文档内容
湖北省随州市2018年中考数学真题试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是
正确的）
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．（3分）如图是一个由4个相同正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．a3÷a﹣3=1
C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2D．（﹣a2）3=﹣a6
4．（3分）如图，在平行线l、l 之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直
1 2
线l、l 上，若∠l=65°，则∠2的度数是（ ）
1 2
A．25° B．35° C．45° D．65°
5．（3分）某同学连续6次考试的数学成绩分别是85，97，93，79，85，95，则这组数据的众数和
中位数分别为（ ）
A．85 和 89 B．85 和 86 C．89 和 85 D．89 和 86
6．（3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则 的值为（ ）
1A．1 B． C． 1D．
7．（3分）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡
觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（ ）
A． B． C ．
D．
8．（3分）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，
若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，
10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最
大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）
2A．33 B．301 C．386 D．571
10．（3分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐
标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二.填空题（本大题共6小题、每小题3分，共18分，只需要将结果直接填在答卡对应题号处
的横线上）
11．（3分）计算： ﹣|2﹣2 |+2tan45°= ．
12．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B= 度．
313．（3分）已知 是关于x，y的二元一次方程组 的一组解，则a+b= ．
14．（3分）如图，一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y= （k＞0）的图象相交于A、B两点，
与x轴交与点C，若tan∠AOC= ，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x
轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，
则点B的对应点B′的坐标为 ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．给出以下判断：
①AC垂直平分BD；
②四边形ABCD的面积S=AC•BD；
③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；
④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为 ；
⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F
到直线AB的距离为 ．
其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）
4三、解答题（本人题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（6分）先化简，再求值： ，其中x为整数且满足不等式组 ．
18．（7分）己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x，x．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若 + =﹣1，求k的值．
19．（9分）为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了30名学生的成绩进行统
计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，己知成绩x（单位：分）均满足“50≤x＜
100”．根据图中信息回答下列问题：
（1）图中a的值为 ；
（2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩x在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心角度数为
度；
（3）此次比赛共有300名学生参加，若将“x≥80”的成绩记为“优秀”，则获得“优秀“的
学生大约有 人：
（4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为92分，若从成绩在“50≤x＜60”和“90≤x＜
100”的学生中任选2人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概率．
20．（8分）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方
案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，
5主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图
中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知
∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．
（1）求最短的斜拉索DE的长；
（2）求最长的斜拉索AC的长．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别
交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC=4 ，求MC的长．
22．（11分）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求
在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每
件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：
天数（x） 1 3 6 10
每件成本p（元） 7.5 8.5 10 12
任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=
设李师傅第x天创造的产品利润为W元．
（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
6（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：
如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得 20元奖金．请计算李师
傅共可获得多少元奖金？
23．（11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都
可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式
呢？请看以下示例：
例：将0. 化为分数形式
由于0. =0.777…，设x=0.777…①
则10x=7.777…②
②﹣①得9x=7，解得x= ，于是得0. = ．
同理可得0. = = ，1. =1+0. =1+ =
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
【基础训练】
（1）0. = ，5. = ；
（2）将0. 化为分数形式，写出推导过程；
【能力提升】
（3）0. 1 = ，2.0 = ；
（注：0. 1 =0.315315…，2.0 =2.01818…）
【探索发现】
（4）①试比较0. 与1的大小：0. 1（填“＞”、“＜”或“=”）
②若已知0. 8571 = ，则3. 1428 = ．
（注：0. 857l =0.285714285714…）
24．（12分）如图1，抛物线C：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已
1
知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C 的顶点为G．
1
7（1）求出抛物线C 的解析式，并写出点G的坐标；
1
（2）如图2，将抛物线C 向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C，设C 与x轴的交点为A′、
1 2 2
B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物
线C、C 于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与
1 2
△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
8参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是
正确的）
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）如图是一个由4个相同正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．a3÷a﹣3=1
C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2D．（﹣a2）3=﹣a6
【分析】根据同底数幂的乘法、完全平方公式及同底数幂的除法、幂的乘方逐一计算可得．
【解答】解：A、a2•a3=a5，此选项错误；
B、a3÷a﹣3=a6，此选项错误；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，此选项错误；
D、（﹣a2）3=﹣a6，此选项正确；
9故选：D．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、完全平方公式及同底数
幂的除法、幂的乘方的运算法则．
4．（3分）如图，在平行线l、l 之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直
1 2
线l、l 上，若∠l=65°，则∠2的度数是（ ）
1 2
A．25° B．35° C．45° D．65°
【分析】过点C作CD∥a，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，过点C作CD∥a，则∠1=∠ACD．
∵a∥b，
∴CD∥b，
∴∠2=∠DCB．
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠1=65°，
∴∠2=25°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
5．（3分）某同学连续6次考试的数学成绩分别是85，97，93，79，85，95，则这组数据的众数和
中位数分别为（ ）
A．85 和 89 B．85 和 86 C．89 和 85 D．89 和 86
【分析】根据众数、中位数的定义即可判断；
【解答】解：将数据重新排列为79、85、85、93、95、97，
10则这组数据的中位数为 =89，众数为85
故选：A．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．中位数是将一组数据从小到大（或从大到
小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是
次数出现最多的数；
6．（3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则 的值为（ ）
A．1 B． C． 1D．
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S =S ，可得出
△ADE 四边形BCED
= ，结合BD=AB﹣AD即可求出 的值，此题得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴（ ）2= ．
∵S =S ，
△ADE 四边形BCED
∴ = ，
∴ = = = ﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方
是解题的关键．
7．（3分）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡
11觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（ ）
A． B． C ．
D．
【分析】根据兔子的路程在一段时间内保持不变、乌龟比兔子所用时间少逐一判断即可得．
【解答】解：由于兔子在图中睡觉，所以兔子的路程在一段时间内保持不变，所以D选项错误；
因为乌龟最终赢得比赛，即乌龟比兔子所用时间少，所以A、C均错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象，解题的关键是弄清函数图象中横、纵轴所表示的意义及实际
问题中自变量与因变量之间的关系．
8．（3分）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，
若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【解答】解：如图，连接PA、PB、OP；
则S = = ，S = ×2×1=1，
半圆O △ABP
由题意得：图中阴影部分的面积=4（S ﹣S ）
半圆O △ABP
12=4（ ﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为 = ，
故选：A．
【点评】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．
9．（3分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，
10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最
大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）
A．33 B．301 C．386 D．571
【分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n= ，第n个正方形数为n2，据此得出
最大的三角形数和正方形数即可得．
【解答】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n= ，第n个正方形数为n2，
当n=19时， =190＜200，当n=20时， =210＞200，
所以最大的三角形数m=190；
当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200，
所以最大的正方形数n=196，
13则m+n=386，
故选：C．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第 n个三角形数为
1+2+3+…+n= ，第n个正方形数为n2．
10．（3分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐
标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则2a+b+c=c
＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，
0）右侧，则当x=﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次
函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=﹣x+c与抛物线
y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函
数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行
判断．
【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
14∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，
∴b=﹣2a，
∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②正确；
∵x=1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b=﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置
关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．
二.填空题（本大题共6小题、每小题3分，共18分，只需要将结果直接填在答卡对应题号处
的横线上）
11．（3分）计算： ﹣|2﹣2 |+2tan45°= 4 ．
【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出
答案．
【解答】解：原式=2 ﹣（2 ﹣2）+2×1
=2 ﹣2 +2+2
=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
1512．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B= 6 0 度．
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即
可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=20°，
∴∠OAB=60°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查的是圆周角定理的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关
键．
13．（3分）已知 是关于x，y的二元一次方程组 的一组解，则a+b= 5 ．
【分析】根据方程组解的定义，把问题转化为关于a、b的方程组，求出a、b即可解决问题；
【解答】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程组 的一组解，
∴ ，解得 ，
∴a+b=5，
故答案为5．
【点评】本题考查二元方程组，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，所以中
考常考题型．
1614．（3分）如图，一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y= （k＞0）的图象相交于A、B两点，
与x轴交与点C，若tan∠AOC= ，则k的值为 3 ．
【分析】根据题意设出点A的坐标，然后根据一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y= （k＞
0）的图象相交于A、B两点，可以求得a的值，进而求得k的值，本题得以解决．
【解答】解：设点A的坐标为（3a，a），
∵一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y= （k＞0）的图象相交于A、B两点，
∴a=3a﹣2，得a=1，
∴1= ，得k=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x
轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，
则点B的对应点B′的坐标为 （ ，﹣ ） ．
17【分析】作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，根据菱形的性质得到∠AOB=30°，再根据旋转的
性质得∠BOB′=75°，OB′=OB=2 ，则∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，所以△OBH为等腰
直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH=B′H= ，然后根据第四象限内点的坐
标特征写出B′点的坐标．
【解答】解：作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，如图，
∵四边形OABC为菱形，
∴∠AOC=180°﹣∠C=60°，OB平分∠AOC，
∴∠AOB=30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2 ，
∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，
∴△OBH为等腰直角三角形，
∴OH=B′H= OB′= ，
∴点B′的坐标为（ ，﹣ ）．
故答案为：（ ，﹣ ）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的
特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，
180°．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．给出以下判断：
①AC垂直平分BD；
②四边形ABCD的面积S=AC•BD；
③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；
④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为 ；
⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F
18到直线AB的距离为 ．
其中正确的是 ①③④ ．（写出所有正确判断的序号）
【分析】依据AB=AD=5，BC=CD，可得AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；依据四边形ABCD
的面积S= ，故②错误；依据AC=BD，可得顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边
形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r2=（r﹣3）
2+42，得r= ，故④正确；连接AF，设点F到直线AB的距离为h，由折叠可得，四边形ABED是
菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依据S = ×BD×OE= ×BE×DF，可得DF= ，进而得出
△BDE
GF= ，再根据S =S ﹣S ，即可得到h= ，故⑤错误．
△ABF 梯形ABFD △ADF
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD，
∴AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；
四边形ABCD的面积S= ，故②错误；
当AC=BD时，顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；
当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则
r2=（r﹣3）2+42，
得r= ，故④正确；
将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，如图所示，
连接AF，设点F到直线AB的距离为h，
由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，
∴AO=EO=3，
19∵S = ×BD×OE= ×BE×DF，
△BDE
∴DF= = ，
∵BF⊥CD，BF∥AD，
∴AD⊥CD，GF= = ，
∵S =S ﹣S ，
△ABF 梯形ABFD △ADF
∴ ×5h= （5+5+ ）× ﹣ ×5× ，
解得h= ，故⑤错误；
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运
用，解决问题的关键是利用图形面积的和差关系进行计算．
三、解答题（本人题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（6分）先化简，再求值： ，其中x为整数且满足不等式组 ．
【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，由 x为整数且满足不等式组
可以求得x的值，从而可以解答本题．
【解答】解：
=
=
20= ，
由 得，2＜x≤3，
∵x是整数，
∴x=3，
∴原式= ．
【点评】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答
本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．
18．（7分）己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x，x．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若 + =﹣1，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次方程，解之
即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x+x=﹣2k﹣3、xx=k2，结合 + =﹣1即可得出关于k
1 2 1 2
的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣ ．
（2）∵x、x 是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，
1 2
∴x+x=﹣2k﹣3，xx=k2，
1 2 1 2
∴ + = =﹣ =﹣1，
解得：k=3，k=﹣1，
1 2
经检验，k=3，k=﹣1都是原分式方程的根．
1 2
又∵k＞﹣ ，
∴k=3．
21【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，
方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 + =﹣1找出关于k的分
式方程．
19．（9分）为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了30名学生的成绩进行统
计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，己知成绩x（单位：分）均满足“50≤x＜
100”．根据图中信息回答下列问题：
（1）图中a的值为 6 ；
（2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩x在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心角度数为
14 4 度；
（3）此次比赛共有300名学生参加，若将“x≥80”的成绩记为“优秀”，则获得“优秀“的
学生大约有 10 0 人：
（4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为92分，若从成绩在“50≤x＜60”和“90≤x＜
100”的学生中任选2人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概率．
【分析】（1）用总人数减去其他分组的人数即可求得60≤x＜70的人数a；
（2）用360°乘以成绩在70≤x＜80的人数所占比例可得；
（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可得；
（4）先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出有C的结果数，然后根据概率公式
求解．
【解答】解：（1）a=30﹣（2+12+8+2）=6，
故答案为：6；
（2）成绩x在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心角度数为360°× =144°，
故答案为：144；
22（3）获得“优秀“的学生大约有300× =100人，
故答案为：100；
（4）50≤x＜60的两名同学用A、B表示，90≤x＜100的两名同学用C、D表示（小明用C表示），
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中有C的结果数为6，
所以小明被选中的概率为 = ．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考
查了扇形统计图和频率分布直方图．
20．（8分）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方
案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，
主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图
中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知
∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．
（1）求最短的斜拉索DE的长；
（2）求最长的斜拉索AC的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；
（2）作AH⊥BC于H，如图2，由于BD=DE=3 ，则AB=3BD=15 ，在Rt△ABH中，根据等腰直角
三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系
23即可得到AC的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴DE= BE= ×6=3 ．
答：最短的斜拉索DE的长为3 m；
（2）作AH⊥BC于H，如图2，
∵BD=DE=3 ，
∴AB=3BD=5×3 =15 ，
在Rt△ABH中，∵∠B=45°，
∴BH=AH= AB= ×15 =15，
在Rt△ACH中，∵∠C=30°，
∴AC=2AH=30．
答：最长的斜拉索AC的长为30m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造
出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别
交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC=4 ，求MC的长．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；
24（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）连接OC，
∵CN为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，
∴MD=MC；
（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4 ，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC= ，
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴ ，即 ，
可得：OD=2.5，
设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，
解得：x= ，
即MC= ．
【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关
键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
22．（11分）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求
25在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每
件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：
天数（x） 1 3 6 10
每件成本p（元） 7.5 8.5 10 12
任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=
设李师傅第x天创造的产品利润为W元．
（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：
如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得 20元奖金．请计算李师
傅共可获得多少元奖金？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变
量x的取值范围：
（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；
（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题．
【解答】解：（1）设p与x之间的函数关系式为p=kx+b，
，解得， ，
即p与x的函数关系式为p=0.5x+7（1≤x≤15，x为整数），
当1≤x＜10时，
W=[20﹣（0.5x+7）]（2x+20）=﹣x2+16x+260，
当10≤x≤15时，
W=[20﹣（0.5x+7）]×40=﹣20x+520，
即W= ；
（2）当1≤x＜10时，
W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324，
∴当x=8时，W取得最大值，此时W=324，
当10≤x≤15时，
26W=﹣20x+520，
∴当x=10时，W取得最大值，此时W=320，
∵324＞320，
∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元；
（3）当1≤x＜10时，
令﹣x2+16x+260=299，得x=3，x=13，
1 2
当W＞299时，3＜x＜13，
∵1≤x＜10，
∴3＜x＜10，
当10≤x≤15时，
令W=﹣20x+520＞299，得x＜11.05，
∴10≤x≤11，
由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160
（元），
即李师傅共可获得160元奖金．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解不等式，解答本题的关键是明确
题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
23．（11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都
可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式
呢？请看以下示例：
例：将0. 化为分数形式
由于0. =0.777…，设x=0.777…①
则10x=7.777…②
②﹣①得9x=7，解得x= ，于是得0. = ．
同理可得0. = = ，1. =1+0. =1+ =
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
【基础训练】
27（1）0. = ，5. = ；
（2）将0. 化为分数形式，写出推导过程；
【能力提升】
（3）0. 1 = ，2.0 = ；
（注：0. 1 =0.315315…，2.0 =2.01818…）
【探索发现】
（4）①试比较0. 与1的大小：0. = 1（填“＞”、“＜”或“=”）
②若已知0. 8571 = ，则3. 1428 = ．
（注：0. 857l =0.285714285714…）
【分析】根据阅读材料可知，每个整数部分为零的无限循环小数都可以写成分式形式，如果循
环节有n位，则这个分数的分母为n个9，分子为循环节．
【解答】解：（1）由题意知0. = 、5. =5+ = ，
故答案为： 、 ；
（2）0. =0.232323……，
设x=0.232323……①，
则100x=23.2323……②，
②﹣①，得：99x=23，
解得：x= ，
∴0. = ；
（3）同理
0. 1 = = ，2.0 =2+ =
故答案为： ，
28（4）①0. = =1
故答案为：=
②3. 1428 =3+ =3+ =
故答案为：
【点评】本题考查了规律探索和简单一元一次方程的应用，解答时注意按照阅读材料的示例
找到规律．
24．（12分）如图1，抛物线C：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已
1
知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C 的顶点为G．
1
（1）求出抛物线C 的解析式，并写出点G的坐标；
1
（2）如图2，将抛物线C 向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C，设C 与x轴的交点为A′、
1 2 2
B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物
线C、C 于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与
1 2
△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；
（2）设抛物线C 的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，
2
设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1， m），代入所
设解析式求解可得；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝
角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关
于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
29∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C的坐标为（0，3），
将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：
，
解得： ，
∴抛物线C 的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
1
所以点G的坐标为（1，4）．
（2）设抛物线C 的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，
2
过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，
∵△A′B′G′为等边三角形，
∴G′D= B′D= m，
则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1， m），
将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：
，
解得： （舍）， ，
∴k=1；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ、∠PQN均为钝角，
30∴△AOQ≌△PQN，
如图2，延长PQ交直线y=﹣1于点H，
则∠QHN=∠OMQ=90°，
又∵△AOQ≌△PQN，
∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，
∴∠MOQ=∠HQN，
∴△OQM≌△QNH（AAS），
∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，
解得：x= （负值舍去），
当x= 时，HN=QM=﹣x2+2x+2= ，点M（ ，0），
∴点N坐标为（ + ，﹣1），即（ ，﹣1）；
或（ ﹣ ，﹣1），即（1，﹣1）；
如图3，
31同理可得△OQM≌△PNH，
∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，
解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，
∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；
综上点M（ ，0）、N（ ，﹣1）；M（ ，0）、N（1，﹣1）；
1 1 2 2
M（4，0）、N（10，﹣1）；M（4，0）、N（﹣2，﹣1）．
3 3 4 4
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等
边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．
32
