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2014 年湖北省恩施州中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确的选项前的字母代号填在答卷相应位置
上）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3 B． C．﹣ D．﹣3
2．（3分）目前全球海洋面积约为36100万平方公里，用科学记数法将数36100万
表示为（ ）
A．3.61×108 B．361×106 C．3.61×104 D．361×102
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a（a+1）=a2+1 B．（a2）3=a6
C．a3+4a3=5a6 D．a6÷a2=a3
4．（3分）如图，AB∥CD，EF交AB、CD于点E、F、EG平分∠BEF，交CD于点G．若
∠1=40°，则∠EGF=（ ）
A．20° B．40° C．70° D．110°
5．（3分）把ax2﹣4axy+4ay2分解因式正确的是（ ）
A．a（x2﹣4xy+4y2） B．a（x﹣4y）2
C．a（2x﹣y）2 D．a（x﹣2y）2
6．（3分）函数y= + 的自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣4≤x＜2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≥﹣4且x≠2
7．（3分）正方体的六个面分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图是其三种不同
的放置方式，与数字“6”相对的面上的数字是（ ）
第1页（共31页）A．1 B．5 C．4 D．3
8．（3分）关于x的不等式﹣x+a≥1的解集如图所示，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于
点E．若BC=2，AC=4，则BD=（ ）
A． B．2 C． D．3
10．（3分）“六一”期间，某商店将单价标为130元的书包按8折出售可获利
30%，该书包每个的进价是（ ）
A．65元 B．80元 C．100元 D．104元
11．（3分）如图，线段AB放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在
格点上，先将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A B ，再将线段AB向下
1 1
平移3个单位得到线段A B ，线段AB，A B ，A B 的中点构成三角形面积为（
2 2 1 1 2 2
）
第2页（共31页）A． B．15 C．3 D．
12．（3分）如图，已知抛物线y =﹣x2+1，直线y =﹣x+1，当x任取一值时，x对应的
1 2
函数值分别为 y ，y ．若y ≠y ，取y ，y 中的较小值记为 M；若y =y ，记
1 2 1 2 1 2 1 2
M=y =y ．例如：当x=2时，y =﹣3，y =﹣1，y ＜y ，此时M=﹣3．下列判断中：
1 2 1 2 1 2
①当x＜0时，M=y ；
1
②当x＞0时，M随x的增大而增大；
③使得M大于1的x值不存在；
④使得M= 的值是﹣ 或 ，
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分，不要求写出解答过程，请把答案
直接填写在相应位置上）
13．（3分）16的算术平方根是 ．
14．（3分）如图，反比例函数y= （k＜0）的图象与⊙O相交，某同学在⊙O内做随
机扎针实验，针头落在阴影区域内的概率为 ．
第3页（共31页）15．（3分）一个圆锥形漏斗，某同学用三角波测得其高度的尺寸如图所示，则该
圆锥形漏斗的侧面积为 ．
16．（3分）观察下列一组数： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
…它们是按分子，分母和的递增顺序排列的（和相等的分数，分子小的排在前
面），那么这一组数的第108个数是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，请72分，请在答案指定区域内做答，解答时应写
出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中x=2 +1．
18．（8分）如图，在 ▱ABCD中，点M，N分别在AB、AD上，且BM=DN．过点M作
ME∥AD交CD于点E，过点N作NF∥AB交BC于点F，ME与NF相交于点G．
求证：四边形CEGF是菱形．
第4页（共31页）19．（8分）在结束了380课时初中阶段数学内容的学习后，陈老师安排数学兴趣
小组自制一份满分120分的检测试卷，要求“数与代数”、“图形与几何”、
“统计和概率”、“综合与实践”各部分内容所占的分值与其所用的课时比
保持一致，陈老师根据数学内容所用课时比例绘制了如图的统计表，请根据图
标提供的信息，解答下列问题：
（1）条形统计图中，a= ；
（2）扇形统计图中，“统计和概率”所在扇形的圆心角的度数为 ；
（3）在数学兴趣小组自制的检测试卷中，“图形与几何”应设计多少分？
第5页（共31页）20．（8分）热气球探测器显示，热气球在点A处看到某小山底部点C的俯角为
30°，后垂直上升一定高度至点B，看到点C的俯角为60°，热气球与小山的水平
距离为1800米，如图，求热气球垂直上升的高度AB（结果精确到1米，参考数
据 ≈1.732）．
21．（8分）反比例函数y= 和y= （k≠0）在第一象限内的图象如图所示，点P在
y= 的图象上，PC⊥x轴，垂足为C，交y= 的图象于点A，PD⊥y轴，垂足为D，
交y= 的图象于点B．已知点A（m，1）为线段PC的中点．
（1）求m和k的值；
（2）求四边形OAPB的面积．
第6页（共31页）22．（10分）某超市经销一种绿茶，每千克成本为60元，经过市场调查发现，在一
段时间内，该种绿茶的销售量y（千克）与销售价x（元）满足一次函数关系，其
变化与下表所示．
销售单价x（元） 65 70 75 80
销售量y（千克） 110 100 90 80
（1）求y与x的函数解析式；
（2）当销售单价为多少元时，该绿茶的销售利润最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶每千克销售单价不高于95元，若超市计划在这
段时间内获得高种绿茶的销售利润为1600元，其销售单价应定为多少？
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接AC、AD，延
长AB交过点C的直线于点P，且∠DCP=∠DAC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AC=5，CD=6，求PC的长．
第7页（共31页）24．（12分）已知一个矩形纸片OABC，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图，
点A（5，0），C（0， ），把矩形纸片沿对角线AC折叠，使点O落在点D，AD、BC
相交于点E．
（1）求CE的长；
（2）求直线AC的函数解析式及点D的坐标；
（3）求经过点C、D、B抛物线的解析式；
（4）过点D作x轴的垂线，交直线AC于点F，点P是抛物线上的任意一点，过点P
作x轴的垂线，交直线AC于点Q在抛物线上是否存在点P，使以点P、D、F、Q
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明
理由．
第8页（共31页）2014 年湖北省恩施州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确的选项前的字母代号填在答卷相应位置
上）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3 B． C．﹣ D．﹣3
【考点】17：倒数．
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【专题】1：常规题型．
【分析】利用倒数的定义，直接得出结果．
【解答】解：∵﹣3×（﹣ ）=1，
∴﹣3的倒数是﹣ ．
故选：C．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是负数的倒数还是负数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）目前全球海洋面积约为36100万平方公里，用科学记数法将数36100万
表示为（ ）
A．3.61×108 B．361×106 C．3.61×104 D．361×102
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
【解答】解：将36100万用科学记数法表示为：3.61×108．
故选：A．
第9页（共31页）【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a（a+1）=a2+1 B．（a2）3=a6
C．a3+4a3=5a6 D．a6÷a2=a3
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4A：单项
式乘多项式．
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【分析】根据单项式成多项式，可判断A，根据幂的乘方，可判断B，根据合并同类
项，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．
【解答】解：A、用单项式乘多项式的每一项，并把所得的积相加，故A错误；
B、底数不变指数相乘，故B正确；
C、系数相加字母部分不变，故C错误；
D、底数不变指数相减，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，根据法则计算是解题关键．
4．（3分）如图，AB∥CD，EF交AB、CD于点E、F、EG平分∠BEF，交CD于点G．若
∠1=40°，则∠EGF=（ ）
A．20° B．40° C．70° D．110°
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】首先根据邻补角的性质可得∠BEF=140°，再根据角平分线的性质可得
∠BEG= BEF=70°，然后利用平行线的性质可得∠EGF=∠BEG=70°．
【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠BEF=140°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG= BEF=70°，
第10页（共31页）∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠BEG=70°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
5．（3分）把ax2﹣4axy+4ay2分解因式正确的是（ ）
A．a（x2﹣4xy+4y2） B．a（x﹣4y）2
C．a（2x﹣y）2 D．a（x﹣2y）2
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式提取a后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=a（x﹣2y）2．
故选：D．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
是解本题的关键．
6．（3分）函数y= + 的自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣4≤x＜2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≥﹣4且x≠2
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+4≥0且x﹣2≠0，
解得x≥﹣4且x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7．（3分）正方体的六个面分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图是其三种不同
的放置方式，与数字“6”相对的面上的数字是（ ）
第11页（共31页）A．1 B．5 C．4 D．3
【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．
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【分析】正方体的六个面分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，这六个数字一一对应，
通过三个图形可看出与3相邻的数字有2，4，5，6，所以与3相对的数是1，然
后由第二个图和第三个图可看出与6相邻的数有1，2，3，4，所以与6相对的数
是5．
【解答】解：由三个图形可看出与3相邻的数字有2，4，5，6，
所以与3相对的数是1，
由第二个图和第三个图可看出与6相邻的数有1，2，3，4，
所以与6相对的数是5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，利用三个数相邻的两个图
形进行判断即可．
8．（3分）关于x的不等式﹣x+a≥1的解集如图所示，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．
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【分析】先用a表示出不等式的解集，再根据数轴上x的取值范围即可得出结论．
【解答】解：解关于x的不等式﹣x+a≥1得，x≤a﹣1，
∵数轴上1处是实心原点，且折线向左，
∵x≤1，
∴a﹣1=1，
解得a=2．
故选：D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”
是解答此题的关键．
第12页（共31页）9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于
点E．若BC=2，AC=4，则BD=（ ）
A． B．2 C． D．3
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KQ：勾股定理．
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【分析】设BD=x，先根据线段垂直平分线的性质可得BD=AD=x，则CD=4﹣x，然后
在△BCD中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求得BD的长．
【解答】解：设BD=x，
∵AB垂直平分线交AC于D，
∴BD=AD=x，
∵AC=4，
∴CD=AC﹣AD=4﹣x，
在△BCD中，根据勾股定理得x2=22+（4﹣x）2，
解得x= ．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段
两端点的距离相等，同时考查了勾股定理．
10．（3分）“六一”期间，某商店将单价标为130元的书包按8折出售可获利
30%，该书包每个的进价是（ ）
A．65元 B．80元 C．100元 D．104元
【考点】8A：一元一次方程的应用．
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【分析】设书包每个的进价是x元，等量关系是：售价﹣进价=利润，依此列出方程，
解方程即可．
【解答】解：设书包每个的进价是x元，根据题意得
130×0.8﹣x=30%x，
解得x=80．
答：书包每个的进价是80元．
第13页（共31页）故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题
目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
11．（3分）如图，线段AB放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在
格点上，先将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A B ，再将线段AB向下
1 1
平移3个单位得到线段A B ，线段AB，A B ，A B 的中点构成三角形面积为（
2 2 1 1 2 2
）
A． B．15 C．3 D．
【考点】Q2：平移的性质；R2：旋转的性质．
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【专题】24：网格型．
【分析】首先作出线段A B 和A B ，确定线段AB，A B ，A B 的中点，作出三角形，
1 1 2 2 1 1 2 2
利用三角形的面积公式求解．
【解答】解：三角形的面积是： ×3×5= ．
故选：A．
第14页（共31页）【点评】本题考查了图形的旋转以及平移作图，以及三角形的面积公式，正确作出
线段AB，A B ，A B 的中点构成三角形是关键．
1 1 2 2
12．（3分）如图，已知抛物线y =﹣x2+1，直线y =﹣x+1，当x任取一值时，x对应的
1 2
函数值分别为 y ，y ．若y ≠y ，取y ，y 中的较小值记为 M；若y =y ，记
1 2 1 2 1 2 1 2
M=y =y ．例如：当x=2时，y =﹣3，y =﹣1，y ＜y ，此时M=﹣3．下列判断中：
1 2 1 2 1 2
①当x＜0时，M=y ；
1
②当x＞0时，M随x的增大而增大；
③使得M大于1的x值不存在；
④使得M= 的值是﹣ 或 ，
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】利用函数图象，进而结合一次函数与二次函数增减性以及函数值的意义
分别分析得出即可．
【解答】解：∵当x任取一值时，x对应的函数值分别为y ，y ．若y ≠y ，取y ，y 中
1 2 1 2 1 2
的较小值记为M；若y =y ，记M=y =y ．
1 2 1 2
第15页（共31页）∴①当x＜0时，由图象可得y ＜y ，故M=y ；故此选项正确；
1 2 1
②当1＞x＞0时，y ＞y ，M=y ，直线y =﹣x+1中y随x的增大而减小，故M随x的
1 2 2 2
增大而减小，此选项错误；
③由图象可得出：M最大值为1，故使得M大于1的x值不存在，故此选项正确；
④当﹣1＜x＜0，M= 时，即y =﹣x2+1= ，
1
解得：x =﹣ ，x = （不合题意舍去），
1 2
当0＜x＜1，M= 时，即y =﹣x+1= ，
2
解得：x= ，
故使得M= 的值是﹣ 或 ，此选项正确．
故正确的有3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合以及函数增减性等知识，正确
利用数形结合得出是解题关键．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分，不要求写出解答过程，请把答案
直接填写在相应位置上）
13．（3分）16的算术平方根是 4 ．
【考点】22：算术平方根．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵42=16，
∴ =4．
第16页（共31页）故答案为：4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的
平方根．
14．（3分）如图，反比例函数y= （k＜0）的图象与⊙O相交，某同学在⊙O内做随
机扎针实验，针头落在阴影区域内的概率为 ．
【考点】G3：反比例函数图象的对称性；X5：几何概率．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据反比例函数的对称性得到阴影区域内的面积等于圆心角为90度的扇
形面积，然后面积的比求针头落在阴影区域内的概率．
【解答】解：因为阴影区域内的面积等于圆心角为90度的扇形面积，
所以针头落在阴影区域内的概率= ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形
又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=﹣x；②一、三
象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点．也考查了几何概率．
15．（3分）一个圆锥形漏斗，某同学用三角波测得其高度的尺寸如图所示，则该
圆锥形漏斗的侧面积为 15π ．
第17页（共31页）【考点】MP：圆锥的计算．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据图中数据得到圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则根据勾股定理计
算出母线长为5，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：圆锥的母线长= =5，
所以该圆锥形漏斗的侧面积= •2π•3•5=15π．
故答案为15π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等
于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．（3分）观察下列一组数： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
…它们是按分子，分母和的递增顺序排列的（和相等的分数，分子小的排在前
面），那么这一组数的第108个数是 ．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
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【分析】根据观察数列，可发现规律： ，（ ， ），（ ， ， ），（ ， ， ， ），（ ，
， ， ， ）， ，…和相等的数分别是1个，2个、3个4个…，可得答案．
【解答】解：1+2+3+4+…+14= =105，
即第105个数是 ，
第106个数是 ，
第18页（共31页）第107个数是 ，
第108个数是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了数字的变化类，发现规律：和相等的数分别是1个，2个，3个，
4个是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，请72分，请在答案指定区域内做答，解答时应写
出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中x=2 +1．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】先把分子分母因式分解和除法化为乘法，再约分得到原式= ﹣ ，
然后进行同分母的减法运算，再把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式= • ﹣
= ﹣
=
= ，
当x=2 +1时，原式=
= ．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的
值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的
最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
18．（8分）如图，在 ▱ABCD中，点M，N分别在AB、AD上，且BM=DN．过点M作
第19页（共31页）ME∥AD交CD于点E，过点N作NF∥AB交BC于点F，ME与NF相交于点G．
求证：四边形CEGF是菱形．
【考点】L5：平行四边形的性质；L9：菱形的判定．
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【专题】14：证明题．
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ADEM、
ABNF、GECF，求出GE=DN=GF=BM，根据菱形的判定得出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵NF∥AB，ME∥AD，
∴NF∥CD，ME∥BC，
∴四边形DNGE和四边形BMGF是平行四边形，
∴DN=EG，BM=GF，
∵BM=DN，
∴GF=GE，
∵GF∥CD，BC∥ME，
∴四边CEGF是平行四边形，
∴四边形CEGF是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，解题的关键是
能求出平行四边形CEGF和推出GF=GE，注意：有一组邻边相等的平行四边形
是菱形．
19．（8分）在结束了380课时初中阶段数学内容的学习后，陈老师安排数学兴趣
小组自制一份满分120分的检测试卷，要求“数与代数”、“图形与几何”、
“统计和概率”、“综合与实践”各部分内容所占的分值与其所用的课时比
保持一致，陈老师根据数学内容所用课时比例绘制了如图的统计表，请根据图
标提供的信息，解答下列问题：
（1）条形统计图中，a= 4 4 ；
第20页（共31页）（2）扇形统计图中，“统计和概率”所在扇形的圆心角的度数为 36 ° ；
（3）在数学兴趣小组自制的检测试卷中，“图形与几何”应设计多少分？
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【分析】（1）用总课时数乘以数与代数所占的百分比，再减去数与式和方程组与
不等式组的数，即可求出a的值；
（2）用360°乘以统计与概率所占的百分比即可；
（3）用120分乘以图形与几何所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
条形统计图中a=380×45%﹣67﹣60=44；
故答案为：44；
（2）“统计和概率”所在扇形的圆心角的度数为360×（1﹣45%﹣5%﹣40%）
=36°；
故答案为：36°；
（3）根据题意得：
120×40%=48（分），
答：“图形与几何”应设计48分．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出
每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8分）热气球探测器显示，热气球在点A处看到某小山底部点C的俯角为
第21页（共31页）30°，后垂直上升一定高度至点B，看到点C的俯角为60°，热气球与小山的水平
距离为1800米，如图，求热气球垂直上升的高度AB（结果精确到1米，参考数
据 ≈1.732）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】根据锐角三角函数关系分别得出AD，BD的长，进而求出AB的长．
【解答】解：过点C作CD⊥BA延长线于点D，
∵热气球与小山的水平距离为1800米，
∴DC=1800m，
∵热气球在点A处看到某小山底部点C的俯角为30°，从点B，看到点C的俯角为
60°，
∴∠DBC=30°，∠DAC=60°，
∴tan60°= = = ，
∴解得：AD=600 （m），
tan30°= = = ，
解得：BD=1800 （m），
故AB=1800 ﹣600 ≈2078（m），
答：热气球垂直上升的高度AB为2078m．
第22页（共31页）【点评】本题主要考查了仰角与俯角的计算，一般三角形的计算，常用的方法是利
用作高线转化为直角三角形的计算．
21．（8分）反比例函数y= 和y= （k≠0）在第一象限内的图象如图所示，点P在
y= 的图象上，PC⊥x轴，垂足为C，交y= 的图象于点A，PD⊥y轴，垂足为D，
交y= 的图象于点B．已知点A（m，1）为线段PC的中点．
（1）求m和k的值；
（2）求四边形OAPB的面积．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】（1）把A（m，1）代入y= 得到m的值，从而求出A点坐标，再根据点A
（m，1）为线段PC的中点，求出P点坐标，即可求出k值；
（2）易得△ODP的面积为 ，△OAC的面积为 ，用四边形OCPD的面积减去
△ODB的面积和△OAC的面积即可．
第23页（共31页）【解答】解：（1）把A（m，1）代入y= 得，m=1，A点坐标为（1，1）．
∵点A（m，1）为线段PC的中点，
∴点P坐标为（1，2），
把（1，2）代入y= 得k=1×2=2，
（2）∵点P坐标为（1，2），
∴四边形OCPD的面积为1×2=2，
△ODB的面积为 ，△OAC的面积为 ，
∴四边形OAPB的面积为2﹣ ﹣ =1．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两
条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重
要考点，同学们应高度关注．
22．（10分）某超市经销一种绿茶，每千克成本为60元，经过市场调查发现，在一
段时间内，该种绿茶的销售量y（千克）与销售价x（元）满足一次函数关系，其
变化与下表所示．
销售单价x（元） 65 70 75 80
销售量y（千克） 110 100 90 80
（1）求y与x的函数解析式；
（2）当销售单价为多少元时，该绿茶的销售利润最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶每千克销售单价不高于95元，若超市计划在这
段时间内获得高种绿茶的销售利润为1600元，其销售单价应定为多少？
【考点】HE：二次函数的应用．
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【分析】（1）易求得该函数式为一次函数，可得斜率为﹣2，即可求得y与x的函数
解析式；
（2）根据销售利润=每千克利润×总销量，即可求得w关于x的解析式，求得w的
最值即可解题；
（3）令w=1600时，求出x的解即可解题．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
第24页（共31页）将点（65，110）和（70，100）代入y=kx+b得：
k=﹣2，b=240，
∴y关于x解析式为：y=﹣2x+240；
（2）销售利润w=（x﹣60）y=（x﹣60）（﹣2x+240）=﹣2x2+360x﹣14400，
∴x=﹣ =90时，销售利润有最大值；
（3）当w=1600时，可得方程﹣2x2+360x﹣14400=1600，
解这个方程，得x =80，x =100，
1 2
∵销售单价不得高于95元/kg，
∴当销售单价为80可获得销售利润1600元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，
第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两
种方法．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接AC、AD，延
长AB交过点C的直线于点P，且∠DCP=∠DAC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AC=5，CD=6，求PC的长．
【考点】MD：切线的判定．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）连结OC，根据垂径定理由AB⊥CD得BC弧=BD弧，再根据圆周角定
理 得 ∠ BOC=∠ DAC ， 而 ∠ DCP=∠ DAC ， 则 ∠ BOC=∠ DCP ， 由 于
∠ECO+∠EOC=90°，所以∠ECO+∠DCP=90°，于是可根据切线的判定定理得到
PC是⊙O的切线；
（2）由AB⊥CD，根据垂径定理得到CE= CD=3，在Rt△ACE中利用勾股定理计算
第25页（共31页）出AE=4，设⊙O的半径为R，在Rt△OCE中，则OC=R，OE=AE﹣OA=4﹣R，
则利用勾股定理得到（4﹣R）2+32=R2，解得R= ，所以OC= ，OE=4﹣ = ，然
后证明Rt△PCE∽Rt△COE，再利用相似比可计算出PC．
【解答】（1）证明：连结OC，
∵AB⊥CD，
∴BC弧=BD弧，
∴∠BOC=∠DAC，
∵∠DCP=∠DAC，
∴∠BOC=∠DCP，
∵∠ECO+∠EOC=90°，
∴∠ECO+∠DCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵AB⊥CD，
∴CE=DE= CD= ×6=3，
在Rt△ACE中，AC=5，CE=3，
∴AE= =4，
设⊙O的半径为R，
在Rt△OCE中，OC=R，OE=AE﹣OA=4﹣R，
∵OE2+CE2=OC2，
∴（4﹣R）2+32=R2，解得R= ，
∴OC= ，OE=4﹣ = ，
∵∠EOC=∠DCP，
∴Rt△PCE∽Rt△COE，
∴ = ，即 = ，
第26页（共31页）∴PC= ．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线
是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
24．（12分）已知一个矩形纸片OABC，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图，
点A（5，0），C（0， ），把矩形纸片沿对角线AC折叠，使点O落在点D，AD、BC
相交于点E．
（1）求CE的长；
（2）求直线AC的函数解析式及点D的坐标；
（3）求经过点C、D、B抛物线的解析式；
（4）过点D作x轴的垂线，交直线AC于点F，点P是抛物线上的任意一点，过点P
作x轴的垂线，交直线AC于点Q在抛物线上是否存在点P，使以点P、D、F、Q
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明
理由．
【考点】A7：解一元二次方程﹣公式法；HF：二次函数综合题；KJ：等腰三角形的判
定与性质；KQ：勾股定理；L5：平行四边形的性质；LB：矩形的性质．
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第27页（共31页）【专题】16：压轴题．
【分析】（1）由题可得BC=5，AB= ，易证EC=EA，设EC=x，则EA=x，EB=5﹣x，在
Rt△ABE中运用勾股定理就可求出CE的长；
（2）只需运用待定系数法就可求出直线AC的解析式，在Rt△CDE中运用面积法
可求出DG，再运用勾股定理可求出CG，就可得到点D的坐标；
（3）只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（4）根据点D的坐标可求出DF的长，设点P的横坐标为p，则点P、Q的纵坐标就
可用p的代数式表示，易证DF∥PQ，所以DF与PQ是平行四边形的对边，则有
PQ=DF，然后分点P在点Q的上方和下方两种情况讨论，利用PQ=DF建立关于
p的方程，然后解方程，就可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，A（5，0），C（0， ），
∴∠ABC=90°，AB=OC= ，BC=OA=5，BC∥OA，
∴∠BCA=∠OAC．
由折叠可得：DC=OC= ，AD=OA=5，∠CDA=∠COA=90°，∠OAC=∠DAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴EC=EA．
设EC=x，则EA=x，EB=BC﹣EC=5﹣x．
在Rt△ABE中，
（5﹣x）2+（ ）2=x2，
解得：x= ．
则CE的长为 ；
（2）设直线AC的解析式为y=mx+n，
则有 ，
第28页（共31页）解得： ，
∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ；
在Rt△CDE中，
∵DC= ，CE= ，DE=DA﹣AE=5﹣ = ，
∴DG= = = ，
∴CG= = =2，
∴点D的坐标为（2， + ）即（2，4）．
（3）设经过点C、D、B抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵C（0， ）、D（2，4）、B（5， ），
∴ ，
解得： ，
∴经过点C、D、B抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+ ；
（4）∵DF⊥x轴，∴x =x =2，
F D
∵点F在直线AC上，∴y =﹣ ×2+ = ，
F
第29页（共31页）∴DF=y ﹣y =4﹣ = ．
D F
设点P的横坐标为p，
∵PQ⊥x轴，∴x =x =p，
P Q
∵点P在抛物线y=﹣ x2+ x+ 上，点Q在直线y=﹣ x+ 上，
∴y =﹣ p2+ p+ ，y =﹣ p+ ．
P Q
若点P、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∵DF⊥x轴，PQ⊥x轴，
∴DF∥PQ，
∴DF与PQ是平行四边形的对边，
∴PQ=DF= ．
①若点P在点Q的上方，
则有PQ=（﹣ p2+ p+ ）﹣（﹣ p+ ）=﹣ p2+ p= ，
解得：p =2，p =5，
1 2
当p=2时，y =﹣ ×22+ ×2+ =4，
P
此时点P与点D重合，故舍去，
当p=5时，y =﹣ ×52+ ×5+ = ，
P
∴点P的坐标为（5， ）；
②若点P在点Q的下方，
则有PQ=（﹣ p+ ）﹣（﹣ p2+ p+ ）= p2﹣ p= ，
解得：p = ，p = ，
3 4
当p= 时，y =﹣ ×（ ）2+ ×（ ）+ =﹣ ，
P
当p= 时，y =﹣ ×（ ）2+ ×（ ）+ = ，
P
第30页（共31页）∴点P的坐标为（ ，﹣ ）或（ ， ）．
综上所述：当点P、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为（5， ）
或（ ，﹣ ）或（ ， ）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求直线及抛物线的解析式、矩形的性质、平
行四边形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、解方程、勾股定理
等知识，综合性比较强，运用分类讨论并利用PQ=DF建立方程是解决第（4）小
题的关键．
第31页（共31页）
