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2015 年湖北省恩施州中考数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分，中每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将正确选则项请的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．﹣5的绝对值是（ ）
A．﹣5 B． C． D．5
﹣
2．恩施气候独特，土壤天然含硒，盛产茶叶，恩施富硒茶叶2013年总产量达64000吨，将
64000用科学记数法表示为（ ）
[来源:Z.xx.k.Com]
A．64×103 B．6.4×105 C．6.4×104 D．0.64×105
3．（3分）（2015•恩施州）如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（
）
A．20° B．30° C．40° D．70°
4．（3分）（2015•恩施州）函数y= +x﹣2的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≤2
5．（3分）（2015•恩施州）下列计算正确的是（ ）
A．4x3•2x2=8x6 B．a4+a3=a7 C．（﹣x2）5=﹣x10 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
6．（3分）（2015•恩施州）某中学开展“眼光体育一小时”活动，根据学校实际情况，如图决
定开设“A：踢毽子，B：篮球，C：跳绳，D：乒乓球”四项运动项目（每位同学必须选择一项）
为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，丙将调查结果绘制成
如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为（ ）A．240 B．120 C．80 D．40
7．（3分）（2015•恩施州）如图是一个正方体纸盒的展开图，其中的六个正方形内分别标有数
字“0”、“1”、“2”、“5”和汉字、“数”、“学”，将其围成一个正方体后，则与“5”相对的
是（ ）
A．0 B．2 C．数 D．学
[来
8．（3分）（2015•恩施州）关于x的不等式组 的解集为x＜3，那么m的
取值范围为（ ）
A．m=3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3
9．（3分）（2015•恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：
EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）
A．4 B．7 C．3 D．12
10．（3分）（2015•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，
∠CDB=30°，CD=4 ，则阴影部分的面积为（ ）
A．π B．4π C． D．
π π
11．（3分）（2015•恩施州）随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价
降价a元后，再次降价20%，现售价为b元，则原售价为（ ）
A． B． C． D．
（a+ b）元 （a+ b）元 （b+ a）元 （b+ a）元12．（3分）（2015•恩施州）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），
对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣ ，y
1
）、C（﹣ ，y
2
）为函数图象上的两点，
则y ＜y ，
1 2
其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．①③ D．②③
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分，不要求写出解答过程，请把答案直接填写在
答题卷相应位置上）
13．（3分）（2015•恩施州）4的平方根是 ．
14．（3分）（2015•恩施州）因式分解：9bx2y﹣by3= ．
15．（3分）（2015•恩施州）如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，
然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径
的长度等于 5 π ．
16．（3分）（2015•恩施州）观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中
每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，请在大题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（2015•恩施州）先化简，再求值： • ﹣ ，其中x=2 ﹣1．18．（8分）（2015•恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．
（1）求证：AG=CE；
（2）求证：AG⊥CE．
19．（8分）（2015•恩施州）质地均匀的小正方体，六个面分别有数字
“ 1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6” ，同时投掷两枚，观察朝上一面的数字．
（1）求数字“1”出现的概率；
（2）求两个数字之和为偶数的概率．
20．（8分）（2015•恩施州）如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处
观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°
方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精
确到1海里，参考数据： ≈1.732）21．（8分）（2015•恩施州）如图，已知点A、P在反比例函数y= （k＜0）的图象上，点B、Q在
直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，AB⊥x轴，且S
△OAB
=4，若P、Q两点关于y轴对
称，设点P的坐标为（m，n）．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求 的值．
22．（10分）（2015•恩施州）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种
原料全部生产A、B两种产品共50件，生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示：
原料 甲种原料（千克） 乙种原料（千克）
型号
A产品（每件） 9 3
B产品（每件） 4 10
（1）该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案？
（2）若生成一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，怎样安排生产可获得最
大利润？
23．（10分）（2015•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，
点C是弧AH上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的
直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED．（1）求证：GC是⊙O的切线；
（2）求DE的长；
（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED=30°，求CF的长．
24．（12分）（2015•恩施州）矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到如图所示
的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4．
（1）求AD的长；
（2）求阴影部分的面积和直线AM的解析式；
（3）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
[来源:Z&xx&k.Com]
（4）在抛物线上是否存在点P，使S = ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
△PAM2015 年湖北省恩施州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分，中每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将正确选则项请的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．﹣5的绝对值是（ ）
A．﹣5 B． C． D．5
﹣
考点：绝对值．
.
分析：利用绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0
的绝对值是0．
解答：解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣5|=5，
故选D．
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
点评：此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一
个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．恩施气候独特，土壤天然含硒，盛产茶叶，恩施富硒茶叶2013年总产量达64000吨，将
64000用科学记数法表示为（ ）
[来源:Z.xx.k.Com]
A．64×103 B．6.4×105 C．6.4×104 D．0.64×105
考点：科学记数法—表示较大的数．
.
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：64000=6.4×104，
故选C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2015•恩施州）如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（
）
A．20° B．30° C．40° D．70°
考点：平行线的性质．
.
分析：延长ED交BC于F，根据平行线的性质求出∠MFC=∠B=70°，求出∠FDC=40°，根据
三角形外角性质得出∠C=∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可．
解答：
解：延长ED交BC于F，
∵AB∥DE，∠ABC=70°，
∴∠MFC=∠B=70°，
∵∠CDE=140°，
∴∠FDC=180°﹣140°=40°，
∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=70°﹣40°=30°，
故选B．
点评：本题考查了三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠MFC的度
数，注意：两直线平行，同位角相等．
4．（3分）（2015•恩施州）函数y= +x﹣2的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≤2
考点：函数自变量的取值范围．
.
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出
x的范围．
解答：解：根据题意得：x﹣2≥0且x﹣2≠0，
解得：x＞2．
故选：B．
点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全
体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二
次根式时，被开方数非负．
5．（3分）（2015•恩施州）下列计算正确的是（ ）
A．4x3•2x2=8x6 B．a4+a3=a7 C．（﹣x2）5=﹣x10 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
考点：单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
.
专题：计算题．
分析：A、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
解答：解：A、原式=8x5，错误；
B、原式不能合并，错误；
C、原式=﹣x10，正确；
D、原式=a2﹣2ab+b2，错误，
故选C
点评：此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，
熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
6．（3分）（2015•恩施州）某中学开展“眼光体育一小时”活动，根据学校实际情况，如图决
定开设“A：踢毽子，B：篮球，C：跳绳，D：乒乓球”四项运动项目（每位同学必须选择一项）
为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，丙将调查结果绘制成
如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为（ ）A．240 B．120 C．80 D．40
考点：条形统计图；扇形统计图．
.
分析：根据A项的人数是80，所占的百分比是40%即可求得调查的总人数，然后李用总人数
减去其它组的人数即可求解．
解答：解：调查的总人数是：80÷40%=200（人），
则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数是：200﹣80﹣30﹣50=40（人）．
故选D．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
7．（3分）（2015•恩施州）如图是一个正方体纸盒的展开图，其中的六个正方形内分别标有数
字“0”、“1”、“2”、“5”和汉字、“数”、“学”，将其围成一个正方体后，则与“5”相对的
是（ ）
A．0 B．2 C．数 D．学
[来
源:学_科_网]
考点：专题：正方体相对两个面上的文字．
.
分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解答：解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“数”相对的字是“1”；
“学”相对的字是“2”；
“5”相对的字是“0”．
故选：A．
点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，
分析及解答问题．
8．（3分）（2015•恩施州）关于x的不等式组 的解集为x＜3，那么m的
取值范围为（ ）
A．m=3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3
考点：解一元一次不等式组．
.
专题：计算题．分析：不等式组中第一个不等式求出解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．
解答：
解：不等式组变形得： ，
由不等式组的解集为x＜3，
得到m的范围为m≥3，
故选D
点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）（2015•恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：
EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）
A．4 B．7 C．3 D．12
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
.
分析：
由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得 ，则可求得AB的长，又由
四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得CD的长．
解答：解：∵DE：EA=3：4，
∴DE：DA=3：7
∵EF∥AB，
∴ ，
∵EF=3，
∴ ，
解得：AB=7，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=7．
故选B．
点评：此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关
键是注意数形结合思想的应用．
10．（3分）（2015•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，
∠CDB=30°，CD=4 ，则阴影部分的面积为（ ）
A．π B．4π C． D．
π π
考点：扇形面积的计算．
.
分析：
首先证明OE= OC= OB，则可以证得△OEC≌△BED，则S阴影=半圆﹣S扇形OCB ，利用扇形的面积公式即可求解．
解答：解：∵∠COB=2∠CDB=60°，
又∵CD⊥AB，
∴∠OCB=30°，CE=DE，
∴OE= OC= OB=2 ，OC=4．
∴OE=BE，
则在△OEC和△BED中，
，
∴△OEC≌△BED，
∴S阴影=半圆﹣S扇形OCB = ．
故选D．
点评：本题考查了扇形的面积公式，证明△OEC≌△BED，得到S阴影=半圆﹣S扇形OCB 是本题
的关键．
11．（3分）（2015•恩施州）随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价
降价a元后，再次降价20%，现售价为b元，则原售价为（ ）
A． B． C． D．
（a+ b）元 （a+ b）元 （b+ a）元 （b+ a）元
考点：列代数式．
.
分析：可设原售价是x元，根据降价a元后，再次下调了20%后是b元为相等关系列出方程，
用含a，b的代数式表示x即可求解．
解答：解：设原售价是x元，则
（x﹣a）（1﹣20%）=b，
解得x=a+ b，
故选A．
点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方
程，再求解
12．（3分）（2015•恩施州）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），
对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣ ，y
1
）、C（﹣ ，y
2
）为函数图象上的两点，
则y ＜y ，
1 2
其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．①③ D．②③考点：二次函数图象与系数的关系．
.
分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然
后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，
故①正确
由图象可知：对称轴x=﹣ =﹣1，
∴2a﹣b=0，
故②错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0
由图象可知：当x=1时y=0，
∴a+b+c=0；
故③错误；
由图象可知：当x=﹣1时y＞0，
∴点B（﹣ ，y ）、C（﹣ ，y ）为函数图象上的两点，则y ＜y ，
1 2 1 2
故④正确．
故选B
点评：此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛
物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分，不要求写出解答过程，请把答案直接填写在
答题卷相应位置上）
13．（3分）（2015•恩施州）4的平方根是 ± 2 ．
考点：平方根．
.
专题：计算题．
分析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方
根，由此即可解决问题．
解答：解：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根
是0；负数没有平方根．
14．（3分）（2015•恩施州）因式分解：9bx2y﹣by3= b y （ 3x+ y ）（ 3x﹣y ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
.
专题：计算题．
分析：原式提取by，再利用平方差公式分解即可．
解答：解：原式=by（9x2﹣y2）=by（3x+y）（3x﹣y），
故答案为：by（3x+y）（3x﹣y）
点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关
键．15．（3分）（2015•恩施州）如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，
然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径
的长度等于 5 π ．
考点：弧长的计算；旋转的性质．
.
分析：
根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为 圆弧，根据弧长公式求出弧长即可．
解答：
解：由图形可知，圆心先向前走OO 的长度即 圆的周长，
1
然后沿着弧O O 旋转 圆的周长，
1 2
则圆心O运动路径的长度为： ×2π×5+ ×2π×5=5π，
故答案为：5π．
点评：本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的
路线并求出长度．
16．（3分）（2015•恩施州）观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中
每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是 1 5 ．
考点：规律型：数字的变化类．
.
分析：根据每个数n都连续出现n次，可列出1+2+3+4+…+x=119+1，解方程即可得出答案．
解答：解：因为每个数n都连续出现n次，可得：
1+2+3+4+…+x=119+1，
解得：x=15，
所以第119个数是15．
故答案为：15．
点评：此题考查数字的规律，关键是根据题目首先应找出哪哪些部分发生了变化，是按照什
么规律变化的．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，请在大题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（2015•恩施州）先化简，再求值： • ﹣ ，其中x=2 ﹣1．
考点：分式的化简求值．
.
专题：计算题．
分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x
的值代入计算即可求出值．解答：
解：原式= • ﹣ = ﹣ =﹣ ，
当x=2 ﹣1时，原式=﹣ =﹣ ．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）（2015•恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．
（1）求证：AG=CE；
（2）求证：AG⊥CE．
考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
.
专题：证明题．
分析：（1）由正方形的性质得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，
由SAS证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等即可；
（2）由△ABG≌△CBE，得出对应角相等∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角
∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，
∴∠ABG=∠CBE，
在△ABG和△CBE中， ，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
[来源:学科网ZXXK]
∴AG=CE；
（2）证明：如图所示：∵△ABG≌△CBE，
∴∠BAG=∠BCE，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAG+∠AMB=90°，
∵∠AMB=∠CMN，
∴∠BCE+∠CMN=90°，
∴∠CNM=90°，
∴AG⊥CE．
点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的证法；熟练掌握正方形的
性质，证明三角形全等是解决问题的关键．19．（8分）（2015•恩施州）质地均匀的小正方体，六个面分别有数字
“1”、“2”、“3”、“4”、“5” 、“6”，同时投掷两枚，观察朝上一面的数字．
（1）求数字“1”出现的概率；
（2）求两个数字之和为偶数的概率．
考点：列表法与树状图法．
.
专题：计算题．
分析：（1）列表得出所有等可能的情况数，找出数字“1”出现的情况数，即可求出所求的概
率；
（2）找出数字之和为偶数的情况数，即可求出所求的概率．
解答：解：（1）列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
所有等可能的情况有36种，其中数字“1”出现的情况有11种，
则P（数字“1”出现）= ；
（2）数字之和为偶数的情况有18种，
则P（数字之和为偶数）= = ．
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）（2015•恩施州）如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处
观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°
方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精
确到1海里，参考数据： ≈1.732）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
.
分析：过点C作CD⊥AB于点D，则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为CD的
长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可．
解答：解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，AB=20×1=20（海里），
∵∠CAF=60°，∠CBE=30°，
∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°﹣∠CAF=30°，
∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°，
∴∠C=∠CAB，
∴BC=BA=20（海里），
∠CBD=90°﹣∠CBE=60°，
∴CD=BC•sin∠CBD= ≈17（海里）．
点评：此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
21．（8分）（2015•恩施州）如图，已知点A、P在反比例函数y= （k＜0）的图象上，点B、Q在
直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，AB⊥x轴，且S
△OAB
=4，若P、Q两点关于y轴对
称，设点P的坐标为（m，n）．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求 的值．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
.
分析：（1）先由点B在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，将y=﹣1代入y=x﹣3，求
出x=2，即B（2，﹣1）．由AB⊥x轴可设点A的坐标为（2，t），利用S
△OAB
=4列出方程
（﹣1﹣t）×2=4，求出t=﹣5，得到点A的坐标为（2，﹣5）；将点A的坐标代入y= ，即
可求出k的值；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到Q（﹣m，n），由点P（m，n）在反比例函数
y=﹣ 的图象上，点Q在直线y=x﹣3的图象上，得出mn=﹣10，m+n=﹣3，再将
变形为 ，代入数据计算即可．
解答：解：（1）∵点B在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，
∴当y=﹣1时，x﹣3=﹣1，解得x=2，
∴B（2，﹣1）．
设点A的坐标为（2，t），则t＜﹣1，AB=﹣1﹣t．
∵S =4，
△OAB
∴ （﹣1﹣t）×2=4，
解得t=﹣5，
∴点A的坐标为（2，﹣5）．∵点A在反比例函数y= （k＜0）的图象上，
∴﹣5= ，解得k=﹣10；
（2）∵P、Q两点关于y轴对称，点P的坐标为（m，n），
∴Q（﹣m，n），
∵点P在反比例函数y=﹣ 的图象上，点Q在直线y=x﹣3的图象上，
∴n=﹣ ，n=﹣m﹣3，
∴mn=﹣10，m+n=﹣3，
∴ = = = =﹣ ．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐
标特征，三角形的面积，关于y轴对称的点的坐标特征，代数式求值，求出点A的坐标
是解决第（1）小题的关键，根据条件得到mn=﹣10，m+n=﹣3是解决第（2）小题的关
键．
22．（10分）（2015•恩施州）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种
原料全部生产A、B两种产品共50件，生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示：
原料 甲种原料（千克） 乙种原料（千克）
型号
A产品（每件） 9 3
B产品（每件） 4 10
（1）该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案？
（2）若生成一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，怎样安排生产可获得最
大利润？
考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
.
分析：（1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品，根据不能多于原料的做
为不等量关系可列不等式组求解；
（2）可以分别求出三种方案比较即可．
解答：解：（1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品
由题意得：
，
解得：30≤x≤32的整数．
∴有三种生产方案：①A30件，B20件；②A31件，B19件；③A32件，B18件；
（2）方法一：方案（一）A，30件，B，20件时，
20×120+30×80=4800（元）．
方案（二）A，31件，B，19件时，
19×120+31×80=4760（元）．
方案（三）A，32件，B，18件时，
18×120+32×80=4720（元）．
故方案（一）A，30件，B，20件利润最大．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是根据有甲种原料360千克，乙种原料290千克，做为
限制列出不等式组求解，然后判断B生产的越多，A少的时候获得利润最大，从而求得
解．23．（10分）（2015•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，
点C是弧AH上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的
直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED．
（1）求证：GC是⊙O的切线；
（2）求DE的长；
（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED=30°，求CF的长．
考点：圆的综合题．
.
分析：（1）先证明四边形ODCE是矩形，得出∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，得出
∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，证出∠GCD+∠MCD=90°，即可得出结论；
（2）由（1）得：DE=OC= AB，即可得出结果；
（3）运用三角函数求出CE，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果．
解答：（1）证明：连接OC，交DE于M，如图所示：
∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH，
∴∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，
∴∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，
∵∠GCD=∠CED，
∴∠GCD+∠MCD=90°，
即GC⊥OC，
∴GC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得：DE=OC= AB=3；
（3）解：∵∠DCE=90°，∠CED=30°，
∴CE=DE•cos∠CED=3× = ，
∴CF= CE= ．
点评：本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性
质、三角函数、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题有一定难度，综合性强，特别
是（1）中，需要证明四边形是矩形，运用角的关系才能得出结论．
24．（12分）（2015•恩施州）矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到如图所示
的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4．
（1）求AD的长；（2）求阴影部分的面积和直线AM的解析式；
（3）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
[来源:Z&xx&k.Com]
（4）在抛物线上是否存在点P，使S = ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
△PAM
考点：几何变换综合题．
.
专题：综合题．
分析：（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，根据旋转的性质得AB=AO=5，
BE=OC=AD，∠ABE=90°，利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ，可证明
Rt△ABP∽Rt△MBQ得到 = = ，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，所以BM=x+y
﹣2，利用比例性质得到PB•MQ=xy，而PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，利用完全平方公
式和勾股定理得到52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得x+y=7，则BM=5，
BE=BM+ME=7，所以AD=7；
（2）由AB=BM可判断Rt△ABP≌Rt△MBQ，则BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，利用勾股定
理得到（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，则BQ=4，根据三角形面积
公式和梯形面积公式，利用S阴影部分=S梯形ABQD ﹣S
△BQM
进行计算即可；然后利用待定
系数法求直线AM的解析式；
（3）先确定B（3，1），然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（4）当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2设P（x，
x2﹣ x+5），则K（x，﹣ x+5），则KP=﹣ x2+ x，根据三角形面积公式得到 •（﹣
x2+ x）•7= ，解得x =3，x = ，于是得到此时P点坐标为（3，1）、（ ， ）；再求
1 2
出过点（3，1）与（ ， ）的直线l的解析式为y=﹣ x+ ，则可得到直线l与y轴的
交点A′的坐标为（0， ），所以AA′= ，然后把直线AM向上平移 个单位得到l′，
直线l′与抛物线的交点即为P点，由于A″（0， ），则直线l′的解析式为y=﹣ x+ ，
再通过解方程组 得P点坐标．
解答：解：（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，
∵矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转得到矩形ABEF，
∴AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，
∵∠PBQ=90°，
∴∠ABP=∠MBQ，
∴Rt△ABP∽Rt△MBQ，∴ = = ，
设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，BM=x+y﹣2，
∴ = = ，
∴PB•MQ=xy，
∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，
∴（PB﹣MQ）2=1，即PB2﹣2PB•MQ+MQ2=1，
∴52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得x+y=7，
∴BM=5，
∴BE=BM+ME=5+2=7，
∴AD=7；
（2）∵AB=BM，
∴Rt△ABP≌Rt△MBQ，
∴BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，
∵BQ2+MQ2=BM2，
∴（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，
∴BQ=7﹣3=4，
∴S阴影部分=S梯形ABQD ﹣S
△BQM
= ×（4+7）×4﹣ ×4×3
=16；
设直线AM的解析式为y=kx+b，
把A（0，5），M（7，4）代入得 ，解得 ，
∴直线AM的解析式为y=﹣ x+5；
（3）设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵AP=MQ=3，BP=DQ=4，
∴B（3，1），
而A（0，5），D（7，5），
∴ ，解得 ，
∴经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y= x2﹣ x+5；
（4）存在．
当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2，
设P（x， x2﹣ x+5），则K（x，﹣ x+5），
∴KP=﹣ x+5﹣（ x2﹣ x+5）=﹣ x2+ x，
∵S = ，
△PAM
∴ •（﹣ x2+ x）•7= ，
整理得7x2﹣46x+75，解得x =3，x = ，此时P点坐标为（3，1）、（ ， ），
1 2求出过点（3，1）与（ ， ）的直线l的解析式为y=﹣ x+ ，则直线l与y轴的交点
A′的坐标为（0， ），
∴AA′=5﹣ = ，
把直线AM向上平移 个单位得到l′，则A″（0， ），则直线l′的解析式为y=﹣ x+
，
解方程组 得 或 ，此时P点坐标
为（ ， ）或（ ， ），
综上所述，点P的坐标为（3，1）、（ ， ）、（ ， ）、（
， ）．
点评：本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、矩形的性质和三角形全等于相似
的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会进行代数式
的变形．
