文档内容
湖北省黄冈市2018年中考数学真题试题
（考试时间120分钟 满分120分）
第Ⅰ卷（选择题 共18分）
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。每小题给出4个选项中，有且只有一个答案是正确
的）
2
1. - 的相反数是
3
3 2 2 3
A. - B. - C. D.
2 3 3 2
2. 下列运算结果正确的是
A. 3a3·2a2=6a6 B. (-2a)2= -4a2 C. tan45°= 2 D. cos30°= 3
2 2
x 1
3.函数y=
x 1
中自变量x的取值范围是
A．x≥-1且x≠1 B.x≥-1 C. x≠1 D. -1≤x＜1
4.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则
∠BAD为
A.50° B.70° C.75° D.80°
（第4题图）
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=
A.2 B.3 C.4 D.2 3
（第5题图）
6.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为
A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
1二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
7.实数16 800 000用科学计数法表示为______________________.
8.因式分解：x3-9x=___________________________.
1
9.化简( 2-1)0+( )-2- 9+3 27 =________________________.
2
1
1
10.若a- = 6，则a2+ 值为_______________________.
2
a a
11.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，∠CAB=60°，弦 AD 平分∠CAB，若 AD=6，则
AC=___________.
（第11题图）
12.一个三角形的两边长分别为 3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为
______________.
13.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时
一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距
离为_________________cm（杯壁厚度不计）.
（第13题图）
14. 在-4，-2，1，2四个数中，随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a，b的值，则该二次函数图
像恰好经过第一、二、四象限的概率为___________.
2三、解答题 （本题共10题，满分78分）
15.（本题满分5分）求满足不等式组： x-3(x-2)≤8 的所有整数解．
1 3
x-1＜3 - x
2 2
16.（本题满分6分）在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子。A型粽子28元/千克，B
型粽子24元/千克。若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求
两种型号粽子各多少千克。
17.（本题满分8分）央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注。我市某校就“中华文化我传承
——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完
整的统计图。请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”。
（1）被调查的总人数是_____________人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为_______.
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有__________人；
（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或
列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率。
318.（本题满分7分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B
点的切线交OP于点C.
（1）求证：∠CBP=∠ADB.
（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长.
4（第18题图）
k
19.（本题满分6分）如图，反比例函数y= （x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点
x
C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D
点的坐标.
20.（本题满分8分）如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CB
F＝∠CDE，连接AF，AE.
（1）求证：△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC.
5（第20题图）
21.（本题满分7分）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下
的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一
直线上.
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度.
（第21题图）
22.（本题满分8分）已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x
（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=-2时，求△OAB的面积.
623.（本题满分9分）我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）
与月份x（月）的关系为：y= x+4（1≤x≤8，x为整数）
-x+20（9≤x≤12，x为整数），每件产品的利润z（元）与月份x
（月）的关系如下表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10
（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；
（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月
份x（月）的关系式；
（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？
24.（本题满分14分）如图，在直角坐标系XOY中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一
象限，∠C=120°，边长OA=8，点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，
点N从A出发沿边AB—BC—CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动。过点M作直线MP垂直于x轴并
交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，
7M和N两点同时停止运动。
（1）当t=2时，求线段PQ的长；
（2）求t为何值时，点P与N重合；
（3）设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围.
参考答案
8（考试时间120分钟 满分120分）
第Ⅰ卷（选择题 共18分）
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。每小题给出4个选项中，有且只有一个答案是正确
的）
2
1. - 的相反数是
3
3 2 2 3
A. - B. - C. D.
2 3 3 2
【考点】相反数．
【分析】只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数；0的相反数是0。一般地，任意
的一个有理数a，它的相反数是-a。a本身既可以是正数，也可以是负数，还可以是零。本题根据相反
数的定义，可得答案．
2 2
【解答】解：因为 与- 是符号不同的两个数
3 3
2 2
所以- 的相反数是 .
3 3
故选C.
【点评】本题考查了绝对值的性质，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值
来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
2. 下列运算结果正确的是
2 3
A. 3a3·2a2=6a6 B. (-2a)2= -4a2 C. tan45°= D. cos30°=
2 2
【考点】同底数幂的乘法与除法、幂的乘方，以及特殊角的三角函数值。
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则以及特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：A. 根据同底数幂的乘法，3a3·2a2=6a5，故本选项错误；
B. 根据幂的乘方，(-2a)2= 4a2，故本选项错误
C．根据特殊角的三角函数值，tan45°=1，故本选项错误；
3
D．根据特殊角的三角函数值，cos30°= ，故本选项正确．
2
故选D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法与除法、幂的乘方，以及特殊角的三角函数值，熟知运算法则、熟
记特殊角的三角函数值是钥匙的关键。
x 1
3.函数y=
x 1
中自变量x的取值范围是
A．x≥-1且x≠1 B.x≥-1 C. x≠1 D. -1≤x＜1
【考点】函数自变量的取值范围。
【分析】自变量x的取值范围必须使函数有意义， x 1中x+1≥0；分式作为除式，则x-1≠0.综上
即可得解。
9【解答】解：依题意，得 x+1≥0
x-1≠0
∴x≥-1且x≠1.
故选A.
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围。要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数；分式的
分母不能为零。
4.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则
∠BAD为
A.50° B.70° C.75° D.80°
（第4题图）
【考点】垂直平分线的性质，三角形的内角和定理。
【分析】由三角形的内角和定理，得∠BAC的度数，又由垂直平分线的性质，知∠C＝∠DAC=25°，从而
得出∠BAD的度数。
【解答】解：由三角形的内角和定理，得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-25°=95°。
又由垂直平分线的性质，知∠C＝∠DAC=25°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠C=∠BAD+25°=9
∴∠BAD=95°-25°=70°.
故选B.
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理。熟练掌握性质和定理是解题的关键。
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=
A.2 B.3 C.4 D.2 3
（第5题图）
【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AE=5，又知AD=2，可得DE=AE-AD=5-
2=3，在Rt△CDE中，运用勾股定理可得直角边CD的长。
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，
10∴CE=AE=5，
又∵AD=2，
∴DE=AE-AD=5-2=3，
∵CD为AB边上的高
∴∠CDE=90°，
∴△CDE 为Rt△
∴CD=
CE2 DE2
=
52 32
=4
故选C.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。得出DE的长是解题的关键。
6.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为
A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2
【考点】不等式组，二次函数的最值。
【分析】由题意知函数y=x2-2x+1≥1，可得出x的取值范围，再由a≤x≤a+1可得出a的值。
【解答】解：∵当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，
∴y=x2-2x+1≥1，即x2-2x≥0，
∴x≥2或x≤0，
当x≥2时，由a≤x，可得a=2,
当x≤0时，由x≤a+1，可得a+1=0,即a=-1
综上，a的值为2或-1，
故选D.
【点评】本题考查了不等式组. 弄清题意，解不等式组是关键。
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
7.实数16 800 000用科学计数法表示为______________________.
【考点】用科学记数法表示较大的数。
【分析】确定a×10（n 1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于16 800 000有8位，所以可以确
定n=8-1=7．
【解答】解：16 800 000=1.68×107．
故答案为：1.68×107．
【点评】本题考查了科学记数法。把一个数M记成a×10（n 1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的
方法叫做科学记数法．规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；（2）当|a|＜1时，n的值是
第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
8.因式分解：x3-9x=___________________________.
【考点】因式分解。
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3-9x=x（x2-9），
=x（x+3）（x-3）．
故答案为：x（x+3）（x-3）．
【点评】本题考查了因式分解-提取公因式法和公式法的综合运用．
111
9.化简( 2-1)0+( )-2- 9+3 27 =________________________.
2
【考点】实数的运算。
【分析】根据零次幂、副整数指数幂的运算法则，以及平方根，立方根计算即可。
1
【解答】解：( 2-1)0+( )-2- 9+3 27 =1+22-3-3= -1.
2
故答案为：-1．
【点评】本题考查了实数的运算。掌握零次幂、副整数指数幂、平方根、立方根的运算法则是关键。
1
1
10.若a- = 6，则a2+ 值为_______________________.
2
a a
【考点】完全平方公式.
【分析】根据完全平方公式，对已知的算式和各选项分别整理，即可得出答案．
1
【解答】解：∵a- = 6，
a
∴（a- ）2=6，
a2+ -2=6，
∴a2+ =8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了完全平方公式。熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助。
11.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，∠CAB=60°，弦 AD 平分∠CAB，若 AD=6，则
AC=___________.
12（第11题图）
【考点】圆，角平分线，30°角所对的直角边等于的一半，勾股定理.
1
【分析】连结BD，根据30°角所对的直角边等于的一半，易得出BD=AC= AB；再通过勾股定理可求得
2
AB的长，从而得出AC的长。
【解答】解：连结BD，
∵AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，
∴∠ABC=∠DAB=30°
1
∴在Rt△ABC和 Rt△ABD中，BD=AC= AB
2
1
在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2，即AB2=（ AB）2+62，
2
∴AB=4 3，
∴AC=2 3.
故答案为：2 3.
【点评】本题考查了圆，角平分线，30°角所对的直角边等于的一半，勾股定理. 熟练掌握定理是解题
的关键。
12.一个三角形的两边长分别为 3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为
______________.
【考点】解一元二次方程，三角形三边的关系.
【分析】将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转
化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第
三边进行判断，得到满足题意的第三边的长，从而求得三角形的周长．
【解答】解：x2-10x+21=0，
因式分解得：（x-3）（x-7）=0，
解得：x=3，x=7，
1 2
13∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的根，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，3+3=6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为3，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7．
∴三角形的周长为: 3+6+7=16.
故答案为：16.
【点评】本题考查了利用因式分解法求解解一元二次方程，以及三角形三边的关系. 利用因式分解法
求解解一元二次方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中
至少有一个为0，转化为两个一元一次方程来求解。
13.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时
一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距
离为_________________cm（杯壁厚度不计）.
（第13题图）
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】将圆柱体侧面展开，过B作BQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′B交EH于P，连接
AP，则AP+PB就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，BQ，根据勾股定理求出A′B即可．
【解答】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过B作BQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连
接A′B交EH于P，连接AP，则AP+PB就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
14∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PB=A′P+PB=A′B，
1
∵BQ= ×32cm=16cm，A′Q=14cm-5cm+3cm=12cm，
2
2 2
在Rt△A′QB中，由勾股定理得：A′B= 16 12 =20cm.
故答案为：20.
【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题．将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是
解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
14. 在-4，-2，1，2四个数中，随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a，b的值，则该二次函数图
像恰好经过第一、二、四象限的概率为___________.
【考点】概率．
【分析】首先利用列表法求得所有点的情况，再由二次函数图像恰好经过第一、二、四象限，即可求
得答案．
【解答】解：列表得：
a
-4 -2 1 2
b
-4 （-2，-4） （1，-4） （2，-4）
-2 （-4，-2） （1，-2） （2，-2）
1 （-4，1） （-2，1） （2，1）
2 （-4，2） （-2，2） （1，2）
∴一共有12种情况，
∵若二次函数图像恰好经过第一、二、四象限，则△=b2-4ac＞0，且a＞0，
∴符合要求的点有（1，-4）,（2，-4）2个
2 1
∴所有的二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为 = .
12 6
本题考查了概率．当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方
式，列出所有可能的结果，再求出概率．
三、解答题 （本题共10题，满分78分）
15.（本题满分5分）求满足不等式组： x-3(x-2)≤8 的所有整数解．
1 3
x-1＜3 - x
2 2
【考点】解不等式组.
【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．
【解答】解：由x-3(x-2)≤8得：x≥1；
151 3
由 x-1＜3 - x得：x＜2；
2 2
∴不等式组的解为：-1≤x＜2
所有整数解为：-1，0，1.
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式
组的解集，难度适中．
16.（本题满分6分）在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子。A型粽子28元/千克，B
型粽子24元/千克。若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求
两种型号粽子各多少千克。
【考点】二元一次方程组的应用.
【分析】设A型粽子x千克，B型粽子y千克，根据B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进
两种粽子共用了2560元，可列出方程组．
【解答】解：设A型粽子x千克，B型粽子y千克，由题意得：
y=2x-20
28x+24y=2560
解得： x=40
y=60，并符合题意。
∴A型粽子40千克，B型粽子60千克.
答：A型粽子40千克，B型粽子60千克.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难度一般，关键是读懂题意设出未知数找出
等量关系．
17.（本题满分8分）央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注。我市某校就“中华文化我传承
——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完
整的统计图。请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”。
（1）被调查的总人数是_____________人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为_______.
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有__________人；
（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或
列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率。
16【考点】统计，列表法与树状图法求概率.
【分析】（1）根据参加调查的人中，“很喜欢”的占10%，人数是5人，据此即可求；
C有30人，是A的6倍，可知“一般”的占60%，利用360°乘以对应的比例即可求.
（2）B的人数为：50-5-30-5=10（人），补充在图中即可。
（3）将该校共有学生1800人，乘以10%，就可得出该校学生中A类的人数；
（4）用列表法与树状图法可求。
【解答】解：（1）被调查的总人数是：5÷10%=50（人）.
30
C部分所对应的扇形圆心角的度数为: 360× =216°.
50
（2）如图。
（3）1800×10%=180（人）；
（4）
由树形图可得出：共有20种情况，两个学生性别相同的情况数有8种，
开始
女 女 女 男 男
女 女 男 男女 女 男 男 女 女 男 男 女 女 女 男 女 女 女 男
8 2
所以两个学生性别相同的概率为 = .
20 5
172
答案为：（1）50；216°；（2）如图；（3）180；（4）如上图，（或0.4或40%）（注：过程分析2分，正确结
5
果2分）
【点评】本题考查了利用统计图获取信息的能力，涉及用样本估计总体、扇形统计图、列表法与树状图
法等。利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题。
18.（本题满分7分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B
点的切线交OP于点C.
（1）求证：∠CBP=∠ADB.
（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长.
（第18题图）
【考点】圆，切线的性质，相似三角形.
【分析】（1）连接OB，证明∠OBD=∠CBP，又OD=OB，∠OBD=∠ODB，∴∠ODB=∠CBP，即∠ADB=∠CBP.
（2）证明Rt△ADB∽Rt△APO，即可求得线段BP的长.
【解答】证：（1）连接OB，则OB⊥BC，∠OBD＋∠DBC＝90°，
又AD为直径，∠DBP=∠DBC+∠CBP＝90°，
∴∠OBD=∠CBP
又OD=OB，∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠CBP，即∠ADB=∠CBP.
解：（2）在Rt△ADB与Rt△APO中，∠DAB＝∠PAO，
18Rt△ADB∽Rt△APO
AB AD
AB=1，AO=2，AD=4， = ，
AO AP
AP=8，
∴BP=AP-AB=8-1=7.
【点评】本题考查了圆，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，相似三角形的判定和性质. （1）连接
OB是解决问题的关键；（2）证明Rt△ADB∽Rt△APO是解决问题的关键。
k
19.（本题满分6分）如图，反比例函数y= （x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点
x
C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D
点的坐标.
【考点】反比例函数数形结合类综合题.
k k
【分析】（1）已知反比例函数y= （x＞0）过点A（3，4），将A（3，4）代入到解析式y= 即可求得k的
x x
k
值；将C（6，0）的横坐标代入到反比例函数y= 中，可得B点的坐标；
x
（2）画出图形即可得出符合条件的所有D点的坐标。
k
【解答】解：（1）代入A（3，4）到解析式y= 得k=12，
x
12
则反比例函数的解析式为y= ，
x
12
将C（6，0）的横坐标代入到反比例函数y= 中，得y=2
x
19∴B点的坐标为：B（6，2）
（2）如图，符合条件的所有D点的坐标为：D（3，2）或D（3，6）或D（9，-2）
1 2 3
答案为：D（3，2）或D（3，6）或D（9，-2）
1 2 3
【点评】本题考查了反比例函数、平行四边形，是数形结合类综合题. 利用图象解决问题，从图上获取
有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这
点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种
好方法．
20.（本题满分8分）如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF
＝∠CDE，连接AF，AE.
（1）求证：△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC.
（第20题图）
【考点】平行四边形、全等三角形，等腰三角形.
【分析】（1）先证明∠ABF＝∠ADE，再利用SAS证明△ABF≌△EDA；
（2）要证BF⊥BC，须证∠FBC＝90°，通过AF⊥AE挖掘角的量的关系。
【解答】（1）证：∵口ABCD，
∴AB=CD=DE，BF=BC=AD
又∠ABC＝∠ADC，∠CBF＝∠CDE，
∴∠ABF＝∠ADE；
在△ABF与△EDA中，
20AB＝DE
∠ABF＝∠ADE
BF=AD
∴△ABF≌△EDA.
（2）由（1）知∠EAD＝∠AFB，∠GBF＝∠AFB+∠BAF，
由口ABCD可得：AD∥BC，
∴∠DAG＝∠CBG，
∴∠FBC＝∠FBG+∠CBG＝∠EAD+∠FAB+∠DAG=∠EAF=90°，
∴BF⊥BC.
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质. 难度
一般。
21.（本题满分7分）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下
的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一
直线上.
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度.
（第21题图）
【考点】解直角三角形的应用，三角函数.
【分析】（1）在在Rt△ABC中，利用三角函数，可求出AC的值；
1 3
（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形；设CD=x米，表示出DE= x米，CE= x米，得出
2 2
1
BF=DF=AB-AF=60- x，根据DF=AE=AC+CE列解方程即可.
2
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=60米，∠ACB=60°，
AB
∴AC= =20 3米.
tan 60
（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，
∴AF=DE，DF=AE
211 3
设CD=x米，在Rt△CDE中，DE= x米，CE= x米
2 2
在Rt△BDF中，∠BDF=45°，
1
∴BF=DF=AB-AF=60- x（米）
2
∵DF=AE=AC+CE，
3 1
∴20 3+ x=60- x
2 2
解得：x=80 3-120（米）
（或解：作BD的垂直平分线MN，构造30°直角三角形，由BC=40 3解方程可得CD=80 3-120）
答：（1）坡底C点到大楼距离AC的值为20 3米；（2）斜坡CD的长度为80 3-120米.
【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，构造直角三角形是解本题的关键．
22.（本题满分8分）已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x
（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=-2时，求△OAB的面积.
【考点】二次函数综合题.
【分析】（1）令直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x相等，得一元二次方程，求△的值即可；
（2）设A，B的坐标分别为（x，y），（x，y），直线l与y轴交点为C（0，1）,根据根与系数的关系得到|
1 1 2 2
x-x|的长，即可求出面积.
1 2
【解答】（1）证明：令x2-4x= kx+1，则x2-(4+k)x-1=0
∴△= (4+k)2+4＞0，
∴直线l与该抛物线总有两个交点；
（2）解：设A，B的坐标分别为（x，y），（x，y），直线l与y轴交点为C（0，1）
1 1 2 2
由（1）知道的：x+x=4+k=2, xx= -1
1 2 1 2
(x-x)2=4+4=8, |x-x|=2 2,
1 2 1 2
1 1
△OAB的面积S= ·OC·|x-x|= ×1×2 2= 2.
2 1 2 2
（或解：解方程得 x=1- 2, 或 x=1+ 2,
1 2
y=2 2-1 y= -2 2-1
1 2
1 1 1
或S= × |y-y|= ×4 2= 2. )
2 2 1 2 4
22【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，设A，B的坐标分别为（x，y），（x，y），利
1 1 2 2
用根的判别式得出|x-x|是解决问题的关键．
1 2
23.（本题满分9分）我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）
与月份x（月）的关系为：y= x+4（1≤x≤8，x为整数）
-x+20（9≤x≤12，x为整数），每件产品的利润z（元）与月份x
（月）的关系如下表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10
（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；
（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月
份x（月）的关系式；
（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？
【考点】二次函数的应用、一次函数的应用.
【分析】（1）根据表格,分两种情形作答即可．
（2）分三种情形写出月利润w（万元）与月份x（月）的关系式即可．
（3）分三种情形求出月利润w的最大值，再比较即可．
【解答】解：（1）根据表格可知：当1≤x≤10的整数时，z= -x+20；
当11≤x≤12的整数时，z=10；
∴z与x的关系式为： -x+20（1≤x≤10，x为整数）
Z=
10（11≤x≤12，x为整数）
（2）当1≤x≤8时，w=（-x+20）（x+4）=-x2+16x+80
当9≤x≤10时，w=（-x+20）（-x+20）=x2-40x+400；
当11≤x≤12时，w=10（-x+20）=-10x+200；
-x2+16x+80(1≤x≤8，x为整数)
∴w与x的关系式为： w= x2-40x+400(9≤x≤10，x为整数)
-10x+200(11≤x≤12，x为整数)
（3）当1≤x≤8时，w=-x2+16x+80=-（x-8）2+144，
23∴x=8时，w有最大值144.
当9≤x≤10时，w=x2-40x+400= (x-20)2.
W随x增大而减小，∴x=9时，w有最大值121.
当11≤x≤12时，w=-10x+200,
W随x增大而减小，∴x=11时，w有最大值90.
∵90＜121＜144
∴x=8时，w有最大值144.
【点评】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用．分类讨论和熟练掌握函数的性质是解决
本题的关键.
24.（本题满分14分）如图，在直角坐标系XOY中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一
象限，∠C=120°，边长OA=8，点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，
点N从A出发沿边AB—BC—CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动。过点M作直线MP垂直于x轴并
交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，
M和N两点同时停止运动。
（1）当t=2时，求线段PQ的长；
（2）求t为何值时，点P与N重合；
（3）设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围.
【考点】四边形综合题.
【分析】（1）当t=2时，利用特殊角的三角函数值，可求出线段PQ的长；
（2）由OA=8知，当t≤4时，AN=PO=2OM=2t，t=4时，P到达C点，N到达B点，点P，N在边BC上相遇。设
t秒时，点P与N重合，则(t-4)+2(t-4)=8, 即可求出t；
20 20
（3）分0≤t≤4、4＜t≤ 、 ＜t≤8、8＜t≤12讨论。
3 3
【解答】解：（1）在菱形OABC中，∠AOC=60°，∠AOQ=30°，
2 3 4 3
当t=2时，OM=2，PM=2 3，QM= ，PQ= .
3 3
（2）当t≤4时，AN=PO=2OM=2t，
t=4时，P到达C点，N到达B点，点P，N在边BC上相遇。
设t秒时，点P与N重合，则(t-4)+2(t-4)=8,
2420
∴t= .
3
20
即t= 秒时，点P与N重合.
3
（3）①当0≤t≤4时，PN=OA=8，且PN∥OA，PM= 3t，
1
S△APN= ·8· 3t=4 3t；
2
20
②当4＜t≤ 时，PN=8-3(t-4)=20-3t，
3
1
S△APN= ×4 3×(20-3t)=40 3-6 3t；
2
20
③当 ＜t≤8时，PN=3(t-4)-8=3t-20，
3
1
S△APN= ×4 3×(3t-20)= 6 3t -4 3；
2
④8＜t≤12时，ON=24-2t，N到OM距离为12 3- 3t,
N到CP距离为4 3-(12 3- 3t)= 3t-8 3，CP=t-4，BP=12-t，
S△APN=S菱形-S△AON- S△CPN- S△APB
1 1 1
=32 3- ×8×(12 3- 3t)- （t-4）（ 3t-8 3）- （12-t）×4 3
2 2 2
3
= - t2+12 3t-56 3
2
综上，S与t的函数关系式为：
254 3t（0≤t≤4）
20
40 3-6 3t（4＜t≤ ）
3
20
S= 6 3t -4 3（ ＜t≤8）
3
3
- t2+12 3t-56 3（8＜t≤12）
2
20
（注：在第一段定义域写为0＜t≤4，第二段函数的定义域写为4＜4＜ 照样给满分）
3
【点评】本题主要考查了四边形综合运用，涉及面积问题、动点问题．分类讨论是解决本题的关键. 题
目的综合性较强，难度中等．
26
