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2017年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
1 1
A．2 B．﹣2 C． D．-
2 2
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．（﹣a3）2=a6D．a12÷a2=a6
3．（3分）如图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．三棱柱
4．（3分）一组数据2，3，5，4，4的中位数和平均数分别是（ ）
A．4和3.5 B．4和3.6 C．5和3.5 D．5和3.6
5．（3分）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发
现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知
识是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
第1页（共32页）6．（3分）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任
意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法
是（ ）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
7．（3分）小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买 20只铅笔和10本
笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔x
元，每本笔记本y元，则可列方程组（ ）
{&20x+30 y=110 {&20x+10 y=110
A． B．
&10x+5 y=85 &30x+5 y=85
{&20x+5 y=110 {&5x+20 y=110
C． D．
&30x+10 y=85 &10x+30 y=85
8．（3分）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了
牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（ ）
A．84株 B．88株 C．92株 D．121株
9．（3分）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（ ）
第2页（共32页）A．它的图象与x轴有两个交点
B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧
D．x＜m时，y随x的增大而减小
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E
顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交
BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：
①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD•CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的
个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写
在答题卡对应题号的横线上．）
11．（3分）根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11700000人，将数据
11700000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 事件（从“必
然”、“随机”、“不可能”中选一个）．
13．（3分）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，
且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC=
度．
第3页（共32页）14．（3分）在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC
上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
15．（3分）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，
点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最
小，则点P的坐标为 ．
16．（3分）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，
甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在
甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲
车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①甲车出发2h时，两车相遇；
②乙车出发1.5h时，两车相距170km；
5
③乙车出发2 h时，两车相遇；
7
④甲车到达C地时，两车相距40km．其中正确的是 （填写所有正确结论
的序号）．
第4页（共32页）三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出必要演算步骤、文字说明或
证明过程．）
1
17．（5分）计算：（ ）﹣2﹣（2017﹣π）0+√(-3) 2﹣|﹣2|．
3
3 x
18．（6分）解分式方程： +1= ．
x2-x x-1
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单
k 3
位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y= 的图象于点B，AB=
x 2
．
（1）求反比例函数的解析式；
第5页（共32页）（2）若 P（x ，y ）、Q（x ，y ）是该反比例函数图象上的两点，且 x ＜x
1 1 2 2 1 2
时，y ＞y ，指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．
1 2
20．（7分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要
由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测
得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B
处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线
上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不
计），山高 BG 为 10 米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆 CH 的高．（参考数据：
tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）
第6页（共32页）21．（8分）某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后
对选手成绩进行了整理，分成 5 个小组（x 表示成绩，单位：分），A 组：
75≤x＜80；B 组：80≤x＜85；C 组：85≤x＜90；D 组：90≤x＜95；E 组：
95≤x＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分
比是多少？
（3）学校准备组成 8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表
队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，
请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
第7页（共32页）22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A
的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
23．（10分）某水果店在两周内，将标价为 10元/斤的某种水果，经过两次降
价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和
损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为 4.1元/斤，设销售该水
果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并
求出第几天时销售利润最大？
第8页（共32页）时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15
售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价
格
销量（斤） 80﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用 40+3x 3x2﹣64x+400
（元）
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5
元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
24．（10分）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形
较短的边与菱形的边长相等．
（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，
摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M
是DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；
（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求
AM
的值；
NE
AF
（3）在（2）的条件下，若 =k（k为大于√2的常数），直接用含k的代数式
AB
AM
表示 的值．
MF
第9页（共32页）25．（12 分）在平面直角坐标系中，我们定义直线 y=ax﹣a 为抛物线
y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线
上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
2√3 4√3
已知抛物线y=﹣ x2﹣ x+2√3与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在
3 3
点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点 A的坐标为
第10页（共32页），点B的坐标为 ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，
点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否
存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直
接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
第11页（共32页）2017 年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•随州）﹣2的绝对值是（ ）
1 1
A．2 B．﹣2 C． D．-
2 2
【考点】15：绝对值．
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【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|=2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是
它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）（2017•随州）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．（﹣a3）2=a6D．a12÷a2=a6
【考点】4I：整式的混合运算．
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【专题】512：整式．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=2a3，不符合题意；
B、原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意；
C、原式=a6，符合题意；
D、原式=a10，不符合题意，
故选C
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）（2017•随州）如图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．三棱柱
【考点】U3：由三视图判断几何体．
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【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到
的图形．
【解答】解：这个几何体是圆柱体．
故选C．
【点评】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物
体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左
右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜
第12页（共32页）想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
4．（3分）（2017•随州）一组数据2，3，5，4，4的中位数和平均数分别是（
）
A．4和3.5 B．4和3.6 C．5和3.5 D．5和3.6
【考点】W4：中位数；W1：算术平均数．
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【分析】根据中位数的定义和平均数的求法计算即可，中位数是将一组数据按
照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间
位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数
据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：把这组数据按从大到小的顺序排列是：2，3，4，4，5，
故这组数据的中位数是：4．
平均数=（2+3+4+4+5）÷5=3.6．
故选B．
【点评】本题考查了中位数的定义和平均数的求法，解题的关键是牢记定义，
此题比较简单，易于掌握．
5．（3分）（2017•随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部
分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这
一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【考点】IC：线段的性质：两点之间线段最短．
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【分析】根据两点之间，线段最短进行解答．
【解答】解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），
发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学
知识是两点之间线段最短．
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
6．（3分）（2017•随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O
为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图
痕迹②的作法是（ ）
第13页（共32页）A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
【考点】N2：作图—基本作图．
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【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．
【解答】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为
半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，
第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．
故选D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知作一个角等于一直角的步骤是解
答此题的关键．
7．（3分）（2017•随州）小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买 20
只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，
设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组（ ）
{&20x+30 y=110 {&20x+10 y=110
A． B．
&10x+5 y=85 &30x+5 y=85
{&20x+5 y=110 {&5x+20 y=110
C． D．
&30x+10 y=85 &10x+30 y=85
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【分析】设每支铅笔x元，每本笔记本y元，根据购买20只铅笔和10本笔记本
共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元可列出方程组．
【解答】解：设每支铅笔x元，每本笔记本y元，
{&20x+10 y=110
根据题意得 ．
&30x+5 y=85
故选B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条
件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方
程组．
8．（3分）（2017•随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍
药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的
数量为（ ）
第14页（共32页）A．84株 B．88株 C．92株 D．121株
【考点】38：规律型：图形的变化类．
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【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当 n=11时的
芍药的数量．
【解答】解：由图可得，
芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4，
∴ 当 n=11 时 ， 芍 药 的 数 量 为 ： 4+ （ 2×11﹣ 1 ） ×4=4+ （ 22﹣ 1 ）
×4=4+21×4=4+84=88，
故选B．
【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现
题目中图形的变化规律．
9．（3分）（2017•随州）对于二次函数 y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（
）
A．它的图象与x轴有两个交点
B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧
D．x＜m时，y随x的增大而减小
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H3：二次函数的性质．
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【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与
方程之间关系分别分析得出答案．
【解答】解：A、∵b2﹣4ac=（2m）2+12=4m2+12＞0，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；
c
B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为： =﹣3，故此选项正确，不合题意；
a
C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合
题意；
D、∵a=1＞0，对称轴x=m，
∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质、根与系数
的关系等知识，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
10．（3 分）（2017•随州）如图，在矩形 ABCD 中，AB＜BC，E 为 CD 边的中
点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，
过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：
①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD•CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的
个数为（ ）
第15页（共32页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LB：
矩形的性质；MA：三角形的外接圆与外心；R2：旋转的性质．
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【分析】根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出
AM=MC+AD；根据当AB=BC时，四边形ABCD为正方形进行判断，即可得出当AB＜
BC 时，AM=DE+BM 不成立；根据 ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出
EC2=CM×CF，据此可得DE2=AD•CM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是
△ABM的外心．
【解答】解：∵E为CD边的中点，
∴DE=CE，
又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，AE=FE，
又∵ME⊥AF，
∴ME垂直平分AF，
∴AM=MF=MC+CF，
∴AM=MC+AD，故①正确；
当AB=BC时，即四边形ABCD为正方形时，
设DE=EC=1，BM=a，则AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，
在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2，
解得a=1.5，即BM=1.5，
∴由勾股定理可得AM=2.5，
∴DE+BM=2.5=AM，
又∵AB＜BC，
∴AM=DE+BM不成立，故②错误；
∵ME⊥FF，EC⊥MF，
∴EC2=CM×CF，
又∵EC=DE，AD=CF，
∴DE2=AD•CM，故③正确；
∵∠ABM=90°，
∴AM是△ABM的外接圆的直径，
∵BM＜AD，
MN BM
∴当BM∥AD时， = ＜1，
AN AD
∴N不是AM的中点，
∴点N不是△ABM的外心，故④错误．
综上所述，正确的结论有2个，
故选：B．
第16页（共32页）【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性
质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角
形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例，解题时注意：三角形外接圆
的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角
形三个顶点的距离相等．
二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写
在答题卡对应题号的横线上．）
11．（3 分）（2017•随州）根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约
11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为 1.17×1 0 7 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【专题】17 ：推理填空题．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜
10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：11700000=1.17×107．
故答案为：1.17×107．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a×10n，其
中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
12．（3分）（2017•随州）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 随机
事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）．
【考点】X1：随机事件．
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【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 随机事件，
故答案为：随机．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事
件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事
件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定
条件下，可能发生也可能不发生的事件．
13．（3分）（2017•随州）如图，已知 AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D
是⊙O 上一点，且点 D 与点 C 位于弦 AB 两侧，连接 AD、CD、OB，若
∠BOC=70°，则∠ADC= 3 5 度．
第17页（共32页）【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．
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【分析】首先利用垂径定理证明，^AC=^BC，推出∠AOC=∠COB=70°，可得
1
∠ADC= AOC=35°．
2
【解答】解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴^AC=^BC，
∴∠AOC=∠COB=70°，
1
∴∠ADC= AOC=35°，
2
故答案为35．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，用转化的思想思考问题．
14．（3 分）（2017•随州）在△ABC 在，AB=6，AC=5，点 D 在边 AB 上，且
12 5
AD=2，点 E 在边 AC 上，当 AE= 或 时，以 A、D、E 为顶点的三角形与
5 3
△ABC相似．
【考点】S8：相似三角形的判定．
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AE AB AD AB
【分析】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则 = 或 = ，
AD AC AE AC
分情况进行讨论后即可求出AE的长度．
AE AB
【解答】解：当 = 时，
AD AC
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
AB⋅AD 6×2 12
此时AE= = = ；
AC 5 5
AD AB
当 = 时，
AE AC
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
AC⋅AD 5×2 5
此时AE= = = ；
AB 6 3
12 5
故答案为： 或 ．
5 3
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，解
题的关键是分两种情况进行讨论．
第18页（共32页）15．（3分）（2017•随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA
上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，
3 √3
要使PM+PN最小，则点P的坐标为 （ ， ） ．
2 2
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；D5：坐标与图形性质．
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【分析】作N关于OA的对称点 N′，连接 N′M交OA于P，则此时，PM+PN最
小，由作图得到 ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，求得△NON′是等边三角
形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，
则此时，PM+PN最小，
∵OA垂直平分NN′，
∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，
∴△NON′是等边三角形，
∵点M是ON的中点，
∴N′M⊥ON，
∵点N（3，0），
∴ON=3，
∵点M是ON的中点，
∴OM=1.5，
√3
∴PM= ，
2
3 √3
∴P（ ， ）．
2 2
3 √3
故答案为：（ ， ）．
2 2
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直
角三角形，关键是确定P的位置．
第19页（共32页）16．（3分）（2017•随州）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、
B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速
驶向A地，在甲车出发至甲车到达 C地的过程中，甲、乙两车各自与 C地的距
离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲
车出发2h时，两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发2
5
h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40km．其中正确的是 ②③④
7
（填写所有正确结论的序号）．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，结合交点代表的
意义，即可得出结论①错误；②根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速
度，再根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论
5
②正确；③根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发2 h时，两车相遇，结论
7
③正确；④结合函数图象可知当甲到 C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路
程=速度×时间，即可得出结论④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，
∵C地位于A、B两地之间，
∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；
②甲车的速度为240÷4=60（km/h），
乙车的速度为200÷（3.5﹣1）=80（km/h），
∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）=1.5（h），
∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；
5
③∵（240+200﹣60）÷（60+80）=2 （h），
7
5
∴乙车出发2 h时，两车相遇，结论③正确；
7
④∵80×（4﹣3.5）=40（km），
∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论④正确．
综上所述，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象逐一分析四条结论的正误
是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出必要演算步骤、文字说明或
证明过程．）
第20页（共32页）1
17．（5分）（2017•随州）计算：（ ）﹣2﹣（2017﹣π）0+√(-3) 2﹣|﹣2|．
3
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
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【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值
的代数意义化简，即可得到结果．
【解答】解：原式=9﹣1+3﹣2=9．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法
则是解本题的关键．
3 x
18．（6分）（2017•随州）解分式方程： +1= ．
x2-x x-1
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11 ：计算题；522：分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经
检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3+x2﹣x=x2，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检
验．
19．（6分）（2017•随州）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点 O沿x轴
k
向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y= 的图
x
3
象于点B，AB= ．
2
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若 P（x ，y ）、Q（x ，y ）是该反比例函数图象上的两点，且 x ＜x
1 1 2 2 1 2
时，y ＞y ，指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．
1 2
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式；G6：反比例函数图象上点的坐
标特征；Q3：坐标与图形变化﹣平移．
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【分析】（1）求出点B坐标即可解决问题；
（2）结论：P在第二象限，Q在第三象限．利用反比例函数的性质即可解决问
题；
第21页（共32页）3
【解答】解：（1）由题意B（﹣2， ），
2
3 k
把B（﹣2， ）代入y= 中，得到k=﹣3，
2 x
3
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ．
x
（2）结论：P在第二象限，Q在第三象限．
理由：∵k=﹣3＜0，
∴反比例函数y在每个象限y随x的增大而增大，
∵P（x ，y ）、Q（x ，y ）是该反比例函数图象上的两点，且x ＜x 时，y ＞
1 1 2 2 1 2 1
y ，
2
∴P、Q在不同的象限，
∴P在第二象限，Q在第三象限．
【点评】此题考查待定系数法、反比例函数的性质、坐标与图形的变化等知
识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（7分）（2017•随州）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，
风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图 1），图2是从图1引出的平面图．假设
你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G
处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、
H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处
的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参
考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】作 BE⊥DH，知 GH=BE、BG=EH=10，设 AH=x，则 BE=GH=43+x，由
第22页（共32页）CH=AHtan∠CAH=tan55°•x知CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，根据BE=DE可得关于
x的方程，解之可得．
【解答】解：如图，作BE⊥DH于点E，
则GH=BE、BG=EH=10，
设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，
在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，
∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，
∵∠DBE=45°，
∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°•x﹣10+35，
解得：x≈45，
∴CH=tan55°•x=1.4×45=63，
答：塔杆CH的高为63米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造
直角三角形并解直角三角形．
21．（8分）（2017•随州）某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵
大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成 5 个小组（x 表示成绩，单位：
分），A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜
95；E组：95≤x＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有 4 0 名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分
比是多少？
（3）学校准备组成 8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表
队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，
请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计
图．
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【分析】（1）用A组人数除以A组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用
总人数乘以B组所占百分比得到B组人数，从而补全频数分布直方图；
第23页（共32页）（2）用360度乘以C组所占百分比得到C组对应的圆心角度数，用E组人数除
以总人数得到E组人数占参赛选手的百分比；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽
到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）参加初赛的选手共有：8÷20%=40（人），
B组有：40×25%=10（人）．
频数分布直方图补充如下：
故答案为40；
12
（2）C组对应的圆心角度数是：360°× =108°，
40
6
E组人数占参赛选手的百分比是： ×100%=15%；
40
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，
8 2
∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为 = ．
12 3
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率以及频率分布直方图．用到的知
识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）（2017•随州）如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在
AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【考点】MC：切线的性质；KF：角平分线的性质；KW：等腰直角三角形；MO：
扇形面积的计算．
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第24页（共32页）【分析】（1）连接DE，OD．利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等
角的余角相等证明∠DAO=∠CAD，进而得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAC=45°，由BC相切⊙O于点D，得到
∠ODB=90°，求得OD=BD，∠BOD=45°，设BD=x，则OD=OA=x，OB=√2x，根据
勾股定理得到BD=OD=√2，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接DE，OD．
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠CDA=∠AED，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD=90°，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠ODB=90°，
∴OD=BD，∴∠BOD=45°，
设BD=x，则OD=OA=x，OB=√2x，
∴BC=AC=x+1，
∵AC2+BC2=AB2，
∴2（x+1）2=（√2x+x）2，
∴x=√2，
∴BD=OD=√2，
1 45⋅π×(√2) 2 π
∴图中阴影部分的面积=S ﹣S = ×√2×√2﹣ =1﹣ ．
△BOD 扇形DOE 2 360 4
【点评】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算和勾
股定理．熟练掌握切线的性质是解题的关键．
23．（10分）（2017•随州）某水果店在两周内，将标价为 10元/斤的某种水
果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和
损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为 4.1元/斤，设销售该水
果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并
求出第几天时销售利润最大？
第25页（共32页）时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15
售价（元/斤） 第1次降价后的 第2次降价后的
价格 价格
销量（斤） 80﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用 40+3x 3x2﹣64x+400
（元）
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5
元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．
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【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续
两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；
（2）根据两个取值先计算：当 1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=
（售价﹣进价）×销量﹣费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对
比；
（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降 a元，根据第15天的利润比
（2）中最大利润最多少127.5元，列不等式可得结论．
【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，
10（1﹣x）2=8.1，
x=10%或x=190%（舍去），
答：该种水果每次降价的百分率是10%；
（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，
∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，
∵﹣17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=1时，y有最大值，
y =﹣17.7×1+352=334.3（元），
大
当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，
∴y=（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）
2+380，
∵﹣3＜0，
∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，
当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，
∴当x=10时，y有最大值，
y =380（元），
大
综 上 所 述 ， y 与 x （ 1≤ x ＜ 15 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： y=
{&-17.7x+352(1≤x＜9)
，
&-3x2+60x+80(9≤x＜15)
第10天时销售利润最大；
（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，
由题意得：380﹣127.5≤（4﹣a）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），
252.5≤105（4﹣a）﹣115，
a≤0.5，
答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键
第26页（共32页）是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第 2问中x的取值，
两个取值中的最大值才是最大利润．
24．（10分）（2017•随州）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，
已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．
（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，
摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M
是DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；
（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求
AM
的值；
NE
AF
（3）在（2）的条件下，若 =k（k为大于√2的常数），直接用含k的代数式
AB
AM
表示 的值．
MF
【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】15 ：综合题．
【分析】（1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，AB∥CD，利用平行四边形的性
质 得 AB=EF ， AB∥ EF ， 则 CD=EF ， CD∥ EF ， 再 根 据 平 行 线 的 性 质 得
∠CDM=∠FEM，则可根据“AAS”判断△CDM≌△FEM，所以DM=EM；
证法二，利用菱形性质得 DH=BH，利用平行四边形的性质得 AF∥BE，再根据平
DH DM
行线分线段成比例定理得到 = =1，所以DM=EM；
BH EM
（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明
四边形 ABCD 为正方形得到 AC=√2a，接着证明△ANF 为等腰直角三角形得到
AM
NF=a+√2b，则NE=NF+EF=2a+√2b，然后计算 的值；
NE
AM √2a+b b a 1 AM √2a+b a
（4）由于 = =√2+ =k，则 = ，然后表示出 = =√2•
AB a a b k-√2 FM b b
a 1
+1，再把 = 代入计算即可．
b k-√2
【解答】解：（1）如图1，
证法一：∵四边形ABCD为菱形，
第27页（共32页）∴AB=CD，AB∥CD，
∵四边形ABEF为平行四边形，
∴AB=EF，AB∥EF，
∴CD=EF，CD∥EF，
∴∠CDM=∠FEM，
在△CDM和△FEM中
{
&∠CMD=∠FME
&∠CDM=∠FEM，
&CD=EF
∴△CDM≌△FEM，
∴DM=EM，
即点M是DE的中点；
证法二：∵四边形ABCD为菱形，
∴DH=BH，
∵四边形ABEF为平行四边形，
∴AF∥BE，
∵HM∥BE，
DH DM
∴ = =1，
BH EM
∴DM=EM，
即点M是DE的中点；
（2）∵△CDM≌△FEM，
∴CM=FM，
设AD=a，CM=b，
∵∠ABE=135°，
∴∠BAF=45°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠NAF=45°，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC=√2AD=√2a，
∵AB∥EF，
∴∠AFN=∠BAF=45°，
∴△ANF为等腰直角三角形，
√2 √2
∴NF= AF= （√2a+b+b）=a+√2b，
2 2
∴NE=NF+EF=a+√2b+a=2a+√2b，
AM √2a+b √2a+b √2
∴ = = = ；
NE 2a+√2b √2(√2a+b) 2
AM √2a+b b
（4）∵ = =√2+ =k，
AB a a
b
∴ =k﹣√2，
a
第28页（共32页）a 1
∴ = ，
b k-√2
AM √2a+b a 1 k
∴ = =√2• +1=√2• +1= ．
FM b b k-√2 k-√2
【点评】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握平行线分线段成比例定理、平
行四边形和菱形的性质；灵活利用全等三角形的知识解决线段相等的问题；会
利用代数法表示线段之间的关系．
25．（12分）（2017•随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛
物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛
物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
2√3 4√3
已知抛物线y=﹣ x2﹣ x+2√3与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在
3 3
点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
2√3 2√3
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 y = ﹣ x+ ，点A的
3 3
坐标为 （﹣ 2 ， 2√3） ，点B的坐标为 （ 1 ， 0 ） ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，
点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否
存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直
接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析
式可求得A、B的坐标；
（2）过 A作AD⊥y轴于点 D，则可知 AN=AC，结合 A点坐标，则可求得 ON的
长，可求得N点坐标；
（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴
于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可
求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设
E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代
入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．
【解答】解：
第29页（共32页）2√3 4√3
（1）∵抛物线y=﹣ x2﹣ x+2√3，
3 3
2√3 2√3
∴其梦想直线的解析式为y=﹣ x+ ，
3 3
{ 2√3 2√3
& y=- x+
3 3 {&x=-2
联立梦想直线与抛物线解析式可得 ，解得
2√3 4√3 & y=2√3
& y=- x2- x+2√3
3 3
{&x=1
或 ，
& y=0
∴A（﹣2，2√3），B（1，0），
2√3 2√3
故答案为：y=﹣ x+ ；（﹣2，2√3）；（1，0）；
3 3
（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，
2√3 4√3
在y=﹣ x2﹣ x+2√3中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，
3 3
∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2√3），
∴AC=√(-2+3) 2+(2√3) 2=√13，
由翻折的性质可知AN=AC=√13，
∵△AMN为梦想三角形，
∴N点在y轴上，且AD=2，
在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=√AN2-AD2=√13-4=3，
∵OD=2√3，
∴ON=2√3﹣3或ON=2√3+3，
∴N点坐标为（0，2√3﹣3）或（0，2√3+3）；
（3）①当AC为平行四边形的边时，如图 2，过F作对称轴的垂线FH，过A作
AK⊥x轴于点K，
第30页（共32页）则有AC∥EF且AC=EF，
∴∠ACK=∠EFH，
在△ACK和△EFH中
{
&∠ACK=∠EFH
&∠AKC=∠EHF
&AC=EF
∴△ACK≌△EFH（AAS），
∴FH=CK=1，HE=AK=2√3，
∵抛物线对称轴为x=﹣1，
∴F点的横坐标为0或﹣2，
∵点F在直线AB上，
2√3
∴当F点横坐标为0时，则F（0， ），此时点E在直线AB下方，
3
2√3 4√3 4√3
∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2√3﹣ = ，即E点纵坐标为﹣ ，
3 3 3
4√3
∴E（﹣1，﹣ ）；
3
当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2√3），
∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，√3），
设E（﹣1，t），F（x，y），
则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2√3，
∴x=﹣4，y=2√3﹣t，
2√3 2√3 4√3
代入直线AB解析式可得2√3﹣t=﹣ ×（﹣4）+ ，解得t=﹣ ，
3 3 3
4√3 10√3
∴E（﹣1，﹣ ），F（﹣4， ）；
3 3
4√3 2√3
综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣ ）、F（0， ）或E（﹣
3 3
4√3 10√3
1，﹣ ）、F（﹣4， ）．
3 3
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、勾股定理、轴对
第31页（共32页）称的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中理
解题目中梦想直线的定义是解题的关键，在（2）中确定出N点的位置，求得ON
的长是解题的关键，在（3）中确定出E、F的位置是解题的关键，注意分两种
情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
第32页（共32页）
