文档文本内容
2022 年恩施州初中毕业学业水平考试
数学试题卷
本试卷共6页，24个小题，满分120分，考试用时120分钟
注意事项：
1．考生答题全部在答题卷上，答在试题卷上无效，
2．请认真核对监考教师在答题卷上所粘贴条形码的姓名、准考证号码是否与本人相符合，再
将自己的姓名、准考证号码用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卷及试题卷上．
3．选择题作答必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案．非选择题作答必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上指定位置，在
其他位置答题一律无效
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
5．考生不得折叠答题卷，保持答题卷的整洁．考试结束后，请将试题卷和答题卷一并上交．
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）．
1. 8的相反数是（ ）
A. B. 8 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：8的相反数是 ，
故选A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这
条直线（成轴）对称．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这
个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后
可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3. 函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，
解得 且 ，
故选C．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的
关键．
4. 下图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（
）A. “恩” B. “乡” C. “村” D. “兴”
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方体的平面展开图的特点即可得．
【详解】解：由正方体的平面展开图的特点得：“恩”字与“乡”字在相对面上，“施”字与“村”字在
相对面上，“振”字与“兴”字在相对面上，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项法则、幂的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，则此项错误，不符题意；
B、 ，则此项错误，不符题意；
C、 与 不是同类项，不可合并，则此项错误，不符题意；
D、 ，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
6. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：
月用水量（吨） 3 4 5 6
户数 4 6 8 2
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（ ）
A. 众数是5 B. 平均数是7 C. 中位数是5 D. 方差是1
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，即可一一判定．
【详解】解：5吨出现的次数最多，故这组数据的众数是5，故A正确；这组数据的平均数为： (吨)，故B不正确；
这组数据共有20个，故把这组数据从小到大排列后，第10个和第11个数据的平均数为这组数据的中位数，
第10个数据为4，第11个数据为5，故这组数据的中位数为： ，故C不正确；
这组数据的方差为： ，故D不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，熟练掌握和运用众数、平均数、中位数、
方差的定义及求法，是解决本题的关键．
7. 已知直线 ，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若 ，则 （ ）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外
角的性质，即可求解．
【详解】解：如图，根据题意得：∠5=30°，
∵ ，
∴∠3=∠1=120°，
∴∠4=∠3=120°，
∵∠2=∠4+∠5，
∴∠2=120°+30°=150°．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶
角相等，三角形外角的性质是解题的关键．
8. 一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流
速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【
分析】先分别根据“顺流速度 静水速度 江水速度”、“逆流速度 静水速度 江水速度”求出顺流速度和
逆流速度，再根据“沿江顺流航行 与逆流航行 所用时间相等”建立方程即可得．
【详解】解：由题意得：轮船的顺流速度为 ，逆流速度为 ，
则可列方程为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了列分式方程，正确求出顺流速度和逆流速度是解题关键．
9. 如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于P、Q
两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若 ， ．则四边形
MBND的周长为（ ）A. B. 5 C. 10 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】先根据矩形的性质可得 ，再根据线段垂直平分线的性质可得
，根据等腰三角形的性质可得 ，从而可得
，根据平行线的判定可得 ，然后根据菱形的判定可得四边形 是菱形，
设 ，则 ，在 中，利用勾股定理可得 的值，最后根据菱形
的周长公式即可得．
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
，
由作图过程可知， 垂直平分 ，
，
，
，，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是菱形，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
则四边形 的周长为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线等知识点，熟练掌握菱
形的判定与性质是解题关键．
10. 图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水
面的深度h（单位：m）的函数解析式为 ，其图象如图2所示，其中 为青海湖水面大气压强，
k为常数且 ．根据图中信息分析（结果保留一位小数），下列结论正确的是（ ）
A. 青海湖水深16.4m处的压强为188.6cmHg
B. 青海湖水面大气压强为76.0cmHgC. 函数解析式 中自变量h的取值范围是
D. P与h的函数解析式为
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象求出函数解析式即可求解．
【详解】解：将点 代入
即
解得
，
A.当 时， ，故A正确；
B. 当 时， ，则青海湖水面大气压强为68.0cmHg，故B不正确；
C. 函数解析式 中自变量h的取值范围是 ，故C不正确；
D. P与h的函数解析式为 ，故D不正确；
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，从函数图像获取信息是解题的关键．
11. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向
点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时
停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A. 当 时，四边形ABMP为矩形
B. 当 时，四边形CDPM为平行四边形C. 当 时，
D. 当 时， 或6s
【答案】D
【解析】
【分析】计算AP和BM的长，得到AP≠BM，判断选项A；计算PD和CM的长，得到PD≠CM，判断选项
B；按PM=CD，且PM与CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分类讨论判断选项C和D．
【详解】解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、当 时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意；
B、当 时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题
意；
作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
PM=CD，且PQ与CD不平行，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E，
∴四边形CEFM 是矩形，
∴FM=CE；
∴Rt PFM≌Rt DEC（HL），
∴PF△=DE=2，E△F=CM=8-t，
∴AP=10-4-(8-t)=10-t，
解得t=6 s；
PM=CD，且PM∥CD，∴四边形CDPM是平行四边形，
∴DP=CM，
∴t=8-t，
解得t=4 s；
综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题所需
要的辅助线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的t的值．
12. 已知抛物线 ，当 时， ；当 时， ．下列判断：
① ；②若 ，则 ；③已知点 ， 在抛物线 上，当
时， ；④若方程 的两实数根为 ， ，则 ．
其中正确的有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用根的判别式可判断①；把 ，代入，得到不等式，即可判断②；求得抛物线的对称轴为
直线x=b，利用二次函数的性质即可判断③；利用根与系数的关系即可判断④．
【详解】解：∵a= >0，开口向上，且当 时， ；当 时， ，
∴抛物线 与x轴有两个不同的交点，
∴ ，∴ ；故①正确；
∵当 时， ，
∴ -b+c<0，即b> +c，
∵c>1，
∴b> ，故②正确；
抛物线 的对称轴为直线x=b，且开口向上，
当x<b时，y的值随x的增加反而减少，
∴当 时， ；故③正确；
∵方程 的两实数根为x，x，
1 2
∴x+x=2b，
1 2
∵当c>1时，b> ，
∴则x+x>3，但当c<1时，则b未必大于 ，则x+x>3的结论不成立，
1 2 1 2
故④不正确；
综上，正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系等知识，解题的关
键是读懂题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分）．
13. 9的算术平方根是 ．
【答案】3
【解析】
【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．【详解】∵ ，
∴9算术平方根为3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
14. 因式分解： ＝_______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式解题．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知
识是解题关键．
15. 如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为
（结果保留π）_△_______． △
【答案】 -
【解析】
【分析】利用切线长定理求得⊙O的半径，根据S =S -( S + S )- S 列式计算即可求
阴影 ABC 扇形EOF 扇形DOF 正方形CDOE
△
解．
【详解】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∵⊙O为Rt ABC的内切圆，
∴AE=AF、B△D=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四边形CDOE为正方形，
∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，
设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，
∴4-x+3-x=5，
解得x=1，
∴S =S -( S + S )- S
阴影 ABC 扇形EOF 扇形DOF 正方形CDOE
△
= ×3×4- ×1×1
= - ．
故答案为： - ．
【点睛】本题考查了切线长定理，扇形的面积公式，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
16. 观察下列一组数：2， ， ，…，它们按一定规律排列，第n个数记为 ，且满足 ．
则 ________， ________．
【答案】 ①. ②.
【解析】【分析】由已知推出 ，得到 ， ，
， ，上述式子相加求解即可．
【详解】解：∵ ；∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴a= ，
4
∴ ， ， ，
把上述2022-1个式子相加得 ，
∴a = ，
2022
故答案为： ， ．
【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，关键是得出 ，利用裂项相加法求解．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）．
17. 先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，
【解析】
【分析】先将除法转化为乘法，根据分式的性质约分，然后根据分式的减法进行化简，最后代入字母的值
即可求解．
【详解】解：原式＝
；
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，正确的计算是解题的关键．
18. 如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点， 于点E， 于点F．
求证： ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先根据正方形的性质可得 ，从而可得 ，再根据垂
直的定义可得 ，从而可得 ，然后根据三角形全等的判定定理证出
，根据全等三角形的性质可得 ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证．
【详解】证明： 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题
关键．
19. 2022年4月29日，湖北日报联合夏风教室发起“劳动最光荣，加油好少年”主题活动．某校学生积极
参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调
查结果绘制如下不完整的统计图（图）．请结合图中信息解答下列问题：（1）本次共调查了________名学生，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？
（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受．请用列表
或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率．
【答案】（1） ；画图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由做饭的人数及其所占百分比可得答案；利用总人数减去其他的人数即可求得扫地人数，
然后补全统计图即可；
（2）用1200乘以洗衣服所占的百分比即可求出答案；
的
（3）画出树状图即可求出甲、乙两人同时被抽中 概率．
【小问1详解】
解：本次调查的学生总人数为： ；
扫地的学生人数为： ，
条形统计图如图：【小问2详解】
解： ，
即本次活动中该校“洗衣服”的学生约有300名；
【小问3详解】
为
解：画出树状图 ：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两人恰好为甲和乙的结果有2种，
则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为： ．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，由样本估计总体，画树状图或列表法求概率，掌握列
表法或树状图求概率是解题的关键．
20. 如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为
了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得
古亭B位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据： ， ，结果精
确到1m）．【答案】古亭与古柳之间的距离 的长约为
【解析】
【分析】过点 作 的垂直，交 延长线于点 ，设 ，则 ，分别在
和 中，解直角三角形求出 的长，再建立方程，解方程可得 的值，由此即可
得出答案．
【详解】解：如图，过点 作 的垂直，交 延长线于点 ，
由题意得： ，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ， ，
则 ，
解得 ，
则 ，
答：古亭与古柳之间的距离 的长约为 ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)．D为等腰直角三角
形ABC的边BC上一点，且S =3S ．反比例函数y= (k≠0)的图象经过点D．
ABC ADC 1
△ △
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若AB所在直线解析式为 ，当 时，求x 的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y= ；
1
（2）当 时，0<x<4或x<-6．
【解析】
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及S =3S ，求得DC=2，得到D (6，4)，利用待定系数
ABC ADC
△ △
法即可求解；
（2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，解方程x+2= ，求得直线y= x+2与反比例函数y= 的
2 1
图象的两个交点，再利用数形结合思想即可求解．【小问1详解】
解：∵A(0，2)，C(6，2)，
∴AC=6，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=6，
∵S =3S ，
ABC ADC
△ △
∴BC=3DC，
∴DC=2，
∴D (6，4)，
∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过点D，
1
∴k=6×4=24，
∴反比例函数的解析式为y= ；
1
【小问2详解】
∵C(6，2)，BC=6，
∴B (6，8)，
把点B、A的坐标分别代入 中，得 ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为 ，
解方程x+2= ，
整理得：x2+2x-24=0，
解得：x=4或x=-6，
∴直线y= x+2与反比例函数y= 的图象的交点为(4，6)和(-6，-4)，
2 1
∴当 时，0<x<4或x<-6．【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，反比例函数与一次函数的综合，等腰直角三角形的性质等，
求得点D的坐标是解题的关键．
22. 某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和
一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，
乙型客车每辆可坐25名师生．
（1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
（2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
【答案】（1）甲种客车每辆 元，乙种客车每辆 元
（2）租用甲种客车5辆，乙种客车3辆，租车费用最低为1900元
【解析】
【分析】（1）可设甲种客车每辆 元，乙种客车每辆 元，根据等量关系：一辆甲型客车和一辆乙型客车
共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元，列出方程组求解即可；
（2）设租车费用为 元，租用甲种客车 辆，根据题意列出不等式组，求出 的取值范围，进而列出
关于 的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设甲种客车每辆 元，乙种客车每辆 元，依题意知，
，解得 ，
答：甲种客车每辆 元，乙种客车每辆 元；
【小问2详解】
解：设租车费用为 元，租用甲种客车 辆，则乙种客车 辆，
，
解得： ，
，
，
随 的增大而减小，
取整数，
最大为 ，时，费用最低为 （元 ，
（辆 ．
答：租用甲种客车5辆，乙种客车3辆，租车费用最低为1900元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂
题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
23. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB
于点C．
（1）求证：∠ADE=∠PAE．
（2）若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
（3）若PE=4，CD=6，求CE的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）CE的长为2．
【解析】
【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAE+∠PAE=90°，根据圆周角定理得到
∠OAE+∠DAO=90°，据此即可证明∠ADE=∠PAE；
（2）由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED =60°，利用三角形外角的性质得到∠APE=∠AED-∠PAE
=30°，再根据等角对等边即可证明AE=PE；
（3）证明Rt EAC∽Rt ADC，Rt OAC∽Rt APC，推出DC×CE=OC×PC，设CE=x，据此列方程求解即
可． △ △ △ △
【小问1详解】
证明：连接OA，∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠PAE=90°，
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PAE，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADE，
∴∠ADE=∠PAE；
【小问2详解】
证明：∵∠ADE=30°，
由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，
∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，
∴∠APE=∠PAE =30°，
∴AE=PE；
【小问3详解】
解：∵PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交AB于点C．
∴AB⊥PD，
∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，
∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，
∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，
∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，
∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，
即DC×CE=OC×PC，
设CE=x，则DE=6+x，OE=3+ ，OC=3+ -x=3- ，PC=4+x，
∴6x=(3- )( 4+x)，
整理得：x2+10x-24=0，
解得：x=2(负值已舍)．
∴CE的长为2．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是学会利用参数构
建方程解决问题．
24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与y轴交于点 ．
（1）直接写出抛物线的解析式．
（2）如图，将抛物线 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线
与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是
否为直角三角形，并说明理由．
（3）直线BC与抛物线 交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点
T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明
理由．
（4）若将抛物线 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请
直接写出拋物线 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）
（2）以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析
（3）存在， 或 ，
（4）最短距离为 ，平移后的顶点坐标为【解析】
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；
（2）分别求得B、C、Q的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；
（3）由 ，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；
（4）如图，作 且与抛物线只有1个交点，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，则 是
等腰直角三角形，作 于 ，进而求得直线 与 的距离，即为所求最短距离，进而求得平移
方式，将顶点坐标平移即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与y轴交于点
∴
抛物线解析式为
【小问2详解】
以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
的顶点坐标为
依题意得，
平移后的抛物线解析式为
令 ，解
得
令 ，则 ，即
以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形【小问3详解】
存在， 或 ，理由如下，
， ，
是等腰直角三角形
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
联立
解得 ，
， ， 是等腰直角三角形
，
设直线 的解析式为 ,直线 的解析式为
当 时，
设 的解析式为 ，由NT过点
则
解得
的解析式为 ，
令
解得
，②当 时，则
即
解得
综上所述， 或
【小问4详解】
如图，作 ，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，则 是等腰直角三角形，作
于直线 的解析式为
设与 平行的且与 只有一个公共点的直线 解析式为
则
整理得：
则
解得
直线 的解析式为
，
即拋物线 平移的最短距离为 ，方向为 方向∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标
平移后的顶点坐标为 ，即
【点睛】本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象
的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键．
