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2015 年湖北省随州市中考数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分随州市2015年初中毕业
升学考试数学试题
1．在﹣1，﹣2，0，1四个数中最小的数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1
2．（3分）（2015•随州）如图，AB∥CD，∠A=50°，则∠1的大小是（ ）
A．50° B．120° C．130° D．150°
3．（3分）（2015•随州）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是
（ ）
A． （x﹣6）2=﹣4+36 B． （x﹣6）2=4+36
C． （x﹣3）2=﹣4+9 D． （x﹣3）2=4+9
4．（3分）（2015•随州）下列说法正确的是（ ）
A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
B．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件
C．了解我国青年人喜欢的电视节目应作全面调查
D．甲、乙两组数据，若S 2＞S 2，则乙组数据波动大
甲 乙
5．（3分）（2015•随州）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分
线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（3分）（2015•随州）若代数式 + 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠17．（3分）（2015•随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件
中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D．
= =
8．（3分）（2015•随州）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的
边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A． R2﹣r2=a2 B． a=2Rsin36° C． a=2rtan36° D． r=Rcos36°
9．（3分）（2015•随州）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平
移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（0，﹣3） D．（0，3）
10．（3分）（2015•随州）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时
出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲
行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙速度的一半．
其中，正确结论的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
11．（3分）（2015•随州）4的算术平方根是 ，9的平方根是 ，﹣27的
立方根是 ．
12．（3分）（2015•随州）为创建“全国环保模范城”，我市对白云湖73个排污口
进行了封堵，每年可减少污水排放185000吨，将185000用科学记数法表示为
．
13．（3分）（2015•随州）如图是一个长方体的三视图（单位：cm），根据图中数据计
算这个长方体的体积是 cm3．
14．（3分）（2015•随州）某校抽样调查了七年级学生每天体育锻炼时间，整理数据
后制成了如下所示的频数分布表，这个样本的中位数在第 组．
组别 时间（小时） 频数（人）
第1组 0≤t＜0.5 12
第2组 0.5≤t＜1 24
第3组 1≤t＜1.5 18
第4组 1.5≤t＜2 10
第5组 2≤t＜2.5 6
15．（3分）（2015•随州）观察下列图形规律：当n= 时，图形“●”的个数和
“△”的个数相等．16．（3分）（2015•随州）在 ▱ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2 ，将
△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在 ▱ABCD所在的平面内，连接B′D．若
△AB′D是直角三角形，则BC的长为 ．
三、解答题：本大题共9小题，共72分
17．（6分）（2015•随州）解不等式组
请结合题意，完成本题解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
18．（6分）（2015•随州）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3a5b3÷（﹣a2b）
2，其中ab=﹣ ．
19．（6分）（2015•随州）端午节前夕，小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋
（每个粽子的价格相同，每个咸鸭蛋的价格相同）．已知粽子的价格比咸鸭蛋的价
格贵1.8元，花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同，求粽子
与咸鸭蛋的价格各多少？20．（8分）（2015•随州）如图，反比例函数y= （k＜0）的图象与矩形ABCD的边
相交于E、F两点，且BE=2AE，E（﹣1，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接EF，求△BEF的面积．
21．（8分）（2015•随州）为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵
读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生
报名情况如图（每人只能选择一个小组）：
（1）报名参加课外活动小组的学生共有 10 0 人，将条形图补充完整；
（2）扇形图中m= ，n= ；
（3）根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随
机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概
率是多少？请用列表或画树状图的方法说明．22．（8分）（2015•随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．
（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不
写作法），并证明：PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求 的长．
23．（8分）（2015•随州）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地
面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞
行时间（t 单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的
高度为3.5m．
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间（t 单位：s）之间具有函数关系
x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平
距离为28m，他能否将球直接射入球门？24．（10分）（2015•随州）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、
CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用
图（1）证明上述结论．
【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在
边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 ∠ BAD=2∠EAF 关系时，仍有
EF=BE+FD．
【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知
AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景
点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ ﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这
条道路EF的长（结果取整数，参考数据： =1.41， =1.73）25．（12分）（2015•随州）如图，已知抛物线y= （x+2）（x﹣4）与x轴交于点A、B
（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线
的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）设动点N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；
（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与
△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说
明理由．2015 年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分随州市2015年初中毕业
升学考试数学试题
1．在﹣1，﹣2，0，1四个数中最小的数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1
考点： 有理数大小比较．.
分析： 根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
解答： 解：由正数大于零，零大于负数，得
1＞0＞﹣1＞﹣2，
故选：B．
点评： 本题考查了有理数大小比较，正数大于零，零大于负数，注意两个负数比
较大小，绝对值大的数反而小．
2．（3分）（2015•随州）如图，AB∥CD，∠A=50°，则∠1的大小是（ ）
A．50° B．120° C．130° D．150°
考点： 平行线的性质．.
分析： 由平行线的性质可得出∠2，根据对顶角相得出∠1．
解答： 解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠A+∠2=180°，∴∠2=130°，
∴∠1=∠2=130°．
故选C．
点评： 本题考查了平行线的性质，关键是根据两直线平行同旁内角互补和对顶
角相等分析．
3．（3分）（2015•随州）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是
（ ）
A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9
考点： 解一元二次方程-配方法．.
分析： 根据配方法，可得方程的解．
解答： 解：x2﹣6x﹣4=0，
移项，得x2﹣6x=4，
配方，得（x﹣3）2=4+9．
故选：D．
点评： 本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项
系数化为1，配方，开方．
4．（3分）（2015•随州）下列说法正确的是（ ）
A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
B．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件
C．了解我国青年人喜欢的电视节目应作全面调查
D．甲、乙两组数据，若S 2＞S 2，则乙组数据波动大
甲 乙
考点： 随机事件；全面调查与抽样调查；方差．.
分析： 根据随机事件，可判断A、B；根据调查方式，可判断C；根据方差的性质，
可判断D．
解答： 解：A、“购买1张彩票就中奖”是随机事件，故A错误；
B、”掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故B正确；
C、了解我国青年人喜欢的电视节目应作抽样调查，故C错误；D、甲、乙两组数据，若S 2＞S 2，则甲组数据波动大，故D错误；
甲 乙
故选：B．[来源:学+科+网]
点评： 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随
机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件
下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能
发生也可能不发生的事件．
5．（3分）（2015•随州）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分
线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
考点： 线段垂直平分线的性质．.
分析： 由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长
=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．
解答： 解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C．
点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想
的应用是解题的关键．
6．（3分）（2015•随州）若代数式 + 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．.
分析： 先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的
取值范围即可．
解答：
解：∵代数式 + 有意义，
∴ ，
解得x≥0且x≠1．
故选D．
点评： 本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性
是解答此题的关键．
7．（3分）（2015•随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件
中不能判断△ABC∽△ AED的是（ ）
A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D．
= =
考点： 相似三角形的判定．.
分析： 由于两三角形有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可
对A、B选项进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两
个三角形相似可对C、D选项进行判断．
解答： 解：∵∠DAE=∠CAB，
∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；
当 = 时，△ABC∽△AED．
故选D．
点评： 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的
两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．8．（3分）（2015•随州）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的
边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A．R2﹣r2=a2 B．a=2Rsin36° C．a=2rtan36° D．r=Rcos36°
考点： 正多边形和圆；解直角三角形．.
分析： 根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，
然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．
解答： 解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BOC= ×360°=72°，
∴∠1= ∠BOC= ×72°=36°，
R2﹣r2=（ a）2= a2，
a=Rsin36°，
a=2Rsin36°；
a=rtan36°，
a=2rtan36°，
cos36°= ，
r=Rcos36°，
所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．
故选A．
点评： 本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．
9．（3分）（2015•随州）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平
移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（0，﹣3） D．（0，3）
考点： 关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．.
分析： 根据关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得关于
原点的对称点，根据点的坐标向左平移减，可得答案．
解答： 解：在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点是（2，﹣3），再向
左平移2个单位长度得到的点的坐标是（0，﹣3），
故选：C．
点评： 本题考查了点的坐标，关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为
相反数；点的坐标向左平移减，向右平移加，向上平移加，向下平移减．
10．（3分）（2015•随州）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时
出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲
行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙速度的一半．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点： 一次函数的应用．.分析： 根据题意结合横纵坐标的意义得出辆摩托车的速度进而分别分析得出答
案．
解答： 解：由图象可得：出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确；
甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a千
米/小时，
则 ，
解得：a=80，
∴乙开汽车的速度为80千米/小时，
∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；
∴出发1.5小时，乙比甲多行驶了：1.5×（80﹣40）=60（千米），故②正确；
乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故
③错误；
∴正确的有3个，
故选：B．
点评： 此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标
表示的含义是解题关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
11．（3分）（2015•随州）4的算术平方根是 2 ，9的平方根是 ± 3 ，﹣27的立
方根是 ﹣ 3 ．
考点： 立方根；平方根；算术平方根．.
分析： 根据算式平方根、平方根和立方根的定义求出即可．
解答： 解：4的算术平方根是2，9的平方根是±3，﹣27的立方根是﹣3．
故答案为：2；±3，﹣3．
点评： 本题考查了对算术平方根、平方根和立方根的定义的应用，主要考查学
生的理解能力和计算能力．
12．（3分）（2015•随州）为创建“全国环保模范城”，我市对白云湖73个排污口
进行了封堵，每年可减少污水排放185000吨，将185000用科学记数法表示为
1.85×10 5 ．考点： 科学记数法—表示较大的数．.
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数
点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1
时，n是负数．
解答： 解：将185000用科学记数法表示为：1.85×105．
故答案为：1.85×105．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）（2015•随州）如图是一个长方体的三视图（单位：cm），根据图中数据计
算这个长方体的体积是 2 4 cm3．
考点： 由三视图判断几何体．.
分析： 根据三视图我们可以得出这个几何体应该是个长方体，它的体积应该是
3×2×4=24cm3．
解答： 解：该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩
形，可确定这个几何体是一个长方体，
依题意可求出该几何体的体积为3×2×4=24cm3．
答：这个长方体的体积是24cm3．
故答案为：24．
点评： 考查了由三视图判断几何体，本题要先判断出几何体的形状，然后根据
其体积公式进行计算即可．14．（3分）（2015•随州）某校抽样调查了七年级学生每天体育锻炼时间，整理数据
后制成了如下所示的频数分布表，这个样本的中位数在第 2 组．
组别 时间（小时） 频数（人）
第1组 0≤t＜0.5 12
第2组 0.5≤t＜1 24
第3组 1≤t＜1.5 18
第4组 1.5≤t＜2 10
第5组 2≤t＜2.5 6
考点： 中位数；频数（率）分布表．.
分析： 共12+24+18+10+6=70个数据，中位数为第35和第36个数的平均数，依
此即可求解．
解答： 解：共12+24+18+10+6=70个数据，
12+24=36，
所以第35和第36个都在第2组，
所以这个样本的中位数在第2组．
故答案为：2．
点评： 本题考查了利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认
真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．同时考查
了中位数的求法．
15．（3分）（2015•随州）观察下列图形规律：当n= 5 时，图形“●”的个数和
“△”的个数相等．
考点： 规律型：图形的变化类．.
分析： 首先根据n=1、2、3、4时，“●”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个
图形中“●”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“△”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“△”的个数是 ；最后根据图形
“●”的个数和“△”的个数相等，求出n的值是多少即可．
解答： 解：∵n=1时，“●”的个数是3=3×1；
n=2时，“●”的个数是6=3×2；
n=3时，“●”的个数是9=3×3；
n=4时，“●”的个数是12=3×4；
∴第n个图形中“●”的个数是3n；
又∵n=1时，“△”的个数是1= ；
n=2时，“△”的个数是3= ；
n=3时，“△”的个数是6= ；
n=4时，“△”的个数是10= ；
∴第n个“△”的个数是 ；
由3n= ，
可得n2﹣5n=0，
解得n=5或n=0（舍去），
∴当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
故答案为：5．
点评： 此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题
的关键是：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化
的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要
认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
16．（3分）（2015•随州）在 ▱ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2 ，将
△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在 ▱ABCD所在的平面内，连接B′D．若
△AB′D是直角三角形，则BC的长为 4 或 6 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．.分析： 在 ▱ABCD中，AB＜BC，要使△AB′D是直角三角形，有两种情况：
∠B′AD=90°或∠AB′D=90°，画出图形，分类讨论即可．
解答： 解：当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2 ，
∴∠AB′C=30°，
∴GC= B′C= BC，
∴G是BC的中点，
在RT△ABG中，BG= AB= ×2 =3，
∴BC=6；
当∠AB′D=90°时，如图2，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D=90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=2 ，
∴BC=AB÷ =2 × =4，
∴当BC的长为4或6时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：4或6．点评： 本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两
种情况，进行分类讨论．
三、解答题：本大题共9小题，共72分
17．（6分）（2015•随州）解不等式组
请结合题意，完成本题解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x ＞ 2 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤ 4 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 2 ＜ x≤ 4 ．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．.
分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即
可．解答： 解：（I）解不等式①得，x＞2；
（II）解不等式②得，x≤4；
（III）在数轴上表示为：
；
（IV）故不等式组的解集为：2＜x≤4．
故答案为：x＞2，x≤4，2＜x≤4．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小
大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（6分）（2015•随州）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3a5b3÷（﹣a2b）
2，其中ab=﹣ ．
考点： 整式的混合运算—化简求值．.
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计
算，最后一项先计算乘方运算，再计算除法运算，合并得到最简结果，把
ab的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=4﹣a2+a2﹣5ab+3ab=4﹣2ab，
当ab=﹣ 时，原式=4+1=5．
点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
19．（6分）（2015•随州）端午节前夕，小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋
（每个粽子的价格相同，每个咸鸭蛋的价格相同）．已知粽子的价格比咸鸭蛋的价
格贵1.8元，花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同，求粽子
与咸鸭蛋的价格各多少？
考点： 分式方程的应用．.
专题： 应用题．分析： 设咸鸭蛋的价格为x元，则粽子的价格为（1.8+x）元，根据花30元购买粽
子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同，列出分式方程，求出方程的
解得到x的值，即可得到结果．
解答： 解：设咸鸭蛋的价格为x元，则粽子的价格为（1.8+x）元，
根据题意得： = ，
去分母得：30x=12x+21.6，
解得：x=1.2，
经检验x=1.2是分式方程的解，且符合题意，
1.8+x=1.8+1.2=3（元），
故咸鸭蛋的价格为1.2元，粽子的价格为3元．
点评： 此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问
题的关键．航行问题常用的等量关系为：花30元购买粽子的个数与花12
元购买咸鸭蛋的个数相同．
20．（8分）（2015•随州）如图，反比例函数y= （k＜0）的图象与矩形ABCD的边
相交于E、F两点，且BE=2AE，E（﹣1，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接EF，求△BEF的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析：
（1）将E（﹣1，2）代入y= ，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析
式；
（2）由矩形的性质及已知条件可得B（﹣3，2），再将x=﹣3代入y=﹣ ，求出y的值，得到CF= ，那么BF=2﹣ = ，然后根据△BEF的面积=
BE•BF，将数值代入计算即可．
解答：
解：（1）∵反比例函数y= （k＜0）的图象过点E（﹣1，2），
∴k=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ；
（2）∵E（﹣1，2），
∴AE=1，OA=2，
∴BE=2AE=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3，
∴B（﹣3，2）．
将x=﹣3代入y=﹣ ，得y= ，
∴CF= ，
∴BF=2﹣ = ，
∴△BEF的面积= BE•BF= ×2× = ．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函
数的解析式，矩形的性质，三角形的面积，正确求出BF的值是解决第
（2）小题的关键．
21．（8分）（2015•随州）为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵
读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生
报名情况如图（每人只能选择一个小组）：（1）报名参加课外活动小组的学生共有 10 0 人，将条形图补充完整；
（2）扇形图中m= 2 5 ，n= 10 8 ；
（3）根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随
机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概
率是多少？请用列表或画树状图的方法说明．
考点： 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．.
分析： （1）用地方戏曲的人数除以其所占的百分比即可求得总人数，减去其它
小组的频数即可求得民族乐器的人数，从而补全统计图；
（2）根据各小组的频数和总数分别求得m和n的值即可；
（3）列树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即
可．
解答： 解：（1）∵根据两种统计图知地方戏曲的有13人，占13%，
∴报名参加课外活动小组的学生共有13÷13%=100人，
参加民族乐器的有100﹣32﹣25﹣13=30人，
统计图为：（2）∵m%= ×100%=25%，
∴m=25，
n= ×360=108，
故答案为：25，108；
（3）树状图分析如下：
∵共有12种情况，恰好选中甲、乙的有2种，
∴P（选中甲、乙）= = ．
点评： 本题考查了扇形统计图、条形统计图及列表与树状图法求概率的知识，
解题的关键是能够列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
22．（8分）（2015•随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．
（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不
写作法），并证明：PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求 的长．
考点： 切线的判定与性质；弧长的计算；作图—基本作图．.[来源:Zxxk.Com]
分析： （1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作
OB⊥PC，根据角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；
（2）首先证明△PAB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在
Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．
解答： 解：（1）作图如右图，
连接OA，过O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，
∴OA=OB，即d=r，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵PA、PC是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵AB=AP=4，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠APB=60°，
∴∠AOB=120°，∠POA=60°，
在Rt△AOP中，tan60°=
∴OA=
∴ = = ．
[来源:Z.xx.k.Com]
点评： 本题考查了尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐
角三角函数以及弧长的计算，求出圆心角和半径长是解决问题的关键．
23．（8分）（2015•随州）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地
面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞
行时间（t 单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的
高度为3.5m．
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间（t 单位：s）之间具有函数关系
x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平
距离为28m，他能否将球直接射入球门？
考点： 二次函数的应用．.
分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到
，求得抛物线的解析式为：y=﹣ t2+5t+ ，当t=
时，y = ；
最大
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣ ×2.82+5×2.8+ =2.25
＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解答： 解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ t2+5t+ ，
∴当t= 时，y = ；
最大
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣ ×2.82+5×2.8+ =2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正
确求得解析式是解题的关键．24．（10分）（2015•随州）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、
CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用
图（1）证明上述结论．
【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在
边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 ∠ BAD=2∠EAF 关系时，仍有
EF=BE+FD．
【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知
AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景
点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ ﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这
条道路EF的长（结果取整数，参考数据： =1.41， =1.73）
考点： 四边形综合题．.
分析： 【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，
只要再证明△AFG≌△AFE即可．
【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证
△FAE≌△MAE，即可得出答案；
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则
BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，根据旋转的
性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE
即可得出EF=BE+FD．解答： 【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接
AF．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°．[来源:学科网ZXXK]
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAG=∠BAD=150°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴EF=BE+DF=80+40（ ﹣1）≈109.2（米），即这条道路EF的长约为
109.2米．点评： 此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明
△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为
解决此题做了较好的铺垫．
25．（12分）（2015•随州）如图，已知抛物线y= （x+2）（x﹣4）与x轴交于点A、B
（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线
的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）设动点N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；
（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与
△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说
明理由．考点： 二次函数综合题．.
分析： （1）令y=0可求得点A、点B的横坐标，令x=0可求得点C的纵坐标；
（2）根据两点之间线段最短作M点关于直线x=﹣2的对称点M′，当N
（﹣2，N）在直线M′B上时，MN+BN的值最小；
（3）需要分类讨论：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根据相似三角形的性
质求得PB的长度，然后可求得点P的坐标．
解答： 解：（1）令y=0得x =﹣2，x =4，
1 2
∴点A（﹣2，0）、B（4，0）
令x=0得y=﹣ ，
∴点C（0，﹣ ）
（2）将x=1代入抛物线的解析式得y=﹣
∴点M的坐标为（1，﹣ ）
∴点M关于直线x=﹣2的对称点M′的坐标为（﹣5， ）
设直线M′B的解析式为y=kx+b
将点M′、B的坐标代入得：
解得：
所以直线M′B的解析式为y= ．
将x=﹣2代入得：y=﹣所以n=﹣ ．
（3）过点D作DE⊥BA，垂足为E．
由勾股定理得：
AD= =3 ，
BD= ，
如下图，①当P AB∽△ADB时，
1
即：
∴P B=6
1
过点P 作P M ⊥AB，垂足为M ．
1 1 1 1
∴ 即：
解得：P M =6 ，
1 1
∵ 即：
解得：BM =12
1
∴点P 的坐标为（﹣8，6 ）
1
∵点P 不在抛物线上，所以此种情况不存在；
1
②当△P AB∽△BDA时， 即：
2
∴P B=6
2
过点P 作P M ⊥AB，垂足为M ．
2 2 2 2∴ ，即：
∴P M =2
2 2
∵ ，即：
∴M B=8
2
∴点P 的坐标为（﹣4，2 ）
2
将x=﹣4代入抛物线的解析式得：y=2 ，
∴点P 在抛物线上．
2
由抛物线的对称性可知：点P 与点P 关于直线x=1对称，
2 4
∴P 的坐标为（6，2 ），
4
当点P 位于点C处时，两三角形全等，所以点P 的坐标为（0，﹣ ），
3 3
综上所述点P的坐标为：（﹣4，2 ）或（6，2 ）或（0，﹣ ）时，以P、
A、B为顶点的三角形与△ABD相似．
点评： 本题综合考查了二次函数、一次函数、轴对称﹣﹣路径最短、相似三角形
的性质，难度较大，利用相似三角形的性质求得PB的长是解题的关键，
解答本题需要注意的是在不确定相似三角形的对应角和对应边的情况下
要分类讨论，不要漏解．
