=∠PFB=90°，
∴△PEA∽△PFB；
（2）证明：如图2，∵∠APB=90°，
∴要使△PAB为等腰三角形，只能是PA=PB，
当AE=BF时，PA=PB，
∵∠EPA=∠FPB，∠PEA=∠PFB=90°，AE=BF，
∴△PEA≌△PFB，
∴PA=PB；
（3）如图2，在Rt△PEC中，CP=x，∠PCE=30°，
∴PE= x，由题意，PE+BF=6，BF=AE，
∴AE=6﹣ x，
当AB=4 时，由题意得PA=2 ，
Rt△PEA中，PE2+AE2=PA2，
即（ ）2+（6﹣ x）2=40，
整理得：x2﹣12x﹣8=0，
解得：x=6﹣2 ＜0（舍去）或x=6+2 ，
∵x=6+2 ＞6+6=12，又CD=12，
∴点P在CD的延长线上，这与点P在线段CD上运动相矛盾，
∴不合题意，
综上，不存在满足条件的实数x．
点评：本题是一道几何变换的综合题，题目中涉及到了全等三角形、勾股定理等知识，知识网
络比较复杂，难度较大．
25．（12分）（2014•随州）平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点C的坐标为（﹣3，4），
点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax2+bx+c经过C、O、A三点．
（1）直接写出这条抛物线的解析式；
（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设△EBO的面积为S ，菱形ABCD的面积为
1
S ，当S ≤ S 时，求点E的纵坐标n的取值范围；
2 1 2
（3）如图2，D（0，﹣ ）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以 个单位/秒的速度
沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O﹣A﹣B方向运动，
设点P运动时间为t秒（0＜t＜6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO
相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
分析：（1）求得菱形的边长，则A的坐标可以求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解
析式；
（2）首先求得菱形的面积，即可求得S 的范围，当S1取得最大值时即可求得直线的解
1
析式，则n的值的范围即可求得；
（3）分当1＜t＜3.5时和3.5≤t≤6时两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比
相等，即可列方程求解．
解答：
解：（1）根据题意得： ，解得： ，
则抛物线的解析式是：y= x2﹣ x；
（2）设BC与y轴相交于点G，则S =OG•BC=20，
2
∴S ≤5，
1
又OB所在直线的解析式是y=2x，OB= =2 ，
∴当S =5时，△EBO的OB边上的高是 ．
1
如图1，设平行于OB的直线为y=2x+b，则它与y轴的交点为M（0，b），与抛物线对称
轴x= 交于点E（ ，n）．
过点O作ON⊥ME，点N为垂足，若ON= ，由△MNO∽△OGB，得OM=5，
∴y=2x﹣5，
由 ，
解得：y=0，
即E的坐标是（ ，0）．
∵与OB平行且到OB的距离是 的直线有两条．
∴由对称性可得另一条直线的解析式是：y=2x+5．
则E′的坐标是（ ，10）．
由题意得得，n的取值范围是：0≤n≤10且n≠5．
（3）如图2，动点P、Q按题意运动时，
当1＜t＜3.5时，
OP= t，BP=2 ﹣ t，OQ=2（t﹣1），
连接QP，当QP⊥OP时，有 = ，
∴PQ= （t﹣1），
若 = ，则有 = ，
又∵∠QPB=∠DOA=90°，
∴△BPQ∽△AOD，此时，PB=2PQ，即2 ﹣ t= （t﹣1），
10﹣t=8（t﹣1），
∴t=2；
当3.5≤t≤6时，QB=10﹣2（t﹣1）=12﹣2t，连接QP．
若QP⊥BP，
则有∠PBQ=∠ODA，
又∵∠QPB=∠AOD=90°，
∴△BPQ∽△DOA，
此时，PB= PB，即12﹣2t= （2 ﹣ t），12﹣2t=10﹣t，
∴t=2（不合题意，舍去）．
若QP⊥BQ，则△BPQ∽△DAO，
此时，PB= BQ，
即2 ﹣ t= （12﹣2t），2﹣ t=12﹣2t，
解得：t= ．
则t的值为2或 ．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面
积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
