文档内容
2014 年湖北省鄂州市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•鄂州） 的绝对值的相反数是（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
2．（3分）（2014•鄂州）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2x2）3=﹣6x6 B．（3a﹣b）2=9a2﹣b2 C．x2•x3=x5 D．x2+x3=x5
3．（3分）（2014•鄂州）如图，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的
左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2014•鄂州）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，
则∠2的度数为（ ）
A．20° B．40° C．30° D．25°
5．（3分）（2014•鄂州）点A为双曲线y= （k≠0）上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三
角形，△AOB的边长为2，则k的值为（ ）
A．2 B．±2 C． D．±
6．（3分）（2014•鄂州）圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为（
）
A．90° B．120° C．150° D．180°7．（3分）（2014•鄂州）在矩形ABCD中，AD=3AB，点G、H分别在AD、BC上，连BG、DH，
且BG∥DH，当 =（ ）时，四边形BHDG为菱形．
A． B． C． D．
8．（3分）（2014•鄂州）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会
公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元，
2013年达到2160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程
为（ ）
A．2016（1﹣x）2=1500 B．1500（1+x）2=2160
C．1500（1﹣x）2=2160 D．1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160
9．（3分）（2014•鄂州）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形
ABCD各边中点，得到四边形A B C D ，再顺次连接四边形A B C D 各边中点，得到四边形
1 1 1 1 1 1 1 1
A B C D ，如此进行下去，得到四边形A B C D ．下列结论正确的是（ ）
2 2 2 2 n n n n
①四边形A B C D 是菱形；
4 4 4 4
②四边形A B C D 是矩形；
3 3 3 3
③四边形A B C D 周长为 ；
7 7 7 7
④四边形A B C D 面积为 ．
n n n n
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④10．（3分）（2014•鄂州）已知抛物线的顶点为y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x ，y ），点
0 0
A（1，y ），B（0，y ），C（﹣1，y ）在该抛物线上，当y ≥0恒成立时， 的最小值为（
A B C 0
）
A．1 B．2 C．4 D．3
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2014•鄂州） 的算术平方根为 ．
12．（3分）（2014•鄂州）小林同学为了在体育中考获得好成绩，每天早晨坚持练习跳绳，临考
前，体育老师记载了他5次练习成绩，分别为143、145、144、146、a，这五次成绩的平均数为
144．小林自己又记载了两次练习成绩为141、147，则他七次练习成绩的平均数为 ．
13．（3分）（2014•鄂州）如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的
解集为 ．
14．（3分）（2014•鄂州）在平面直角坐标中，已知点A（2，3）、B（4，7），直线y=kx﹣k（k≠0）与
线段AB有交点，则k的取值范围为 ．
15．（3分）（2014•鄂州）如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正
方形ABCD的边长为半径．求阴影部分的面积 ．
16．（3分）（2014•鄂州）如图，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在BC，CD上，使得
△CMN的周长为2，则△MAN的面积最小值为 ．三．解答题（17-20每题8分，21-22每题9分，23题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）（2014•鄂州）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a=2﹣ ．
18．（8分）（2014•鄂州）在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线
交于M．求证：
（1）BH=DE．
（2）BH⊥DE．19．（8分）（2014•鄂州）学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛．现有甲、乙两班各上交
30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：
甲班：
等级 成绩（S） 频数
A 90＜S≤100 x
B 80＜S≤90 15
C 70＜S≤80 10
D S≤70 3
合计 30
根据上面提供的信息回答下列问题
（1）表中x= ，甲班学生成绩的中位数落在等级 中，扇形统计图中等级D部分
的扇形圆心角n= ．
（2）现学校决定从两班所有A等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛．求抽
取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）．
20．（8分）（2014•鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x ，x ，且|x ﹣x |=1，求m．
1 2 1 2
21．（9分）（2014•鄂州）小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道
树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿着CB方向向大树行进10米到达点D，测得树AB顶端A的仰角为45°，又测得树AB倾斜角
∠1=75°．
（1）求AD的长．
（2）求树长AB．
22．（9分）（2014•鄂州）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作
CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若 = ，求cos∠DAB．
23．（10分）（2014•鄂州）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本
为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：
x（天） 1 2 3 … 50
p（件） 118 116 114 … 20
销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+ ．
（1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系．
（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式．
（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？24．（12分）（2014•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y= x+m的图象与x轴
交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x=2为对称轴的抛物线C ：y=ax2+bx+c（a≠0）经过
1
A、C两点，并与x轴正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线C ：y=ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式．
1
（2）设点D（0， ），若F是抛物线C ：y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长取得最
1
小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C 于M（x ，y ），M（x ，y ）两点，
1 1 1 1 2 2 2
试探究 + 是否为定值？请说明理由．
（3）将抛物线C 作适当平移，得到抛物线C ：y =﹣ （x﹣h）2，h＞1．若当1＜x≤m时，y ≥﹣x
1 2 2 2
恒成立，求m的最大值．2014 年湖北省鄂州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•鄂州） 的绝对值的相反数是（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
考点：绝对值；相反数．
分析：
根据绝对值的定义，这个数在数轴上的点到原点的距离，﹣ 的绝对值为 ；再根据相反数的定
义，只有符号不同的两个数是互为相反数， 的相反数为﹣ ；
解答：
解：﹣ 的绝对值为：|﹣ |= ，
的相反数为：﹣ ，
所以﹣ 的绝对值的相反数是为：﹣ ，
故选：B．
点评：此题考查了绝对值及相反数，关键明确：相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反
数；绝对值的定义，这个数在数轴上的点到原点的距离．
2．（3分）（2014•鄂州）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2x2）3=﹣6x6 B．（3a﹣b）2=9a2﹣b2 C．x2•x3=x5 D．x2+x3=x5
考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
专题：计算题．
分析：A、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；
C、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式不能合并，错误．
解答：解：A、原式=﹣8x6，错误；
B、原式=9a2﹣6ab+b2，错误；
C、原式=x5，正确；
D、原式不能合并，错误，
故选C
点评：此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌
握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）（2014•鄂州）如图，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的
左视图是（ ）A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
解答：解：从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形，
故选：D．
点评：本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4．（3分）（2014•鄂州）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，
则∠2的度数为（ ）
A．20° B．40° C．30° D．25°
考点：平行线的性质．
分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平
行，同旁内角互补列式计算即可得解．
解答：解：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，
∵a∥b，∠DCB=90°，
∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．
故选A．
点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性
质并准确识图是解题的关键．
5．（3分）（2014•鄂州）点A为双曲线y= （k≠0）上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三
角形，△AOB的边长为2，则k的值为（ ）A．2 B．±2 C． D．±
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
分析：分两种情况：点A在第一象限或第二象限，从而得出点B的坐标，再根据△AOB为等边三角
形，△AOB的边长为2，求出点A坐标，即可得出k值．
解答：解：当点A在第一象限时，过A作AC⊥OB于C，如图1，
∵OB=2，
∴B点的坐标是（2，0）；
∵∠AOC=60°，AO=BO=2，
∴OC=1，AC=2sin60°= ，
∴A点的坐标是（1， ），
∵点A为双曲线y= （k≠0）上一点，
∴k= ；
当点A在第二象限时，过A作AC⊥OB于C，如图2，
∵OB=2，
∴B点的坐标是（﹣2，0）；
∵∠AOC=60°，AO=BO=2，
∴OC=1，AC=2sin60°= ，
∴A点的坐标是（﹣1， ），
∵点A为双曲线y= （k≠0）上一点，
∴k=﹣ ；
故选D．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质，是基础题难度不大．
6．（3分）（2014•鄂州）圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为（
）
A．90° B．120° C．150° D．180°
考点：圆锥的计算．
专题：计算题．
分析：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，母线长为R，先根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形
的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到
•2π•2•R=8π，解得R=4，然后根据弧长公式得到 =2•2π，再解关于n的方程即可．
解答：解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，母线长为R，根据题意得 •2π•2•R=8π，解得R=4，
所以 =2•2π，解得n=180，
即圆锥的侧面展开图的圆心角为180°．
故选D．
点评：本题考查了圆锥的计算：锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
7．（3分）（2014•鄂州）在矩形ABCD中，AD=3AB，点G、H分别在AD、BC上，连BG、DH，
且BG∥DH，当 =（ ）时，四边形BHDG为菱形．
A． B． C． D．
考点：菱形的判定．
分析：首先根据菱形的性质可得BG=GD，然后设AB=x，则AD=3x，设AG=y，则GD=3x﹣y，BG=3x
﹣y，再根据勾股定理可得y2+x2=（3x﹣y）2，再整理得 = ，然后可得y= x，再进一步可得
的值．
解答：解：∵四边形BGDH是菱形，
∴BG=GD，
设AB=x，则AD=3x，
设AG=y，则GD=3x﹣y，BG=3x﹣y，
∵在Rt△AGB中，AG2+AB2=GB2，
∴y2+x2=（3x﹣y）2，
整理得： = ，
y= x，
∴ = = = ，
故选：C．
点评：此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形四边形相等．
8．（3分）（2014•鄂州）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会
公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元，
2013年达到2160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程
为（ ）
A．2016（1﹣x）2=1500 B．1500（1+x）2=2160
C．1500（1﹣x）2=2160 D．1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．
分析：本题是关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设该厂缴税的年
平均增长率为x，那么根据题意可用x表示今年缴税数，然后根据已知可以得出方程．
解答：解：如果设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，
那么根据题意得今年缴税1500（1+x）2，
列出方程为：1500（1+x）2=2160．
故选B．
点评：考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时
间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
9．（3分）（2014•鄂州）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形
ABCD各边中点，得到四边形A B C D ，再顺次连接四边形A B C D 各边中点，得到四边形
1 1 1 1 1 1 1 1
A B C D ，如此进行下去，得到四边形A B C D ．下列结论正确的是（ ）
2 2 2 2 n n n n
①四边形A B C D 是菱形；
4 4 4 4
②四边形A B C D 是矩形；
3 3 3 3
③四边形A B C D 周长为 ；
7 7 7 7
④四边形A B C D 面积为 ．
n n n n
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
考点：中点四边形．
专题：规律型．
分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后
对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A B C D 的周长；
5 5 5 5
④根据四边形A B C D 的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
n n n n
解答：解：①连接A C ，B D ．
1 1 1 1
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A B C D ，
1 1 1 1
∴A
1
D 1∥BD，B
1
C 1∥BD，C
1
D 1∥AC，A
1
B 1∥AC；
∴A
1
D 1∥B
1
C
1
，A
1
B 1∥C
1
D
1
，
∴四边形A B C D 是平行四边形；
1 1 1 1
∵AC丄BD，∴四边形A B C D 是矩形，
1 1 1 1
∴B D =A C （矩形的两条对角线相等）；
1 1 1 1
∴A D =C D =C B =B A （中位线定理），
2 2 2 2 2 2 2 2
∴四边形A B C D 是菱形；
2 2 2 2
∴四边形A B C D 是矩形；
3 3 3 3
∴根据中位线定理知，四边形A B C D 是菱形；
4 4 4 4
故①②正确；③根据中位线的性质易知，A B ═ A B A B = A B = AC，B C =B C = B C = B C =
7 7 5 5 3 3 1 1 7 7 5 5 3 3 1 1
BD，
∴四边形A B C D 的周长是2× （a+b）= ，
7 7 7 7
故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD =ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形A B C D 的面积是 ，
n n n n
故本选项错误；
综上所述，②③①正确．
故选A．
点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位
线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
10．（3分）（2014•鄂州）已知抛物线的顶点为y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x ，y ），点
0 0
A（1，y ），B（0，y ），C（﹣1，y ）在该抛物线上，当y ≥0恒成立时， 的最小值为（
A B C 0
）
A．1 B．2 C．4 D．3
考点：二次函数的性质．
专题：计算题．
分析：
由0＜2a＜b得x
0
=﹣ ＜﹣1，作AA 1⊥x轴于点A
1
，CD⊥y轴于点D，连接BC，过点A作
AF∥BC，交抛物线于点E（x
1
，y
E
），交x轴于点F（x
2
，0），则AA
1
=y
A
，OA
1
=1，BD=y
B
﹣y
C
，
CD=1，易证得Rt△AFA
1
∽Rt△BCD，利用相似比得到 = ；过点E作EG⊥AA
1
于
点G，易得△AEG∽△BCD，利用相似比得 = ，再把点A（1，y ）、B（0，y ）、C
A B
（﹣1，y ）、E（x ，y ）代入抛物线y=ax2+bx+c得y =a+b+c，y =c，y =a﹣b+c，y =ax 2+bx +c，所
C 1 E A B C E 1 1
以 =1﹣x ，整理得x 2+x ﹣2=0，解得x =﹣2（x =1舍去），由于
1 1 1 1 1
y ≥0恒成立，则有x ≤x ＜﹣1，所以1﹣x ≥1﹣x ，即1﹣x ≥3，于是得到 ≥3，所以
0 2 1 2 1 2的最小值为3．
解答：
解：由0＜2a＜b，得x =﹣ ＜﹣1，
0
由题意，如图，过点A作AA 1⊥x轴于点A
1
，则AA
1
=y
A
，OA
1
=1，
连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=y
B
﹣y
C
，CD=1，
过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x
1
，y
E
），交x轴于点F（x
2
，0），
则∠FAA
1
=∠CBD．
于是Rt△AFA
1
∽Rt△BCD，
所以 = ，即 = ，
过点E作EG⊥AA
1
于点G，
易得△AEG∽△BCD．
有 = ，即 = ，
∵点A（1，y ）、B（0，y ）、C（﹣1，y ）、E（x ，y ）在抛物线y=ax2+bx+c上，
A B C 1 E
得y =a+b+c，y =c，y =a﹣b+c，y =ax 2+bx +c，
A B C E 1 1
∴ =1﹣x ，
1
化简，得x 2+x ﹣2=0，解得x =﹣2（x =1舍去），
1 1 1 1
∵y ≥0恒成立，根据题意，有x ≤x ＜﹣1，
0 2 1
则1﹣x ≥1﹣x ，即1﹣x ≥3．
2 1 2
∴ ≥3，
∴ 的最小值为3．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ， ），
对称轴直线x=﹣ ，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线
y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y随x的增大而
增大；x=﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而
减小；x=﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2014•鄂州） 的算术平方根为 ．
考点：算术平方根．
专题：计算题．
分析：首先根据算术平方根的定义计算先 =2，再求2的算术平方根即可．
解答：解：∵ =2，
∴ 的算术平方根为 ．
点评：此题考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道 =2，实际上这个题是求2的算术平方根．
注意这里的双重概念．
12．（3分）（2014•鄂州）小林同学为了在体育中考获得好成绩，每天早晨坚持练习跳绳，临考
前，体育老师记载了他5次练习成绩，分别为143、145、144、146、a，这五次成绩的平均数为
144．小林自己又记载了两次练习成绩为141、147，则他七次练习成绩的平均数为 14 4 ．
考点：算术平均数．
分析：先根据平均数的定义由五次成绩的平均数为144得出这五次成绩的总数为144×5，再根据平
均数的定义即可求出他七次练习成绩的平均数．
解答：解：∵小林五次成绩（143、145、144、146、a）的平均数为144，
∴这五次成绩的总数为144×5=720，
∵小林自己又记载了两次练习成绩为141、147，
∴他七次练习成绩的平均数为（720+141+147）÷7=1008÷7=144．
故答案为144．
点评：本题考查了平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反
映数据集中趋势的一项指标．
13．（3分）（2014•鄂州）如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的
解集为 ﹣ 2≤x≤﹣ 1 ．
考点：一次函数与一元一次不等式．
专题：数形结合．
分析：先确定直线OA的解析式为y=﹣2x，然后观察函数图象得到当﹣2≤x≤﹣1时，y=kx+b的图象
在x轴上方且在直线y=﹣2x的下方．
解答：解：直线OA的解析式为y=﹣2x，当﹣2≤x≤﹣1时，0≤kx+b≤﹣2x．
故答案为﹣2≤x≤﹣1．
点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值
大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴
上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14．（3分）（2014•鄂州）在平面直角坐标中，已知点A（2，3）、B（4，7），直线y=kx﹣k（k≠0）与
线段AB有交点，则k的取值范围为 ≤ k≤ 3 ．
考点：两条直线相交或平行问题．
专题：计算题．
分析：由于当x=1时，y=0，所以直线y=kx﹣k过定点（1，0），因为直线y=kx﹣k（k≠0）与线段AB有
交点，所以当直线y=kx﹣k过B（4，7）时，k值最小；当直线y=kx﹣k过A（2，3）时，k值最大，
然后把B点和A点坐标代入y=kx﹣k可计算出对应的k的值，从而得到k的取值范围．
解答：解：∵y=k（x﹣1），
∴x=1时，y=0，即直线y=kx﹣k过定点（1，0），
∵直线y=kx﹣k（k≠0）与线段AB有交点，
∴当直线y=kx﹣k过B（4，7）时，k值最小，则4k﹣k=7，解得k= ；当直线y=kx﹣k过A（2，3）
时，k值最大，则2k﹣k=3，解得k=3，
∴k的取值范围为 ≤k≤3．
故答案为 ≤k≤3．
点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次
函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数
相同，即k值相同．
15．（3分）（2014•鄂州）如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正
方形ABCD的边长为半径．求阴影部分的面积 16﹣ 4 ﹣ ．
考点：扇形面积的计算；正方形的性质．分析：如解答图，作辅助线，利用图形的对称性求解．解题要点是求出弓形OmC的面积．
解答：解：如图，设点O为弧的一个交点．
连接OA、OB，则△OAB为等边三角形，∴∠OBC=30°．
过点O作EF⊥CD，分别交AB、CD于点E、F，则OE为等边△OAB的高，
∴OE= AB= ，∴OF=2﹣ ．
过点O作PQ⊥BC，分别交AD、BC于点P、Q，则OQ=1．
S弓形OmC =S扇形OBC ﹣S
△OBC
= ﹣ ×2×1= ﹣1．
∴S阴影=4（S
△OCD
﹣2S弓形OmC ）=4[ ×2×（2﹣ ）﹣2（ ﹣1） =16﹣4 ﹣ ．
故答案为：16﹣4 ﹣ ． ]
点评：本题考查了扇形的面积公式和正方形性质的+应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，
难度不大．
16．（3分）（2014•鄂州）如图，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在BC，CD上，使得
△CMN的周长为2，则△MAN的面积最小值为 ﹣ 1 ．
考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质．
分析：如图，延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，进而求证
△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°设CM=x，CN=y，MN=z，根据x2+y2=z2，和
x+y+z=2，整理根据△=4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0可以解题．
解答：解：延长CB至L，使BL=DN，
则Rt△ABL≌Rt△AND，
故AL=AN，
∴△AMN≌△AML，
∴∠MAN=∠MAL=45°，
设CM=x，CN=y，MN=z
x2+y2=z2，
∵x+y+z=2，
则x=2﹣y﹣z
∴（2﹣y﹣z）2+y2=z2，
整理得2y2+（2z﹣4）y+（4﹣4z）=0，
∴△=4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0，
即（z+2+2 ）（z+2﹣2 ）≥0，又∵z＞0，
∴z≥2 ﹣2，当且仅当x=y=2﹣ 时等号成立
此时S =S = ML•AB= z
△AMN △AML
因此，当z=2 ﹣2，x=y=2﹣ 时，S 取到最小值为 ﹣1．
△AMN
故答案为 ﹣1．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了正方形各边相等，各内角是直角的性质，
本题求证三角形全等是解题的关键．
三．解答题（17-20每题8分，21-22每题9分，23题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）（2014•鄂州）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a=2﹣ ．
考点：分式的化简求值．
分析：将括号内的部分通分，相加后再将除法转化为乘法，然后约分．
解答：
解：原式=（ + ）•
= •
= •
= ，
当a=2﹣ 时，原式= =﹣ ．
点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉约分、通分、因式分解是解题关键．
18．（8分）（2014•鄂州）在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线
交于M．求证：
（1）BH=DE．
（2）BH⊥DE．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，
再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出
∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．
解答：证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，
BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，
∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，
即∠BCH=∠DCE，
在△BCH和△DCE中，
，
∴△BCH≌△DCE（SAS），
∴BH=DE；
（2）∵△BCH≌△DCE，
∴∠CBH=∠CDE，
∴∠DMB=∠BCD=90°，
∴BH⊥DE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的
关键，也是本题的难点．
19．（8分）（2014•鄂州）学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛．现有甲、乙两班各上交
30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：
甲班：
等级 成绩（S） 频数
A 90＜S≤100 x
B 80＜S≤90 15
C 70＜S≤80 10
D S≤70 3
合计 30
根据上面提供的信息回答下列问题
（1）表中x= 2 ，甲班学生成绩的中位数落在等级 B 中，扇形统计图中等级D部分的扇
形圆心角n= 36 ° ．
（2）现学校决定从两班所有A等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛．求抽
取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）．
考点：频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．分析：（1）利用总人数30减去其它各组的人数就是x的值，根据中位数的定义求得中位数的值，利用
360°乘以对应的比例就可求得圆心角的度数；
（2）甲班的人用甲表示，乙班的人用乙表示，利用列举法即可求得概率．
解答：
解：（1）x=30﹣15﹣10﹣3=2；中位数落在B组；等级D部分的扇形圆心角n=360°× =36°；
故答案是：2，B，36°；
（2）乙班A等级的人数是：30×10%=3，
则甲班的二个人用甲表示，乙班的三个人用乙表示．
，
共有20种情况，则抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率是： = ．
点评：考查了频数（率）分布表，本题用到的知识点是：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据
（或中间两数据的平均数）叫做中位数．频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分
比即可．
20．（8分）（2014•鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x ，x ，且|x ﹣x |=1，求m．
1 2 1 2
考点：根的判别式；根与系数的关系．
分析：（1）根据关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，得出m≠0且（﹣2m）2﹣
4•m•（m﹣2）≥0，求出m的取值范围即可；
（2）根据方程两实根为x ，x ，求出x +x 和x •x 的值，再根据|x ﹣x |=1，得出（x +x ）2﹣
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4x x =1，再把x +x 和x •x 的值代入计算即可．
1 2 1 2 1 2
解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，
∴m≠0且△≥0，即（﹣2m）2﹣4•m•（m﹣2）≥0，
解得m≥0，
∴m的取值范围为m＞0．
（2）∵方程两实根为x ，x ，
1 2
∴x +x =2，x •x = ，
1 2 1 2
∵|x ﹣x |=1，
1 2
∴（x ﹣x ）2=1，
1 2
∴（x +x ）2﹣4x x =1，
1 2 1 2
∴22﹣4× =1，
解得：m=8；
经检验m=8是原方程的解．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个
不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根．
21．（9分）（2014•鄂州）小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道
树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿
着CB方向向大树行进10米到达点D，测得树AB顶端A的仰角为45°，又测得树AB倾斜角
∠1=75°．（1）求AD的长．
（2）求树长AB．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：（1）过点A作AE⊥CB于点E，设AE=x，分别表示出CE、DE，再由CD=10，可得方程，解出x
的值，在Rt△ADE中可求出AD；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，设BF=y，分别表示出CF、AF，解出y的值后，在Rt△ABF中可
求出AB的长度．
解答：解：（1）过点A作AE⊥CB于点E，设AE=x，
在Rt△ACE中，∠C=30°，
∴CE= x，
在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∴CE﹣DE=10，即 x﹣x=10，
解得：x=5（ +1），
∴AD= x=5 +5
答：AD的长为（5 +5 ）米．
（2）由（1）可得AC=2AE=（10 +10）米，
过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠1=75°，∠C=30°，
∴∠CAB=45°，
设BF=y，
在Rt△CBF中，CF= BF= y，
在Rt△BFA中，AF=BF=y，
∴ y+y=（10 +10），
解得：y=10，
在Rt△ABF中，AB= =10 米．
答：树高AB的长度为10 米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用锐角三角函数及已
知线段表示未知线段，有一定难度．
22．（9分）（2014•鄂州）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作
CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．（2）若 = ，求cos∠DAB．
考点：切线的判定．
分析：（1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出
OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；
（2）连接BC，可证明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圆的直径AB，再根据勾股定
理得出CE，即可求出答案．
解答：（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵ = ，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴ = ，
∴BC= ，
由勾股定理得AB= ，
∴OC= ，
∵OC∥AD，
∴ = ，
∴ = ，
解得AE= ，∴cos∠DAB= = = ．
点评：本题考查了切线的判定以及角平分线的定义、勾股定理和解直角三角形，是中学阶段的重点内
容．
23．（10分）（2014•鄂州）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本
为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：
x（天） 1 2 3 … 50
p（件） 118 116 114 … 20
销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+ ．
（1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系．
（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式．
（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？
考点：二次函数的应用．
分析：（1）由表格可以看出销售量p件与销售的天数x成一次函数，设出函数解析式，进一步代入求
得答案即可；
（2）利用利润=售价﹣成本，分别求出在1≤x＜25和25≤x≤50时，求得y与x的函数关系式；
（3）利用（2）中的函数解析式分别求得最大值，然后比较两者的大小得出答案即可．
解答：解：（1）设销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=kx+b，
代入（1，118），（2，116）得
解得
因此销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=﹣2x+120；
（2）当1≤x＜25时，
y=（60+x﹣40）（﹣2x+120）
=﹣2x2+80x+2400，
当25≤x≤50时，
y=（40+ ﹣40）（﹣2x+120）= ﹣2250；
（3）当1≤x＜25时，
y=﹣2x2+80x+2400，
=﹣2（x﹣20）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴当x=20时，y有最大值y ，且y =3200；
1 1
当25≤x≤50时，
y= ﹣2250；
∵135000＞0，
∴ 随x的增大而减小，
当x=25时， 最大，
于是，x=25时，y= ﹣2250有最大值y ，且y =5400﹣2250=3150．
2 2
∵y ＞y
1 2
∴这50天中第20天时该超市获得利润最大，最大利润为3200元．
点评：本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比
例函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．
24．（12分）（2014•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y= x+m的图象与x轴
交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x=2为对称轴的抛物线C ：y=ax2+bx+c（a≠0）经过
1
A、C两点，并与x轴正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线C ：y=ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式．
1
（2）设点D（0， ），若F是抛物线C ：y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长取得最
1
小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C 于M（x ，y ），M（x ，y ）两点，
1 1 1 1 2 2 2
试探究 + 是否为定值？请说明理由．
（3）将抛物线C 作适当平移，得到抛物线C ：y =﹣ （x﹣h）2，h＞1．若当1＜x≤m时，y ≥﹣x
1 2 2 2
恒成立，求m的最大值．
考点：二次函数综合题．分析：（1）只需将A点坐标代入一次函数关系式即可求出m值，利用待定系数法和二次函数的图象
与性质列出关于a、b、c的方程组求出a、b、c的值就可求出二次函数关系式；
（2）先运用轴对称的性质找到点F的坐标，再运用一元二次方程根与系数的关系及平面直角
坐标系中两点之间的距离公式求出M M 、M F、M F，证出M F•M F=M M ，最后可求 +
1 2 1 2 1 2 1 2
=1；
（3）设y =﹣x2的两根分别为x ，x ，因为抛物线C ：y =﹣ （x﹣h）2可以看成由y=﹣ x2左右
2 0 0 2 2
平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x ，x 的值不断增大，所以当1＜x≤m，y ≥﹣x恒成
0 0 2
立时，m最大值在x 处取得，根据题意列出方程求出x ，即可求解．
0 0
解答：
解：（1）∵一次函数y= x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0）
∴0=﹣ +m
∴m= ．
∴一次函数的解析式为y= x+ ．
∴点C的坐标为（0， ）．
∵y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点且对称轴是x=2，
∴ ，解得
∴y=﹣ x2+x+ ．
∴m的值为 ，抛物线C 的函数表达式为y=﹣ x2+x+ ．
1
（2）要使△ADF的周长取得最小，只需AF+DF最小
连接BD交x=2于点F，因为点B与点A关于x=2对称，
根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF最小．
令y=﹣ x2+x+ 中的y=0，则x=﹣1或5
∴B（5，0）
∵D（0， ）
∴直线BD解析式为y=﹣ x+ ，
∴F（2， ）．
令过F（2， ）的直线M M 解析式为y=kx+b
1 2
则 =2k+b，∴b= ﹣2k
则直线M M 的解析式为y=kx+ ﹣2k．
1 2
解法一：由
得x2﹣（4﹣4k）x﹣8k=0
∴x +x =4﹣4k，x x =﹣8k
1 2 1 2
∵y =kx + ﹣2k，y =kx + ﹣2k
1 1 2 2
∴y ﹣y =k（x ﹣x ）
1 2 1 2
∴M M =
1 2
=
=
=
=
=4（1+k2）
M F=
1
=
=
同理M F=
2
∴M F•M F=（1+k2）
1 2
=（1+k2）
=（1+k2）
=4（1+k2）=M M
1 2
∴ + =
= =1；
解法二：
∵y=﹣ x2+x+ =﹣ （x﹣2）2+ ，
∴（x﹣2）2=9﹣4y
设M （x ，y ），则有（x ﹣2）2=9﹣4y ．
1 1 1 1 1
∴M F= = = ﹣y ；
1 1
设M （x ，y ），同理可求得：M F= ﹣y ．
2 2 2 2 2
∴ + = = =
①．直线M M 的解析式为y=kx+ ﹣2k，即：y﹣ =k（x﹣2）．
1 2
联立y﹣ =k（x﹣2）与抛物线（x﹣2）2=9﹣4y，得：
y2+（4k2﹣ ）y+ ﹣9k2=0，
∴y +y = ﹣4k2，y y = ﹣9k2，代入①式，得：
1 2 1 2
+ = =1．
（3）设y =﹣x2的两根分别为x ，x ，
2 0 0
∵抛物线C ：y =﹣ （x﹣h）2可以看成由y=﹣ x2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向
2 2
右移，x ，x 的值不断增大
0 0
∴当1＜x≤m，y ≥﹣x恒成立时，m最大值在x 处取得
2 0
∴当x =1时，对应的x 即为m的最大值
0 0
将x =1代入y =﹣ （x﹣h）2﹣x得
0 2
（1﹣h）2=4
∴h=3或﹣1（舍）
将h=3代入y =﹣ （x﹣h）2=﹣x有
2
﹣ （x﹣3）2=﹣x
∴x =1，x =9．
0 0
∴m的最大值为9．
点评：本题主要考查运用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标
系中两点距离公式的综合运用，对计算要求较高．
