文档内容
2014 年湖北省荆州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案．每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•荆州）若□×（﹣2）=1，则□内填一个实数应该是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．
﹣
2．（3分）（2014•荆州）下列运算正确的是（ ）
A．3﹣1=﹣3 B． =±3 C．（ab2）3=a3b6 D．a6÷a2=a3
3．（3分）（2014•荆州）如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，则∠FAG的度数是（ ）
A．155° B．145° C．110° D．35°
4．（3分）（2014•荆州）将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长
度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x﹣4）2﹣6 B．y=（x﹣4）2﹣2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x﹣1）2﹣3
5．（3分）（2014•荆州）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确
的是（ ）
A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3
6．（3分）（2014•荆州）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE
与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错
误的是（ ）
A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD2=BD•CD D．AD•AB=AC•BD
7．（3分）（2014•荆州）如图，直线y=x+b与y=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关
1 2
于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
- 1 -A． B． C． D．
8．（3分）（2014•荆州）已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，
则关于x的分式方程 =2的解是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．不能确定
9．（3分）（2014•荆州）如图，在第1个△ABC中，∠B=30°，AB=CB；在边AB上任取一点D，
1 1 1
延长CA 到A，使AA=AD，得到第2个△AAD；在边AD上任取一点E，延长AA 到A，使
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3
AA=AE，得到第3个△AAE，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A 为顶点的内角
2 3 2 2 3 n
度数是（ ）
A． B． C． D．
（ ）n•75° （ ）n﹣1•65° （ ）n﹣1•75° （ ）n•85°
10．（3分）（2014•荆州）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，
过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
A．4 dm B．2 dm C．2 dm D．4 dm
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
- 2 -11．（3分）（2014•荆州）化减 × ﹣4× ×（1﹣ ）0的结果是 ．
12．（3分）（2014•荆州）若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 ．
13．（3分）（2014•荆州）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，
相似比为1： ，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是 ．
14．（3分）（2014•荆州）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将 转化为分
数时，可设 =x，则x=0.3+ x，解得x= ，即 = ．仿此方法，将 化成分数是
．
15．（3分）（2014•荆州）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或
同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是
．
16．（3分）（2014•荆州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上
角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂
上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
则这个格点正方形的作法共有 种．
- 3 -17．（3分）（2014•荆州）如图，在 ▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相
切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若 的长为 ，则图中阴影部分的面积
为 ．
18．（3分）（2014•荆州）如图，已知点A是双曲线y= 在第一象限的分支上的一个动点，连结
AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，
点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y= （k＜0）上运动，则k的值是 ．
三、解答题（本大题共7题，共66分）
19．（7分）（2014•荆州）先化简，再求值：（ ）÷ ，其中a，b满足
+|b﹣ |=0．
20．（8分）（2014•荆州）如图①，正方形ABCD的边AB，AD分别在等腰直角△AEF的腰AE，
AF上，点C在△AEF内，则有DF=BE（不必证明）．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定
角度α（0°＜α＜90°）后，连结BE，DF．请在图②中用实线补全图形，这时DF=BE还成立吗？
请说明理由．
- 4 -21．（8分）（2014•荆州）钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船
某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方
向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东
59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别
是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．
（参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72）
22．（9分）（2014•荆州）我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我荆
门”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到
9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩
统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，B．
队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
七年级 6.7 m 3.41 90% n
八年级 7.1 7.5 1.69 80% 10%
（1）请依据图表中的数据，求a，b的值；
（2）直接写出表中的m，n的值；
（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有
人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．
- 5 -23．（10分）（2014•荆州）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某
电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场
销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多
售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成
不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？
最大利润是多少？
24．（12分）（2014•荆州）已知：函数y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a为常数）．
（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；
（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x，0），B（x，0）两点，与y轴相交
1 2
于点C，且x﹣x=2．
2 1
①求抛物线的解析式；
②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．
- 6 -25．（12分）（2014•荆州）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA= ，以O为
圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点
E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着
动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）求证：四边形ABHP是菱形；
（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；
（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．
- 7 -2014 年湖北省荆州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案．每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•荆州）若□×（﹣2）=1，则□内填一个实数应该是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．
﹣
分析： 根据乘积是1的两个数互为倒数解答．
解答：
解：∵﹣ ×（﹣2）=1，
∴□内填一个实数应该是﹣ ．
故选D．
点评： 本题考查了有理数的乘法，是基础题，注意利用了倒数的定义．
2．（3分）（2014•荆州）下列运算正确的是（ ）
A．3﹣1=﹣3 B． =±3 C．（ab2）3=a3b6 D．a6÷a2=a3
考点： 同底数幂的除法；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．
分析： 运用负整数指数幂的法则运算，开平方的方法，同底数幂的除法以及幂的乘方计算．
解答：
解：A、3﹣1= ≠3a，故A选项错误；
B、 =3≠±3，故B选项错误；
C、（ab2）3=a3b6故C选项正确；
D、a6÷a2=a4≠a3，故D选项错误．
故选：C．
点评： 此题考查了负整数指数幂的运算，开平方，同底数幂的除法以及幂的乘方等知识，解题
要注意细心．
3．（3分）（2014•荆州）如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，则∠FAG的度数是（ ）
A．155° B．145° C．110° D．35°
考点： 平行线的性质．
分析： 首先，由平行线的性质得到∠BAC=∠ECF=70°；然后利用邻补角的定义、角平分线的
定义来求∠FAG的度数．
解答： 解：如图，∵AB∥ED，∠ECF=70°，
∴∠BAC=∠ECF=70°，
∴∠FAB=180°﹣∠BAC=110°．
又∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG= ∠BAC=35°，
∴∠FAG=∠FAB+∠BAG=145°．
- 8 -故选：B．
点评： 本题考查了平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”求得∠BAC的度数是解
题的难点．
4．（3分）（2014•荆州）将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长
度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x﹣4）2﹣6 B．y=（x﹣4）2﹣2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x﹣1）2﹣3
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 几何变换．
分析： 先把y=x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向
上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶
点式写出平移后的抛物线解析式．
解答： 解：y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣
2），
所以平移后得到的抛物线解析式为y=（x﹣4）2﹣2．
故选B．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以
求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后
的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析
式．
5．（3分）（2014•荆州）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确
的是（ ）
A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3
考点： 解一元二次方程-公式法；估算无理数的大小．
分析： 先求出方程的解，再求出 的范围，最后即可得出答案．
解答：
解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x= ，
∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，
∴a= ，
∵2＜ ＜3，
∴3＜1+ ＜4，
∴ ＜ ＜2，
故选C．
点评： 本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，
难度适中．
6．（3分）（2014•荆州）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE
与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错
误的是（ ）
- 9 -A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD2=BD•CD D．AD•AB=AC•BD
考点： 相似三角形的判定；圆周角定理．
分析： 由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角
对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
解答： 解：如图，∠ADC=∠ADB，
A、∵∠ACD=∠DAB，
∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；
B、∵AD=DE，
∴ = ，
∴∠DAE=∠B，
∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；
C、∵AD2=BD•CD，
∴AD：BD=CD：AD，
∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；
D、∵AD•AB=AC•BD，
∴AD：BD=AC：AB，
但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．
故选D．
点评： 此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思
想的应用．
7．（3分）（2014•荆州）如图，直线y=x+b与y=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关
1 2
于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 一次函数与一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
专题： 数形结合．
分析： 观察函数图象得到当x＞﹣1时，函数y=x+b的图象都在y=kx﹣1的图象上方，所以不
等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项
进行判断．
解答： 解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故选A．
点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定
- 10 -直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数
轴上表示不等式的解集．
8．（3分）（2014•荆州）已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，
则关于x的分式方程 =2的解是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．不能确定
考点： 解分式方程；关于原点对称的点的坐标．
专题： 计算题．
分析： 根据P关于原点对称点在第一象限，得到P横纵坐标都小于0，求出a的范围，确定出
a的值，代入方程计算即可求出解．
解答： 解：∵点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，
∴ ，
解得： ＜a＜2，即a=1，
当a=1时，所求方程化为 =2，
去分母得：x+1=2x﹣2，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
则方程的解为3．
故选C
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
9．（3分）（2014•荆州）如图，在第1个△ABC中，∠B=30°，AB=CB；在边AB上任取一点D，
1 1 1
延长CA 到A，使AA=AD，得到第2个△AAD；在边AD上任取一点E，延长AA 到A，使
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3
AA=AE，得到第3个△AAE，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A 为顶点的内角
2 3 2 2 3 n
度数是（ ）
A． B． C． D．
（ ）n•75° （ ）n﹣1•65° （ ）n﹣1•75° （ ）n•85°
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 规律型．
分析： 先根据等腰三角形的性质求出∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角
1
形的性质分别求出∠DAA，∠EAA 及∠FAA 的度数，找出规律即可得出第n个三角
2 1 3 2 4 3
形中以A 为顶点的内角度数．
n
解答： 解：∵在△CBA 中，∠B=30°，AB=CB，
1 1
∴∠BAC= =75°，
1
∵AA=AD，∠BAC是△AAD的外角，
1 2 1 1 1 2
- 11 -∴∠DAA= ∠BAC= ×75°；
2 1 1
同理可得，
∠EAA=（ ）2×75°，∠FAA=（ ）3×75°，
3 2 4 3
∴第n个三角形中以A 为顶点的内角度数是（ ）n﹣1×75°．
n
故选：C．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DAA，
2 1
∠EAA 及∠FAA 的度数，找出规律是解答此题的关键．
3 2 4 3
10．（3分）（2014•荆州）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，
过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
A．4 dm B．2 dm C．2 dm D．4 dm
考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： 要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求
线段长时，根据勾股定理计算即可．
解答： 解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，
∴AC2=22+22=4+4=8，
∴AC=2 ，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4 cm．
故选A．
点评： 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等
于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平
面”，用勾股定理解决．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2014•荆州）化减 × ﹣4× ×（1﹣ ）0的结果是 ．
考点： 二次根式的混合运算；零指数幂．
专题： 计算题．
分析： 先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计
算得到原式=2 ﹣ ，然后合并即可．
- 12 -解答：
解：原式=2 × ﹣4× ×1
=2 ﹣
= ．
故答案为 ．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根
式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．
12．（3分）（2014•荆州）若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 2 ．
考点： 立方根；合并同类项；解二元一次方程组．
分析： 根据同类项的定义可以得到m，n的值，继而求出m﹣3n的立方根．
解答： 解：若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，
∴ ，
解方程得： ．
∴m﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8．
8的立方根是2．
故答案为2．
点评： 本题考查了同类项的概念以及立方根的求法，解体的关键是根据定义求出对应m、n的
值．
13．（3分）（2014•荆州）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，
相似比为1： ，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是 （ ， ） ．
考点： 位似变换；坐标与图形性质．
分析： 由题意可得OA：OD=1： ，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方
形的性质，即可求得E点的坐标．
解答： 解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1： ，
∴OA：OD=1： ，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA=1，
∴OD= ，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE=OD= ．
∴E点的坐标为：（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
点评： 此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相
似比的定义是解此题的关键．
- 13 -14．（3分）（2014•荆州）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将 转化为分
数时，可设 =x，则x=0.3+ x，解得x= ，即 = ．仿此方法，将 化成分数是
．
考点： 一元一次方程的应用．
分析：
设x= ，则x=0.4545…①，根据等式性质得：100x=45.4545…②，再由②﹣①得方程
100x﹣x=45，解方程即可．
解答：
解：设x= ，则x=0.4545…①，
根据等式性质得：100x=45.4545…②，
由②﹣①得：100x﹣x=45.4545…﹣0.4545…，
即：100x﹣x=45，
解方程得：x= ．
故答案为 ．
点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，看懂例题的解题方法．
15．（3分）（2014•荆州）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或
同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是
．
考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情
况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为： = ．
故答案为： ．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）（2014•荆州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上
角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂
- 14 -上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
则这个格点正方形的作法共有 4 种．
考点： 利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．
分析： 利用轴对称图形以及中心对称图形的性质与定义，进而得出符合题意的答案．
解答： 解：如图所示：这个格点正方形的作法共有4种．
故答案为：4．
点评： 此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案，正确把握中心对称以及轴对称图形的
定义是解题关键．
17．（3分）（2014•荆州）如图，在 ▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相
切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若 的长为 ，则图中阴影部分的面积
为 ．
考点： 切线的性质；平行四边形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算．
分析： 求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．很显
然图中阴影部分的面积=△ACD的面积﹣扇形ACE的面积，然后按各图形的面积公式
计算即可．
解答： 解：连接AC，
∵DC是⊙A的切线，
∴AC⊥CD，
又∵AB=AC=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∴∠CAD=45°，
∴∠CAD=45°，
- 15 -∵ 的长为 ，
∴ ，
解得：r=2，
∴S =S ﹣S = ．
阴影 △ACD 扇形ACD
故答案为： ．
点评： 本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积
的和差．
18．（3分）（2014•荆州）如图，已知点A是双曲线y= 在第一象限的分支上的一个动点，连结
AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，
点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y= （k＜0）上运动，则k的值是 ﹣ 6 ．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；特殊
角的三角函数值．
专题： 动点型．
分析： 连接OC，易证AO⊥OC，OC= OA．由∠AOC=90°想到构造K型相似，过点A作
AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF=
AE，FC= EO..设点A坐标为（a，b）则ab=2，可得FC•OF=6．设点C坐标为（x，
y），从而有FC•OF=﹣xy=﹣6，即k=xy=﹣6．
解答：
解：∵双曲线y= 关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称．
∴OA=OB．
连接OC，如图所示．
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°．
∴tan∠OAC= = ．
∴OC= OA．
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，
- 16 -过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠FOC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴ = = ．
∵OC= OA，
∴OF= AE，FC= EO．
设点A坐标为（a，b），
∵点A在第一象限，
∴AE=a，OE=B．
∴OF= AE= a，FC= EO= B．
∵点A在双曲线y= 上，
∴ab=2．
∴FC•OF= b• a=3ab=6
设点C坐标为（x，y），
∵点C在第四象限，
∴FC=x，OF=﹣y．
∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy
=6．
∴xy=﹣6．
∵点C在双曲线y= 上，
∴k=xy=﹣6．
故答案为：﹣6．
点评： 本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐
标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度．由∠AOC=90°联想到构造
K型相似是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7题，共66分）
19．（7分）（2014•荆州）先化简，再求值：（ ）÷ ，其中a，b满足
+|b﹣ |=0．
考点： 分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
解答：
解：原式=[ ﹣ ]• = • = ，
∵ +|b﹣ |=0，
- 17 -∴ ，
解得：a=﹣1，b= ，
则原式=﹣ ．
点评： 此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）（2014•荆州）如图①，正方形ABCD的边AB，AD分别在等腰直角△AEF的腰AE，
AF上，点C在△AEF内，则有DF=BE（不必证明）．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定
角度α（0°＜α＜90°）后，连结BE，DF．请在图②中用实线补全图形，这时DF=BE还成立吗？
请说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．
分析： 根据旋转角求出∠FAD=∠EAB，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据
全等三角形对应边相等可得BE=DF．
解答： 解：DF=BE还成立；
理由：∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α，
∴∠FAD=∠EAB，
在△ADF与△ABE中
∴△ADF≌△ABE（SAS）
∴DF=BE．
点评： 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与
性质，熟记各性质求出三角形全等是解题的关键．
21．（8分）（2014•荆州）钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船
某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方
向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东
59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别
是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．
（参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72）
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
分析： 作CD⊥AB于点D，由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°，设CD的长为a海里，分别在
Rt△ACD中，和在Rt△BCD中，用a表示出AC和BC，然后除以速度即可求得时间，比
较即可确定答案
- 18 -解答： 解：如图，作CD⊥AB于点D，
由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°，
设CD的长为a海里，
∵在Rt△ACD中， =cos∠ACD，
∴AC= = ≈1.92a；
∵在Rt△BCD中， =cos∠BCD，
∴BC= = ≈1.39a；
∵其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，
∴1.92a÷20=0.096a.1.39a÷18=0.077a，
∵a＞0，
∴0.096a＞0.077a，
∴乙先到达．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键在于设出未知数a，使得运算更加
方便，难度中等．
22．（9分）（2014•荆州）我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我荆
门”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到
9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩
统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，B．
队别 平均分中位数方差合格率优秀率
七年级6.7 m 3.4190% n
八年级7.1 7.5 1.6980% 10%
（1）请依据图表中的数据，求a，b的值；
（2）直接写出表中的m，n的值；
（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有
人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．
考点： 条形统计图；统计表；加权平均数；中位数；方差．
专题： 计算题．
分析： （1）根据题中数据求出a与b的值即可；
（2）根据（1）a与b的值，确定出m与n的值即可；
（3）从方差，平均分角度考虑，给出两条支持八年级队成绩好的理由即可．
解答： 解：（1）根据题意得：a=5，b=1；
- 19 -（2）七年级成绩为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6，即m=6；
优秀率为 = =20%，即n=20%；
（3）八年级平均分高于七年级，方差小于七年级，成绩比较稳定，
故八年级队比七年级队成绩好．
点评： 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及中位数，平均数，以及方差，弄清题意是解
本题的关键．
23．（10分）（2014•荆州）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某
电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场
销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多
售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成
不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？
最大利润是多少？
考点： 二次函数的应用．
分析：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，即可列出函数关
系式；
根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低
于450台的销售即可求出x的取值．
（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w；
解答： 解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50× ，化简得：
y=﹣5x+2200；
供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于
450台，
则 ，
解得：300≤x≤350．
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；
（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），
整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．
∵x=320在300≤x≤350内，
∴当x=320时，最大值为72000，
即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利
润是72000元．
点评： 本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知
识．
24．（12分）（2014•荆州）已知：函数y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a为常数）．
（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；
（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x，0），B（x，0）两点，与y轴相交
1 2
于点C，且x﹣x=2．
2 1
①求抛物线的解析式；
②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据a取值的不同，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解．
- 20 -（2）①函数与x轴相交于点A（x，0），B（x，0）两点，则x，x，满足y=0时，方程的根与
1 2 1 2
系数关系．因为x﹣x=2，则可平方，用x+x，xx 表示，则得关于a的方程，可求，并得
2 1 1 2 1 2
抛物线解析式．
②已知解析式则可得A，B，C，D坐标，求sin∠DCB，须作垂线构造直角三角形，结论易
得．
解答： 解：（1）函数y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a为常数），
若a=0，则y=﹣x+1，与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）；
若a≠0且图象过原点时，2a+1=0，a=﹣ ，有两个交点（0，0），（1，0）；
若a≠0且图象与x轴只有一个交点时，令y=0有：
△=（3a+1）2﹣4a（2a+1）=0，解得a=﹣1，有两个交点（0，﹣1），（1，0）．
综上得：a=0或﹣ 或﹣1时，函数图象与坐标轴有两个交点．
（2）①∵函数与x轴相交于点A（x，0），B（x，0）两点，
1 2
∴x，x 为ax2﹣（3a+1）x+2a+1=0的两个根，
1 2
∴x+x= ，xx= ，
1 2 1 2
∵x﹣x=2，
2 1
∴4=（x﹣x）2=（x+x）2﹣4xx=（ ）2﹣4• ，
2 1 1 2 1 2
解得a=﹣ （函数开口向上，a＞0，舍去），或a=1，
∴y=x2﹣4x+3．
②∵函数y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A（x，0），B（x，0）两点，与y轴相交于点C，且x
1 2 1
＜x，
2
∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∵D为A关于y轴的对称点，
∴D（﹣1，0）．
根据题意画图，
如图1，过点D作DE⊥CB于E，
∵OC=3，OB=3，OC⊥OB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
∴△EDB为等腰直角三角形，
设DE=x，则EB=x，
∵DB=4，
∴x2+x2=42，
∴x=2 ，即DE=2 ．
在Rt△COD中，
∵DO=1，CO=3，
- 21 -∴CD= = ，
∴sin∠DCB= = ．
点评： 本题考查了二次函数图象交点性质、韦达定理、特殊三角形及三角函数等知识，题目考
法新颖，但内容常规基础，是一道非常值得考生练习的题目．
25．（12分）（2014•荆州）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA= ，以O为
圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点
E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着
动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）求证：四边形ABHP是菱形；
（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；
（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．
考点： 圆的综合题；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径定理；切线的性
质；切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值．
专题： 压轴题．
分析：（1）连接OH，可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，从而可以求出AB=3，由HP∥AB，
HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得BA=BH，即可证到
四边形ABHP是菱形．
（2）当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2．
（3）当0≤x≤2时，如图①，S=S ，只需求出FG，就可得到S与x之间的函数关系式；
△EGF
当2＜x≤3时，如图④，S=S ﹣S ，只需求出SG、RG，就可得到S与x之间的函数
△GEF △SGR
关系式．当FG与⊙O相切时，如图⑤，易得FK=AB=3，KQ=AQ﹣AK=2﹣2 + x．
再由FK= KQ即可求出x，从而求出S．
解答： 解：（1）证明：连接OH，如图①所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．
∵HP∥AB，
∴∠ANH+∠BAD=180°．
∴∠ANH=90°．
- 22 -∴HN=PN= HP= ．
∵OH=OA= ，
∴sin∠HON= = ．
∴∠HON=60°
∵BD与⊙O相切于点H，
∴OH⊥BD．
∴∠HDO=30°．
∴OD=2 ．
∴AD=3 ．
∴BC=3 ．
∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．
∴tan∠BDA= = = ．
∴AB=3．
∵HP=3，
∴AB=HP．
∵AB∥HP，
∴四边形ABHP是平行四边形．
∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，
∴BA与⊙O相切于点A．
∵BD与⊙O相切于点H，
∴BA=BH．
∴平行四边形ABHP是菱形．
（2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上．
如图②所示，点G落到AD上．
∵EF∥BD，
∴∠FEC=∠CDB．
∵∠CDB=90°﹣30°=60°，
∴∠CEF=60°．
由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．
∴∠GED=60°．
∵CE=x，
∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．
∴cos∠GED= = = ．
∴x=2．
∴GE=2，ED=1．
∴GD= ．
∴OG=AD﹣AO﹣GD=3 ﹣ ﹣ = ．
∴OG=OM．
∴点G与点M重合．
- 23 -此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．
∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．
（3）①如图①，
在Rt△EGF中，
tan∠FEG= = = ．
∴FG= x．
∴S= GE•FG= x• x= x2．
②如图③，
ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，
GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．
∵tan∠SRG= = = ，
∴SG= （x﹣2）．
∴S = SG•RG= • （x﹣2）•（3x﹣6）．
△SGR
= （x﹣2）2．
∵S = x2，
△GEF
∴S=S ﹣S
△GEF △SGR
= x2﹣ （x﹣2）2．
=﹣ x2+6 x﹣6 ．
综上所述：当0≤x≤2时，S= x2；当2＜x≤3时，S=﹣ x2+6 x﹣6 ．
当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图
④所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°
∴∠AQF=∠CFG=60°．
- 24 -∵OT= ，
∴OQ=2．
∴AQ= +2．
∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，
∴四边形ABFK是矩形．
∴FK=AB=3，AK=BF=3 ﹣ x．
∴KQ=AQ﹣AK=（ +2）﹣（3 ﹣ x）=2﹣2 + x．
在Rt△FKQ中，tan∠FQK= = ．
∴FK= QK．
∴3= （2﹣2 + x）．
解得：x=3﹣ ．
∵0≤3﹣ ≤2，
∴S= x2= ×（3﹣ ）2
= ﹣6．
∴FG与⊙O相切时，S的值为 ﹣6．
点评： 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性
质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等
知识，综合性非常强．
- 25 -
