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2015年湖北省荆门市中考数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项，有且只有一个答
案是正确的）
1．（3分）（2015•荆门）64的立方根是（ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
2．（3分）（2015•荆门）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a5 D．a5÷a2=a3
3．（3分）（2015•荆门）下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•荆门）某市2014年的国民生产总值为2073亿元，这个数用科学记数法表示
为（ ）
A．2.073×1010元 B．2.073×1011元 C．2.073×1012元 D．2.073×1013元
5．（3分）（2015•荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长
为（ ）
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
6．（3分）（2015•荆门）如图，m∥n，直线l分别交m，n于点A，点B，AC⊥AB，AC交直线n于
点C，若∠1=35°，则∠2等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．（3分）（2015•荆门）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围
是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1
8．（3分）（2015•荆门）当1＜a＜2时，代数式 +|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
第1页（共23页）9．（3分）（2015•荆门）在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用
时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的速度随时间的增加而增大
B．乙的平均速度比甲的平均速度大
C．在起跑后第180秒时，两人相遇
D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
10．（3分）（2015•荆门）在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一
次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）（2015•荆门）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，
DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
A． B． ﹣1 C．2﹣ D．
12．（3分）（2015•荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连
接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（ ）
第2页（共23页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）（2015•荆门）不等式组 的解集是 ．
14．（3分）（2015•荆门）王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药
材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买了 千克．
15．（3分）（2015•荆门）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x ，
1
x ，若x 2+x 2=4，则m的值为 ．
2 1 2
16．（3分）（2015•荆门）在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD沿直线l向右翻滚两
次至如图所示位置，则点B所经过的路线长是 （结果不取近似值）．
17．（3分）（2015•荆门）如图，点A ，A 依次在y= （x＞0）的图象上，点B ，B 依次在x轴
1 2 1 2
的正半轴上．若△A OB ，△A B B 均为等边三角形，则点B 的坐标为 ．
1 1 2 1 2 2
三、解答题（本题共7小题，共69分）
第3页（共23页）18．（8分）（2015•荆门）先化简，再求值： • ﹣ ，其中a=1+ ，b=1﹣
．
19．（9分）（2015•荆门）已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，
且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．
20．（10分）（2015•荆门）为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高
进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的
统计图表．
组别 身高（cm）
A x＜150
B 150≤x＜155
C 155≤x＜160
D 160≤x＜165
E x≥165
第4页（共23页）根据图表中信息，回答下列问题：
（1）在样本中，男生身高的中位数落在 组（填组别序号），女生身高在B组的人
数有 人；
（2）在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有 人，身高人数最多的在
组（填组别序号）；
（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在155≤x＜160之间的学生约有多少
人？
21．（10分）（2015•荆门）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝
正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达
C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好
在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
第5页（共23页）22．（10分）（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，
交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA= ，求BH的长．
23．（10分）（2015•荆门）甲经销商库存有1200套A品牌服装，每套进价400元，每套售价
500元，一年内可卖完，现市场流行B品牌服装，每套进价300元，每套售价600元，但一年内
只允许经销商一次性订购B品牌服装，一年内B品牌服装销售无积压，因甲经销商无流动资
金可用，只有低价转让A品牌服装，用转让来的资金购进B品牌服装，并销售，经与乙经销商
协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的函数关系式为
y=﹣ x+360（100≤x≤1200），若甲经销商转让x套A品牌服装，一年内所获总利润为W
（元）．
（1）求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q （元）与x（套）之间的函数关系式；
1
（2）求B品牌服装的销售款Q （元）与x（套）之间的函数关系式；
2
（3）求W（元）与x（套）之间的函数关系式，并求W的最大值．
第6页（共23页）24．（12分）（2015•荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将
△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为
x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E
点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运
动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使
M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理
由．
2015 年湖北省荆门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项，有且只有一个答
案是正确的）
1．（3分）（2015•荆门）64的立方根是（ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
考点：立方根．
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分析：如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
解答：解：∵4的立方等于64，
∴64的立方根等于4．
故选A．
点评：此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立
第7页（共23页）方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方
根与原数的性质符号相同．
2．（3分）（2015•荆门）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a5 D．a5÷a2=a3
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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分析：根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可判断B，根据
幂的乘方底数不变指数相乘，可判断C，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可判
断D．
解答：解：A、不是同类项不能合并，故A错误；
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B错误；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
点评：本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3．（3分）（2015•荆门）下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．
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分析：俯视图是指从物体上面看，所得到的图形．
解答：解：A、圆柱的俯视图是圆；
B、三棱锥的俯视图是三角形；
C、球的俯视图是圆；
D、正方体的俯视图是四边形．
故选D．
点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．主视图、左视图、俯视图是分别从物
体正面、左面和上面看，所得到的图形．
4．（3分）（2015•荆门）某市2014年的国民生产总值为2073亿元，这个数用科学记数法表示
为（ ）
A．2.073×1010元 B．2.073×1011元 C．2.073×1012元 D．2.073×1013元
考点：科学记数法—表示较大的数．
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分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将2073亿用科学记数法表示为2.073×1011．
故选B
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）（2015•荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长
为（ ）
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
第8页（共23页）考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
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分析：分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．
解答：解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
综上所述，它的周长是10．
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行
判定．
6．（3分）（2015•荆门）如图，m∥n，直线l分别交m，n于点A，点B，AC⊥AB，AC交直线n于
点C，若∠1=35°，则∠2等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
考点：平行线的性质．
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分析：根据平行线的性质，可得∠3与∠1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90°，根
据角的和差，可得答案．
解答：解：如图，
∵AC⊥AB，
∴∠3+∠1=90°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣35°=55°，
∵直线m∥n，
∴∠3=∠2=55°，
故选：C
点评：本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差．
7．（3分）（2015•荆门）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围
是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1
考点：根的判别式．
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分析：根据关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，得出△=16﹣4（5﹣a）≥0，从而
求出a的取值范围．
第9页（共23页）解答：解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a）≥0，
∴a≥1．
故选A．
点评：此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况
与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
⇔
⇔
8．（3分）（2015•荆门）当1＜a＜2时，代数式 +|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
考点：二次根式的性质与化简．
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分析：首先判断出a﹣2＜0，1﹣a＜0，进而利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可．
解答：解：∵当1＜a＜2时，∴a﹣2＜0，1﹣a＜0，
∴ +|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1．
故选：B．
点评：此题主要考查了二次根式以及绝对值的化简，正确得出各项符号是解题关键．
9．（3分）（2015•荆门）在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用
时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的速度随时间的增加而增大
B．乙的平均速度比甲的平均速度大
C．在起跑后第180秒时，两人相遇
D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
考点：一次函数的应用．
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分析：A、由于线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间（t 秒）之间的函数图象，由此可
以确定甲的速度是没有变化的；
B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；
C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；
D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面．
解答：解：A、∵线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间（t 秒）之间的函数图象，∴甲
的速度是没有变化的，故选项错误；
B、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选项错误；
C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故选项错误；
第10页（共23页）D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴乙是在甲的前面，故选项正确．
故选D．
点评：本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理
解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
10．（3分）（2015•荆门）在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一
次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法．
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分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过三次传球后，
球仍回到甲手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，经过3次传球后，球仍回到甲手中的有2种情况，
∴经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是： = ．
故选B．
点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数
之比．
11．（3分）（2015•荆门）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，
DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
A． B． ﹣1 C．2﹣ D．
考点：解直角三角形；等腰直角三角形．
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分析：
利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC= AC，DE=EC= DC，然后通过解直角
△DBE来求tan∠DBC的值．
解答：解：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，BC= AC．
又∵点D为边AC的中点，
∴AD=DC= AC．
第11页（共23页）∵DE⊥BC于点E，
∴∠CDE=∠C=45°，
∴DE=EC= DC= AC．
∴tan∠DBC= = = ．
故选：A．
点评：本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出
相关的边长或角的度数或三角函数值．
12．（3分）（2015•荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连
接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
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分析：由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，
由SAS即可证出△ABE≌△DBC；
由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；
由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角
形；
证明P、B、Q、M四点共圆，由圆周角定理得出∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC．
解答：解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中， ，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，
第12页（共23页）∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中， ，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
∵∠DMA=60°，
∴∠AMC=120°，
∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四点共圆，
∵BP=BQ，
∴ ，
∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④正确；
综上所述：正确的结论有4个；
故选：D．
点评：本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定
理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）（2015•荆门）不等式组 的解集是 ﹣ 1≤ x ＜ 5 ．
考点：解一元一次不等式组．
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分析：首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
解答：
解：
由①得：x＜5，
由②得：x≥﹣1，
不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．
故答案为：﹣1≤x＜5．
点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14．（3分）（2015•荆门）王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药
材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买了 5 千克．
考点：一元一次方程的应用．
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分析：设买了甲种药材x千克，乙种药材（x﹣2）千克，根据用280元买了甲、乙两种药材，甲
种药材比乙种药材多买了2千克，列方程求解．
解答：5解：设买了甲种药材x千克，乙种药材（x﹣2）千克，
依题意，得20x+60（x﹣2）=280，
解得：x=5．
即：甲种药材5千克．
第13页（共23页）故答案是：5．
点评：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适
的等量关系，列方程求解．
15．（3分）（2015•荆门）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x ，
1
x ，若x 2+x 2=4，则m的值为 ﹣ 1 或﹣ 3 ．
2 1 2
考点：根与系数的关系；根的判别式．
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分析：利用根与系数的关系可以得到代数式，再把所求代数式利用完全平方公式变形，结合
前面的等式即可求解．
解答：解：∵这个方程的两个实数根为x 、x ，
1 2
∴x +x =﹣（m+3），x •x =m+1，
1 2 1 2
而x 2+x 2=4，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x •x =4，
1 2 1 2
∴（m+3）2﹣2m﹣2=4，
∴m2+6m+9﹣2m﹣6=0，
m2+4m+3=0，
∴m=﹣1或﹣3，
故答案为：﹣1或﹣3
点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是利用根与系
数的关系和完全平方公式将代数式变形分析．
16．（3分）（2015•荆门）在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD沿直线l向右翻滚两
次至如图所示位置，则点B所经过的路线长是 12.5 π （结果不取近似值）．
考点：轨迹；弧长的计算；旋转的性质．
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分析：根据图形的滚动路线得出点B所经过的路线长为2段扇形弧长进而求出即可．
解答：解：连接BD．
在直角△ABD中，BD= =13，
则顶点B所经过的路线长： + =12.5π．
故答案是：12.5π．
点评：此题主要考查了轨迹、图形的旋转以及扇形弧长公式的应用，根据已知得出滚动路线
是解题关键．
17．（3分）（2015•荆门）如图，点A ，A 依次在y= （x＞0）的图象上，点B ，B 依次在x轴
1 2 1 2
的正半轴上．若△A OB ，△A B B 均为等边三角形，则点B 的坐标为 （ 6 ， 0 ） ．
1 1 2 1 2 2
第14页（共23页）考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
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分析：由于△A
1
OB
1
等边三角形，作A
1
C⊥OB
1
，垂足为C，由等边三角形的性质求出A
1
C=
OC，设A 的坐标为（m， m），根据点A 是反比例函数y= （x＞0）的图象上的一
1 1
点，求出BO的长度；作A
2
D⊥B
1
B
2
，垂足为D．设B
1
D=a，由于，△A
2
B
1
B
2
为等边三角
形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点A 的横、纵坐标，
2
再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出B 点的坐标．
2
解答：解：作A
1
C⊥OB
1
，垂足为C，
∵△A OB 为等边三角形，
1 1
∴∠A
1
OB
1
=60°，
∴tan60°= = ，
∴A C= OC，
1
设A 的坐标为（m， m），
1
∵点A 在y= （x＞0）的图象上，
1
∴m =9 ，解得m=3，
∴OC=3，
∴OB =6，
1
作A
2
D⊥B
1
B
2
，垂足为D．
设B D=a，
1
则OD=6+a，A D= a，
2
∴A （6+a， a）．
2
∵A （6+a， a）在反比例函数的图象上，
2
∴代入y= ，得（6+a）• a=9 ，
化简得a2+6a﹣9=0
解得：a=﹣3±3 ．
∵a＞0，
∴a=﹣3+3 ．
∴B B =﹣6+6 ，
1 2
∴OB =OB +B B =6 ，
2 1 1 2
所以点B 的坐标为（6 ，0）．
2
故答案是：（6 ，0）．
第15页（共23页）点评：此题综合考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正三角形的性
质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
三、解答题（本题共7小题，共69分）
18．（8分）（2015•荆门）先化简，再求值： • ﹣ ，其中a=1+ ，b=1﹣
．
考点：分式的化简求值．
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分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式= • ﹣
= • ﹣
=1﹣
=﹣ ，
当a=1+ ，b=1﹣ 时，
原式=﹣ =﹣ = ．
点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．（9分）（2015•荆门）已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，
且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质．
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专题：证明题．
分析：首先证得△ABE≌△CDF，得到AB=CD，从而得到四边形ABCD是平行四边形，然后证
得AD=CD，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可．
解答：证明：∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD．
第16页（共23页）∴∠BAE=∠DCF．
又∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠BAE=∠DCF，
∴∠DAF=∠DCF，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
点评：本题考查了菱形的判定，能够了解菱形的几种判定方法是解答本题的关键，难度不大．
20．（10分）（2015•荆门）为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高
进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的
统计图表．
组别 身高（cm）
A x＜150
B 150≤x＜155
C 155≤x＜160
D 160≤x＜165
E x≥165
根据图表中信息，回答下列问题：
（1）在样本中，男生身高的中位数落在 D 组（填组别序号），女生身高在B组的人数有
12 人；
（2）在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有 1 6 人，身高人数最多的在 C 组（填
组别序号）；
（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在155≤x＜160之间的学生约有多少
人？
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数．
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分析：（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）将位于这一小组内的频数相加即可求得结果；
（3）分别用男、女生的人数，相加即可得解．
解答：解：（1）∵在样本中，共有2+4+8+12+14=40人，
∴中位数是第20和第21人的平均数，
∴男生身高的中位数落在D组，
女生身高在B组的人数有40×（1﹣30%﹣20%﹣15%﹣5%）=12人；
第17页（共23页）（2）在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有4+12=16人，身高人数最多的在C
组；
（3）500× +480×（30%+15%）=541（人），
故估计身高在155≤x＜160之间的学生约有541人．
故答案为：D，12；16，C．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信
息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．（10分）（2015•荆门）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝
正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达
C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好
在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
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分析：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作
AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．
解Rt△BCE，求出BE= BC= ×1000=500米；解Rt△CDF，求出CF= CD=500
米，则DA=BE+CF=（500+500 ）米．
解答：解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂
线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离
DA=BE+CF．
在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE= BC= ×1000=500米；
在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000米，
∴CF= CD=500 米，
∴DA=BE+CF=（500+500 ）米，
故拦截点D处到公路的距离是（500+500 ）米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向
角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．（10分）（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，
交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
第18页（共23页）（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA= ，求BH的长．
考点：圆的综合题．
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分析：（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即
∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；
（2）连接AC，由垂径定理得出 ，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角
∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例 ，即可得出结论；
（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求
出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．
解答：（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，
即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC，
∴ ，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴ ，
∴CE2=EH•EA；
（3）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE= ，
∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10× =6，
∴EA= = =8，
∵ ，
∴BE=CE=6，
第19页（共23页）∵CE2=EH•EA，
∴EH= = ，
在Rt△BEH中，BH= = = ．
点评：本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定
理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，
特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能
得出结果．
23．（10分）（2015•荆门）甲经销商库存有1200套A品牌服装，每套进价400元，每套售价
500元，一年内可卖完，现市场流行B品牌服装，每套进价300元，每套售价600元，但一年内
只允许经销商一次性订购B品牌服装，一年内B品牌服装销售无积压，因甲经销商无流动资
金可用，只有低价转让A品牌服装，用转让来的资金购进B品牌服装，并销售，经与乙经销商
协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的函数关系式为
y=﹣ x+360（100≤x≤1200），若甲经销商转让x套A品牌服装，一年内所获总利润为W
（元）．
（1）求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q （元）与x（套）之间的函数关系式；
1
（2）求B品牌服装的销售款Q （元）与x（套）之间的函数关系式；
2
（3）求W（元）与x（套）之间的函数关系式，并求W的最大值．
考点：二次函数的应用．
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分析：（1）直接根据销售款=售价×套数即可得出结论；
（2）根据转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的函数关系式为y=﹣ x+360
（100≤x≤1200）得出总件数，再与售价相乘即可；
（3）把（1）（2）中的销售款相加再减去成本即可．
解答：解：（1）∵甲经销商库存有1200套A品牌服装，每套售价500元，转让x套给乙，
∴Q =500×（1200﹣x）=﹣500x+600000（100≤x≤1200）；
1
第20页（共23页）（2）∵转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的函数关系式为y=﹣ x+360
（100≤x≤1200），B品牌服装，每套进价300元，
∴转让后每套的价格= 元，
∴Q = ×600=﹣ x2+720x（100≤x≤1200）；
2
（3）∵由（1）、（2）知，Q =﹣500x+600000，Q =﹣ x2+720x，
1 2
∴W=Q +Q ﹣400×1200=500x+600000﹣ x2+720x﹣480000=﹣ （x﹣550）2+180500，
1 2
当x=550时，W有最大值，最大值为180500元．
点评：本题考查的是二次函数的应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量
等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，
实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定
要注意自变量x的取值范围．
24．（12分）（2015•荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将
△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为
x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E
点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运
动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使
M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理
由．
考点：二次函数综合题．
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分析：（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，
在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待
定系数法可求得抛物线解析式；
（2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；
（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，
根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代
第21页（共23页）入抛物线解析式可求得M点的坐标．
解答：解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，OE= = =3，
设AD=m，则DE=BD=4﹣m，
∵OE=3，
∴AE=5﹣3=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4﹣m）2，解得m= ，
∴D（﹣ ，﹣5），
∵C（﹣4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），
∴﹣5=﹣ a（﹣ +4），解得a= ，
∴抛物线解析式为y= x（x+4）= x2+ x；
（2）∵CP=2t，
∴BP=5﹣2t，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），
∴BP=EQ，
∴5﹣2t=t，
∴t= ；
（3）∵抛物线的对称为直线x=﹣2，
∴设N（﹣2，n），
又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），
设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为 =﹣1，线段CM中点横坐标为 ，
∵EN，CM互相平分，
∴ =﹣1，解得m=2，
又M点在抛物线上，
∴y= ×22+ ×2=16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为 ，线段CN中点横坐标为 =﹣3，
∵EN，CM互相平分，
∴ =﹣3，解得m=﹣6，
又∵M点在抛物线上，
∴y= ×（﹣6）2+ ×（﹣6）=16，
∴M（﹣6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
第22页（共23页）则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣ ）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2， ）．
点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠
的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在（2）中
证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用．本题
考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
第23页（共23页）
