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2014 年湖北省襄阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项总，只有一项
是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答．
1．（3分）（2014•襄阳）有理数﹣ 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
﹣ ﹣
2．（3分）（2014•襄阳）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=2a4 B．4x﹣9x+6x=1 C．（﹣2x2y）3=﹣8x6y3D．a6÷a3=a2
3．（3分）（2014•襄阳）我市今年参加中考人数约为42000人，将42000用科学记数法表示为（
）
A．4.2×104 B．0.42×105 C．4.2×103 D．42×103
4．（3分）（2014•襄阳）如图几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2014•襄阳）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．（3分）（2014•襄阳）五箱梨的质量（单位：kg）分别为：18，20，21，18，19，则这五箱梨质量
的中位数和众数分别为（ ）
A．20和18 B．20和19 C．18和18 D．19和18
7．（3分）（2014•襄阳）下列命题错误的是（ ）
A．所有的实数都可用数轴上的点表示 B．等角的补角相等
C．无理数包括正无理数，0，负无理数 D．两点之间，线段最短
8．（3分）（2014•襄阳）若方程mx+ny=6的两个解是 ， ，则m，n的值为（ ）
A．4，2 B．2，4 C．﹣4，﹣2 D．﹣2，﹣49．（3分）（2014•襄阳）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长
为xcm，则可列方程为（ ）
A．x（20+x）=64 B．x（20﹣x）=64 C．x（40+x）=64 D．x（40﹣x）=64
10．（3分）（2014•襄阳）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A
等于（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
11．（3分）（2014•襄阳）用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆
锥的底面半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
12．（3分）（2014•襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE= AB，将
矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：
①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请把答案填在答题卡的相应位置上
13．（3分）（2014•襄阳）计算： ÷ = ．
14．（3分）（2014•襄阳）从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的
概率是 ．15．（3分）（2014•襄阳）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为
45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为
m（结果保留根号）
16．（3分）（2014•襄阳）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方
程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 ．
17．（3分）（2014•襄阳）在 ▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，则 ▱ABCD的周长
等于 ．
三、解答题（本大题共9小题，共69分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写
出在答题卡上每题对应的答题区域内．
18．（5分）（2014•襄阳）已知：x=1﹣ ，y=1+ ，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
19．（6分）（2014•襄阳）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列
特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动
车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速
度各是多少？
20．（7分）（2014•襄阳）“端午节”吃粽子是我国流传了上千年的习俗．某班学生在“端午
节”前组织了一次综合实践活动，购买了一些材料制作爱心粽，每人从自己制作的粽子中随机选取两个献给自己的父母，其余的全部送给敬老院的老人们．统计全班学生制作粽子的个
数，将制作粽子数量相同的学生分为一组，全班学生可分为A，B，C，D四个组，各组每人制
作的粽子个数分别为4，5，6，7．根据如图不完整的统计图解答下列问题：
（1）请补全上面两个统计图；（不写过程）
（2）该班学生制作粽子个数的平均数是 ；
（3）若制作的粽子有红枣馅（记为M）和蛋黄馅（记为N）两种，该班小明同学制作这两种粽
子各两个混放在一起，请用列表或画树形图的方法求小明献给父母的粽子馅料不同的概率．
21．（6分）（2014•襄阳）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点
O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立
的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
22．（6分）（2014•襄阳）如图，一次函数y =﹣x+2的图象与反比例函数y = 的图象相交于
1 2
A，B两点，与x轴相交于点C．已知tan∠BOC= ，点B的坐标为（m，n）．（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出当x＜m时，y 的取值范围．
2
23．（7分）（2014•襄阳）如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B
逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F
顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．
（1）求证：EF∥CG；
（2）求点C，点A在旋转过程中形成的 ， 与线段CG所围成的阴影部分的面积．
24．（10分）（2014•襄阳）我市为创建“国家级森林城市”政府将对江边一处废弃荒地进行绿
化，要求栽植甲、乙两种不同的树苗共6000棵，且甲种树苗不得多于乙种树苗，．某承包商以
26万元的报价中标承包了这项工程．根据调查及相关资料表明：移栽一棵树苗的平均费用为
8元，甲、乙两种树苗的购买价及成活率如表：
品种 购买价（元/棵） 成活率甲 20 90%
乙 32 95%
设购买甲种树苗x棵，承包商获得的利润为y元．请根据以上信息解答下列问题：
（1）设y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（2）承包商要获得不低于中标价16%的利润，应如何选购树苗？
（3）政府与承包商的合同要求，栽植这批树苗的成活率必须不低于93%，否则承包商出资补
载；若成活率达到94%以上（含94%），则城府另给予工程款总额6%的奖励，该承包商应如何
选购树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？
25．（10分）（2014•襄阳）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作
⊙O的切线交BP的延长线于点D．
（1）求证：△ADP∽△BDA；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．
26．（12分）（2014•襄阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，
0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点
B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
（1）填空：点A坐标为 ；抛物线的解析式为 ．
（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线
段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止
运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做
PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何
值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？2014 年湖北省襄阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项总，只有一项
是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答．
1．（3分）（2014•襄阳）有理数﹣ 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
﹣ ﹣
考点：倒数．
分析：根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，可得出答案．
解答：
解： ，
故答案选D．
点评：本题考查了倒数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握倒数的定义．
2．（3分）（2014•襄阳）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=2a4 B．4x﹣9x+6x=1 C．（﹣2x2y）3=﹣8x6y3D．a6÷a3=a2
考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
分析：运用同底数幂的加法法则，合并同类项的方法，积的乘法方的求法及同底数幂的除法法则计
算．
解答：解：A、a2+a2=2a2≠2a4，故A选项错误；
B，4x﹣9x+6x=x≠1，故B选项错误；
C、（﹣2x2y）3=﹣8x6y3，故C选项正确；
D、a6÷a3=a3≠a2故D选项错误．
故选：C．
点评：本题主要考查了同底数幂的加法法则，合并同类项的方法，积的乘方的求法及同底数幂的除法
法则，解题的关键是熟记法则进行运算．
3．（3分）（2014•襄阳）我市今年参加中考人数约为42000人，将42000用科学记数法表示为（
）
A．4.2×104 B．0.42×105 C．4.2×103 D．42×103
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将42000用科学记数法表示为：4.2×104．
故选：A．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2014•襄阳）如图几何体的俯视图是（ ）A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
解答：解：从上面看，第一层是三个正方形，第二层右边一个正方形，
故选：B．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
5．（3分）（2014•襄阳）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
考点：平行线的性质；直角三角形的性质
分析：利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得∠A=35°，然后利用平行线的性质得到
∠1=∠B=35°．
解答：解：如图，∵BC⊥AE，
∴∠ACB=90°．
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠B=55°，
∴∠A=35°．
又CD∥AB，
∴∠1=∠B=35°．
故选：A．
点评：本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质．此题也可以利用垂直的定义、邻补角的性质以
及平行线的性质来求∠1的度数．
6．（3分）（2014•襄阳）五箱梨的质量（单位：kg）分别为：18，20，21，18，19，则这五箱梨质量
的中位数和众数分别为（ ）
A．20和18 B．20和19 C．18和18 D．19和18
考点：众数；中位数
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解答：解：从小到大排列此数据为：18、18、19、20、21，数据18出现了三次最多，所以18为众数；
19处在第5位是中位数．所以本题这组数据的中位数是19，众数是18．
故选D．
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对
这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺
序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7．（3分）（2014•襄阳）下列命题错误的是（ ）
A．所有的实数都可用数轴上的点表示 B．等角的补角相等
C．无理数包括正无理数，0，负无理数 D．两点之间，线段最短
考点：命题与定理．
专题：计算题．
分析：根据实数与数轴上的点一一对应对A进行判断；
根据补角的定义对B进行判断；
根据无理数的分类对C进行判断；
根据线段公理对D进行判断．
解答：解：A、所有的实数都可用数轴上的点表示，所以A选项的说法正确；
B、等角的补角相等，所以B选项的说法正确；
C、无理数包括正无理数和负无理，所以C选项的说法错误；
D、两点之间，线段最短，所以D选项的说法正确．
故选C．
点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假
命题；经过推理论证的真命题称为定理．
8．（3分）（2014•襄阳）若方程mx+ny=6的两个解是 ， ，则m，n的值为（ ）
A．4，2 B．2，4 C．﹣4，﹣2 D．﹣2，﹣4
考点：二元一次方程的解．
专题：计算题．
分析：将x与y的两对值代入方程计算即可求出m与n的值．
解答：
解：将 ， 分别代入mx+ny=6中，得： ，
①+②得：3m=12，即m=4，
将m=4代入①得：n=2，
故选A
点评：此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．（3分）（2014•襄阳）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长
为xcm，则可列方程为（ ）
A．x（20+x）=64 B．x（20﹣x）=64 C．x（40+x）=64 D．x（40﹣x）=64
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：几何图形问题．
分析：本题可根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．
解答：解：设长为xcm，
∵长方形的周长为40cm，
∴宽为=（20﹣x）（cm），
得x（20﹣x）=64．
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab来解题的方法．10．（3分）（2014•襄阳）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A
等于（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
考点：梯形；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质．
分析：根据等边对等角可得∠DEC=80°，再根据平行线的性质可得∠B=∠DEC=80°，∠A=180°﹣
80°=100°．
解答：解：∵DE=DC，∠C=80°，
∴∠DEC=80°，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC=80°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣80°=100°，
故选：C．
点评：此题主要考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相
等，同旁内角互补．
11．（3分）（2014•襄阳）用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆
锥的底面半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
考点：圆锥的计算
分析：易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
解答：
解：扇形的弧长= =2π，
故圆锥的底面半径为2π÷2π=1．
故选B．
点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
12．（3分）（2014•襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE= AB，将
矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：
①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质
分析：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角
三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半
可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF= PE，判断出②错误；求出
BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到
△PBF是等边三角形，判断出④正确．
解答：
解：∵AE= AB，
∴BE=2AE，
由翻折的性质得，PE=BE，
∴∠APE=30°，
∴∠AEP=90°﹣30°=60°，
∴∠BEF= （180°﹣∠AEP）= （180°﹣60°）=60°，
∴∠EFB=90°﹣60°=30°，
∴EF=2BE，故①正确；
∵BE=PE，
∴EF=2PE，
∵EF＞PF，
∴PF＞2PE，故②错误；
由翻折可知EF⊥PB，
∴∠EBQ=∠EFB=30°，
∴BE=2EQ，EF=2BE，
∴FQ=3EQ，故③错误；
由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，
∴∠BFP=30°+30°=60°，
∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，
∴∠PBF=∠PFB=60°，
∴△PBF是等边三角形，故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选D．
点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三
角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请把答案填在答题卡的相应位置上
13．（3分）（2014•襄阳）计算： ÷ = ．
考点：分式的乘除法
专题：计算题．
分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答：
解：原式= • = ．
故答案为：
点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）（2014•襄阳）从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的
概率是 ．考点：列表法与树状图法；三角形三边关系．
分析：由从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，可能的结果为：2，4，6；2，4，7；2，6，7；4，
6，7共4种，能构成三角形的是2，6，7；4，6，7；直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，可能的结果为：2，4，6；2，4，7；2，6，
7；4，6，7共4种，能构成三角形的是2，6，7；4，6，7；
∴能构成三角形的概率是： = ．
故答案为： ．
点评：此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）（2014•襄阳）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为
45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为
（ 5+ 5 ） m（结果保留根号）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
分析：作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在
Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度．
解答：解：作CE⊥AB于点E，
在Rt△BCE中，
BE=CD=5m，
CE= =5 m，
在Rt△ACE中，
AE=CE•tan45°=5 m，
AB=BE+AE=（5+5 ）m．
故答案为：（5+5 ）．
点评：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形
并解直角三角形．
16．（3分）（2014•襄阳）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方
程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 5 ．考点：一元二次方程的解
分析：把x=a代入方程x2﹣5x+m=0，得a2﹣5a+m=0①，把x=﹣a代入方程方程x2+5x﹣m=0，得a2﹣
5a﹣m=0②，再将①+②，即可求出a的值．
解答：解：∵a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，
∴a2﹣5a+m=0①，a2﹣5a﹣m=0②，
①+②，得2（a2﹣5a）=0，
∵a＞0，
∴a=5．
故答案为5．
点评：本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的
未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，
所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
17．（3分）（2014•襄阳）在 ▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，则 ▱ABCD的周长
等于 1 2 或 2 0 ．
考点：平行四边形的性质．
专题：分类讨论．
分析：根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即
可．
解答：解：如图1所示：
∵在 ▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE= =3，
∴AD=BC=5，
∴ ▱ABCD的周长等于：20，
如图2所示：
∵在 ▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE= =3，
∴BC=3﹣2=1，
∴ ▱ABCD的周长等于：1+1+5+5=12，
则 ▱ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
三、解答题（本大题共9小题，共69分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写
出在答题卡上每题对应的答题区域内．
18．（5分）（2014•襄阳）已知：x=1﹣ ，y=1+ ，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
考点：二次根式的化简求值；因式分解的应用
分析：根据x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化简原式，代入求值即可．
解答：解：∵x=1﹣ ，y=1+ ，∴x﹣y=（1﹣ ）（1+ ）=﹣2 ，
xy=（1﹣ ）（1+ ）=﹣1，
∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy
=（﹣2 ）2﹣2×（﹣2 ）+（﹣1）
=7+4 ．
点评：本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
19．（6分）（2014•襄阳）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列
特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动
车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速
度各是多少？
考点：分式方程的应用
专题：应用题．
分析：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，等量关系：动车行驶360km与
特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同，列方程求解．
解答：解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，
由题意，得： = ，
解得：x=90，
经检验得：x=90是这个分式方程的解．
x+54=144．
答：设特快列车的平均速度为90km/h，则动车的速度为144km/h．
点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系：动车行驶360km与
特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同．
20．（7分）（2014•襄阳）“端午节”吃粽子是我国流传了上千年的习俗．某班学生在“端午
节”前组织了一次综合实践活动，购买了一些材料制作爱心粽，每人从自己制作的粽子中随
机选取两个献给自己的父母，其余的全部送给敬老院的老人们．统计全班学生制作粽子的个
数，将制作粽子数量相同的学生分为一组，全班学生可分为A，B，C，D四个组，各组每人制
作的粽子个数分别为4，5，6，7．根据如图不完整的统计图解答下列问题：
（1）请补全上面两个统计图；（不写过程）
（2）该班学生制作粽子个数的平均数是 6 个 ；
（3）若制作的粽子有红枣馅（记为M）和蛋黄馅（记为N）两种，该班小明同学制作这两种粽
子各两个混放在一起，请用列表或画树形图的方法求小明献给父母的粽子馅料不同的概率．
考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法
专题：计算题．
分析：（1）由A的人数除以所占的百分比求出总人数，进而求出D的人数，得到C占的百分比，补全
统计图即可；（2）根据题意列出算式，计算即可得到结果；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出粽子馅料不同的结果，即可求出所求的概率．
解答：解：（1）根据题意得：6÷15%=40（人），
D的人数为40×40%=16（人），C占的百分比为1﹣（10%+15%+40%）=35%，
补全统计图，如图所示：
（2）根据题意得：（6×4+4×5+14×6+16×7）÷40=6（个），
则该班学生制作粽子个数的平均数是6个；
故答案为：6个；
（3）列表如下：
M M N N
M ﹣﹣﹣ （M，M） （N，M） （N，M）
M （M，M） ﹣﹣﹣ （N，M） （N，M）
N （M，N） （M，N） ﹣﹣﹣ （N，N）
N （M，N） （M，N） （N，N） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中粽子馅料不同的结果有8种，
则P= = ．
点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
21．（6分）（2014•襄阳）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点
O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立
的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
专题：开放型．
分析：（1）由①②；①③．两个条件可以判定△ABC是等腰三角形，
（2）先求出∠ABC=∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形．
解答：解：（1）①②；①③．
（2）选①③证明如下，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
又∵∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．
点评：本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求∠ABC=∠ACB．
22．（6分）（2014•襄阳）如图，一次函数y =﹣x+2的图象与反比例函数y = 的图象相交于
1 2
A，B两点，与x轴相交于点C．已知tan∠BOC= ，点B的坐标为（m，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出当x＜m时，y 的取值范围．
2
考点：反比例函数与一次函数的交点问题
专题：计算题．
分析：
（1）作BD⊥x轴于D，如图，在Rt△OBD中，根据正切的定义得到tan∠BOC= = ，则 =
，即m=﹣2n，再把点B（m，n）代入y =﹣x+2得n=﹣m+2，然后解关于m、n的方程组得到n=
1
﹣2，m=4，即B点坐标为（4，﹣2），再把B（4，﹣2）代入y = 可计算出k=﹣8，所以反比例函数
2
解析式为y =﹣ ；
2
（2）观察函数图象得到当x＜4，y 的取值范围为y ＞0或y ＜﹣2．
2 2 2
解答：解：（1）作BD⊥x轴于D，如图，
在Rt△OBD中，tan∠BOC= = ，
∴ = ，即m=﹣2n，
把点B（m，n）代入y =﹣x+2得n=﹣m+2，
1
∴n=2n+2，解得n=﹣2，
∴m=4，
∴B点坐标为（4，﹣2），
把B（4，﹣2）代入y = 得k=4×（﹣2）=﹣8，
2
∴反比例函数解析式为y =﹣ ；
2
（2）当x＜4，y 的取值范围为y ＞0或y ＜﹣2．
2 2 2点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足
两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
23．（7分）（2014•襄阳）如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B
逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F
顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．
（1）求证：EF∥CG；
（2）求点C，点A在旋转过程中形成的 ， 与线段CG所围成的阴影部分的面积．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
分析：（1）根据正方形的性质可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根据旋转变化只改变图形的位置
不改变图形的形状可得△ABF和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等可得
∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形对应边相等可得AF=EC，然后求出
∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根据内错角相等，两直线平行可得
EC∥FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形EFGC是平行四边
形，然后根据平行四边形的对边平行证明；
（2）求出FE、BE的长，再利用勾股定理列式求出AF的长，根据平行四边形的性质可得△FEC
和△CGF全等，从而得到S△FEC =S△CGF ，再根据S阴影=S扇形BAC +S△ABF +S△FGC ﹣S扇形FAG 列式计
算即可得解．
解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC，
∴∠AFB+∠FAB=90°，
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，
∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，
∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，
∴EC∥FG，
∵AF=EC，AF=FG，
∴EC=FG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴EF∥CG；
（2）解：∵AD=2，E是AB的中点，∴FE=BE= AB= ×2=1，
∴AF= = = ，
由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，
∴S△FEC =S△CGF ，
∴S阴影=S扇形BAC +S△ABF +S△FGC ﹣S扇形FAG ，
= + ×2×1+ ×（1+2）×1﹣ ，
= ﹣ ．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，勾股定理的应用，扇
形的面积计算，综合题，但难度不大，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
24．（10分）（2014•襄阳）我市为创建“国家级森林城市”政府将对江边一处废弃荒地进行绿
化，要求栽植甲、乙两种不同的树苗共6000棵，且甲种树苗不得多于乙种树苗，．某承包商以
26万元的报价中标承包了这项工程．根据调查及相关资料表明：移栽一棵树苗的平均费用为
8元，甲、乙两种树苗的购买价及成活率如表：
品种 购买价（元/棵）成活率
甲 20 90%
乙 32 95%
设购买甲种树苗x棵，承包商获得的利润为y元．请根据以上信息解答下列问题：
（1）设y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（2）承包商要获得不低于中标价16%的利润，应如何选购树苗？
（3）政府与承包商的合同要求，栽植这批树苗的成活率必须不低于93%，否则承包商出资补
载；若成活率达到94%以上（含94%），则城府另给予工程款总额6%的奖励，该承包商应如何
选购树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？
考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用
分析：（1）根据利润等于价格减去成本，可得答案；
（2）根据利润不低于中标价16%，可得不等式，根据解不等式，可得答案；
（3）分类讨论，成活率不低于93%且低于94%时，成活率达到94%以上（含94%），可得相应的
最大值，根据有理数的比较，可得答案．
解答：解：（1）y=260000﹣[20x+32（6000﹣x）+8×6000=12x+20000，
自变量的取值范围是：0＜x≤3000；
（2）由题意，得
12x+20000≥260000×16%，
解得：x≥1800，
∴1800≤x≤3000，
购买甲种树苗不少于1800棵且不多于3000棵；
（3）①若成活率不低于93%且低于94%时，由题意得
，
解得1200＜x≤2400
在y=12x+20000中，
∵12＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=2400时，y最大=48800，
②若成活率达到94%以上（含94%），则0.9x+0.95（6000﹣x）≥0.94×6000，
解得：x≤1200，
由题意得y=12x+20000+260000×6%=12x+35600，
∵12＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=1200时，y最大值=5000，
综上所述，50000＞48800
∴购买甲种树苗1200棵，一种树苗4800棵，可获得最大利润，最大利润是50000元．
点评：本题考查了一次函数的应用，利用了价格减成本等于利润，分类讨论是解题关键．
25．（10分）（2014•襄阳）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作
⊙O的切线交BP的延长线于点D．
（1）求证：△ADP∽△BDA；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．
考点：圆的综合题
分析：（1）首先作⊙O的直径AE，连接PE，利用切线的性质以及圆周角定理得出∠PAD=∠PBA进
而得出答案；
（2）首先在线段PC上截取PF=PB，连接BF，进而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出
PA+PB=PF+FC=PC；
（3）利用△ADP∽△BDA，得出 = = ，求出BP的长，进而得出△ADP∽△CAP，则 =
，则AP2=CP•PD求出AP的长，即可得出答案．
解答：（1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE，
∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
∴∠DAE=∠APE=90°，
∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，
∴∠PAD=∠E，
∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，
∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，
∴△ADP∽△BDA；
（2）PA+PB=PC，
证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，
∵PF=PB，∠BPC=60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB=BF，∠BFP=60°，
∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠BPA=∠BFC，在△BPA和△BFC中， ，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA=FC，AB=BC，
∴PA+PB=PF+FC=PC；
（3）解：∵△ADP∽△BDA，
∴ = = ，
∵AD=2，PD=1
∴BD=4，AB=2AP，
∴BP=BD﹣DP=3，
∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，
∴∠APD=∠APC，
∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，
∴PAD=∠PCA，
∴△ADP∽△CAP，
∴ = ，
∴AP2=CP•PD，
∴AP2=（3+AP）•1，
解得：AP= 或AP= （舍去），
∴BC=AB=2AP=1+ ．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和切线的判定与性质
等知识，熟练利用相似三角形的判定与性质得出是解题关键．
26．（12分）（2014•襄阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，
0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点
B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
（1）填空：点A坐标为 （ 1 ， 4 ） ；抛物线的解析式为 y= ﹣（ x ﹣ 1 ） 2 + 4 ．
（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线
段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止
运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做
PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何
值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？考点：二次函数综合题
分析：（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC=90°时；当∠PQC=90°时；讨论可得
△PCQ为直角三角形时t的值；
（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ =S△AFQ +S△CPQ 可得S△ACQ =﹣ （t﹣2）
2+1，依此即可求解．
解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），
点A在DE上，
∴点A坐标为（1，4），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+4，
把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4=0，
解得a=﹣1．
故抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；
（2）依题意有：OC=3，OE=4，
∴CE= = =5，
当∠QPC=90°时，
∵cos∠QPC= = ，
∴ = ，
解得t= ；
当∠PQC=90°时，
∵cos∠QCP= = ，
∴ = ，
解得t= ．
∴当t= 或t= 时，△PCQ为直角三角形；
（3）∵A（1，4），C（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则，
解得 ．
故直线AC的解析式为y=﹣2x+6．
∵P（1，4﹣t），将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+ ，
∴Q点的横坐标为1+ ，
将x=1+ 代入y=﹣（x﹣1）2+4中，得y=4﹣ ．
∴Q点的纵坐标为4﹣ ，
∴QF=（4﹣ ）﹣（4﹣t）=t﹣ ，
∴S△ACQ =S△AFQ +S△CPQ
= FQ•AG+ FQ•DG
= FQ（AG+DG）
= FQ•AD
= ×2（t﹣ ）
=﹣ （t﹣2）2+1，
∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
故答案为：（1，4），y=﹣（x﹣1）2+4．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，矩形的性质，待定系数法求抛物
线的解析式，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，三角形面积，二次函数的最值，以及分类
思想的运用．
